DISTRIBUCION BETAEste modelo tiene actualmente aplicaciones importantes por la variedad de formas diferentes que puede tomar su funcin de densidad para diferentes valores de sus parmetros. El dominio es el intervalo [0, 1], pero mediante alguna sustitucin, otros intervalos finitos pueden llevarse a [0, 1].DefinicinUna variable aleatoria continua X tiene distribucin beta si su densidad de probabilidad est dada por:

Son los parmetros para este modelo.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN BETA

Si X es una variable aleatoria continua con distribucin beta, entonces

La demostracin de se fundamenta en la definicin de la funcin beta cuyo anlisis se encuentra en los libros de clculo. Con la definicin de valor esperado y la sustitucin respectiva, se encuentra

EjemploUn distribuidor de gasolina llena los tanques del depsito cada lunes. Se ha observado que la cantidad que vende cada semana se puede modelar con la distribucin beta con = 4, =2

a) Encuentre el valor esperado de la venta semanalb) Encuentre la probabilidad que en alguna semana venda al menos 90%SolucinSea X: proporcin de combustible que vende semanalmente (variable aleatoria continua con valor entre 0 y 1)

Su densidad de probabilidad es

a) (vende en promedio 2/3 del tanque cada semana)

b)

DISTRIBUCIN GAMMA

Una variable aleatoria continua X tiene distribucin Gamma si su densidad de probabilidad est dada por

Son los parmetros para este modelo.

es la funcin gamma:

Si es un entero positivo, entonces Demostracin:

para integrar por partes

se obtiene:

Sucesivamente

pero =1 por integracin directa.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN GAMMA

EjemploEl tiempo en horas que semanalmente requiere una mquina para mantenimiento es una variable aleatoria con distribucin gamma con parmetros =3, =2a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horasb) Si el costo de mantenimiento en dlares es C = 30X + 2X2, siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.

SolucinSea X duracin del mantenimiento en horas (variable aleatoria)Su densidad de probabilidad es:

Para integrar se pueden aplicar dos veces la tcnica de integracin por partes:

,

Sustituyendo los resultados intermedios,

b)

Sustituya y = x/2para usar la funcin Gamma

Finalmente se obtiene

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Es un caso particular de la distribucin gamma y tiene aplicaciones de inters prctico. Se obtiene con= 1 en la distribucin GammaDefinicinUna variable aleatoria continua X tiene distribucin exponencial su densidad de probabilidad est dada por

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Se obtienen directamente de la distribucin gamma con = 1ProblemaUn sistema usa un componente cuya duracin en aos es una variable aleatoria con distribucin exponencial con media de 4 aos. Si se instalan 3 de estos componentes y trabajan independientemente, determine la probabilidad que al cabo de 6 aos, dos de ellos sigan funcionando.

SolucinSea Y: variable aleatoria continua (duracin de un componente en aos)

Su densidad de probabilidad es

La probabilidad que un componente siga funcionando al cabo de 6 aos:

Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de componentes que siguen funcionando luego de 6 aos)X tiene distribucin binomial con n=3, p=0.2231

DISTRIBUCIN DE WEIBULLEste modelo se utiliza en estudios de confiabilidad de ciertos tipos de sistemas.Definicin Una variable aleatoria continua X tiene distribucin de Weibull si su densidad de probabilidad est dada por

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN DE WEIBULLSi X es una variable aleatoria continua con distribucin de Weibull, entonces

Con la definicin

EjemploSuponga que la vida til en horas de un componente electrnico tiene distribucin de Weibull con =0.1, =0.5a) Calcule la vida til promediob) Calcule la probabilidad que dure ms de 300 horas

SolucinSea X: vida til en horas (variable aleatoria continua)su densidad de probabilidad:

a)

b)

Mediante la sustitucin se obtieney=x0.5 , dy= 0.5x-0.5dx= 0.5(1/y)dy se obtiene

DISTRIBUCION DE ERLANGEn estadstica, la distribucin Erlang, es una distribucin de probabilidad continua con dos parmetros k y cuya funcin de densidad para valores x > 0 es

La distribucin Erlang es el equivalente de la distribucin gamma con el parmetro y = 1 / . Para k = 1 eso es la distribucin exponencial. Se utiliza la distribucin Erlang para describir el tiempo de espera hasta el suceso nmero k en un proceso de Poisson.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN DE ERLANG

DISTRIBUCION NORMALUna variable aleatoria continua, X, sigue una distribucin normal de media y desviacin tpica , y se designa por N(, ), si se cumplen las siguientes condiciones:1. La variable puede tomar cualquier valor: (-, +) 2. La funcin de densidad, es la expresin en trminos de ecuacin matemtica de la curva de Gauss:

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL

Curva de la distribucin normal

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-, +).Es simtrica respecto a la media .Tiene un mximo en la media .Crece hasta la media y decrece a partir de ella.En los puntos y + presenta puntos de inflexin.El eje de abscisas es una asntota de la curva.El rea del recinto determinado por la funcin y el eje de abscisas es igual a la unidad.Funcin de distribucin

ProblemaSe sabe que la longitud de las alas extendidas de un tipo de ave rapaz es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal, de media 120 cm. y desviacin tpica 8 cm.1. Calclese la probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azar sea:a.- Mayor de 130 cmb.- Menor de 100 cmc.- Est comprendido entre 110 y 130 cmsolucina)

b)

c)

DISTRIBUCION LOG-NORMALEn probabilidades y estadsticas, la distribucin log-normal es una distribucin de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normalmente distribuido (la base de una funcin logartmica no es importante, ya que loga X est distribuida normalmente si y slo si logb X est distribuida normalmente). Si X es una variable aleatoria con una distribucin normal, entonces exp(X) tiene una distribucin log-normal.Log-normal tambin se escribe log normal o lognormal.Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeos factores independientes. Un ejemplo tpico es un retorno a largo plazo de una inversin: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.La distribucin log-normal tiende a la funcin densidad de probabilidad

Para x > 0, donde y son la media y la desviacin estndar del logaritmo de variable. MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL

DISTRIBUCION POISSONSi los intervalos de eventos similares estn distribuidos exponencialmente, el nmero de eventos ocurridos en un intervalo unitario de tiempo, tiene la distribucin de Poisson. Las aplicaciones de las variables aleatorias de Poisson incluyen tantas reas tales como control de los inventario, teora de colas, control de calidad, flujo de trfico y muchas otras reas ciencias administrativas.La distribucin de Poisson

Condicin de normalizacin

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN POISSON

ProblemaEn promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al da. Si se recogen los huevos cada hora Cul es el nmero medio de huevos que se recogen en cada visita? Con qu probabilidad encontraremos x huevos para 0,1, 2,3 x = ? y la probabilidad de que 4 x ?Promedio: =1x18 / 24 =0.75 huevos / hora Sucesos observados x0123X>=4

PROBABILIDAD(%)

47.235.413.30.60.8

DISTRIBUCIN UNIFORMEUna variable aleatoria con una distribucin uniforme o rectangular se circunscribe necesariamente a un rango dentro del cual todos los valores son igualmente probables. Si los lmites superior e inferior del rango son a y b respectivamente, la FDP es una funcin uniforme de a a b (los dos parmetros definen la FDP). La FDP de una distribucin uniforme est dada por:

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIN UNIFORME

DISTRIBUCIN TRIANGULARSe dice q la variable aleatoria sigua una distribucin triangular, si su funcin de densidad es de la forma:

Donde m es la moda.La representacin grfica de su funcin de densidad:

Esperanza

Varianza