Diplomska naloga – Kristjan Krebelj: RIGID BODY SYSTEM DYNAMICS USING POISSON’S IMPACT LAW WITH FRICTION BY THE AUGMENTED LAGRANGIAN METHOD

UNIVERZA V LJUBLJANI

Fakulteta za strojnistvo

DINAMIKA SISTEMA TOGIH TELES Z UPORABO

POISSONOVEGA ZAKONA TRKA S TRENJEM V OKVIRU

RAZSIRJENE LAGRANGEEVE METODE

DIPLOMSKA NALOGA UNIVERZITETNEGA STUDIJA

Kristjan KREBELJ

Mentor: prof. dr. Miha BOLTEZAR, univ. dipl. inz.

Somentor: doc. dr. Janko SLAVIC, univ. dipl. inz.

Ljubljana, avgust 2011

Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Mihi Boltezarju in somentorju doc. dr. Janku Slavicu za

podporo, ki sta mi jo nudila. Doc. dr. Slavicu bi se zelel se posebej zahvaliti za cas, ki ga

je posvetil branju mojega dela, in konstruktivne kritike, s katerimi mi je pomagal do boljse

izobrazbe.

Kristjan Krebelj

I

Avtorske pravice:

1. Kristjan Krebelj

2. prof. dr. Miha Boltezar

3. doc. dr. Janko Slavic

Kopiranje in vsakrsen drug nacin razmnozevanja v celoti ali posameznih delov ni dovoljenobrez predhodnega pisnega dovoljenja nosilcev te pravice.

II

Tek. stev.: U 5973 UDK 531-3:519.6(043.2)

DINAMIKA SISTEMA TOGIH TELES Z UPORABO POISSONOVEGA ZAKONA TRKA S TRE-NJEM V OKVIRU RAZSIRJENE LAGRANGEEVE METODE

Kristjan Krebelj

Kljucne besede:

• dinamika sistema togih teles

• metoda casovnega koraka

• kontaktni problem

• konveksna analiza

• razsirjena Lagrangeeva metoda

• Poissonov zakon trka

• Eulerjevi parametri

Izvlecek:

Predstavljene so osnove negladke dinamike sistema togih teles, gladka faza integracije po metodi kon-taktnih dogodkov in naveden je Moreaujev algoritem. Zapisana je izpeljava razsirjenega Lagrangeevegapristopa k resevanju kontaktnega problema. Naveden je Poissonov zakon socasnega trka in uporabljenje v Moreaujevem algoritmu. Preizkusena sta razsirjeni Lagrangeev pristop in uporaba Poissonovega za-kona trka. Pojasnjen in preizkusen je pristop k simulaciji negladke prostorske dinamike s parametrizacijoorientacije teles z Eulerjevimi parametri.

III

No.: U 5973 UDC 531-3:519.6(043.2)

RIGID BODY SYSTEM DYNAMICS USING POISSON’S IMPACT LAW WITH FRICTION BY THEAUGMENTED LAGRANGIAN METHOD

Kristjan Krebelj

Key words:

• rigid body system dynamics

• time-stepping method

• contact problem

• convex analysis

• augmented Lagrangian method

• Poisson’s impact law

• Euler’s parameters

Abstract:

Presented are basics of non-smooth rigid body system dynamics, smooth phase of integration by anevent-driven method and Moreau’s algorithm. A derivation of the augmented Lagrangian approachto solving a contact problem is stated. Poisson’s impact law is reviewed and used within Moreau’salgorithm. Augmented Lagrangian approach and use of Poisson’s impact law are researched. An approachto the spatial non-smooth dynamics which parametrizes bodies’ orientation using Euler’s parameters isresearched.

Kazalo vsebine

Kazalo slik VIII

Kazalo tabel X

Kazalo algoritmov XI

Seznam pogosteje rabljenih oznak XII

1 Uvod 1

1.1 Motivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Problematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Pregled teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Struktura diplomske naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Poglavja teorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Poglavja primerov uporabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.3 Dodatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Matematicna izhodisca RL-pristopa 5

2.1 Generalizirani odvod zvezne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Vektorska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Skalarna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Subdiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Definicije iz konveksne analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Razsirjena Lagrangeeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Razsirjena Lagrangeeva funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2 Modificirana Newtonova metoda optimizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Osnove popisa negladke dinamike 11

3.1 Gibalne enacbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Togo telo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2 Sistem togih teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Kinematika kontakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IV

KAZALO VSEBINE V

3.2.1 Kinematika poljubnega delca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.2 Alternativna obravnava kinematike kontakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Posplosena kontaktna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Matricni zapis gibalne enacbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Kontaktni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1 Normalni kontaktni zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.2 Tangencialni kontaktni zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.3 Kinematski nivoji kontaktnih zakonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Integracijske metode 20

4.1 Metoda kontaktnih dogodkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 Gladka faza integracije ravninskega dinamskega sistema s trenjem . . . . . . . . . 21

4.2 Metoda casovnega koraka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1 Prehod na nivo impulzi – hitrosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.2 Implikacije enakosti mer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Moreaujev algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Diskretizacija za Moreaujev algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.2 Potek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.3 Kontaktni problem kot LCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Razsirjeni Lagrangeev pristop 28

5.1 Reformulacija kontaktnih zakonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Normalni kontaktni zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.2 Tangencialni kontaktni zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.3 Zapis za vec kontaktov hkrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Razsirjena Lagrangeeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2.1 Uvedba problema optimizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.2 Obicajna Lagrangeeva funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.3 Uvedba razsirjene Lagrangeeve funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.4 Kvazi RL-funkcija za zdruzeni kontaktni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Dolocitev sedla RL-funkcije po modificirani Newtonovi metodi . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3.1 Iteracija optimizacije za nezdruzeni kontaktni problem . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3.2 Dolocitev iteracije za zdruzeni kontaktni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.3 Konvergenca modificirane Newtonove metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.4 Kriterij zakljucitve algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

KAZALO VSEBINE VI

6 Poissonov zakon trka 39

6.1 Newtonov in Poissonov zakon trka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2 Poissonov zakon trka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.1 Faza kompresije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.2 Faza ekspanzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3 Vkljucitev Poissonovega zakona o trku v kontaktni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3.1 Postopek obravnave Poissonovega trka, primeren za metodo kontaktnih dogodkov 44

6.3.2 Prilagoditev postopka obravnave Poissonovega trka metodi casovnega koraka . . . 45

7 Prostorska dinamika 47

7.1 Parametrizacija zasuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2 Eulerjevi parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2.1 Zveze med kotno hitrostjo in odvodom Eulerjevih parametrov . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Posplosene koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3.1 Zveza med posploseno hitrostjo in parametrizacijo lege . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4 Gibalna enacba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4.1 Kontaktna hitrost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Primer uporabe: Zdruzeni kontaktni problem 55

8.1 Dinamski sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.1.1 Dolocitev nastopajocih dinamskih velicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.2 Plasticni trk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.2.1 Analiticno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.2.2 Numericno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.3 Drsenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.3.1 Analiticno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.3.2 Numericno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9 Primer uporabe: Vkljucitev Poissonovega zakona o trku 63

9.1 Formulacija algoritma za resevanje kontaktnega problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.1.1 Funkcije najblizje tocke, ki upostevajo Poissonov zakon trka . . . . . . . . . . . . . 63

9.1.2 Algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.2 Idealno elasticni trk v normalni in tangencialni smeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.2.1 Analiticno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.2.2 Numericno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.3 Odbijanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.3.1 Algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.3.2 Vhodni podatki in rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3.3 Interpretacija rezultatov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

KAZALO VSEBINE VII

10 Primer uporabe: Ravninska telesa 70

10.1 Dolocitev velicin modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.1.1 Kontakt z nepomicnim telesom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.1.2 Kontakt dveh kroglic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.2 Preizkus modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.2.1 Trk kroglice s steno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.2.2 Trk para kroglic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.3 Simulacija granularnega toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.3.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.3.2 Velicine gibalne enacbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.3.3 Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11 Primer uporabe: Trcna dinamika v prostoru 78

11.1 Preizkus prostorskega trka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.1.1 Trk s steno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.1.2 Trk dveh teles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.2 Prostorski trk para kroglic v posodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

12 Zakljucek 86

Literatura in viri 88

A Dodatek i

A.1 Daljsa izvajanja enacb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

A.1.1 Upostevanje omejitvenih vkljuckov pri optimizaciji RL-funkcije . . . . . . . . . . . i

A.1.2 Dolocitev iteracije za nezdruzeni kontaktni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

A.2 Obseznejsi numericno pridobljeni rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

A.2.1 Nekateri diagrami simulacije drsenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

A.2.2 Nekateri diagrami in izracuni simulacije odbijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

A.2.3 Simulacija granularnega toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

A.3 Matematicna orodja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

A.3.1 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

A.3.2 Odvod in gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

A.3.3 Osnovna Newtonova metoda optimizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

A.3.4 Linearni komplementarni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

Kazalo slik

2.1 Normalni stozec v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Sistem dveh strogo konveksnih teles v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Graficni prikaz normalnega kontaktnega zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Coulombov zakon trenja v ravninski dinamiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Coulombov zakon trenja v prostorski dinamiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Kontaktna zakona kot zveza med kinematiko in impulzom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Razpolovljen casovni korak na casovni premici in velicine ob razlicnih casih . . . . . . . . 26

5.1 Normalni kontaktni zakon in tangencialni kontaktni zakon kot vkljucka . . . . . . . . . . 29

6.1 Normalni in tangencialni zakon ekspanzije po modificiranem Poissonovem zakonu . . . . . 42

6.2 Mnozica dopustnih tangencialnih ekspanzijskih impulzov v tangentni ravnini . . . . . . . 43

7.1 Rotacija telesa glede na Eulerjeve kote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2 Zasuk vektorja s′ okrog osi c za kot φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.1 Plasticni trk masne tocke ob steno z upostevanjem Coulombovega trenja . . . . . . . . . . 55

8.2 Analiza plasticnega trka, pri katerem nastopa trenje po Coulombovem zakonu . . . . . . . 57

8.3 Vrednost impulzov ΛkN in Λk

T glede na stevec iteracije k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.4 Drsenje masne tocke po podlagi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.5 Trajektorija gibanja masne tocke v ravnini x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.6 Stevilo iteracij modificirane Newtonove metode v odvisnosti od casa . . . . . . . . . . . . 62

9.1 Vrednost impulzov ΛkNC in Λk

TC glede na stevec iteracije k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.2 Trajektorija v okolici polozajev odbojev odbijajoce se masne tocke . . . . . . . . . . . . . 69

10.1 Ravninski model kroglice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.2 Kroglica med dvema stenama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.3 Trajektorija tezisca za elasticni in plasticni tangencialni trk . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.4 Elasticni normalni in tangencialni trk para kroglic v ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.5 Model posode, v kateri tece granularni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VIII

KAZALO SLIK IX

10.6 Kinet., meh. in poten. energija v casu za realni in primerjalni dinamski sistem . . . . . . . 76

10.7 Odvod potencialne energije po casu za realni in primerjalni dinamski sistem . . . . . . . . 77

11.1 Model kroglice, na katerem preizkusimo trk s steno v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.2 Trajektorija tezisca kroglice v prostoru za elasticni in plasticni tangencialni trk . . . . . . 80

11.3 Par kroglic in vektorji, ki popisujejo njun kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.4 Zasuk zacetnih pogojev trka dveh kroglic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.5 Trajektorija elasticnega normalnega in tangencialnega trka dveh krogel v prostoru . . . . 82

11.6 Idealno elasticni normalni in tangencialni trk krogel v polkrogelni posodi . . . . . . . . . . 84

11.7 Delno elasticni normalni in tangencialni trk krogel v polkrogelni posodi . . . . . . . . . . 84

11.8 Kinet., meh. in poten. energija para krogel v posodi za elasticni in delno elasticni trk . . . 85

A.1 Pomik in hitrost drsece masne tocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

A.2 Pomik in hitrost drsece masne tocke v okolici casa zaustavitve . . . . . . . . . . . . . . . . iv

A.3 Casovni potek impulzov pri drsenju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

A.4 Posplosene koordinate v odvisnosti od casa in trajektorija gibanja pri odbijanju . . . . . . v

A.5 Normalni in tangencialni kompresijski impulzi pri odbijanju . . . . . . . . . . . . . . . . . v

A.6 Normalni in tangencialni ekspanzijski impulzi pri odbijanju . . . . . . . . . . . . . . . . . v

A.7 Prikaz granularnega toka za dva primera kontaktnih parametrov ob treh casih . . . . . . vii

Kazalo tabel

8.1 Vrednosti mehanskih velicin, izbrane za elementarni dinamski sistem . . . . . . . . . . . . 56

8.2 Resitve primera drsenja po analiticni metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.3 Parametri simulacije drsenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.1 Lastnosti dinamskega sistema, izbrane za elasticni trk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2 Parametri simulacije odbijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.1 Vhodni podatki za simulacijo trka kroglice s stenama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.2 Vhodni podatki za simulacijo trka para kroglic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.3 Parametri modela posode granularnega toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.1 Rezultati simulacije odbijanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

X

Kazalo algoritmov

8.1 Modificirana Newtonova metoda za dolocitev sedla RL-funkcije za plasticni trk s trenjem 58

8.2 Metoda casovnega koraka, ki vkljucuje RL-metodo za resevanje kontaktnega problema . . 60

9.1 RL-metoda, ki v kontaktnem problemu uposteva trk po Poissonovem zakonu . . . . . . . 64

9.2 Metoda casovnega koraka, ki vkljucuje RL-metodo s Poissonovim zakonom trka . . . . . . 67

XI

Seznam pogosteje rabljenih oznak

Dinamske velicineOznaka Pomen EnotaE Energija (kineticna Ek, mehanska Em, gravitacijska potencialna Ep). Jg Gravitacijski pospesek. m/s2

h Vektor aktivnih, pasivnih in ziroskopskih posplosenih sil. N, N mm Masa. kgM Masna matrika. kg, kg m2

IS Tenzor vztrajnostnih momentov glede na tezisce S v globalnem koor-dinatnem sistemu.

kg m2

q Vektor posplosenih koordinat ali parametrov lege. m, rad, 1r Krajevni vektor (rSA popisuje polozaj tocke A glede na tezisce S). mp Vektor Eulerjevih parametrov. 1u Vektor posplosenih hitrosti. m/s, rad/sω Kotna hitrost v globalnem koordinatnem sistemu. rad/sω′ Kotna hitrost v lokalnem koordinatnem sistemu. rad/sei Eulerjev parameter (i ∈ {1,2,3,4}). 1gN Razdalja med kontaktnima povrsinama. mgT Relativni tangencialni pomik med kontaktnima povrsinama. mQ Posplosena kontaktna sila. N, N mwN Smer normalne posplosene sile. 1, m/radwT Smer tangencialne posplosene sile. 1, m/radWN Matrika smeri normalnih posplosenih sil. 1, m/radWT Matrika smeri tangencialnih posplosenih sil. 1, m/radIC Mnozica indeksov vseh moznih kontaktov. 1IN Mnozica indeksov zaprtih kontaktov. 1

nN Stevilo vseh zaprtih kontaktov. 1CN = CNC Obmocje dopustnih normalnih impulzov, ki sovpada z obmocjem kom-

presijskih normalnih impulzov.N s

CT = CTC Obmocje dopustnih tangencialnih impulzov, ki sovpada z obmocjemkompresijskih tangencialnih impulzov.

N s

CNE Obmocje dopustnih normalnih impulzov med fazo ekspanzije. N sCTE Obmocje dopustnih tangencialnih impulzov med fazo ekspanzije. N sεN Koeficient restitucije za normalno smer. 1εT Koeficient restitucije za tangencialno smer. 1µ Koeficient Coulombovega trenja. 1ν Dodatni parameter trka za tangencialno smer. 1λN Velikost normalne kontaktne sile. NλT Velikost tangencialne kontaktne sile. NΛN Velikost normalnega impulza sile. N sΛT Velikost tangencialnega impulza sile. N s

XII

Velicine simulacijeKrajsava Pomen Enotar Parameter RL-funkcije (vpliva na hitrost konvergence). kgts Trajanje simulacije. s∆t Trajanje casovnega koraka. sk Iteracija casovnega koraka. 1∆q Sprememba posplosenih hitrosti. m/s, rad/sqA Lega sistema na zacetku casovnega koraka. m, rad, 1qM Lega sistema na sredini casovnega koraka. m, rad, 1qE Lega sistema na koncu casovnega koraka. m, rad, 1qA Hitrost sistema na zacetku casovnega koraka. m/s, rad/s, 1/sqE Hitrost sistema na koncu casovnega koraka. m/s, rad/s, 1/sα Skalirni faktor parametra RL-funkcije r. kgβ Skalirni gibalne kolicine masne tocke. 1δ Merilo odstopka resitve kontaktnega problema. N s

Velicine, funkcije in oznake, uvedene pri razsirjenem Lagrangeevem pristopuOznaka PomenLRN Razsirjena Lagrangeeva funkcija (RL-funkcija) nezdruzenega kontaktnega pro-

blema.LR RL-funkcija zdruzenega kontaktnega problema.coC Konveksna lupina obmocja C.f∗(x) Konjugacija funkcije f(x).NC(x) Normalni stozec na obmocje C v tocki x.ΨC(x) Indikatorska funkcija obmocja C v x.Ψ∗

C(x) Podporna funkcija obmocja C v x.proxC(x) Funkcija najblizje tocke obmocja C tocki x.distC(x) Oddaljenost obmocja C od tocke x.∂f(x) Generalizirani odvod funkcije f : R

n → Rm.

∂xf(x,y) Parcialni generalizirani odvod funkcije f : Rn → R

m po vektorju x.∂f(x) Subdiferencial funkcije (ali generalizirani odvod skalarne funkcije) f : R

n → R.Z(∆q) Potencialna funkcija diferencne gibalne enacbe po Gaussovem nacelu.

Velicine, funkcije in oznake iz matematikeOznaka PomenE Enotska matrika.0 Matrika ali vektor nicel.A Rotacijska matrika.L Matrika zveze med odvodom Eulerjevih parametrov p in kotno hitrostjo ω′.G Matrika zveze med odvodom Eulerjevih parametrov p in kotno hitrostjo ω.n Normalni vektor usmerjen v povrsino.t Tangentni vektor (v prostorski dinamiki: tu in tv).∇f(x) Gradient funkcije f : R

n → Rm.

∇xf(x,y) Parcialni gradient funkcije f : Rn → R

m po x.‖ · ‖ Evklidova norma argumenta (vektorja ali matrike).sup C Supremum – najnizja zgornja meja obmocja ali mnozice C.argmin f(x) Vrednost x, ki minimizira skalarno polje f .ηmin(M) Najmanjsa lastna vrednost matrike M .robC Rob obmocja C.x ↑ y Skalar x se priblizuje ali limitira proti y, ob tem, da velja x < y.x ↓ y Skalar x se priblizuje ali limitira proti y, ob tem, da velja x > y.col{xi} Vektor – stolpec s komponentami xi.mat{xi} Matrika, ki jo sestavljajo vektorji – stolpci xi.diag{Xi} Matrika, ki ima po diagonali razporejene skalarje ali kvadratne matrike Xi.

XIII

KrajsaveKrajsava PomenRL-funkcija Razsirjena Lagrangeeva funkcija. Lagrangeeva funkcija z dodatnim clenom.RL-metoda Razsirjena Lagrangeeva metoda. Metoda optimizacije, ki formulira razsirjeno

Lagrangeevo funkcijo.RL-pristop Razsirjeni Lagrangeev pristop. Pristop v negladki dinamiki, k resevanju kontak-

tnega problema po razsirjeni Lagrangeevi metodi.LCP Linearni komplementarni problem. Linearna matricna enacba za katero veljajo

komplementarni pogoji.LCP-pristop Pristop negladke dinamike, k resevanju kontaktnega problema s formulacijo LCP.

XIV

Poglavje 1

Uvod

1.1 Motivacija

Gibanje makroskopskih teles je pogosto le malo odvisno od njihove deformacije, kar v dinamiki omogociuvedbo predpostavke, da so ta telesa toga. Predpostavka prihrani obilo racunske moci, zaradi cesar jelahko simulacija dinamike sistema togih teles za druzbo koristna na mnogih podrocjih. Nastejmo nekajpodrocij uporabe.

Tehnika stremi k izboljsanju naprav in s simulacijo njihovega delovanja lahko napoveduje njihovo obra-tovalno dobo, hrupnost in funkcionalnost na splosno. Izdelujejo se tudi simulatorji, ki omogocajo varnourjenje pilotov, kirurgov, sportnikov itd. Avtonomni roboti, za katere se upa, da bodo nadomestili ljudipri nevarnih in napornih opravilih, bodo morali imeti vgrajen »obcutek« za gibanje lastnega telesa inokolja. Simulacija dinamike sistema togih teles pa je postala nepogresljiva tudi za zabavno tehniko, kotso videoigre in posebni ucinki v filmski industriji.

Svet, kakrsnega poznamo, selimo v virtualno okolje iz razlicnih razlogov. To nam omogoca teorija dina-mike sistema togih teles. Zelja je, da bi bile simulacije enako natancne in vizualno prepricljive, tudi komed telesi na mnogih mestih socasno nastopata trk in trenje, ki sta v naravi vseskozi prisotna. To pazahteva razumevanje teorije negladke dinamike.

1.2 Problematika

Analiticna mehanika popisuje dinamiko sistema togih teles, ki so lahko povezana z dvostranskimi kon-takti, med katere stejemo npr. zglobe, lezaje ipd., ne zadostuje pa pri obravnavi dinamskega sistema zenostranskimi kontakti, kot so dotik povrsin, trenje ipd. Vsak enostranski kontakt lahko drsi ali lepi, seodpre ali zapre, kar je odvisno tudi od drugih kontaktov sistema. Ker kontakti drug na drugega vpli-vajo, simulacija naleti na kombinatorni problem dolocitve stanja kontaktov, in dokler stanje kontaktovni znano, ni mogoce izracunati kontaktnih sil in nadaljevati simulacije. To je se nekoliko zahtevneje vprostorski dinamiki, ker je v ravninski dinamiki smer delovanja sile trenja omejena na tangentno premico,v prostorski dinamiki pa na tangentno ravnino.

Ob ravninski dinamiki bo predstavljena metoda obravnave kontakta togih teles, ki omogoca simulacijodinamike sistema togih teles v prostoru na podoben nacin kakor za ravninsko dinamiko. Upostevanabo tudi moznost trka, ki ni nujno plasticen. Na koncu bo uvedena se prostorska dinamika, ki zahtevaobravnavo prostorske orientacije telesa. Teorija bo preverjena in prikazana na primerih uporabe.

1.2.1 Pregled teorije

Po analiticni mehaniki je mogoce za dinamski sistem z dvostranskimi kontakti formulirati gibalno enacbo– sistem diferencialnih enacb. Resitev je vektor posplosenih koordinat kot funkcija casa, ki ga lahko

1

POGLAVJE 1. UVOD 2

aproksimativno dolocimo z uporabo obicajnih integracijskih metod (Eulerjeve metode, metode Runge-Kutta ipd.). Ko pa zelimo vkljuciti tudi enostranske kontakte, se izkaze, da ni vec mogoce zapisatisamo enega sistema diferencialnih enacb, ki bi dolocal resitev, in treba je izbrati prilagojene integracijskemetode.

Predstavljeni bosta dve skupini integracijskih metod za negladke dinamske sisteme. Temeljna skupinaso metode kontaktnih dogodkov (angl. event-driven methods), ki so dosledne do negladkosti resitve, kernegladkost eksplicitno razresijo. Predstavljena bo samo integracija gladke faze resitve po metodi kon-taktnih dogodkov, ki jo opisujeta Glocker in Pfeiffer [1], algoritem pa ne bo podrobneje pojasnjen, kerje pozornost te diplomske naloge usmerjena v pristop po metodah casovnega koraka (angl. time-steppingmethods). Te so robustnejse in preprostejse, zaradi cesar so pa manj natancne [2]. Po teh metodahdiferencialno gibalno enacbo zamenjamo z enakostjo mer, ki jo diskretiziramo po casu in tako pridobimodiferencno gibalno enacbo [2, 3, 4]. V tem delu bo integracija izvedena po metodi casovnega koraka,Moreaujevem algoritmu.

Ko se kontakti odpirajo/zapirajo, se spreminja stevilo prostostnih stopenj dinamskega sistema, ki dolocaminimalno stevilo posplosenih koordinat. Izkaze se, da spreminjati nabor posplosenih koordinat ni takoprakticno kakor ohranjati nespremenjen nabor posplosenih koordinat in v gibalno enacbo vkljucevatiposplosene kontaktne sile. Z namenom dolocanja in vkljucevanja posplosenih kontaktnih sil bo dolocenakinematika kontakta v odvisnosti od posplosenih koordinat – zasledujemo lahko relativno kinematikokontaktnih povrsin – in predstavljeni bodo kontaktni zakoni, ki so zveza med kontaktno silo in kinematikokontakta. Zapisana bo posplosena kontaktna sila, ki jo nato lahko vkljucimo v gibalno enacbo.

Kot primera kontaktnih zakonov bosta navedena:

• normalni kontaktni zakon, imenovan tudi Signorinijev zakon oz. komplementarni pogoj, in

• tangencialni kontaktni zakon, in sicer Coulomb-Amotonov zakon trenja (ali krajse Coulombov zakon),ki ga lahko prevedemo v nabor komplementarnih pogojev.

Kot kontaktni zakon je pozneje upostevan tudi Poissonov model trka.

Ker so kontakti lahko socasni, je treba formulirati kontaktni problem, ki za vse kontakte hkrati upostevagibalno enacbo in kontaktne zakone. Z resitvijo kontaktnega problema je omogocena integracija gibalneenacbe. Zapis kontaktnih zakonov kot komplementarne pogoje omogoca formulacijo linearnega kom-

plementarnega problema (angl. Linear Complementarity Problem – LCP), katerega resitev je hkrati tudiresitev kontaktnega problema. Kontaktne zakone je mogoce zapisati tudi v obliki vkljuckov, ki zavzamejovlogo omejitvenih pogojev pri drugem pristopu resevanja kontaktnega problema – razsirjeni Lagrangeev

pristop (angl. augmented Lagrangian approach), kar krajse imenujemo RL-pristop1.

Za primerjavo LCP-pristopa in RL-pristopa bo predstavljena formulacija kontaktnega problema kot LCP,vendar le taksna, ki uposteva samo normalni kontakt (angl. unilateral perfect constraints [3]), torej breztrenja. Kontaktni problem ravninskega dinamskega sistema, ki uposteva trenje, zahteva kompleksnejsoformulacijo LCP, podano v [1, 5]. V primeru resevanja prostorskega kontaktnega problema s trenjemin neznano normalno kontaktno silo pa je treba pristop temeljito spremeniti2. Ena moznost je, dakrog dopustnih sil Coulombovega trenja v kontaktu aproksimiramo z mnogokotnikom [6, 7], s cimerse bistveno poveca razseznost LCP. Druga moznost je, da kontaktni problem formuliramo kot nelinearni

komplementarni problem (angl. Nonlinear Complementarity Problem – NCP), vendar je treba za resevanjeNCP uporabiti metode, za katere Leine in Nijmeijer [3] navajata, da niso prakticne. Tretja moznost, nakatero se ta diplomska naloga osredinja, je, da kontaktni problem formuliramo kot problem optimizacije(ali kvazioptimizacije) in uporabimo RL-pristop.

Po RL-pristopu formuliramo kontaktne zakone na podlagi definicij konveksne analize, veje matematike,ki obravnava konveksne funkcije in konveksna obmocja. Kontaktni problem lahko nato formuliramo kotproblem optimizacije [3, 8] za nezdruzeni kontaktni problem (angl. uncoupled contact problem [8]), to jeza:

1 V tej diplomski nalogi rabimo krajsavo RL-pristop namesto razsirjeni Lagrangeev pristop. Podobno rabimo krajsavoRL-metoda namesto razsirjena Lagrangeeva metoda in RL-funkcija namesto razsirjena Lagrangeeva funkcija.

2 Prostorski kontaktni problem lahko formuliramo kot LCP le v primeru, ko v dinamskem sistemu nastopajo samonormalni kontakti – povedano drugace: ko zanemarimo trenje [3].

POGLAVJE 1. UVOD 3

• dinamski sistem z normalnimi kontakti brez trenja (angl. unilateral perfect constraints) in (ali)

• dinamski sistem s kontakti s trenjem, kjer je normalna kontaktna sila vnaprej znana (angl. associatedfriction).

Na podoben nacin resimo tudi zdruzeni kontaktni problem (angl. coupled contact problem [8]), v kateremnastopa

• trenje z neznano normalno kontaktno silo (angl. non-associated friction).

Zgodi se, da za kontaktni problem z neznano normalno kontaktno silo ne moremo vec trditi, da gre zaproblem optimizacije, pac pa ga oznacimo kot problem kvazioptimizacije [3, 8], ker definiciji optimizacijevec ne ustreza. Kljub temu lahko resitev dolocimo z uporabo numericnih metod optimizacije [3, 4, 8, 9].Prednost resevanja kontaktnega problema z metodo optimizacije, in ne kot LCP, je, da sama metodaresevanja kontaktnega problema ne razlikuje med ravninsko in prostorsko dinamiko ter da omogocauporabo poljubnih kontaktnih zakonov, ce te le lahko popisemo s konveksnim obmocjem, ki predstavljanabor dopustnih kontaktnih sil [3].

Obravnavano teorijo negladke dinamike lahko nato vkljucimo v prostorsko dinamiko sistema togih teles.Parametrizirati je treba orientacijo teles, za kar Parviz [10] priporoca uvedbo Eulerjevih parametrov, inprostorskemu kontaktu je treba prilagoditi kinematiko kontakta ter posplosene kontaktne sile.

1.3 Struktura diplomske naloge

Vsako poglavje se zacne z izvleckom poglavja. Najprej se zvrstijo teoretska poglavja, v katerih je v uvodupojasnjena tudi umestitev poglavja v celotno diplomsko nalogo, v primeru obseznejsega povzemanja pa jenaveden tudi vir. Po teh poglavjih sledijo poglavja primerov uporabe obravnavane teorije, ki se slicujejona prehodna teoretska poglavja. Kot prispevek diplomske naloge se lahko stejejo predvsem ta poglavja,ker je teorija dinamike sistema togih teles v literaturi ze natancno obdelana. So pa teoretska poglavjazasnovana kot nova razlaga, ki ponekod povzema, ponekod pa je podrobnejsa od tiste, ki jo navajaliteratura, s cimer se delo trudi dopolnjevati avtorju razpolozljivo literaturo. Diplomska naloga temeljina avtorjevem projektnem seminarju [11] in diplomskem seminarju [12], na katera se to delo posebejsklicuje samo v primerih, kjer sta izcrpnejsa od diplomske naloge.

1.3.1 Poglavja teorije

Poglavje 2 obravnava matematicna orodja, ki so za RL-pristop nujna, in je med teoretskimi poglavjiizbrano kot prvo, kot je to v literaturi, po kateri se diplomska naloga zgleduje [2, 3]. Poglavje 3 napraviuvod v dinamiko sistema togih teles, tako da uvede gibalno enacbo, nato pa preide na osnove negladkedinamike, kot so kinematika kontakta, posplosena kontaktna sila in kontaktni zakoni. Sledi poglavje 4 ointegracijskih metodah, s katerimi resujemo gibalno enacbo. V tem poglavju je tudi predstavljena vzorcnaformulacija kontaktnega problema kot LCP. V poglavju 5 je resevanje kontaktnega problema prevedenona metodo optimizacije, ki je predstavljena v poglavju matematicnih orodij (poglavje 2). Poglavje 6predstavi Poissonov zakon o trku in pokaze, kako ga lahko uporabimo v metodi casovnega koraka –Moreaujevem algoritmu. Sledi prostorska dinamika (poglavje 7), ki uvede Eulerjeve parametre za popisorientacije telesa v prostoru in pojasni, kako je mogoce obravnavati trcno dinamiko v prostoru.

1.3.2 Poglavja primerov uporabe

V zadnjih poglavjih (8, 9, 10 in 11) bodo prikazani rezultati primerov uporabe, kjer bo integracija potekalapo Moreaujevem algoritmu, ki je za preproste primere ustrezen3. Rezultati bodo demonstrirali, da lahko:

3 Za primer, ko prihaja med gladkimi fazami resitve do visokofrekvencnih nihanj, postane Moreaujev algoritem manjprimeren – treba je zelo skrajsati casovni korak. Leine in Glocker [9] odpravita tezavo z modifikacijo Moreaujevega algoritmapo zgledu numericne metode Runge-Kutta cetrtega reda.

POGLAVJE 1. UVOD 4

• resujemo kontaktni problem s trenjem z neznano normalno kontaktno silo (angl. non-associatedfriction),

• vkljucimo Poissonov zakon o trku in

• preidemo na prostorsko trcno dinamiko.

Za ravninsko dinamiko masne tocke bodo v poglavjih 8 in 9 predstavljeni in verificirani stirje algoritmi:

• RL-metoda za resevanje kontaktnega problema, v katerem nastopa plasticni trk, in

• metoda casovnega koraka, ki obravnava dinamski sistem z upostevanjem plasticnega trka,

• RL-metoda za resevanje kontaktnega problema, v katerem nastopa elasticni trk, in

• metoda casovnega koraka, ki obravnava dinamski sistem z upostevanjem elasticnega trka.

Po zgledu literature [3, 4, 9] je za predstavitev algoritmov izbrana psevdokoda, s cimer je zaobidenapredstavitev obseznega (a trivialnega) dela programske kode in zapis ni vezan na sintakso dolocenegaprogramskega jezika. Ker bodo za algoritme podani tudi vsi vhodni podatki, so podani poleg graficnih,tudi numericni rezultati algoritmov, vendar predvsem v poglavjih 8 in 9, ki se osredinjata na predstavitevin verifikacijo algoritmov. Poglavji 10 in 11 nato prikazeta pretezno graficne rezultate za ravninska inprostorska telesa, kakor pocne tudi literatura [1, 2, 9, 13].

1.3.3 Dodatki

Prilozeni je dodatek A s tremi razdelki. Obseznejsa izvajanja enacb so umaknjena v dodatek A.1, ker bisicer preusmerila bralcevo pozornost na matematicne manipulacije. Brez tega poglavja diplomska nalogane bi nudila celovitosti predstavljene teorije. Dodatek A.2 vsebuje obseznejse numericno pridobljenerezultate, ki sicer razdrobijo besedilo. Dodatek A.3 je prilozen na koncu, ker vsebuje se nekaj orodij izmatematike, med katerimi so nekatere matematicne osnove in opis LCP, ki je za to delo postranski.

Poglavje 2

Matematicna izhodisca RL-pristopa

Po zgledu literature [2, 3] navedemo matematicna orodja na zacetku dela, vendar le tista, ki so osnovarazsirjenega Lagrangeevega pristopa (angl. augmented Lagrangian approach), krajse imenovanega RL-pristop4. Druga matematicna orodja so umaknjena v dodatek A.3. Tu so navedeni odvod zvezne funkcijein definicije iz konveksne analize, kar je povzeto po Leineju [3]. Nato je predstavljena RL-metoda optimi-zacije. Najprej je formulirana RL-funkcija, ki kakor obicajna Lagrangeeva funkcija sluzi za optimizacijopri omejitvenih pogojih, ampak lahko uposteva tudi omejitvene vkljucke, nato pa modificirana Newtonovametoda optimizacije, ki je v poglavju 5.3 aplicirana na RL-funkcijo kontaktnega problema.

