GEOMETRA DE LOS SISTEMAS CRISTALINOSExisten muchas estructuras diferentes y es conveniente clasificarlas en grupos de acuerdo con las configuraciones de la celdilla unitaria y/o la disposicin atmica. Uno de estos esquemas se basa en la geometra de la celdilla unitaria, la forma del paraleleppedo sin tener en cuenta la posicin de los tomos en la celdilla. Se establece un sistema x, y y z de coordenadas cuyo origen coincide con un vrtice de la celdilla; los ejes x, y y z coinciden con las aristas del paraleleppedo que salen de este vrtice, como se muestra en las figuras de la Tabla 1. La geometra de la celdilla unitaria se define en funcin de seis parmetros: la longitud de tres aristas a, b y c y los tres ngulos interaxiales , y Estos ngulos se denominan parmetros de red de una estructura cristalina y estn representados en la Tabla 1. En este aspecto hay siete diferentes combinaciones de a, b y c y ,y , que representan otros tantos sistemas cristalinos. Estos siete sistemas cristalinos son el cbico, tetragonal, ortorrmbico, romodrico, monocrnico y triclnico.Tabla 1. Relaciones entre parmetros de red y la geometra de las celdillas unitarias de los siete sistemas cristalinos

Sistema cristalino

Redes de Bravais

Triclnico

Monoclnico

Ortorrmbico

Tetragonal

Rombodrico

1

Hexagonal

Cbico

La geometra de la red espacial debe permitir que se llene todo el espacio de tomos sin dejar huecos, caracterstica que hace que slo existan 14 tipos de redes posibles (redes de Bravais), caracterizadas por una celda unitaria cada una, que, a su vez viene definida por una serie de parmetros (a, b, c y , , ). DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRFICOS Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algn plano cristalogrfico particular de tomos o alguna direccin cristalodrfica. Convencionalmente se ha establecido que para designar las direcciones y planos se utilicen tres ndices enteros. Los valores de los ndices se determinan basndose en un sistema de coordenadas cuyo origen est situado en un vrtice de la celdilla unitaria y cuyos ejes (x, y, z) coinciden con las aristas de la celdilla unitaria como lo indica la Figura 1 (b). En los sistemas cristalinos hexagonal, rombodrico y triclnico, los tres ejes no son perpendiculares entre s, como ocurre en el familiar sistema de coordenadas ortogonales o cartesianas. Puntos, direcciones y planos en la celdilla unitaria

1. Coordenadas de los puntos.Es posible localizar ciertos puntos, como las posiciones de los tomos en la red o en la celdilla unitaria, construyendo el sistema de coordenadas dextrgiro de la Figura 1 (a). La distancia se mide en funcin del nmero de parmetros de red que habr que moverse en cada una de las coordenadas x, y y z para pasar desde el origen hasta el punto en cuestin. Las coordenadas se expresan como tres distancias, y separando cada nmero con comas. Cuando correlacionamos subsecuentemente varias propiedades y estructuras cristalinas ser necesario identificar la direccin especfica de los cristales. Esto puede hacerse relativamente simple si se usa la celdilla unitaria como base.

(a)

(b)

(c)

Figura 1. (a) Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unitaria. Los nmeros se refieren a la distancia desde el origen en funcin de los nmeros de parmetros de red. (b) Direcciones vectoriales de los puntos. c) Vista esquemtica de la localizacin de los centros de los tomos en la estructura FCC de un metal.2

Por ejemplo, la Figura 1 (b) muestra las tres direcciones dentro de una retcula simple ortorrmbica. La direccin [1 1 1] es aquella que pasa desde el origen y a travs de un punto de la distancia de la celdilla en cada una de las tres direcciones axiales. Del mismo modo, las direcciones [1 0 1] y [1 0 0] son rayos (vectores) que partiendo del origen pasan a travs de los puntos 1, 0, 1 y 1, 0, 0 de las distancias de las celdillas unitarias, respectivamente. La costumbre ha establecido utilizar parntesis cuadrados [h k l] para indicar la direccin de las celdillas (cristales). El parntesis (h k l) indica los planos de las celdillas. No es nada que se desconozca, al menos, se estipula que una celdilla cbica tiene vrtices cuya ubicacin se define en torno a un origen y a una disposicin de ejes, atribuidos a su vez a los ngulos, que le dan posicin entre los planos x, y y z. La distancia se mide en trminos de la cantidad de parmetros de red que hay que recorrer en cada una de las direcciones para ir del origen al punto en cuestin. Las coordenadas se escriben como las distancias, y los nmeros se separan por coma.

