Dirichletov princip

Irena Brdar ∗

Sazetak. Labirint je jedan od najstarijih simbola svjetske povijesti i pronalazimo ga uraznim oblicima kod brojnih kulturnih krugova. Uz znak labirinta vezani su mnogi mitovimedu kojima je najpoznatiji grcki mit o Tezeju i Minotauru. Labirintom smatramo prostors medusobno povezanim nizom hodnika, mjesto iz kojeg se tesko moze izici. Rjesavanjelabirinta je postupak pronalazenja puta koji povezuje pocetak i kraj labirinta. U raduje navedeno nekoliko nacina rjesavanja labirinta. Veliku pomoc pri rjesavanju labirinatapruzaju grafovi, stoga su u radu navedeni osnovni pojmovi iz teorije grafova vezani uzovaj problem.

Kljucne rijeci: Dirichletov princip, Ramseyev teorem, kombinatorika, teorija brojeva,natjecanja.

Dirichlets box principle

Abstract. Labyrinth is one of the oldest symbols of the world’s history and it can befound in many forms in many cultural circles. There are many myths and legends whichare tied to this symbol,one of the most famous is the myth of Theseus and Minotaur.Labyrinth is considered as a complex branching puzzle with choices of path and direction,the place from which is hard to find a way out. Solving the labyrinth means to find theway that binds the beginning and the end of a labyrinth. Some ways of solving a labyrinthare given in this article. Graphs are of great help for solving labyrinth, therefor in thisarticle are explained basic terms of graph theory tied to this problem.

Key words: Dirichletae’s box principle, Ramseyev teorem, kombinatorika, teorijabrojeva, natjecanja.

1 Pierre Gustave Lejeune Dirichlet

Pierre Gustave Lejeune Dirichlet je bio veliki njemacki matematicar francuskog podri-jetla. Roden je 13. veljace 1805. godine u njemackom gradu Durenu, koji je u to dobapripadao francuskom kraljevstvu. Osim imena Pierre i Gustave u povijesnim izvorimaponekad se navode i njegova njemacka imena Peter i Gustav. Od malena je pokazivao ve-liku sklonost za matematiku te je svoj dzeparac trosio je na kupnju matematickih knjiga.Do 16te godine se skoluje u Njemackoj, a zatim sveuciliste upisuje u Parizu. Na put uFrancusku ponio je sa sobom Gaussovo remek-djelo Disquisitiones arithmeticae (Pitanjao aritmetici), koje je uvijek bilo uz njega i koje je stalno proucavao.

∗Odjel za matematiku, Sveuciliste u Osijeku, Gajev trg 6, Osijek, e-mail: ibrdar@mathos.hr

1

2

Do 1827. je bio privatni ucitelj, a nakon toga se vratio u Njemacku. Imao je procedu-ralnih problema jer nije imao doktorat i nije znao latinski jezik. Nakon sto je to sredeno,radio je na Sveucilistu u Breslau, ali nije bio zadovoljan zbog niskih standarda. Godine1829. uz von Humboldtovu pomoc odlazi u Berlin. Poucava najprije kao docent, a kasnijekao profesor na Berlinskom sveucilistu. Ozenio je Rebecu Mendelssohn. U jesen 1843.,pratio je bolesnog prijatelja Jacobija na oporavak u Italiju. 1855. u Gottingenu je umroGauss te je na njegovo mjesto dosao Dirichlet. To je bila kruna njegovog zivotnog puta.

U ljeto 1858., na jednoj konferenciji u Svicarskoj, pretrpio je srcani udar. U Gottingense vratio s velikim teskocama. Umro je 5. svibnja 1859. godine.

Slika 1. P. G. L. Dirichlet

Na slici 1 je prikazan Dirichlet.U svom radu ima vise matematickih doprinosa.Prvi njegov rad odnosio se na glasoviti Veliki Fermatov teorem da jednadzba xn+yn =

zn nema rjesenja u skupu prirodnih brojeva niti za jedan prirodni broj n veci od 2. Eulerje pokazao da tvrdnja vrijedi za n = 3 i n = 4, a Dirichlet je pokazao za jedan od 2podslucaja za n = 5. Drugi podslucaj je upotpunio Legendre i rad je objavljen 1825.godine.

Prvi je proveo strogu raspravu o konvergenciji Fourierovih redova. Glavnu ulogu u tojraspravi ima Dirichletov integral

1

2π

∫ 2π

0

sin(2n+ 1)12(t− x)

sin 12(t− x)

dt , n ≥ 0,

gdje n karakterizira odsjecak Furierovog reda, a x je vrijednost argumenta za kojeg seispituje konvergencija.