2.1 Generalizirani odvod zvezne funkcije

Za odvedljive funkcije vec spremenljivk sta odvod in gradient podana v dodatku A.3.2. Za zvezne funkcijedefiniramo generalizirani odvod, ki obstaja, tudi ce funkcija ni odvedljiva – je negladka. Grobo receno, jegeneralizirani odvod funkcija, ki slika v obmocje, katerega elementi so mozni odvodi primitivne funkcije.Za definicijo generaliziranega odvoda potrebujemo definicijo konveksnega obmocja in definicijo konveksne

lupine [3]. Za konveksno skalarno polje lahko zapisemo generalizirani odvod se drugace, zato potrebujemotudi definicijo konveksne funkcije.

Definicija 1 (Konveksno obmocje). Obmocje C ⊂ Rn je konveksno, ce za vsaka x ∈ C in y ∈ C velja

tudi (1− q) x + q y ∈ C za poljuben q, ki ustreza 0 ≤ q ≤ 1.

Obmocje C je zaprto, ce je v njem vkljucen tudi njegov rob. Naj za vsako obmocje v tej diplomski nalogivelja, da je zaprto, ce ta lastnost obmocja ni specificirana. Izjema so stozci (v nadaljevanju definicija 6),za katere naj v tej diplomski nalogi velja, da so zaprti povsod razen v neskoncnosti.

Definicija 2 (Konveksna lupina). Konveksna lupina

coC ∈ Rn (2.1)

je najmanjse zaprto konveksno obmocje, ki vsebuje obmocje C ∈ Rn, ki ni nujno konveksno.

Definicija 3 (Konveksna funkcija). Vektorska funkcija f(x) : Rn → Rm je konveksna, ce je definirana

na konveksnem obmocju C ∈ Rn in za vsak par x,y ∈ C in poljuben q, ki ustreza 0 ≤ q ≤ 1, izpolnjuje

neenakost

f((1 − q) x + q y) � (1 − q) f(x) + q f(y). (2.2)

V definiciji 3, ki jo podaja Dattorro [14], oznacuje simbol � neenakost med vsakima komponentama, odkaterih vsaka pripada enemu vektorju, obe pa isti dimenziji prostora.

4 Tudi tukaj omenimo, da v tej diplomski nalogi rabimo krajsavo RL-pristop namesto razsirjeni Lagrangeev pristop. Po-dobno rabimo krajsavo RL-metoda namesto razsirjena Lagrangeeva metoda in RL-funkcija namesto razsirjena Lagrangeeva

funkcija.

5

POGLAVJE 2. MATEMATICNA IZHODISCA RL-PRISTOPA 6

2.1.1 Vektorska funkcija

Definicija 4 (Generalizirani odvod). Generalizirani odvod vektorske preslikave f : Rn → Rm definiramo

kot

∂f(x) =⋂

ρ>0

co{∇f(y) | y ∈ x +B(ρ)} ⊂ Rn×m, (2.3)

kjer je

B(ρ) = {x | ‖x‖ < ρ} ⊂ Rn (2.4)

krogelno obmocje z radijem ρ.

V enacbi (2.3) pojasnimo zapis. Krogelno obmocje x + B(ρ) transformiramo s funkcijo ∇f( · ) za vsey ∈ x + B(ρ), kjer transformacija obstaja, in dobljenemu obmocju poiscemo konveksno lupino. Takonveksna lupina se z zmanjsevanjem ρ ↓ 0 krci5, ker krogelno obmocje B(ρ1) z radijem ρ1 > 0 vsebujevsa krogelna obmocja z radijem ρ, manjsim od ρ1, torej ρ1 > ρ > 0. Potem je presek konveksnih lupinvseh radijev ρ > 0 ekvivalenten limitnemu procesu ρ ↓ 0.

2.1.2 Skalarna funkcija

Ce je f : R→ R negladka zvezna funkcija, je njen generalizirani odvod definiran kot

∂f(x) = co

{

limy↑x

f(y)− f(x)

y − x, lim

y↓x

f(y)− f(x)

y − x

}

⊂ R, (2.5)

kjer je konveksna lupina co{ · , · } zaprt interval, ki ga omejujeta argumenta.

2.1.3 Subdiferencial

Za konveksno skalarno polje (glejte definicijo 3) lahko zapisemo generalizirani odvod tudi kot

∂f(x) = {y | f(x∗) ≥ f(x) + yT(x∗ − x); ∀x∗} ⊂ Rn (2.6)

in ga imenujemo subdiferencial6.

2.2 Definicije iz konveksne analize

Definicija 5 (Stozec). Obmocje C ⊂ Rn je stozec, ce za vsak x ∈ C in λ > 0 velja tudi λx ∈ C.

Definicija 6 (Normalni stozec). Ce je C zaprto konveksno obmocje in x ∈ C, potem je

NC(x) = {y | yT(x∗ − x) ≤ 0, x ∈ C, ∀x∗ ∈ C} (2.7)

obmocje, imenovano normalni stozec na C v x.

Normalni stozec NC(x) je definiran samo za x ∈ C. Njegova vrednost je enaka 0, ce x lezi v notranjostiobmocja C, in ne na robu (slika 2.1).

Definicija 7 (Indikatorska funkcija). Ce je C zaprto konveksno obmocje, je indikatorska funkcijaobmocja C definirana kot

ΨC(x) =

{0, x ∈ C,+∞, x /∈ C.

(2.8)

5 Notacijo x ↓ y uporabimo za oznako zmanjsevanja ali limitnega procesa x → y, kjer velja x > y, in analogno tudi x ↑ yza x → y ∧ x < y.

6 Simbolu x je bila pripisana oznaka *, s cimer je bila uvedena dodatna spremenljivka x∗.


Slika 2.1: Normalni stozec v ravnini

Ker je indikatorska funkcija konveksno skalarno polje, uporabimo definicijo subdiferenciala (2.6)

∂ΨC(x) = {y | ΨC(x∗) ≥ ΨC(x) + yT(x∗ − x), x ∈ C, ∀x∗ ∈ C}

= {y | 0 ≥ yT(x∗ − x), x ∈ C, ∀x∗ ∈ C},(2.9)

kar je pa ravno definicija normalnega stozca (2.7), zato lahko uporabimo zamenjavo

∂ΨC(x) = NC(x). (2.10)

Definicija 8 (Konjugirana funkcija). Ce je f konveksna funkcija, je f∗ njena konjugirana funkcija7 in

je definirana z

f∗(x) = supx∗

{xTx∗ − f(x∗)}. (2.11)

V enacbi (2.11) pomeni notacija supC supremum ali najnizjo zgornjo mejo obmocja C. Za primer, ko jeobmocje C zaloga vrednosti skalarnega polja f : Rn → R, kjer je x ∈ R

n, uporabimo podpis x kot

supxC ali tudi v obliki sup

x∈D

C,

ce iscemo supremum zaloge vrednosti C funkcije f na domeni D ⊂ Rn.

Definicija 9 (Podporna funkcija). Ce je C zaprto konveksno obmocje, je rezultat konjugacije indikatorske

funkcije ΨC podporna funkcija (angl. support function)

Ψ∗C(x) = sup

x∗

{xTx∗ − ΨC(x∗)}

= supx∗∈C

{xTx∗}.(2.12)

Za zaprto konveksno obmocje C velja med subdiferencialom indikatorske funkcije ∂ΨC in subdiferencialompodporne funkcije ∂Ψ∗

C inverznost [3]:

s ∈ ∂ΨC(λ) ⇐⇒ λ ∈ ∂Ψ∗C(s), (2.13)

kjer velja s ∈ Rn in λ ∈ C ⊂ R

n. Zveza (2.13) je uporabljena v nadaljevanju pri upostevanju kontaktnihzakonov v gibalni enacbi, kjer bo vlogo spremenljivke s zavzela kinematska velicina kontakta, vlogospremenljivke λ kontaktna sila ali kontaktni impulz, vlogo obmocja C pa bo zavzelo obmocje dopustnihkontaktnih sil ali kontaktnih impulzov.

Definicija 10 (Funkcija najblizje tocke). Ce je C ∈ Rn zaprto konveksno obmocje, je tocki y ∈ R

n

najblizja tocka (angl.proximal point) iz obmocja C dana kot

proxC(y) = argminx∗∈C

‖y − x∗‖, y ∈ Rn. (2.14)

7 Konjugacijo funkcije oznacimo s pripisom simbola * oznaki funkcije (in ne spremenljivke).


Zvezama iz (2.13) lahko dodamo se ekvivalentno zvezo

λ = proxC(λ + rs), r > 0, (2.15)

tako da velja

λ = proxC(λ + rs), r > 0 ⇐⇒ s ∈ ∂ΨC(λ) = NC(λ) ⇐⇒ λ ∈ ∂Ψ∗C(s). (2.16)

Z enacbo (2.15) upostevamo kontaktne zakone med iterativnim resevanjem kontaktnega problema, zatorazmislimo, na kaksen nacin je ekvivalentna vkljuckoma (2.13).

Ker velja zveza (2.10), lahko najdemo tri pare λi in si, ki so analogni trem kvalitativno razlicnim izbiramxi s slike 2.1:

• λ1 = x1 ali 4 ∈ robC (Zapis rob C oznacuje rob obmocja C.)

Potem enacba (2.15) velja za s1 = 0, kar pa lahko razsirimo tudi na vse s1 ∈ NC(λ1).

• λ2 = x2 ∈ C\robC (Zapis C\rob C oznacuje obmocje C brez roba rob C.)

Enacba (2.15) je izpolnjena samo za s2 = 0.

• λ3 = x3 /∈ C

Ne obstaja s3, ki bi ga lahko pristeli λ3 in izpolnili enacbo (2.15).

Definicija 11 (Oddaljenost). Oddaljenost (angl. distance) tocke y od konveksnega obmocja C je dana

kot

distC(y) = ‖y − proxC(y)‖. (2.17)

Odvod clena iz razsirjene Lagrangeeve funkcije

Pri odvajanju razsirjene Lagrangeeve funkcije uporabimo zvezo

∇1

2dist2

C(x) = x− proxC(x), (2.18)

ki je dokazana v [3].

2.3 Razsirjena Lagrangeeva metoda

Ta diplomska naloga ne povzema del, ki so razvijala razsirjeno Lagrangeevo metodo, zato je naslednjinavedek (podobnega navajata tudi Leine in Nijmeijer [3]) izpisan iz dela Alarta in Curnierja [8]:

»Razsirjeno Lagrangeevo metodo sta prva uvedla Hestenes [15] in Powell [16] za resevanjeproblemov nelinearnega programiranja z omejitvenimi enacbami (angl. equality constraints).Rockafellar [17] je metodo razsiril na resevanje odvedljivih konveksnih problemov optimizacijez omejitvenimi neenacbami (angl. inequality constraints), med katere uvrscamo tudi kontak-tni problem brez trenja. Fortin [18] je istega leta metodo uporabil na primeru optimizacijeneodvedljive ciljne funkcije – taksen problem predstavlja problem trenja z znano normalnokontaktno silo.«

Razsirjeno Lagrangeevo metodo (RL-metodo) povzamemo po Studerju [2], ampak ne v tako splosni obliki– pojasnjeno v nadaljevanju. To je metoda optimizacije, ki jo lahko uporabimo v primeru, ko so prisotniomejitveni pogoji ne samo v obliki enakosti ali neenakosti, pac pa lahko omejitveni pogoji nastopajo vobliki vkljuckov v konveksna obmocja.

Najprej zapisemo RL-funkcijo za probleme optimizacije, kjer omejitvene pogoje predstavljajo enacbe.Nato jo preoblikujemo v obliko, ki je primerna za upostevanje vkljuckov, in nato se v obliko, ki jeprimerna za dolocevanje sedla.


2.3.1 Razsirjena Lagrangeeva funkcija

Za probleme oblike

minxf(x), ob pogoju g(x) = 0, (2.19)

lahko uvedemo razsirjeno Lagrangeevo funkcijo (RL-funkcijo)

Lr(x,µ) = f(x) + µTg(x) +1

2 r‖g(x)‖2, r > 0, (2.20)

kjer je µ vektor Lagrangeevih multiplikatorjev. Resitev x problema (2.19) sovpada s sedlom razsirjeneLagrangeeve funkcije (2.20). Torej namesto problema (2.19) resujemo problem

minx

maxµ

Lr(x,µ), (2.21)

katerega prednost je ta, da ne vkljucuje omejitvenih pogojev. Parameter r skalira zadnji clen na desnistrani enacbe (2.20) in ne vpliva na resitev problema (2.19). Pri uporabi poenostavljene metode optimiza-cije, imenovane modificirana Newtonova metoda (poglavje 2.3.2), parameter r vpliva na obstoj in hitrostkonvergence [8, 19].

Zadnji clen desne strani enacbe (2.20) lahko zapisemo tudi kot

1

2 r‖g(x)‖2 =

1

2g(x)T 1

rE g(x), (2.22)

kjer je E enotska matrika. Studer [2] nadomesca diagonalno matriko 1r

E s poljubno pozitivno definitnomatriko R. Potem lahko poda nekaj vec teoreticnega ozadja, matriko R pa lahko tudi poenostavi tako,da v problemu optimizacije hkrati uporablja vec parametrov ri. S tem pospesuje konvergenco, karpodrobneje obravnava Forg [19]. Ta diplomska naloga ni tako podrobna in je omejena na uporabo enegaparametra r v funkciji (2.20).

Upostevanje omejitvenih vkljuckov

Funkcijo (2.20) lahko uporabimo tudi za probleme oblike

minxf(x), ob pogoju k(x) ∈ C, (2.23)

ce zapisemo

Lr0(x) = f(x)−r

2‖µ‖2 +

1

2 rdist2

C (rµ + k(x)) , (2.24)

kar zahteva nekaj matematicnih manipulacij, ki so izvedene v dodatku A.1.1.

Dolocitev sedla

Za problem dolocitve sedla

minx

maxy

f(x,y), ob pogoju k(y) ∈ C, (2.25)

je v poglavju 5.2.3 uporabljena oblika

Lr0(x,y,µ) = f(x,y) +r

2‖µ‖2 −

1

2 rdist2

C (rµ + k(y)) (2.26)

in problem (2.25) prevedemo (dodatek A.1.1) v problem

minx,µ

maxy

Lr0(x,y,µ). (2.27)


Oblike (2.26) Studer [2] ali Alart in Curnier [8] ne navajajo, predstavlja pa edini avtorju znan nacin, pokaterem dobimo formulacijo, iz katere Alart in Curnier [8] izhajata.

2.3.2 Modificirana Newtonova metoda optimizacije

Metodo optimizacije potrebujemo, da skalarnemu polju, ki ga definira RL-funkcija, dolocimo sedlo, kisovpada z resitvijo kontaktnega problema. Tukaj bo predstavljena modificirana Newtonova metoda po

Zincenku, kakor jo navajata Alart in Curnier [8] in je uporabljena v [3, 9, 13]. Temelji na osnovniNewtonovi metodi, ki je podana v dodatku A.3.3.

Prirejena je za probleme optimizacije skalarnega polja, katerega gradient ∇L(x) lahko razdelimo kot

∇L(x) = G(x) + F (x), (2.28)

tako da je G(x) odvedljiv, v ostanku F (x) pa so zbrani vsi neodvedljivi, vendar zvezni cleni. Potemdefiniramo iteracijo modificirane Newtonove metode po Zincenku kot

xk+1 = xk −∇G(xk)−1(

G(xk) + F (xk))

, (2.29)

kar je enako kot pri osnovni Newtonovi metodi, samo da izpustimo neodvedljivi del F (x), zato resujemosistem

∇G(xk)∆x = −∇L(xk) (2.30)

analogno kot pri osnovni Newtonovi metodi z enacbo (A.41) na strani x.

Poglavje 3

Osnove popisa negladke dinamike

Uvedena bo gibalna enacba sistema togih teles, v kateri nastopa vektor posplosenih koordinat. Dolocenebodo zveze, ki povezujejo posplosene koordinate s kinematskimi velicinami kontakta. Sledi zapis po-splosene kontaktne sile in nato so prestavljeni kontaktni zakoni, ki naj jih kontaktna sila in kinematikakontakta hkrati izpolnjujeta. Poglavje je osnovano na delu Glockerja in Pfeifferja [1], zgleduje pa se tudipo delu Slavica [5].

3.1 Gibalne enacbe

Gibalne enacbe, ki predstavljajo zvezo med mehanskimi obremenitvami in kinematskim odzivom, lahkoza isti dinamski sistem formuliramo v razlicnih oblikah, vedno pa izhajajo iz II. Newtonovega zakona. Koresujemo konkreten problem, se izkaze, da so s prakticnega vidika razlicno ustrezne. Izhajamo iz enegatogega telesa.

3.1.1 Togo telo

Newton-Eulerjeva enacba

[pk

Lk

]

−

n∑

i=1

[E 0

rSAi E

] [FAi

MAi

]

= 0 (3.1)

je diferencialna enacba, ki popisuje zvezo med splosno8 obremenitvijo togega telesa in njegovim neovi-ranim kinematskim odzivom v prostoru. Tu je E ∈ R

3×3 enotska matrika, 0 ∈ R3×3 je matrika nicel,

FAi,MAi ∈ R3 sta sila in moment, ki obremenjujeta togo telo v tocki Ai, rSAi je matrika, ki je ekviva-

lentna vektorskemu mnozenju z leve z vektorjem rSAi, ki predstavlja vektor (rocico) od telesnega teziscaS do tocke Ai, v kateri obremenitev prijemlje. Odvoda gibalne in vrtilne kolicine pk, Lk ∈ R

3 se zapisetakot

[pk

Lk

]

=

[mE 0

0 IS

] [vS

ω

]

+

[0

ω IS ω

]

, (3.2)

kjer je m > 0 masa telesa, IS ∈ R3×3 tenzor vztrajnostnih momentov obravnavanega telesa, vS ∈ R

3

hitrost tezisca in ω ∈ R3 kotna hitrost telesa. ω je matrika, ki mnozi z leve, kakor mnozi vektorski

produkt ω× (dodatek A.3.1). Odziv telesa je glede na Newton-Eulerjevo enacbo (3.1) odvisen od vseh

obremenitev, ki na telo delujejo. To vkljucuje aktivne obremenitve, ki opravljajo delo, in pasivne, kipredstavljajo omejitve gibanja ali odvzem prostostnih stopenj ter ne opravljajo dela.

8 Uposteva poljubno stevilo tockovnih obremenitev v tockah Ai, ne pa tudi volumsko in povrsinsko porazdeljenihobremenitev, ki pa jim lahko poiscemo rezultante in jih tudi vkljucimo.

11

POGLAVJE 3. OSNOVE POPISA NEGLADKE DINAMIKE 12

Matricna oblika

Newton-Eulerjevo enacbo lahko zapisemo za eno telo ali sistem teles v obliko

M(q, t) u − h(q,u, t) = 0 ∈ R6 N , (3.3)

kjer je N stevilo teles dinamskega sistem, M ∈ R6N×6N masna matrika, q ∈ R

(6+n)N vektor parametri-zacije lege telesa, ki za vsako telo lahko vkljucuje n reduntantnih parametrov orientacije, u ∈ R

6N vektorposplosenih hitrosti ter h ∈ R

6N vektor pasivnih, aktivnih in ziroskopskih posplosenih sil. Oblika (3.3) jeuporabljena v nadaljevanju (poglavje 7.4) za sistem togih teles v prostoru.

Pri taksnem zapisu gibalne enacbe togega telesa je treba razlocevati med posplosenimi hitrostmi u in pa-rametrizacijo lege telesa q, ker med njima v splosnem velja q 6= u, saj zahteva parametrizacija orientacijedodatna matematicna orodja – v tem delu so to Eulerjevi parametri (poglavje 7.2). Parviz [10] navedese dve formulaciji gibalne enacbe, ki predstavljata alternativo Newton-Eulerjevi enacbi (3.1). Ti dveformulaciji namesto kotne hitrosti telesa ω vkljucujeta odvoda Eulerjevih parametrov in tako omogocatazapis vektorja generaliziranih pospeskov q kot drugi odvod generaliziranih koordinat po casu.

3.1.2 Sistem togih teles

Z uporabo principa o virtualnem delu Glocker in Pfeiffer [1] pokazeta, da s parametrizacijo gibanja oz. zuvedbo (minimalnega stevila) f posplosenih koordinat odpravimo potrebo po poznavanju pasivnih obre-menitev (cesar utemeljitelj je sicer Lagrange [1, 20]), kar se izkaze za ugodno pri obravnavi mehanizma,saj skrci obseg racunskega dela. Za taksne primere lahko uporabimo Lagrangeeve enacbe II. vrste [20].Postopek zahteva dolocitev posplosenih koordinat q, kineticne energije Ek(q, q) ter potencialne energijeEp(q) in vektorja nekonservativnih posplosenih sil Qn ∈ R

f [5, 20]. Gibalno enacbo nato doloca zveza

d

dt

∂(Ek − Ep)

∂q−∂(Ek − Ep)

∂q= QT

n . (3.4)

Tako preidemo od N enacb oblike (3.1) in (3.2) za N teles na matricno gibalno enacbo oblike

M(q, t) q − h(q, q, t) = 0 ∈ Rf , (3.5)

kjer je M ∈ Rf×f masna matrika sistema, q ∈ R

f vektor posplosenih koordinat, h(q, q, t) ∈ Rf vektor

posplosenih sil in t ∈ R cas. Izbira q ni enolicna in zato tudi ne osnovna gibalna enacba (3.5), vedno paobstaja nabor posplosenih koordinat, ki doloca simetricno pozitivno-definitno masno matriko [1].

Gibalno enacbo (3.5), kjer velja med vektorjem posplosenih hitrosti u in parametrizacijo pozicije q

diferencialna zveza u = q, lahko za ravninske dinamske sisteme vedno zapisemo, ker omejitev gibanja vravnino omogoca samo eno rotacijsko prostostno stopnjo vsakemu telesu, in taksna oblika gibalne enacbebo predpostavljena v tem delu vse do prehoda v prostorsko dinamiko (poglavje 7), ko bo uporabljenaNewton-Eulerjeva enacba.

3.2 Kinematika kontakta

Vezi, ki omejujejo gibanje (zglobi, vodila, lezaji ipd.), imenujemo dvostranski kontakti. Njihova funkcija –omejevanje gibanja – je sicer lahko casovno odvisna, je pa zmanjsanje stevila prostostnih stopenj dinam-skega sistema zaradi taksnega kontakta casovno neodvisno, zato jih je mogoce upostevati pri oblikovanjuosnovne oblike gibalne enacbe (3.5). Dvostranski kontakt lahko matematicno popisemo z enakostjo

g(q, t) = 0. (3.6)

Druge kontakte oznacimo kot enostranske kontakte, med katere uvrscamo omejitev gibanja zaradi med-sebojnega trka teles in prehod suhega trenja med lepenjem in drsenjem [1]. Enostranski kontakt lahko v


primeru normalnega kontakta povrsin para teles9 popisemo z neenakostjo

g(q, t) ≥ 0, (3.7)

iz katere je razvidno, da je za nekatere vrednosti q in t neenacba (3.7) ekvivalentna dvostranskemukontaktu (3.6) ter dinamskemu sistemu odvzema prostostno stopnjo, za nekatere vrednosti q in t pa nadinamiko ne vpliva. Zaradi te spremenljive vloge lahko povzroca variacijo stevila prostostnih stopenj vcasu.

Zmanjsanje stevila prostostnih stopenj

Ko v sistemu teles nastopajo tudi enostranski kontakti, enacba (3.5) ni vec ustrezna. Ce nastopa nN

zaprtih kontaktov, torej taksnih, kjer se povrsini stikata, od katerih je nH lepenih (drugi pa drsijo)in skupaj ne povzrocajo staticne nedolocenosti, se stevilo prostostnih stopenj ravninskega dinamskegasistema zmanjsa z f na f − (nH +nN), za cel casovni interval, znotraj katerega se konfiguracija kontaktovne spremeni. Glocker in Pfeiffer [1] to dokazeta tako, da izvedeta prehod s prvotnih posplosenih koordinatq ∈ R

f na minimalne koordinate l ∈ Rf−(nH+nN), kjer pasivne interaktivne sile izpadejo iz nabora

neznank, kakor je to za uvedbo minimalnih koordinat znacilno. Za zelo preproste primere je spremembaiz q v nek l izvedljiva, vendar ce se lahko pojavi nN kontaktov, to za ravninski primer pomeni 4nN moznihstanj sistema, ker lahko vsak kontakt drsi v dveh smereh, lepi ali pa se sprosti.

Zato ostanemo pri prvotnih posplosenih koordinatah q in vkljucimo v enacbo posplosene sile, ki v kon-taktih nastopajo. Da lahko to storimo, je treba dolociti, kateri par delcev pride v kontakt.

Dolocitev kontakta

Formalno definiramo normalno kontaktno razdaljo dveh teles, ki sta definirani kot obmocji A in B, kot

gN = infrA∈ArB∈B

‖rA − rB‖, (3.8)

vendar je postopek resitve problema odvisen od oblike definicije obmocij A in B, ki predstavljata telesi[21]. Postopek dolocitve kontaktnih delcev in njihovih kinematskih velicin za ravninski primer poljub-nega para strogo konveksnih ravninskih teles navajata Glocker in Pfeiffer [1]. Za primer mnogokotnihravninskih teles, ki niso nujno konveksna, opisuje dolocitev kontaktov Slavic [5], ki temu posveca velikopozornosti, saj je zaradi mnogih tock in daljic, ki bi se utegnile stikati, potreben poseben algoritemdolocevanja kontaktov. Kontaktni par delcev je v nekaterih primerih ze vnaprej znan, kakor bo tudi vprimerih te diplomske naloge, zato je relativna kinematika kontaktnih povrsin dolocljiva po preprostejsih,alternativnih postopkih (poglavje 3.2.2), in zato ta diplomska naloga dolocitve kontakta ne obravnavanatancneje.

3.2.1 Kinematika poljubnega delca

Da bi ugotovili, kaksno je relativno gibanje para povrsin, med katerima pride do stika, je treba imetimoznost ugotoviti kinematske velicine – polozaj v odvisnosti od casa – za poljuben delec sistema. Ceresujemo problem v inercialnem koordinatnem sistemu in je vsako telo definirano kot casovno neodvisnoobmocje v svojem telesu nepomicnem koordinatnem sistemu z izhodiscem v teziscu telesa, je kinematikavsakega delca posameznega telesa znana, ko poznamo polozaj tezisca tega telesa in rotacijsko transforma-cijsko matriko iz koordinatnega sistema obravnavanega telesa v inercialni koordinatni sistem10 za vsakcas. Ta kinematika je dolocljiva iz posplosenih koordinat q in casa t, ki nastopata v gibalni enacbi.

9 Studer [2] v primerjavi z Glockerjem in Pfeifferjem [1] oznaci samo taksen kontakt kot enostranski kontakt.10 V delu Glockerja in Pfeifferja [1] ter Parviza [10] so obravnavane transformacije kinematskih velicin med koordinatnimi

sistemi.


Slika 3.1: Sistem dveh strogo konveksnih teles v ravnini

Tako dobimo moznost izraziti polozaj

rA(q, t) = rRA(sA, q, t) + rTA(q, t) (3.9)

poljubnega delca A (slika 3.1), ki je element sistema teles, kot funkcijo posplosenih koordinat in casa.Vektor rTA(q, t) predstavlja polozaj tezisca telesa, vektor rRA(sA, q, t) pa polozaj delca A glede na tezisce.Parametri sA dolocajo izbiro delca, ki mu sledimo, zato jih za izbrani delec ohranjamo konstantne v casu.

Jacobijeva matrika

Da bi ugotovili, kako je s posplosenimi koordinatami povezana njegova hitrost, ga odvajamo po casu

rA(q, q, t) =∂rA

∂qq +

∂rA

∂t. (3.10)

Pojavi se Jacobijeva matrika [1], ki jo oznacimo kot

JA(q, t) =∂rA

∂q∈ R

3×f , (3.11)

parcialni casovni odvod pa oznacimo kot

jA(q, t) =∂rA

∂t∈ R

3. (3.12)

Ko uvedemo te oznake in izpustimo argumenta q in t, dobimo zapis

rA(q, q, t) = JA q + jA, (3.13)

ki izkazuje linearno zvezo med vektorjem posplosenih hitrosti q in hitrostjo rA(q, q, t) delca A. Linearnazveza je kljucna za tvorbo linearnega komplementarnega problema (dodatek A.3.4), ki bo oblikovan vnadaljevanju, Jacobijeva matrika pa je pomembna tudi zato, ker nanjo naletimo pozneje pri dolocevanjuposplosene kontaktne sile. Parcialni odvod po casu jA je od nic razlicen, ko v kinematiki telesa nastopacas t eksplicitno, kar pomeni, da je dinamika telesa pod vplivom kinematicnega vzbujanja.

Hitrost in pospesek kontakta

Ko ugotovimo gN = 0, definiramo kontakt in ugotavljamo druge kinematske velicine kontakta. Definiramonormalno kontaktno hitrost

gN = nTA (vA − vB), (3.14)


torej kot projekcijo razlike hitrosti vA in vB kontaktnih delcev A in B na normalno smer kontakta nA.Projekcija te iste razlike hitrosti na tangencialno smer tA ustreza tangencialni kontaktni hitrosti

gT = tTA (vA − vB). (3.15)

Ce upostevamo, da velja

nA = −nB in tA = −tB, (3.16)

lahko zapisemo enacbi (3.14) in (3.15) kot

gN = nTA vA + nT

B vB in gT = tTA vA + tT

B vB. (3.17)

Kinematske velicine v odvisnosti od posplosenih koordinat

Z uporabo zveze (3.13) lahko za delca A in B zapisemo hitrosti

vA = JA q + jA in vB = JB q + jB, (3.18)

ki ju lahko vstavimo v enacbo (3.17) kot npr.:

gN = nTA (JA q + jA) + nT

B (JB q + jB)

= (nTA JA + nT

B JB) q + (nTA jA + nT

B jB)

= (JTA nA + JT

B nB)T q + (jTA nA + jT

B nB).

(3.19)

In podobno za gT. Z uvedbo oznak

wN = JTA nA + JT

B nB,

wN = jTA nA + jT

B nB,

wT = JTA tA + JT

B tB,

wT = jTA tA + jT

B tB

(3.20)

zvezo (3.19) in njej analogno zvezo za tangencialno smer zapisemo kot

gN = wTN q + wN in gT = wT

T q + wT. (3.21)

Velicini wN in wT omogocata v enacbah (3.21) linearno transformacijo med posplosenimi koordinatamiin kontaktno hitrostjo, imenujemo ju smeri posplosenih sil, kar bo natancneje pojasnjeno v poglavju 3.3.

3.2.2 Alternativna obravnava kinematike kontakta

Velicin iz enacb (3.20) za mnoge dinamske sisteme ni treba dolocati po definicijah, navedenih do tu, sajso lahko kontaktne tocke znane vnaprej in funkciji gN(q, t) ter gT(q, t) sta zato dolocljivi neposredno izgeometrije. Pod predpostavko, da sta gN(q, t) in gT(q, t) znani funkciji11, zapisemo splosno obliko njunihodvodov

gN(q, t) =∂gN

∂qq +

∂gN

∂tin gT(q, t) =

∂gT

∂qq +

∂gT

∂t, (3.22)

iz katerih je vidna krajsa pot dolocitve velicin iz enacb (3.20) po alternativnih zvezah [3]:

wN =

(∂gN

∂q

)T

, wN =∂gN

∂t, wT =

(∂gT

∂q

)T

, wT =∂gT

∂t. (3.23)

Ce po casu odvajamo enacbi (3.21), dobimo

gN = wTN q + wT

N q + ˙wN in gT = wTT q + wT

T q + ˙wT, (3.24)

11 Natancna definicija kontaktnega pomika je zapisanega v delu Glockerja in Pfeifferja [1] ter v avtorjevem projektnemseminarju [11].


kjer lahko oznacimo tudi

wN = wTN q + ˙wN in wT = wT

T q + ˙wT, (3.25)

s cimer pokazemo, da obstajata tudi linearni zvezi

gN = wTN q + wN in gT = wT

T q + wT (3.26)

analogni (3.21). Zvezi (3.26) sta potrebni za obravnavo dinamike po metodi kontaktnih dogodkov [1, 5],katere osnove bodo obravnavane v nadaljevanju (poglavje 4.1).

3.3 Posplosena kontaktna sila

Ko je znana kinematika kontakta, je mogoce (glede na kontaktne zakone – poglavje 3.4) sklepati o kon-taktni sili, ki pa jo je treba, ko se pojavi, vkljuciti v gibalno enacbo (3.5). Vkljucujemo jo kot posplosenosilo Q ∈ R

f [5, 20].

Ce na delec A, katerega pozicijo popisuje vektor rA, deluje npr. normalna sila FA,N, je posplosena siladefinirana kot

QA,N =

(∂rA

∂q

)T

FA,N, (3.27)

kjer je ∂rA/∂q Jacobijeva matrika, za katero je bila z enacbo (3.11) ze uvedena oznaka JA. Upostevamo,da je sila normalna na povrsino in jo zato zapisemo kot

FA,N = nA λN. (3.28)

Ravno tako storimo za silo FB,N, ki se kot nasprotno enaka pojavi na delec B, katerega pozicijo popisujevektor rB, in tako predstavlja posploseno silo QB,N. Posplosena normalna kontaktna sila QN je vsotaobeh:

QN = QA,N + QB,N =(JT

A nA + JTB nB

)λN. (3.29)

V oklepaju se pojavi ze z enacbami (3.20) definirana smer posplosene sile wN, zato lahko zapisemo

QN = wN λN. (3.30)

Podobno se zgodi tudi za tangencialno kontaktno silo QT, kar omogoci zapis poljubno usmerjene po-splosene kontaktne sile

Q = QN + QT = wN λN + wT λT, (3.31)

ki jo lahko vkljucimo v gibalno enacbo (3.5):

M(q,t) q − h(q, q,t)−wN λN −wT λT = 0 ∈ Rf . (3.32)

Upostevamo, da je moznih vec kontaktov, katerih vplivi se sestejejo, zato jo zapisemo kot

M(q,t) q − h(q, q,t)−∑

i∈IN

(wN λN + wT λT)i = 0. (3.33)

Mnozica IN vsebuje indekse i vseh zaprtih kontaktov, torej tistih, na katerih se lahko pojavijo kontaktnesile. Definiramo jo kot podmnozico mnozice vseh moznih kontaktov IC = {1, 2, . . . , nC}, tako da veljaIN = {i ∈ IC | gNi ≤ 0}.