2. Direcciones en la celdilla unitariaUna direccin cristalogrfica se define por una lnea entre dos puntos o por un vector. Se utilizan las siguientes etapas para determinar los ncices de las tres direcciones. Ciertas direcciones en la celda unitaria son de particular importancia. Los metales se deforman, por ejemplo, en aquellas direcciones a lo largo de las cuales los tomos estn en contacto ms estrecho. Para poder identificar unvocamente un sistema de planos cristalogrficos se les asigna un juego de tres nmeros que reciben el nombre de ndices de Miller. Los ndices de Miller son nmeros enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre s. El signo negativo de un ndice de Miller debe ser colocado sobre dicho nmero. Los ndices de Miller para las direcciones son la notacin abreviada de estas direcciones. El procedimiento que determina los ndices de Miller para las direcciones es el siguiente: 1. En el origen de coordenadas del sistema se traza un vector de longitud conveniente. Todo vector se puede trasladar a travs de la red cristalina sibn alterarse, si se mantiene el paralelismo. 2. Utilizando un sistema de coordenadas dextrgiro, se determina las coordenadas de dos puntos que estn en esa direccin. 3. Restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas a las del punto final se obtiene el nmero de parmetros de red recorridos en la direccin de cada eje del sistema de coordenadas. 4. Se determina la longitud del vector proyeccin en cada uno de los tres ejes; en funcin de las dimensiones a, b y c de la celdilla unitaria. 5. Estos tres nmeros se multiplican o dividen por un factor comn para reducirlos al valor entero menor. 6. Los tres ndices, sin separacin, se encierran en un corchete, as: [u v w]. Los nmeros enteros u, v, y w corresponden a las proyecciones reducidas a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. Si se obtiene un signo negativo, se representa con una barra sobre el nmero. Es necesario, adems, tener en cuenta lo siguiente: 1. La celdilla unitaria intercepta, y no, distancias actuales que se usan. En la retcula ortorrmbica de la figura 1 (b), a b c. 2. Los ejes de los cristales se usan como base de las direcciones. 3. La direccin A [2 2 2] es idntica a la direccin [1 1 1]. Por lo tanto, la menor combinacin de enteros es la que se usa. 4. Las direcciones tales como [1 1 2] podrn tambin identificarse. (Esta direccin es un rayo que parte del origen a travs del centro de la cara superior). 5. La operacin de simplificacin genera un plano paralelo que est a distancia diferente del origen de la celda particular considerada (ejemplo: (2 0 0) se transforma en (1 0 0) al dividir por dos). 6. Si algunos cortes tienen valores negativos sobre los ejes, el signo negativo debe aparecer en el ndice de Miller (ejemplo (0 0 -1) se escribe ( )3

7. Ms adelante veremos que en los cristales hexagonales compactos hay cuatro ejes principales, por tanto deben usarse cuatro ndices de Miller (ejemplo (0 0 0 1). Direccin A: Inicio: A partir del punto 0, 0, 0 de sistema coordenado hacia 1, 0, 0, de modo que la direccin de A se consigue como (1, 0, 0) (0, 0, 0) = 1, 0, 0. As los ndices de Miller de la direccin A es [1 0 0] Direccin B B parte del origen (0, 0, 0) y llega al punto (1, 1, 1). As (1, 1, 1) (0, 0, 0) = 1, 1, 1 y nuestros ndices son [1 1 1]. Direccin C C parte de , 1, 0 hacia 0, 0, 1, de este modo (0, 0, 1) (, 1, 0) = -, -1, 1. Para los ndices es importante eliminar las fracciones. As que multiplicando por 2 resultara 2(, -1, 1) = -1, -2, 2. As nos quedara [ ]. Ntese que los signos s importan y quedan sealizados sobre los nmeros. Ejemplo 1. En este ejemplo vamos a determinar los ndices de Miller de las direcciones A, B y C de la Figura 2 donde se muestran las direcciones cristalogrficas y las coordenadas. a) Cul es la densidad lineal de tomos a lo largo de la direccin [1 1 0] para el cobre? b) Cul es el espaciamiento de repeticin (vector de Burgers) para los tomos en la direccin [2 1 1]? Solucin:

Ejemplo 2. Determinar los ndices Miller de las direcciones A, B y C de la Figura 2 (a).

(a)

(b)

(c)

Figura 2 (a) Direcciones y coordenadas cristalogrficas requeridas para el ejemplo 1. (b) y (c) Equivalencia de direcciones cristalogrficas de una familia en sistemas cbicos.4

Solucin: Direccin A 1. 2. 3. 4. Los dos puntos son (1, 0, 0) y (0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 0) = 1, 0, 0 No hay fracciones ni enteros a reducir [1 0 0]

Direccin B 1. 2. 3. 4. Los dos puntos son (1, 1, 1) y (0, 0, 0) (1, 1, 1) (0, 0, 0) = 1, 1, 1 No hay ni fracciones por simplificar ni enteros por reducir [1 1 1]

Direccin C 1. 2. 3. 4. Los dos puntos son (0, 0, 1) y (, 1, 0) (0, 0, 1) (, 1, 0) = -, -1, 1 2(-, -1, 1) = -1, -2, 2 [ ]

