UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTINFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION, INFORMATICA EDUCATIVAESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACION AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN

PADRES DE LA MATEMATICADIOPHANTO Y FERMATAlumno: Urdanivia Alarcon DiegoDocente: Flavio Cueva IsmeAREQUIPA 2015

DEDICATORIA

A Dios por apoyarme constantemente.A mis padres por darme un apoyo nico que me motivan a seguir adelante cada vez mas.

AGRADECIMIENTOS

A Dios por permitir que valla cumpliendo mis metas y seguir adelante cada vez ms.A mis padres por ese apoyo que siempre me dan motivndome a cada vez seguir y no rendirme nunca, gracias a ellos por darme una buena educacin y ensearme las cosas buenas.

INDICEContenidoDEDICATORIA1AGRADECIMIENTOS2INDICE3INTRODUCCION5-6CAPITULO I PLANTEAMIENTO METODOLOGICO7FORMULACION DEL PROBLEMA7OBJETIVOS7HIPOTESIS7VARIABLES7DISEO7POBLACION7TECNICAS7CAPITULO II8MARCO TEORICO82.1.Diophanto82.2. Vida92.3. Cunto tiempo vivi Diofanto?10-112.4. Obras de Diofanto122.4.1.Plan I Ecuaciones de Diofanto132.4.2 Plan II132.4.3 Desarrollo del plan14-152.5.Obra aritmetica162.6.Pierre de Fermat17-262.6.1. Biografa27-292.6.2. Vida30-312.7..Obras matematicas322.7.1.Espiral de Fermat322.7.2. Nmeros amigos342.7.3. Nmeros primos 342.7.4Teorema sobre la suma de dos cuadrados342.7.5 Pequeo teorema de Fermat..352.7.6 Elltimo teorema de Fermat...35-36CAPITULO III ANALISIS OPINION DEL TEMA37CONCLUSIONES38BIBLIOGRAFIA39ANEXOS

INTRODUCCIONIntroduccinCuando hablamos de lgebra, al igual que cuando hablamos de cualquier otra disciplina, es importante conocer la Historia. Hasta llegar al estado actual ha habido muchas personas que se han preocupado de estos temas y que han aportado algo que, poco a poco, se ha convertido en lo que vosotros como alumnos conocis. Pero no ha sido fcil ni rpido.. Es muy interesante prestaratencin en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn momento en particular y a travs de algunapersonaen especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teora, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante parael estadoactual dela cienciay, por lo tanto merece el reconocimiento. El Clculo cristaliza conceptos ymtodosque la humanidad estuvo tratando de dominar por ms de veinte siglos. Una larga lista de personas que trabajaron con los mtodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cientfica y matemtica que permitira construir el Clculo que utilizamos en nuestros das.En la actualidad podemos resolver problemas matemticos gracias a la aritmtica y algebra. Generalmente se le atribuye la introduccin del clculo algebraico a Diofanto de Alejandria Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una poca de decadencia y de pura exgesis, como era el siglo en que vivi, su obra constituye una notabilsima excepcin.Y Fermat fue junto conRen Descartesuno de los principales matemticos de la primera mitad delsiglo XVII.Descubri elclculo diferencialantes queNewtonyLeibniz, fue cofundador de lateora de probabilidadesjunto aBlaise Pascale independientemente de Descartes, descubri el principio fundamental de lageometra analtica. Sin embargo, es ms conocido por sus aportaciones a lateora de nmerosen especial por el conocido comoltimo teorema de Fermat, que preocup a los matemticos durante aproximadamente 350 aos, hasta que fue demostrado en1995porAndrew Wilesayudado por Richard Taylor sobre la base del Teorema de Shimura-Taniyama.

CAPITULO IPLANTEAMIENTO METODOLOGICOFORMULACION DEL PROBLEMACules fueron las obras ms importantes de Diophanto y Fermat?OBJETIVOSIdentificar las obras mas importantes de Diophanto y Fermat HIPOTESISComo fue la vida y el gran aporte de los matemticos Diophanto y FermatVARIABLESVariable dependiente obras ms resaltantes de Diophanto y FermatDISEODescriptivo experimental.POBLACIONOpinin de los pobladores.TECNICASDocumental.

CAPITULO IIMARCO TEORICO2.1. Diophanto Naci alrededor de 200-214 y muri entre 284-298. Naci en Alejandra, al norte de Egipto. Su epitafio lo escribi uno de sus alumnos. Escribi un texto, el ms importante, llamado aritmtica, el cual tiene 150 problemas recogidos en 13 libros. Actualmente se conservan 6 libros que estn en la biblioteca del vaticano.Matemtico griego. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notacin algebraica y al desarrollo de los conocimientos del lgebra de su poca. Mediante artificios de clculo supo dar soluciones particulares a numerosos problemas, y estableci las bases para un posterior desarrollo de importantes cuestiones matemticas. De su obra se conservan varios volmenes de laAritmtica(libro de inspiracin colectiva, pero redactado por un solo autor) y fragmentos dePorismasyNmeros poligonales.Nada sabemos acerca de la patria de este matemtico griego y muy poco referente a su vida. Perteneci a la escuela alejandrina, naci hacia el 250 y muri a los ochenta y cuatro aos. Una dedicatoria suya a cierto Dionisio, que se ha querido identificar con el coetneo santo del mismo nombre, obispo de Pars, ha inducido a creerle cristiano.Por su originalidad y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. En una poca de decadencia y de pura exgesis, como era el siglo en que vivi, su obra constituye una notabilsima excepcin. Generalmente se le atribuye la introduccin del clculo algebraico en las matemticas. Segn parece, inici el empleo sistemtico de smbolos para indicar potencias, igualdades o nmeros negativos.De la obra de Diofanto conservamos los seis primeros libros y un fragmento del sptimo de un tratado tituladoAritmtica, integrado originariamente por trece. Los libros conservados contienen un tratado sobre las ecuaciones y sobre sistemas de ecuaciones determinados e indeterminados, en el que se busca, de modo sistemtico, la solucin en nmeros racionales. Ha llegado tambin hasta nosotros un texto suyo sobreNmeros poligonales. Los antiguos juzgaban tambin suyos un libro dePorismasy un tratado acerca de las fracciones,Moriastica.Histricamente, laAritmticatuvo mxima importancia, porque ejerci una influencia notabilsima tanto sobre el desarrollo del lgebra entre los rabes (que en el siglo X la tradujeron a su lengua) como sobre la moderna teora de los nmeros. Traducida al latn en 1571, fue publicada en el texto griego en el siglo XVII por Bachet de Mziriac, quien hall en ella el modo de desarrollar el llamado anlisis determinado.Quizs el tratado numrico de las ecuaciones puede ser considerado en sus orgenes ms como un resultado de la ciencia pitagrica que como obra de Diofanto; pero ste, con su superior habilidad en el clculo, logr dar una coleccin de problemas resueltos sin recurrir a la representacin geomtrica constantemente empleada porEuclides, sirvindose de artificios siempre ingeniosos, aunque la crtica moderna no sea unnime a la hora de justificar su legitimidad.2.2. VidaDiofanto es conocido como el padre del algebra, pero es mejor conocido por su aritmtica, un trabajo sobre la solucin de ecuaciones algebraicas y sobre las teoras de los nmeros. Naci en Alejandra nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que a la que falleci, gracias a su epitafio. Segn esto, Diofanto falleci a la edad de 84 aos. Se ignora, sin embargo en que siglo vivi.