3.3.1 Matricni zapis gibalne enacbe

Kompaktnejse izraze oblikujemo, ce uvedemo matricni zapis, zato zapisemo sile v vektorje – stolpce

λN = col{λNi}; i ∈ IN in λT = col{λTi}; i ∈ IN (3.34)

ter matriki

WN = mat{wNi}; i ∈ IN in WT = mat{wTi}; i ∈ IN. (3.35)

Potem lahko zapisemo gibalno enacbo kot

M(q, t) q − h(q, q, t)−WN(q, t) λN −WT(q, t) λT = 0, (3.36)

kakrsna bo obravnavana v nadaljevanju.

3.4 Kontaktni zakoni

Pripravljene so bile zveze, s katerimi lahko zasledujemo stanje kontaktov, in zveze, s katerimi stanjekontaktov lahko vpliva na dinamiko sistema s kontaktnimi silami λN in λT. Manjka se povezava med ki-nematiko kontakta in kontaktno silo. To imenujemo kontaktni zakon. V okviru te diplomske naloge bostaobravnavana normalni kontaktni zakon in tangencialni kontaktni zakon – v nasem primeru Coulomb-

Amotonov zakon trenja oz. v nadaljevanju krajse kot Coulombov zakon. Za splosnejsi popis dinamike bilahko na tem mestu obravnavali tudi zakone trka, kot sta Poissonov in Newtonov zakon trka, kar sledi vnadaljevanju (poglavje 6), ker bo prej obravnavan kontaktni problem (poglavje 5) in se bo tako mogocenanj sklicevati. V poglavje 5.1 kontaktne zakone formuliramo na podlagi definicij konveksne analize, karomogoci resevanje kontaktnega problema po razsirjeni Lagrangeevi metodi (poglavje 5.2).

3.4.1 Normalni kontaktni zakon

Literatura ga imenuje tudi Signorinijev zakon [2, 3]. Na grobo povedano je to aksiom, da lahko telesi vnormalni smeri delujeta drugo na drugo s silo λN > 0, ko se dotikata gN = 0, sicer pa ne, torej λN = 0. Bi-stveno je opaziti, da se v tej trditvi pojavlja matematicna komplementarnost, ki jo pozneje izkoristimo priformulaciji linearnega komplementarnega problema, zato formulirajmo povedano z uporabo matematicnenotacije

gN > 0 ∧ λN = 0,gN = 0 ∧ λN ≥ 0,

(3.37)

iz cesar je videti, da se nikoli ne zgodi, da bi bila gN in λN hkrati razlicna od 0, kar lahko zapisemo kot

gN λN = 0. (3.38)

Normalni kontaktni zakon oz. trditev (3.37) formuliramo kot komplementarni pogoj

gN ≥ 0, λN ≥ 0, gN λN = 0. (3.39)

Mnozica tock, ki ustreza normalnemu kontaktnemu zakonu, je prikazana na sliki 3.2.


Slika 3.2: Graficni prikaz normalnega kontaktnega zakona

3.4.2 Tangencialni kontaktni zakon

Upostevali bomo Coulombov model suhega trenja. Ta predpostavlja, da se v primeru kontakta gN = 0 nakontaktnem mestu med povrsinama pojavi tangencialna sila λT, ki je nasprotna smeri drsenja in enakaµλN, ce povrsini drsita druga ob drugi, ce mirujeta, pa zavzame vrednost intervala [−µλN,µλN], takoda se mirovanje ohranja, ce je µ koeficient trenja. Predpostavko formuliramo z uporabo matematicnenotacije:

|λT| ≤ µλN ∧ gT = 0,λN = µλN ∧ gT < 0,λN = −µλN ∧ gT > 0.

(3.40)

Obmocje, ki ustreza nastetim pogojem, lahko narisemo v ravnini, kot prikazuje slika 3.3, in kot takone tvori komplementarnega pogoja, ki smo ga za normalni kontakt lahko zapisali (pogoj (3.39)). Lahkopa ga razdelimo v nabor dveh [3, 11, 22] ali stirih [1, 5] komplementarnih pogojev in vkljucimo v line-arni komplementarni problem (dodatek A.3.4). V tej diplomski nalogi bo za primerjavo LCP-pristopa zrazsirjenim Lagrangeevim pristopom naveden LCP za kontakte brez trenja, in bo zato razdelitev tangen-cialne karakteristike izpuscena.

Slika 3.3: Coulombov zakon trenja v ravninski dinamiki

V tangentni ravnini

Coulombov model suhega trenja je mogoce uporabiti tudi v prostorski dinamiki [8, 9, 13]. Trenje lahkodefiniramo v tangentni ravnini kontakta, v kateri lezita ortogonalna vektorja tu in tv, ki sta pravokotnana vektor normale kontakta n. Potem velja, da se v tej ravnini med telesoma pojavi adhezivna sila λN,ki preprecuje zdrs teles, vendar samo, ce je njena velikost znotraj obmocja dopustnih Coulombovih sil‖λN‖ < µλN, sicer deluje v tangentni ravnini sila (slika 3.4)

λT = µλN−gT

‖gT‖. (3.41)


Slika 3.4: Coulombov zakon trenja v prostorski dinamiki

3.4.3 Kinematski nivoji kontaktnih zakonov

Razlicne integracijske metode (poglavje 4), ki resujejo gibalno enacbo (3.36), upostevajo razlicne kine-matske nivoje tako spremenljivke q, kakor tudi kinematskih velicin kontakta, zato obravnavane kontaktnezakone zapisemo za razlicne kinematske nivoje.

Normalni kontaktni zakon

Normalni kontaktni zakon je bil zapisan kot komplementarni pogoj na nivoju pomika s pogojem (3.39).Ce predpostavimo, da je kontakt ze zaprt (gN = 0), lahko podoben komplementarni pogoj zapisemo zahitrost gN, za katero mora veljati gN > 0, da se kontakt odpre, ali gN = 0, da kontakt ostaja zaprt.Zapisemo torej komplementarni pogoj na nivoju hitrosti

gN = 0 ⇒ gN ≥ 0, λN ≥ 0, gN λN = 0. (3.42)

Ce pa predpostavimo, da poleg tega, da velja gN = 0, velja se gN = 0, se kontakt ne more odpreti, doklerse ne pojavi gN > 0, kar lahko zapisemo kot komplementarni pogoj na nivoju pospeska

gN = 0 ∧ gN = 0 ⇒ gN ≥ 0, λN ≥ 0, gN λN = 0. (3.43)

Tangencialni kontaktni zakon

Osnovna oblika tangencialnega kontaktnega zakona (3.40) je ze zapisana na nivoju hitrosti, na nivoju

pomika pa ni dolocljiva. Analogno pogojem (3.43) bi lahko tudi nabor komplementarnih pogojev, vkatere bi bila prevedena tangencialna karakteristika, zapisali tudi na nivoju pospeska [1, 5]. Ker razdelitevtangencialne karakteristike v tem delu ni bila izvedena, zapisemo tangencialno karakteristiko na nivoju

pospeska v obliki, ki je analogna pogojem (3.40):

gT = 0 ⇒|λT| ≤ µλN ∧ gT = 0,λN = µλN ∧ gT < 0,λN = −µλN ∧ gT > 0.

(3.44)

Poglavje 4

Integracijske metode

Gibalne enacbe negladkega dinamskega sistema (3.36) ne moremo neposredno resevati z obicajnimi inte-gracijskimi metodami [3], ker je ob zapiranju in odpiranju kontaktov ter prehodih kontaktov med lepenjemin drsenjem treba bodisi prilagoditi stevilo prostostnih stopenj bodisi vkljuciti kontaktne sile. Uveljavilista se dve skupini metod, in sicer:

• metode kontaktnih dogodkov (angl. event-driven methods), ki resujejo gibalno enacbo (3.36), zapi-sano v le malo spremenjeni obliki, in

• metode casovnega koraka (angl. time-stepping methods), ki nadomestijo enacbo (3.36) z njej po-dobno enakostjo mer.

Za metodo kontaktnih dogodkov bo izvedena samo gladka integracija, ki jo je sicer mogoce izvajati spoljubno integracijsko metodo za resevanje diferencialnih enacb. Integracijo je treba prekiniti ob casu,ko se stanje kontaktov spremeni. Nato bodo predstavljene metode casovnega koraka, in sicer bo izvedenadiskretizacija gibalne enacbe (3.36) po casu, nato pa predstavljena metoda casovnega koraka, imenovanaMoreaujev algoritem, ki je uporabljena v tej diplomski nalogi.

4.1 Metoda kontaktnih dogodkov

Predstavimo metodo kontaktnih dogodkov za ravninski dinamski sistem, ki jo navajata Glocker in Pfe-iffer [1]. Najprej dolocimo ustrezno obliko gibalne enacbe in ugotovimo kontaktne sile ter vektor po-splosenih pospeskov. Nato je naveden pristop k integraciji in opisano je zaznavanje dogodka.

Ta metoda deli resitev na posamezne gladke faze, ki jih integrira s poljubno metodo resevanja diferen-cialnih enacb (z Eulerjevo metodo, Runge-Kutta ipd.). Meje med gladkimi fazami predstavljajo dogodki

(angl. events), ki povzrocajo negladkost kinematike. Med dogodke pristevamo:

• odprtje kontakta,

• prehod kontakta iz lepenja v drsenje,

• prehod kontakta iz drsenja v lepenje in

• trk (zaprtje kontakta).

Da lahko izracunamo kontaktne sile, mora biti znano, v kaksnem stanju je vsak posamezni kontakt, karimenujemo konfiguracija kontaktov. Znotraj vsake gladke faze velja za dinamski sistem ista konfiguracijakontaktov, ker se ta lahko spreminja samo, ko pride do dogodka. Konfiguracijo kontaktov popisemo zrazvrscanjem kontaktov v kontaktne mnozice. Vse mozne kontakte oznacimo z zaporednimi stevilkamiin jih glede na stanje posameznega kontakta razvrstimo v naslednje kontaktne mnozice:

20

POGLAVJE 4. INTEGRACIJSKE METODE 21

• Mnozica vseh moznih kontaktov: IC = {1, 2, . . . , nC}, ki steje nC elementov.

• Mnozica vseh zaprtih kontaktov: IN = {i ∈ IC | gNi = 0}, ki steje nN elementov.

• Mnozica vseh drsecih in lepenih kontaktov: IS = {i ∈ IN | gNi = 0}, ki steje nS elementov.

• Mnozica vseh lepenih kontaktov: IH = {i ∈ IS | gTi = 0}, ki steje nH elementov.

• Mnozica vseh drsecih kontaktov: IG = IS\IH, ki steje nG elementov.

4.1.1 Gladka faza integracije ravninskega dinamskega sistema s trenjem

Ni dovolj poznati samo gibalne enacbe (3.36) in zacetnega pogoja, da lahko zacnemo z integracijo gladkeresitve. Za dinamske sisteme, v katerih zaprti kontakti nastopajo socasno, predstavlja dolocitev kontak-tnih mnozic kombinatorni problem, ker je treba izmed vseh konfiguracij dolociti tisto, za katero kontaktnesile lezijo znotraj obmocja dopustnih kontaktnih sil. Ta kombinatorni problem imenujemo kontaktni pro-

blem in bo podrobneje obravnavan v nadaljevanju (poglavje 5) v okviru metode casovnega koraka.

Predpostavimo, da poznamo gibalno enacbo (3.36), zacetne pogoje q0 in q0 in da so tudi mnozice kon-taktov ze znane – resen je bil kontaktni problem. Potem lahko na podlagi poznavanja kontaktnih mnozicdolocimo vse nastopajoce kontaktne sile:

• Na vsakem lepenem in drsecem kontaktu i ∈ IS je dinamskemu sistemu v normalni smeri odvzetaprostost, zato lahko izracunamo pasivno normalno silo λNi, i ∈ IS.

• Na lepenih kontaktih i ∈ IH je sistemu odvzeta se ena prostost, kar omogoca tudi izracun pasivnetangencialne sile λTi, i ∈ IH.

• Na drsecih kontaktih i ∈ IG se pojavlja tangencialna sila, katere velikost in smer sta znani. PoCoulombovem zakonu (poglavje 3.4.2) jo dolocimo kot

QTi = λTi ti = −µi λNi sign(gTi) ti, λNi > 0. (4.1)

Da lahko nastete pogoje upostevamo, Glocker in Pfeiffer [1] uvedeta se nekaj oznak:

λN = col{λNi}, WN = mat{wNi}, wN = col{wNi}, gN = col{gNi}, i ∈ IS

λH = col{λTi}, WH = mat{wTi}, wH = col{wTi}, gH = col{gTi}, i ∈ IH

λG = col{λTi}, WG = mat{wTi}, µG = diag{−µi sign(gTi)}, i ∈ IG,

(4.2)

ki omogocijo loceno obravnavo sil glede na kontaktne mnozice, vsaka vrstica oznak (4.2) namrec pripadasvoji kontaktni mnozici.

Formulacija gibalne enacbe

Zapisemo gibalno enacbo

M q − h−WN λN −WH λH −WG λG = 0 ∈ Rf , (4.3)

v katero so vkljucene posplosene kontaktne sile s tremi cleni, kjer clen WN λN pripada normalnim kon-taktnim silam, clen WH λH silam lepenja in clen WG λG silam drsenja. Velikosti aktivnih sil drsecihkontaktov λG dolocimo iz pogoja (4.1) kot linearno odvisne od velikosti normalnih kontaktnih sil

λG = µG λN ∈ RnS−nH , (4.4)

kjer je bila uvedena diagonalna matrika koeficientov trenja µG z oznakami (4.2) – tvorijo jo koeficientitrenja predznaceni glede na hitrost drsenja. V gibalni enacbi (4.3) lahko izvedemo eliminacijo velikostiposplosenih sil drsenja z uporabo enacbe (4.4) in dobimo preurejeno gibalno enacbo

M q − h−[

WN + WG µG WH

] [λN

λH

]

= 0 ∈ Rf , (4.5)


katere notacijo pa lahko se nekoliko poenostavimo, ce uvedemo se nekaj oznak:

W =[

WN WH

]

, NG =[

WG µG 0]

, λ =

[λN

λH

]

. (4.6)

Z uporabo oznak (4.6) lahko gibalno enacbo (4.5) zapisemo kot

M q − h− (W + NG) λ = 0 ∈ Rf . (4.7)

Dolocitev posplosenih pospeskov in pasivnih sil

Iscemo vektor posplosenih pospeskov q in pasivne sile λ, ki izpolnjujejo gibalno enacbo (4.7). Se eno zvezo(poleg gibalne enacbe) med neznankama lahko dobimo iz pogoja, da pasivne sile λ zagotavljajo nicelnekontaktne pospeske, ki so od posplosenih pospeskov odvisni po zvezah oblike (3.26), ki ju zapisemo:

gN = W TN q + wN ∈ R

nS ,

gH = W TH q + wH ∈ R

nH .(4.8)

Najprej poenostavimo notacijo enacb (4.8) z rabo oznak

g =

[gN

gH

]

, w =

[wN

wH

]

(4.9)

in matrike posplosenih smeri W iz nabora oznak (4.6) v obliko

g = W Tq + w. (4.10)

Upostevamo, da so kontaktne hitrosti nicne g = 0 in so kontakti zaprti, kar dolocajo znane kontaktnemnozice. Potem pogoj

g = W Tq + w = 0 ∈ RnS+nH (4.11)

kot dvostranski kontakt (3.6) omogoca dolocitev pasivnih sil, ki povzrocajo lepenje in vzdrzevanje zapr-tosti kontaktov i ∈ IS. Enacbi (4.7) in (4.11) lahko po zgledu Parviza [10] resimo kot linearni sistemenacb

[M W + NG

W T 0

] [q

λ

]

=

[h

−w

]

, (4.12)

lahko pa kakor Glocker in Pfeiffer [1] izvedemo eliminacijo pasivnih kontaktnih sil, ki jo tu izpustimo.

Obstoj in enolicnost resitve. Glocker in Pfeiffer [1] pokazeta, da v odsotnosti trenja (NG = 0, glejteoznake (4.6)) problem (4.12) resi samo en vektor posplosenih pospeskov q, tudi ce so smeri posplosenihpasivnih sil (stolpci matrike W ∈ R

f×(nN+nH)) linearno odvisne: rang W < nN +nH. Linearna odvisnoststolpcev matrike W pa implicira neenolicnost resitve λ, kar je znano tudi kot staticna nedolocenost. Naprimeru pokazeta, da z narascanjem kolicnika trenja (NG 6= 0) lahko pride tudi do nedolocljivosti q, karje znano kot Painleveov paradoks [1, 3]. Uvedba metod casovnega koraka (poglavje 4.2) odpravi neobstojresitve v pogojih Painleveovega paradoksa [7, 23].

Integraciji prilagojena oblika

Gibalno enacbo lahko do pojavitve dogodka integriramo s poljubno numericno metodo resevanja diferen-cialnih enacb, kar pokazemo tako, da jo zapisemo v obliki

z = fint (z, t) , (4.13)


ce oznacimo

z =

[q

q

]

∈ R2f in fint(z, t) =

[q(z)

q

]

∈ R2f , (4.14)

kjer je vektor posplosenih pospeskov q(z) dolocen iz problema (4.12).

Zaznavanje dogodka

Med gladko integracijo je v vsakem casovnem koraku treba preverjati, ali ni prislo do dogodka, ki bispremenil kontaktne mnozice. Ce naj bo metoda natancna, je treba dolociti natancen cas dogodkatk (npr. s krajsanjem casovnega koraka po bisekcijski metodi) [4]. S casom tk zakljucimo gladko fazointegracije in, preden se integracija nadaljuje, je treba dolociti nove kontaktne mnozice, kar je mogoce poresitvi kontaktnega problema.

• Iz linearnega sistema enacb (4.12) se po dolocenem casovnem intervalu integracije lahko zgodi, daizracunamo adhezivne normalne sile λNi < 0, i ∈ IS, ki so v kontaktu potrebne, da se ta ne odpre,kar bi krsilo normalni kontaktni zakon (poglavje 3.4.1), zato tak pojav oznacimo kot dogodek.

• Enako lahko iz enacbe (4.12) izracunamo sile lepenja, ki lezijo zunaj intervala lepenja (|λTi| >µi λNi; i ∈ IH), s cimer je krsen Coulombov zakon trenja.

• Drseci kontakt na koncu k-tega casovnega koraka spremeni predznak ali neha drseti (gkTi g

k+1Ti ≤

0; i ∈ IG) in takrat obstaja moznost, da se mora ta kontakt uvrstiti med lepene kontakte i ∈ IH.

• Dogodek predstavlja tudi trk, ki ga lahko definiramo kot pojavitev novega kontakta gNi ≤ 0, i ∈IC\IS. Posebnost trka je, da ni mogoce izracunati sil, ki bi zaustavile prodiranje na trcnem kontak-tnem mestu oz. bi te morale biti ob predpostavki togosti teles neskoncne. Glocker in Pfeiffer [1] vokviru metode kontaktnih dogodkov obravnavata tudi trk, tako da se obravnava problema izvaja nanivoju impulzov po modificiranem Poissonovem modelu trka, kar bo predstavljeno v nadaljevanju(poglavje 6).

4.2 Metoda casovnega koraka

Metoda casovnega koraka deluje v domeni impulzi – hitrosti, po cemer se razlikuje od metode kontak-tnih dogodkov, ki deluje v domeni sile – pospeski. Taksna metoda zato ne razlikuje med impulzivnimiobremenitvami, ki so posledica trka, ali silami v trajnih zaprtih kontaktih. Trk, ki pri metodi kontak-tnih dogodkov predstavlja posebno komplikacijo, je z normalnim kontaktnim zakonom kot plasticni trkze upostevan, lahko pa vkljucimo tudi zakon o elasticnem trku. Metoda je lahko formulirana tudi brezmnozic kontaktov, ce upostevamo normalni kontaktni zakon na nivoju pomika in tangencialni kontaktnizakon na nivoju hitrosti, vendar se s krajsanjem casovnega koraka∆t→ 0 pojavijo tezave z izracunom po-plosenih hitrosti in kontaktnih sil, ki zahtevajo dodatno obravnavo [2]. Obicajno zato metoda casovnegakoraka vkljucuje eno mnozico zaprtih kontaktov IN, kar pomeni poenostavitev v primerjavi z metodokontaktnih dogodkov [3].

V tej diplomski nalogi je obravnavana metoda casovnega koraka, Moreaujev algoritem z eno kontaktnomnozico IN [3], zato bo v nadaljevanju pripravljena prilagojena gibalna enacba in predstavljen bo algori-tem. Kontaktni problem bo formuliran kot linearni komplementarni problem za primer, ko v dinamskemsistemu trenje ne nastopa, kar poenostavi formulacijo.

4.2.1 Prehod na nivo impulzi – hitrosti

Gibalno enacbo (3.36) nadomestimo z enakostjo mer [2, 3]. Z Leibnizovo notacijo zapisemo vektor po-splosenih pospeskov

q =dq

dt(4.15)


in tudi za vektorje sil, ki jih zapisemo kot casovne odvode impulzov

λ = Λ =dΛ

dt, (4.16)

ce smo z Λ oznacili impulze. Ce tako zapisana vektorja posplosenih pospeskov in kontaktnih impulzovvstavimo v (3.36) in celotno enacbo pomnozimo z diferencialno mero casa dt, dobimo enakost mer

M dq − h dt−WN dΛN −WT dΛT = 0. (4.17)

Ta je bila izpeljana za gibanje brez trka. Da pa upostevamo se trke, namesto definicije zveznega vektorjaposplosenih hitrosti dq = q dt definiramo nezveznega

dq = q dt+ (q+ − q−) dη, (4.18)

kjer smo dodali se razliko desne (+) in leve (−) limite vektorja q ter mero vsote vseh Diracovih impulzov

dη =

N∞∑

j=1

δ(t− tj) dt (4.19)

ob casih trka tj , ki jih je lahko stevno ali nestevno mnogo N∞, kjer je δ(t) Diracova delta funkcija. Stem smo upostevali morebitno nezveznost (q+ − q−) 6= 0 ob casih trka. Podobno izvedemo tudi za merokontaktnih impulzov

dΛ = Λ dt+(Λ+ −Λ−

)dη, (4.20)

kjer smo dodali impulze Λ, ki se pojavijo ob casih trka oz. v pogojih, ki jih je opisal Painleve [1, 3, 7, 23].

4.2.2 Implikacije enakosti mer

Postavimo pogoje, ki jih izpolnjuje resitev q(t) in Λ(t). Velicine, uvedene z enacbami (4.18), (4.19) in(4.20), vstavimo v enacbo (4.17) (kjer zaradi preglednosti opustimo razlikovanje med tangencialnimi innormalnimi obremenitvami):

M q + M (q+ − q−)

N∞∑

j=1

δ(t− tj)− h−W Λ −W(Λ+ −Λ−

)N∞∑

j=1

δ(t− tj)

dt = 0. (4.21)

Gibalna enacba gladke dinamike

Ce integriramo enakost mer (4.21) po diferencialno kratkem casovnem intervalu [t, t+ dt], v katerem sene pojavijo impulzivne sile, dobimo enakost mer

M q dt− h dt−W λ dt = 0, (4.22)

ki formulira gibalno enacbo gladke dinamike, ker so vse Diracove funkcije v vsoti nicne.

Enacba trka

Ce integriramo enakost mer (4.21) po diferencialno kratkem casovnem intervalu [tj , tj + dt], v kateremse pojavijo impulzivne sile, dobimo enakost mer

M (q+ − q−)−W(Λ+ −Λ−

)= 0, (4.23)

kjer upostevamo, da je integral Diracove delta funkcije po intervalu, ki vsebuje tj , enak 1, mere kjerDiracova funkcija ne nastopa so pa zanemarljivo majhne. V enacbi (4.23) prepoznamo enacbo trka [2].


4.3 Moreaujev algoritem

To je preprostejsi postopek integracije negladke enakosti mer (4.17), ki bo uporabljen na konkretnihprimerih te diplomske naloge. Predstavljen je v razlicnih virih [2, 3, 13].

4.3.1 Diskretizacija za Moreaujev algoritem

Ce bi poznali resitev q(t) in Λ(t), jo vstavili v enakost mer (4.21) ter integrirali na poljubnem intervalu, bibil rezultat integracije nicelni vektor, zato sklepamo, da lahko na osnovi pogojev, ki jih doloca integralskaoblika enakosti mer (4.17), resitev aproksimiramo. Ne moremo izhajati iz integralske oblike (4.21), kerresitve ne poznamo, in zato ne moremo razlikovati med impulzivnimi (Λ+ −Λ−) in neimpulzivnimi Λ

silami. Integralske clene nadomestimo z aproksimacijami

∫

∆t

M dq ≈M ∆q,

∫

∆t

h dt = ∆h ≈ h∆t,

∫

∆t

W dΛ ≈W Λ. (4.24)

Aproksimacije integralskih clenov mnogih metod casovnega koraka predpostavljajo, da se matriki M inW v casu ∆t zanemarljivo malo spremenita [2]. Tako dobimo diferencno gibalno enacbo

M ∆q − h∆t−WN ΛN −WT ΛT = 0, (4.25)

primerno za integracijo po Moreaujevem algoritmu, kar je tu izvedeno tako kot v [3]. Splosnejso diskre-tizacijo izvede Studer [2], katere partikularni primeri so diskretizacije nekaterih avtorjev.

Kinematika kontakta in kontaktni zakoni

Metoda casovnega koraka doloca relativno gibanje para delcev v kontaktu za normalno smer z uporabozveze

g+N = W N

T (q, q−, t)(q− +∆q

)+ wN(q, t), (4.26)

ki za ∆q = dq velja kot enakost, ob diskretizaciji pa jo uporabimo kot aproksimativno zvezo [3, 19].Analogna zveza velja tudi za tangencialno smer

g+T = W T

T (q, q−, t)(q− +∆q

)+ wT(q, t). (4.27)

Kontaktna zakona smo sicer izpeljali kot zvezo med silo in kinematskimi velicinami kontakta, vendar paju lahko povsem analogno upostevamo tudi na nivoju impulzov (slika 4.1) [2, 3].

Slika 4.1: Kontaktna zakona kot zveza med kinematiko in impulzom


4.3.2 Potek

Casovni korak ∆t delimo na dve polovici (slika 4.2).

Slika 4.2: Razpolovljen casovni korak na casovni premici in velicine ob razlicnih casih

• Na zacetku casovnega koraka ob casu tA sta znana vektor posplosenih koordinat sistema qA invektor posplosenih hitrosti qA kot zacetna pogoja.

• Dolocimo vektor posplosenih koordinat

qM = qA + qA∆t

2(4.28)

ob casu tM, ki razpolavlja casovni korak.

• Ob casu tM dolocimo velicine, ki so znane funkcije posplosenih koordinat:

MM, hM, WNM in WTM,

Ker je bil upostevan vektor qM, naj bi te velicine reprezentativno popisovale stanje sistema vcasovnem koraku.

• Formuliramo in resimo kontaktni problem kot LCP ali po RL-metodi, iz cesar izracunamo impulze

ΛN in ΛT.

• Izracunane impulze ΛN in ΛT vstavimo v diferencno gibalno enacbo (4.25) v obliki

MM (qE − qA)− hM ∆t−WNM ΛN −WTM ΛT = 0, (4.29)

ki je zapisana z oznakami, prilagojenimi Moreaujevemu algoritmu.

• Iz enacbe (4.29) lahko izrazimo in izracunamo posploseno hitrost qE ob koncu casovnega koraka.

• Nato ugotovimo vektor posplosenih koordinat na koncu casovnega koraka

qE = qM + qE∆t

2. (4.30)

• Celotni postopek se ponovi za naslednji casovni korak tako, da se upostevajo izracunani vrednostiqE in qE kot zacetna pogoja qA in qA naslednjega casovnega koraka.

4.3.3 Kontaktni problem kot LCP

Kontaktne sile ali impulze lahko izracunamo bodisi iz linearnega komplementarnega problema (angl. Li-near Complementarity Problem – LCP) (dodatek A.3.4) bodisi po RL-metodi (poglavje 5). Formulacijakontaktnega problema je odvisna od metode, po kateri resujemo gibalno enacbo – v tej diplomski nalogije to Moreaujev algoritem. Znano mora biti, kateri kontaktni zakoni bodo upostevani in na katerem hitro-stnem nivoju – kaksne so kontaktne mnozice. Ce bi zeleli upostevati tudi elasticni trk, bi morali drugaceformulirati LCP, v tem primeru bi potrebovali celo dve formulaciji, ce bi sledili Poissonovemu zakonutrka (poglavje 6), ki deli trk na fazo kompresije in fazo ekspanzije – torej za vsako fazo svojega. LCP bo


formuliran samo za normalno smer kontakta (trenje ne bo upostevano) na nivoju hitrosti in impulzov.Taksen LCP lahko oblikujemo brez razstavitve tangencialnega kontaktnega zakona (poglavje 3.4.2) in stem pokazemo alternativo RL-pristopu.

Formulacija za samo normalno smer

Kontaktni problem resujemo, ko smo za cas tM ze dolocili vse velicine, ki nastopajo v gibalni enacbi(4.29) kot funkcije posplosenih koordinat. Izhajamo iz komplementarnih pogojev (3.39), vendar na nivojuhitrosti, z upostevanjem impulzov in v matricnem zapisu za vec kontaktov hkrati:

gN � 0, ΛN � 0, gTN ΛN = 0. (4.31)

Ker upostevamo normalni kontaktni zakon na nivoju hitrosti, je treba sestavljati mnozico zaprtih kon-taktov IN. Zato bomo tudi izracunali in v gibalno enacbo vkljucili samo ΛNi, i ∈ IN. Spremenljivkama,ki nastopata v komplementarnih pogojih, moramo poiskati linearno zvezo. Najprej zapisemo zvezo

gNE = W TNM qE + wNM, (4.32)

ki izhaja iz enacbe (4.26). Vektor qE pa lahko iz enacbe (4.29) izrazimo v linearni odvisnosti od znanihvelicin in ΛN kot

qE = qA + M−1M (hM ∆t+ WNM ΛN), (4.33)

kjer je upostevano, da za primer brez trenja velja ΛT = 0. Izvedemo zamenjavo (4.33) v (4.32)

gNE = W TN

(qA + M−1

M (hM ∆t+ WNM ΛN))

+ wNM, (4.34)

v kateri po ureditvi prepoznamo LCP:

gNE︸︷︷︸

y

= W TNM M−1

M WNM︸︷︷︸

A

ΛN︸︷︷︸

x

+ W TNM qA + W T

NM M−1M hM ∆t+ wNM

︸︷︷︸

b

. (4.35)

Poglavje 5

Razsirjeni Lagrangeev pristop

Povezava z literaturo in viri

To poglavje je osnovano na treh delih, ki pojasnjujejo razsirjeni Lagrangeev pristop: Alarta in Curni-erja [8], Leineja in Nijmeijerja [3] ter Studerja [2]. Razsirjeni Lagrangeev pristop sta v mehaniko uvedlaAlart in Curnier [8], ki sta za staticne mehanske sisteme formulirala kontaktni problem, ki obravnavatrenje pri neznani normalni kontaktni sili (angl. non-associated friction) kot problem optimizacije (kvazi)RL-funkcije. Leine in Nijmeijer sta za dinamske sisteme ponovno formulirala RL-funkcijo po pristopu,ki ga imenujeta eksaktna regularizacija (angl. exact regularization)12. RL-funkcijo izpelje tudi Studer, kipa je problem optimizacije inovativno omejil na prostor kontaktnih sil, s tem ko je eliminiral posplosenepospeske.

Alart in Curnier sta v svojem delu [8] izpustila izpeljavo RL-funkcije za kontaktni problem, Eksaktnaregularizacija [3] nudi predvsem dodatno utemeljitev veljavnosti dela Alarta in Curnierja, Studerjevaizpeljava, ki eliminira posplosene pospeske, pa ne pojasnjuje formulacije RL-funkcije Alarta in Curnierja.V tej diplomski nalogi so zato izvedeni koraki, ki privedejo do RL-funkcije, iz katere Alart in Curnierizhajata. Alart in Curnier tudi upostevanje modificirane Newtonove metode pojasnita zelo kompaktno,zato je tudi to nekoliko podrobneje izvedeno v tem poglavju, od cesar je nekaj izpeljave umaknjene vdodatek A.1.

Aplikacije. RL-pristop sta Leine in Glocker [9] uporabila pri simulaciji vrtavke Tippe-Top, mnogeaplikacije pa je izvedel tudi Studer [2]. Le Saux et al. [13] so pristop uporabili pri analizi dinamike modelakotalecega se diska, njihovo delo pa je tej diplomski nalogi tudi zgled obravnave negladke prostorskedinamike v poglavju 7.

Povzetek poglavja

V poglavju 3.4 so bili kontaktni zakoni prevedeni na komplementarne pogoje, v tem poglavju pa izrazimote iste zakonitosti na podlagi definicij iz konveksne analize (poglavje 2.2). S tem omogocimo formulacijokontaktnih zakonov v obliki vkljuckov, kakrsne lahko uporabimo kot omejitvene vkljucke pri RL-metodi.

Zapisan bo problem optimizacije, katerega resitev je hkrati tudi resitev diferencne gibalne enacbe zadinamiko brez kontaktov. Nato bodo upostevani dvostranski kontakti kot enakostni omejitveni pogoji(omejitvene enacbe), ki bodo v problem vkljuceni z uvedbo obicajne Lagrangeeve funkcije. Formulacijakontaktnega problema, ki uposteva dvostranske kontakte z obicajno Lagrangeevo funkcijo, bo z omeji-tvijo kontaktnih impulzov preoblikovana na kontaktni problem z enostranskimi kontakti. Ker so impulziomejeni z vkljucki v konveksna obmocja dopustnih impulzov, je problem lahko resen z naknadno uvedborazsirjene Lagrangeeve funkcije.

Za RL-funkcijo je ugotovljen gradient in pokazano je, da v sedlu izpolnjuje kontaktne zakone in gi-balno enacbo. Nato je oblikovan postopek dolocitve sedla po modificirani Newtonovi metodi optimizacije

(poglavje 5.3).

12 Pristop temelji na teoriji negladkega potenciala, ki jo obravnava Glocker [21].

28

POGLAVJE 5. RAZSIRJENI LAGRANGEEV PRISTOP 29

5.1 Reformulacija kontaktnih zakonov

Kontaktne zakone zapisemo kot vkljucke, katerih veljavnost tudi preverimo. To storimo za normalnikontaktni zakon, tangencialni kontaktni zakon v ravninski dinamiki in tangencialni kontaktni zakon vprostorski dinamiki. Potem je pokazano, kako je mogoce vkljucke kontaktnega problema, ki veljajo zarazlicne kontakte in kontaktne zakone zdruzeno obravnavati kot par globalnih vkljuckov ali kot en samglobalni vkljucek.

5.1.1 Normalni kontaktni zakon

Za eno kontaktno mesto ga lahko zapisemo kot

−gN ∈ NCN(λN), CN = {λ∗

N ∈ R | λ∗N ≥ 0}, (5.1)

kjer je CN obmocje dopustnih vrednosti normalne kontaktne sile λN, NCNnormalni stozec na to obmocje,

definiran z definicijo 6, gN pa je normalna kontaktna razdalja, ki je bila definirana z enacbo (3.8).