Dirichlet se smatra jednim od zacetnika algebarske teorije brojeva, a kao pocetak uzimase njegova rasprava iz 1837. U njoj dokazuje teorem:

Teorem 1. Ako su prvi clan i razlika aritmetickog niza relativno prosti prirodni brojevi,onda taj niz sadrzi beskonacno prostih brojeva.

Dirichletov dokaz teorema veoma je slozen i zasniva se na Dirichletovim redovima.Danas se taj teorem naziva Dirichletov teorem.

Dirichlet je 1837. predlozio modernu definiciju funkcije:

3

Definicija 1. Ako se varijabla y prema varijabli x odnosi tako da kad god se odredi nu-mericka vrijednost za x postoji pravilo prema kojem je odredena jedinstvena vrijednost ody, onda je y funkcija od nezavisne varijable x.

Pronasao je primjer funkcije koja nije neprekidna u svakoj tocki domene. Ako je xracionalan, neka je y = c, a ako je x iracionalan, neka je y = d 6= c.

2 Dirichletov princip

U rjesavanju raznovrsnih problema, posebno pri dokazivanju postojanja objekata kojiimaju neko odredeno svojstvo, cesto se primjenjuje jednan od najpoznatijih kombinator-nih principa, koji je poznat pod raznim popularnim nazivima kao sto su princip kutija,princip pretinaca, princip golubinjaka, problem zeceva i kaveza i dr. Dirichlet ga je prvijasno formulirao i dao mu precizan matematicki smisao. Zato se taj princip danas nazivaDirichletov princip.

2.1 Slaba forma Dirichletova principa

Slaba forma Dirichletovog principa kaze ako n golubova doleti u n− 1 golubljak, ondace u barem jednom golubnjaku biti barem dva goluba. Na slici 2. vidimo 10 golubova u 9golubnjaka. U prvom golubnjaku se nalazi dva goluba, a u preostalim po jedan.

Slika 2. 10 golubova u 9 golubnjaka

Precizniju formu nam daje sljedeci teorem.

Teorem 2. Neka je n predmeta smjesteno u m kutija i n < m. Tada postoji kutija sbarem 2 predmeta.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, odnosno da je u svakon kutiji najvise 1 predmet.Posto ima m kutija, onda ima najvise m predmeta sto je kontradikcija s n < m. 2

Slaba forma Dirichletova principa moze se izreci na ekvivalentan nacin pomocu funk-cija.

4

Teorem 3. Neka je f : S → T funkcija izmedu konacnih skupova |S| > |T |. Onda f nijeinjekcija, tj. postoje dva razlicita elementa x1, x2 ∈ S takva da je f(x1) = f(x2).

Dokaz: Skup S gledamo kao skup od |S| = n predmeta i skup T od |T | = m kutija, af kao funkciju koja ”predmetu” x pridruzuje ”kutiju” f(x). Zbog n > m nekoj ce kutijibiti pridruzena dva predmeta x1,x2, tj. f(x1) = f(x2). 2

Propozicija 1. Neka su S i T konacni skupovi sa |S| = |T | = n, a f : S → T nekopreslikavanje. Tada je f injekcija ako i samo ako je f surjekcija.

Dokaz: Ako je f injekcija, onda je ocito |S| = |f(S)|. Prema pretpostavci je |S| = |T |,a kako je f(S) ⊆ T i |f(S)| = |T | slijedi da je f(S) = T jer je T konacan skup. Odnosno,f je surjekcija.

Neka je f surjekcija. Za svako presikavanje g : X → Y medu konacnim skupovimaje ocito |g(X)| ≤ |X|. Neka su x, x′ ∈ S, x 6= x′. Pretpostavimo da je f(x) = f(x′).Promotrimo restrikciju f ′ : S\{x} → T od f , tj. f ′ = f |S\{x}. Ocito je i f ′ surjekcija paje zbog gornje napomene tada n = |f ′(S\{x})| ≤ |S\{x}| = n− 1, sto je kontradikcija. 2

Primjer 1. Medu 13 ljudi uvijek postoje dvije osobe koje su rodene u istom mjesecu.

Rjesenje: Neka je S skup ljudi, a T skup mjeseci u godini, a f : S → T funkcija kojasvakom covijeku pridruzuje mjesec u kojem je roden. Kako je |S| = 13 > 12 = |T |, f nijeinjekcija, odnosno postoje dvoje ljudi koji su rodeni u istom mjesecu.

Primjer 2 (P. Erdos). Iz skupa [2n] = {1, 2, . . . , 2n} odabran je podskup S od n + 1elementa. Tada postoje x, y ∈ S, takvi da je x djeljiv s y.

