Dio knjige Spregnute konstrukcije čelik-beton

7/24/2019 Dio knjige Spregnute konstrukcije elik-beton

1/65

4. TEORIJSKE OSNOVE ZA PRORAUNSPREGNUTIH (KOMPOZITNIH) PRESEKA

4.1 Geometrijske karakteristike preseka

Osnovne geometrijske karakteristike poprenog preseka jesupovrina, statiki momenat, i momenat inercije. Prilikom odreivanjageometrijskih karakteristika spregnutih (kompozitnih) preseka polazise od optih izraza za statiki momenat i momenat inercije,

=A

z ydAS ; =A

y zdAS (!)

=A

z dAyI 2

; =A

y dAzI 2

(")

#tajnerovog ($teiner) pravila,

O1

z1

y1

b

y

y1

z1

a

O=T

z

y

dA

z

Slika 4.1 - Odreivanja momenta inercije pri translaciji koordinatnogsistema

AaII zz2

1 += ; AbII yy2

1 +=

(%&)

i metode reduciranog poprenog preseka,

48


2/65

1

2

E

En=

(%)

21

22110

nAA

znAzAz

++

= (%%)

21 yyyr nIII +=

(%')

E2 > E1

E1,A1

z

2

E2,A2

T2

z11

T1

E1,A1

2

z

E1,n,A2

1

z2y

zo

y

T

Slika 4.2 - Redukcija poprenog preseka sastavljenog od razliitih materijala

nastavku su dati primeri odreivanja geometrijskih karakteristikaspregnutog i spregnutog prednapregnutog poprenog preseka.

Primer $pregnuti presek

49


3/65

Cc , Ac

Ci , Ai

Cs, As

be

hc

hs

ac

as

a

z

y

Slika 4. - Spregnuti presek elik - !eton

c

s

E

En=

(%*)

csi An

AA 1

+=

(%+)

aAnAa ics = ; aAAa i

sc = (%)

anA

AAa

n

AS

i

scc

ci

== (%-)

)(1

)( 22

cccsssi aAIn

aAII +++= (%!)

Primer % $pregnuti prednapregnuti presek

50


4/65

as

ac

hs

hc

be

Cs, As

Ci , Ai

Cc , Ac

acp (acr)

Cp, Ap(Cr, Ar)

Cci , Aci

z

y

ap(ar)

Slika 4.4 - Spregnuti prednapregnuti presek

od spregnutog prednapregnutog preseka kada se presek sastoji odtri ili vie komponenti (elini nosa"s, /etonska ploa"c, ka/lovi zaprednaprezanje "p, armaturni elik "r), mogu se dogoditi dvevarijante0

- prednaprezanje unutar /etonskog dela preseka i- prednaprezanje elinog dela preseka ili prednaprezanja

ka/lovima izvan preseka.Pri prednaprezanju unutar /etonskog dela preseka de1iniu segeometrijske karakteristike idealnog /etonskog preseka izrazima,

c

pp

E

En = ;

c

rr

E

En = (%")

rrppcci AnAnAA ++= )1()1( ('&)

rp

crrcppci

AA

aAaAa

+

+= (')

))(1()( 222

crrcppciccci aAaAnaAII +++= ('%)

c

ss

E

En = ('')

51


5/65

cis

si An

AA 1

+=

('*)

)( cicsi

cis aaa

An

Aa ++

= ('+)

)( cicci

i aan

AS += (')

))((1

)( 22

ciccicisssi aaAIn

aAII ++++= ('-)

a kod spregnutih prednapregnutih preseka sa ka/lovima voenimizvan poprenog preseka komponente preseka redukuju se naelini nosa

c

sc

E

En = ;

p

sp

E

En = ('!)

p

p

c

c

si An

An

AA 11

++=

('")

222 1)(

1)( pp

pccc

csssi aA

naAI

naAII ++++= (*&)

4.2 Naponska stanja spregnutih konstrukcija

$pregnuti popreni preseci su kom/inacija elastinih materijala(konstruktivni elik, armaturni elik, elik za prednaprezanje) iviskoznog materijala kakav je /eton. 2/og de1ormacija /etona tokomvremena naponska stanja spregnutih poprenih preseka su

promenljiva i /ez delovanja spoljanjeg optere3enja (4ranson,"--). $toga je kod ovih preseka va5na vrsta optere3enja, trenutaknanoenja optere3enja i veliina e1ektivnog dela preseka(6hali78avre, "!).

Pored toga, naponska stanja kod spregnutih preseka zavise odnaina izvoenja spregnute konstrukcije (poduprta ili nepoduprtakonstrukcija), to je detaljno opisano u (r5i3, "!-.), i stepena

52


6/65

sprezanja. 9a slikama *.+ i *. prikazana su naponska stanjapotpuno spregnutog preseka elik:/eton, poduprtog i nepoduprtogza vreme izvoenja, izlo5enog dugotrajnom i kratkotrajnomoptere3enju, preuzeto iz (Oehlers74rad1ord, """) i (8oli3 et al.,%&&!).

c(Ee) c(Ec) c,uk

d!k

Ti("=0)

Ti("=besk#)

du$o"ra%no

op"ere&en%e

kra"ko"ra%no

op"ere&en%e

ukupno

op"ere&en%e

Slika 4.# - $aponska stanja spregnutog preseka konstrukcije poduprte zavreme izvoenja

k

'eik c(Ec) c,ukTi("=0)

Ta

ukupnoop"ere&en%e

kra"ko"ra%noop"ere&en%e

du$o"ra%noop"ere&en%e

Slika 4.% - $aponska stanja spregnutog preseka konstrukcije nepoduprte zavreme izvoenja

od nepoduprtih konstrukcija dugotrajno optere3enje preuzima samoelini deo preseka, tako da su naprezanja elinog dela presekaznaajno ve3a, a i konane de1ormacije su ve3e u odnosu napoduprte konstrukcije.

aspodela naprezanja po visini preseka zavisi i od stepenasprezanja. 9aponska i de1ormacijska stanja nespregnutog preseka(stepen sprezanja & '), parcijalno (elastino) spregnutog preseka

(' ( ( 1) i potpuno spregnutog preseka (& 1), predstavljena su naslikama *.-, *.! i *.".

53


7/65

*E+E.*/T E+E

+a

+b

a

3E4OACE*AO*

b n##

a

a

n##

aEaa

Ebbb

b

Slika 4.) - $aponska stanja nespregnutog preseka

E5A+T6*O +E.*/T E+E

+i

+a

+b

a

*

a

*AO* 3E4OACE

a

n##

*

a

b

nb

Eai

*b

*b

Slika 4.* - $aponska stanja parcijalno spregnutog preseka

+E.*/T E+E

b

*AO*

*+a

+b

a

*

a

b

3E4OACE

b*

*

Eai

a

nb

Slika 4.+ - $aponska stanja potpuno spregnutog preseka

54


8/65

Poto je spregnuti presek elik:/eton sastavljen od dva, poreolokim svojstvima, razliita materijala (elastian i viskoznimaterijal), tokom vremena de1ormacije /etona (skupljanje i teenje)prouzrokuju preraspodelu naprezanja unutar spregnutog preseka (sl.*.&).

b

" - "o

aceik +a

*

+bbe"on

+i

* n/< n=/

"ecen%e

a

+

*

n=/

=a

-

b

*

a> =anaponi" - "n

+

n=/

-

+

-

a> =a

Slika 4.1' - ,reraspodela naprezanja unutar spregnutog preseka usledteenja !etona

4.3 Algebarske veze naprezanja i deformacijabetona

4.3.1 Osnovni kon!"# visko!$%s#i&nos#i

?ednaine ravnote5e i jednaine kompati/ilnosti su osnovni principi

mehanike i va5e za sve materijale. arakteristina svojstva pojedinihmaterijala su odreena konstitutivnim jednainama, koje matematikiopisuju zavisnost naprezanja i de1ormacija. Predlog konstitutivnogodnosa u odreenom materijalu daje se na osnovu rezultataeksperimenata. toku eksperimenta nanosi se naprezanje uvremenu ( ) ( ) 0, uz merenje pripadaju3e de1ormacije

( ) , ili o/rnuto. Prema (@reus, "!) za proizvoljnu istorijunaprezanja ( ) , de1ormacija ( ) mo5e se 1ormulisati u o/liku0

==

=

te tDt

0

)()( (*)

gde je 1unkcional /0't R.

O/lik 1unkcionala zavisi od svojstava materijala. 9pr. elastianmaterijal je takav da de1ormacija ( )t u vremenu t zavisi samo od

55


9/65

vrednosti naprezanja ( )t u trenutku t. tom sluaju relacija (*)mo5e se pisati na slede3i nain0

{ })()( tDt e =(*%)

gde je e R R

Ako je materijal linearno elastian, izraz (*%) mo5e se jopojednostaviti u o/lik0

( ) ( )tDt = (*')

gde predstavlja meru elastinosti i inverzna je vrednost modulaelastinosti 3.

od viskoelastinog materijala, kakav je /eton, de1ormacioni proceszavisi od istorije naprezanja i njegova konstitutivna relacija moraimati o/lik 1unkcionala datog izrazom (*).

(t)

10 t

0 1 t

(t)

&

&

v

e

Slika 4.11 eormacija viskoelastinog tela pod konstantnim naprezanjem

Biskoelastino ponaanje materijala mo5e /iti linearno ili nelinearno.

Ponaanje se de1inie kao linearno ako za istoriju naprezanja0

( ) ( ) ( ) ( )tt ,7 021 +=(**)

odgovara istorija de1ormacije0

56


10/65

( ) ( ) ( ) ( )tt ,7 021 +=(*+)

Ovo se ujedno naziva princip superpozicije i koristi se u svimpretpostavkama do sada datih linearnih teorija teenja /etona.

Be3ina materijala pri malim naprezanjima pokazuje linearnoponaanje. od /etona je granica do koje se ponaa linearno

CC f 8,0 . Pri ve3im naprezanjima ponaanje je nelinearno, kakoza elastine de1ormacije tako i za de1ormaciju teenja.

od /etona, kao elastinog viskoznog materijala, odvija se jo jednapojava koju nazivamo starenje. $tarenje je promena mehanikihsvojstava materijala u zavisnosti od vremena nastanka. 4eton jetipian primer materijala koji stari (aging material). Ova pojava jedetaljno opisana u (@reus, "!) i (8oli3 i Popovi3, %&&!). radu(Cierle7$chikora, """) je analiziran nelinearan deo konstitutivnogodnosa materijala koji stari i data matrina 1ormulacija viskoznihde1ormacija.

