Métodos Cuantitativos I

«Distribución de Poisson»

Una aplicación práctica…

Norman Luna 1020 – 93 -32515

Evy Eugenia Turcios 1020 – 04 -269

Fue descubierta por:

Siméon-Denis Poisson, que la dio

a conocer en 1838 en su trabajo

Recherches sur la probabilité des

jugements en matières criminelles

et matière civile (Investigación

sobre la probabilidad de los juicios

en materias criminales y civiles).

Distribución de Poisson

es una distribución de probabilidad

discreta que expresa la

probabilidad que un determinado

número de eventos ocurran en un

determinado periodo de tiempo,

dada una frecuencia media

conocida e independientemente del

tiempo discurrido desde el último

evento

Su fórmula es:

donde

•k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente

k veces).

•λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo

dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad

de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40

•e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos

de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho,

cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento

iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores

que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Ejemplo

El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital

durante un periodo de 24 horas tiene una media de m = 43,2 pacientes.

Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del

servicio, el cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de

50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del

hospital?

Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución

P(43,2). La probabilidad solicitada es

Pr{X > 50} = 1 - Pr{X <= 50} = 1 - F(50) = 0.13.

El responsable del servicio deberá valorar si esta probabilidad es lo

suficientemente alta como para reforzar la atención de urgencias con más

efectivos, materiales, espacios, etc.

Ejemplo

Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular

la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas

con dicha enfermedad.

Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.

Consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la

enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien

aproximado por un modelo de Poisson, de modo que

Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es

Existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más

personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas

enfermas es:

P=0.7365