Debern observarse varios puntos acerca del uso de los ndices de Miller para las direcciones: 1. Dado que las direcciones son vectores, una direccin y su negativo no son idnticas; [1 0 0] no es igual a [ Representan la misma lnea pero con direcciones opuestas. 2. Una direccin y su mltiplo son idnticos; [1 0 0] es la misma direccin que [2 0 0]. Simplemente se omiti hacer la reduccin a mnimos enteros. 3. Ciertos grupos de direcciones son equivalentes; sus ndices particulares dependen de cmo se construyen las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema cbico, una direccin [1 0 0] es equivalente a la direccin [0 1 0] si se redefine el sistema de coordenadas segn se muestra en la figura 2 (b) y (c). Otra manera de caracterizar direcciones equivalentes es mediante la distancia de repeticin, es decir, la distancia entre puntos de la red a lo largo de la direccin. Por ejemplo, se podra examinar la direccin [1 1 0] en una celda unitaria FCC (Figura 3); si se parte del punto 0, 0, 0, el siguiente punto de la red estar en el centro de una cara, o en un sitio , , 0. La distancia entre los puntos de red es, por tanto, la mitad de la diagonal de la cara, es decir . En el cobre, que tiene un parmetro de red de 0,36151 nm, la distancia de repeticin es 0,2556 nm. La densidad lineal es el nmero de puntos de red por unidad de longitud a lo largo de una direccin. En el cobre, existen dos distancias de repeticin a lo largo de la direccin [1 1 0] en cada celda unitaria; dado que esta distancia es a = 0,51125 nm, entonces: Densidad lineal = 2 distancias de repeticin/0,51125 nm = 3,91 puntos de red/nm. Obsrvese que la densidad lineal tambin es el recproco de la distancia de repeticin. Finalmente, se podra calcular la fraccin de empaquetamiento en una direccin en particular, es decir, la fraccin verdaderamente cubierta por tomos. En el caso del cobre, en el cual un tomo est localizado en cada punto de la red,5

].

esta fraccin es igual al producto de la densidad lineal por dos veces el radio atmico. En el caso de la direccin [1 1 0] en cobre FCC, el radio atmico r = /4 = 0,12781 nm. Por tanto, la fraccin de empaquetamiento es: Fraccin de empaquetamiento = (densidad lineal)(2r) = (3,91)(2)(0,12781) = 1,0 Los tomos estn en contacto en la direccin [1 1 0], ya que en los metales FCC la direccin [1 1 0] es compacta.

Figura 3. Cmo determinar la distancia de repeticin, la densidad lineal y la fraccin de empacamiento para la direccin [1 1 0] en cobre FCC.

PLANOS CRISTALOGRFICOS Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algn plano cristalogrfico de tomos particular o alguna direccin cristalogrfica. Una celdilla unitaria o cristal contiene planos de los tomos, y esos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma ser ventajosa para identificar los varios planos que existen en un cristal. Un cristal contiene planos de los tomos, y estos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma ser ventajosa para identificar los varios planos atmicos que existen en un cristal. La orientacin de los planos cristalogrficos de la estructura cristalina se presentan de manera similar al de las direcciones cristalogrficas. Tambin se utiliza un sistema de coordenadas de tres ejer ortogonales y la celdilla unitaria es fundamental Una celdilla o cristal contiene planos de los tomos, y esos planos influyen en las propiedades y comportamiento de los cristales. Esta forma ser ventajosa para identificar los varios planos atmicos que existen en un cristal. A veces es necesario referirse a los planos reticulares especficos de los tomos que se encuentran en una estructura cristalina, o puede ser interesante conocer la orientacin cristalogrfica de un plano o de grupos de planos en una red cristalina. Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cbica se utiliza el sistema de notacin de Miller. Los ndices de Miller de un plano cristalino se definen como el recproco de las fracciones de interseccin (con fracciones simplificadas) que el plano presenta con los ejes cristalogrficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celdilla unitaria cbica. Las aristas del cubo en la celdilla unitaria representan longitudes unidad y las intersecciones de los planos reticulares se miden con base en estas longitudes unidad. El procedimiento para determinar los ndices de Miller para un plano cristalogrfico cbico es como sigue: 1. Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0). 2. Se determinan las intersecciones del plano en la funcin de los ejes cristalogrficos x, y y z para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.6

3. Se obtiene el recproco de las intersecciones. 4. Se simplifican las fracciones y se determina el conjunto ms pequeo de nmeros enteros que estn en la misma proporcin que las intersecciones. Este conjunto de nmeros enteros son los ndices de un plano cristalogrfico y se encierran en parntesis sin utilizar comas. La notacin (h k l) se utiliza para indicar los ndices de Miller en este plano un sentido general, donde h, k y l son los ndices de Miller de un plano cristalino cbico para los ejes x, y y z, respectivamente. En la figura 4 se muestran nueve planos cristalogrficos dentro de los cuales los siete primeros son considerados como los ms importantes de una estructura cristalina cbica. Considrese en primer lugar el plano sombreado de la figura (1 1 0), que tiene las intersecciones 1, , para los ejes x, y y z, respectivamente. Si se toman los recprocos de estas intersecciones para obtener los ndices de Miller, sern, por tanto, 1, 0, 0. Como estos nmeros no son fraccionarios, los ndices de Miller para este plano son (1 0 0), que se lee como plano uno-cero-cero. Considrese ahora como ejemplo el segundo plano (1 1 0). Las intersecciones en este plano son 1, 1, . Dado que los recprocos de estos nmeros son 1, 1, 0, que no presentan fracciones, los ndices de Miller de este plano (1 1 0). Finalmente, un tercer plano (1 1 1) tiene las intersecciones 1, 1, 1, corresponde a unos ndices de Miller (1 1 1).