Od poetka 1ormiranja kristalne strukture materijala poinje prirastnjegove vrsto3e, a opada de1orma/ilnost materijala. O/lik 1unkcije

( ),tD predstavljen je na slici *.%.

tD(t,)

Slika 4.12 5unkcija 0t uz uzimanje u o!zir eekta starenja !etona 0/reus1+*%

57


11/65

D(t,)

t,0 1 2

a) /)

@

(t,

0)

EC

()

D(t,)

t,210

Slika 4.1 6pored!a unkcija 0t materijala koji stari i koji ne stari 0/reus

1+*%.

Ako je 1unkcional u relaciji (*) linearan i konstantan mo5e se koristitijednostavniji prikaz ponaanja viskoelastinog materijala pomo3uicove(iesz) teorije,

( ) ( ) ( )=t

dtDt

0

,

(*)

pri emu je 1unkcija teenja ( ),tD nezavisna od ( ) .

9aime, po icovojteoriji svaka istorija naprezanja mo5e se pri/li5noopisati sumom,

( ) ( ) ( ) ttHt nn

iii ==

=

70

(*-)

koja se mo5e trans1ormisati u integral o/lika,

( ) ( ) ( ) =t

dtHt

0

(*!)

Odgovor na svaki inkrement naprezanja ( ) ( )ii tH jeinkrement de1ormacija ( ) ( )ii tD , tako da se istorija de1ormacijamo5e izraziti sumom,

58


12/65

( ) ( ) ( )=

n

iii tDt

0

, (*")

odnosno, kao integral (*).

Fntegral (*) opisuje istoriju de1ormacija teenja viskoelastinog telau linearnom podruju.

4.3.' R!o$oki o*!$i

2a 1izikalno o/janjenje i matematiku 1ormulaciju svojstava /etonakoristi se reologija, kao deo 1izike koja se /avi izuavanjemde1ormacije tela usled de1inisanih dejstava (sila). 9ajjednostavnijimodeli viskoelastinog materijala su Gaksvelov (GaHIell) i elvinov(elvin) model.

Gaksvelov model sastoji se od serijski spojene opruge Juk (Jook) iviskoznog elementa 9jutn (9eIton) (sl.*.*a), a elvinov model odparalelne veze opruge i viskoznog elementa (sl. *.*/).

10

"0

E"

a)

T

1 1

59


13/65

0

0

E0

s

1"

0

"E

b)

0"

"

Slika 4.14 Reolo7ki modeli viskoznog materijala 0a 8aksvelov model 0!9elvinov model

Primenom Gaksvelovog reolokog modela, konstitutivni izrazimatematiki su de1inisani sistemom jednaina0

: ravnote5e ( ) ( ) ( )tttE == (+&)

: kompati/ilnosti ( ) ( ) ( )ttt E += (+)

: kostitutivnih za oprugu0 ( ) ( )tEt EE = (+%)

: konstitutivnih za viskozni element0 ( ) ( )tt = (+')Prvim izvodom (derivacijom) izraza (+%) i (+') po vremenu uzkori3enje izraza (+&) i (+) do/ija se di1erencijalna jednaina zaGaksvelov model u o/liku0

( ) ( ) ( )

t

E

tt +=

(+*)

eenje di1erencijalne jednaine (+*) za poznatu istoriju naprezanjaje slede3eg o/lika0

( ) ( ) ( )+=t

dE

tt0

1

(++)

Ako je poznata istorija naprezanja ( )t , do/ija se reenje u o/liku0

60


14/65

( ) ( )

( ) =t t

E

deEt

0

(+)

onstantaE

T = , na slici *.*a, predstavlja vreme relaksacije.

2a dati elvinov model va5e slede3e jednaine0

: ravnote5e0 ( ) ( ) ( )ttt E += (+-)

: kompati/ilnosti0 ( ) ( ) ( )tttE == (+!)

: konstitutivna jednaina za oprugu0 ( ) ( )tEt EE =(+")

: konstitutivna jednaina za viskozni element0 ( ) ( )tt = (&)

Di1erencijalna jednaina za elvinov model je o/lika0

( ) ( ) ( )ttEt += ()

eenje za datu istoriju naprezanja je u o/liku0

( ) ( ) ( ) =t

E

dtet

0

1

(%)

a za datu istoriju de1ormacija0

( ) ( ) ( )ttEt += (')

Gaksvelov i elvinov model su najjednostavniji modeli i mogu samoaproksimativno opisati stvarno ponaanje viskoznog materijala. smislu po/oljanja ovih modela, kom/inuju se vie opruga i

viskoznih elemenata na razliite naine 1orme (sl.*.+).

61


15/65

C

C%

Cn

%

n

C

C%

%

Cn

n

Slika 4.1# Op7ti reolo7ki modeli

6eneralizovani elvinov model sastoji se od KnL elvinovih jedinicau seriji. 9aprezanje u svakoj jedinici je jednako ( )t , jer je ukupnade1ormacija suma de1ormacija pojedinih jedinica. 2a proizvoljnujedinicu MrN izraz () mo5e se napisati u o/liku0

( ) ( )tt

Et rrrr

+= (*)

a izraz (%) u vidu0

( ) ( )t

tE

tn

rrr

+

= =1

1(+)

Fsto tako se mogu napisati i izrazi za generalizovani Gaksvelovmodel u o/liku0

( ) ( )ttE

tt

rrr

r

+

= 11

()

( ) ( )t

tE

ttm

r

rr

+

= =1

11(-)

$peci1ina 1unkcija teenja za generalizovani elvinov model je

62


16/65

( )( )

r

rr

n

r

t

r Ee

EtD r

=

= =

711

1

(!)

a 1unkcija relaksacije za generalizovani Gaksvelov model

( )( )

r

rr

m

r

T

t

rE

TeEtE r

== =

71

(")

#to je u modelu niz elvinovih ili Gaksvelovih jedinica ve3i, taniji jematematiki opis svojstava /etona, ali isto tako to uslo5njava

reoloki model i zahteva slo5eniju matematiku analizu manjeprimenljivu za in5injersku praksu.

2a de1inisanje svojstava /etona o/ino se koriste aproksimativnimodeli, od kojih je najpoznatiji standardni model, predstavljen u(@reus, "!) i (Cierle7$chikora, """), koji se sastoji od elvinovogmodela serijski spojenog sa oprugom.

t

t

t

t

0 1 0 1

& &

O

a)

/) c)

C

C%

C !

Slika 4.1% Standardni model za vrstotelo

Godel prikazan na slici *. pose/an je sluaj generalizovanogelvinovog modela sa n&2, == 21 0i . voenjem ovih

vrednosti u izraz (+) do/ije se o/lik0

tEE

++=

21

(-&)

Gatematikom trans1ormacijom izraz (-&) mo5e se napisati u o/liku0

( ) ++=+ 21211 EEEEE (-)

63


17/65

2a datu istoriju naprezanja reenjem jednaine (-) do/ije se istorijade1ormacija u o/liku (-%)0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

de

EEdet

E

tt

t tE

t tE

+= +=

0

2

210

2

1

1111

4.3.3 P+!,$!* #!o+i-% i k$-&ni/ +%*ov%

ori3enjem osnovnog koncepta viskoelastinosti i saznanja izo/lasti reologije, mnogi autori su se /avili pro/lematikom

matematikog opisa i de1inisanja viskoznih elastoplastinih svojstava/etona. ezultat sprovedenih istra5ivanja su razliiti predlozimatematikih modela, koji su uglavnom de1inisani primenom0

integralne veze napona i de1ormacija /etona (integralnemetode) ili

alge/arske veze napona i de1ormacija /etona (algebarskemetode).

4...1 :eorija starenja !etona

Prema navodima u knjigama (uri3, "') i (usch7?ungIirth,"-) mo5e se re3i da je poetak de1inisanja matematikih modelaza opisivanje svojstava /etona vezan za "'-.godinu kada jeDiinger (Dischinger) postavio di1erencijalnu vezu izmeu napona ide1ormacija u o/liku0

n

S

Ed

d

Ed

d

+=

1(-')

kadasu0 : ukupna veliina de1ormacije, : koe1icijent teenja, s : koe1icijent skupljanja, n: granina vrednost koe1icijenata teenja u

trenutku t & tn.

9a osnovu ovog izraza izvedeni su ostali izrazi linearne teorijeteenja /etona, uz odreene modi1ikacije. Fzraz (-') je 1ormulisan sapretpostavkom da je modul elastinosti 3nepromenljiv vremenom ida su skupljanje i teenje /etona vremenski a1ine pojave.

Ako se konstitutivna relacija za viskoelastian materijal prika5e uo/liku0

64


18/65

( ) ( ) ( )ttDt = , (-*)

kada je ( ),tD speci1ina 1unkcija teenja i o/uhvata elastinude1ormaciju i de1ormaciju teenja

( )( )

( )

,,

1, tC

tEtD += (-+)

( ),tC je speci1ina 1unkcija teenja i mo5e se napisati u vidu0

( ) ( ) ( ) = tfFtC , (-)

$peci1ina 1unkcija teenja je proizvod dve 1unkcije, ( )F

kao 1aktorslinosti krivih teenja koji zavisi od starosti /etona prilikomnanoenja optere3enja i ( )tf 1unkcija, koja prikazuje tokde1ormacije teenja od trenutka kada je ona poela.

Po Diingerovom predlogu u izraze (-+) i (-) uvrtavaju se izrazi0

3&const. ( ) ( )( )00

= eCF ( ) ( )( )( ) = tetf 1 (--)

kadasu0 /' i ' konstante.

Fzraz (-) trans1ormie se u o/lik0

( ) ( ) ( ) FtFtC =, (-!)