Veljavnost formulacije normalnega kontaktnega zakona (5.1) lahko preverimo. Ce je CN obmocje dopu-stnih normalnih sil in sovpada z nenegativno realno polosjo, je normalni stozec dolocen kot

NCN(λN) =

0, λN > 0(−∞, 0] , λN = 0{}, λN < 0

(5.2)

in s tem sta pogoja (5.1) ekvivalentna formulaciji komplementarnega pogoja (poglavje 3.4.1).

Formulacijo (5.1) lahko ravno tako zapisemo na kinematskem nivoju hitrosti ali pospeska, kakor je bilostorjeno pri formulaciji kontaktnega zakona v obliki komplementarnega pogoja v poglavju 3.4.3, in tuditu lahko preidemo na nivo impulzov, zato zapisemo obliko, ki bo uporabljena v tem delu, torej na nivojuhitrosti in z upostevanjem impulzov (slika 5.1 – a):

gN = 0 ⇒ −gN ∈ NCN(ΛN), CN = {Λ∗

N ∈ R | Λ∗N ≥ 0}. (5.3)

Slika 5.1: Normalni kontaktni zakon (a) in tangencialni kontaktni zakon (b)

5.1.2 Tangencialni kontaktni zakon

V primerjavi z normalnim kontaktnim zakonom se pojavi samo ta razlika, da nabor dopustnih vrednostitangencialne sile λT definiramo drugace:

−gT ∈ NCT(λN)(λT), CT(λN) = {λ∗T ∈ R | |λ∗

T| ≤ µλN}. (5.4)


Ce zapisemo

NCT(λN)(λT) =

[0, +∞) , λT = µλN,0, λT ∈ (−µλN, µ λN) ,(−∞, 0] , λT = −µλN,{}, λT /∈ [−µλN, µ λN] ,

(5.5)

preverimo, da pogoja (5.4) popisujeta Coulombov zakon za ravninsko dinamiko (poglavje 3.4.2).

Tudi tangencialni kontaktni zakon bi lahko zapisali se na kinematskem nivoju pospeska, vendar ga bomopotrebovali na nivoju hitrosti, zato ga ponovimo le v obliki, ki je skladna z diferencno gibalno enacbometode casovnega koraka (poglavje 4.2 in [2, 3]), torej na nivoju impulzov in za ravninski dinamski sistem(slika 5.1 – b):

−gT ∈ NCT(λN)(ΛT), CT(ΛN) = {Λ∗T ∈ R | |Λ∗

T| ≤ µΛN}. (5.6)

Trenje v tangentni ravnini

Zakon izotropnega Coulombovega trenja v tangentni ravnini kontakta (poglavje 3.4.2), kar potrebujemov prostorski dinamiki, se lahko zapise v obliki

−gT ∈ NCT(λN)(λT), CT(λN) = {λ∗T ∈ R | ‖λ∗

T‖ ≤ µλN}, (5.7)

kjer sta gT,λT ∈ R2 vektorja v tangentni ravnini, CT(λN) pa predstavlja krog dopustnih vrednosti sile

trenja. Podobno lahko popisemo tudi anizotropno trenje, ce namesto kroga dopustnih sil trenja izberemozaprto elipticno obmocje CT(λN) [8] ali kaksno drugo konveksno obmocje [3, 9].

Po definiciji 6, ki je tudi ilustrirana na sliki 2.1, lahko zapisemo se normalni stozec za primer ravninskegaobmocja dopustnih sil Coulombovega trenja:

NCT(λN)(λT) =

0, ‖λT‖ < µλN,{kλT | k ∈ [0,∞)}, ‖λT‖ = µλN,{}, ‖λT‖ > µλN.

(5.8)

V tej diplomski nalogi je uporabljena oblika na nivoju impulzov

−gT ∈ NCT(ΛN)(ΛT), CT(ΛN) = {Λ∗T ∈ R | ‖Λ∗

T‖ ≤ µΛN}. (5.9)

5.1.3 Zapis za vec kontaktov hkrati

Dopuscamo poljubno stevilo socasnih kontaktov, ki jih hkrati upostevamo v kontaktnem problemu, zatopovecamo preglednost z uvedbo kompaktnejsega zapisa. Vse mozne kontakte ravninskega dinamskegasistema oznacimo z i ∈ IC = {1, 2, . . . , nC}. V kontaktnem problemu upostevamo samo zaprte kontakte,i ∈ IN = {i ∈ IC | gNi ≤ 0}, zato zapisemo vektorje

gN = col{gNi},

gN = col {gNi} ,

ΛN = col{ΛNi},

gT = col{gTi},

gT = col {gTi} ,

ΛT = col{ΛTi},

i ∈ IN,

i ∈ IN,

i ∈ IN.

(5.10)

V enacbah (5.10) uporabimo notacijo col{ · }, s katero oznacimo, da vse vrednosti argumenta zapisemo vvektor – stolpec. Ce zapisemo se obmocji dopustnih impulzov kot kartezijska produkta

CN =∏

i∈IN

CNi in CT(ΛN) =∏

i∈IN

CTi(ΛNi), (5.11)


dobimo dve globalni vecdimenzijski obmocji [2, 8], ki hkrati upostevata vse zaprte kontakte, in kontaktnazakona zapisemo za vse zaprte kontakte kot

−gN ∈ NCN(ΛN) in −gT ∈ NCT(ΛN)(ΛT), (5.12)

kjer je pogoj gN � 0 ze upostevan13. Z vkljuckoma (5.12) so bila izrazena obmocja dopustnih kontaktnihhitrosti v obliki normalnega stozca, ki je po zvezi (2.10) ekvivalenten subdiferencialu indikatorske funkcije(definicija 7) obmocja dopustnih impulzov, zato lahko kontaktna zakona zapisemo tudi kot

−gN ∈ ∂ΨCN(ΛN) in −gT ∈ ∂ΨCT(ΛN)(ΛT). (5.13)

Ce upostevamo inverznost (2.13), lahko zapisemo kontaktna zakona tudi na osnovi subdiferenciala pod-

porne funkcije (definicija 9) obmocja dopustnih impulzov:

ΛN ∈ ∂Ψ∗CN

(−gN) in ΛT ∈ ∂Ψ∗CT(ΛN)(−gT). (5.14)

Zdruzeni in nezdruzeni kontaktni problem

Ce normalni kontaktni impulzi ΛN, ki dolocajo obmocje tangencialnih impulzov CT(ΛN), niso znani,imenujemo kontaktni problem kot zdruzeni kontaktni problem in treba je locevati obmocji dopustnihkontaktnih impulzov CN in CT(ΛN), ker s tem tudi obmocje CT(ΛN) ni znano in problema optimizacijev pravem pomenu besede ne moremo zapisati. Zapisemo lahko le problem kvazioptimizacije. Ce pa velja,da na mestih, kjer dolocamo tangencialne impulze ΛT, delujejo znani normalni kontaktni impulzi Λ∗

N,ki v kontaktnem problemu ne nastopajo kot neznanka, imenujemo kontaktni problem kot nezdruzeni

kontaktni problem.

V nadaljevanju (poglavje 5.2) je izvedena formulacija kontaktnega problema v obliki problema optimi-zacije za nezdruzeni kontaktni problem, zato ni potrebno razlikovati med obmocjema CN in CT(Λ∗) inuvedemo lahko oznake, ki prispevajo k splosnosti obravnave in obenem tudi poenostavijo notacijo. Prioznaki obmocja dopustnih tangencialnih kontaktnih impulzov izpustimo argument CT(Λ∗

N) = CT in gaobravnavamo kot znanega, kakor to velja za CN. V tem primeru lahko zdruzimo tudi vkljucka (5.12), insicer tako, da oblikujemo skupno obmocje dopustnih kontaktnih impulzov

C = CN × CT (5.15)

kot kartezijski produkt CN in CT. Uvedemo se oznake

W =[

WN WT

]

, g =

[gN

gT

]

in Λ =

[ΛN

ΛT

]

, (5.16)

pri cemer se uvedba matrike W sele pozneje izkaze za prikladno. Vkljucka (5.12) lahko nato zdruzenozapisemo kot en globalni vkljucek

−g ∈ NC(Λ). (5.17)

5.2 Razsirjena Lagrangeeva metoda

Gibalno enacbo nadomestimo s problemom optimizacije (minimizacije) sprva za dinamiko brez kontak-tov. Kontaktni problem z dvostranskimi kontakti formuliramo kot problem optimizacije z enakostnimiomejitvenimi pogoji (3.6) – dvostranskimi kontakti, ki jih lahko vkljucimo v problem optimizacije s for-mulacijo obicajne Lagrangeeve funkcije, katere optimizacija predstavlja problem, ki ponovno ni omejen nadoloceno obmocje (angl. unconstrained optimization problem). Izkaze se, da so vrednosti Lagrangeevihmnoziteljev enake kontaktnim silam oz. impulzom. Enostranske kontakte upostevamo tako, da omejimokontaktne impulze na dopustna obmocja z omejitvenim vkljucki, ki jih upostevamo z uvedbo razsirjeneLagrangeeve funkcije.

13 Z notacijo gN � 0 je implicirano gNi ≤ 0, ∀i ∈ IN.


5.2.1 Uvedba problema optimizacije

Za dinamski sistem, katerega dinamika je neovirana, zapisemo ciljno funkcijo po Gaussovem nacelu [2,3, 21] kot

Z(∆q) =1

2(∆q −M−1 h∆t)T M (∆q −M−1 h∆t) =

1

2‖∆q −M−1 h∆t‖2

M , (5.18)

kjer je M simetricna pozitivno-definitna masna matrika sistema, h vektor zunanjih sil in ∆t casovnikorak (poglavje 3.1.2). Z odvajanjem (glejte dodatek A.3.2) potencialne funkcije (5.18) po ∆q dobimo

∇Z(∆q) = M ∆q − h∆t, (5.19)

s cimer preverimo, da njen minimum ustreza resitvi gibalne enacbe. Torej je resevanje gibalne enacbeenakovredno resevanju problema optimizacije

min∆q

Z(∆q). (5.20)

5.2.2 Obicajna Lagrangeeva funkcija

Ko se pojavijo kontakti, dolocamo ta minimum kot vezani ekstrem na podlagi obicajne Lagrangeeve

funkcije, ki predstavlja problem optimizacije brez omejitev (angl. unconstrained optimization problem).V tem primeru dolocamo minimum funkcije Z(∆q) pri pogoju, da so vse kontaktne hitrosti zaprtihkontaktov nicne, kar izvedemo z uvedbo Lagrangeevih mnoziteljev Λ. Izkaze se, da optimalne vrednostiteh mnoziteljev ustrezajo kontaktnim impulzom. Na obravnavo enostranskih kontaktov preidemo tako,da kontaktne impulze omejimo na dopustna obmocja, ki ustrezajo kontaktnim zakonom.

Kontaktni problem z dvostranskimi kontakti

Za primer dvostranskih kontaktov lahko zapisemo problem optimizacije

min∆q

maxΛ

L(∆q, Λ), (5.21)

ki ne vkljucuje omejitvenih pogojev, ce funkciji (5.18) zapisemo Lagrangeevo funkcijo

L(∆q, Λ) = Z(∆q)− gTΛ, (5.22)

ki uposteva omejitveni pogoj −g = 0. Uvedeni so bili Lagrangeevi mnozitelji Λ, za katere se izkaze, daso enaki kontaktnim impulzom, kar preverimo z dolocitvijo gradienta. S parcialnim odvajanjem po obehneznankah ∆q in Λ dobimo gradient, ki ga enacimo z nicelnim vektorjem, ker dolocamo sedlo:

∇L(∆q, Λ) =

[

∇∆qL

∇ΛL

]

=

[

M ∆q − h∆t−W Λ

−g

]

= 0. (5.23)

Po pravilu odvajanja sestavljene funkcije se v enacbi (5.23) pojavi matrika W = (∂g/∂∆q)T (glejtedefinicije (3.23), (3.35) in (5.16)). Ce je gradient (5.23) nicen, pogoj ∇∆qL = 0 izpolnjuje gibalno enacbo,pogoj ∇ΛL = 0 pa dvostranske kontakte na nivoju hitrosti.

Prehod na enostranske kontakte

Ce v problemu (5.21), ki optimizira obicajno Lagrangeevo funkcijo (5.22), omejimo mnozitelje (impulze)Λ z vkljuckom Λ ∈ C, lahko zapisemo kontaktni problem z enostranskimi kontakti [3, 8] kot

min∆q

maxΛ∈C

L(∆q,Λ). (5.24)


Trditev, da problem (5.24) popisuje kontaktni problem z enostranskimi kontakti, lahko preverimo. Zodstetjem indikatorske funkcije ΨC(Λ) preoblikujemo problem (5.24), katerega sedlo je vezano z vkljuckomΛ ∈ C, v problem

min∆q

maxΛ

LΨ (∆q,Λ), LΨ (∆q,Λ) = Z(∆q)− gTΛ− ΨC(Λ), (5.25)

kjer optimizacija teoreticno ne vkljucuje omejitvenih pogojev. Na ta nacin dosega ciljna funkcija LΨ (∆q,Λ)problema (5.25) vrednost −∞ za vse Λ /∈ C in je zagotovljeno, da taksna resitev ne more ustrezati maksi-mizaciji po Λ. Ugotovimo, katere pogoje izpolnjuje sedlo funkcije LΨ (∆q,Λ) iz (5.25) tako, da zahtevamo,da je v njenem subdiferencialu14 (enacba (2.6)) vkljucen nicelni vektor, torej ∂LΨ (∆q,Λ) ∋ 0, zato jonajprej generalizirano odvajamo:

∂∆qLΨ (∆q,Λ) = M∆q − h∆t−W Λ, (5.26)

∂ΛLΨ (∆q,Λ) = −g − ∂ΨC(Λ). (5.27)

Prvi del subdiferenciala ∂LΨ (∆q,Λ), ki je zapisan na desni strani enacbe (5.26), lahko z nicelnim vektor-jem enacimo kot ∂∆qLΨ = 0, ker ne zavzema vrednosti obmocja. Dobljeni pogoj ustreza gibalni enacbi

M∆q − h∆t−W Λ = 0. (5.28)

Za desno stran enacbe (5.27) zapisemo pa vkljucek ∂ΛLΨ ∋ 0 kot

−g − ∂ΨC(Λ) ∋ 0 ⇒ −g ∈ ∂ΨC(Λ) = NC(Λ). (5.29)

Z enacbama (5.28) in (5.29) je preverjeno, da lokacija stacionarne tocke problema (5.25) izpolnjuje takogibalno enacbo kot vkljucek oblike (5.17). Ker je problem (5.25) enakovreden problemu (5.24), je tudi zaproblem (5.24) preverjeno, da doloca resitev kontaktnega problema, saj lahko vkljucek (5.29) predstavljatako Coulombov zakon z znanim normalnim impulzom kakor tudi normalni kontakt (vkljucek (5.17)), ceje bilo vpeljano obmocje dopustnih impulzov C = CN × CT.

Sicer pa je izpeljava splosna in obmocje C je lahko poljubno konveksno obmocje. Problem optimizacije(5.25) je definiran tako, da je obmocje C znano, torej mora za CT(Λ∗

N) veljati, da so normalni impulziΛ∗

N znani in izkljuceni iz kontaktnega problema, izkaze pa se, da lahko v praksi probleme z neznanimiΛN vseeno resimo z analognim postopkom kot za nezdruzeni kontaktni problem, kljub pomanjkanjuteoreticnega ozadja [8].

Negladki potencial

Literatura [3, 8, 21] oblikuje ciljno funkcijo problema (5.25) na osnovi negladkega potenciala, ki ga na temmestu lahko uvedemo. Zapisemo ekvivalenco problemov

min∆q

maxΛ

{Z(∆q)− gTΛ− ΨC(Λ)

}≡ min

∆q

{

Z(∆q) + maxΛ

{−gTΛ− ΨC(Λ)

}

︸︷︷︸

Ψ ∗

C(−g) po def. 9

}

, (5.30)

v kateri lahko opazimo konjugacijo (definicija 8) indikatorske funkcije ΨC, ki je po definiciji 9 enakapodporni funkciji obmocja C. Torej lahko problem (5.25) ekvivalentno zapisemo kot

min∆q{Z(∆q) + Ψ∗

C(−g)} . (5.31)

Minimum problema (5.31) ustreza vkljucku

M∆q − h∆t−W ∂Ψ∗C(−g) ∋ 0, (5.32)

s katerim preverimo inverznost (2.13), saj generalizirani odvod podporne funkcije prevzame vlogo kon-taktnih sil Λ, da pa so kontaktni zakoni izpolnjeni, je bilo ze ugotovljeno z vkljuckom (5.29).

14 Odvajati je treba generalizirano, ker je ΨC(Λ) negladka funkcija.


5.2.3 Uvedba razsirjene Lagrangeeve funkcije

Pokazano je bilo, da problem (5.24) popisuje dinamiko sistema togih teles z enostranskimi kontakti,tezava pa je, da formulacija (5.25), ki vsebuje indikatorsko funkcijo, ni primerna za numericne metodeoptimizacije, ker indikatorska funkcija ni lokalno omejena (za koncne vrednosti ∆q dosega vrednost −∞)oz. je samo formalno definirana na celotnem vektorskem prostoru. Problem optimizacije (5.24), kjerdolocamo sedlo ob upostevanju omejitvenih pogojev Λ ∈ C, lahko resujemo po razsirjeni Lagrangeevimetodi (poglavje 2.3), saj sovpada s problemom (2.25), ce oznacimo

x = ∆q, y = Λ, f(x,y) = L(∆q,Λ), ob pogoju k(Λ) = Λ ∈ C. (5.33)

Uvedemo razsirjeno Lagrangeevo funkcijo

Lr0(∆q,Λ,µ) = Z(∆q)− gTΛ︸︷︷︸

L(∆q,Λ)

+r

2‖µ‖2 −

1

2 rdist2

C (Λ + rµ) , r > 0, (5.34)

s katero omejimo mnozitelje Λ, ki pripadajo obicajni Lagrangeevi funkciji L(∆q,Λ), na obmocje C in stem prevedemo problem (5.24) v problem

min∆q,µ

maxΛ

Lr0(∆q,Λ,µ). (5.35)

Obicajna Lagrangeeva funkcija je bila uvedena z namenom popisa mehanike, razsirjena Lagrangeevafunkcija pa naknadno, da prilagodi problem numericnim metodam. Posebej velja poudariti, da uvedbarazsirjene Lagrangeeve funkcije z matematicnega vidika ne zahteva predhodne uvedbe obicajne Lagran-geeve funkcije.

Pogoji, ki jih izpolnjuje sedlo

Da ugotovimo, katere pogoje izpolnjuje sedlo RL-funkcije15 (5.34), jo najprej odvajamo (upostevamoodvod (2.18)):

∇∆qLr0(∆q,Λ,µ) = M ∆q − h∆t−W Λ, (5.36)

∇ΛLr0(∆q,Λ,µ) = − g −1

r(Λ + rµ− proxC (Λ + rµ))︸︷︷︸

odvod (2.18)

. (5.37)

∇µLr0(∆q,Λ,µ) = rµ−1

r(Λ + rµ− proxC (Λ + rµ)) r = −Λ + proxC (Λ + rµ) (5.38)

Sedlo RL-funkcije (5.34) izpolnjuje pogoj ∇Lr0(∆q,Λ,µ) = 0, kar pomeni, da enacimo desne stranienacb (5.36), (5.37) in (5.38) z nicelnim vektorjem 0. Ce postavimo pogoj ∇∆qLr0 = 0 (glede na enacbo(5.36)) dobimo gibalno enacbo

M ∆q − h∆t−W Λ = 0. (5.39)

Po pogoju ∇µLr0 = 0 (glede na enacbo (5.38)) lahko izrazimo

Λ = proxC (Λ + rµ) , (5.40)

ki jo lahko upostevamo v enacbi ∇ΛLr0 = 0 (glede na enacbo (5.37)) kot

−g −1

r(Λ + rµ−Λ) = 0 ⇒ µ = −g, (5.41)

kar omogoca substitucijo v enacbi (5.40)

Λ = proxC (Λ− r g) , r > 0 ⇒ −g ∈ NC(Λ). (5.42)

15 RL-funkcija je gladka, zato je ni potrebno odvajati generalizirano.


Na levi strani implikacije (5.42) je zapisana ugotovljena projekcijska enacba [2], ki jo glede na ekvivalenco(2.16) lahko formuliramo tudi v obliki vkljucka na desni strani implikacije (5.42). Vkljucek na desnistrani implikacije (5.42) je enakovreden vkljucku (5.29), ki ga sedlo problema (5.24) izpolnjuje. S tem jepreverjeno, da sedlo razsirjene Lagrangeeve funkcije (5.34) izpolnjuje gibalno enacbo in poljuben kontaktnizakon, ki ga lahko popisemo z vkljuckom kinematske velicine (ne glede na kinematski nivo) v normalnistozec na obmocje dopustnih kontaktnih impulzov. Ugotovljeno je bilo µ = −g, zato pri obravnavikontaktnega problema to zamenjavo izvedemo ze v formulaciji ciljne funkcije (5.34), s cimer dobimorazsirjeno Lagrangeevo funkcijo za nezdruzeni kontaktni problem

LRN(∆q,Λ) = Z(∆q)− gT Λ +r

2‖g‖2 −

1

2 rdist2

C(Λ− r g); r > 0, (5.43)

ki jo Alart in Curnier [8] navajata brez izpeljave.

5.2.4 Kvazi RL-funkcija za zdruzeni kontaktni problem

Splosnejsi kontaktni problem ne sloni na predpostavki o odsotnosti trenja ali da je normalni kontaktniimpulz znan. Kontaktni problem, v katerem nastopa trenje ob neznanem normalnem kontaktnem impulzu(angl. non-associated friction), lahko formalno zapisemo kot

min∆q

maxΛN,ΛT

{Z(∆q)− gT

N ΛN − ΨCN(ΛN)− gT

T ΛT − ΨCT(ΛN)(ΛT)}

(5.44)

ali kot Alart in Curnier [8] krajse (glejte ekvivalenco (5.30))

min∆q

{

Z(∆q) + Ψ∗CN

(−gN) + Ψ∗CT(ΛN)(−gT)

}

. (5.45)

Ker pa je obmocje dopustnih tangencialnih impulzov CT odvisno od neznanih normalnih kontaktnihimpulzov ΛN, imenujemo Ψ∗

CT(ΛN)(−gT) kvazipotencial. Spremenljivka ΛN, ki je parameter kvazipo-

tenciala, je odvisna od resitve kontaktnega problema ∆q, in problem (5.45) zato imenujemo problem

kvazioptimizacije, saj resitev kontaktnega problema vstopa v ciljno funkcijo kot parameter [3, 8].

Analogno RL-funkciji nezdruzenega kontaktnega problema (5.43) uvedemo kvazi razsirjeno Lagrangeevo

funkcijo za zdruzeni kontaktni problem (5.44) ali (5.45):

LR(∆q,ΛN,ΛT) = Z(∆q)− gTN ΛN +

r

2‖gN‖

2 −1

2rdist2

CN(ΛN − r gN)

− gTT ΛT +

r

2‖gT‖

2 −1

2rdist2

CT(ΛT − r gT); r > 0,

(5.46)

kjer je

CT = CT

(proxCN

(ΛN − r gN))

(5.47)

obmocje dopustnih tangencialnih impulzov, kakrsno omogoci, da je problem definiran za vse (∆q,ΛN,ΛT)(tudi ΛNi − r gNi < 0, i ∈ IN) in tako (kvazi)optimizacija ne vkljucuje omejitev [8].

Kvazi RL-funkcija (5.46) predstavlja numericnim metodam optimizacije prilagojeno formulacijo zdruzenegakontaktnega problema. Kontaktni problem je resen, ko je doloceno sedlo funkcije (5.46), za kar je po-trebna ustrezna numericna metoda.

5.3 Dolocitev sedla RL-funkcije po modificirani Newtonovi me-

todi

Sedlo RL-funkcije (5.46) poiscemo z metodo optimizacije, ceprav ne gre za optimizacijo v strogem po-menu (poglavje 5.2.4). V tem poglavju je prikazano, kako to storimo po modificirani Newtonovi metodi

(poglavje 2.3.2). Dolocimo gradient RL-funkcije in ga razdelimo na odvedljivi del in neodvedljivi del ter


ugotovimo, katere operacije izvajati v iteraciji modificirane Newtonove metode. Izkaze se, da pri tem pri-stopu poznavanje vrednosti RL-funkcije ni nujno in njeno dolocitev zaobidemo. Navedene so ugotovitveAlarata in Curnierja [8] o moznosti konvergence in po delu Leineja in Nijmeijerja [3] je dolocen kriterijza zakljucitev algoritma.

5.3.1 Iteracija optimizacije za nezdruzeni kontaktni problem

Zacnemo s preprostejsim in teoreticno utemeljenim nezdruzenim kontaktnim problemom, ki ga resimotako, da RL-funkciji (5.43) dolocimo sedlo. Modificirana Newtonova metoda zahteva poznavanje gradientaciljne funkcije (5.43) (ponovno upostevamo enacbo (2.18)):

∇∆qLRN(∆q,Λ) = M ∆q − h∆t−��W Λ +XXXrW g

−1

r(−rW )︸︷︷︸

∇∆q (Λ−r g)

(

��Λ−ZZr g − proxC(Λ− r g))

︸︷︷︸

odvod (2.18)

= M ∆q − h∆t−W proxC(Λ− r g) ,

(5.48)

∇ΛLRN(∆q,Λ) = − g −1

r(Λ− r g − proxC(Λ− r g))

= −1

r(Λ− proxC(Λ− r g)) .

(5.49)

Stacionarni pogoji sedla

Na tem mestu je primerno omeniti, da po opravljeni eliminaciji Lagrangeevega mnozitelja µ po enacbi(5.41) ostaneta samo se dva stacionarna pogoja. Z upostevanjem pogoja za sedlo ∇LRN(∆q,Λ) = 0(enacimo zadnjo vrstico odvoda (5.48) in zadnjo vrstico odvoda (5.49) z nicelnima vektorjema) dobimotokrat samo diferencno gibalno enacbo in normalni kontaktni zakon:

M ∆q − h∆t−W proxC(Λ− r g) = 0,

Λ− proxC(Λ− r g) = 0.(5.50)

Dolocitev iteracije modificirane Newtonove metode

Po modificirani Newtonovi metodi (poglavje 2.3.2), gradient iz enacb (5.48) in (5.49) zapisemo kot vsotoodvedljivega in neodvedljivega vektorskega polja in dolocimo iteracijo (kar je zaradi obseznosti storjenov dodatku (A.1.2))

xk+1 =

[∆qk+1

Λk+1

]

=

[M−1

(h∆t+ W proxC

(Λk − r gk

))

proxC

(Λk − r gk

)

]

. (5.51)

Iteracijo (5.51) Alart in Curnier [8] razdelita na dve subiteraciji:

za podan Λ0,

1. ∆qk = M−1 h∆t+ M−1 W Λk,

2. Λk+1 = proxC

(Λk − r gk

); gk = W T

(q +∆qk

)+ w,

kar izkoristita za prevzem kriterija konvergence, ki velja za metodo Uzawa.


5.3.2 Dolocitev iteracije za zdruzeni kontaktni problem

Stacionarni pogoji RL-funkcije za zdruzeni kontaktni problem

RL-funkcijo (5.46) odvajamo analogno kot v (5.48) in (5.49), saj obravnavamo C kot dolocen iz resitve,zato tudi izpustimo argument ΛN [8]. Postopka odvajanja ne ponavljamo in gradient, ki izpolnjujestacionarni pogoj, neposredno zapisemo:

∇∆qLR(∆q,ΛN,ΛT) = M ∆q − h∆t−WN proxCN(ΛN − r gN)

−WT proxCT(ΛT − r gT) = 0,

(5.52)

∇ΛNLR(∆q,ΛN,ΛT) = −

1

r

(ΛN − proxCN

(ΛN − r gN))

= 0, (5.53)

∇ΛTLR(∆q,ΛN,ΛT) = −

1

r

(ΛT − proxCT

(ΛT − r gT))

= 0. (5.54)

Z zamenjavo enacb (5.53) in (5.54) v enacbo (5.52) dobimo diferencno gibalno enacbo, ki izpolnjuje kon-taktne zakone, saj sta enacbi (5.53) in (5.54) po zamenljivosti (2.16) ekvivalentni kontaktnima zakonoma(5.12), kakor se je ze izkazalo pri analizi sedla nezdruzenega kontaktnega problema (5.50). Velja tudi, daenacba (5.53) v sedlu implicira

CT = CT(ΛN), (5.55)

kar se izpolnjuje tudi v vsaki iteraciji modificirane Newtonove metode.

Dolocitev iteracije modificirane Newtonove metode

Ob poznavanju gradienta, zapisanega v enacbah (5.52), (5.53) in (5.54), lahko izpeljemo tudi iteracijo

∆qk+1

Λk+1N

Λk+1T

=

M−1(

h∆t+ WN proxCN

(Λk

N − r gkN

)+ WT proxCT

(Λk

T − r gkT

))

proxCN

(Λk

N − r gkN

)

proxCT

(Λk

T − r gkT

)

(5.56)

po postopku, ki pa ga izpustimo, ker je analogen postopku dolocitve enacbe (5.51), ki je izveden vdodatku (A.1.2). Kakor iteracijo (5.51) lahko tudi iteracijo (5.56) razdelimo na subiteracije [3, 8], ki soosnova za formulacijo algoritma:

za podana Λ0N in Λ0

T,

1. ∆qk = M−1(h∆t+ WN Λk

N + WT ΛkT

),

2. Λk+1N = proxCN

(Λk

N − r gkN

),

3. Λk+1T = prox

CT(Λk+1

N )(Λk

N − r gkN

).

Ker je Λk+1N v 2. subiteraciji ze najblizja tocka obmocja CN, tako da je izpolnjen pogoj (5.47), v 3.

subiteraciji ne pisemo vec CT, pac pa kar CT, kot je bilo omenjeno ze pri enacbi (5.55). Treh subiteracij,na katere je razdeljena iteracija (5.56), ni vec mogoce interpretirati po metodi Uzawa, zato v tem primeruAlart in Curnier [8] ne dolocita natancnega kriterija konvergence.

5.3.3 Konvergenca modificirane Newtonove metode

Konvergenca modificirane Newtonove metode ni zagotovljena za vsako vrednost parametra r, ki v RL-nastopa [8]. Za nezdruzeni kontaktni problem je konvergenca modificirane Newtonove metode zagoto-vljena za

0 < r < rmax =2 ηmin (M)

‖W ‖, (5.57)


kjer je ηmin(M) najmanjsa lastna vrednost masne matrike M in ‖W ‖ Evklidova norma matrike smeriposplosenih sil (5.16). Alart in Curnier [8] dolocita pogoj (5.57) na osnovi primerjave z metodo Uzawa.

Pri resevanju zdruzenega kontaktnega problema Alart in Curnier [8] ne podata zveze, kakrsna je (5.57),ker treh subiteracij Newtonove iteracije ni vec mogoce interpretirati po metodi Uzawa, zato pa na elemen-tarnem konkretnem primeru izpeljeta kriterij konvergence, za katerega se izkaze, da je manj restriktivenkakor pogoj (5.57). Za zdruzeni kontaktni problem vseeno navedeta pogoj (5.57) kot priporocilo16 zaizbiro r, kar utemeljujeta z rezultati, ki jih pridobita na konkretnem primeru.

Hitrost konvergence

Za r ↓ 0 se konvergenca upocasnjuje [3], zato je smiselna izbira visoke vrednosti r ↑ rmax glede na pogoj(5.57), vendar pa za zdruzeni kontaktni problem taksna izbira se vedno ne zagotavlja konvergence, karzahteva dodaten ukrep:

• V konkretnem primeru je najpreprostejse izhajati iz nasveta (5.57) in s poskusanjem ugotovitivrednost r, ki omogoci konvergenco za vsak primer kontaktnega problema, ki se v simulaciji pojavi.

• Splosnejsi algoritem bi oblikovali, ce bi vkljucili kontrolo konvergence in iterativno zmanjsevalirn+1 = α rn; α ∈ (0, 1) za vsak primer, ko do konvergence ne pride.

5.3.4 Kriterij zakljucitve algoritma

Kriterij zakljucitve algoritma (angl. termination criterion) izbere Leine [3] kot

‖Λk+1N −Λk

N‖+ ‖Λk+1T −Λk

T‖ < δ, (5.58)

kjer je δ ocena odstopanja resitve kontaktnega problema od eksaktne vrednosti. Ta diplomska naloga sekriterija (5.58) posluzuje v algoritmih, ki so predstavljeni v poglavjih primerov uporabe.

16 Pogoj (5.57) navedeta Alart in Curnier [8] kot nasvet za izbiro parametra r za generalizirano Newtonovo metodo, kitu ni obravnavana, vendar ga dolocita, izhajajoc iz modificirane Newtonove metode, zato ga uporabimo tudi pri tej.

Poglavje 6

Poissonov zakon trka

Obravnavamo lahko splosnejsi kontaktni problem, ce upostevamo moznost trka, ki ni nujno plasticen.Treba je zapisati konveksna obmocja dopustnih kontaktnih impulzov in z njimi za primer neplasticnegatrka nadomestiti obmocja, ki so bila obravnavana doslej (poglavje 5.1). Model trka, ki je povzet po deluGlockerja in Pfeifferja [1], vkljucuje tudi dodatno spremembo pristopa h kontaktnemu problemu, in sicerje treba trk deliti na dva kontaktna problema. Tu bo izvedena prilagoditev tega pristopa za Moreaujevalgoritem po zgledu plasticnega trka, ker je model primeren metodi kontaktnih dogodkov.

6.1 Newtonov in Poissonov zakon trka

Trk v normalni smeri se obicajno modelira po Newtonovem ali Poissonovem zakonu trka [1], ki predsta-vljata zvezo med dinamiko tik pred trkom, ob casu tA, in tik po trku, ob casu tE.

Osnovne predpostavke o trku, ki so skupne obema modeloma, so:

• da je cas trka zanemarljivo kratek,

• da lahko valovne ucinke zanemarimo in

• da se pozicija in orientacija dinamskega sistema, kakor tudi neimpulzivne sile in neimpulzivni mo-menti, med trkom ne spremenijo (ker je cas trka kratek).

Oba zakona popisujeta plasticni, idealno elasticni in delno elasticni trk z uporabo koeficienta restitucijeε ∈ [0, 1]. Za vrednost ε = 0 zakona popiseta plasticni trk, za ε = 1 idealno elasticni, za ε ∈ (0, 1) pa delnoelasticni. Kljucna razlika med zakonoma je, da je Newtonov zakon trka kinematska zveza, ker definirarazmerje hitrosti, medtem ko je Poissonov zakon dinamska zveza, ker definira razmerje impulzov [24].

Newtonov zakon trka

Newtonov zakon trka definira zvezo med normalnima kontaktnima hitrostma

gNE = −ε gNA, (6.1)

kjer je gNE normalna relativna kontaktna hitrost po trku, za cas tE, gNA pa normalna relativna kontaktnahitrost pred trkom, ob casu tA.