2.3. Cunto tiempo vivi Diofanto? Solucin a la famosa ecuacinPara sabercuntos aos vivi Diofantoes preciso considerar el curioso epitafio en la tumba de este famoso matemtico griego, donde podremos encontrar diversas expresiones algebraicas ocultas en algunos enunciados.

Lo nico que se conoce del tiempo de vida de Diofanto de Alejandra es que naci alrededor del 200/214 D.C y falleci alrededor de 284/298 D.C. Perogracias al epitafio mencionadotenemos una clave para descifrar la cantidad exacta de aos que esta singular persona vivi.

El epitafio ha sido traducido a una gran cantidad de idiomas yen el espaol ha tomado diversas adaptacionespero en su naturaleza siempre se pueden identificar ecuaciones de primer grado para resolver un problema.

Epitafio de la tumba de Diofanto (en una de sus varias versiones):

Esta tumba contiene a Diofanto. Oh gran maravilla! Y la tumba dice con arte, la medida de su vida. Dios hizo que fuera nio una sexta parte de su vida. Aadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendi el fuego nupcial despus del sptimo, y en el quinto ao despus de la boda le concedi un hijo. Pero. Ay! nio tardo y desgraciado, en la mitad de la vida de su padre, lo arrebat la helada tumba. Despus de consolar su pena en cuatro aos con esta ciencia del clculo, lleg al trmino de su vida

Vamos que las expresiones algebraicas quedaran de la siguiente manera: Recordando lo visto en cursos de matemticas de bachillerato podemos decir que para laresolucin de ecuaciones de primer gradoes conveniente seguir cuatro pasos:1.- Entender el enunciado2.- Plantear el problema como una ecuacin3.- Resolver la ecuacin4.- Comprobar que la solucin cumple las condiciones del problema.Los dos primeros pasos ya fueron tomados en cuenta en la imagen anterior. Se procede a resolver la ecuacin haciendo uso de simples sumas de fracciones y reglas del algebra:

Tomando en cuenta la ltima ecuacin en la imagen:x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4 = x[(14x + 7x + 12x + 42x) / 84] + 9 = x

(75x / 84) = x - 9

75x = 84 (x - 9)

75x = 84x - 756

756 = 84x - 75x

756 = 9x

x = 756 / 9

x = 84

Diofanto vivi 84 aossegn podemos comprobar en esta solucin paso a paso. Como pueden ver, esto es algebra pura y una forma genial de encontrar el tiempo de vida de este matemtico, despus de todoDiofanto es considerado el padre del Algebra.Nota: 84 en la ecuacin es el mnimo comn mltiplo de 14, 7, 12 y 42. Necesario obtenerlo para realizar la suma de fracciones indicada2.4. Obras de Diofanto Su obra ms importante es aritmtica. En la resolucin de estos problemas utiliza un simbolismo semejante actual de los polinomios en una indeterminada aplicacin mtodos diferentes para cada caso en particular, que ponen de manifiesto las propiedades aritmticas. ObraEl matemtico alejandrino debe su renombre a su obraArithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que slo se han hallado seis, fue publicado porGuilielmus Xylanderen1575a partir de unos manuscritos de launiversidad de Wittenberg, aadiendo el editor un manuscrito sobre nmeros poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros que faltan parece que se perdieron tempranamente ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas rabes dispusieran de otros manuscritos adems de los que an se conservan.En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofnticas), aunque no es una obra de carcter terico sino una coleccin de problemas. Importante fue tambin su contribucin en el campo de la notacin; si bien los smbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un smbolo nico para la variable desconocida () y para la sustraccin, aunqueconservlas abreviaturas para las potencias de la incgnita ( para el cuadrado, para el duplo del cuadrado, para el cubo, para la quinta potencia, etc.).En1621vio la luz una edicin comentada deBachet de Mziriac, edicin reimpresa con posterioridad en1670por el hijo dePierre de Fermatincluyendo los comentarios que el clebre matemtico francs haba realizado en los mrgenes de un ejemplar de la edicin de Bachet que posea.