Ovaj Diingerov predlog u literaturi poznat je i kao teorija starenja/etona (teorija paralelnih krivih). (Guravljov, "-") i (?. Qazi3 i B.Qazi3, "!%) navodi se da je nedostatak ove teorije to ne opisujede1ormacije realno u periodu rastere3enja, naime, ovim izrazom sene registriraju reverzi/ilne (zaostale elastine) de1ormacije.

4...2 ,o!olj7ana teorija starenja !etona

2a izvoenje prethodnih izraza kori3en je Gaksvelov model. smislu po/oljanja Diingerovog izraza (teorije starenja /etona)

predlo5eno je kori3enje Gaksvel:elvinovog modela (sl. *.-).

65


19/65

Ebo

d"

)=Ebo9

Ebo

d"

82

Slika 4.1) 8aksvel-9elvinov model 0;vkovi< i Radojii


20/65

kadaje0 ( )dt

deCE t

= 00

pa se izraz (!%) mo5e napisati u vidu0

( ) ( ) ( )dt

d

E

t

dt

td

Edt

td +=

1:

d

dt

( ) ( ) ( )E

t

d

td

Ed

td +

=

1

(!')

z uvoenje izraza (-") do/ije se konani o/lik di1erencijalnejednaina po/oljane teorije starenja u o/liku0

( ) ( ) ( )

( )

( )

+

+= td

eCtdt

td

Edt

td

Edt

td0

1

(!*)

Pokazalo se da po/oljana teorija starenja /olje opisuje ponaanje/etona. Geutim, eksperimentima se utvrdilo da po/oljana teorijastarenja ne opisuje relaksaciju napona pod konstantnimde1ormacijama.

4... =olcmanov 0=oltzman princip superpozicije

z pretpostavku da je superpozicija prirataja de1ormacija nezavisnaod prethodnih procesa de1ormisanja dolazi se do poznate integralnejednaine Boltera (Bolterra) u o/liku prikazanom u (@reus, "!),

(5anicin, "-*) i (Praevi3, "-")0

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )td

E

tK

tE

tt S

t

t b

b

b

b

+

+=

0

,

(!+)

kadaje jezgro integralne jednaine0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

+

=

=

bbbb

E

t

EEtDEtK

,1,, (!)

zavisnosti od iz/ora ( ),tD mogu se ispisati do sada prikazane

veze izmeu napona i de1ormacija. 9a primer za teoriju starenja0( ) ( ) ( )( )00

0

,,11

, += tE

tDb

(!-)

kljuuju3i izraz (!-) u (!+), odnosno u (!*), do/ija se integralnio/lik jednaine teorije starenja0

67


21/65

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

+=t

b

bb

b dEE

tt

00

1(!!)

4...4 ;lston->ordanova 0;llston-?ordan veza napona ideormacija

Polaze3i od integralne jednaine Boltera, uz uvoenje pretpostavkeda je

( ) ( )itrtb

EtD ++= 1

1,

0

(!")

kada je0 rt :reverzi/ilni deo koe1icijenta teenja (zaostalaelastinost), i

it :ireverzi/ilni deo koe1icijenta teenja,

i pretpostavku da je izraz za reverzi/ilni deo de1ormacija

itert

= 21 ("&)

gde je0 2 : mera /rzine de1ormacije teenja koja se odreujeeksperimentalno,

: krajnja mera koe1icijenta teenja (reverzi/ilni deo),koja se o/ino uzima, po preporukama @C4 8FP, kao vrednost 08,0 bE ,

do/ije se Flston:D5ordanov izraz prikazan u (Praevi3, "-") i(Fvkovi3 i adojii3, "!-)0

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

++=it

i

iit deEE

tt b

bb

b

211

0

22

0

(")

gde je0 ( )+= 122 ("%)

4...# $asledna teorija starenja

9asledna teorija starenja jo se naziva i teorija elasto:viskoznog tela.Primenjuje se za opisivanje pojava teenja kod relativno mlaeg/etona. 2natno /olje opisuje sve znaajne parametre vremenskede1ormacije /etona nego prethodne teorije.

68


22/65

Po ovoj teoriji, 1unkcija speci1inog teenja uzima se u o/liku0

( ) ( ) ( )[ ] = tetC 1, ("')gde je ( ) 1unkcija koja uzima u o/zir starenje /etona, tj. opadanjenjegove de1orma/ilnosti vremenom, pri pove3anju optere3enja istarosti , koja se rauna od trenutka u kome je naneto optere3enjekao stalni teret.

renutne de1ormacije u trenutku nanoenja optere3enja pri tometakoe opadaju vremenom , tj. trenutni modul elastinosti ( )E

vremenom raste.Fzraz (-+) mo5e se napisati u o/liku0

( )( )

( ) ( )[ ]

+= teE

tD 11

, ("*)

?ezgro Bolterine integralne jednaine do/ija o/lik0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

++

=

=

te

E

EtE

tDtEtK

2

,, (

"+)

a mo5e se napisati i u o/liku0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2211, += tftftK (")

gde su0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

e

E

E

etEtftEtf t

+=

=

==

2

21

21 7

("-)

2a 1unkciju starenja i trenutnog modula elastinosti, prema (Fvkovi3 i

adojii3, "!-) Arutjunjan (ArutSunian) je predlo5io izraze0

( )

AC += 0 ("!)

( ) ( ) = eEE 10 ("")

69


23/65

ada su iEAC ,,,, 00 konstante odreene na osnovueksperimentalnih podataka.

Fako nasledna teorija starenja znatno /olje opisuje, de1ormacije/etona vremenom, od prethodnih teorija, ona nije nala iru primenuu teoriji konstrukcija.azlog tome je to se zadatak odreivanjastanja napona i de1ormacija i za statiki odreene sisteme svodi nareavanje integralnih, odnosno di1erencijalnih jednaina, sapromenljivim koe1icijentima.

4...% ,redlog proesora 8ilana @uri


24/65

+

= 20

0

d , (&')

tako da se do/ije alge/arska veza u o/liku0

sEE

+

+

+=

221

10 (&*)

odnosno

sEE

+

+= 0

(&+)

gde su uvedene oznake0

+

=+

=2

72

2EE (&)

9edostatak ovog predloga je kao i u sluaju teorije starenja, a to jeto ne opisuje reverzi/ilne (viskoelastine) de1ormacije. Geutim,primenom ovih izraza, pokazalo se da se do/ijaju dovoljno tanareenja.

4...) Re7enje i7ingerove dierencijalne jednaine po

autorima Ri7 i ?ingvirt

i i ?ingvirt su u knjizi (usch i ?ungIirth, "-) dali reenjeDiingerove di1erencijalne jednaine za lokalno sprezanje dvaelementa, elastinog i elementa sklonog teenju /etona (/etonskiluk sa elinom zategom ili prednaprezanje /ez kontakta), ikontinuirano sprezanje (armirani /eton, prednaprezanje sakontaktom, spregnuti nosa).

Osnova razmatranja postavljena je na primeru prednaprezanja gredesa elikom za prednaprezanje izvan /etonskog preseka (sl.*.!).

;=1

Slika 4.1* ,rednaprezanje grede elikom za prednaprezanje izvan!etonskog preseka

71


25/65

Ovaj sistem je jedanput statiki neodreen. $tatiki odreen sistemdo/ija se presecanjem zategnutog ka/la u sredini raspona.

z uvoenje oznaka0

kp ,1 : pomeranje elementa koji tee od kratkotrajnog optere3enja,

dp ,1 : pomeranje elementa koji tee od dugotrajnog optere3enja,

1,11,1 7 ep : pomeranje elementa od sile statike neodreenostiSe&1'i

1,11,11,1 ep +=mo5e se za trenutak t&'od poetka delovanja teenja i skupljanjanapisati izraz za silu u elastinom elementu u o/liku0

11

,1,1

0

dpkpeS

+= (&-)

voenjem de1ormacija teenja i skupljanja u o/liku0

ddp ,1 : pomeranje pod dugotrajnim optere3enjem usled teenja,

dS pte 1,1, : sila sprezanja usled teenja,

d

t

tsp ,,1 : pomeranje usled skupljanja,

11etSd : de1ormacija elastinog elementa usled sile $e,

i uslova da je suma pomeranja u intervalu t jednaka nuli do/ija sedi1erencijalna jednaina0

0,,1,11,111 =+++ ttspdppetet S

d

Sd

(&!)

eenje jednaine o/lika 0=++ byay do/ija se u o/liku( ) ( )abyeyy oxa += 10 . Daljim trans1omacijama autori su izveli

izraz za ukupnu silu u elastinom elementu, usled rada elastinogelementa i elementa koji tee, u o/liku0

( )etesseddteket SCSCSS ,0,, ++=

(&")

72


26/65

kada su0

0,0, eed SS = ,

0,

1,1

110,

1,1

11

11

1

1,1

1ed

ped

p

d

p

d SS === ,

)(

,

)(

,

1,1

11

11

,,1

1,1

,,1 etes

etps

p

tsp

p

tspSS === ,

( )etesS , je pomo3na veliina, koja de1inie silu usled skupljanja

u

vremenu tu elementu koji tee uz pretpostavku elastinogponaanja materijala, tj. ukoliko se zanemari teenje,

11

1,1

p= ,

( )

=

eCd

11koe1icijent uticaja teenja na presene

sile i naprezanja od dugotrajnog optere3enja,

=e

Cs1

koe1icijent uticaja teenja na presene sile i

naprezanja od uticaja skupljanja,

oe1icijenti Sd CiC dati su na dijagramima, prilo5enim u knjizi(usch i ?ungIirth, "-).

9a osnovu navedenog izvoda za lokalno sprezanje elastinogelementa i elementa sklonog teenju u (usch i ?ungIirth, "-)dato je reenje kontinuiranog sprezanja istog elastinog elementa ielementa koji tee, to odgovara spregnutim konstrukcijama.9aprezanje u elastinom elementu u trenutku vremena tRje0

( ) ++= 1,0,,, atssaddtakta ECC (&)

Prikazanim postupkom ne o/uhvataju se promene dugotrajnogoptere3enja, razliite starosti /etona ili eventualne promene nasistemu usled teenja i skupljanja. tom sluaju reenje je jedinomogu3e primenom di1erencnog postupka.