39

POGLAVJE 6. POISSONOV ZAKON TRKA 40

Poissonov zakon trka

Poissonov zakon trka temelji na predpostavki, da je trk sestavljen iz faze kompresije t ∈ [tA, tC) in faze

ekspanzije t ∈ (tC, tE], in definira zvezo med normalnima kontaktnima impulzoma

ΛNE = εΛNC, (6.2)

kjer je ΛNC normalni imulz v kontaktu med fazo kompresije, ki zavzame najmanjso vrednost, ob katerije prepreceno prodiranje, ΛNE pa normalni impulz v kontaktu med fazo ekspanzije. Velicine posameznihfaz razlikujemo s pripisom oznak C (kompresija) in E (ekspanzija).

Komentar k izbiri Poissonovega zakona trka

Glocker in Pfeiffer [1] sta formulirala Poissonov zakon kot neenakost. Taksna modifikacija omogociobravnavo socasnih trkov z izkljucitvijo kontaktov, ki bi sicer kot dvostranski kontakti prenasali nega-tivne kontaktne impulze (adhezija). Na primerih pokazeta, da njuna formulacija problema trka na osnoviPoissonovega zakona nekatere trcne pojave popise fizikalno dosledneje, kot bi se to dalo po Newtonovemzakonu. Njuna formulacija je zato uporabljena tudi v tej diplomski nalogi, ima pa pomanjkljivost, da jemogoce zagotoviti disipativnost ali ohranitev kineticne energije samo v primeru, ko so na vseh kontaktnihmestih koeficienti restitucije enaki17 εi = εj ; ∀(i, j) ∈ IN. Potra et al. [7] (rigorozno) oblikuje metodocasovnega koraka, v kateri prepreci porast kineticne energije pri uporabi Poissonovega zakona – Potra jeskupaj z Anitescu [6] tezavo z energijsko nekonsistentnostjo prvi izpostavil. Moznost energijske nekon-sistentnosti je z znanstvenega vidika problematicna, obstajajo pa dokumentirane aplikacije (na primer[1, 22, 25]), v katerih se tezava ni izkazala kot problematicna – to je z vidika tehnike.

6.2 Poissonov zakon trka

Ker je uvedena dodatna predpostavka, da je trk sestavljen iz faze kompresije t ∈ [tA, tC) in faze ekspanzijet ∈ (tC , tE ], obravnavamo po Poissonovem zakonu kontaktni problem trka kot dva kontaktna problema –enega za fazo kompresije in enega za fazo ekspanzije. Pri obravnavi faze ekspanzije so obmocja dopustnihkontaktnih impulzov dolocena ob upostevanju kompresijskih impulzov – resitve kontaktnega problemakompresije. Spremembo posplosenih hitrosti izracunamo kot vsoto

∆q = ∆qC +∆qE, (6.3)

kjer je∆qC sprememba posplosenih hitrosti zaradi faze kompresije in ∆qE sprememba posplosenih hitrostizaradi faze ekspanzije.

6.2.1 Faza kompresije

Normalna smer

Faza kompresije mora v normalni smeri zagotoviti na vseh kontaktnih mestih impulze, ki preprecijoprodiranje. V normalni smeri je definiran kompresijski impulz kontaktnega mesta kot

ΛNC =

∫ tC

tA

λN dt, (6.4)

kjer je λN ≥ 0 normalna kontaktna sila. Zato mora veljati tudi ΛNC ≥ 0.

Impulz na enem kontaktnem mestu v splosnem vpliva tudi na impulze drugih kontaktov, lahko se namreczgodi, da najmanjsi impulz, ki na i-tem kontaktu prepreci prodiranje med fazo kompresije t ∈ [tA, tC),

17 V tem primeru resitev sovpada z resitvijo po Newtonovem zakonu, ki je vedno energijsko konsistenten.


zadostuje, da se j-ti kontakt odpre. To pomeni, da j-ti kontakt ne more prenesti impulza in da je njegovakontaktna hitrost med fazo kompresije pozitivna, kar zapisemo kot

gNC ≥ 0, ΛNC gNC = 0. (6.5)

Skupaj z ΛNC ≥ 0 tvorita pogoja (6.5) komplementarni pogoj, ki je enakovreden pogoju (5.3).

Tangencialna smer

Hkrati upostevamo tudi Coulombov zakon, kakor je bilo ze storjeno s pogojem (5.6), in tako zakljucimo,da je faza kompresije ekvivalentna plasticnemu trku, ki je bil do tu ze upostevan, zato po zgledu vkljuckov(5.12) za vse kontakte hkrati zapisemo

−gNC ∈ NCN(ΛNC) in −gTC ∈ NCT(ΛNC)(ΛTC). (6.6)

6.2.2 Faza ekspanzije

Normalna smer

Poissonov zakon v osnovni obliki (6.2) v splosnem ne more veljati na vseh kontaktnih mestih hkrati, kerbi sicer lahko prislo do prodiranja, zato je treba osnovno obliko modificirati v neenakost

ΛNE ≥ εN ΛNC, (6.7)

kjer zdaj uvedemo oznako za normalni koeficient restitucije εN, s cimer ga odslej razlikujemo od tangen-cialnega εT. S pogojem (6.7) dovoljujemo tudi vecje impulze od tistih, ki jih predpisuje osnovna oblikaPoissonovega zakona (6.2), s cimer preprecujemo prodiranje.

Osnovni Poissonov zakon modificiramo na naslednji nacin:

• Ce velja ΛNE > εNΛNC, je bilo na kontaktnem mestu prepreceno prodiranje, kontaktno mesto veljakot podpora in zahtevamo gNE = 0,

• ce pa velja ΛNE = εN ΛNC, je na kontaktnem mestu prislo do odboja in velja gNE ≥ 0.

Torej velja komplementarni pogoj

ΛNE − εNΛNC ≥ 0, gNE ≥ 0, (ΛNE − εNΛNC) gNE = 0, (6.8)

za katerega lahko ponovno trdimo, da ga popisuje vkljucek, povsem analogen pogoju (5.3), ce definiramoobmocje dopustnih normalnih ekspanzijskih impulzov (slika 6.1 – a)

CNE = {Λ∗NE | Λ

∗NE ≥ εNΛNC}. (6.9)

Tangencialna smer

V tangencialni smeri bi lahko obravnavali fazo ekspanzije analogno kot fazo kompresije. Torej bi upostevaliCoulombov zakon in fazi ekspanzije zapisali analog zakona (5.6) (z mnozico dopustnih tangencialnihimpulzov CT(ΛNE)), s tem pa bi izkljucili moznost modeliranja kontakta, pri katerem pride v tangencialnismeri do »kopicenja« kompresijskega impulza.

Po zgledu normalnega zakona ekspanzije (slika 6.1 – a) navajata Glocker in Pfeiffer [1] tangencialni zakonekspanzije, ki popisuje tangencialni odboj, ki ga je mogoce opaziti ob trkih zelo elasticnih materialov zvisokim koeficientom trenja (gumijaste kroglice).

Normalna impulza ΛNC in ΛNE sta vedno pozitivna, normalna hitrost pa je pred trkom negativna gNA < 0,po njem pa pozitivna gNE > 0. Ravno tako zelimo, da za negativno tangencialno hitrost gTA < 0


Slika 6.1: Normalni in tangencialni zakon ekspanzije po modificiranem Poissonovem zakonu

lahko velja ΛTC > 0 in ΛTE > 0, tako da je gTE > 0 (in analogno za nasprotne predznake). Potemmora, kakor pri normalni karakteristiki (slika 6.1 – a), tudi za tangencialno (slika 6.1 – b) veljati, da zapozitiven ekspanzijski impulz ΛTE > 0 dovoljuje gTE > 0, vendar pod pogojem, da je bil »shranjen« delezpozitivnega kompresijskega impulza ΛTC > 0. To je mogoce samo, ce tudi pri tangencialni karakteristikize za pozitivne ΛTE > 0 seka absciso pozitivni stozec, ki vsebuje gTE ≥ 0 (slika 6.1 – b).

Taksna karakteristika je za ravninski primer18 dosezena z definicijo

CTE(ΛNE) = {Λ∗TE | − µΛNE + (ΛTS + |ΛTS|) ≤ Λ∗

TE ≤ µΛNE + (ΛTS − |ΛTS|)}, (6.10)

2ΛTS(ΛNE) = µ ν ΛNE sign(ΛTC) + εN εT ΛTC; ν, εT ∈ [0, 1], (6.11)

kjer sta bila uvedena dodatna parametra ν in εT, ki za vrednost ν = εT = 0 popisujeta Coulombov zakonz mnozico dopustnih tangencialnih impulzov CTE = CT iz enacbe (5.4), za vrednosti ν = εT = 1 pa podpogojem, da je bil kompresijski impulz maksimalen εN |ΛTC| = µΛNE, velja CTE = {sign(ΛTC)µΛNE},kar doloca ΛTE = sign(ΛTC)µΛNE in gNE ∈ R.

Z enacbo (6.11) smo zagotovili premik karakteristike, ki ne krsi Coulombovega zakona, ker ustreza pogoju

2 |ΛTS| ≤ 2µΛNE (6.12)

pa tudi strozjemu pogoju

2 |ΛTS| ≤ µΛNE + εN|ΛTC|, (6.13)

ki zagotavlja, da tangencialni ekspanzijski impulz ΛTE ne presega kompresijskega ΛTC.

Prostorska dinamika

Z vpeljavo CTE(ΛNE) iz pogoja (6.10) je bilo obmocje CT(ΛNE) premaknjeno za 2ΛTS oz. vsem impulzomCoulombovega trenja je bil pristet impulz 2ΛTS, ob tem da je bilo upostevano, da ne sme biti krsen pogoj(6.13) (slika 6.1 – b). V tem delu je predlagana posplositev taksne definicije v tangentno ravnino poanalogiji Coulombovega trenja v tangentni ravnini (poglavje 3.4.2). Potem definiramo zakon tangencialne

18 Podrobneje v Glocker in Pfeiffer [1].


ekspanzije za tangentno ravnino kontakta v prostorski dinamiki (slika 6.2) kot

CTE = CT ∩ (CT + 2 ΛTS) , (6.14)

2 ΛTS =

µ ν ΛNEΛTC

‖ΛTC‖+ εN εT ΛTC; ‖ΛTC‖ > 0,

0; ‖ΛTC‖ = 0,

(6.15)

ν, εT ∈ [0, 1].

Obmocje (6.14) se za primer ravninske dinamike v smeri ΛTC/‖ΛTC‖ poenostavi v obmocje (6.10), karje razvidno neposredno iz definicij in s slik 6.1 – b ter 6.2.

Slika 6.2: Mnozica dopustnih tangencialnih ekspanzijskih impulzov v tangentni ravnini


6.3 Vkljucitev Poissonovega zakona o trku v kontaktni problem

Dolocena so bila obmocja dopustnih impulzov, ki popisujejo Poissonov zakon trka, kakor ga podajataGlocker in Pfeiffer [1]. Obravnavo nadaljujeta s formulacijo LCP, ki pa tu ni potrebna, ker bo uporabljenaRL-metoda resevanja kontaktnega problema, potrebna pa je prilagoditev pristopa metodi casovnegakoraka.

Pri integraciji gibalne enacbe po metodi kontaktnih dogodkov (poglavje 4.1) bi ob zaznanem zaprtjuenega ali vec kontaktov prekinili integracijo in ugotovili spremembo hitrosti (nezveznost) zaradi trka[1, 5]. Pri tem bi zunanje sile na dinamski sistem zanemarili v skladu s predpostavkami o trku. Metodacasovnega koraka, ki je uporabljena v primerih te diplomske naloge, bi postala racunsko potratnejsa, cebi zahtevala prekinitev integracije ob natancnem casu trka (kakor metoda kontaktnih dogodkov), zatose cas trka razsiri na casovni korak, v katerem je bilo zaznano prodiranje, kakor je bilo ze storjeno zaplasticni trk [3, 9].

Najprej zapisemo postopek obravnave trka, ki velja za metodo kontaktnih dogodkov, ki ga lahko po-vzamemo po delu Glockerja in Pfeifferja [1], nato v skladu z Moreaujevim algoritmom izberemo sredinocasovnega koraka kot cas trka. Z modifikacijo ekspanzije, s katero je prepreceno prodiranje, lahko for-mulacijo interpretiramo kot razsiritev casa trka na celoten casovni korak.

6.3.1 Postopek obravnave Poissonovega trka, primeren za metodo kontaktnih

dogodkov

Ob predpostavki zanemarljivega trajanja trka dolocimo spremembo hitrosti zaradi faze kompresije

∆qc = M−1 (WN ΛNC + WT ΛTC) , (6.16)

kjer je ∆qc oznacena z malo crko c, da bo v nadaljevanju nedvoumno nadomescena z ∆qC, ki je prilago-jena metodi casovnega koraka. Enacba (6.16) izpolnjuje kontaktne zakone glede na zvezi (4.26) in (4.27),ki ju zaradi uvedbe oznak ponovimo:

gNC = W TN (qM +∆qc) + wN,

gTC = W TT (qM +∆qc) + wT.

(6.17)

V enacbah (6.17) je qM vektor posplosenih hitrosti med trkom19. Ko je kontaktni problem kompresijeresen, so znani impulzi ΛNC in ΛTC, s katerimi je po enacbah (6.9), (6.10) in (6.11) mogoce dolocitiobmocja dopustnih ekspanzijskih impulzov CNE in CTE(ΛNE), ki jih je treba poznati pri resevanju kon-taktnega problema ekspanzije. Potem sledi analogen kontaktni problem, katerega resitev je spremembaposplosenih hitrosti zaradi faze ekspanzije

∆qe = M−1 (WN ΛNE + WT ΛTE) , (6.18)

ki naj izpolnjuje kontaktne zakone glede na zvezi

gNE = W TN (qC +∆qe) + wN,

gTE = W TN (qC +∆qe) + wT,

(6.19)

ce je

qC = qM +∆qc. (6.20)

Tudi ∆qe bo v nadaljevanju nadomescena z ∆qE, ki je prilagojena metodi casovnega koraka.

19 V nadaljevanju je za cas trka izbrana sredina casovnega koraka tM v skladu z Moreaujevem algoritmom, zato ze zdajpripisemo oznako M, ker literatura v anglescini imenuje sredinsko tocko z besedo midpoint.


6.3.2 Prilagoditev postopka obravnave Poissonovega trka metodi casovnega

koraka

Pojavi se vprasanje, kako podaljsati fazi trka na koncno dolg cas – v kaksnem razmerju deliti casovnikorak. V tej diplomski nalogi je to storjeno tako, da je Moreaujev algoritem, ceprav numericna metoda,obravnavan z dinamskega vidika, kar omogoca izbiro sredine casovnega koraka tM kot cas trka (priblizen).Torej predpostavimo trk ob tM in po zgledu plasticnega trka preprecimo prodiranje v fazi ekspanzije. Stem oblikujemo metodo, za katero se izkaze, da jo je mogoce interpretirati kot delitev casovnega korakana enako dolgi fazi trka.

Moreaujev algoritem

Z numericnega vidika je Moreaujev algoritem prirejena metoda srediscne tocke za resevanje zacetnegaproblema oblike

q(t) = f(t, q(t), q(t)), q(t0) = q0, q(t0) = q0. (6.21)

Lahko pa ga interpretiramo tudi z dinamskega vidika. Znotraj enega casovnega koraka se zgodi dvoje:

1. Dinamski sistem se premika do polovice casovnega koraka v stanje qM (kjer za Poissonov trkupostevamo tudi qM) glede na zacetni pogoj qA, qA.

2. Glede na stanje na sredini casovnega koraka se doloci nova hitrost qE, s katero se sistem gibljepreostalo polovico casovnega koraka (in tudi prvo polovico naslednjega, ker se qE uporabi kotzacetni pogoj naslednjega casovnega koraka).

Umestitev trka v casovni korak

Ce v dinamskem sistemu pride do trka, je korektno izracunati impulze trka ob upostevanju posplosenehitrosti dinamskega sistema, kakrsna se pojavi ob casu trka. Po Moreaujevem algoritmu je zaznanoprodiranje (trk) na sredini casovnega koraka (ob tM) v stanju qM, ko ima dinamski sistem hitrost

qM = qA + M−1 h∆t/2, (6.22)

ki jo vstavimo v enacbe (6.17) in (6.20). Ce bi trk omejili na cas tM, bi vstavili izracunani qC v enacbi(6.19) in dolocili ∆qe, s cimer bi bila ugotovljena sprememba hitrosti sistema med trkom in hitrost nakoncu casovnega koraka bi dolocili kot

qE = qC +∆qe + M−1 h∆t/2, (6.23)

ki bi jo v Moreaujevem algoritmu upostevali, kakor je bilo storjeno za plasticni trk. S tem pa bi dopustilinadaljevanje prodiranja v drugi polovici casovnega koraka. Kompresijski impulzi ΛNC in ΛTC so namrecdoloceni kot impulzi plasticnega trka, ki preprecijo prodiranje do casa tM. Ekspanzijski impulzi, kidolocajo ∆qe, so pa (se posebej za nizke vrednosti Poissonovega kolicnika in dolg casovni korak) lahkopremajhni, da bi preprecili prodiranje.

Nadaljevanje prodiranja preprecimo s tem, da impulz h∆t/2 vkljucimo v kontaktni problem ekspanzijekot

gNE = W TN

(qC + M−1 h∆t/2 +∆qe

)+ wN,

gTE = W TT

(qC + M−1 h∆t/2 +∆qe

)+ wT,

(6.24)

kakor je bilo storjeno pri plasticnem trku pri fazi kompresije zaradi enacbe (6.22). S tem enacba (6.23)ohrani veljavo za primer, ko impulz zunanjih sil po fazi ekspanzije ne povzroci nadaljevanja prodiranja(npr. visok Poissonov kolicnik in kratek casovni korak), za primer, ko bi se po enacbi (6.23) prodiranjena dolocenih kontaktnih mestih nadaljevalo, pa ustrezne normalne ekspanzijske impulze toliko povecamo,da do prodiranja ne pride, saj dovoljujemo vecje normalne impulze od ekspanzijskih.


Preureditev izrazov

Prilagoditev postopka obravnave trka po Poissonovem zakonu za metodo casovnega koraka je do tu zeizvedena, lahko pa se nekoliko preuredimo izraze. Uvedemo napovedani spremenljivki

∆qC = M−1 h∆t/2 +∆qc,

∆qE = M−1 h∆t/2 +∆qe,(6.25)

s cimer dobijo enacbe (6.16–6.20) iz poglavja 6.3.1 obliko

∆qC = M−1(h∆t/2 + W T

N ΛNC + W TT ΛTC

), (6.26)

gNC = W TN (qA +∆qC) + wN, (6.27)

gTC = W TN (qA +∆qC) + wT, (6.28)

∆qE = M−1(h∆t/2 + W T

N ΛNE + W TT ΛTE

), (6.29)

gNC = W TN (qC +∆qE) + wN, (6.30)

gTC = W TN (qC + ∆qE) + wT, (6.31)

qC = qA +∆qC, (6.32)

qE = qC +∆qE. (6.33)

Ob primerjavi z enacbami (6.16–6.20) je mogoce enacbe (6.26–6.33) interpretirati kot razsiritev trajanjakompresije na prvo polovico casovnega koraka in trajanja ekspanzije na drugo polovico casovnega korakav skladu z Moreaujevim algoritmom, kakor je bilo razsirjeno trajanje plasticnega trka na celoten casovnikorak.

Poglavje 7

Prostorska dinamika

Predstavljeno teorijo resevanja kontaktnega problema z upostevanjem trka lahko priredimo tudi za obrav-navo negladke prostorske dinamike. Obmocja dopustnih kontaktnih impulzov pri obravnavi kontaktnegaproblema (poglavje 5) niso bila omejena na obmocje, katerega dimenzionalnost bi bila predpisana. Takolahko uporabimo Coulombov zakon trenja, katerega dopustni impulzi tvorijo krog (poglavje 5.1.2), obtem pa omenimo, da sta Leine in Glocker [9] uporabila celo trirazsezno obmocje dopustnih kontaktnihimpulzov, kjer je bila postavljena zveza med torzijskim momentom kontakta in silo trenja, kar imenujetazakon Coulomb-Contensoujevega trenja. Manjka torej samo se popis prostorske dinamike, na katero jetreba ustrezno aplicirati teorijo negladke dinamike.

V tem poglavju najprej utemeljimo izbiro Eulerjevih parametrov kot parametrov orientacije, nato po deluParviza [10] povzamemo izpeljavo Eulerjevih parametrov in tudi zveze, s katerimi se njihov casovni odvodpovezuje s kotno hitrostjo telesa. Zapisemo vektor posplosenih hitrosti in ugotovimo zvezo s parametrilege20 telesa, kjer se zgledujemo po Le Saux et al. [13]. Gibalno enacbo zapisemo najprej za eno telo innato za interakcijo med dvema telesoma, ki jo je mogoce posplositi na poljubno stevilo teles dinamskegasistema. Na koncu je preverjena dolocitev kontaktne kinematike, ob upostevanju ugotovljenih smeriposplosenih sil.

7.1 Parametrizacija zasuka

Prostorska dinamika potrebuje sirsi nabor matematicnih orodij od ravninske predvsem zaradi prostorskihrotacij telesa. Prosto rotirajoce telo ima tri prostosti rotacije, zasuki telesa pa niso komutativni, torejv splosnem telo zavzame razlicni orientaciji za dve mozni zaporedji para istih zasukov. Zato tudi zamatematicno operacijo, ki popisuje zasuk in se izvaja nad parametri orientacije telesa, komutativnostne more veljati. To pomeni, da orientacije telesa ne moremo popisati z obicajnim vektorjem [10], kakorto za prostorsko translacijo in rotacijo (kotno hitrost) sicer velja. Parametrizacij zasuka je vec, kjeromenimo Eulerjeve kote in Eulerjeve parametre [10]. Leine in Glocker [9] sta objavila primer simulacije,ki uporablja Eulerjeve kote, obravnavala pa sta tudi primer z uporabo Eulerjevih parametrov kot soavtorjaLe Sauxa [13].

Eulerjevi koti

Eulerjevi koti so mnozica treh parametrov α, β in γ, ki v globalnem (ortogonalnem kartezijevem) koor-dinatnem sistemu definirajo kote zaporednih zasukov okrog koordinatnih osi, kjer sta to lahko tudi samodve od treh osi, ce sosledna zasuka nista izvedena glede na isto koordinatno os. Mogoce je torej definiratipoljubno orientacijo telesa kot na primer zasuk za kot α okrog osi x, za tem zasuk za kot β okrog osi y innato se en zasuk za kot γ okrog osi x. Lahko pa velja konvencija: najprej okrog y, nato okrog x in natookrog z. Taksnih konvencij je 12 in vsaka doloca svojo rotacijsko matriko, to je transformacijsko matrikoiz lokalnega, telesu nepomicnega koordinatnega sistema v globalni inercialni koordinatni sistem.

20 V tej diplomski nalogi oznacimo termin lega telesa kot skupni termin za pozicijo tezisca in orientacijo telesa.

47

POGLAVJE 7. PROSTORSKA DINAMIKA 48

Slika 7.1: Rotacija telesa po konvenciji x-y-z za α, β = −π2 in γ

Za Eulerjeve kote je znacilna pomanjkljivost, da za nekatere vrednosti kotov α, β in γ ne omogocajotelesu treh prostostnih stopenj rotacije. Lahko se namrec zgodi, da se dve rotacijski osi (glede na lokalnikoordinatni sistem telesa) poravnata z isto premico in s tem telo izgubi prostostno stopnjo rotacije. Cev konvenciji x-y-z zasuk β (okrog y) zavzame vrednost21 ±π

2 , se os telesa, ki je sprva lezala na osi x,postavi vzdolz osi z (slika 7.1) in vse naknadne rotacije za γ okrog osi z privedejo do orientacije, ki bi bilado tedaj lahko ze dosezena, ce bi rotacija okrog x znasala α ± γ, kjer izberemo predznak (−) za β = π

2in (+) za β = −π

2 . Pri β = −π2 obstaja za vsako orientacijo telesa zasuk α0, da velja α0 = α + γ, ki pa

predstavlja vezno enacbo in odvisnost med koordinatama.

Kot pomanjkljivost Eulerjevih kotov se steje se dejstvo, da vsakemu kotu lahko poljubno pristevamo2 k π, k ∈ Z in da v rotacijski matriki nastopajo trigonometrijske funkcije. Parviz [10] odsvetuje uporaboEulerjevih kotov pri parametrizaciji orientacije telesa in navaja, da ne obstaja nabor treh parametrov,ki taksnih tezav ne bi povzrocal, zato priporoca parametrizacijo orientacije z uporabo stirih Eulerjevihparametrov.

7.2 Eulerjevi parametri

Eulerjevi parametri so elementi stirikomponentnega enotskega vektorja

p = [e0 e1 e2 e3]T, ‖p‖ = 1, (7.1)

s katerim popisujemo orientacijo telesa. Z njimi popisemo vsako orientacijo telesa kot zasuk iz izhodiscneorientacije za kot φ (po desnosucnem pravilu) okrog osi, ki jo definira enotski vektor c ∈ R

3, ‖c‖ = 1.Potem so Eulerjevi parametri definirani kot

e0 = cosφ

2in [e1 e2 e3]T = e = c sin

φ

2. (7.2)

Dolocitev

Dolocimo jih, izhajajoc iz rotacije vektorja – zapisemo lahko rotacijsko matriko, ki je odvisna od stirihEulerjevih parametrov. Kakor na sliki 7.2 naj bo vektor s ∈ R

3 enak za kot φ zasukanemu vektorjus′ ∈ R

3 okrog enotskega vektorja c. Potem ugotovimo preslikavo s = A s′, kjer je A ∈ R3×3 rotacijska

matrika.

Vektor s lahko zapisemo kot vsoto

s =−−→ON +

−−→NQ+

−−→QP = (cTs′) c + cos(φ) (s′ − (cTs′) c) + sin(φ) c s′, (7.3)

21 Izpuscamo clen 2 k π, ki ga lahko pristejemo vsaki rotaciji, npr.: α ≡ α + 2 k π, k ∈ Z.


Slika 7.2: Zasuk vektorja s′ okrog osi c za kot φ

kar lahko preuredimo kot

s = cosφ s′ + (1− cosφ) (cTs′) c + sinφ c s′. (7.4)

Na podlagi trigonometrijskih zvez

cosφ = 2 cos2 φ

2− 1, 1− cosφ = 2 sin2 φ

2in sinφ = 2 sin

φ

2cos

φ

2(7.5)

lahko v enacbi (7.4) izvedemo zamenjave in dobimo

s =

(

2 cos2 φ

2− 1

)

s′ + 2 sin2 φ

2

(cTs′

)c +

(

2 sinφ

2cos

φ

2

)

c s′. (7.6)

Izvedemo zamenjave se glede na zvezi (7.2) (torej cos(φ/2) = e0 in c = e (sin(φ/2))−1):

s = (2 e20 − 1) s′ + 2 e

(eTs′

)+ 2 e0 e s′ =

((2 e2

0 − 1) E + 2 e eT + 2 e0 e)

s′ = A s′, (7.7)

kjer je E ∈ R3×3 enotska matrika. Z enacbo (7.7) je bila ugotovljena rotacijska matrika

A(p) = (2 e20 − 1) E + 2 e eT + 2 e0 e (7.8)

kot funkcija stirikomponentnega vektora p. Za matriko A iz enacbe (7.8) velja (kakor za poljubnorotacijsko matriko) ortogonalnost ATA = E [1, 10], kar pomeni, da vedno obstaja inverzna preslikavas′ = ATs, kjer je

AT = (2 e20 − 1) E + 2 e eT − 2 e0 e. (7.9)

7.2.1 Zveze med kotno hitrostjo in odvodom Eulerjevih parametrov

Kotna hitrost je vektor ω ∈ R3, katerega smer definira os rotacije, dolzina pa casovni odvod velikosti

zasuka okrog te osi. Zapisemo jo lahko v koordinatah (v nadaljevanju globalne koordinate) inercial-nega koordinatnega sistema (v nadaljevanju globalni koordinatni sistem) z oznako ω in v koordinatah(v nadaljevanju lokalne koordinate) lokalnega, telesu nepomicnega koordinatnega sistema s koordinatnimizhodiscem v teziscu telesa (v nadaljevanju lokalni koordinatni sistem) z oznako ω′. Analogno bo pripisoznake ′ tudi drugim velicinam oznaceval zapis v lokalnih koordinatah.

Rotacijsko matriko A iz enacbe (7.8) je mogoce zapisati kot produkt dveh matrik G ∈ R3×4 in L ∈ R

3×4

(kot Globalno in Lokalno), ce ju definiramo kot

G(p) = [−e e + e0E] , L(p) = [−e − e + e0E] . (7.10)


Potem velja enakost

G LT = [−e e + e0E]

[

−eT

−eT + e0E

]

= e eT + (e + e0E)(−eT + e0E

)

= e eT − e eT + e e0E − e0E eT + e0E e0E

= e eT + e e + 2 e0 e + e20E

= e eT +(e eT − eTe E

)+ 2 e0 e + e2

0 E

= (2 e20 − 1) E + 2 e eT + 2 e0 e

= A.

∣∣∣∣∣∣∣∣

eT = −e

e e = e eT − eTe E, po enacbi (A.29)

pT p = e20 + eT e = 1, po enacbi (7.1)

(7.11)

Za matriki G in L Parviz [10] zapise mnoge zakonitosti, od katerih tu omenimo samo ortogonalnost, toje lastnost

L LT = G GT = E ∈ R3, (7.12)

ker ta pojasnjuje inverznost pretvorb med kotno hitrostjo in casovnim odvodom Eulerjevih parametrov.Te pretvorbe navedemo brez izpeljave (ker bi bila ta preobsezna):

ω = 2 G(p) p, p =1

2G(p)T ω, (7.13)

ω′ = 2 L(p) p, p =1

2L(p)T ω′. (7.14)

Vsaka od enacb (7.13) in (7.14) predstavlja diferencialno enacbo, iz katere lahko dolocimo casovni potekEulerjevih parametrov p(t) za znano kotno hitrost ω(t) ali obratno. V primeru resevanja gibalne enacbeje ω ob vsakem casu t odvisna od p, ki parametrizira orientacijo telesa, zato se katerakoli od diferencialnihenacb (7.13) in (7.14) resuje socasno z gibalno enacbo.

7.3 Posplosene koordinate

Lego telesa definiramo kot premik tezisca telesa rS v globalnem koordinatnem sistemu in zasuk telesa,ki ga doloca rotacijska matrika A(p), ki pa je enolicno dolocena z Eulerjevimi parametri p. Zapisemoparametrizacijo lege

q(t) =

[rS(t)p(t)

]

∈ R7. (7.15)

Parviz [10] oblikuje tri formulacije gibalne enacbe togega telesa. Dve taksni, kjer vektor (7.15) uporabikot posplosene koordinate in poleg uposteva se vezno enacbo

g(q) = pTp− 1 = 0 (7.16)

kot dvostranski kontakt. Eno pa kot obicajno Newton-Eulerjevo enacbo (3.1), v kateri nastopa vektorposplosenih hitrosti

u(t) =

[rS(t)ω′(t)

]

∈ R6 (7.17)

in ze izpolnjuje pogoj (7.16), ker vkljucuje neodvisne koordinate. Kotna hitrost ω′, zapisana z lokalnimikoordinatami, omogoca upostevanje konstantnega tenzorja vztrajnostnih momentov.


7.3.1 Zveza med posploseno hitrostjo in parametrizacijo lege

Ce v gibalni enacbi nastopa vektor iz enacbe (7.17), lahko dolocimo parametrizacijo lege s socasnimresevanjem

q(t) = F (q(t)) u, F (q(t)) =

[E 00 1

2 LT

]

, (7.18)

kjer upostevamo drugo enacbo (7.14). Taksne posplosene koordinate uporabijo tudi Le Saux et al. [13],ki enacbo (7.18) uporabijo v Moureaujevem algoritmu (poglavje 4.3). Za zacetni pogoj qA in uA gledena enacbo (7.18) dolocijo posplosene koordinate v srediscni tocki

qM = qA + F (qA) uA∆t

2. (7.19)

Potem resijo gibalno enacbo skupaj s kontaktnim problemom, s cimer dolocijo koncno posploseno hitrostuE, ki jo potem analogno kot v enacbi (7.19) upostevajo po enacbi

qE = qM + F (qM) uE∆t

2. (7.20)

Zdrs Eulerjevih parametrov

Pojavi se zdrs Eulerjevih parametrov, ker enacba (7.18) izpolnjuje odvod enacbe (7.16) [10, 13] (nakinematskem nivoju hitrosti), in sicer

g = pTp = 0, (7.21)

kar pa enacba (7.19) izpolnjuje kot

∆pTA pA = 0. (7.22)

Tako za enotski vektor Eulerjevih parametrov ‖pA‖ = 1 dobimo neenotski vektor

‖pM‖2 = ‖pA +∆pA‖

2 = pTA pA + 2 pT

A∆pA +∆pTA ∆pA = 1 +∆pT

A ∆pA > 1. (7.23)

Le Saux et al. tezavo naslovijo s korekcijo casovnega koraka. Za vsak izracunani qE resijo po kvaziLagrangeevi metodi problem optimizacije

min1

2‖x− qE‖

2 pri pogoju b(x) =

[gN

pTp− 1

]

= 0, (7.24)

kjer vektor b(x) tvorijo vezni pogoji, in sicer pogoj, da Eulerjevi parametri sestavljajo enotski vektor, inhkrati tudi pogoj, da je prodiranje nicno. Dolocijo torej vektor posplosenih koordinat q∗

E, ki je najblizji

qE. Ce bi iz problema (7.24) izkljucili pogoj gN = 0, bi se problem (7.24) poenostavil22 na normalizacijovektorja pE, saj bi translatorni del vektorja x dolocili kot qE, rotacijski del x pa predstavlja vektorEulerjevih parametrov p in minimizira problem (7.24), ki ne uposteva pogoja gN = 0, ce velja

p∗E =

pE

‖pE‖. (7.25)

7.4 Gibalna enacba

Cilj je dolociti gibalno enacbo, ki uposteva vektor posplosenih hitrosti (7.17), in vkljuciti kontaktne sile.Da lahko prepoznamo velicine, ki nastopajo v Newton-Eulerjevi gibalni enacbi (3.1), jo zapisemo ponovno,

22 Trditev lahko preverimo z dolocitvijo vezanega ekstrema kot minimum Lagrangeeve funkcije L, in sicer resimo

∇L(x, µ) = ∇(

12

‖x − qE‖2 − µ(

pTp − 1))

= 0.


tako da upostevamo tudi spremembo gibalne in vrtilne kolicine iz enacbe (3.2). Ob tem predpostavimo,da na telo na mestu A delujeta kontaktna sila FA in nicni moment, ker je kontakt predpostavljen kottockovni:

[mE 0

0 IS

] [vS

ω

]

+

[0

ω IS ω

]

−

[E

rSA

]

FA = 0. (7.26)

Rotacijski del enacbe (7.26) je zapisan v globalnem koordinatnem sistemu, kar pomeni, da je tenzor vztraj-nostnih momentov IS odvisen od orientacije telesa p, kar z numericnega vidika ni ugodno. Ce kakor LeSaux et al. [13] rotacijski del enacbe (7.26) zapisemo ustrezno lokalnemu koordinatnemu sistemu, karizpelje Parviz [10], upostevamo tenzor vztrajnostnih momentov I′

S, dolocen v lokalnem koordinatnemsistemu, ki je od orientacije telesa neodvisen. Preden enacbo (7.26) ponovno zapisemo, tudi razstavimokontaktno silo kot

FA = (nλN + tu λTu + tv λTv) , (7.27)

kjer je enotski vektor n normalen na kontaktno povrsino in usmerjen v notranjost telesa ter skupaj zenotskima vektorjema tu in tv tvori trieder, velja torej ‖n‖ = ‖tu‖ = ‖tv‖ = 1 in n × tu = tv. Potemlahko preoblikujemo Newton-Eulerjevo enacbo v obliko

[mE 0

0 I′S

] [vS

ω′

]

+

[0

ω′ I′S ω′

]

−

[E

r′SA AT

]

(nλN + tu λTu + tv λTv) = 0. (7.28)

V enacbi (7.28) se pojavi matrika AT, ki v rotacijskem delu enacbe preslika kontaktno silo v lokalnikoordinatni sistem. V enacbi (7.28) lahko oznacimo velicine

M =

[

mE 0

0 I′S

]

, u =

[

vS

ω′

]

, h = −

[

0

ω′ I′S ω′

]

,

wN =

[

n

r′SA AT n

]

, wTu =

[

tu

r′SA AT tu

]

, wTv =

[

tv

r′SA AT tv

]

.