2.4.1PLAN I: ECUACIONES DE DIOFANTO X al nmero de aos que vivi Diofanto. . Etapa de su vida , a saber su infancia (x=6) . La duodcima parte transcurrida hasta que le sali barba (x=12) . Los ao transcurrido hasta que contrajo matrimonio (x=7) . Los aos transcurridos hasta que naci su hijo (5) . Los aos que este vivi (x=2) y los 4 aos que Diofanto sobrevivi. 2.4.2 PLAN II X= x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 . Agrupacin termino semejantes resulta: (1-1/6-1/12-1/7-1/2)x=5+4.la implicacin queda: 3/28x=9. 2.4.3Desarrollo del Plan . x=28x9/3=84. Aos que vivi Diofanto. . Diofanto de caso cuando contaba: 84/6+84/12+84/7= 33 aos. . Y su hijo vivi 84/2= 42 aos. Definicin 1 Todos los nmeros son reuniones de unidades, y pueden crecer indefinidamente. Se llama lado de un nmero a su raz cuadrada; cubo al producto del cuadrado por el nmero dado; cuarta potencia se denomina quadrato-quadrati, quinta, quadratocubi y sexta cubo-cubi, en cuya potencia se detiene Diophanto.Definicin 2 All se definen los signos del cuadrado, cubo, de la cuarta potencia, de la quinta y de la sexta; a todas estas cantidades se las llamaban potencia, y a las dems cantidades simplemente nmero. En tiempo de Bachet en lugar de los signos de Diophanto se usaban para los nmeros una N, para los cuadrados una Q y para los cubos una C.Definicin 3 Trata de las fracciones cuyos denominadores son nmeros cuadrados o cubos, y da nombres especiales a aquellos que tienen las formas 1/N, 1/Q y 1/C.Definicin 4 Trata de las reglas relativas a los exponentes en la multiplicacin.Definicin 5 Demuestra que el producto de un nmero por su inverso es la unidad.Definicin. 6 Demuestra el autor que toda cantidad multiplicada por 1 es la misma cantidad, o sea que conserva su especie.Definicin 7 Demuestra que toda fraccin denominada, multiplicada por ella misma cambia de nombre.Definicin 8 Demuestra que toda fraccin teniendo por denominador el lado de un nmero, multiplicada por ste da el lado del nmero.Definicin 9 Demuestra que la multiplicacin de dos nmeros deficientes (es decir, negativos) produce una cantidad abundante (es decir, positiva); y la de una cantidad deficiente por una abundante da otra deficiente. El signo de la cantidad deficiente, que es el mismo de la resta. T. Diophanto no tena en su obra signo para la suma, y escribe sencillamente para indicar un cierto nmero de cantidades de diversos nombres: C3; Q4; N2 y M7, que representan tres cubos, cuatro cuadrados, dos nmeros y siete unidades. Estos principios los emplea Diophanto rara vez, pues no hace demostraciones y slo da los resultados.Definicin 10 Aconseja el autor no confundir las cantidades deficientes con las abundantes, y no operar ms que sobre las semejantes. Diophanto llama a la incgnita x, a los coeficientes multitudes o fracciones segn son enteros fracciones, y a los datos multitudes o conjuntos de unidades.En las definiciones posteriores a las que acabamos de indicar, Diophanto entra en el estudio del lgebra, en el que nosotros no le seguiremos; slo citaremos el libro relativo a los nmeros poligonales, en el que aclara y fija muchas de las ideas que parecan confusas y obscuras en la obra de Theon de Smyrna.Obra AritmticaEn esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofnticas), aunque no es una obra de carcter terico sino una coleccin de problemas. Importante fue tambin su contribucin en el campo de la notacin; si bien los smbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades

2.6 PIERRE DE FERMAT Fermat naci el mismo ao que el siglo XVII y aunque sus contribuciones matemticas nunca fueron publicadas en vida, fueron de tal calidad que la relativamente modesta difusin que tuvieron entre la comunidad cientfica europea fue suficiente como para que su siglo le recuerde como uno de sus mejores hijos. Y eso que el diecisiete fue un siglo prdigo en matemticos y cientficos de primera fila: Descartes, Leibniz, Newton, Jacobo y Juan Bernoulli, Huygens, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Wallis, etc. La lista se hara interminable. Y, como es lgico, tanta materia gris no poda dejar de producir matemticas de primera calidad. Tanta, que la produccin del diecisiete marcara un antes y un despus. En el diecisiete la matemtica se empez a consolidar como una ciencia independiente, ms o menos en las lneas que hoy la conocemos. Fermat contribuy decisivamente a ello.

Adems del lgebra, la geometra analtica y el clculo, otras ramas de la matemtica empezaron a cultivarse en ese siglo: por ejemplo, la teora de nmeros (en el sentido moderno) y el clculo de probabilidades. En esas dos ramas, Fermat tuvo algo que decir. En teora de nmeros, mucho. Hay quien le considera el padre de la teora de nmeros moderna. En ese terreno, su famoso Gran Teorema (o ltimo Teorema como los anglosajones le llaman) le ha dado la fama universal de la cual era mucho ms merecedor por sus contribuciones al lgebra, a la geometra y al clculo.

Fermat naci cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces parte de la Gascoa y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivi en Toulouse y muri tambin muy cerca, en Castres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movi de la regin. Su familia tena una buena posicin econmica y social. Su padre era un rico comerciante y su madre perteneca a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y dos hermanas. Fermat, probablemente, se cri en su pueblo natal y fue educado en un cercano monasterio franciscano hasta que ingres en la Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razn, interrumpi sus estudios en Toulouse y, durante unos aos, vivi en Burdeos, donde contact con algunos matemticos que conocan bien la herencia de Vieta: Beaugrand, dEspagnet Ah se form en el lgebra y el simbolismo de Vieta que tan tiles le seran ms adelante. De esos aos data su primera produccin matemtica: la restitucin del libro perdido de las Cnicas de Apolonio: Plane Loci y los primeros trabajos sobre mximos y mnimos.

Despus de la etapa en Burdeos reingres en la universidad, esta vez en Orlans, donde obtuvo su ttulo en Leyes hacia 1631, ao en que se instala en Toulouse en calidad de consejero del Parlamento de Toulouse. Ese mismo ao se casa con una prima lejana, Louise de Long, que pertenece a la familia de alcurnia de su madre ligada a la noblesse de robe. Fermat aade el de a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y tres hembras. El hijo mayor, Clment-Samuel heredara el inters de su progenitor por las matemticas, aunque no su genialidad. A Clment-Samuel le debemos la edicin y publicacin de las obras completas de su padre en 1679.

La vida de Fermat transcurre de una manera muy tranquila en Toulouse; profesionalmente va obteniendo promociones de manera que ingresa en la cmara alta del parlamento de Toulouse en 1638 y accede a la corte suprema en 1652. En esa poca va regularmente a Castres a ejercer de magistrado. Castres, en el siglo XVII alberg uno de los tribunales establecidos por el Edicto de Nantes para dar un tratamiento justo a los hugonotes en sus litigios. Estos tribunales tenan un determinado nmero de magistrados catlicos y protestantes. Fermat ocup en diversas ocasiones una plaza del cupo catlico. De hecho muri en Castres pocos das despus de terminar de juzgar un caso.