4...* ,redlog :rosta

Po (usch i ?ungIirth, "-) rost je dao predlog jednainede1ormacije t za promenljivo naprezanje u o/liku0

73


27/65

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] tsttb

tE

t ,00 111

++++= ()

ovoj jednaini prvi lan opisuje uticaj poetnog naprezanja, a drugilan uticaj promene naprezanja usled teenja. edukcioni 1aktor rost opisuje kao 1aktor relaksacije. Ovaj postupak ima prednost jerse preko koe1icijenta mogu uneti teorijske postavke u proraun, ido/iti tanije vrednosti koje odgovaraju stvarnosti.

z pretpostavku da je 3!& const.mo5e da se napie za de1ormacijuu trenutku t & '0

bE0

0

= (%)

a u trenutku t0

( ) ( ) ( )tb

tt

b EEt

+

++= 11 00 (')

rt

tt C=+

=

11

0

(*)

2a dugotrajno optere3enje i skupljanje koe1icijenti su0

t

tdC

++=

1

11 (+)

tsC

+=1

1()

4...+ ;zraz po 6lickom

licki je takoe uprostio izraz za Gaksvelov reoloki model sapromenljivimelastinim i viskoznim svojstvima, tako da je usvojio0

( ) ( )[ ] ,10 tEtE +=

(-)gde je koe1icijent koji se odreuje eksperimentalno.

z pretpostavku linearne veze ( ) ( )tit izveo je izraz o/lika0

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

,

2,1

2 0t

tE

tt

E

tt s+

++

= (!)

74


28/65

4...1',redlog pro. ;vkovi


29/65

( ) ( )

( ) ( )

+= kt

k

kktb

b

dwf

b

bb dkek

EE

ktkt

1

1

0

1

0

(%)

z pretpostavku da je0

( ) ( ) ( )

2

1 kkt

k bbb+

(%%)

i integracijom izraza (%) do/ija se alge/arska veza napona ide1ormacija u o/liku0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ++= kktbbdwfb

b

b ekktktE

kt 112

1 1

0

(%')

Dijagram koe1icijenta teenja na osnovu ovog predloga je usaglasnosti sa dijagramima predlo5enim u @C4:8FP preporukama.

4...11 =a>antov modul-eektivni modul starenja

Da /i se to /olje aproksimiralo ponaanje materijala koji stari,4a5ant je predlo5io modul, pod nazivom e1ektivni modul starenja,3:=.

Ako se istorija naprezanja podeli na konstantnu vrednost ( )0 ipromenljivu vrednost ( ) ( )0 t , u tom sluaju mo5e se napisati0

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )0

0

0

0

,,

tE

t

tEt

TBR

+= (%*)

gde su0

( ) ( )

( )00

0,1

,

t

EtER +

= : redukovani modul elastinosti, a

3:= : 4a5antov modul koji je potre/no odrediti.

9a osnovu eksperimentalnog istra5ivanja relaksacije sade1ormacijom ( ) ( )0 = tHt , gde je ( )0tH impuls 1unkcija,4a5ant je izveo izraz za modul0

( )

( ) ( )00

0

,,1

tt

EETB +

= (%+)

76


30/65

gde je0 ( )0, t : koe1icijent starenja (relaksacije).

Prema navodima u (@reus, "!) ovaj postupak se pokazaodovoljno taan za istorije de1ormacija a1ine 1unkciji teenja ( )0,t ,a dok za ostale tipove de1ormacija mo5e poslu5iti samo zapreliminarnu ocenu oekivanih rezultata.

Prethodni postupak predstavlja osnovu jedne od naje3e kori3enihmetoda prorauna spregnutih preseka, Getoda korigovanoge1ektivnog modula elastinosti (AACG metode), koja se esto naziva

4a5antova metoda. Polaze3i od postavki ove metode i izraza zaspeci1ini komplementarni de1ormacioni rad u trenutku t0

=t

btbtt d

d

dA

0

(%)

i de1inisanja kompati/ilnosti generalisanih de1ormacija na spojupojedinih komponenti spregnutog preseka izrazima0

0,

=

fk

t

!

A(%-)

0,

=

mk

t

!A (k=1,2,###,n-1) (%!)

gde su0Ck i Ckm generalisane unutranje sile u spoju, a u radu(urevi3, %&&!) date su uslovne jednaine kompati/ilnostide1ormacija u o/liku0

0

)1(

)1(1)1(

,1,1

,1,,

,,11,1,1,1

2,1

2,,,1,,1

=+++

+

++

+++++

++

+

++++

+

kkk

kk

k

kmk

k

kk

k

kkkmk

kkmkkkkkkk

kfk

kkk

kkkkfkkkkkkfk

CCp!p!

!ip

!

pi!i!

(%")

77


31/65

01

111

2,12,,1

1,1,1

,1,,1,,1

=+

++

+

+

+++

+

kkk

k

kmk

kk

k

kmk

kmk

k

kk

k

kfk

k

kk

k

kkkfkkkfk

p

i!

p

i!

i!

p!

"!!

('&)

sa uvedenim oznakama0

+++

++++=

+++

+++ )()(

)()(

011,01,

,1011,01,

0,0,,

0,0,

kkktk

kkkkktk

k

kkkktkkkkktkk

##$$i

p##$$iC

(')

)( 0 10

,, += kkkkbtkK AEiC ('%)

)()(1 0

11,01,

1

0,0, +++

+

++= kkktkkk

kkkkt

kk ##

i

p##

iB

('')

k

kk

A

Ii = ('*)

k

%k%k

i,

,

= ('+)

k

kk

i

i 1+= (')

k

kk

A

A 1+= ('-)

1,

,

+=

kbt

kbtk EEp ('!)

Ovo je jedan od naina svoenja pro/lema de1inisanja naponsko:de1ormacionih stanja spregnutih preseka na o/lik pogodan zakori3enje raunara.

78


32/65

9umerika analiza spregnutih preseka elik:/eton kori3enjemreolokog modela viskoelastinog tela Arutjinjana i 4a5antaprikazana je u radu (Partov i antchev, %&&).

4...12Op7ti o!lik inkrementalne veze napona i dilatacija!etona 05oli< i :atomirovi


33/65

ada Dpredstavlja parametar geometrijske progresije. Prvim izrazomodreuju se niz trenutaka vremena sa jednakim koracima na skalilog0 ott .Du5ina poetnog intervala utie na tanost prorauna, tese ova vrednost usvaja da iznosi 1t & ''1'1'dana pri 8 %.

9aje3e se primenjuju slede3i tipovi numerike integracije0

() pravougaono pravilo (sukcesivna primena metodee1ektivnog modula:CG),

(%) trapezno pravilo (sukcesivna primena metode srednjegmodula de1ormacije:GD),

(') tangentno pravilo (metoda srednje takeEmetoda srednjegpravougaonika),(*) prvo $impsonovo pravilo,(+) sukcesivna primena metode srednjeg napona:G$ ,() sukcesivna primena AACG metode (aproksimativni o/lik

prema (@C4:8FP Godel @ode ""&)).

9a osnovu generalisane inkrementalne veze,

[ ]),(),(),(),( 11)(11 = kkckkcmkkckkc ttttttEtt k

(*')

u nastavku su dati izrazi za 1ormiranje rekruzivnog postupka za

odreivanje stanja napona i de1ormacija.

prvom koraku analize karakteristine promene napona ide1ormacije date su izrazima za poetno stanje0

0)(=

)()()( ==== ocococnoc tttt 7 0)( =oc t(**)

Ako je prvi interval 1t konane du5ine u prvom koraku (k&1)slo/odna de1ormacija predstavlja samo skupljanje /etona0

),()(),( 111 ocncnoc ttttt ==(*+)

2a slede3e korake (k&2...9)0

[ ] )(),(),()(1

1

)(11 kcn

k

i

mikiickc tttttt

i +=

=

(*))(

=)(),( 11 = kckckkc tttt

(*-)

80


34/65

stanje de1ormacija i naprezanja de1inie se izrazima0

),()()( 11 += kkckckc tttt (*!)

),()()( 11 += kkckckc tttt (*")

veliina )(

1kc t , u izrazu (*-), predstavlja poznatu vrednost izprethodnog proraunskog koraka i odreuje se prema izrazu0

)(11 ),(),()()(

=

kmkkkkckckc tttttt +=

(+&)),( 1 ik tt i ),( 1kkc ttE predstavljaju generalisane veliine za

1unkciju teenja /etona i modul de1ormacije /etona u posmatranomi:tom, odnosno k:tom intervalu vremena, respektivno.

Gatematiko de1inisanje naponsko:de1ormacionih stanja spregnutogpreseka mogu3e je i primenom operatorskog postupka kori3enjemlinearnih integralno:di1erencijalnih operatora. Operatorski postupaksa linearnim integralnim operatorima, uz uvoenje proizvoljne1unkcije puzanja /etona, koja odgovara linearnom viskoelastinommaterijalu, detaljno je izlo5en u monogra1iji (?. Qazi3 i B. Qazi3,

"!%.).?edna od metoda analize vremenskih de1ormacija u spregnutimelementima elik:/eton, zasnovana na konstitutivnim relacijama/etona i generalisanom Gaksvelovom reolokom modelu,predstavljena je u radu (Popovi3 i 8oli3, ""*).

4.4 rora!un prese!nih sila u spregnutimpresecima

Presene sile u konstruktivnim elementima odreuju se primenomosnovnih pravila tehnike mehanike i poznato je da se izra5avaju u

o/liku,

=A

dA$ (+)

=A

ydA# (+%)

Ove presene sile nazivaju se ukupne presene sile.

81


35/65

$pregnuti preseci, kako je poznato, sastoje se od vie delovapreseka razliitih svojstava materijala i geometrijskih karakteristika,pri emu se mogu unutar preseka primenjivati i vie razliitih /etona irazliitih elika. Preraspodela u viekomponentnim spregnutimpresecima predstavljena je u radovima (2enunovi3 i Fmamovi3, %&&'i %&&*)

Poznato je da se geometrijske karakteristike /etonskog dela presekaodreuju iz zahteva aksijalne krutosti i krutosti na savijanje, dok sekod elinih delova preseka uglavnom razmatra aksijalna krutost,osim kod elinih nosaa (sprezanje elini nosa:/etonska ploa).