Rjesenje: Svaki prirodan broj se moze na jedinstven nacin napisati kao 2k · a, gdjeje k ≥ b0 i a neparan broj. Za brojeve izmedu 1 i 2n vrijednosti od a su 1, 3, 5, . . .,2n − 1. U S, koji ima n + 1 element, postoje 2 broja ciji su pripadni a jednaki. Nekasu to 2ra i 2sa. Ako je r ≤ s, onda je y = 2ra|2sa = x, a ako je r > s, onda jey = 2sa|2ra = x. Tvrdnja ne prijedi ako samo malo oslabimo uvjete. Ukoliko je |S| = n,umjesto |S| = n+ 1, tvrdnja vise ne vrijedi, tj. nijedan od njih ne mora dijeliti drugi brojiz S (primjer S = {n+ 1, n+ 2, . . . , 2n}).

2.2 Jaka forma Dirichletova principa

Dirichletov princip se moze poopciti. Ako 2n+1 predmeta treba rasporediti u n kutija,tada ce barem jedna kutija imati barem 3 predmeta. Nadalje, ako 3n+1 treba rasporeditiu n kutija, onda ce u barem jednoj kutiji biti barem 4 predmeta. Odnosno, ako n(r−1)+1predmeta rasporedujemo u n kutija, onda ce barem u jednoj biti r predmeta.

Teorem 4. Ako je m predmeta rasporedeno u n kutija, onda barem jedna kutija sadrzibarem bm−1n c+ 1 predmet.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, odnosno pretpostavimo da svaka kutija sadrzi ≤bn−1m c predmeta. Ukupan broj predmeta u m kutija je manji ili jednak od m · bn−1m c ≤m · n−1m = n− 1, sto je kontradikcija jer je ukupan broj predmeta n. 2

5

Teorem 5. Ako je f : S → T funkcija medu konacnim skupovima |S| = n, |T | = m, ondapostoji element b ∈ T u koji se preslikava barem bn−1m c+ 1 elemenat iz S.

Primjer 3 (P. Erdos). Neka je a1, a2, . . . , an2+1 niz od n2 + 1 realnih brojeva. Tada utome nizu postoji rastuci ili padajuci podniz duljine n+ 1.

Rjesenje: Pretpostavimo da ne postoji (n + 1)-clani rastuci podniz naseg niza. Tre-bamo pokazati da onda postoji padajuci podniz duljine n + 1. Za k = 1, 2, 3, . . . , n2 + 1,neka je pk duljina najveceg rastuceg podniza naseg niza koji pocinje s ak. Zbog nasepretpostavke je pk ≤ n za svaki k = 1, 2, . . . , n2 + 1, a ocito je pk ≥ 1 za svaki k. Dakle,p1, p2, . . . , pn2+1 je niz od n2 + 1 prirodnih brojeva izmedu 1 i n. Prema Dirichletovomprincipu (jaka forma) za r − 1 = n, odnosno r = n+ 1, slijedi da postoji barem n+ 1 odtih brojeva koji su jednaki, tj. postoje k1, . . . , kn+1, 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ kn+1 ≤ n2 + 1,tako da je pk1 = pk2 = . . . = pkn+1 .

2.3 Opci Dirichletov princip

Teorem 6. Neka je n ∈ N i r1,r2, . . ., rn ∈ N. Ako je r1 + r2 + . . .+ rn− n+ 1 predmetarazmjesteno u n kutija K1, K2, . . ., Kn, onda barem jedna kutija Ki sadrzi barem ripredmeta, odnosno ili K1 sadrzi barem r1 predmeta ili K2 sadrzi barem r2 predmeta, . . .,ili Kn sadrzi barem rn predmeta.

Dokaz: Dokaz provodimo kontradikcijom. Kada bi svaka kutija sadrzavala manje odri predmeta, onda bi ukupan broj predmeta bio ≤ (r1 − 1) + (r2 − 1) + . . . + (rn − 1) =r1 + r2 + . . .+ rn − n sto ne moze biti. 2

Uocimo da je moguce r1 + r2 + . . . + rn − n predmeta rasporediti u n kutija tako dasvaka kutija Ki sadrzi manje od ri predmeta.

Ako je r1 = r2 = . . . = rn = r, dobijemo jaku formu Dirichletova principa, a ako jer = 2 dobijemo slabu formu Dirichletova principa.

3 Ramseyev teorem

4 Literatura

Literatura

[1] Z. Kurnik, Piere Gustave Lejeune Dirichlet i njegov princip, Iz rjecnika metodike 28(2005.), 100-104.

[2] Z. Kurnik, Dirichlet i njegov princip, Bilten seminara iz matematike za nastavnike-mentore 2 (1993.), 9-16.

[3] Z. Kurnik, Dokaz, Iz rjecnika metodike 9 (2001.), 149-155.

[4] S. Majstorovic, Dirichletov princip, Osjecki matematicki list 6 (2006),99-105.

6

[5] D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.

[6] D. Zubrinic, Diskretna matematika, Element, Zagreb, 1997.