Figura 4. Planos cristalogrficos con distintos ndices de Miller

Considrese ahora el plano cbico cristalino presentado en la figura 5 que tiene las intersecciones , , 1. Los recprocos de estas intersecciones son 3, 3/2, 1. Dado que estas intersecciones no son enteros, estas intersecciones deben multiplicarse por dos para simplificar la fraccin 3/2. Por tanto, el recproco de las intersecciones se convierten en 6, 3, 2 y los ndices de Miller son (6 3 2). Si el plano cristalino considerado pasa por el origen de tal forma que una o ms de las intersecciones son cero, el plano debe ser movido a una posicin equivalente en la misma celdilla unitaria y el plano debe ser paralelo al plano original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes se encuentran indicados por los mismos ndices de Miller. Si varios grupos de planos reticulares equivalentes estn relacionados por la simetra del sistema cristalino, se llaman planos de una familia o forma y los ndices de un plano de la familia se encierran entre llaves como {h k l} representando los ndices de una familia de planos simtricos. Por ejemplo, los ndices de Miller de los planos de las caras del cubo (1 0 0), (0 1 0) y (0 0 1) se designan conjuntamente como una familia o forma mediante la flotacin {1 0 0}. La orientacin de una superficie de un cristal plano se puede definir considerando como el plano corta a los ejes cristalogrficos principales del slido. Ciertos planos de tomos en un cristal tambin son significativos; por ejemplo, los metales se deforman a lo largo de aquellos planos de tomos que estn empaquetados ms estrechamente. La aplicacin de un conjunto de reglas conduce a la asignacin de los ndices de Miller (h k l) como una flotacin7

abreviada para identificar estos planos importantes; un conjunto de nmeros que cuantifican los cortes y que slo puede usarse para identificar un plano o una superficie. Convencionalmente se ha establecido que para designar las direcciones y planos se utilicen tres enteros o ndices. Los valores de los ndices se determinan basndose en un sistema de coordenadas cuyo origen est situado en un vrtice de la celdilla unidad y cuyos ejes (x, y y z) coinciden con las aristas de la celdilla unitaria, como indica la Figura 4. Los planos de retcula deben visualizarse rpidamente y son aquellos que definen la celdilla unitaria, pero hay muchos otros planos. En las figuras 6, 7 y 8 se muestran la continuidad de los planos en las celdillas contiguas.

Figura 5. Plano de cristal cbico (6 3 2), que tiene intersecciones fraccionarias.

(a)

(b)

(c)

Figura 6. (0 1 0) Planos en estructuras cbicas. (a) CS (cbico simple). (b) BCC. (c) FCC. [Ntese que los planos (0 2 0) incluidos para los BCC y FCC son equivalentes a los planos (0 1 0)]

(a)

(b)Figura 7. (1 1 0) planos en estructuras cbicas. (a) CS (cbico simple). (b) BCC. (c) FCC. [Los planos (2 2 0) incluidos para BCC, son equivalentes a los planos (1 1 0)].8

(c)

(a)

(b)

(c)

Figura 8. (1 1 1) planos en estructuras cbicas. (a) CS. (b) BCC. (c) FCC. Las intersecciones con signo menos encima, estn indicadas por barras arriba del ndice. [Los planos (2 2 2) incluidos para BCC, son equivalentes a los planos )].

Los planos de las Figuras 6 hasta 8 se titulan (0 1 0), (1 1 0) y (1 1 1), respectivamente. Los smbolos (h k l) son llamados los ndices de Miller. Brevemente, los planos (0 1 0) son paralelos a los ejes cristalinos x y z que orientan la celdilla unitaria. Los planos (1 1 0) son paralelos al eje de las z, pero cortan a los ejes x y y en distancias unitarias desde el origen o puntos de interseccin de los ejes. Los planos (1 1 1) cortan a los tres ejes cristalinos. Los nmeros usados arriba son recprocos de las intersecciones sobre los ejes, en funcin de las distancias de las celdillas unitarias a partir de su origen. El plano (0 1 0) corta el eje de las y en 1, y los ejes x y z en :

Para el plano (1 1 0):

Para el plano (

):

Mientras el punto de origen es seguido arbitrariamente, o sea que puede establecerse al punto O en la Fig. 6 (a) como el O, el plano (0 1 0) es igualmente arbitrario. As, (0 1 0) es un smbolo para todos los planos de tomos que son paralelos al plano que encuentra la definicin dada en el prrafo anterior. Esta generalizacin de los ndices es completamente lgica, mientras que todos los planos paralelos son geomtricamente similares. Los ndices de Miller pueden tambin ser negativos y el signo menos es el que se muestra sobre el dgito, por ejemplo, ( ). Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recprocos de estos nmeros son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los ndices de Miller (1 1 0). Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recprocos son: 1, 0, 0. Los ndices de Miller para este plano son: (1 0 0). Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un ndice de Miller (1 1 1). Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ms cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posicin equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos ndices de Miller.