Popreni presek se deli po odgovaraju3im geometrijskimkarakteristikama, gde svaki deo preseka preuzima naprezanjasrazmerna njima, pri emu se raspodeljuju uzdu5ne sile izmeudelova poprenih preseka koji imaju samo aksijalnu krutost, dok sena delove koji imaju aksijalnu krutost i krutost na savijanjeraspodeljuju uzdu5ne sile i momenti.

Pod pretpostavkom da je popreni presek u naponskom stanju "raspodela naprezanja po visini kompozitnog poprenog preseka,odreena iz ukupnih presenih sila, ima3e o/lik pokazan na slici*.%&.

C

C%

C'

&

u

%

&

u%&

'&%u

u

Slika 4.2' Spregnuti 0kompozitni popreni presek sastavljen od materijalasa razliitim modulima elastinosti

$umiranjem (integraljenjem) napona po pojedinim delovimakompozitnog preseka mogu se odrediti presene sile (uzdu5ne sile imomenti) pojedinih delova preseka.

Ako izdvojimo k kao deo kompozitnog preseka (sl. *.%) izrazi zapresene sile ovog dela su u o/liku0

82


36/65

=kA

k dA$ (+')

=kA

k ydA#

(+*)

8.

k&

ku

Slika 4.21 eo kspregnutog poprenog preseka

Pri odreivanju presenih sila pojedinih delova spregnutih presekamoraju /iti zadovoljena dva uslova0

. $uma svih presenih sila pojedinih delova spregnutihpreseka mora /iti jednaka ukupnim presenim silama;

%. De1ormacije pojedinih delova spregnutog preseka moraju /itimeuso/no kompati/ilne i odgovarati de1ormaciji spregnutogpreseka.

koliko se popreni presek nalazi u naponskom stanju " usloviravnote5e i uslovi kompati/ilnosti su dovoljni da se odrede presenesile pojedinih delova spregnutog preseka.

slov ravnote5e i kompati/ilnosti za centrino optere3en presek je0

=k

k$$ (++)

kk

kk

AE

$

= (+)

slovi ravnote5e i kompati/ilnosti za ekscentrino optere3en

elemenat su0

+==k

kk

k

k

k

k e$##$$ 7 (+-)

kk

kk IE

#

= (+!)

83


37/65

proizvoljnom vlaknu ekscentrino optere3enog poprenog presekade1ormacija je 0

ykky += (+")

8

$k

k

kSk

S

S

Slika 4.22 ilatacija i krivina proizvoljnog vlakna poprenog preseka

od ekscentrino napregnutih poprenih preseka, kod kojih imamo kelemenata koji su izlo5eni dilataciji i o/rtanju, i selemenata koji sede1ormiu samo podu5 ose, postoja3e [0k-1Es] uslovkompati/ilnosti.

koliko se popreni presek nalazi u naponskom stanju ""presenesile takoe se odreuju iz uslova ravnote5e i uslova kompati/ilnosti,s tim da u naponskom stanju ""dolazi do otvaranja prslina, koje serazvijaju u 1azama optere3ivanja. Polo5aj neutralne ose je promenljivi preduslov za odreivanje geometrijskih karakteristika pojedinihdijelova kompozitnog (spregnutog) preseka je de1inisanje 1unkcijepolo5aja neutralne ose.

slovi ravnote5e i kompati/ilnosti postavljaju se za isprskali poprenipresek, uz uvoenje pretpostavki0

. nakon otvaranja prslina u zategnutoj zoni /etona va5i4ernulijeva hipoteza ravnih preseka,

%. pritisnuta zona /etona zadr5ava elastino i linearnoponaanje, tj. va5i Jukov zakon,

'. zavisnost : elika je poznat.Pri tome se mora voditi rauna da za popreni presek u naponskomstanju IIne va5i zakon superpozicije. Proraun odvojeno pojedinihsluajeva optere3enja, koje je mogu3e za naponsko stanje I, neodnosi se za naponsko stanje II.

84


38/65

Fzraz za polo5aj neutralne osi do/ija se reenjem sistema jednaina(Jampe, "*)0

=++= 00 00 $$$ zb

=

+= 0

000

210 #'

y$## bb

( ) ''

IIbz

= 00

2

1

(&)

9%

G

B

/&

z Ehz

9z&

z

z G/&FF

/

h

S&

TS

nn

$/FF FF

$/

Slika 4.2 ,ravougaoni popreni presek u naponskom stanju ;; 0Fampe1+%4.

4.4.1 P+!+%s"o*!$% "+!s!&ni/ si$%$pregnuti presek elik /eton 1ormiraju viskozan elasto:plastianmaterijal (/eton) i prete5no elastian materijal (elik). Bremenskizavisne de1ormacije viskoznog dela spregnutog preseka (/eton)dovode do preraspodele presenih sila.

85


39/65

t

t

p

a,/

tt&

t&

4CO9

@CQF.t

Slika 4.24 - ijagram deormacije !etona i elika pod konstantnimnaprezanjem

Ako se zanemari relaksacija elika (armature) mo5e se smatrati da jeelik idealno elastian materijal. Pod konstantnim dugotrajnimoptere3enjem de1ormacija je konstantna.

d& dG3 H & const. d& ' d& ' ()

De1ormacija /etona, kao viskoznog elastinog materijala, sastoji seod elastinog i viskoznog dela de1ormacija. 9a slici *.%* prikazan jekarakteristian - t dijagram de1ormacija /etona. Fz dijagrama jevidljivo da u intervalu vremena dt dolazi do razlike u veliinide1ormacije u /etonu i eliku. azlika je posledica vremenskizavisnih de1ormacija /etona (teenje i skupljanje).

Poznato je da nema promene naprezanja unutar tela, ukoliko se onoslo/odno de1ormie, ali, isto tako, na osnovu relacija () vidljivo jeda pove3anje de1ormacija u /etonu dovodi do pove3anja naprezanja(d> & d> &).

Fz uslova kompati/ilnosti de1ormacija jasno je da 3e se naprezanjed, koje nastaje kao posledica vremenski zavisnih de1ormacija/etona, preraspodeliti u armaturu. Poto moraju /iti zadovoljeniuslovi ravnote5e, iako ne dolazi do promene spoljanjegoptere3enja, ovaj prirast naprezanja du armaturi ujedno predstavljapad naprezanja u /etonu.

dsp& ' daE d!& ' (%)

86


40/65

stvari, tokom odvijanja vremenski zavisnih de1ormacija, deava sepreraspodela naprezanja, odnosno presenih sila izmeu /etona ielika.

eenje pro/lema se svodi na postavku i reenje sistema linearnihdi1erencijalnih jednaina.

4.4.' 0!inii-% "+!+%s"o*!$! "+!s!&ni/ si$% %#!%#i&ko sis$

pregledu teorija i radova, datih u taki *.'.', dati su razliitipredlozi matematikog opisa de1ormacije teenja. ao 1unkcija, kojadaje dosta do/ru aproksimaciju rezultata eksperimenata, mo5e seusvojiti0

( ) ( )cte(

p ebat ==

(')

Fz ivinih (ru/nih) uslova 0 za t R & ;(t) R &, a za t R ; (t) R

do/ije se 1unkcija teenja u 1ormi 0

(t) R (:ect) (*)

Beliina cu eksponentu 1unkcije odreuje se eksperimentom (ogled:test teenja).

Bremenski zavisne de1ormacije dovode u vremenu dt do promenekonstantnih vrednosti presenih sila $!oE $!t 8!oE 8!t $aoE $at.

Ako posmatramo pojedine delove poprenog preseka, u intervaluvremena dtjavljaju se slijede3e de1ormacije0

. 4CO9 (materijal koji tee)a) @entrino optere3en popreni presek

: elastina de1ormacija 0bbt

tbe(b

AE

d$d

= ,, (+)

87

t

( t

)

!


41/65

: plastina de1ormacija 0 dAE

$$d

bb

btbp(b

+= 0, ()

uz pretpostavku da je 1unkcija skupljanja a1ina 1unkciji teenja,de1ormacija skupljanja se mo5e napisati u vidu0

dd SSb =

, (-)

kupna de1ormacija /etona je 0

dd

AE$$

AEd$d S

bb

btb

bbt

tbb

++

=

0, (!)

/) Ckscentrino optere3en popreni presek

Podu5na dilatacija0

: elastina de1ormacija 0bb

tbe(b

AE

d$d

= ,, (")

: plastina de1ormacija 0

dd

AE

$$d S

bb

btbp(b

+=

0, (-&)

O/rtanje0

: elastina de1ormacija 0bb

tbe(b

IE

d#d

= ,, (-)

: plastina de1ormacija 0 dIE

##d

bb

btbp(b

+= 0, (-%)

kupna de1ormacija /etona je 0

d

IE

##

IE

d#dd

AE

$$

AE

d$

bb

btb

bb

tbS

bb

btb

bbt

tb +

+

++

+

0,0, (-')

%. AGAA, UCQF 2A PCD9APC2A9?C, UCQFU9F9O$AU (materijal koji ne tee)

88


42/65

: de1ormacija armature 0aa

tae(a

AE

d$d

= ,, (-*)

: de1ormacija elinih nosaa 0

)$)$

t)$

)$)$

t)$)$ IE

d#

AE

d$d

+

= ,, (-+)

Prethodni izrazi opisuju de1ormacije pojedinih delova spregnutogpreseka. ako su to ujedno delovi spregnutog preseka de1ormacije

pojedinih dijelova su zavisne. 2avisnost se de1inie preko uslovakompati/ilnosti.

Preraspodela presenih sila proraunava se u slede3im koracima0

. postavljanje izraza za odreivanje presenih sila, u pojedinimdijelovima poprenog preseka u trenutku t,

%. ispisivanje promene de1ormacije pojedinih delova poprenogpreseka za interval vremena t, uzimaju3i u o/zir elastine iviskozne de1ormacije,

'. postavljanje uslova ravnote5e za presene sile pojedinihdijelova u trenutku ti tEt,

*. postavljanje uslova kompati/ilnosti de1ormacija u intervaluvremena dt,+. eliminisanje presenih sila $!t, 8!t, $at,V i uvoenje njihovih

di1erencijala d$!t, d8!t, iz uslova ravnote5e u uslovekompati/ilnosti,

. uz uvoenje 1unkcije teenja do/ija se sistem di1erencijalnihjednaina za proraun presenih sila zavisnih od vremena.

ano reenje pro/lema preraspodele presenih sila, umatematikom smislu svodi se na reenje sistema linearnihdi1erencijalnih jednaina, to je slo5en matematiki pro/lem. 2apotre/e 1ormiranja postupaka prorauna koji se mogu primeniti uprojektantskoj praksi koriste se aproksimativne metode reavanja.