En Toulouse reanud sus contactos con personajes ligados a la matemtica. Uno de los ms relevantes para el futuro de Fermat fue Monsieur de Carcavi, colega suyo en el parlamento pero tambin matemtico aficionado. Carcavi se traslad a Paris en 1636 donde contact con el Padre Mersenne, el personaje que, mediante su abundante correspondencia hara las veces de centro difusor de la ciencia en la Francia del XVII. Mersenne se interes inmediatamente en los trabajos de Fermat gracias a la descripcin que le hizo Carcavi de estos y empez a cartearse con l. Inicialmente el inters de Mersenne se centr en algunos comentarios de Fermat sobre la cada libre de graves, tema en el que Fermat objetaba a la descripcin de Galileo. Rpidamente Fermat inform a Mersenne sobre su trabajo sobre espirales (motivado por sus estudios sobre cada libre) y sobre su restitucin del libro perdido de Apolonio. Tambin en esa poca Fermat anuncia a Mersenne que est en posesin de diversos anlisis para diversos problemas tanto numricos como geomtricos para cuya solucin el anlisis de Vieta es insuficiente. De hecho, a principios de 1636 Fermat haba concluido su Ad locos planos et solidos isagoge [Introduccin a los lugares planos y slidos], donde mediante el lenguaje algebraico de Vieta estudia las curvas que se pueden expresar mediante ecuaciones de primero y segundo grado y establece que son precisamente la recta y las cnicas. Tambin establece que, en general, una curva tiene una ecuacin y que una ecuacin algebraica representa siempre una curva. Por esa razn se atribuye a Fermat una cierta prioridad sobre la creacin de la Geometra Analtica frente a Descartes que public su Geometria en 1637. En el mismo cruce de cartas con Mersenne, Fermat no puede resistir la tentacin de incluir un par de problemas sobre mximos y mnimos para que Mersenne los divulgue a modo de desafo entre la comunidad matemtica. Fermat dispone de su Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum [Mtodo para determinar mximos y mnimos y trazar tangentes a lneas curvas], que le permite resolver este tipos de problemas de manera muy general. Su enfoque se basa en dos hechos:

1) en un mximo o mnimo la tangente a la curva es paralela al eje de abscisas (en lenguaje actual) y en consecuencia el valor de la funcin en ese punto ha de ser nico (con relacin a sus vecinos);2) los valores cercanos al extremo han de ser alcanzados como mnimo dos veces por la funcin, un poco antes del extremo y un poco despus.

Comparando pues el valor de la funcin en el extremo, f(a), con un valor muy cercano, f(a+e), donde e es una cantidad muy pequea, esos valores han de ser prcticamente iguales, se pueden adigualar, en lenguaje de Fermat. De ese proceso de adigualacin se obtiene una ecuacin que, una vez eliminado el valor e por ser despreciable, permite calcular a. De hecho Fermat llega a la ecuacin que hoy en da escribimos como f(x)=0. Por eso se le considera tambin precursor del clculo diferencial aunque su proceso de adigualacin est lejos de las ideas de lmite que ms tarde entraran en escena. Obviamente Fermat solo trata este tipo de problemas en funciones algebraicas.

Los problemas de mximos y mnimos que Fermat ha planteado a Mersenne son de tal dificultad que Mersenne pide a Fermat la divulgacin de sus mtodos. De esta manera los escritos de Fermat sobre el tema, antes mencionados, empiezan a circular estableciendo al mismo tiempo su reputacin como matemtico de primera fila. Roberval, Mersenne y otros matemticos de la poca le instan a que publique sus resultados, a lo cual Fermat se niega. De hecho, en vida slo public un trabajo y hubo que esperar a 1679 a que su hijo mayor publicase su obra. No est clara la razn de la negativa de Fermat a publicar. Por un lado Fermat se consideraba slo un aficionado dado que no se dedicaba por entero a la matemtica. Y por otro lado, Fermat era consciente de que para publicar sus resultados, debera ser mucho ms claro y didctico en sus explicaciones, lo que le acarreara mucho trabajo adicional y consumira una parte importante del tiempo que poda dedicar a la investigacin.

Aunque su fama crece en Europa, no todo es de color de rosa. A principios de 1637, su amigo Beaugrand le manda una copia del manuscrito (an no publicado) de la Diptrica de Descartes. Fermat, enfrascado en una intensa correspondencia con Roberval y tienne Pascal sobre mtodos de cuadratura y su aplicacin a la determinacin de centros de gravedad, le presta poca atencin hasta que Mersenne, preocupado por la indiscrecin de Beaugrand (quien haba obtenido la copia de manera poco ortodoxa), le pide que no divulgue a nadie ms que a l mismo sus comentarios sobre el trabajo de Descartes.

Fermat contesta a Mersenne de una manera bastante ingenua (no conoca a Descartes ni saba nada del Discurso del Mtodo ni del mal carcter del filsofo) sealando errores en la deduccin de la ley de la reflexin y de la refraccin y calificando la obra en general como un simple intento de hallar la verdad a tientas entre las tinieblas. Se ofrece incluso para echar una mano en la clarificacin de algunos problemas.

Mersenne, consciente de la delicada situacin, guard la carta de Fermat durante unos meses hasta que, ante la insistencia de Descartes para que le comunicase cualquier crtica a la Diptrica, se la mand. La reaccin de Descartes a la crtica de Fermat fue, al principio paternalista. Fermat no haba entendido sus mtodos. Mientras tanto, Fermat haba obtenido una copia de la Geometria y se apresur a mandar a Mersenne sus trabajos sobre el tema, para demostrar al menos la independencia de sus descubrimientos. Mersenne, mostrando nuevamente poco tacto, le enva esos trabajos a Descartes quien enfurece y emprende un ataque sin cuartel contra el aficionado de Toulouse. La controversia se extiende al mtodo de trazado de tangentes y el mtodo para hallar mximos y mnimos. Despus de un sinfn de cartas (aderezadas con el poco tacto de Mersenne) Descartes termina por retar a Fermat a usar su mtodo para trazar las tangentes a una curva de su invencin, el folio, con una ecuacin implcita de tercer grado, x 3 +y 3 =pxy. La respuesta de Fermat con el clculo de las tangentes al folio obliga a Descartes a admitir que el mtodo de Fermat es superior al suyo y, a regaadientes, le reconoce una cierta talla intelectual aunque le sigue atacando en privado. La irritacin que Fermat produca en Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este ltimo: Fermat es gascn. Yo no.

Durante los ltimos aos de la dcada de los 30 y los primeros de la dcada de los 40, Fermat sigue trabajando en su mtodo de mximos y mnimos aplicndolo a varios problemas diferentes y tambin intenta generalizar, sin mucho xito, su geometra analtica a tres dimensiones. Su Isagoge ad locos ad superficiem de 1643 recoge sus ideas al respecto. Del mismo ao, 1643, data su famosa carta a Brlart, dondeFermat resumira de manera bastante clara su mtodo para determinar mximos y mnimos y su clculo de tangentes.