9

Si grupos de planos de redes equivalentes estn relacionados por la simetra del sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los ndices de una familia de planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los ndices de Miller de los planos de la superficie del cubo (1 0 0) (0 1 0) y (0 0 1) se designan colectivamente como una familia con la notacin {1 0 0}. Una importante relacin slo para el sistema cbico es que los ndices de una direccin perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los ndices de Miller para ese plano. Por ejemplo, la direccin [1 0 0] es perpendicular al plano cristalino (1 0 0). Se identifican los puntos en los cuales el plano interseca los ejes de coordenadas x, y y z en funcin del nmero de parmetros de red. Si el plano pasa a travs del origen, el origen del sistema de coordenadas deber moverse. Ejemplo 3. Supongamos una red con parmetros de red: a, b y c Tenemos un plano que intersecta a los ejes x, y, z, estos ejes tambin se pueden designar con las letras a, b y c. En los puntos 1a b 2c respectivamente. Entonces realizamos el recproco de las intersecciones: 1a, b, 2c y de ahora en adelante trabajamos solo con los nmeros, es decir: 1, , 2. Determinamos los enteros primos entre s que cumplan las mismas relaciones: Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m. (mnimo comn mltiplo) es decir 2: 2 (1, , 2) = (2 1 4) (Ntese que cumplen con las caractersticas de los ndices de Miller: Enteros y primos entre s) Entonces los ndices de Miller para el sistema de planos del ejemplo es: (2, 1, 4) Ejemplo 4. Determinar los ndices de Miller de los planos A, B y C de la figura 9.

Figura 9. Planos cristalogrficos e intersecciones para el ejemplo 4.

Solucin: Plano A 1. x = 1, y = 1, z = 1 2. 1/x = 1, 1/y = 1, 1/z = 1 3. No hay fracciones a simplificar 4. (1 1 1)10

Plano B 1. El plano nunca cruza el eje de las z, por lo que x = 1, y = 2, y z = 2. 1/x = 1, 1/y = , 1/z = 0 3. Simplificar fracciones: 1/x = 2, 1/y = 1, 1/z = 0 4. (2 1 0) Plano C 1. Se debe mover el origen, ya que el plano pasa a travs de 0, 0, 0. Se mueve tambin el origen un parmetro de red en la direccin y. Entonces, x = 1, y = -1, y z = 2. 1/x = 0, 1/y = -1, 1/z = 0 3. No hay fracciones que simplificar 4. (0 1 0) Debern repasar varios aspectos de importancia en los ndices de Miller para los planos:

1. Los planos y sus negativos son idnticos (que esto no era cierto en el caso de direcciones), por tanto, (0 2 0) =2. Los planos y sus mltiplos no son idnticos (de nuevo, esto resulta ser lo opuesto a lo que se encontr en el caso de direcciones). Es posible demostrar esto definiendo densidades planares y fracciones de empaquetamiento planar. La densidad planar es el nmero de tomos por unidad de superficie cuyo centro est sobre el plano; la fraccin de empaquetamiento es el rea sobre dicho plano cubierta por dichos tomos. El ejemplo 3 muestra cmo se puede calcular esto. 3. En cada celda unitaria, los planos de una familia representan grupos de planos equivalentes que tienen sus ndices particulares en funcin de la orientacin del eje coordenado. Se representan estos grupos de planos similares utilizando la notacin { }. 4. En los sistemas cbicos, una direccin que tiene los mismos ndices que un plano es perpendicular a dicho plano.

Figura 10. Las densidades planares de los planos (0 1 0) y (0 2 0) en unidades de celda CS (cbico simple) no son idnticas.

Celdillas unitarias hexagonales Los metales no cristalizan en un patrn simple hexagonal, debido a que el factor de acomodamiento es muy bajo. Sin embargo, se encontrarn compuestos conteniendo ms de un tipo de tomos con estos patrones en posiciones equivalentes. ndices de Miller para las celdas unitarias hexagonales. Un conjunto especial de ndices de Miller-Bravais ha sido diseado para las celdillas unitarias hexagonales debido a la simetra singular del sistema. Se identifican empleando cuatro ndices en vez de tres, representados por las letras h, k, i, l y encerrados entre parntesis (h, k, i, l) que clasifica la orientacin de los planos en el sistema cristalino hexagonal.11

Estos ndices hexagonales estn basados en un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes bsicos a1, a2, a3 que forman 120 entre s, con el eje a3 redundante. El cuarto eje o eje c es el eje vertical y est localizado en el centro de la celdilla unitaria (Figura 11). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1, a2, a3 es la distancia entre los tomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. Los recprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a1, a2, a3 proporcionan los ndices h, k e i mientras que el reciproco de la interseccin con el eje c da el ndice l. En funcin de la redundancia del eje a3 y de la geometra especial del sistema, los primeros tres enteros de la designacin, que corresponden a las intersecciones a1, a2 y a3 estn relacionados por la ecuacin h + k = i. Esto aparece ilustrado en la figura 12, mostrando que la direccin [0 1 0] es la misma que la direccin [ ]. Hay alguna redundancia, pues i equivale a la suma de h y k i = -(h + k). Los tres ndices h, k, y l son idnticos para ambos sistemas.

Figura 11. ndices de Miller-Bravais obtenidos para planos cristalogrficos en celdas unitarias HC utilizando un sistema de coordenadas de cuatro ejes.

Figura 12.