4.4.3 A"+oksi%#ivn! !#o*! o*+!2iv%n-%"+!+%s"o*!$! "+!s!&ni/ si$%

Ovde su izdvojene dve aproksimativne metode0 pomo3u pri/li5ne1unkcije toka vremenski zavisnih presenih sila i di1erencna metoda.

89


43/65

4.4..1 Re7enje pomone unkcije tokavremenski zavisnih presenih sila

analizu se ukljuuje pretpostavka da je 1unkcija promenepresenih sila a1ina 1unkciji teenja . 9a primer0 ako pretpostavimo1unkciju promene presenih sila u o/liku para/ole, kako je pokazanona slici *.%+, 1unkcija promene sile u /etonu /i3e prema (Jampe,"*) 0

=

2

1

bbt $$ (-)

slov kompati/ilnosti, ab dd = , ima3e o/lik0

bb

bb

bb

b

aa

at

AE

$$

dAE

$

AE

d$

+

+

=

2

02

12

(--)

9/t

!

(G/t) (G/

)

9

/

!

!

9 /tR !9/! (%: )!

Slika 4.2# ,retpostavljena unkcija promene presene sile u !etonu

onana vrednost presene sile u /etonu, $!, do/ija seintegracijom uslova kompati/ilnosti u o/liku predstavljenom u(Jampe, "*)0

+

=

>21

0bb $$

(-!)

$de %e?bbaa

aa

AEAE

AE

+= #

4.4..2 ierencni metod

90


44/65

t()

tn(n)

tnT(nT)

tn(n)

9/&

9/&

T

9/t

9/tn 9

/tnT

Slika 4.2% ijagram promene $!tu zavisnosti od

posmatranom trenutku tnpresena sila ima vrednost $!tn u odnosuna poetnu vrednost $o. Ako posmatramo trenutak tnEt&tnE1presena sila ima vrednost 9!tnE1 i javlja se prirast teenja n.

Ako posmatramo dovoljno mali vremenski interval t, mo5emo danapiemo izraze za elastine i plastine de1ormacije u /etonu iarmaturi u di1erencnom o/liku, tako da 3e izrazi (+) do (-+) do/iti

o/lik0

nS

nbb

btnb

bb

btnb AE

$$

AE

$

+

+

=

0(-")

nbb

btnb

bb

btnn

Sn

bb

btnb

bb

btn

IE

##

IE

#

AE

$$

AE

$

+

+

+

+

+

00(!&)

)$)$

tn)$

)$)$

tn)$)$ IE

#

AE

$

+

= ,, (!)

Po/oljanje di1erencne metode mo5e se do/iti korekcijom , kako jepokazano na slici *.%-.

91


45/65

9/&

T

9/t

9/&

n nTn

9/&

T

9/tn 9

/tnT

9/&

T

(9/tnT

:9

/tn

)

Slika 4.2) ijagram promene presene sile $!tusled delovanja teenja

tom sluaju plastine de1ormacije do/ijaju o/lik0

( )n

bb

btnbtnb

FE

$$$

++ +10 1

(!%)

( )n

bb

btnbtnb

IE

###

++ +10 1

(!')

4.4.4 I+%i "o "+o!so+ +i5

$ o/zirom na veliki doprinos pro1esora uri3a teoriji spregnutihkonstrukcija u /ivoj ?ugoslaviji i da su postavke njegove teorijekori3ene za projektovanje i pisanje strune literature iz $ naprostorima /ive ?ugoslavije, ovde su izdvojene osnovne postavkeaproksimativnog reenja preraspodele naprezanja pogodne zaprojektantsku praksu.

Polaze3i od izraza za vezu napona i de1ormacija u /etonu (&+) pro1.uri3 je osnovne uslovne jednaine aproksimativnog reenjapostavio u o/liku0

+= *+(!*)

)( += *+Eaa (!+)

sbbbb E*+E += 0)( (!)

92


46/65

=+a b

ba $dAdA

(!-)

=+a b

ba #dAdA @ (!!)

ada su0

u : dilatacija u te5itu idalizovanog preseka /etona sa 1iktivnimmodulom elastinosti 3!(&) i modulom elastinosti elika 3a

v& v promena krivine tapa;

: odstojanje taaka poprenog preseka od ose u te5itu idealnogpoprenog preseka :iupravne na ravan savijanja;

: izraz (&);

uz uvoenje oznaka

c

aa

E

E= ;

c

bb

E

E = ,

3c je uporedni modul elastinosti,

brari AAA += ; aaar AA = ; bbbr AA = ,

22bbrbraarari AIAII +++= ,

sb $$$$ ++= 0 ,

bsbbb $$### +++= )(@ 00 ,

i$## +=@ : je momenat spoljanjih sila u odnosu nate5ite :i;

aai y= : odstojanje te5ita delovanja spoljanjih sila u odnosu na te5ite :i;

konani izrazi za odreivanje napona u eliku i /etonu, u vremenu t,dati su u o/liku0

93


47/65

)(

i

i

iaa

I

#

A

$+= (!")

sbboi

i

ibb E

I

#

A

$

+= )( ("&)

4.# rimer odre$ivanja prese!nih sila uspregnutim presecima !elik%beton

4.6.1 Sis#! -!*n%&in%

Presene sile u pojedinim delovima spregnutog preseka elik:/eton(A4) odreuju se reenjem sistema jednaina, koje se do/ijaju izuslova ravnote5e i uslova kompati/ilnosti de1ormacija.

Slika 4.2* Spregnuti presek elik-!eton

slovi ravnote5e su0

$ & ' d$aE d$!E d$n& ' (")

8&' d8aE d8!E d$a.IanE d$!.I!n& ' ("%)

a uslovi kompati/linosti su0

a,,aa

a

aa

a

)$)$

)$ yIE

d#FE

d$FE

d$ += ("')

(dilatacija elinog nosaa u njegovom te5itu jednaka je dilatacijiarmature u te5itu elinog nosaa)

94


48/65

dyIE

##

yIE

d#dd

FE

$$

FE

d$

FE

d$

b,,bb

btb

b,,bb

bts

bb

btb

bb

bt

)$)$

)$

+

+

++

+

=

0

0

("*)

(dilatacija elinog nosaa u njegovom te5itu jednaka je dilataciji/etona u te5itu elinog nosaa);

bb

bt

)$)$

)$

IE

d$

IE

d$

=

("+)

(o/rtanje elinog nosaa jednako je o/rtanju /etona).

4.6.' P+i!+ o*+!2iv%n-% "+!s!&ni/ si$% s"+!,n#o "+!s!k &!$i&ni nos%& 7"+!*n%"+!,n#% 8!#onsk% "$o&%

cm-

cmI

cmI

cmy

cmA

cmA

cmA

Ti

s

b

bs

s

p

b

1

100

80

>C00

2

2

2

2

2

2

=

=

=

==

=

=

Gaterijal0 4eton @'+E*+; C/R'+&&& G9Em%

a/lovi $'&&E+&&; CpR%&&&& G9Em%

Uelik CsR%&&&& G9Em%

onana mera skupljanja sR%& H&:+

onani koe1icijent teenja WXR',&

$poljanje optere3enje0 GYR:+&&& k9cmPrednaprezanje0 PoR'%&& k9

95

800D1B

200D10

200D10

1


49/65

rese!ne sile u trenutku to

nutranje sile od spoljanjeg optere3enja GY0

0=++= psb $$$$ (")

&bsssbb #y$### =++= ("-)

ss

s

bb

bbb

IE

#

IE

#==

("!)

bb

b

pp

pbb

AE

$

AE

$== ("")

ss

s

bb

bbs

bb

bsbbs

AE

$

AE

$y

IE

#y == (%&&)

$istem jedanina mo5e se napisati u matrinom o/liku0

=

0

0

0

0

0011

1000

1

01

01

0

0110

10101

&

ssbb

bs

bb

ppbb

ssbb

bs

p

s

s

b

b

#

AEIE

y

AE

AEAE

IEIE

y

$

#

$

#

$

(%&)

eenje sistema jednaina je0

k$$k$m#k$$

k$m#k$

p.

s.s.

b.

0>,B88,B7B2,


50/65

k$k$k$$

k$m#

k$k$k$$

k$m#

k$k$k$$

"p

"s

"s

"b

"b

B120082,1>,

B2A200

E,1A

2CC

8,C8

2E>0

+

+

+

=

=

=

=

=

rese!ne sile u trenutku t

Pri/li5ni postupak uzimanjem u o/zir para/oline raspodele promeneunutranjih sila u /etonu zasniva se na0

+=

++

+

bobb

sbobb $AE##$

21

21

2

=

++++ bobpspsbbs ##n$y>

211

kada je0

( )

( )b

spspss

b

pp

s

pps

s

pps

bsb

bb

pspsbbs

b

pp

b

pp

b

ss

b

ss

ppss

ppss

I

Inn

n

A

A

E

En

yA

I

ny

A

A

E

En

A

A

E

En

nn

nn

=++=

==

=+

=

====++

+=

,1

,,,1

1

,,,,1

2

2

k$m#

k$$

k$$

k$m#

k$$

s

s

p

b

b

AB,AE

C,BCB

EB,>8

>,E8B

+=

=

=

=

=

97


51/65

4.& rimena metode kona!nih elemenata'()*+ u analizi spregnutih preseka

radovima (@um/o i 8oli3, %&&) i (@um/o i 8oli3, %&&') analiziranaje mogu3nost primene GC za de1inisanje naponsko de1ormacionog stanja spregnutog preseka elik /eton, usledteenja i skupljanja /etonskog dela preseka i predlo5en numerikipostupak za proraun.