(7.29)

Z upostevanjem oznak (7.29) lahko zapisemo gibalno enacbo

M u− h−wN λN −wTu λTu −wTv λTv = 0, (7.30)

ki velja za prosto gibajoce se telo v prostoru, na katerega se pojavi kontaktna sila, ki se pojavi npr. vkontaktu s telesom, ki je v globalnem koordinatnem sistemu nepomicno.

Prilagoditev za socasne kontakte in tangencialni kontaktni zakon

Gibalno enacbo (7.30) za primer vec kontaktov zapisemo v obliki

Mu− h−∑

i∈IN

(wNi λNi + WTi λTi) = 0, (7.31)

kjer je IN mnozica indeksov i zaprtih kontaktov. V enacbi (7.31) sta smeri posplosenih tangencialnih silzdruzeni v matriko WTi in velikosti kontaktnih tangencialnih sil v vektor λTi:

WTi = [wTui wTvi] , λTi = [λTui λTvi, ]T. (7.32)

Z uvedbo velicin (7.32) lahko upostevamo tangencialni kontaktni zakon (npr. Coulombov zakon trenja)v tangentni ravnini kontakta. Poleg gibalne enacbe (7.31) mora biti ta sicer zapisan v obliki

−gTi ∈ NCT(λNi)(λTi), (7.33)

ki mora veljati na kinematskem nivoju pospeska, ker je pri resevanju kontaktnega problema, v katerem sedoloca vektor posplosenih pospeskov q, dolocljiv kontaktni pospesek gT, in ne hitrost gT (glejte enacbe


(3.24)). Sele z diskretizacijo gibalne enacbe (7.31) za metodo casovnega koraka (poglavje 4.3.1) se pojavimoznost upostevanja vkljucka (5.9), ki velja na kinematskem nivoju hitrosti z upostevanjem impulzov(glejte enacbo (4.26)).

Kontakt dveh teles

Formuliramo lahko tudi gibalno enacbo, ki popisuje kontakt dveh teles, ki ju posamicno oznacimo z A inB. Na telo A deluje v tocki A sila FA, na telo B pa v tocki B sila FB. Za kontakt velja, da tocki A in Bv globalnem koordinatnem sistemu sovpadata, po Newtonovem tretjem zakonu pa za kontaktni sili FA

in FB lahko zapisemo FB = −FA. Potem za telo B izvedemo razstavitev

FB = −FA = −(nA λN + tA

u λTu + tAv λTv

), (7.34)

upostevajoc razstavitev (7.27), kjer so bile enotskim vektorjem triedra telesa A pripisane oznake A. Zatelo B uvedemo nasprotno enak trieder,

nB = −nA, tBTu = −tA

Tu in tBTv = −tA

Tv. (7.35)

Potem lahko razstavitev (7.34) zapisemo kot

FB =(nB λN + tB

u λTu + tBv λTv

), (7.36)

ki omogoci, da nastopajo iste skalarne velicine λN, λTu in λTv v paru analognih gibalnih enacb

MA uA − hA −wAN λN −wA

Tu λTu −wATv λTv = 0,

MB uB − hB −wBN λN −wB

Tu λTu −wBTv λTv = 0,

(7.37)

ki glede na pripis oznake A ali B popisujeta dinamiko teles A ali B. Gibalni enacbi zdruzimo v enogibalno enacbo oblike (7.30) z uvedbo oznak

M =

[

MA 0

0 MB

]

, u =

[

uA

uB

]

, h =

[

hA

hB

]

,

wN =

[

wAN

wBN

]

, wTu =

[

wATu

wBTu

]

, wTv =

[

wATv

wBTv

]

.

(7.38)

Analogno lahko zapisemo gibalno enacbo, ki popisuje kontakt poljubnega stevila togih teles, upostevajocustrezne kontaktne triedre.

7.4.1 Kontaktna hitrost

Preverimo, da posplosena smer wN iz nabora oznak (7.38) doloca kontaktno hitrost gN(q,u) po zvezigN = wT

N u, kjer kinematsko vzbujanje ne nastopa. Ce upostevamo oznake (7.38), zapisemo

gN = wTN u =

[(wA

N

)T (wB

N

)T] [

uA

uB

]

=(wA

N

)TuA +

(wB

N

)TuB, (7.39)

iz cesar sledi, da se dolocitev nadaljuje z dvema analognima postopkoma, ki veljata vsak samo za enotelo. Postopek izvedemo enkrat za telo A in ga nato glede na enacbo (7.39) upostevamo se za telo B.


Glede na oznake (7.29) zapisemo (izpustimo pripis oznake A)

(wA

N

)TuA �A−→ wT

N u =

[n

r′SA AT n

]T [vS

ω′

]

=[

nT nTA (r′SA)

T] [

vS

ω′

]

= nTvS − nTA r′SA ω′ = nT (vS + A ω′ r′

SA) = nT (vS + vSA)

= nTvAA−→

(nA

)TvA,

(7.40)

s cimer smo dobili projekcijo hitrosti delca A na smer normale nA. Ugotovitev (7.40) upostevamo venacbi (7.39), kar zapisemo kot

gN =(nA

)TvA +

(nB

)TvB =

(nA

)T(vA − vB) =

(nB

)T(vB − vA) . (7.41)

S tem je preverjeno, da je gN projekcija relativne hitrosti kontaktnih delcev A in B na normalo kontakta,kakor je bilo ze definirano za kontakt ravninskih teles z enacbo (3.14) v poglavju 3.2.1. Analogen postopekbi lahko izvedli za kontaktni hitrosti gTu in gTv.

Povzetek. V tem poglavju je bila uvedena gibalna enacba sistema togih teles v prostoru in dolocen jebil postopek integracije posplosenih hitrosti v parametrizacijo lege po Moreaujevem algoritmu. Uvedenaje bila tudi smer posplosene kontaktne sile. S tem je bila ravninska negladka dinamika nadgrajena vprostorsko, kar omogoci resevanje prostorskega kontaktnega problema in integracijo gibalne enacbe.

Poglavje 8

Primer uporabe: Zdruzeni kontaktni

problem

Za ravninski primer po RL-metodi obravnavamo kontaktni problem, pri katerem hkrati niso znani nenormalni kontaktni impulzi ne tangencialni. Eden preprostejsih primerov, na katerem lahko preizkusimometodo, je plasticni trk masne tocke ob ravno podlago z upostevanjem Coulombovega trenja. Najprejformuliramo algoritem za resevanje plasticnega trka po RL-metodi in izvedemo primer. Algoritem iz-vaja tri subiteracije modificirane Newtonove metode iz poglavja 5.3.2. Potem za isti dinamski sistemformuliramo Moreaujev algoritem (poglavje 4.3.2), s katerim izvedemo simulacijo drsenja masne tocke poravni podlagi. Demonstriramo vkljucitev RL-metode v metodo casovnega koraka. S tema simulacijamauporabnost metode za vec socasnih kontaktov ne bo preverjena.

8.1 Dinamski sistem

Obravnavamo kontaktni problem (slika 8.1), ki nastopi, ko masna tocka z maso m trci ob ravno ploskevs hitrostjo

qA =

[xy

]

.

Nastopajoce dinamske velicine so uporabljene tudi v poglavju 9.

Slika 8.1: Plasticni trk masne tocke ob steno z upostevanjem Coulombovega trenja

8.1.1 Dolocitev nastopajocih dinamskih velicin

Zapisemo gibalno enacbo

[m 00 m

] [xy

]

−

[0−mg

]

−

[01

]

λN −

[10

]

λT =

[00

]

, (8.1)

55

POGLAVJE 8. PRIMER UPORABE: ZDRUZENI KONTAKTNI PROBLEM 56

v kateri prepoznamo velicine

M =

[m 00 m

]

, h =

[0−mg

]

, wN = WN =

[01

]

in wT = WT =

[10

]

. (8.2)

Kinematicno vzbujanje dinamskega sistema ne nastopa, zato velja

∂gN

∂t= wN = 0 in

∂gT

∂t= wT = 0. (8.3)

Ker bo v nadaljevanju uporabljena metoda casovnega koraka kot metoda integracije, preidemo na dife-rencno gibalno enacbo

M ∆q − h∆t−WN ΛN −WT ΛT = 0, (8.4)

kjer nastopata iskana impulza ΛN in ΛT (poglavje 4.2).

8.2 Plasticni trk

8.2.1 Analiticno

Ugotovimo analiticno resitev, ki je namenjena vrednotenju numericne resitve, zato je treba izbrati kon-kreten problem, to je problem plasticnega trka v normalni smeri in Coulombovo trenje v tangenci-alni (slika 8.1) s podatki, izbranimi po tabeli 8.1. Ze tu upostevamo, da bo v nadaljevanju simulacijapotekala po metodi casovnega koraka, zato dolocimo tudi dolzino casovnega koraka∆t in pojavi se impulzzunanjih sil h∆t.

Tabela 8.1: Vrednosti mehanskih velicin, izbrane za obravnavani dinamski sistem (slika 8.1)Oznaka Vrednost Opis

m 1 kg Masa.qA [0 m 0 m]T Zacetni polozaj – posplosene koordinate.qA [1 m/s −1 m/s]T Zacetna hitrost – posplosene hitrosti.g −9,81 m/s2 Gravitacijski pospesek.µ 0,4 Koeficient trenja.

∆t 0,001 s Casovni korak.

Podlaga pri plasticnem trku (slika 8.2) povzroca impulz, ki ustreza vrednosti, ki zaustavi prodiranje. Ceje gNA = yA druga komponenta vektorja qA, izracunamo

ΛN = −gNAm+ Λg = − (−1 m/s · 1 kg) + 0,00981 N s = 1,00981 N s, (8.5)

kjer je

Λg = mg∆t = 1 kg · 9,81 m/s2 · 0,001 s = 0,00981 N s (8.6)

impulz reakcije podlage, ki ga povzroci delovanje sile teznosti v trajanju casovnega koraka.

Po Coulombovem zakonu (5.6) velja

ΛT = −µΛN = −0,4 ·1,00981 N s = −0,403924 N s, (8.7)

ker je m gTA > µΛN. Velja diferencna gibalna enacba

∆q = M−1 (h∆t+ WN ΛN + WT ΛT) , (8.8)


zato kontaktni problem resimo kot

∆q =

[−0,403924 m/s

1 m/s

]

in qE =

[0,596076 m/s

0 m/s

]

. (8.9)

Slika 8.2: Analiza plasticnega trka, pri katerem nastopa trenje po Coulombovem zakonu

8.2.2 Numericno

Resujemo samo kontaktni problem, kjer ze velja gN = qA2 = 0 in kontaktov ni treba zaznavati. Dolocitipa je treba parameter r iz RL-funkcije (5.46), oceno napake kontaktnega impulza δ in funkcije najblizjetocke.

Po priporocilu (5.57) dolocimo parameter r kot

r = α rmax = α2 ηmin(M)

∥∥[WN WT

]∥∥

; α ∈ (0, 1), (8.10)

kjer s faktorjem α izbiro r odmaknemo od skrajne meje rmax proti 0.

Oceno dopustne napake kontaktnega impulza δ, ki jo potrebujemo v enacbi (5.58), izberemo kot najmanjsiimpulz, ki naj bo se relevanten. Tu je izbrana

δ = β ‖qA‖m; β ∈ (0, 1), (8.11)

kjer z uporabo faktorja β izberemo δ kot delez gibalne kolicine masne tocke.

Funkcije najblizje tocke

Programska koda, ki je bila uporabljena za izvajanje modificirane Newtonove metode, ni temeljila ne-posredno na definiciji 10, pac pa na predhodno dolocenih funkcijah najblizje tocke (proxC( · )), ki bodotu navedene. Obravnavamo jih kot vhodni podatek algoritma 8.1, kar prispeva k preglednosti zapisaalgoritma.

Za normalni kontaktni zakon uporabimo CN iz enacbe (5.3) in za tangencialni CT iz enacbe (5.6). Potempo definiciji 10 definiramo funkcijo najblizje tocke obmocja

proxCN(z) =

{z; z ≥ 00; z < 0

(8.12)

za normalni kontaktni zakon in funkcijo

proxCT(ΛN)(z) =

z; z ∈ [−µΛN, µΛN]−µΛN; z < −µΛN

µΛN; z > µΛN

(8.13)

za tangencialni kontaktni zakon.


Velicine, potrebne za izvajanje modificirane Newtonove metode, so s tem dolocene, zato metodo, pred-stavljeno v poglavju 5.3.2, zapisemo kot algoritem 8.1.

Algoritem 8.1: Modificirana Newtonova metoda za dolocitev sedla RL-funkcije za plasticni trk s trenjem

Vhodni podatki: M , q, h, ∆t, WN, WT, wN, wT

Vhodni podatki: proxCN( · ), proxCT( · )( · )

Vhodni podatki: Λ0N, Λ0

T r, δResitev: Λk

N, ΛkT, ∆qk

k ← 0 //Stevec k nastavimo na 0.repeat∆qk = M−1

(h∆t+ WN Λ

kN + WT Λ

kT

)

gkNE = W T

N

(q +∆qk

)+ wN

gkTE = W T

T

(q +∆qk

)+ wT

Λk+1N = proxCN

(Λk

N − r gkNE

)

Λk+1T = prox

CT(Λk+1

N )(Λk

N − r gkNE

)

k ← k + 1until |Λk

N − Λk−1N |+ |Λk

T − Λk−1T | ≥ δ

∆qk = M−1 (h∆t+ WN ΛN + WT ΛT) //V zanki ∆q ni bila izracunana za zadnji k.

Vhodni podatki za algoritem 8.1

Za izvajanje algoritma 8.1 potrebujemo vrednosti vhodnih podatkov. Uporabimo podatke za dinamskisistem (tabela 8.1), s cimer postane masna matrika

M =

[1 00 1

]

[kg], (8.14)

druge velicine iz (8.2) pa ze imajo stevilske vrednosti. V enacbi (8.10) izberemo α = 0,95 in dobimo

r = 1,9 kg, (8.15)

ki bo uporabljen tudi v naslednjem poglavju. Izbrati je treba se oceno napake, za kar izberemo β = 10−5

po enacbi (8.11) in dobimo

δ = 1,4142 ·10−5 N s, (8.16)

ki bo uporabljena za vse algoritme razen zadnjega (algoritem 9.2 v poglavju 9.3). Z izbiro zacetnihimpulzov Λ0

N = Λ0T = 0 so dolocene stevilske vrednosti vseh velicin, ki jih potrebujemo za izvedbo

modificirane Newtonove metode optimizacije RL-funkcije po algoritmu 8.1.

Rezultati algoritma 8.1

Zanka repeat se v algoritmu 8.1 izvede 117-krat (slika 8.3) in dobimo resitev

∆q =

[−0,403922012 m/s1,000004473 m/s

]

, ΛN = 1,009814473 N s in ΛT = −0,403922011 N s, (8.17)

ter zato

qE =

[0,596077988 m/s0,000004473 m/s

]

. (8.18)


Slika 8.3: Vrednost impulzov ΛkN in Λk

T glede na stevec iteracije k. Vrednosti so zaradi preglednostipovezane z ravno crto

Sklep. Pokazano je, da je kontaktni problem z neznano normalno kontaktno silo mogoce aproksimativnoresiti po RL-metodi.

8.3 Drsenje

Kontaktni problem lahko resujemo po algoritmu 8.1 v vsakem casovnem koraku. Drsenje po ravni podlagise prevede na plasticni trk iz poglavja 8.2, ki se zgodi v vsakem casovnem koraku.

Zacetne pogoje postavimo kot

q0 =

[1 m/s0 m/s

]

in q0 =

[0 m0 m

]

, (8.19)

kjer je normalna komponenta hitrosti postavljena na 0 m/s , da je obravnava osredinjena na cisto drsenje(slika 8.4).

Slika 8.4: Drsenje masne tocke po podlagi

8.3.1 Analiticno

Na masno tocko deluje podlaga s silo λN = mg, zato po Coulombovem zakonu deluje v casu drsenja namasno tocko sila trenja

λT = −µmg, (8.20)

ker je hitrost drsenja pozitivna x > 0. Torej je pospesek masne tocke po Newtonovem zakonu

a =λT

m= −µ g. (8.21)


Ce velja zacetni pogoj x(0) = x0, je hitrost masne tocke dana kot

x(t) = x0 + a t, (8.22)

cas zaustavitve kot

tk = −x0

a(8.23)

in pomik v casu kot

x(t) = x0 t+a

2t2, (8.24)

iz cesar lahko izracunamo podatke v tabeli 8.2.

Tabela 8.2: Resitve primera drsenja po analiticni metodiOznaka Vrednost Opis

tk 0,254842 s Cas zaustavitve.x(tk) 0,127421 m Pot drsenja.

8.3.2 Numericno

Za primer drsenja masne tocke integriramo diferencno gibalno enacbo po Moreaujevem algoritmu (po-glavje 4.3.2), kjer kontaktni problem prevedemo v problem optimizacije. Za drsenje zapisemo algori-tem 8.2, ki vkljucuje modificirano Newtonovo metodo optimizacije (algoritem 8.1).

Algoritem 8.2: Metoda casovnega koraka, ki vkljucuje RL-metodo za resevanje kontaktnega problema

Vhodni podatki: M , h, ∆t, ts, WN, WT, wN, wT,Vhodni podatki: proxCN

( · ), proxCT( · )( · ),

Vhodni podatki: Λ0N, Λ0

T, r, δResitev: q(t), q(t); t ∈ {k∆t | k ∈ {0, 1, . . . , ts/∆t}}

t← ∆t, j ← 0qA ← q0, qA ← q0

repeatj ← j + 1qM ← qA + 1

2 qA ∆t //Posplosene koordinate na sredini casovnega koraka.

[∆q, ΛN, ΛT] ← algoritem 8.1 (M , h, ∆t, WN, WT, wN, wT, proxCN( · ), proxCT( · )( · ), qM, Λj−1

N ,

Λj−1T , r, δ) //Zacnemo z impulzi, ki so ustrezali predhodnemu casovnemu koraku.

ΛjN = ΛN, Λj

T = ΛT

qE ← qA +∆q, qE ← qM + 12 qE∆t

q(t) = qE, q(t) = qE //Shranimo rezultat.qA ← qE, qA ← qE //Ponastavimo casovni korak.t← t+∆t

until t ≤ ts

Opombe

Dinamske velicine M , h, WN, WT, wN, wT se v konkretnem primeru med integracijo ne spreminjajo,zato jih obravnavamo kot vhodne podatke in jim ne pripisujemo oznake M, s katero bi sicer poudarili, damorajo biti velicine po Moreaujevem algoritmu ustrezne stanju sistema qM, ki velja za sredino casovnegakoraka.


V prvi iteraciji algoritma 8.2 (poljubno) izberemo izhodiscno tocko modificirane Newtonove metode kotnicelne impulze, v vseh drugih pa zacnemo z impulzi predhodne iteracije po nasvetu Leineja in Nijmei-jerja [3], ker so ti pogosto blizu resitve, kar je ugodno za hitrost konvergence.

Kontaktne mnozice ni treba dolocati, ker ne pricakujemo odprtja kontakta (v celotni simulaciji veljagN ≈ 0).

Vhodni podatki

Parametre simulacije (algoritem 8.2) izberemo v skladu s tabelo 8.3, druge podatke, ki jih zahteva algo-ritem 8.2, pa izberemo enako kot za algoritem 8.1.

Tabela 8.3: Parametri simulacije drsenja po algoritmu 8.2Oznaka Vrednost Opis

ts 0,3 s Dolzina casovnega intervala simulacije.

∆t 0,001 s Casovni korak.Λ0

N = Λ0T 0 N s Izhodiscna impulza prve iteracije.

Rezultati

Resitev, doloceno s simulacijo, predstavljajo posploseni pomiki q(t) in posplosene hitrosti q(t) za caset ∈ {k∆t | k ∈ {0, 1, . . . , ts/∆t}}. Ker pa so pomiki v smeri y zanemarljivi – posledica numericnih napak(slika 8.5) – se osredinimo na obravnavo pomika x(t) in hitrosti x(t) masne tocke v smeri x. Nekateridiagrami so zaradi obseznosti umaknjeni v dodatek A.2.1. Hitrost in pomik masne tocke prikazemo vdiagramih slike A.1, kjer ju primerjamo z analiticno resitvijo. Analogna diagrama prikazemo za okolicocasa zaustavitve tk (slika A.2). Numericna dolocitev casovne odvisnosti impulzov je prikazana na sliki A.3,kjer velja opozoriti, da je numericna napaka tangencialnega impulza ΛT(t) istega velikostnega razredakot numericna napaka ΛN(t), vendar zaradi skaliranja diagrama graficno ni tako izrazita.

Slika 8.5: Trajektorija gibanja masne tocke v ravnini x y

Na sliki 8.6 je prikazano stevilo iteracij algoritma 8.1 v casu, kjer opazimo povecano stevilo iteracij samona zacetku algoritma, 76 iteracij, in za cas zaustavitve (priblizno tk), 63 iteracij. Stevilo iteracij New-tonove metode je pogojeno z blizino inicializacije koncni resitvi. Z namenom zmanjsanja stevila iteracij,algoritem 8.2 inicializira algoritem 8.1 z resitvijo predhodnega koraka Λj−1

N , Λj−1T , ki je v konkretnem

primeru vecinoma blizu resitve, ker se eksaktna resitev impulzov spremeni samo ob casu tk, kjer se zacnelepenje. Takrat je resitev kontaktnega problema nekoliko dlje od inicializacije, kakor tudi v prvi iteraciji,ki je inicializirana z nicelnimi impulzi.

Kot posledica tolerance δ > 0 se pojavi numericna napaka, ki je bila prisotna ze pri obravnavi kontaktnegaproblema (poglavje 8.2). Ta omogoca gibanje v smeri y, ki ga prikazuje slika 8.5, kjer je opaziti, da


Slika 8.6: Stevilo iteracij algoritma 8.1 v odvisnosti od casa

prihaja do periodicnosti. Podobno velja tudi za diagrame na slikah A.3 in 8.6. Podrobnejsa analiza bilahko pojasnila, kaksen je vzrok opazenega pojava. Taksna analiza v tej diplomski nalogi ni izvedena, kerje le-ta osredinjena na izvedbo obravnavanih metod, in ne na njihovo analizo.

Poglavje 9

Primer uporabe: Vkljucitev

Poissonovega zakona o trku

V poglavju 6 je bil predstavljen model trka, ki temelji na Poissonovem zakonu, kakor ga navajata Glockerin Pfeiffer [1]. V tem poglavju ga uporabimo pri formulaciji kontaktnega problema. Po zgledu poglavja 8najprej obravnavamo samo kontaktni problem, nato pa ga uporabimo v simulaciji po Moreaujevem al-goritmu. Rezultati simulacije so za case trka podani tudi numericno in izvedena je analiticna kontrolakontaktnih impulzov.

9.1 Formulacija algoritma za resevanje kontaktnega problema

Navedemo funkcije najblizje tocke (poglavje 9.1.1) in zapisemo nov algoritem (algoritem 9.1).

9.1.1 Funkcije najblizje tocke, ki upostevajo Poissonov zakon trka

Faza kompresije

Za uporabljeni model trka so bila zapisana konveksna obmocja dopustnih sil, ki so za fazo kompresijesovpadala (enacba (6.6)) z ze uporabljenimi obmocji za plasticni trk

CN = CNC in CT(ΛNC) = CTC(ΛNC), (9.1)

zato oznake C za obmocja dopustnih kompresijskih impulzov ne pripisujemo. Uporabimo lahko funkcijinajblizje tocke (8.12) in (8.13).

Faza ekspanzije

Ekspanzijska sprememba generaliziranih hitrosti ∆qE je tudi dolocena po algoritmu 8.1, vendar z ustre-znimi obmocji dopustnih ekspanzijskih impulzov CNE po enacbi (6.9) in CTE(ΛNE) po enacbah (6.10) in(6.11), zato priredimo funkciji najblizje tocke (definicija 10):

proxCNE(z) =

{z; z ≥ εNΛNC

εNΛNC; z < εNΛNC, (9.2)

proxCTE(ΛNE)(z) =

z; z ∈[−µΛNE + (|ΛTS|+ ΛTS) , µΛNE + (ΛTS − |ΛTS|)

]

−µΛNE + (|ΛTS|+ ΛTS) ; z < −µΛNE + (|ΛTS|+ ΛTS)µΛNE + (ΛTS − |ΛTS|) ; z > µΛNE + (ΛTS − |ΛTS|)

;

ΛTS(ΛNE) =1

2(µ ν ΛNE sign(ΛTC) + εN εT ΛTC) .

(9.3)

63

POGLAVJE 9. PRIMER UPORABE: VKLJUCITEV POISSONOVEGA ZAKONA O TRKU 64

9.1.2 Algoritem

Po poglavju 6.3.2 zapisemo novi algoritem (algoritem 9.1), ki za vsako fazo trka izvaja algoritem 8.1,potrebni pa sta dve opombi.

Algoritem 9.1: RL-metoda, ki v kontaktnem problemu uposteva trk po Poissonovem zakonu

Vhodni podatki: M , qA, h, ∆t, WN, WT, wN, wT

Vhodni podatki: proxCN( · ), proxCT( · )( · ), proxCNE( · )( · ), proxCTE( · , · )( · )

Vhodni podatki: Λ0NC, Λ0

TC, Λ0NE, Λ0

TE, r, δResitev: ΛNC, ΛTC, ΛNE, ΛTE, ∆q

∆tC = 12 ∆t, ∆tE = 1

2 ∆t[∆qC, ΛNC, ΛTC] = algoritem 8.1 (M , qM, h, ∆tC, WN, WT, wN, wT, proxCN

( · ), proxCT( · )( · ), Λ0NC,

Λ0TC, r, δ)

proxCNE( · ) = proxCNE(ΛNC)( · ) //Faza kompresije doloca obmocje dopustnih ekspanzijskih impulzov.

proxCTE( · )( · ) = proxCTE( · , ΛTC)( · )qC ← qA +∆qC //Posplosena hitrost po izvedeni fazi kompresije.

[∆qE, ΛNE, ΛTE] = algoritem 8.1 (M , qC, h, ∆tE, WN, WT, wN, wT, proxCNE( · ), proxCTE( · )( · ),

Λ0NE, Λ0

TE, r, δ)∆q = ∆qC +∆qE

Opombi

ObmocjiCNE in CTE( · ) sta znani sele po izvedeni fazi kompresije, zato funkcij proxCNE( · ) in proxCTE( · )( · )

ni korektno navesti kot vhodnih podatkov algoritma, ki razresuje trk (algoritem 9.1). Med vhodne po-datke sta zato zapisani funkciji proxCNE( · )( · ) in proxCTE( · , · )( · ), da je formalno zapis korekten, drugodpa ne poudarjamo posebej, da dolocitev obmocja CNE zahteva poznavanje ΛNC in da dolocitev obmocjaCTE( · ) zahteva poznavanje ΛTC.

Ko se v algoritmu 8.1 izvaja prva iteracija modificirane Newtonove metode, lahko zaradi zgresene iniciali-zacije pride do krsitve pogoja (6.12), ki povzroci CTE = {}. V tem primeru lahko postavimo ΛTS = µΛNE

in modificirana Newtonova metoda v naslednjih iteracijah napako korigira. Tako je bila tezava odpra-vljena v primerih te diplomske naloge.

9.2 Idealno elasticni trk v normalni in tangencialni smeri

V poglavju 8.2 je bil obravnavan plasticni trk masne tocke ob podlago (slika 8.2). Ce kontaktu pripisemolastnosti, navedene v tabeli 9.1, obravnavamo idealno elasticni trk v normalni in tangencialni smeri, karpreverimo v nadaljevanju (poglavje 9.2.1). Na taksnem primeru lahko preizkusimo algoritem 9.1, vendarnajprej ugotovimo analiticno resitev.

9.2.1 Analiticno

Tudi v analiticnem postopku najprej izvedemo fazo kompresije, ki pravzaprav ustreza plasticnemu trku,kar pomeni, da je obravnava podobna poglavju 8.2.1. Za normalno smer lahko uporabimo ze dolocenoenacbo (8.5) s podatki iz tabele 9.1 in dobimo

ΛNC = −gNAm+ Λg = − (−1 m/s · 1 kg) + 0,004905 N s = 1,004905 N s, (9.4)

kjer je

Λg = mg∆t

2= 1 kg · 9,81 m/s2 ·

0,001 s

2= 0,004905 N s (9.5)


Tabela 9.1: Lastnosti dinamskega sistema, izbrane za elasticni trk (slika 8.1)Oznaka Konkretna vrednost Opis

m 1 kg Masa.qA [0 m 0 m]T Zacetni polozaj – posplosene koordinate.qA [1 m/s −1 m/s]T Zacetna hitrost – posplosene hitrosti.h 0 Vektor zunanjih sil.µ 1 Koeficient trenja.εN 1 Normalni koeficient restitucije.εT 1 Tangencialni koeficient restitucije.ν 1 Dodatni parameter tangencialnega trka.

impulz reakcije podlage, ki ga povzroci delovanje sile teznosti v pol casovnega koraka.

Po Coulombovem zakonu (5.6) upostevamo, da v konkretnem primeru velja, da je gibalna kolicina ma-sne tocke znotraj obmocja dopustnih tangencialnih impulzov Coulombovega zakona o trenju −µΛN <m gTA < µΛN, kar doloca

ΛTC = −m gTA = −1 kg · 1 m/s = −1 N s. (9.6)

Po fazi kompresije lahko z uporabo diferencne gibalne enacbe za kompresijo (6.26) zapisemo

∆qC =

[−1 m/s1 m/s

]

in (masna tocka obmiruje) qC =

[0 m/s0 m/s

]

. (9.7)

Za fazo ekspanzije izracunamo normalni ekspanzijski impulz, ki ustreza pogojem (6.8):

ΛNE = εN ΛNC = 1 · 1,004905 N s = 1,004905 N s. (9.8)

Po enacbi (6.11) najprej izracunamo premik karakteristike

ΛTS(ΛNE) =1

2(µ ν ΛNE sign(ΛTC) + εN εT ΛTC)

=1

2(1 · 1 · 1,004905 N s · (−1) + 1 · 1 · (−1 N s)) = −1,0024525 N s,

(9.9)

ki ga uporabimo v enacbi (6.10), in dobimo

ΛlevoTE = −µΛNE + (|ΛTS|+ ΛTS) ≤ ΛTE ≤ µΛNE + (ΛTS − |ΛTS|) = Λdesno

TE ,

ΛlevoTE = −1 · 1,004905 N s + (|−1,0024525 N s|−1,0024525 N s) = −1,004905 N s,

ΛdesnoTE = 1 · 1,004905 N s + (−1,0024525 N s− |−1,0024525 N s|) = −1 N s,

ΛTE = ΛdesnoTE = −1 N s, ker velja m gTC = 0 > Λdesno

TE .

(9.10)

Resitev faze ekspanzije izracunamo po diferencni gibalni enacbi za ekspanzijo (6.29). Dobimo

∆qE =

[−1 m/s1 m/s

]

in qE =

[−1 m/s1 m/s

]

. (9.11)

Sklep. Numericna resitev bi morala konvergirati k popolnoma elasticnemu trku v tangencialni in nor-malni smeri.

9.2.2 Numericno

Kakor v poglavju 8.2.2 izberemo r = 1,9 kg, δ = 1,4142 ·10−5 N s in analogno zacetne impulze Λ0NC =

Λ0TC = Λ0

NE = Λ0TE = 0, tokrat za algoritem 9.1.


Faza kompresije

Za fazo kompresije se v algoritmu 8.1 zanka repeat izvede 121-krat (slika 9.1) in dobimo resitev

∆qC =

[−0,999996771 m/s1,000002921 m/s

]

, ΛNC = 1,004907921 N s in ΛTC = −0,999996771 N s, (9.12)

ter zato

qC =

[0,3229 ·10−5 m/s0,2921 ·10−5 m/s

]

. (9.13)

Slika 9.1: Vrednost impulzov ΛkNC in Λk

TC glede na stevec iteracije k. Vrednosti so zaradi preglednostipovezane z ravno crto.

Faza ekspanzije

Za fazo ekspanzije se v algoritmu 8.1 zanka repeat izvede 2-krat in dobimo resitev kontaktnega problema(enako kot pri fazi kompresije (9.12))

∆qE =

[−0,999996771 m/s1,000002921 m/s

]

, ΛNE = 1,004907921 N s in ΛTE = −0,999996771 N s, (9.14)

ter zato

qE =

[−0,999993541 m/s1,000005841 m/s

]

. (9.15)

Izkaze se, da kljub nicelni inicializaciji Λ0NE = Λ0

TE = 0 za kontaktni problem ekspanzije funkcijaproxCNE

( · ) iz enacbe (9.2) postavi Λ1NE v koncno resitev ze v prvi iteraciji k = 1. Velja

Λ1NE = proxCNE

(0− 1,9 kg · 0,004902079 m/s) = 1,004907921 N s. (9.16)

Po enacbi (6.11) dobimo ΛTS = −1,002452346 N s, ki po enacbah (6.10) in (9.3) doloca

CTE(Λ1NE, Λ

1TC) = [−1,002452345 N s,−0,999996771 N s], (9.17)

Λ1TE = proxCTE(Λ1

NE)(0− 1,9 kg · 3,2292 ·10−6 m/s) = −0,999996771 N s, (9.18)

kar se v naslednji iteraciji k = 2 ponovi, in tako je kriterij konvergence (5.58) idealno izpolnjen.


Sklep. S tem je pokazano, da je po RL-metodi mogoce aproksimativno resiti kontaktni problem, kiuposteva Poissonov zakon trka.