La dcada 1645-1655 fue una dcada dura para Francia, sacudida por la guerra civil y por una epidemia de plaga que en 1651 estuvo a punto de costar la vida a Fermat. De hecho Fermat fue dado por muerto por algunos de sus colegas. En ese perodo, Fermat produce poco y mantiene poca correspondencia. No es hasta 1655 que Fermat recupera el ritmo de trabajo. De finales de los aos 50 datan algunos de los trabajos ms importantes de Fermat, en parte recopilaciones de trabajos anteriores, en parte nuevas ideas. De esa poca son su Tratado de cuadraturas y su Tratado sobre rectificacin de curvas y su famosa demostracin de la ley de refraccin basada en su principio del tiempo mnimo, expresado como una ley natural: la naturaleza siempre acta por el camino ms corto.

Pero el tema que ha de dar a Fermat fama universal es la teora de nmeros. Su inters por los nmeros enteros y sus maravillosas propiedades haba empezado en la dcada de los 1630 cuando Fermat ley la traduccin de Bachet de la Aritmtica de Diofanto. En el estrecho margen justo al lado del problema 8 del libro II: Dado un nmero que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos nmeros cuadrados, Fermat escribi su famosa conjetura: la ecuacin x n +y n =z n no tiene soluciones enteras positivas para n>2. En sus propias palabras:

... [E]s imposible que un cubo se pueda expresar como una suma de dos cubos o que una potencia cuarta se escriba como una suma de potencias cuartas o, en general, que un nmero que sea una potencia de grado mayor que dos se pueda descomponer como suma de dos potencias del mismo grado. He encontrado una demostracin verdaderamente maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho para contenerla.

La creencia actual es que Fermat haba demostrado el teorema para n=4 (y quizs tambin para n=3) y crea que poda generalizar su demostracin para cualquier valor de n. La demostracin del caso n=4 utilizaba otro gran descubrimiento de Fermat, el mtodo de descenso infinito. Esencialmente el mtodo consiste en demostrar la imposibilidad de una proposicin que depende de un entero positivo n, probando que si hubiese algn valor estrictamente positivo que hiciese verdadera la proposicin, existira otro valor tambin estrictamente positivo que la hara verdadera pero estrictamente inferior al anterior.

El Gran Teorema de Fermat para el caso n=3 fue demostrado 100 aos ms tarde por Euler, tambin con la ayuda del mtodo del descenso infinito. El siglo XIX vio la demostracin de algunos casos particulares ms a cargo de grandes matemticos como Lejeune-Dirichlet, Legendre, Lam y Sophie Germain. No sabremos nunca si Fermat realmente dispona de una demostracin maravillosa para cualquier valor de n. Pero en cualquier caso, el reto de demostrar el Gran Teorema de Fermat haba empezado con aquella nota garabateada en el margen de un libro. La aventura terminara 350 aos ms tarde cuando, en 1994, Andrew Wiles public la demostracin del Gran Teorema de Fermat. Por el camino haban pasado una legin de matemticos de todas las categoras y especialidades (sera difcil hallar un matemtico que en algn momento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de demostracin aportaran tambin grandes contribuciones a las matemticas (la teora de ideales de Kummer por citar slo un ejemplo). Antes de la demostracin de Wiles, Gerd Faltings haba conseguido (en 1983) un resultado que acotaba totalmente las soluciones de la ecuacin de Fermat. Faltings demostr que para cada valor de n, la ecuacin x n +y n =z n tiene, a lo sumo, un nmero finito de soluciones enteras (de hecho Faltings demostr lo que se conoca como la Conjetura de Mordell sobre curvas algebraicas que implicaba el Gran Teorema de Fermat). La demostracin de Wiles, sin embargo, no sigue el camino que haba iniciado Faltings sino que da una enorme vuelta. Se basa en la conjetura Taniyama-Shimura (de hecho Wiles se limita a demostrar esta conjetura) que relaciona de manera espectacular dos campos de las matemticas completamente alejados el uno del otro: la teora de formas modulares y las curvas elpticas. Para conocer ms a fondo la apasionante historia del Gran Teorema, los libros de RIBENBOIM [7] y SINGH [8] y constituyen una lectura amena al alcance de todos. Para una historia mucho ms tcnica, se pueden consultar el artculo de COX [17] o el libro de EDWARDS [4].

El enorme inters de Fermat por los nmeros enteros era una novedad en la Europa del siglo XVII. Nadie tena demasiado inters en perder el tiempo explorando propiedades de nmeros enteros que no tenan ninguna aplicacin directa. Slo un par de problemas clsicos atraan la atencin de los matemticos de la poca: el estudio de nmeros perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, exceptuando ellos mismos) y la caracterizacin de las ternas pitagricas (tripletes de nmeros enteros (x,y,z) que satisfacen el teorema de Pitgoras x 2 +y 2 = z 2 ). Como consecuencia del inters de Fermat en el primero de esos problemas, Fermat descubri el que se conoce hoy en da como el Pequeo Teorema de Fermat, una verdadera joya en teora de nmeros. En trminos modernos dice que si p es un nmero primo y a es primo con p, entoncesa p a (mod p).No deja de ser paradjico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte estril porque ningn resultado importante se deduce de l, y no por su Pequeo Teorema que es crucial en lgebra y en la teora de nmeros moderna y sus aplicaciones, como es por ejemplo, la moderna criptografa, base de la seguridad de las transmisiones en Internet.El segundo problema, la caracterizacin de las ternas pitagricas, conduce a Fermat a su inters por las descomposiciones de potencias y problemas como la descomposicin de los primos de la forma 4n+1 como suma de dos cuadrados (de manera nica), la descomposicin de un entero positivo como suma de cuatro cuadrados y la resolucin de diferentes ecuaciones diofnticas de segundo grado. La ms famosa es la ecuacin diofntica conocida como ecuacin de Pell o ecuacin de Pell-Fermat. Se trata de la ecuacin x 2 -N y 2 = 1, donde N no es un cuadrado perfecto. Excluyendo la solucin trivial (1,0), Fermat conjetur la existencia de infinitas soluciones enteras positivas para cualquier valor de N (no cuadrado perfecto) y ret a los matemticos europeos a demostrarlo. El problema fue parcialmente solucionado por Wallis y Brouncker mediante el desarrollo en fraccin continua de N. Sera completamente solucionado por Lagrange en 1771. El libro de Barbeau [3] es una excelente referencia para este tema.