Los planos basales de la celdilla unitaria HC son muy importantes para esta celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a1, a2, a3, las intersecciones de este plano con estos ejes sern todas de valor infinito. As, a1 = a2 = a3 = . El eje c, sin embargo, es nico puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recprocos de estas intersecciones tenemos los ndices de Miller-Bravais para el plano basal HC. As, h = 0, k = 0, i = 0, l = 1. El plano basal es, por tanto, un plano (0 0 0 1). Las direcciones en las celdillas unitarias HC se indican por cuatro ndices [u, v, t, w]. Son vectores reticulares en las direcciones a1, a2, a3 respectivamente y el ndice w es un vector reticular en la direccin c. Dos planos paralelos son equivalentes y tienen ndices idnticos. Tambin es posible transformar la notacin del sistema de tres ejes al de cuatro para el caso de direcciones utilizando las siguientes ecuaciones, donde h, ky l son los ndices en el sistema de tres ejes. Despus de la transformacin, los valores h, k, i y l pueden requerir simplificacin de fracciones o reduccin a los mnimos enteros. El procedimiento utilizado para la determinacin de los valores de los ndices es el siguiente. 1. Si el plano pasa por el origen, se traza otro plano paralelo con una adecuada traslacin dentro de la celdilla unidad o se escoge un nuevo origen en el vrtice de otra celdilla unitaria.12

2. El plano cristalogrfico o bien corta, o bien es paralelo a cada uno de los tres ejes. La longitud de los segmentos de los ejes se determina en funcin de los parmetros de red h, k y l. 3. Se escriben los nmeros recprocos de estos valores. Un plano paralelo a un eje se considera que lo corta en el infinito y, por lo tanto, el ndice es cero. 4. Estos tres nmeros se multiplican o dividen por un factor comn. 5. Finalmente, se escriben juntos los ndices enteros dentro de un parntesis: (h k l). En el dibujo las tres superficies estn relacionadas por los elementos de simetra del cristal cbico y son totalmente equivalentes. De hecho hay un total de 6 caras relacionadas por elementos de simetra y equivalentes a la superficie (1 0 0), cualquier superficie que pertenezca a este conjunto de superficies de simetra equivalente puede ser descrita por la notacin {1 0 0}, en la que los ndices de Miller de una de las superficies estn representados entre llaves. Ejemplo 5. Determinar los ndices de Miller-Bravais para los planos A y B as como para las direcciones C y D de la figura 11. Solucin: Plano A 1. a1 = a2 = a3 = , c = 1 2. 1/a1 = 1/a2 = 1/a3 = 0, c = 1 3. No hay fracciones a simplificar. 4. (0 0 0 1) Plano B 1. a1 = 1, a2 = 1, a3 = -, c = 1 2. 1/a1 = 1, 1/a2 = 1, 1/a3 = -2, 1/c = 1 3. No hay fracciones a simplificar. 4. ( ) Direccin C 1. 2. 3. 4. Dos puntos son 0, 0, 1 y 1, 0, 0. (0, 0, 1) (1, 0, 0) = -1, 0, 1 No hay fracciones que simplificar o enteros a reducir. [ ]o[ ]

Direccin D 1. 2. 3. 4. Dos puntos son 0, 1, 0 y 1, 0, 0. 0, 1, 0 - 1, 0, 0 = - 1, 1, 0 No hay fracciones que simplificar o enteros a reducir. [ ][ 0]

Planos y direcciones compactas Al examinar la relacin entre radio atmico y el parmetro de red, se buscan direcciones compactas, donde los tomos estn en contacto continuo. Ahora se pueden asignar ndices de Miller a esas direcciones compactas, segn se muestra en la tabla 2. Tambin se pueden examinar celdas unitarias FCC y HC ms de cerca y descubrir que por lo menos existe un conjunto de planos compactos en cada una de ellas. Los planos compactos aparecen en la figura 14. Ntese que se produce una13

disposicin hexagonal de tomos en dos dimensiones. Los planos compactos son fciles de encontrar en la celda unitaria HC; se trata de los planos (0 0 0 1) y (0 0 0 2) de la estructura HC a los que se les da el nombre especial de planos basales. De hecho, se puede construir una celda unitaria HC al apilar planos compactos con una secuencia de apilamiento...ABABAB... Los tomos del plano B, que es el plano (0 0 0 2), se anidan en los valles entre tomos del plano A, que es el plano inferior (0 0 0 1). Si se coloca un plano de orientacin idntica al plano A en los valles del plano B, se crea la estructura HC. Observar que todos los planos compactos posibles son paralelos entre s. Slo los planos basales (0 0 0 1) y (0 0 0 2), son compactos.

Figura 13. Direcciones tpicas en la celda unitaria HC, utilizando los sistemas tanto de tres como de cuatro ejes. Las lneas punteadas muestran que la direccin [1210] es equivalente a la direccin [010]. Tabla 2. Planos y direcciones compactos

Estructura CS BCC FCC HC

Direcciones (1 0 0) (1 1 1) (1 1 0) (1 0 0), (1 1 0) (

0)

Planos Ninguna Ninguna (1 1 1) (0 0 0 1), (0 0 0 2)

De la figura 14, se encuentra el nmero de coordinacin de los tomos de la estructura HC. El tomo central en un plano basal est en contacto con otros tomos del mismo plano. Tres tomos en un plano inferior y tres tomos en un plano superior tambin tocan este mismo tomo. El nmero de coordinacin es 12.

Figura 14. La secuencia de apilamiento ABABAB de planos compactos produce la estructura HC.