9.3 Odbijanje

Vkljucitev Poissonovega zakona o trku v metodo casovnega koraka je v tem delu izvedena tako, da je valgoritmu 8.2 zamenjan algoritem 8.1, ki uposteva plasticni trk, z algoritmom 9.1, ki uposteva Poissonovzakon, kar zapisemo kot novi algoritem 9.2, ker so izvedene tudi dodatne modifikacije.

9.3.1 Algoritem

Algoritem 9.2: Metoda casovnega koraka, ki vkljucuje RL-metodo z upostevanjem Poissonovega zakonatrkaVhodni podatki: M , qM, h, ∆t, ts, WN, WT, wN, wT

Vhodni podatki: proxCN( · ), proxCT( · )( · ), proxCNE( · )( · ), proxCTE( · , · )( · )

Vhodni podatki: Λ0NC, Λ0

TC, Λ0NE, Λ0

TE, r, δResitev: q(t), q(t); t ∈ {k∆t | k ∈ {0, 1, . . . , ts/∆t}}

t← ∆t, j ← 0qA ← q0, qA ← q0

jtrk ← 0 //Algoritem 9.1 ob prvem trku iniciiramo z nicelnimi impulzi.repeatj ← j + 1qM ← qA + 1

2 qA ∆t //Posplosene koordinate na sredini casovnega koraka.if gN(qM) > 0 then∆q ←M−1 h∆t //Prosti let.ΛNC ← 0, ΛTC ← 0, ΛNE ← 0, ΛTE ← 0

else[∆q, ΛNC, ΛTC, ΛNE, ΛTE] ← algoritem 9.1 (M , h, ∆t, WN, WT, wN, wT, proxCN

( · ),

proxCT( · )( · ), qM, proxCNE( · )( · ), proxCTE( · , · )( · ), qM, Λjtrk

N , Λjtrk

T , Λjtrk

N , Λjtrk

T , r, δ) //Zacnemoz impulzi, ki so ustrezali predhodnemu trku (razen prvic).jtrk ← j //Shranimo indeks trka za inicializacijo ob naslednjem trku.

end ifΛj

NC = ΛNC, ΛjTC = ΛTC, Λj

NE = ΛNE, ΛjTE = ΛTE

qE ← qA +∆q, qE ← qM + 12 qE∆t

q(t) = qE, q(t) = qE //Shranimo rezultat.qA ← qE, qA ← qE //Ponastavimo casovni korak.t← t+∆t

until t ≤ ts

Medtem ko je bila v poglavju 8.3 preverjena skladnost simulacije (algoritem 8.2) s Coulombovim zakonomtrenja, je za algoritem 9.2 primerneje opazovati trajektorijo gibanja masne tocke, ki se odbija od podlage.Potem gibanje vkljucuje prosti let in v algoritmu 9.2 je treba zaznavati kontakt masne tocke s podlago.To v algoritmu 8.2 ni bilo potrebno, saj so zacetni pogoji in oblika dinamskega sistema dolocali drsenjebrez prostega leta, zato je bilo privzeto, da se kontakt ne odpira.

Pri Newtonovi metodi optimizacije je stevilo iteracij sorazmerno oddaljenosti inicializacije od eksaktneresitve, zato je v algoritmu 9.2 kontaktni problem (algoritem 9.1) iniciiran z impulzi predhodnega trka inne predhodnega casovnega koraka (kakor v algoritmu 8.2), ker predpostavlja, da so impulzi predhodnegatrka verjetno blizje resitvi kontaktnega problema kakor nicelni impulzi, ki se pojavljajo med prostimletom.


9.3.2 Vhodni podatki in rezultati

Izvedemo simulacijo za isti dinamski sistem (slika 8.1) z vhodnimi podatki (tabela 9.1), ki so bili upora-bljeni ze za primer kontaktnega problema (poglavje 9.2.1). Lastnosti simulacije izberemo po tabeli 9.2,kjer je natancnost resevanja kontaktnega problema zaostrena, saj bi sicer numericna napaka algoritma 9.1nezanemarljivo vplivala na mehansko energijo dinamskega sistema. Graficno prikazemo (dodatek A.2.2)posplosene koordinate in trajektorijo gibanja v casu (slika A.4) ter impulze (sliki A.5 in A.6), ki se poja-vljajo med simulacijo, za 25 casov trka pa so numericno podani tudi v tabeli A.1. Poleg so podana tudistevila iteracij, ki jih je izvedel algoritem 8.1 (ki ga algoritem 9.1 izvaja).

Tabela 9.2: Parametri simulacije po algoritmu 9.2Oznaka Vrednost Opis

ts 5 s Dolzina casovnega intervala simulacije.

∆t 0,001 s Casovni korak.Λ0

NC = Λ0TC = Λ0

NE = Λ0TE 0 Izhodiscni impulzi prvega kontaktnega problema.

r 1,9 kg Parameter RL-funkcije.δ 1,4142 ·10−10 N s Merilo natancnosti resitve kontaktnega problema.

9.3.3 Interpretacija rezultatov

Izkaze se, da se prvo resevanje kontaktnega problema kompresije (z nicelnimi zacetnimi impulzi) zakljucipo 230 iteracijah zanke repeat algoritma 8.1, kar je vec kakor v primeru resevanja kontaktnega problemav poglavju 9.2.2 z istimi zacetnimi pogoji (tabela 9.1), saj je bila postavljena zahteva o visji natancnosti.Vsako naslednje resevanje kontaktnega problema kompresije se zakljuci po manjsem stevilu iteracij, kakorjih zahteva prvi trk simulacije, kar je posledica inicializacije kontaktnega problema z resitvijo predhodnegatrka.

Opaziti je, da je bil za posamezno komponento (N ali T) v obeh fazah trka (C in E) izracunan enak impulzza vsak trk, kar se je zgodilo ze v primeru izolirane obravnave kontaktnega problema (poglavje 9.2). Vtangencialni smeri so izracunani impulzi absolutne vrednosti 1,0000 N s za obe fazi, kar je skladno s po-glavjem 9.2. Pri normalnih impulzih pa so vrednosti lihih impulzov enake 1,0049 N s, sode pa 1,0061 N s.Resitev za lihe trke simulacije je enaka, kakor pri izoliranem resevanju kontaktnega problema v po-glavju 9.2.1 za sode trke pa se razlikuje, ker prihaja do prodiranja, ki se kaze kot trk v nizji legi.

Kontrola normalnega impulza sodih trkov

Pri sodih trkih ima masna tocka zaradi prodiranja nizjo lego yp (slika 9.2), ki pomeni ob konstantni me-hanski energiji visjo kineticno energijo (in zato hitrost, gibalno kolicino, normalni impulz). Da preverimovrednost normalnega impulza za sodi trk, najprej izracunamo hitrost iz ohranitve mehanske energije, kerso vsi trki idealno elasticni. Ce je mehanska energija

Em = Ek + Ep, (9.19)

kjer je Ek kineticna energija in Ep potencialna energija, jo izracunamo za cas t = 0 kot

Em(0) =m ‖q0‖

2

2=m

(x2

0 + y20

)

2=

1 kg ·(

(−1 m/s)2

+ (1 m/s)2)

2= 1 J, (9.20)

ko je Ep = 0. Potem ugotovimo kineticno energijo za polozaj sodega trka yp ob casu poljubnega sodegatrka, oznacenega s t2:

Ek(t2) = Em − Ep(t2) = Em −mg yp

= 1 J− 1 kg · 9,81 m/s2 · (−1,2648 ·10−4 m) = 1,001241 J.(9.21)


Slika 9.2: Trajektorija v okolici polozajev levih (sodih) odbojev (levo) in trajektorija v okolici polozajevdesnih (lihih) odbojev (desno)

Velikost hitrosti masne tocke v smeri x se izven casa trka ohranja, kar ob poznavanju kineticne energijeEk omogoca dolocitev hitrosti v smeri y tik pred ali po t2. Iz enacb (9.19) in (9.20) izrazimo za visino yp

absolutno vrednost vertikalne komponente hitrosti

|y(t2)| =

√

2Ek(t2)

m− x2 (t2) =

√

2 · 1,001241 J

1 kg− (−1 m/s2)2 = 1,001240 m/s. (9.22)

Levi normalni impulz kompresije in ekspanzije mora biti zato

Λg +m y(t2) = 0,004905 N s + 1 kg · 1,001240 m/s = 1,006145 N s, (9.23)

kjer je Λg impulz iz enacbe (9.5), ki nasprotuje teznosti pol casovnega koraka.

Sklep. V primeru obravnavanega dinamskega sistema se je Poissonov model idealno elasticnega trka,uporabljen v Moreaujevem algoritmu, izkazal kot energetsko konsistenten oz. ohranja mehansko energijo.

Poglavje 10

Primer uporabe: Ravninska telesa

Zacnemo z obravnavo enega kroznega ravninskega telesa, ki ga imenujemo kroglica, ceprav bi modellahko popisoval tudi valj. Dolocimo ji vektor posplosenih koordinat in smeri posplosenih sil, ki veljajov kontaktu s steno. Nato dolocimo smeri posplosenih kontaktnih sil za kontakt para kroglic. Potem bomogoce verificirati uporabo elasticne tangencialne karakteristike iz poglavja 6.2.2 na primeru, ki sta gaobjavila ze Glocker in Pfeiffer [1], in analizirati elasticni trk med dvema kroglica na dodatnem primeru.Izvedena je se simuliacija ravninskega granularnega toka, ob kateri je tudi oblikovana in komentiranahipoteza o verifikaciji algoritma 9.2.

Vse naslednje simulacije so izvedene po algoritmu 9.2, ki ga je razlicnim dinamskim sistemom trebanekoliko prilagajati. Ker je bilo delovanje algoritma 9.2 predmet obravnave poglavja 9.3, so podrobnostinjegovem delovanju v naslednjih primerih izpuscene.

10.1 Dolocitev velicin modela

Podobno kot v poglavju 7.4 dolocimo najprej gibalno enacbo, ki popisuje kontakt z nepomicnim telesom,nato pa preidemo na kontakt dveh pomicnih teles – kroglic.

10.1.1 Kontakt z nepomicnim telesom

Za kroglico na sliki 10.1 zapisemo gibalno enacbo in ugotovimo nastopajoce velicine.

Slika 10.1: Ravninski model kroglice

Gibalna enacba po II. Newtonovem zakonu se glasi:

m 0 00 m 00 0 Iz

[r

ϕ

]

−

[n

0

]

λN −

[t

R

]

λT = 0 ∈ R3, (10.1)

70

POGLAVJE 10. PRIMER UPORABE: RAVNINSKA TELESA 71

kjer je m masa kroglice, Iz njen vztrajnostni moment okrog osi z, r ∈ R2 drugi odvod polozaja tezisca

po casu, n ∈ R2 normala kontakta, usmerjena v notranjost kroglice, λN normalna kontaktna sila, t ∈ R

2

tangencialna smer kontakta, R radij kroglice in λT tangencialna kontaktna sila. Z zapisom gibalneenacbe (10.1) so bile dolocene velicine

M =

m 0 00 m 00 0 Iz

, q =

[r

ϕ

]

, wN =

[n

0

]

in wT =

[t

R

]

. (10.2)

10.1.2 Kontakt dveh kroglic

Ce pride do kontakta med dvema kroglicama A in B, kjer za vsako velja ena gibalna enacba oblike (10.1),lahko zapisemo skupno gibalno enacbo kot

[

MA 0

0 MB

] [

qA

qB

]

−

[

wAN

wBN

]

λN −

[

wAT

wBT

]

λT = 0, (10.3)

kjer je bila velicinam iz enacb (10.2) pripisana oznaka A za telo A in oznaka B za telo B (podobno kotv enacbi (7.38)), vendar je pri tem treba dolociti se trieder kontakta (n in t). Upostevamo lahko, daje tangentna premica kontakta »kroglic« vedno pravokotna na zveznico tezisc kroglic. Normali lahkodolocimo kot

nA =rA − rB

‖rA − rB‖in nB = −nA. (10.4)

Tangentna vektorja pa dolocimo z zasukom normalnih za kot π/2 v smeri urnega kazalca z uporaborotacijske matrike:

T =

[0 1−1 0

]

⇒tA = T nA

tB = T nB.(10.5)

10.2 Preizkus modela

Model preizkusimo najprej na primeru trka kroglice s steno, katerega resitev je bila objavljena ze vliteraturi [1], in nato se na podobnem primer medsebojnega trka dveh kroglic.

10.2.1 Trk kroglice s steno

Po modelu, ki je bil oblikovan v poglavju 10.1.1 po sliki 10.1, lahko obravnavamo dinamski sistem, nakaterem Glocker in Pfeiffer [1] preizkusita model tangencialnega trka (poglavje 6.2.2) in podata tudinumericno pridobljeni trajektoriji tezisca za primer vkljucitve in izkljucitve elasticnega tangencialnegatrka. Skica dinamskega sistema je prikazana na sliki 10.2, vhodni podatki pa so izbrani enako kot v deluGlockerja in Pfeifferja [1] (tabela 10.1).

Tabela 10.1: Vhodni podatki za simulacijo trka kroglice s stenamaParameter m Iz R g l µ εN x0 y0 ϕ0 x0 y0 ϕ0

Vrednost 1 0,004 0,1 0 1 1 1 0 0,9 0 1 −1 0Enota kg kg m2 m m/s2 m 1 1 m m rad m/s m/s rad/s

V tem delu uporabimo algoritem 9.2 (s casovnim korakom ∆t = 0,01 s) s spremembo, da sta moznadva kontakta, in se zato tukaj algoritem posluzuje dveh parov smeri posplosenih kontaktnih sil, ki sobile dolocene z oznakami (10.2). Izrisemo trajektorijo tezisca za dva primera trka. Za primer elasticnegatangencialnega trka εT = ν = 1 dobimo diagram na sliki 10.3 – levo, za primer plasticnega tangencialnegatrka εT = ν = 0 (Coulombovega trenja) pa dobimo diagram na sliki 10.3 – desno. Diagrama vizualno


Slika 10.2: Kroglica med dvema stenama

delujeta enakovredna analognima diagramoma, ki ju objavljata Glocker in Pfeiffer [1], ob tem da stapridobljena po Moreaujevem algoritmu, in ne po metodi kontaktnih dogodkov, ki jo opisujeta Glocker inPfeiffer (poglavje 4.1), ter da je Poissonov zakon trka (z elasticno restitucijo) upostevan v kontaktnemproblemu, ki je resen po RL-pristopu in ne kot LCP.

Slika 10.3: Trajektorija tezisca za elasticni (levo) in plasticni (desno) tangencialni trk

10.2.2 Trk para kroglic

Preverimo tudi medsebojni trk dveh kroglic, za kakrsnega Glocker in Pfeiffer [1] sicer ne podajata nu-mericnih rezultatov. Dvema enakima kroglicama dolocimo maso m, vztrajnostni moment Iz , radij Rin torni kolicnik µ po tabeli 10.1 ter jima za primer elasticnega normalnega in tangencialnega trkaεN = εT = ν = 1 dolocimo zacetne pogoje po tabeli 10.2.

Tabela 10.2: Vhodni podatki za simulacijo trka para kroglicParameter xA

0 yA0 ϕA

0 xB0 yB

0 ϕB0 xA

0 yA0 ϕA

0 xB0 yB

0 ϕB0

Vrednost −0,35 0,5 0 0,35 0,5 0 2 0 80 −2 0 80Enota m m rad m m rad m/s m/s rad/s m/s m/s rad/s

Za simulacijo s casovnim korakom ∆t = 0,001 s, ki simulira dinamiko na casovnem intervalu dolzinets = 0,2 s, izrisemo diagram na sliki 10.4.


Slika 10.4: Elasticni normalni in tangencialni trk para kroglic v ravnini

Analiza trka med kroglicama

Na sliki 10.4 so vmesne faze dinamskega sistema izrisane z obrisi iz pik s casovnim zamikom 30 ms intranslatorni zamik med obrisi je po trku vecji od tistega pred trkom, ker se hitrost tezisc zaradi trkapoveca, in sicer z zacetne hitrosti 2 m/s na koncno hitrost 4,47 m/s, kar velja za obe tezisci. Se pazato zmanjsa absolutna vrednost kotne hitrosti, in sicer znasa zacetna kotna hitrost obeh teles ϕ0 =80 rad/s, koncna pa ϕ(ts) = −20 rad/s. Med telesoma deluje med fazo kompresije normalni impulzΛNC = 2 N s, idealno elasticni odziv v normalni smeri pa povzroci enak impulz v fazi ekspanzije ΛNE =2 N s. Normalni kompresijski impulz doloci dopustno obmocje kompresijskih tangencialnih impulzovpo Coulombovem zakonu trenja kot CT(ΛN) = [−2 N s, 2 N s], ker je torni kolicnik µ = 1. Izkaze se,da obmocje kompresijskih tangencialnih impulzov ne omogoca zaustavitve zdrsa kontaktnih povrsin inlahko z vrednostjo kompresijskega tangencialnega impulza ΛTC = −2 N s le zmanjsa drsno tangencialnohitrost, in sicer z gTA = 16 m/s na gTC = 2 m/s. V fazi ekspanzije se tangencialni impulz ponovi kotΛTE = −2 N s, kar doloca koncno tangencialno hitrost po fazi ekspanzije kot gTE = −12 m/s. Zdrs v fazikompresije povzroci upad kineticne23 energije, in sicer pade energija z zacetne Ek(0) = 29,6 J na koncnoEk(ts) = 21,6 J.

10.3 Simulacija granularnega toka

Za model granularnega toka je pricakovati, da bo njegov odziv manj podvrzen vplivom dinamike po-sameznih kroglic in se bo na kakovostno enake zacetne pogoje odzival kakovostno enako, ceprav boresitev na koncu simulacije q(ts) v strogem smislu lahko zelo drugacna ob majhni variaciji zacetnihpogojev. Ta pojav bi se lahko izkazal kot koristen v primeru eksperimentalnega preverjanja algoritma 9.2.Socasni trk mnogih kroglic bi bilo eksperimentalno morda tezko zagotoviti, ker je trajanje trka kratkoin zato zahteva natancno izvedbo eksperimenta. Analiza socasnega trka mnogih kroglic bi se lahkoprevedla na merjenje globalne dinamike granulata, kjer bi bili kontaktni zakoni izmerjeni za kontaktkroglice in stene ter par kroglic. Hipotezo, da je na osnovi granularnega toka mogoce preveriti doslednostalgoritma 9.2 pri modeliranju socasnega trka lahko preverimo. Dolocimo vplivnost kontaktnih parametrovna osnovi simulacije granularnega toka tako, da izvedemo eno simulacijo, v kateri upostevamo trenje indelno elasticni trk (to simulacijo imenujemo simulacija z realnimi parametri), eno pa za primer, ko trkpredpostavimo kot plasticni in trenja ne upostevamo (to simulacijo imenujemo primerjalna simulacija).Izkaze se, da je vplivnost parametrov zaznavna, ne pa izrazita. Za natancnejse sklepe bi bilo primernejesimulaciji ponavljati in statisticno analizirati, to pa v tej diplomski nalogi ni storjeno, ker je cilj predvsempredstaviti primer uporabe obravnavane teorije.

23 Gravitacijska potencialna energija je nicna, ker znasa gravitacijski pospesek g = 0 m/s2.


10.3.1 Model

Model iz poglavja 10.1 omogoca oblikovanje poenostavljenega modela granularnega toka. Gibalno enacbolahko dolocimo podobno kot enacbo (10.3), vendar za vecje stevilo kroglic. Smeri posplosenih sil pa lahkodolocamo z uporabo enacb (10.2), kjer trieder kontakta (n in t) za primer kontakta s steno ze poznamo,v primeru medsebojnega kontakta kroglic pa ga dolocimo po enacbah (10.4) in (10.5).

Model posode

Kakor na sliki 10.5 definiramo posodo kot sestav sten, tako da je simetricna glede na vertikalo s parametri,izbranimi po tabeli 10.3. Posoda je predvidena za prosti izpust kroglic iz zgodnjega dela v spodnjegaskozi odprtino, ki jo oznacuje prekinjena crta, kotirana s parametrom d2. Ta prekinjena crta oznacujemesto lopute, ki zadrzuje kroglice v zgornjem delu posode do casa izpusta. Od casa izpusta naprej loputaodprtine ne zapira vec in s tem casom se zacne obravnavana simulacija dinamike.

Slika 10.5: Model posode, v kateri tece granularni tok (slika je shematicna)

Tabela 10.3: Parametri modela posode na sliki 10.5Parameter d1 d2 d3 α1 α2 R0

Vrednost 200 mm 70 mm 200 mm 30◦ 45◦ 0,005 mm

Model kroglice

Kroglice izberemo kot jeklene, dolocimo jim gostoto ρj = 7800 kg/m3. Radije izberemo nakljucno24 medRmin = 5 mm in Rmax = 10 mm. Ustrezno radiju izracunamo maso mi = (4/3)πR3

i ρj in vztrajnostnimoment Iz,i = (2/5)miR

2i . Koeficient trenja med kroglicami izberemo kot µkk = 0,8, koeficient trenja

med kroglico in steno kot µks = 0,45 in koeficient normalnega trka za vse kontakte kot εN = 0,5, kjerpredvidevamo v tangencialni smeri plasticni odziv ν = εT = 0. Izvedemo pa tudi primerjalno simulacijo,v kateri modeliramo trk kot plasticni in ne upostevamo trenja, torej εN = µkk = µks = 0.

24 Ce so kroglice razlicnih radijev, je eksperiment tezje izvedljiv, ker takih kroglic ni mogoce ucinkovito voditi v ravnini,ce jih omejimo z dvema ploskvama, kakor bi sicer veljalo za kroglice istega radija.


10.3.2 Velicine gibalne enacbe

Za Nk kroglic dolocimo gibalno enacbo s podobnim zdruzevanjem, kot je bilo storjeno v enacbi (10.3), intudi tu upostevamo velicine, ki so bile dolocene z oznakami (10.2). Masno matriko dolocimo kot blokovnodiagonalno matriko – po diagonali razvrstimo masne matrike Mi, ki veljajo za posamezne kroglice, karoznacimo kot

M = diag {M1,M2, . . . ,MNk} . (10.6)

Dolocimo vektor posplosenih koordinat, ki ga tvorijo vektorji posplosenih koordinat posameznih kroglic:

q =[qT

1 qT2 · · · qT

i · · · qTNk

]T, qT

i = [xi yi ϕi] . (10.7)

Tu upostevamo tudi gravitacijsko polje, zato ob poznavanju mas kroglic dolocimo tudi vektor zunanjihsil, ki deluje v negativni smeri y za vsako kroglico glede na njeno maso:

h =[hT

1 hT2 · · · hT

i · · · hTNk

]T, hT

i = [0 −mi g 0] . (10.8)

Ce se i-ta kroglica pojavi v kontaktu s steno, ji dolocimo vektor posplosene smeri tako, da v vektor nicelzapisemo vektor (npr. za normalno smer) wNi iz enacb (10.2) z upostevano smerjo normale n. Mesto,kamor spada vektor wNi, ustreza enacbi i-te kroglice, torej kot

wN =[

01×3(i−1) wTNi 01×3(Nk−i)

]T

(10.9)

in analogno velja za tangencialno smer. Ce se pojavita v kontaktu dve kroglici, jima je najprej trebadolociti trieder kot v poglavju 10.1.2, nato pa je njuna skupna posplosena smer (tangencialna ali normalna)dolocena kot vsota para vektorjev (10.9), od katerih vsak ustreza eni kroglici – tako sta bili doloceni smeriposplosenih sil kontakta dveh kroglic sil ze v enacbi (10.3).

Dolocitev zacetnega pogoja

Zacetni pogoj simulacije je ravnotezno stanje kroglic v zgornjem delu posode pri zaprti loputi. Dolocen jes simulacijo dinamike, katere zacetni pogoj je razporeditev kroglic v pravokotno formacijo brez kontaktov.Iz taksne lege je z nakljucno zacetno hitrostjo simulirana dinamika ob upostevanju plasticnega trka, kipospesi disipacijo mehanske energije, in brez upostevanja trenja, kar zagotovi dolocitev ravnoteznegastanja, ki je stabilno za poljubno izbiro kolicnikov trenja v kontaktih.

10.3.3 Rezultati

Na casovnem intervalu dolzine ts = 1 s s casovnim korakom ∆t = 0,001 s izvedemo dve simulaciji z istimizacetnimi pogoji za Nk = 64 kroglic, a z razlicnimi kontaktnimi parametri. Stanje sistema je za obanabora kontaktnih parametrov prikazano na sliki A.2.3 (dodatek A.2) za case t = 0 s, t = 0,5 s in t = 1 s.Razvidno je, da je dinamika sistema z realnimi parametri nekoliko zavrta v primerjavi s primerjalnosimulacijo in da se v primerjalni simulaciji ohranjajo zasuki kroglic, ki bi jih sicer lahko spremenila le silatrenja.

Energija v casu

Globalno stanje sitema v casu popisuje med drugim tudi energija, zato spremljamo spreminjanje kineticneenergije [1]

Ek(t) =1

2q(t)T M q(t), (10.10)


potencialne energije

Ep(t) = q(t)T h− q(0)T h (10.11)

in mehanske energije Em(t) = Ek(t) +Ep(t).25 Ker je potencialni energiji dolocljiva samo sprememba, jilahko na celotnem casovnem intervalu simulacije pristevamo poljubno konstanto, zato jo v enacbi (10.11)zapisemo tako, da je njena zacetna vrednost 0 J. Za kineticno energijo mora veljati, da je vseskozinenegativna. Ce sistem nima vnosa energije, kar v konkretnem primeru velja, mora za mehansko energijoveljati, da je v casu padajoca ali kvecjemu konstantna. Za obravnavani dinamski sistem izrisemo vse trioblike energije v odvisnosti od casa v diagramih na sliki 10.3.3. Diagrama izkazujeta disipativnost inohranitev mehanske energije.

Slika 10.6: Kineticna, mehanska in potencialna energija v casu za realni (levo) in primerjalni (desno)dinamski sistem

Vplivnost parametrov

Primerjamo lahko hitrost izvajanja procesa, ki ga predstavlja granularni tok. Kot merilo stanja procesaizberemo potencialno energijo. Potem je odvod potencialne energije po casu Ep(t) merilo hitrosti procesa,ki ga lahko dolocimo z numericnim odvodom. Izrisemo lahko diagrama na sliki 10.7, na osnovi katerih jemogoce primerjati hitrost realnega in primerjalnega procesa.

Za oblikovanje zakljuckov bi bilo treba izvesti vec kot po eno ponovitev simulacije za realni in primerjalnisistem, kar pa ni namen te diplomske naloge. Ostanemo pri formulaciji hipotez. Ob primerjavi diagramovje mogoce sklepati, da bi parametri utegnili vplivati na globalno (kakovostno) dinamiko simulacije –potek energije. Ce bi bile hitrosti procesov zelo razlicne, bi to pomenilo, da so parametri zelo vplivniv simulaciji obravnavanega dinamskega sistema. Potem bi lahko izvedli eksperiment, za katerega bipomerili kontaktne parametre, ki bi jih upostevali tudi v simulaciji. Ce bi se potem izkazalo, da jepotek potencialne energije v naravi ponovljivo podoben tistemu, ki bi bil pridobljen iz simulacije, bi tolahko pomenilo verifikacijo uporabljenega modela. Glede na to, da so bile izbrane vrednosti kontaktnihparametrov realnega sistema visoke in da je bil odziv primerjalnega sistema, ki uposteva nicelne vrednostikontaktnih parametrov, podoben, bi utegnilo veljati, da obravnavani dinamski sistem ni zelo primeren zaocenjevanje doslednosti modela do socasnega trka, ker se vsaj simulacija na kontaktne parametre izrazitoni odzvala – kako se z variacijo parametrov spreminjajo rezultati eksperimenta, ni znano.

25 Enacba (10.11) ne velja splosno. Splosno velja hp = −∇Ep(q), kjer je hp vektor konservativnih sil [20].


Slika 10.7: Odvod potencialne energije po casu za realni dinamski sistem (levo) in primerjalni dinamskisistem (desno)

Poglavje 11

Primer uporabe: Trcna dinamika v

prostoru

V poglavju 7 je bil oblikovan model, ki popisuje prostorsko trcno dinamiko. V tem poglavju ga preizkusimopodobno, kot je bilo storjeno za ravninsko dinamiko v prejsnjem poglavju, osredinimo pa se na graficniprikaz numericno pridobljenih rezultatov. Prostorsko dinamiko najprej prevedemo v ravninsko za primertrka s steno, s cimer pridobimo diagrama, ki sta analogna diagramoma s slike 10.4. Potem modelprevedemo v ravninsko dinamiko medsebojnega trka dveh kroglic, ki je bila obravnavana v poglavju 10.2.2,s cimer preverimo tudi smeri posplosenih kontaktnih sil, ki popisujejo kontakt dveh teles. Za zakljucekizvedemo simulacijo trcne dinamike para kroglic v polkrogelni posodi.

11.1 Preizkus prostorskega trka

Izvedemo preizkus trka togega telesa s steno in preizkus medsebojnega trka dveh teles. Uporabimomodel, ki je bil obravnavan v poglavju 7.4, in sicer na primeru kroglice. Tokrat kroglici pripisemotenzor vztrajnostnih momentov IS = Iz E, torej s faktorjem Iz skalirano enotsko matriko E ∈ R

3×3, kipredstavlja masni vztrajnostni moment krogle okrog poljubne osi.

Integracija

Gibalno enacbo (7.31) diskretiziramo in upostevamo v algoritmu 9.2, ob tem da je pri integraciji po-splosenih hitrosti u v parametrizacijo lege q treba upostevati enacbo (7.19) in na koncu casovnega korakanormalizirati vektor Eulerjevih parametrov po enacbi (7.25), da ga ohranjamo enotskega.

Tangencialni kontaktni zakon je upostevan z dvema vkljuckoma:

−gTCi ∈ NCT(ΛNCi)(ΛTCi) in − gTEi ∈ NCTE(ΛNEi)(ΛTEi), (11.1)

od katerih vsak pripada eni fazi trka po Poissonovemu zakonu (poglavje 6.2.2).

11.1.1 Trk s steno

Obravnavani dinamski sistem je prikazan na sliki 11.1. Gibanje omejujeta dve horizontalni steni, ki stajima dolocena triedra. Spodnji trieder je oznacen z indeksom 1 in je orientiran enako kakor osi global-nega koordinatnega sistema, zgornji pa je oznacen z indeksom 2 in je orientiran nasprotno globalnemukoordinatnemu sistemu.

78

POGLAVJE 11. PRIMER UPORABE: TRCNA DINAMIKA V PROSTORU 79

Slika 11.1: Model kroglice, na katerem preizkusimo trk s steno v prostoru

Nastopajoce velicine

Parametre sistema dolocimo analogno primeru iz poglavja 10.2.1 po tabeli 10.1, ampak prirejeno pro-storski dinamiki. Kot vertikalno os upostevamo v tem primeru os z, zato zacetna pogoja, ki veljata zaos y in sta podana v tabeli 10.1, tu upostevamo za os z. Potem lahko dolocimo vse velicine iz naboraoznak (7.29). Upostevamo, da je rocica prijemalisca kontaktne sile glede na tezisce telesa S dolocena kot

riSA = −Rni, i ∈ {1, 2}, (11.2)

kjer je R radij kroglice in ni enotski vektor normale na povrsino, ter da je rotacijska matrika A(p(q)) obvsakem casu t funkcija Eulerjevih parametrov p, ki nastopajo v vektorju parametrizacije pozicije q(t).

Zacetni pogoji

Simulacijo izvedemo s casovnim korakom ∆t = 0,01 s na casovnem intervalu dolzine ts = 2,75 s za dvatipa tangencialnega trka, analogno kot v poglavju 10.2.1, s cimer preverimo doslednost simulacije doelasticnega tangencialnega trka in doslednost simulacije do plasticnega tangencialnega trka – Coulomb-ovega zakona trenja. Ker pa je simulacija izvedena za prostorsko dinamiko, zacetni pogoj, ki velja zahorizontalno smer, upostevamo v treh razlicnih smereh, s cimer preverimo neodvisnost tangencialnegatrka od trcne smeri. Zacetne pogoje postavimo v tri vertikalne ravnine, ki so zasukane glede na os z zakote

ψk =π

6k, k ∈ {0, 1, 2}, (11.3)

iz izhodiscne ravnine x z. Zacetne pogoje zapisemo po tabeli 10.1:

q0 = [ x0 y0 z0 e0 e1 e2 e3 ]T

= [ x∗0 cosψk x∗

0 sinψk y∗0 1 0 0 0 ]T,

(11.4)


u0 = [ x0 y0 z0 ω′x0 ω′

y0 ω′z0 ]T

= [ x∗0 cosψk x∗

0 sinψk y∗0 0 0 0 ]T,

(11.5)

kjer je velicinam iz tabele 10.1 pripisana oznaka ∗, ki jih locuje od zacetnih pogojev prostorskega primera.Eulerjevi parametri ei so v zacetnem pogoju (11.4) izbrani tako, da na zacetku simulacije definirajoidenticno rotacijsko matriko A = E (glejte enacbo (7.9)), kar pomeni, da smeri osi lokalnega in globalnegakoordinatnega sistema sovpadajo.

Rezultati

Na sliki 11.2 so prikazani rezultati simulacij. Izrisani sta trajektorija tezisca in zadnja lega telesa vprostoru za oba primera trka po trikrat, kakor dolocajo trije nabori zacetnih pogojev. Izkaze se, da jetrajektorije mogoce zasukati v projicirno ravnino tako, da pridobimo diagrama s slike 10.4, ki pa nistaponovno prikazana.

Slika 11.2: Trajektorija tezisca kroglice v prostoru za elasticni (levo) in plasticni (desno) tangencialni trk

11.1.2 Trk dveh teles

Preizkusimo trk dveh teles na primeru para kroglic, ki je prikazan na sliki 11.3.

Nastopajoce velicine

Za krogli lahko dolocimo normali kontakta upostevajoc, da sta vzporedni z zveznico tezisc. Potem stanormali definirani kot

nA =rA

S − rBS

‖rAS − rB

S ‖in nB =

rBS − rA

S

‖rBS − rA

S ‖. (11.6)

Vektorja, ki lezita v tangentni ravnini, morata biti na normalo pravokotna in dolocljiva za poljubenkontakt, za kar je potrebna konvencija. V tem delu je izbrana konvencija, da je tangentni vektor tA

u

dolocen kot normalizacija vektorskega produkta, ki je rezultat vektorskega mnozenja normale nA s smer-nim vektorjem tiste koordinatne osi, na katero je njegova projekcija (absolutna vrednost) najkrajsa. Cese pojavijo enako dolge projekcije na vec oseh, izberemo smerni vektor osi x, razen ce je ravno projekcija


Slika 11.3: Par kroglic in vektorji, ki popisujejo njun kontakt

nA na os x najdaljsa – v tem primeru izberemo smerni vektor osi y. Vektor tAv lahko nato dolocimo kot

tAv = nA × tA

u , tangentna vektorja za telo B pa dolocimo kot nasprotna tangentnima vektorjema za teloA: tB

u = −tAu in tB

v = −tAv .