Fermat es famoso tambin por los nmeros primos que llevan su nombre, los de la forma 22 ^ n +1. Los primeros nmeros de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El siguiente es ya un nmero respetable, 4 294 967 297 y no es fcil, usando slo lpiz y papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvo suficiente paciencia para comprobarlo. Si la hubiera tenido hubiese obtenido (como ms tarde hizo Euler) que 4294967297= 641 6700417. Sin embargo tuvo la osada de conjeturar que todos los nmeros de la forma 22 ^n +1 eran primos. Esta conjetura le tuvo en jaque toda su vida, ya que en varias ocasiones se lament de no haber podido obtener su demostracin. Vale la pena comentar que no se han hallado otros primos de Fermat adems de los cinco primeros y an no se ha demostrado que existan ms.

Los ltimos aos de Fermat an ven la luz de otra contribucin importante: el clculo de probabilidades. El joven Blaise Pascal, hijo de tienne con quien Fermat haba correspondido a travs de Mersenne, le propone a Fermat un problema sobre la reparticin justa de las apuestas si una serie de partidas se interrumpen antes de llegar al final acordado. Concretamente, cmo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para el primero de dos jugadores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antes de que nadie haya ganado? (Se supone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas oportunidades de ganar). Pascal y Fermat intercambian una serie de cartas sobre el tema que puede considerarse como el inicio del moderno clculo de probabilidades. Los dos llegan al mismo resultado por caminos diferentes: Pascal intuye el resultado mediante una recurrencia, pero se ve obligado a utilizar el clculo combinatorio y el uso de su Tringulo Aritmtico (Tringulo de Pascal) para demostrarlo mientras que Fermat usa directamente el clculo combinatorio.

Hacia 1660, la salud de Fermat empieza a flaquear. Por motivos de salud, tiene que posponer un encuentro con Blaise Pascal quien tambin se encuentra enfermo (de hecho muere dos aos ms tarde). Su actividad matemtica decae casi completamente y en enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos das antes ha asistido a la sesin del tribunal del Edicto.

Eric T. Bell, en sus famosas biografas de matemticos [Men of Mathematics, Simon and Schuster, Nueva York,1965 (1 edicin de 1937)] calific a Fermat como el Prncipe de los amateurs. Y aunque es cierto que las matemticas para Fermat fueron solamente un hobby, tambin es cierto que sus contribuciones fueron de primera categora y dignas del mejor profesional. Su reticencia a publicar y a explicarse mejor hicieron que muchas de sus contribuciones fueran poco comprendidas y que algunas pasasen incluso desapercibidas pero hay que reconocer que, al menos en el campo de la teora de nmeros, cre problemas nuevos y cre instrumentos nuevos para abordarlos. Este fue su principal legado para la posteridad.

2.6.1 BiografaMatemtico francs, naci en 1601 en Beaumont de Lomagne, cerca de Toulouse y muri en Castres un 12 de enero de 1665. Pas toda su vida en el sur de Francia, lejos de los grandes centros europeos del saber. No era matemtico profesional, sino jurista y ninguno de sus trabajos de matemticas vio la luz pblica hasta despus de su muerte. Disfrut de una existencia apacible y muy ordenada que le permiti disponer de bastante tiempo para dedicarse a su pasatiempo favorito. Lingista de categora y muy impuesto en cultura clsica, Fermat posea las obras maestras de los matemticos griegos a quienes ley e hizo correcciones, sin embargo su amplia participacin en las matemticas de su tiempo se realiz por completo a travs de correspondencia particular con otros estudiosos, entre ellos, tuvo una intensa relacin epistolar con Descartes, con Roberval, Huygens y Pascal; junto a este ltimo fundara el clculo de probabilidades. A pesar de todo esto no tuvo conciencia de sus extraordinarias dotes de matemtico hasta los treinta aos y ni siquiera entonces parece que lo explotara plenamente. Por las cartas de Fermat, se tiene la impresin de que se consideraba como un hombre ingenioso, capaz, si se presentaba el caso, de hacer las cosas un poco mejor que Apolonio o Diofanto, pero pensaba que sus trabajos no podan sufrir comparacin con los de los grandes maestros de la antigedad. Fermat era como Newton y Gauss, uno de esos raros genios que hallan su recompensa en la investigacin cientfica por si misma y no se preocupan de la publicidad.

Fermat fue uno de los ms grandes matemticos de todos los tiempos..Formul numerosos teoremas aunque todos sin molestarse en demostrarlos. Todos fueron probados luego, con una sola excepcin, comunmente conocida por el ltimo teorema de Fermat. Hasta la dcada de los noventa del siglo XX ningn matemtico haba podido dar una solucin general al mismo, hasta queAndrey Willesconsigui hallarla.Su campo de estudios predilecto fue la teora de nmeros, y su fuente de inspiracin, Diofanto, matemtico griego cuya Aritmtica se descubri por los europeos a mediados del siglo XVI. Fermat coment su ejemplar traducido por C.G. Bachet y escribi numerosas notas al margen de la misma que fueron incluidas y publicadas en una nueva edicin de la Aritmtica por su hijo. Esta obra llevaba escrita en su portada el siguiente titulo "Seis libros de aritmtica y un libro sobre nmeros poligonales, por Diofanto de Alejandra, con comentarios del distinguido caballero C.G. Bachet y observaciones del seor P. de Fermat, Senador de Tolosa y un nuevo descubrimiento de Doctrina Analtica, recopiladas de diversas cartas del seor Fermat", y contena la histrica nota de Fermat referda a un problema relativo a ternas pitagricas: "Por otra parte, es imposible dividir un cubo en suma de otros dos o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general, una potencia cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostracin verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla". ste es el que se denomina ltimo teorema de Fermat, y se refiere a que cuando n es un entero mayor que 2, no existe ninguna solucin de la ecuacin xn+yn=znformada exclusivamente por nmeros enteros. Sin embargo, a excepcin de la nota escrita al margen del libro de Diofanto, ninguno de los escritos de Fermat que han sobrevivido hace mencin alguna a la demostracin de este teorema.En geometra analtica los trabajos de Fermat fueron comunicados a sus contemporneos en 1636 y nicamente se publicaron en 1679, despus de su muerte; Fermat empleaba un nico sistema de coordenadas para la representacin de un nmero ilimitado de curvas y su geometra era mucho mas completa y ms sistemtica que la de Descartes. Haba hallado ya la ecuacin de una lnea recta, de una circunferencia de centro el origen de coordenadas y las ecuaciones de la elipse, la parbola y la hiprbola en la que refiri los ejes a las asntotas. En el ao 1638 despus de la publicacin de la geometra de Descartes, Fermat comunic a este su mtodo para la determinacin de las tangentes. A continuacin investig sobre los mximos y mnimos abordando el problema de la misma manera que se hace hoy en da con el clculo infinitesimal, es decir, igual la derivada f(x) a cero, para hallar los valores de x que aumentan o disminuyen f(x). Geomtricamente, esto consiste en la determinacin de los puntos exactos en los que la tangente a la curva se hace horizontal. No obstante Fermat, no incluy el mtodo para establecer derivadas, a pesar de la inclusin implcita de estas. El mismo Descartes no pudo comprender la metodologa empleada por Fermat y su superioridad frente al que l utilizaba y la controversia sobre las tangentes lleg a hacerse un poco agria. Este mtodo se publicara en su obra Maximis et minimis.De las investigaciones de Fermat sobre los mximos y los mnimos se obtuvo una ventaja positiva: el principio del tiempo mnimo en ptica. ste fue el primero de los grandes principios variacionales de las ciencias fsicas, se conoce como el principio de Fermat y se usa para deducir las leyes de la reflexin y refraccin as como la variacin de la velocidad de la luz en un medio denso.La historia considera a Fermat como uno de los padres del clculo diferencial.