En la estructura FCC, planos compactos son de la forma (1 1 1) (Figura 15). Cuando se apilan planos paralelos (1 1 1), los tomos del B se anidan en los valles del A y los tomos del plano C se acomodan sobre los valles tanto del A como14

del B. El cuarto plano encaja directamente sobre tomos del A. Por tanto, se produce una secuencia de apilamiento... ABCABCABC... utilizando el plano (1 1 1). De nuevo, se encuentra que cada uno de los planos tiene un nmero de coordinacin igual a 12. A diferencia de la celdilla unitaria HC, existen cuatro conjuntos de planos compactos no paralelos (111), (111), (111) y (111) dentro de una celda FCC. Esta diferencia entre las celdas unitarias FCC y HC la presencia o ausencia de planos compactos que se intersecan afectan el comportamiento de metales que tengan estas estructuras .

Figura 15. La secuencia de apilamiento ABCABCABC de planos compactos produce la estructura FCC.

Los planos basales de la celdilla unitaria HC son muy importantes para esta celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a1, a2, a3. Las intersecciones de este plano con estos ejes sern todas de valor infinito, as, a1 = a2 = a3 = . El eje c, sin embargo, es nico puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recprocos de estas intersecciones tenemos los ndices de Miller-Bravais para el plano basal HC. As, h = 0, k = 0, i = 0, l = 1. El plano basal es, por tanto, un plano (0 0 0 1). Las direcciones en las celdas unitarias HC se indican por cuatro ndices [u, v, t, w]. Son vectores reticulares en las direcciones a1, a2, a3. respectivamente y el ndice w es un vector reticular en la direccin c.

(a)Figura 16. En el sistema cristalino hexagonal, (a) las direcciones [0 0 0 1], [ y( ). ]y[

(b)] y (b) los planos (0 0 0 1), ( )

15

Los tomos en un slido estn empaquetados, con lo que existe un cierto grado de orden: De corto alcance (slidos moleculares, con enlaces fuertes covalentes entre tomos y ms dbiles Van der Waals entre molculas). De largo alcance (slidos cristalinos).

En el interior de un slido cristalino existe una estructura cristalina formada por una red espacial, en cada punto de la cual se sitan grupos de tomos idnticos en composicin y orientacin (base). Construccin de direcciones y de planos Para construir una direccin o un plano en la celdilla unitaria, simplemente se trabaja en forma inversa. El ejemplo 6 muestra cmo es posible hacerlo.Tabla 3. Planos de la familia (1 1 0) en sistemas cbicos

Nota: Los valores negativos de los planos no son planos nicos

Ejemplo 6. Dibujar: (a) la direccin [ Solucin: a. Dado que se sabe que ser necesario desplazarse en la direccin y negativa, se localizar el origen en 0, +1, 0. El punto inicial de la direccin quedar localizado en este nuevo origen. Un segundo punto de la direccin se puede determinar moviendo +1 en la direccin de las x, -2 en la direccin de las y y +1 en la direccin de las z [Figura 17 (a)]. b. Para dibujar el plano ( ), primero habr que calcular los recprocos de los ndices para obtener las intersecciones, esto es: ] y (b) el plano ( ) en una celda unitaria cbica.

Dado que la interseccin en x est en una direccin negativa, y se desea dibujar el plano dentro de la celda unitaria, se desplaza el origen +1 en la direccin x hacia 1, 0, 0. Entonces ser posible localizar la interseccin de x en - y la de y en +1. El plano ser paralelo al eje de las z [Figura 16 (b)].

(a)16

(b)

Figura 17. Construccin de una direccin (a) y de un plano (b) dentro de la celda unitaria (ver el ejemplo 6).

Ejemplo 7. Trazar el plano (1 1 2) en una celdilla unitaria cbica simple (CS). Solucin: El plano (1 1 2) es recproco de 1, 1, 3. As, a, b y c son iguales a 1, 1, y de la distancia de la celdilla unitaria, respectivamente. Este plano se traza en la Figura 18. Como los planos paralelos tienen el mismo ndice de Miller, un segundo plano deber ser trazado para interceptar los ejes a 2, 2 y 1 en distancias regulares. Ejemplo 8. Trazar el plano (1 1 1) de una celdilla unitaria para un cristal simple tetragonal, teniendo una relacin c/a de 0,62 de radio. Solucin: La Figura 19 muestra este plano. El plano (1 1 1) corta los tres ejes a distancias unitarias. Sin embargo, la distancia unitaria a lo largo de los ejes de las z- es ms corta que la distancia unitaria sobre los ejes de las x y y.

Figura 18. ndices de Miller. El plano (1 1 2) parte los tres ejes en 1, 1, y , distancias unitarias

Figura 19. Intersecciones no cbicas (estructura tetragonal). El plano (1 1 1) corta los tres ejes de cualquier cristal a distancias unitarias iguales. Sin embargo, como c no puede ser igual a a, la distancia real de interseccin es diferente

Densidades planares Mientras que la densidad lineal corresponde a la fraccin de longitud de lnea, de una direcin cristalogrfica particular, que pasa a travs de los centros de los tomos, de manera similar, la densidad planar es simplemente la fraccin del rea del plano cristalogrfico ocupada por tomos (representados como crculos); el plano debe pasar a travs del centro del tomo para que ste se pueda incluir. Estos conceptos uni y bidimensional, al igual que el efecto de empaquetamiento atmico se tratan en los ejemplos presentados a continuacin. Cuando se consideran deformaciones plsticas, se necesita conocer la cantidad de tomos en los planos del cristal. El siguiente ejemplo muestra cmo puede calcularse esto por medio de la relacin:17