Zacetne pogoje izberemo analogno kot v poglavju 10.2.2 po tabeli 10.2, prostorski dinamiki pa jih prire-dimo tako, da kot vertikalno os upostevamo os z, zato zacetna pogoja, ki sta v tabeli 10.2 podana za osy tu upostevamo za os z. Simulacija je tudi tu izvedena za tri vertikalne ravnine, zato zacetnih pogojevza os x iz tabele 10.2 ne upostevamo neposredno, pac pa jih orientiramo vzdolz razlicnih smeri v ravninix y. Zacetne pogoje iz tabele 10.2 preslikamo v prostorske tako, da definiramo vektor su, vzdolz kateregapostavimo zacetne pogoje, ki veljajo v tabeli 10.2 za smer x, in vektor sv, vzdolz katerega postavimozacetno kotno hitrost (slika 11.4):

su = [su1 su2]T = [cosψk sinψk]T , sv = [sv1 sv2]T =[

cos(

ψk −π

2

)

sin(

ψk −π

2

)]T

. (11.7)

Slika 11.4: Zasuk zacetnih pogojev trka dveh kroglic

Zacetne pogoje nato postavimo za tri mozne zasuke

ψk =π

6k, k ∈ {−1, 0, 1} (11.8)


kot

qA0 = [ x0 y0 z0 e0 e1 e2 e3 ]TA

= [ xA∗0 su1 xA∗

0 su2 yA∗0 1 0 0 0 ]T,

qB0 = [ xB∗

0 su1 xB∗0 su2 yB∗

0 1 0 0 0 ]T,

(11.9)

uA0 = [ x0 y0 z0 ω′

x0 ω′y0 ω′

z0 ]TA

= [ xA∗0 su1 yA∗

0 su2 0 ϕA0 sv1 ϕA

0 sv2 0 ]T,

uB0 = [ xB∗

0 su1 yB∗0 su2 0 ϕB

0 sv1 ϕB0 sv2 0 ]T,

(11.10)

kjer so velicine s pripisom oznake ∗ izbrane po tabeli 10.2. V enacbi (11.9) so Eulerjevi parametri izbranitako, da dolocajo rotacijsko matriko kot enotsko, zato so lokalne koordinate kotne hitrosti v enacbi (11.10)za cas t = 0 enake globalnim.

Rezultati

Na sliki 11.5 so prikazane trajektorije tezisc kroglic za vse tri nabore zacetnih pogojev, ki jih dolocajokoti ψk, prikazana pa je tudi zadnja lega dinamskega sistema za vse tri primere ψk. Pozicije tezisc,med katerimi pride do trka, so povezane s pikasto crto, kroglici pa sta samo graficno aproksimirani zravnima ploskvama – racunski model velja za krogli. Tudi v tem primeru je mogoce zasukati trajektorijev projicirno ravnino tako, da pridobimo diagram s slike 10.4, cesar ne storimo, ker je diagram ze izrisan.Izpustimo tudi analizo trka, ki je bila izvedena ze za ravninski primer.

Slika 11.5: Trajektorija elasticnega normalnega in tangencialnega trka dveh krogel v prostoru

11.2 Prostorski trk para kroglic v posodi

S poglavjem 11.1 je bila opravljena kontrola metode. Za dva elementarna primera je bila ugotovljenaskladnost z ravninsko dinamiko. Zdaj pa izvedemo simulaciji, ki ju ni mogoce poenostaviti na ravninskodinamiko. Tokrat izberemo dve krogli radija R = 0,7 m in gostote ρ = 1000 kg/m3. Dolocimo jima masom = (4/3)R3 ρ in vztrajnostni moment okoli poljubne osi Iz = (2/5)mR2. Postavimo ju v polkrogelno


posodo radija Rp = 4 m, ki ima v globalnem koordinatnem sistemu sredisce v tocki rSp = [0 0 4 m]T

.Posoda je v globalnem koordinatnem sistemu nepomicna, na krogli pa deluje gravitacijsko polje (g =9,81 m/s2) v negativni smeri z.

Kolicnik trenja izberemo na vseh kontaktih kot µ = 1 in izvedemo dve simulaciji na casovnem intervaluts = 2 s s casovnim korakom ∆t = 0,01 s. Prvo simulacijo izvedemo za kontaktne parametre elasticneganormalnega in tangencialnega trka ν = εN = εT = 1, drugo pa za parametre delno elasticnega normalnegain tangencialnega trka ν = εN = εT = 0,5.

Zacetne pogoje postavimo kot

qA0 = [ x0 y0 z0 e0 e1 e2 e3 ]TA

= [ −2 2 4 1 0 0 0 ]T,

qB0 = [ 2 −1 4 1 0 0 0 ]T,

(11.11)

uA0 = [ x0 y0 z0 ω′

x0 ω′y0 ω′

z0 ]TA

= [ 0 5 0 0 1 0 ]T,

uB0 = [ 0 −2 0 0 0 1 ]T,

(11.12)

kjer so pozicije tezisc zapisane v [m], Eulerjevi parametri nimajo enote, hitrosti tezisca v [m/s] in kotnehitrosti v [rad/s].

Rezultati

Za obe simulaciji prikazemo trajektoriji tezisc in zadnjo lego dinamskega sistema. Na sliki 11.6 so pred-postavljeni parametri elasticnega normalnega in tangencialnega trka. Do trka med kroglama na sliki 11.6pride za poziciji tezisc, ki sta povezani s pikasto crto, na sliki 11.7 pa do trka med kroglama ne pride.

Prikazemo tudi casovne poteke kineticne, mehanske in potencialne energije (slika 11.8). Izkaze se, da semehanska energija sistema z elasticnim trkom ohranja, kar za izbrane parametre ni zagotovljeno. Tornikolicnik omogoca tudi drsenje kontakta in s tem disipacijo energije, kljub temu da je zanj izbrana visokavrednost. Za sistem z delno elasticnim trkom pa opazimo, da se nezveznosti kineticne energije s casommanjsajo in proti koncu simulacije niso vec opazne. Izkaze se, da se poskakovanje v simulaciji prenehain krogli se zacneta kotaliti. Moznost prehoda sistema iz poskakovanja v kotaljenje je prednost metodecasovnega koraka [4], kajti tak prehod za metode kontaktnih dogodkov brez nadgrajevanja algoritma nimogoc – vsak odboj predstavlja dogodek, frekvenca odbijanja pa narasca proti neskoncno.

Sklep. S tem poglavjem je preverjeno, da je po metodah, ki so bile v tem delu obravnavane, mogocesimulirati trcno dinamiko v prostoru.


Slika 11.6: Prostorska trcna dinamika dveh krogel v polkrogelni posodi v primeru elasticnega trka

Slika 11.7: Prostorska trcna dinamika dveh krogel v polkrogleni posodi v primeru delno elasticnega trka


Slika 11.8: Kineticna, mehanska in potencialna energija za dinamski sistem pri dveh naborih kontaktnihparametrov

Poglavje 12

Zakljucek

Smoter diplomske naloge

Diplomska naloga stremi k formulaciji celovitega in pedagoskega uvoda v prostorsko trcno dinamiko,v kateri so kontakti lahko socasni. Opisana je bila negladka dinamika, ki zahteva poznavanje gibalneenacbe, kontaktnih zakonov in lastnosti smeri posplosene sile. Predstavljen je bil uvod v numericno inte-gracijo gibalne enacbe, s cimer je bila omogocena obravnava kontaktnega problema, prirejena metodamcasovnega koraka. Razsirjeni Lagrangeev pristop je bil predstavljen na na nacin zdruzitve in dopolnitverazlage iz navedene literature. Na inovativen nacin je bil uporabljen Poissonov model trka v integracijskimetodi in tudi resen po RL-metodi, cesar v navedeni literaturi ni zaslediti. Predlagana in preizkusenaje bila posplositev elasticne tangencialne karaketristike Poissonovega modela trka iz tangentne premicev tangentno ravnino. Po literaturi [10, 13] je bil izveden tudi prehod v prostorsko trcno dinamiko. Algo-ritmi so bili formulirani za elementarni dinamski sistem, na katerem je mogoce preveriti osnovno delovanjemetode, ki uposteva elasticni trk. S tem je bilo dosezeno poznavanje delovanja metod, ki je omogocilosimulacijo granularnega toka, kjer nastopa kompleksen kontaktni problem z mnogo socasnimi kontakti.Nato je bila metoda preizkusena se v prostorski trcni dinamiki.

Pomanjkljivosti diplomske naloge

Primerjava te diplomske naloge z delom Studerja [2] razkrije vsaj tri pomanjkljivosti te diplomske naloge:

• Ker je bila diplomska naloga usmerjena v poglobljeno obravnavo kontaktnega problema, je bilanumericna integracija zapostavljena. Natancnejso integracijsko metodo bi bilo mogoce uporabitivsaj v fazi prostega leta, ko ne nastopajo kontakti. Mogoce bi bilo tudi prilagajati dolzino casovnegakoraka stevilu dogodkov med casovnim korakom.

• Konvergenco RL-metode bi bilo mogoce pospesiti z uporabo mnozice ri parametrov (poglavje 2.3),kjer je vsak parameter prilagojen svojemu kontaktu. Nato bi bilo mogoce preiti na metodo resevanjakontaktnega problema, ki jo Studer [2] imenuje SORprox.

• Vkljucitev Poissonovega trka v Moreaujev algoritem bi bilo mogoce izvesti rigorozneje, po pristopu,ki ga izvede Studer [2] za Newtonov zakon trka. S tem bi ta diplomska naloga pridobila mocnejseteoreticno ozadje.

Moznosti za nadaljnje delo

Prostorski kontakti so bili predpostavljeni kot tockovni, kar ne omogoca disipacije energije zaradi kota-ljenja ali torzijskega sukanja kontakta. Treba bi bilo dolociti posploseno smer kontaktnega momenta in jipripisati obmocje dopustnih kontaktnih momentov, ki lahko preprecujejo kotaljenje. To obmocje bi bilolahko kakor Coulombov zakon odvisno od normalne sile.

86

POGLAVJE 12. ZAKLJUCEK 87

Raziskave ali preucevanje literature bi bilo smiselno usmeriti v analizo delovanja RL-metode v prisotno-sti odvisnih kontaktov – staticne nedolocenosti. Avtorjeva hipoteza je, da metoda v primeru odvisnihkontaktov stabilizira hitrost spreminjanja resitve, ki se tako zacne pomikati po prostoru dopustnih resitev.

Raziskati bi bilo mogoce, ali je delo Leineja in Glockerja [9] mogoce nadgraditi. Razvila sta povezavomed torzijskim kontaktnim momentom in silo trenja kontakta, kar je omogocilo popis disipacije mehanskeenergije na konici vrtavke. Njuna formulacija ne popisuje tangencialnega trka. Pojavi se vprasanje, alije mogoce izvesti premik njunega trirazseznega Coulomb-Countensoujevega obmocja dopustnih kontak-tnih impulzov za 2 ΛTS in doseci elasticno karakteristiko, kakor je bila tangencialna karakteristika izpoglavja 6.2.2 v tej diplomski nalogi posplosena v tangentno ravnino. Taka karakteristika bi omogocalane samo rotacijski odboj, pac pa zvezo med rotacijskim odbojem in tangencialnim odbojem. Za primerebrez kontaktne rotacije bi se morala karakteristika poenostaviti v tu predlagano posplositev elasticnetangencialne karakteristike.

Na osnovi obravnavne teorije bi bilo mogoce oblikovati splosnonamenski simulator, ki bi modulno sesta-vljal Newton-Eulerjeve enacbe posameznih teles v gibalno enacbo celotnega dinamskega sistema. Simu-lator bi lahko temeljil na drugih formulacijah gibalne enacbe [10], in sicer takih, ki uporabljajo Eulerjeveparametre kot posplosene koordinate, in ne zgolj kot parametre lege telesa, kakor v tej diplomski nalogi.Parviz [10] v svojem delu navaja knjiznico dvostranskih kontaktov (vijacno vodilo, kardanski zglob, lezaj)kot omejitvene pogoje Eulerjevih parametrov ter obravnava tudi tehnike kontrole zdrsa Eulerjevih para-metrov in dvostranskih kontaktov. Pri oblikovanju splosnonamenskega simulatorja bi bilo mogoce tudipreveriti, ali ga je mogoce graditi na odprtokodni knjiznici v programskem jeziku C++, ki jo je objavilStuder [2].

Literatura in viri

[1] Glocker C., Pfeiffer F.: Multibody Dynamics with Unilateral Contacts, Wiley-VCH, 1996.

[2] Studer C.: Augmented time-stepping integration of non-smooth dynamical systems, Doktorska di-sertacija, ETH Zurich, 2008.

[3] Leine R.I., Nijmeijer H.: Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems, Springer,2006.

[4] Acary V., Brogliato B.: Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems: Applications inMechanics and Electronics (Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics), Springer,2008.

[5] Slavic J.: Nelinearna in nezvezna dinamika sistema diskretno definiranih togih teles z enostranskimikontakti, Doktorska disertacija, Fakulteta za strojnistvo Univerze v Ljubljani, 2005.

[6] Anitescu M., Potra F.A.: Formulating dynamic multi-rigid-body contact problems with friction assolvable linear complementarity problems, Nonlinear dynamics, Vol. 14, No. 3, 1997, str. 231-247.

[7] Potra F.A., Anitescu M., Gavreal B., Trinkle J.: A linearly implicit trapezoidal method for integra-ting stiff multibody dynamics with contact, joints, and friction, International Journal for NumericalMethods in Engineering, Vol. 66, No. 7, 2006, str. 1079-1124.

[8] Alart P., Curnier A.: A mixed formulation for frictional contact problems prone to Newton likesolution methods, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 92, No. 3, 1991,str. 353-375.

[9] Leine R.I., Glocker C.: A set-valued force law for spatial Coulomb-Contensou friction, EuropeanJournal of Mechanics A/Solids, Vol. 22, No. 2, 2003, str. 193-216.

[10] Parviz E.N.: Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Prentice Hall, 1988.

[11] Krebelj K.: Uvod v dinamiko sistema togih teles z enostranskimi kontakti, Projektni seminar, Fa-kulteta za strojnistvo Univerze v Ljubljani, 2010.

[12] Krebelj K.: Resevanje kontaktnega problema po augmented Lagrangian metodi z upostevanjemPoissonovega zakona o trku, Diplomski seminar, Fakulteta za strojnistvo Univerze v Ljubljani, 2011.

[13] Le Saux C., Leine R.I., Glocker C.: Dynamics of a Rolling Disk in the Presence of Dry Friction,Journal of Nonlinear Science, Vol. 15, No. 1, 2005, str. 27-61.

[14] Dattorro J.: Convex Optimization & Euclidean Distance Geometry, Meboo Publishing, 2008.

[15] Hestenes M.R.: Multiplier and gradient methods, Journal of Optimization Theory and Applications,Vol. 4, No. 5, 1969, str. 303-320.

[16] Powell M.J.D.: A method for nonlinear constraints in optimization problems, V: Optimization,Academic Press, 1969.

[17] Rockafellar R.T.: Augmented Lagrangians and Applications of the Proximal Point Algorithm inConvex Programming, Mathematics of Operations Research, Vol. 1, No. 2, 1976, str. 97-116.

88

LITERATURA IN VIRI 89

[18] Fortin M.: Minimization of some non-differentiable functionals by the Augmented Lagrangian Me-thod of Hestenes and Powell, Applied Mathemathics & Optimization, Vol. 2, No. 3, 1976, str.236-250.

[19] Forg M., Geier T., Neumann L., Ulbrich H.: r-Factor Strategies for the Augmented LagrangianApproach in Multi-Body Contact Mechanics, Proceedings of III European Conference on Computa-tional Mechanics, Lisbon, June 5-8. 2006, str. 316.

[20] Kuhelj A. ml.: Dinamika, Fakulteta za strojnistvo Univerze v Ljubljani, 1998.

[21] Glocker C.: Set-Valued Force Laws: Dynamics of Non-Smooth Systems, Springer, 2001.

[22] Leine R.I., Van Campen D.H., Glocker C.: Nonlinear dynamics and modeling of various woodentoys with impact and friction, Journal of Vibration and Control, Vol. 9, No. 1-2, 2003, str. 25-78.

[23] Stewart D.E.: Convergence of a time-stepping scheme for rigid-body dynamics and resolution ofPainleve’s problem, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 145, No. 3, 1998, str. 215-260.

[24] Glocker C.: On frictionless impact models in rigid-body systems, Philosophical Transactions of theRoyal Society of London, Vol. 359, No. 1789, 2001, str. 2385-2404.

[25] Slavic J., Boltezar M.: Simulating multibody dynamics with rough contact surfaces and run-in wear,Nonlinear Dynamics, Vol. 45, No. 3-4, 2006, str. 353-365.

[26] Boyd S., Vandenberghe L.: Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.

[27] Turnsek A.: Tehniska matematika, Fakulteta za strojnistvo Univerze v Ljubljani, 2006.

IZJAVA

Podpisani KRISTJAN KREBELJ, rojen 17. 11. 1987 sem diplomsko delo samostojno izdelal pod vod-stvom mentorja prof. dr. Mihe Boltezarja in somentorja doc. dr. Janka Slavica.

Kristjan Krebelj

Dne,

Dodatek A

Daljsa izvajanja enacb, numericno pridobljeni rezultati in nekatere matematicne osnove so zaradi obseznostiali postranskosti umaknjeni iz rednega dela besedila v ta dodatek.

A.1 Daljsa izvajanja enacb

V diplomski nalogi se pojavita dve izpeljavi, ki ju je zaradi obseznosti primerno izvesti v tem dodatku.V poglavju 2.3, ki predstavi RL-metodo je izpuscena izpeljava, s katero je osnovna oblika RL-funkcije(2.20) preoblikovana v obliko (2.24), ki uposteva omejitveni vkljucek v konveksno obmocje. V ta do-datek je umaknjena tudi dolocitev iteracije modificirane Newtonove metode pri obravnavi nezdruzenegakontaktnega problema (poglavje 5.3.1).

A.1.1 Upostevanje omejitvenih vkljuckov pri optimizaciji RL-funkcije

Funkcijo (2.20) lahko uporabimo tudi za probleme oblike

minxf(x), ob pogoju k(x) ∈ C, (A.1)

kjer je C konveksno obmocje. Z uvedbo spremenljivke ν, za katero naj velja ν ∈ C, lahko zapisemoomejitev

g(x) = k(x)− ν = 0, (A.2)

ki nastopa v (2.20). Problem se s tem razsiri se na optimizacijo po ν, kar zapisemo kot

minx, ν∈C

maxµ

Lr(x,µ,ν). (A.3)

Ker je C konveksno obmocje, lahko optimizacijo po spremenljivki ν izvedemo ze pri formulaciji funkcijeLr z uporabo funkcije najblizje tocke (definicija 10). Da lahko to storimo, najprej pogoj (A.2) vstavimov razsirjeno Lagrangeevo funkcijo (2.20), s cimer dobimo

Lr(x,µ) = f(x) + µT (k(x)− ν) +1

2 r‖k(x)− ν‖2 (A.4)

in ga preoblikujemo tako, da se spremenljivka ν pojavlja v izrazu samo enkrat

Lr(x,µ) = f(x)−r

2‖µ‖2 +

1

2 r‖rµ + k(x)− ν‖2, (A.5)

pri cemer upostevamo, da velja

1

2 r‖rµ + k(x)− ν‖2 =

r

2‖µ‖2 + µT (k(x)− ν) +

1

2 r‖k(x)− ν‖2. (A.6)

Ce minimiziramo Lr iz enacbe (A.5) po ν, iscemo ν, za katerega bo clen 12 r‖rµ + k(x)−ν‖2 minimalen,

kar zapisemo kot

ν0 = argminν∈C

1

2 r‖rµ + k(x)− ν‖2 = argmin

ν∈C

‖rµ + k(x)− ν‖, (A.7)

i

DODATEK A ii

kar pa se izkaze, da za konveksno obmocje C ustreza definiciji funkcije najblizje tocke (definicija 10),torej velja

ν0 = proxC (rµ + k(x)) . (A.8)

Potem lahko ν0 vstavimo v enacbo (A.5) in dobimo novo funkcijo

Lr0(x,µ) = f(x)−r

2‖µ‖2 +

1

2 r‖rµ + k(x)− proxC (rµ + k(x)) ‖2 (A.9)

in problem (A.3) se prevede v problem

minx

maxµ

Lr0(x,µ). (A.10)

V enacbi (A.9) lahko po definiciji funkcije oddaljenosti (definicija 11) izvedemo se zamenjavo

‖rµ + k(x)− proxC (rµ + k(x)) ‖ = distC (rµ + k(x)) (A.11)

in tako dobimo se nekoliko kompaktnejsi zapis

Lr0(x) = f(x)−r

2‖µ‖2 +

1

2 rdist2

C (rµ + k(x)) . (A.12)

Maksimizacija in iskanje sedla

Za problem maksimizacije

maxx

f(x), ob pogoju k(x) ∈ C, (A.13)

bi lahko lahko namesto enacbe (A.3) zapisali

Lr(x,µ,ν) = f(x)− µT (k(x)− ν)−1

2 r‖k(x)− ν‖2, (A.14)

kjer smo dodatnima clenoma spremenili predznaka. Nato bi funkcijo (A.14) preoblikovali v

Lr0(x,µ) = f(x) +r

2‖µ‖2 −

1

2 rdist2

C (rµ + k(x)) , (A.15)

kjer se spremenita predznaka dodatnih clenov, in problem maksimizacije (A.13) je preveden v problem

maxx

minµLr0(x,µ). (A.16)

Za problem dolocitve sedla, v katerem je vkljucen podproblem maksimizacije (A.13)

minx

maxy

f(x,y), ob pogoju k(y) ∈ C, (A.17)

uporabimo funkcijo (A.15), ki je primerna za maksimizacijo, in sicer v naslednji obliki

Lr0(x,y,µ) = f(x,y) +r

2‖µ‖2 −

1

2 rdist2

C (rµ + k(y)) (A.18)

in s tem problem (A.17) prevedemo v problem

minx,µ

maxy

Lr0(x,y,µ). (A.19)

Oblike (A.18) Studer [2], Alart in Curnier [8] ne navajajo.

DODATEK A iii

A.1.2 Razdelitev gradienta RL-funkcije in dolocitev iteracije za nezdruzeni

kontaktni problem

Naslednji postopek Alart in Curnier [8] v svojem delu implicirata, ga pa ne navedeta, zato je navedenv tej diplomski nalogi. Gradient ∇LAN(∆q,Λ), definiran z enacbo (5.48) in (5.49), lahko razdelimo vskladu z enacbo (2.28), ce zapisemo

G(x) =

[

M ∆q − h∆t

− 1r

Λ

]

in F (x) =

[

−W proxC(Λ− r g)1r

proxC(Λ− r g)

]

. (A.20)

S tem se izognemo odvajanju neodvedljivega dela gradienta. Newtonov korak lahko nato dolocimo izenacbe (2.30), zato oznacimo clen zaporedja in inkrement

xk =

[

∆qk

Λk

]

in ∆x =

[

∆q∆

Λ∆

]

, (A.21)

odvajamo G(x) iz (A.20) in po enacbi (2.30), ki doloca inkrement zaporedja, dobimo linearni sistemenacb

[

M 0

0 − 1r

E

] [

∆q∆

Λ∆

]

= −

[

M ∆qk − h∆t−W proxC

(Λk − r gk

)

− 1r

Λk + 1r

proxC

(Λk − r gk

)

]

, (A.22)

kjer je kontaktna hitrost k-te iteracije dolocena po kinematskih zvezah oblike (4.26) in (4.27), ki juzdruzeno zapisemo kot

gk = W T(q +∆qk

)+ w. (A.23)

Iz enacbe (A.22) lahko izrazimo inkrement

[

∆q∆

Λ∆

]

=

[

−∆qk + M−1(h∆t+ W proxC

(Λk − r gk

))

−Λk + proxC

(Λk − r gk

)

]

. (A.24)

Ce zdaj upostevamo, da je inkrement razlika soslednih clenov zaporedja

[

∆q∆

Λ∆

]

=

[

∆qk+1 −∆qk

Λk+1 −Λk

]

, (A.25)

lahko zapisemo rekurzivno obliko definicije zaporedja:

xk+1 =

[

∆qk+1

Λk+1

]

=

[

M−1(h∆t+ W proxC

(Λk − r gk

))

proxC

(Λk − r gk

)

]

. (A.26)

DODATEK A iv

A.2 Obseznejsi numericno pridobljeni rezultati

Predvsem diagrami se izkazejo kot obremenjujoci za zveznost te diplomske naloge, so pa vecinoma ohra-njeni v besedilu, ker so redko ponavljajoci. Na nekterih mestih se je izkazalo, da je vseeno primernejediagrame umakniti iz rednega dela besedila. Tu so diagrami, ki prikazujejo kinematske in dinamskevelicine, pridobljene ob simulaciji drsenja (poglavje 8.3.1). Za simulacijo odbijanja (poglavje 9.3.2), so tuposploseni pomiki, trajektorija gibanja in kontaktni impulzi podani graficno, prilozena pa je tudi tabela,ki podaja rezultate v numericni obliki. Na koncu dodatka A.2 je se celostanski sekvencni prikaz simulacijegranularnega toka 10.3.3.

A.2.1 Nekateri diagrami simulacije drsenja

Slika A.1: Pomik x(t) in hitrost x(t) masne tocke v smeri x za case simulacije

Slika A.2: Pomik x(t) in hitrost x(t) masne tocke v smeri x v okolici casa zaustavitve

DODATEK A v

Slika A.3: Izracunani impulzi v odvisnosti od casa

A.2.2 Nekateri diagrami in izracuni simulacije odbijanja

Slika A.4: Posplosene koordinate v odvisnosti od casa (levo) in trajektorija gibanja (desno)

Slika A.5: Normalni (levo) in tangencialni (desno) kompresijski impulzi v odvisnosti od casa

Slika A.6: Normalni (levo) in tangencialni (desno) ekspanzijski impulzi v odvisnosti od casa

DODATEK A vi

Tabela A.1: Rezultati simulacije po algoritmu 9.2j [1] t [s] ΛNC [N s] ΛNE [N s] ΛTC [N s] ΛTE [N s] kC [1] kE [1]

1 0,0010 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 230 2206 0,2060 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 2411 0,4110 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 2616 0,6160 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 2821 0,8210 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 21026 1,0260 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 21231 1,2310 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 21436 1,4360 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 21641 1,6410 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 21846 1,8460 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 22051 2,0510 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 22256 2,2560 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 22461 2,4610 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 22666 2,6660 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 22871 2,8710 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 23076 3,0760 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 23281 3,2810 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 23486 3,4860 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 23691 3,6910 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 23896 3,8960 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 24101 4,1010 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 24306 4,3060 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 24511 4,5110 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 24716 4,7160 1,0061 1,0061 1,0000 1,0000 175 24921 4,9210 1,0049 1,0049 −1,0000 −1,0000 177 2

DODATEK A vii

A.2.3 Simulacija granularnega toka

Slika A.7: Simulacija granularnega toka za dva primera kontaktnih parametrov ob treh casih

DODATEK A viii

A.3 Matematicna orodja

V poglavju 3.1.1 preoblikujemo vektorski produkt v matricno preslikavo, v poglavju 7.2.1 pa se pojavidvakratni vektorski produkt, ki ga je mogoce poenostaviti – oboje je umaknjeno v ta dodatek. Delo seposluzuje posplosenega odvajanja negladkih skalarnih in vektorskih polj, zacensi s poglavjem 2.1, kartemelji na tu obravnavanem odvajanju gladkih skalarnih in vektorskih polj. Tu je pojasnjena je tudiosnovna Newtonova metoda, na kateri temelji modificirana Newtonova metoda (poglavje 2.3.2) in opisanje linearni komplementarni problem, ki je alternativa RL-pristopu.

A.3.1 Vektorski produkt

Matricni zapis vektorskega produkta

Vektorski produkt je mogoce nadomestiti z matricno preslikavo

a× x = a x, a =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

, (A.27)

kjer notacija ˜ oznacuje26 preoblikovanje vektorja a = [a1 a2 a3]T

v matriko a. Za matriko a veljaantisimetrija a = −aT.

Dvakratni vektorski produkt

Dvakratni vektorski produkt lahko zapisemo kot linearno kombinacijo [10]

a× (b× x) = aTx b− aTb x = (b aT − aTb E) x, (A.28)

kjer je E ∈ R3×3 enotska matrika. Torej lahko zapisemo enakost

a b = b aT − aTb E. (A.29)

A.3.2 Odvod in gradient

Odvod skalarnega polja, kjer je skalarno polje preslikava f : Rn → R, predstavlja vektor-vrstica

∂f

∂x=

[∂f

∂x1

∂f

∂x2. . .

∂f

∂xn

]

∈ R1×n. (A.30)

Gradient skalarnega polja je transponirani odvod skalarnega polja, kar oznacimo kot

∇f(x) =

(∂f

∂x

)T

∈ Rn. (A.31)

Odvod vektorskega polja, kjer je vektorsko polje preslikava f : Rn → Rm, je matrika

∂f

∂x=

∂f1

∂x

∂f2

∂x

...∂fm

∂x

∈ Rm×n. (A.32)

26 V tej diplomski nalogi naj velja izjema, da oznaka˜nad simbolom w, j ali w, j, npr. kot w (s kakrsnim koli podpisom,npr. wN) ne pomeni preoblikovanja v matriko vektorskega produkta – notacija w je prevzeta po Glockerju in Pfeifferju [1].

DODATEK A ix

Gradient vektorskega polja je transponirani odvod vektorskega polja, kar oznacimo kot

∇f(x) =

(∂f

∂x

)T

∈ Rn×m. (A.33)

Odvod skalarnega produkta

Skalarni produkt x(q)Ty(q) ∈ R vektorjev x ∈ Rn in y ∈ R

n, ki sta funkciji parametrov q ∈ Rm,

odvajamo kot skalarno polje, pri cemer dobimo vrstico

∂

∂q

(xTy

)= xT ∂y

∂q+ yT ∂x

∂q∈ R

1×m. (A.34)

Odvod in gradient linearne preslikave

Linearno preslikavo f(x) = A x ∈ Rm, kjer velja A ∈ R

m×n in x ∈ Rn, odvajamo kot

∂f

∂x= A ∈ R

m×n in gradient je ∇f = AT ∈ Rn×m. (A.35)

Ce je A kvadratna in simetricna A = AT, je odvod linearne preslikave enak gradientu linearne preslikave,in ko dolocamo gradient, ni treba oznacevati transpozicije, kar izkoristimo, kadar je preslikava definiranas simetricno masno matriko M . Podobno izpuscamo oznako za transpozicijo simetricne Hessejeve ma-

trike ∇2f(x) [26], ki je simetricna, ce so vsi njeni zunajdiagonalni elementi – mesani odvodi – zveznefunkcije [27].

Odvod kvadraticnega skalarnega polja

Odvajamo skalarno polje po vektorju x ∈ Rn, ki je definirano kot f(x) = xT A x, kjer je matrika

A ∈ Rn×n kvadratna. Upostevamo odvod skalarnega produkta po enacbi (A.34) in odvod linearne

preslikave po enacbi (A.35).

∂f

∂x=

∂

∂x

(xT (A x)

)= xT ∂

∂x(A x) + (A x)

T ∂x

∂x= xT A + xT AT E

= xT(A + AT

).

(A.36)

Ce je v enacbi (A.36) matrika A = M = MT tudi simetricna, lahko zapisemo

∂f

∂x= 2 xT M gradient pa je ∇f = 2 M x. (A.37)

Ce je v enacbi (A.36) matrika A = E enotska matrika, predstavlja funkcija f(x) = ‖x‖2 ∈ R kvadratEvklidove norme vektorja x in je z enacbo (A.36) preverjeno tudi

∂

∂x‖x‖2 = 2 xT in gradient je ∇‖x‖2 = 2 x. (A.38)

A.3.3 Osnovna Newtonova metoda optimizacije

Osnovna Newtonova metoda optimizacije [26] je algoritem za dolocitev stacionarne tocke skalarnega poljaL(x) : R

n → R. Metoda doloci zaporedje {xk}; k ∈ {0, 1, 2, . . .}, za katero velja

limk→∞

xk = x∗, (A.39)

kar velja pod pogojem, da je izbrana inicializacija x0 iz ustrezne okolice stacionarne tocke x∗, za katerovelja ∇L(x∗) = 0. Ce lineariziramo gradient ∇L(x) in ga enacimo z nicelnim vektorjem 0, dobimo

DODATEK A x

linearno enacbo

∇L(xk +∆x) ≈ ∇2L(xk)∆x +∇L(xk) = 0, (A.40)

iz katere lahko izracunamo Newtonov korak ∆x = −∇2L(xk)−1∇L(xk). Zato je iteracija formalnodefinirana kot

xk+1 = xk −∇2L(xk)−1∇L(xk). (A.41)

Ker pa je dolocitev ∇2L(xk)−1 (obracanje matrike) v splosnem racunsko potratno, poteka iteracija vdveh korakih:

1. Resimo sistem enacb ∇2L(xk)∆x = −∇L(xk).

2. Izracunamo nov element zaporedja xk+1 = xk +∆x.

A.3.4 Linearni komplementarni problem

Linearni komplementarni problem (angl. Linear Complementarity Problem – LCP) predstavlja linearnamatricna enacba

y = A x + b, (A.42)

za katero veljajo komplementarni pogoji27

y � 0, x � 0, yTx = 0, (A.43)

kjer sta x ∈ Rn in y ∈ R

n neznanki, ki ju iscemo ob znani A ∈ Rn×n in znanem b ∈ R

n.

LCP ima lahko natanko eno resitev, vec resitev, nesteto ali pa tudi nima resitve. Vse obstojece resitve LCPje teoreticno mogoce najti z metodami nastevanja, ki upostevajo vse moznosti razporeditve nenicelnihneznank. Zaradi pogoja xi yi = 0 je lahko samo ena od i-tega para komponent vektorjev x in y hkratirazlicna od 0, kar pomeni, da v LCP nastopa n spremenljivk, ki so lahko hkrati razlicne od 0. Torej sepojavi 2n razlicnih kombinacij teh spremenljivk, kar je za velike n zelo veliko stevilo in metode nastevanjapostanejo zamudne [3].

Obstaja ucinkovitejsi algoritem, ki vkljucuje pivotiranje – Lemkejev algoritem. Pomanjkljiv pa je v tem,da ni zagotovila, da bo nasel resitev za poljubno matriko A, tudi ce resitev obstaja. Mogoce je zagotoviti,da bo algoritem nasel ustrezno resitev ali pa se, ko ta ne obstaja, zakljucil brez resitve, ce je matrika A

simetricna pozitivno definitna, kar se pojavi v primerih brez trenja [1]28.

27 Neenakost, ki velja med istoleznimi komponentami vektorjev, oznacimo s simbolom � ali � oz. ≻ ali ≺.28 Za visoke koeficiente trenja pa se lahko zgodi, da tudi resitev kontaktnega problema bodisi ne obstaja bodisi ni ena

sama (primer Sliding rod iz [1] ali Painleve paradox iz [3]).

Documents

Diplomska naloga – Kristjan Krebelj: RIGID BODY SYSTEM DYNAMICS USING POISSON’S IMPACT LAW WITH FRICTION BY THE AUGMENTED LAGRANGIAN METHOD