-
La distribucin de PoissonLuis Armando Verdin Medina
-
IntroduccinEn este mdulo se describe el uso de la distribucin de
Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros
cuyo resultado lo representa una variable discreta. Se recomienda
haber estudiado primero los mdulos de las Reglas de probabilidad,
el de Distribucin normal y luego el de Distribucin Binomial.
-
Objetivo general del mdulo Esperamos que cuando termines esta
presentacin puedas determinar cmo y cundo se debe utilizar la
distribucin de Poisson para obtener las probabilidades de aquellas
situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y
ocasional.
-
Objetivos especficosAdems, esperamos que puedas:
Identificar las propiedades de una distribucin Poisson.
Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para
establecer las bases para el cmputo de las probabilidades.
Determinar el promedio, la varianza y la desviacin estndar
utilizando las variables de la distribucin de Poisson.
-
Dato histrico
La distribucin de Poisson se llama as en honor a su creador, el
francsSimen Dennis Poisson (1781-1840),Esta distribucin de
probabilidades fue uno de los mltiples trabajos matemticosque
Dennis complet en su productiva trayectoria.
-
UtilidadLa distribucin de Poisson se utiliza en situaciones
donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En
otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.Permite
determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado
discreto.
Es muy til cuando la muestra o segmento n es grande y la
probabilidad de xitos p es pequea.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se
distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia,
rea, volumen o tiempo definido.
-
Ejemplos de la utilidadLa llegada de un cliente al negocio
durante una hora.
Las llamadas telefnicas que se reciben en un da.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro
producido.
Los envases llenados fuera de los lmites por cada 100 galones de
producto terminado.
La distribucin de Poisson se emplea para describir procesos con
un elemento en comn, pueden ser descritos por una variable
aleatoria discreta.
-
Propiedades de un proceso de PoissonLa probabilidad de observar
exactamente un xito en el segmento o tamao de muestra n es
constante. El evento debe considerarse un suceso raro. El evento
debe ser aleatorio e independiente de otros eventos
Si repetimos el experimento nveces podemos obtener resultados
para la construccin de la distribucin de Poisson.
-
La distribucin de PoissonLa distribucin de probabilidad de
Poisson es un ejemplo de distribucin de probabilidad discreta. La
distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial. Cuando en
una distribucin binomial se realiza el experimento muchas veces, la
muestra n es grande y la probabilidad de xito p en cada ensayo es
baja, es aqu donde aplica el modelo de distribucin de Poisson.
Se tiene que cumplir que: p < 0.10 p * n < 10
-
La funcin P(x=k)
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable
discreta X toma un valor finito k.
= Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen,
rea, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene
un valor aproximado de 2.711828
K es el nmero de xitos por unidadA continuacin veremos la funcin
de probabilidad de la distribucin de Poisson.
-
Ejemplo1 de la funcinF (x=k)
La probabilidad de que haya un accidente en una compaa de
manufactura es de 0.02 por cada da de trabajo. Si se trabajan 300
das al ao, cul es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la
probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que
10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribucin
de Poisson:
Al realizar el cmputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892Por lo tanto,
la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 das de
trabajo es de 8.9%.
-
Ejemplo 2 de la funcinF(x=k)
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012.
Cul es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados
hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la
probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por
lo que aplicamos el modelo de distribucin de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602Por lo tanto, la probabilidad
de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recin producidos es
de 4.6%.
-
En resumenEn este mdulo hemos determinado la probabilidad de
Poisson mediante el uso de la funcin de Poisson, MINITABG y la
calculadora. Adems, aprendimos que:
La distribucin de Poisson se forma de una serie de experimentos
de Bernoulli.
La media o valor esperado en la distribucin de Poisson es igual
a .
La varianza (2 ) en la distribucin de Poisson tambin es igual a
.
La desviacion estndar es la raz de .
-
Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tiene
conocimiento de que el 3% de la caja est descompuesta. Si un
comprador elige 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de
que, a) las 4 estn descompuestas. b) de 1 a 3 estn
descompuestas
Para resolver la pregunta b repase el mdulo de las reglas de
probabilidad.En este caso se resuelve sumando las probabilidades
P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240
-
Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automvil se encontr
que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan
defectuosos, b) ms de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6
amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la
desviacin estndar de amortiguadores con defectos. La pregunta b
debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En la c
debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).
-
Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad
de una empresa elctrica, inspecciona una muestra al azar de 200
alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote estn
defectuosos. Cul es la probabilidad de que en la muestra, a)
ninguno est defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos
salgan defectuososd) ms de tres estn con defectos Para la pregunta
d puede realizarla siguiente operacin:
1 [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
-
Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de msica dure al menos un ao sin
que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una
muestra de 15, a) 12 duren menos de un ao, b) a lo ms 5 duren menos
de un ao, c) al menos 2 duren menos de un ao.
-
Ejercicio de prueba #5
Si 8 de 100 viviendas violan el cdigo de construccin. cul es la
probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona
aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas
viola el cdigo de construccin b) una viola el cdigo de construccin
c) dos violan el cdigo de construccin d) al menos tres violan el
cdigo de construccin
-
Glosario de trminos
Aleatorio que ocurre al azar. Distribucin de Poisson Distribucin
discreta que se aplica cuando se realizan ms de una vez y de forma
independiente el experimento de Bernoulli.
xitos Es la ocurrencia del evento de inters como cantidad de
defectos, llamadas recibidas, servicios completados.
Experimento independiente Cuando el resultado de un experimento
no tiene influencia en el resultado de otro experimento.
-
Glosario de trminos
Resultado discreto Son resultados con un nmero finito de valores
(3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)
Suceso raro Un evento que ocurre con poca frecuencia. Segmento -
es un intervalo, porcin, fragmento o tamao de muestra, ya sea en
unidades de distancia, rea, volumen, tiempo o cualquier otra
medida.
Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un
nmero finito de valores de forma impredecible o al azar.
Variable Discreta Variable que puede obtener un nmero finito de
valores como 0, 1, 2, 3.
-
ReferenciasAnderson, S. (2006). Estadsticas para administracin y
economa. (8tva ed.). Mxico:Thomson.
Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics.
(2003). (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw
Hill.
http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf
http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator
-
Referenciashttp://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentos-pdf/dmtablas.pdfhttp://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdfhttp://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist/usage.htmlhttp://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdfhttp://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/fr_poisson.zip
*********************