Polo se od injenice da je veza izmeu napona i de1ormacija, uo/lasti linearne teorije teenja, data u integralnomE di1erencijalnom

o/liku i da reavanje tih jednaina u zatvorenom o/liku nije mogu3eak ni za sasvim jednostavne istorije naponaEde1ormacija. Poto seGC zasniva na diskretizaciji konstrukcije na konane elemente(C), time se sistem di1erencijalnih jednaina trans1ormie u sistemalge/arskih jednaina.

Ako je /etonski presek izlo5en dejstvu promenljivog napona, kaokontinualne 1unkcije u intervalu vremena od t' do t, tada se, naosnovu pretpostavke o superpoziciji de1ormacija, za ukupnede1ormacije mo5e napisati0

07)(),()()(0

ttdttt

t

tnc =

(%&%)

kada je n0tde1ormacija /etona u trenutku tnezavisna od napona,npr. skupljanje ili termika de1ormacija.

ako je do sada prikazano, o/lik 1unkcije teenja diktira tanostrezultata prorauna. eenje integralne jednaine (%&%) uzatvorenom o/liku skoro je, nemogu3e z/og ega se koristinumerika integracija. tu svrhu ukupan interval vremena (t-t') delise na podintervale ti&ti-ti-1 0i&12...k), u kojima se sukcesivno

sprovodi proraun. Pri tome se skokovite promene naponao/uhvataju 1iktivnim intervalima (ts&ts-ts-1), ime se posti5egeneralizacija postupka prorauna.

8ormiranjem podintegrala u inkrementalnom vidu i primenom nekihod poznatih postupaka numerike integracije, veza napon:de1ormacija, za /eton mo5e se izraziti u o/liku0

98


52/65

( ) ( )

( )kckk

kckc t

E

tt F

1,

+

=

(%&')

kada je cJ0tkslo/odna de1ormacija /etona data izrazom0

( ) ( )

( )knk

i ik

ickc t

EE

tt

+

=

=

1

1 1,

F

(%&*)

3kk-1 predstavlja generalisani, a 33ki-1 izvedeni modul de1ormacije/etona koji zavisi od primenjenog tipa numerike integracije zausvojenu 1unkciju teenja /etona. Ovi moduli su povezani izrazom0

1,11,1,

111

=

ikikik EEEE(%&+)

Ostale oznake su0

c(tk) : prirataj de1ormacije u teku3em k:tom intervalu vremena,

n(tk) : prirataj de1ormacije skupljanja u teku3em k:tom

intervalu, i

c(ti) : prirataj napona u /etonu u za i:ti interval (i&12Kk-1).

Primenom izraza (%&') teku3i konani intervali vremena o/uhvatajuse punim rekurzivnim izrazom, a u 1iktivnom intervalu odgovaraju3imodul se svodi na modul elastinosti i slo/odne de1ormacije /etonasu tada jednake nuli. Fzrazom (%&*) data je promena slo/odnede1ormacije /etona, u teku3em k-intervalu, od prethodne istorijenapona do posmatranog intervala (/ez uticaja k-tog dela istorijenapona) i sa priratajem de1ormacije skupljanja samo u teku3em k-tom intervalu.

navedenim radovima dat je generalisani o/lik inkrementalne vezeza prednapregnuti elik (P9U) u o/liku0

99


53/65

( ) ( ) ( )111 ,,, += kkprkkppkkp ttttEtt

(%&)

kada je ( )1, kkpr tt promena napona usled relaksacije pripromenljivoj de1ormaciji, odnosno redukovana relaksacija, a zaelini deo spregnutog preseka i nezategnutu : meku armaturu (GA)pretpostavlja se linearna veza napon:de1ormacija prema Jukovomzakonu za sve podintervale vremena0

( ) ( )kffkf tEt = (%&-)

( ) ( )kssks tEt = (%&!)

2a inkrementalni o/lik jednaina, prirataj de1ormacija je linearna1unkcija za sve aktivne delove preseka, pa u optem sluaju va5i0

ykkrkpkskfkck +===== ,,,,, (%&")

kada je0

k: prirataj de1ormacije posmatranog vlakna preseka za teku3iinterval,

rk: prirataj de1ormacije u nivou re1erentne ose (SR&),

k: krivina preseka, i

I: odstojanje posmatranog vlakna od re1erentne ose.

100


54/65

c- be"onf - ceiks- Geka arGa"urap - arG# za prednaprezan%e

f

s

c

p ii01

x

y i2i013i

i01

r4i01 r4i

i

i2i013i

Slika. 4.2*. L ,resek i deormacije S$ 0/um!o i 5oli


55/65

[ ] c4f4s4pmIS

SAD

m

m =

= 7

(%%)

Gatrica krutosti je promenljiva vremenom samo z/og promenegeneralisanog modula de1ormacija /etona 3kk-1, dok su ostalekomponente u svim intervalima vremena konstantne.

Bektori promene 1iktivnih sila usled reolokih karakteristika /etona iP9U su0

[ ]kc

rckk

kc

DE#

$

,

F

F

1,

,

F

F

=

(%')

kpr

pkpS

A

#

$,

,

F

F

=

(%*)

adi izrade uoptenog reenja pogodnog za kori3enje raunara uradovima (@um/o i 8oli3) analiziran je postupak /aziran na GC.Postupak je razraen uz uvoenje pretpostavki0

a analiza se odnosi na linijske C. Popreni presek elementa uoptem sluaju ine /etonski i elini deo, P9U i GA;pretpostavlja se da je ostvareno potpuno sprezanje, tj. da su,u teku3em k:tom intervalu vremena, prirataji de1ormacijasvih delova spregnutog preseka u posmatranoj re1erentnojosi poprenog preseka, meuso/no jednaki, tj.ckRkRskRpkRk.;

! va5i 4ernulijeva pretpostavka o ravnim presecima i linearnapromena dilatacija po visini spregnutog preseka, tj. mo5e sezanemariti uticaj smicanja na de1ormaciju C;

c diskretizacija se sprovodi po du5ini konstruktivnog elementa,a u slojeve po visini poprenog preseka, uz aksijalnedilatacije, uveden je i doprinos krivine, dok je zanemarendoprinos o/rtanja preseka;

d spregnuti elemenat aproksimira se pravolinijskim C u ravniMOI, gde proizvoljna taka u elementu ima tri stepenaslo/ode kretanja0 horizontalno pomeranje u0M, vertikalno

102


56/65

pomeranje v0M i o/rtanje preseka 0MH kada se zanepoznate veliine uzmu vorna pomeranja, linijski elemenatu optem sluaju ima est stepeni slo/ode kretanja, a usvakom voru javlja se po tri nepoznata generalisanapomeranja (u1v11u2v22.

Fnkrementalna veza izmeu komponenata de1ormacije (dilatacija ikrivina) i pomeranja (podu5no i popreno), u takama te5ine ose(I&') posmatranog C, u teku3em k:tom intervalu vremena data jeu transponovanom o/liku0

T

k

T

k dx

x*d

dx

x+d

x

x

=

2

2)()(

)(

)(

(%+)

Preko matrice interpolacionih 1unkcija,

[ ]

=

(

x

(

x$+ 1 (%)

[ ]

+

++=

>

>

2

2

>

>

2

2

>

>

2

2

>

>

2

2

2>22>1

(

x

(

x(

(

x

(

x

(

x

(

x

(

x(

(

x

(

x$*

(%-)

uspostavlja se veza izmeu vektora pomaka unutar C i vektorapomeranja vorova C0

[ ] { }k++k &$x+ = )( (%!)

[ ] { } k**k &$x* = )( (%")

ako se izraz (%+) mo5e napisati u o/liku0

[ ] { }( ) [ ] { }( )T

k

**++

k

&$dx

d&$

dx

d

x

x

=

2

2

)(

)(

(%%&)

103


57/65

Beza izmeu osnovnih de1ormacijskih veliina : i proizvoljnihtaaka i vektora vornih pomeranja {D:}za te5inu osu :mo5e senapisati u o/liku0

[ ] { } kTTk

T &B =

(%%)

kada matrica [=:]ima slede3e koe1icijente0

[ ]

T

T

(

x

((

x

((

x

((

x

(

((B

+

=

2>22>2

2120

8120

001

001

(%%%)

skladu sa usvojenom pretpostavkom o ravnim presecima, tj.linearnosti raspodele de1ormacija po visini poprenog preseka,dilatacija u proizvoljnoj taki preseka 0MI, odreuje se iz0

( ) [ ] [ ]k

T

k

TkTk "yy

=

=+=

1 (%%')

kljuuju3i jednaine (%%) u (%%'), dilatacija u proizvoljnoj takipreseka ima o/lik0

[ ] [ ] { } [ ] { } kTkTTk &5&B" == (%%*)

kada je matrica [N] za dilataciju proizvoljne take ima slede3ekoe1icijente0

[ ]

+

= y

(

x

(y

(

x

((y

(

x

(y

(

x

((5

2222

21218121

(%%+)

z uva5avanje izraza (%&") i (%%*) za pomeranje vornih taakate5ine ose va5i 0

{ } { } { } { } { }kTkpTksTkfTkcT &&&&& ==== ,,,,(%%)

104


58/65

klju3uju3i izraze (%%*) u izraz (%&') i imaju3i u vidu gornju jednakostpomeranja inkrementalni o/lik veze izmeu napona i vornihpomeranja /etonskog dela preseka mo5e se napisati u o/liku0

[ ] { }( kcTkTkkkc &&5E ,F1,, = (%%-)

kada je veza slo/odnih de1ormacija i slo/odnih pomeranja o/lika0

[ ] ( kcTkc

&5,

FF, = (%%!)

9a slian nain su napisane inkrementalne veze i za ostale delovespregnutog elementa0

[ ] { }kTfkf &5E = ,

(%%")

[ ] { } kTsks &5E = ,

(%'&)

[ ] { } kprkTpkp &5E ,, +=

(%')

Polaze3i od teorijske osnove na kojoj se zasniva GC (princip ominimumu energije pri varijaciji pomeranja), do/ijen je generalisaniuslov ravnote5e linijskog spregnutog C u lokalnom koordinatnomsistemu u o/liku0

[ ] { } } } { } kkpkckTk 666&K =++ ,F,F

(%'%)

?ednaina (%'%) predstavlja u stvari sistem alge/arskih jednaina,gde su pored elastinih karakteristika materijala uvedena i reolokasvojstva /etona i P9U.