2.6.2 Vida Interesado por las matemticas, consagr a ellas su tiempo de ocio, y hacia 1637 figuraba entre los principales cultivadores europeos de esta ciencia. Hizo amistad con el matemtico Carcavi, quien le relacion con el padreMarin Mersenne, amigo de todos los doctos franceses de la poca. El padre Mersenne le puso en contacto con Roberval y con el gran Ren Descartes (1637).El trato con el difcil e inquieto genio de Descartes no resultaba fcil para nadie, ni tampoco lo fue para Pierre de Fermat, a pesar de su discrecin: ambos discutieron sobre cuestiones cientficas (la infraccin de la luz y el mtodo de los mximos y mnimos). Fueron necesarias la mediacin de Roberval y toda la prudencia de Fermat para mantener por lo menos framente correctas las relaciones personales entre los dos sabios. Muy viva, en cambio, fue la amistad entre Fermat y otro gran matemtico de la poca, Blaise Pascal; ambos se conocieron tambin gracias a Carcavi.De talante modesto, Pierre de Fermat slo llego a dar a la imprenta su monografaDissertatio geometrica de linearum curvarum comparatione,e hizo pblicos algunos de sus mayores descubrimientos slo por medio de breves comunicaciones verbales y epistolares. Ello bast para darlo a conocer como uno de los grandes matemticos del momento, pero sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar redujeron en gran medida el impacto de su obra, extremadamente prolfica. Tena por ejemplo la costumbre de anotar, en los mrgenes de los libros que lea, sus ideas y sus descubrimientos, desgraciadamente sin sus demostraciones, por falta de espacio. Superando no pocas dificultades, sus escritos fueron publicados pstumamente por su hijo Samuel en 1679, en un volumen tituladoVaria opera matemtica D. Petri de Fermat: Senatoris Tolosani.2.6.2 Investigaciones matemticasLas primeras aportaciones de Pierre de Fermat datan de 1629, cuando abord la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemtico griegoApolonio de Pergarelativas a los lugares geomtricos; a tal efecto desarrollara, contempornea e independientemente deRen Descartes, un mtodo algebraico para tratar cuestiones de geometra por medio de un sistema de coordenadas, de capital importancia para la constitucin de la geometra analtica. Sirvindose de los smbolos deFranois Vite, trat ampliamente la ecuacin de la recta, y las de la hiprbola, la parbola y la circunferencia.Fermat se sita asimismo entre los matemticos que dieron el primer impulso al clculo infinitesimal, y fue el primero en estudiar las cuestiones de mximo y mnimo (desde 1636) con el mtodo que hoy llamamos de las "derivadas", aprovechando una genial intuicin que se presenta por primera vez en la obra del prelado francsNicols de Oresme. Dise un algoritmo de diferenciacin mediante el cual pudo determinar los valores mximos y mnimos de una curva polinmica y trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del clculo infinitesimal porNewtonyLeibniz.En el mbito de la ptica geomtrica, tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio ms denso su velocidad disminuye, demostr que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, denominadoprincipio de Fermat, se deducen las leyes de la reflexin y la refraccin. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarroll conBlaise Pascallos principios de la teora de la probabilidad.

Anotaciones de Fermat en el margende una obra de ApolonioOtro campo en el que realiz originales aportaciones fue el de la teora de nmeros, en la que empez a interesarse tras consultar una edicin de laAritmticade Diofanto; precisamente en el margen de una pgina de dicha edicin fue donde anot el que sera llamadoltimo teorema de Fermat, que tardara ms de tres siglos en demostrarse. Puede decirse que el estudio metdico de las propiedades de los nmeros enteros comienza realmente con Fermat, razn por la que ha sido considerado el verdadero creador de la teora de los nmeros, a la cual matemticos antiguos comoPitgoras,EuclidesyDiofantohaban dado apenas comienzo.De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los nmeros primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas. Desagraciadamente, todo lo que llegado hasta nosotros est contenido casi exclusivamente en los estrechos mrgenes de un ejemplar de Diofanto y en algunos fragmentos de su correspondencia. Fermat desarroll tambin un ingenioso mtodo de demostracin que denomin del descenso infinito.2.7 OBRAS MATEMATICAS2.7.1 Espiral de Fermat.Es un tipo deespiralpoco comn en el mundonatural, la espiral dePierre de Fermatse halla ms que todo en los clculos y las ecuaciones para determinar coordenadas.Ecuacin LaEcuacinen coordenadas polares es:r2=a2DefinicinSe trata de una curva trascendente plana, tal que a cada valor delngulole corresponden dos valores der, uno positivo y uno negativo. Se trata de un caso particular de espiral parablica y es una curva ilimitada y continua en la que el centro es el punto singular de arranque.Para cualquier valor positivo dado de, hay dos valores correspondientes der, siendo uno el opuesto del otro. La espiral resultante ser por consiguiente simtrica de la recta y=x. La curva divide al plano en dos regiones conexas, simtricas con respecto a O.HistoriaLa primera persona en estudiar esta espiral fue Menalo de Alejandra aunque su nombre se debe aPierre de Fermat, el cual continu la ardua tarea de este estudio (1636). Esta espiral pertenece a las llamadasespirales algebraicas.La espiral de Fermat es considerada una versin ms avanzada de laEspiral de Arqumedes. Tambin es conocida como la "Espiral Parablica".2.7.2 Nmeros amigosDosnmeros amigosson dosnmeros naturalesaybtales queaes la suma de losdivisores propiosdeb, ybes la suma de los divisores propios dea. (La unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo nmero.)En 1636, Fermat descubri que 17.296 y 18.416 eran una pareja de nmeros amigos, adems de redescubrir una frmula general para calcularlos, conocida porTabit ibn Qurra, alrededor del ao850.2.7.3Nmeros primosUnnmero de Fermates unnmero naturalde la forma:

dondenes natural.Pierre de Fermat conjetur que todos los nmeros naturales de esta forma connnatural erannmeros primos, peroLeonhard Eulerprob que no era as en1732. En efecto, al tomarn=5 se obtiene unnmero compuesto:

2.7.4 Teorema sobre la suma de dos cuadradosEl teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo nmero primop, tal quep-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2 tambin se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunci su teorema en una carta aMarin Mersennefechada el 25 de diciembre de 1640, razn por la cual se le conoce tambin comoTeorema de navidad de Fermat2.7.5 Pequeo teorema de FermatElpequeo teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de nmeros, afirma que, si se eleva un nmeroaa lap-simapotenciay al resultado se le restaa, lo que queda es divisible porp, siendopunnmero primo. Su inters principal est en su aplicacin al problema de laprimalidady encriptografa.2.7.6 Elltimo teorema de FermatA pesar de tantas y tan valiosas aportaciones, el nombre del insigne matemtico francs se halla con frecuencia asociado a uno de los ms fascinantes enigmas de la historia de las matemticas. Cuando preparaba la edicin de las obras completas de su padre, Samuel de Fermat encontr una singular anotacin en una de las pginas de laAritmticade Diofanto.En ella, Fermat afirmaba que la ecuacin xn+yn=znno tiene solucin entera positiva si el valor del exponentenes superior a 2. Dicho de otro modo: la suma de dos cuadrados puede equivaler a un tercer cuadrado, como ocurre en la igualdad 32+42=52, pero es imposible hallar una igualdad semejante entre nmeros enteros positivos elevados al cubo, a la cuarta potencia, a la quinta potencia, etc.En la misma nota, Fermat deca haber hallado una demostracin maravillosa de este hecho, pero demasiado larga para ser consignada en el margen de un libro. Durante los tres siglos que siguieron a la publicacin se sucedieron sin descanso los intentos de demostrar este teorema de Fermat, tan difcil de probar que en ciertos momentos pas a llamarse hiptesis de Fermat. Los nombres deLeonhard Euler, Sophie Germain,Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Gabriel Lam, Augustin-Louis Cauchy o Ernst Eduard Kummer dan una idea del nmero de grandes matemticos que no pudieron resistir la tentacin de probar suerte.En 1908, la impaciencia por encontrar solucin a un misterio que cumpla ya 250 aos llev a Paul Wolfskehl (un industrial alemn que se salv del suicidio merced al inters despertado en l por un artculo de Kummer acerca del teorema de Fermat) a dejar en su testamento un premio de cien mil marcos para quien supiera hallarle una demostracin antes de cien aos. Se dice que slo durante los cuatro aos siguientes a su fallecimiento se publicaron ms de mil pruebas falsas.

CAPITULO IIIANALISISEl lgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el lgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.El lgebra continu su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el lgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de pitagoras. Los matemticos ms destacados en este tiempo fueron Arqumedes, Hern y Diofante. Arqumedes se bas en las matemticas en su tratados de fsica y geometra del espacio. Hern fue otro que se bas en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera mquina de vapor. Diofante fue el griego que ms contribuy a esta rea del conocimiento, como principales trabajos tenemos al anlisis diofntico y la obra de Las Aritmticas, que recopila todo el conocimiento del lgebra hasta ese entonces.Como consecuencia, el lgebra cambi de rumbo y ampli su dominio a todas las teoras que se haban inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teoras de los grupos matemticos y sus extensiones, y parte de la geometra, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cnicas elipse, parbola, hiperbola, crculo, ahora incluidas en el lgebra bilineal.El lgebra se fundi con xito con otras ramas de las matemticas como la lgica ( lgebra de Boole), el anlisis y la topologa.

CONCLUSIONESGracias a Diophanto y Fermat el Algebra evoluciono sin ellos aurita no conoceramos todo lo que ellos aportaron .Para que sirve?En el nivel mas elemental, para resolver ecuaciones (igualdades) en la que se desconoce una cantidad. Por ejemplo x + 3 = 8 Cual es el valor de x?. Evidentemente x = 8 -3 = 5Si la complicamos un poquito, por ejemplo x^2 + 3 = 8 cual es el valor de x? x = raiz cuadrada de 5.Y si la complicamos mas? , por ejemplo x^2 + 3x + 3 = 8. Uf! se tiene que emplear una frmula un pelin complicada, que tiene como caracteristica una raz cuadrada (llamada radical)Y si la complicamos aun mas?, por ejemplo x^3 + x^2 + x + 3 = 8. .Uff!! Se tiene que emplear otra formula, mas complicada que la anterior, que tiene como caracterstica que tambien tiene radicales en su composicin.Y as hasta el infinito?. No exactamente. Durante mucho tiempo hubo una carrera entre matematicos para averiguar las formulas de resolucion de las ecuaciones, primero con exponente cuatro y despues con exponente 5, y aqu se pararon. Fueron incapaces de encontrar formulas con radicales que las resolvieran. Por qu?. Sencillamente, porque no existan. Hubo que esperar hasta principios del siglo XIX para que un matematico frances, llamado Jean-Baptiste Galois explicase por qu no podan encontrarse dichas formulas. Se dice que su explicacin la termin la noche antes de su muerte en un duelo por una mujer que, segn l, era slo una coqueta.De donde se demuestra que prefera las mujeres al algebra.

Durante mucho tiempo se pens que el objeto del Algebra era la resolucin de las ecuaciones, pero hoy no es slo eso.

BIBLIOGRAFIA

1. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/diofanto.htm2. Bell, E.T.(2009) [1937], Captulo IV. El prncipe de los aficionados: Fermat,Los grandes matemticos, traduccin de Felipe Jimnez de Asa (1 edicin), Buenos Aires: Losada,ISBN978-950-03-9719-3.3. Singh, Simon (2007),El enigma de Fermat(2 edicin), Barcelona: Planeta,ISBN84-08-02375-64. ,El ltimo teorema de Fermat,ISBN958-04-4865-55. Fermat: el mago de los nmeros.Blas Torrecillas Jover.ISBN 84-930719-2-7.6. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/fermat.htm Ao de la Diversificacin Productiva y Fortalecimiento de la Educacin

ANEXOS