Densidad planar = tomos/rea unitaria. Ejemplo 9. Calcular la densidad lineal de la direccin [1 0 0] en una estructura BCC Solucin: En la Figura 20 (a) estn representadas la celdilla unitaria BCC (esferas reducidas) y en su interior la direccin [1 1 0]. En la Figura 20 (b) est representado el empaquetamiento lineal de esta direccin. La base para el clculo es la longitud de la lnea dentro de la celdilla unitaria, Ll, que en estecaso es el parmetro de red a: la diostancia entre los centros de los tomo M y N. En funcin del radio atmico r,

La longitud de la lnea intersectada por los crculos (tomos M y N), Lc es igual a 2r. La densidad lineal DL es la siguiente expresin:

(a)

(b)

Figura 20 (a) Celdilla unitaria BCC con esferas reducidas y con direccin [1 0 0] indicada. (b) Distancia interatmica en la direccin [1 0 0] de una estructura cristalina BCC: entre los tomos M y N de (a).

Ejemplo 10. Calcular la densidad del plano (1 1 0) de la estructura FCC. Solucin: El empaquetamiento atmico de este plano se representa en la Figura 21 (a). Se considera que la posicin del plano que intersecta la celdilla unitaria (Figura 21 (b) y luego se calcula el rea de este plano y el rea total de los crculos en funcin del radio atmico r. La densidad del plano es la relacin de estas dos reas. El rea del plano de la celdilla unitaria Ap, es la del rectngulo definido por los centros de los tomos A, C, D y F (Figura 2b (b). La longitud del rectngulo ( ) y la anchura ( ) son, respectivamente,

18

de donde se deduce:

El rea total de los crculos es la suma de un cuarto correspondiente a los tomos A, C, D y F y la mitad de los tomos B y E, lo que da un total de 2 crculos equivalentes. El rea total encerrada en los crculos de los tomos es: Ac = (2)r 3 La densidad del plano es:

(a)

(b)

Figura 21 (a) Celdilla unitaria FCC con esferas reducidas y con el plano (1 1 0). (b) Empaquetamiento atmico de un plano (1 1 0) FCC, cuyas posiciones atmicas se indican en (a).

Ejemplo 11. Cuntos tomos por mm2 existen en los planos (1 0 0) y (1 1 1) de plomo (FCC)? Solucin: Radio del plomo = 1,750 , aPb = = 4 (1,750)/1,414 = 4,95 .

La Figura 21 (a) muestra que el plano (1 0 0) contiene dos tomos por cara de la celdilla unitaria. (1 0 0): tomos/mm2 = 2 tomos /(4,95 10-7 mm)2 = 8,2 x 1012 tomos/mm2 La figura 21 (b) y (c) muestra que el plano (1 1 1) contiene (3/6 = ) tomos para el rea triangular mostrada. (1 1 1): tomos/A2 = /( b h) = /{(2)(1,750 )( )(1,750 )} = 0,0095 tomos/A2 = 9,5 1012 tomos/mm2.

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(a)

(b)

(c)

Figura 22. (a) Concentracin atmica (1 0 0) (FCC). A (1 0 0) plano en una estructura FCC que tiene dos tomos por a2. (b) y (c) Un plano (1 1 1) Concentracin atmica (FCC) Un plano (1 1 1) tiene medio tomo por

Espacio interplanar La distancia entre dos planos de tomos paralelos adyacentes con lo, mismos ndices de Miller se conoce como distancia interplanar d. La Figura 23 revela las distancias entre los planos (1 1 1), o sea d111, como un tercio del cuerpo de la diagonal de la celda unitaria. Del mismo modo, la Figura 24 muestra los valores de d110 y d220. En el sistema cbico, la distancia interplanar en materiales cbicos est dada por la ecuacin general,

en donde a es la constante de retcula (parmetro de red) y h, k y l representan los ndices de Miller de los planos adyacentes considerados (son los ndices de los planos). Los espacios interplanares para cristales no cbicos deben expresarse en una ecuacin similar a la ecuacin (2), aunque en forma un poco ms compleja. Para el sistema hexagonal,

donde a y c son los parmetros de la red. Hasta ahora se ha hecho aparente por qu se usa este procedimiento recproco para la indicacin de los planos de cristales. Los ndices llevan por s mismos a clculos simplificados. Ejemplo 12. Comparar los valores de d200 y d111 para el plomo (FCC). Solucin: aPb = 4,95 (como el ejemplo anterior).

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La figura 23 indica que hay tres distancias interplanares d200 por cada dimensin de la celda unitaria en la estructura FCC. d200 = 4,95/2 = 2,475 . La figura 24 indica que hay tres espaciamientos interplanares d111 por cada diagonal del cuerpo en una celdilla unitaria FCC. Como la diagonal del cuerpo equivale a a d111 = 1/3 ( Esto puede calcularse tambin de la Ecuacin: )(4,95 ) = 2,86 .

Figura 23. Espacios Interplanares (FCC). Hay tres espaciamientos interplanares dm por cada diagonal de una celdilla unitaria en una estructura FCC

Figura 24. Espaciamientos interplanares (1 1 0). Hay cuatro espaciamientos interplanares (2 2 0) por cara diagonal de la celdilla FCC. Como las tres distancias unitarias son idnticas en una estructura cbica, hay otros cinco juegos diferentes de planos comparables. Mostrar el porqu

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