Gatrica krutosti spregnutog C [ ]kK je0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ++= ffT

ckk

T

k d5E5d5E5K

fc

1,

105


59/65

[ ] [ ] [ ] [ ] ppT

ss

T

d5E5d5E5

ps

++

(%'')

odnosno,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] kpkskfkck KKKKK ,,,, +++= (%'*)

oe1icijenti matrice krutosti za pojedine delove preseka spregnutogC nakon integracije do/ijaju o/lik0

[ ]

=

2

22

22

2222

,

8

12

0

208

12012

00

(I

(II

(S(A

(I(I(I

(II(II

(S(A(S(A

(

EK

m

mm

mm

mmm

mmmm

mmmm

mkm

(%'+)

gde indeks mzamenjuje indekse csip.Bektor vornih sila od spoljanjeg optere3enja, u transponovanomo/liku (z/og lakeg prikaza), je0

{ } { } == Tkk

#T$#T$6 222111

[ ] { } [ ] { } [ ] { } dAdp$p$d$A

k

k

k

T

k

T

k

T

++=

1

(%')

dok je vektor vornih 1iktivnih sila /etonskog dela preseka i vektor

prirataja 1iktivnih sila usled relaksacije P9U0

106


60/65

{ } { } [ ] { } kcTkc

T

kckc &K#T$#T$6

,F

,,F2

F2

F2

F1

F1

F1,

F ==

(%'-)

{ } [ ] pkprT

kp d56

p

,,F =

(%'!)

Direktno odreivanje 1iktivnih sila primenom desnog dela jednaine(%'-), za usvojeni model C, zahteva prethodno odreivanje vektoraslo/odnih pomeranja vornih taaka {D:J}ck, to se mo5e de1inisati

izrazom0

{ } [ ] { } [ ] [ ] { } === ckcTkkT

kcTkckc d&5E5&K6

c

,F

1,,F

,,F

[ ] [ ] ckc

Tkk

T

d"E5

c ,

F

F

1,

=

(%'")

Ako se uspostavi linearna veza izmeu slo/odnih de1ormacija u poljuelementa i odgovaraju3ih vrednosti na krajevima tapa0

(

x

kc

T

kc

T

kc

T

kc

T

+

=

,

F1

F

1

,

F2

F

2

,

F1

F

1

,

F

F

(%*&)

ukljuuju3i izraz (%*&) u jednainu (%'") i njenom integracijom,odreuju se komponente vornih 1iktivnih sila, tj.0

107


61/65

{ }

kc

T

T

kc

kk

kc

kc

IS(

I

(

S

(

I

(

S

SASAIS

(

I

(

S

(

I

(

S

SASA

E

#

T

$

#

T

$

6

,

F2

F2

F1

F1

,

1,

,

F2

F2

F2

F1

F1

F1

,F

00

2222

00

2222

=

=

(%*)

Fsto tako se izraz (%'!) trans1ormie u o/lik0

{ } kprpr

kp

kp

kp

S(

S

(

S

AA

S(

S

(

S

AA

#

T

$

#

T

$

6

=

= 2

1

,

,

F

2

F

2

F2

F

1

F

1

F

1

,

F

0

22

0

22

(%*%)

2a postavljanje jednaina ravnote5e konstrukcije (sistema)neophodno je matricu krutosti i vektore sila, za svaki C,trans1ormisati iz lokalnog u glo/alni koordinatni sistem pomo3umatrice trans1ormacije0

108


62/65

[ ]

=

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

kT

(%*')

rans1ormisani o/lik nekog proizvoljnog vektora {u} i matrice [6] iz

lokalnog u glo/alni koordinatni sistem je0{ } [ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ]T7T7+T+ TT == 7(%**)

?ednaina ravnote5e viskoelastinog C u glo/alnom sistemu, posletrans1ormacije, je0

[ ] { } { } { } { } kpkckkTk 666&K ,F,F =(%*+)

Postavljanjem koe1icijenata matrice krutosti i vektora sila C na

odgovaraju3e pozicije u matrici krutosti i sa vektorima sila sistema,1ormira se generalisana jednaina ravnote5e sistema0

{ } { } { } { } kpkckkTk 666&K ,F,F ===== =

(%*)

Prethodnom jednainom o/uhva3ena su elastina i viskoelastinasvojstva spregnutih materijala. 2a k:ti interval vremena konanedu5ine, vektor k6

= predstavlja uticaje koji se tokom intervala

kontinualno menjaju. koliko ova promena ne postoji, to je naje3isluaj u praksi, nema pomenutih uticaja, tako da u tom sluaju u

vorovima deluju samo 1iktivne sile kc6

,

F=

i kp6

,

F=

. adageneralisani o/lik osnovne jednaine sistema prelazi u jednainu zaviskoelastine materijale0

{ } { } { } kpkckTk 66&K ,F

,F ==== = (%*-)

Pri sraunavanju komponenata vektora 1iktivnih sila usled teenja iskupljanja /etona i relaksacije P9U, primenom izraza (%*) i (%*%),

109


63/65

unosi se greka z/og osrednjavanja normalnih sila za opti sluajslo5enog savijanja. Ova greka je manja za 1iniju podelukonstrukcije, a rezultati za potre/e in5enjerske prakse suzadovoljavaju3i. stvari, nu5no je da se postigne da dijagram1iktivnih aksijalnih sila, u o/liku stepenaste poligonalne linije (/eznagi/a), /ude ekvivalentan stvarnom dijagramu u o/liku nagnutelinije.

eenjem sistema alge/arskih jednaina (%*) odreuje se vektorvornih pomeranja za teku3i interval vremena. Prethodno jepotre/no uvesti granine uslove po pomeranjima iEili silama i

eliminisati poznate uslove, jer je matrica krutosti singularna.omponentalne de1ormacija posmatranog C mogu se odreditinakon izdvajanja vektora pomeranja za njegove vorne take. Ovapomeranja tre/a dalje trans1ormisati iz glo/alnog u lokalnikoordinatni sistem0

{ } [ ] { } kTkT &T& = (%*!)

Parametri promene de1ormacija C se izraunavaju primenomizraza (%%).

Fzraunati parametri promene de1ormacija u poprenom preseku

spregnutog C, u skladu sa pretpostavkom o jednakosti de1ormacija,va5e za sve delove preseka. Geutim, naponi se moraju odreivatipose/no za svaki deo preseka pri emu se koriste inkrementalnio/lici veze napon : de1ormacija za pojedine materijale.

radovima (Amadeo i 8ragiacomo ""-) i (8ragiacomo et al., %&&*)dat je pojednostavljeni postupak odreivanja de1ormacionog inaponskog stanja spregnutog preseka primenom AACG metode inumeriki iterativni postupak kojim se opisuje nelinearno ponaanjepojedinih komponenti spregnutog preseka kori3enjem metodemodi1ikovane sekantne krutosti (Godi1ied secant sti11ness method).Prema slici *.%", konstitutivna jednaina je 1ormulisana uinkrementalnom o/liku0

ikikikik

3 ,,, , = (%*")

kada su0

=,

=,,

Oik

Oikik3

=

(%+&)

110


64/65

kkk

ikikikikik

:scik

pe

=

+==

,

,,,,,

(%+)

Esk,i

4

O@

k:k,i:

k

o=

k,i

Ek,i

o=k: k,i: k

Slika. 4.2+ L 8etoda modiikovane sekantne krutosti 05ragiacomo et al.2''4

Dati postupak je jedan od naina modeliranja plasti1ikacije materijala.

radu (2ona et al., %&&+) je diskertizacija spregnutog presekakonanim elementima kori3ena za analizu spregnutih greda elik:/eton sa de1orma/ilnom smiu3om vezom. Polazi se od uslovaravnote5e u konstrukciji optere3enoj kvazi:statikim optere3enjem,1ormulisanog u vektorskom o/liku0

),()),,(( t5tuR = (%+%)

kada je0t: vremenski inkrement,: skalarni parametar (varija/la materijala ili optere3enja),u vektor pomeranja vorova,, vektor unutranjih sila,- vektor kvazi:statikog optere3enja.

eenje unE1jednaine (%+%) u inkrementu vremena tnE1 mo5e seodrediti 9jutn:apsonovim (9eIton:aphson) iterativnim postupkomkoji se sastoji od reavanja sistema linearnih jednaina sve dok sene ostvari ravnote5a unutranjih sila i optere3enja sa prihvatljivimodstupanjem.

111


65/65

z pretpostavku da je unE1 konvergentno reenje, jednainaodgovora MkonstrukcijaN data je u o/liku0

)),(()(

+

= ++++nu

nnn

n

stat

:

uR

d

d5

d

du9

(%+')

kada je 9:statmatrica krutosti.

Drugi deo izraza na desnoj strani predstavlja parcijalni izvod(derivaciju) vektora unutranjih sila ,0unE1 u odnosu na pod

uslovom da je vektor pomeranja unE1 nepromenljiv (uslovnaderivacija), i dat je u o/liku0

=

+

+

++

=

+

)(

)),(()),(( )( )(

en

n

D

en

en

$el

eu

n DO"uR

(%+*)

kada je0$el

e"

=: matrica trans1ormator iz lokalnog koordinatnog sistema

elementa u glo/alni koordinatni sistem konstrukcije;$el /roj konanih elemenata modela konstrukcije;

'e+

n/1 vektor unutranjih sila elementa;0'e+n/1 vektor pomeranja vorova elementa u lokalnomkoordinatnom sistemu.

8ormulisanjem desnog dela jednaine (%+') mo5e se de1inisati

vektor prirasta pomeranja vorovad

dun + ime je reen pro/lem

de1inisanja naponskog stanja pojedinih komponenti spregnutogpreseka. radu (2ona et al., %&&+) je numerikim primeromtestirana tanost postupka.

radu (Gilii3 i dr., %&&!) sprovedena je eksperimentalno teorijska

analiza na konkretnom primeru spregnute tavanice, gde su zamodeliranje tavanice kori3eni programski paketi razvijeni primenommetode konanih elemenata. 9a osnovu rezultata sprovedeneanalize date su preporuke za in5enjersku praksu projektovanjaspregnutih tavanica.

112

Documents

Dio knjige Spregnute konstrukcije čelik-beton