Distribución de Weibull - Confiabilidad

5/14/2018 Distribuci n de Weibull - Confiabilidad

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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n deWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...Visit our site in English: ReliabilityWeb.com RSS I

UP {. Hagaclick-aqui para ver....." I ll"utoll'iales y V,fdeos de-bemoslraclonS.ULWareCalculo d e L o s Parametres d e L a D is tr ib uc i6 nd e W e ib u LLpor Luis Hernando Palacio Palacio,Argos/ PlantaNare

EI presente articulo presenta, paso a paso, elrnetodo de los Minimos Cuadrados para calcularlos para metros de forma y escala de ladistrlbuclon de Weibull. Para el calculo delpara metro de locallzacldn se emplea elcomplemento Solver de Excel.

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Tarnblen se presentan dos ecuaciones paracalcular el estimador Rango de mediana (ecuaciones 5 y 6), siendo estaultima una forma aproximada y la que generalmente se usa en laliteratura tecnlca, Ya que la ecuaclon (5) es mas exacta, esta es la que seemplea; para ello, y debido a su complejidad, se presenta el codigofuente - en ellenguaje VBA (Visual Basic para Aplicaciones) - para crearuna funclon definida por el usuario en Excel. Igualmente se usan lasfunciones PENDIENTEe INTERSECCION.EJE,de Excel, para calcular lapendiente y el intercepto de la linea de reqresion.I.INTRODUCCIONLa dlstribudcn de Weibull es una dlstribudon continua y tripararnetrtca, esdecir, esta completamente definida por tres pararnetros yes la masempleada en el campo de la confiabilidad.A pesar de la popularidad de esta dlstrlbuclon, en la revision blblioqraflcaefectuada,la mayorfa de los articulos y li teratura tecnlce consultados seremiten a una dlstrlbudon blpararnetrlca y, mas aun, los ejemplos aliidesarrollados presentan como datos conocidos los dos parametres,generandose, asl, las siguientes preguntas: lComo se calculan lospara metros? y zpor que se omite el calculo del tercer para metro? EItercerpara metro es el para metro de locallzaclon, es decir, el para metro quelocal iza la abscisa a partir del cual se inicia la dlstrlbuclon.EIobjetivo del presente articulo es responder a las dos preguntasanteriores, presentando una de las cinco metodologias - analiticas -existentes para el calculo de los parametres y algunos criterios paradeterminar si es necesario tener en cuenta el tercer para metro.EI rnetodo que se presenta es el rnetodo de los Minimos Cuadrados, portres razones: la primera, es un rnetodo simple y expedito de aplicar; lasegunda, la grclfica de los datos sirven como una prueba de bondad deajuste de la dlstrlbuclon y, la tercera, da un indicio sobre si se debecalcular 0 no el parametro de locallzaclon.Para una metodologia grafica, la cual hace uso del papel especiail lamadopapel de probabil idad de Weibull , veanse las referencias [5], [6]2. EXPRESION MATEMATICADE LADISTRIBUCIONLa funclon de densidad de la dlstnbudon de Weibull para la variablealeatoria testa dada por la siguiente expreskin:

d '\p-'-l [( . ) f l ]~t-8)' . t-8 .....J( t} ;= . af exp~8 t'2 o m

TUiOR!ALES

v 1N C UL O S P A TR O C IN A D OSEllmann, Sueiro y AsociadosReliabilityweb.com

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Planeacion Segura del TrabajoElectrico y la Confia bilidad en PiantaTermografia Infrarroja: pandoleVisibil idad a la EnergiaDesperdiciadaHace una decada, aprendi el granvalor de una muestra de aceite.La NFPAY su efecto en latermografia infrarroja y su programade lnspecclcn electrlcaAnalisis integrado de aceite: la clavepara la detecclon tempranalPuede una Soluclon CMMS/ EAMRealmente Resolver Todos susProblemas?Fundamentos para la Excelencia enel Mantenimiento y ConfiabilidadiHasta Yo Puedo Entender Eso!Simplificando la l.ubrlcaclcn delEquipoSeguridad y confiabilidadCinco Factores Crit icos para el Exitoen Listas de Materiales (LdMs)EfectivasM a s articulos

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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n deWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...13:Parametro de forma (0


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15/02/12 Articulos I CalculodelosParametresde laDistribuci6ndeWeibull I Confiabilidad.Net:laculturadec...Rodamientos

( ! - i i J P1 -::::::) '=e' ,,"'I -F( t)

Aplicando logaritmos naturales.

[ n 'J ' ( _ 0 ) 1 } .~m ]-F(t.) = . T ... Propiedad exponencial de los logaritmos.[ ( i ) " ] ( ' : ' ; - , 0 )> T i l . In -( l =tI'lll v. -' . -.' .'I-F' t/~ (}. .' . Aplicando logaritmos naturales.

La expreslon (*) representa una ecuaclon lineal de la forma

Lacual es una recta de reqreslon, con:

Y=II I [ m ( - . 1 t . . .. . ) ] : x =m'( t ' - 8" : b = RID.e ('''''f),1-F~j)" .. ' )" PDe la expreslen (**) se concluye que el pararnetro de forma, ~,es lapendiente de la recta de reqreslon,De la expreslon (***) se observa que el parametro de escala, a, esta enfundon del intercepto b de la recta de reqreslon y del pararnetro deescala; por 1 0 tanto:b =-f3lrdJ

. q .=)-- = I n . ' e. I ?~

() =,e f.i (4) Definicion de logaritmo.3.2 Rango de medianaParapoder trazar la recta de regresion, se debe calcular un estimadorpara la funclon de dlstrlbuclon acumulativa F(x). Este estimador, lIamadoRango de mediana, es un estimador no pararnetrtco basado en el ordende las fallas. Este aspecto implica que lamuestra de datos se debeorganizar de menor a mayor (en forma ascendente).Laexpreslon matematlca para este estimador es:

1 1 1 ' 1 " { X i ) =__ _ _ _ _ ; n . .. :. ._ - .. .: ,i -- '+ _ 1 = - ' - , -- - iFi_",.Ol, ,_hl).;\, + _.,"\. - n-~+l(5 } [1]

Donde:Wa ( I): Rango de mediana para un nivel de confianza (l-a), donde a es elnivel de significancia y toma el valor de 0 5 para este estimador

Sopote de decisionUltrasonidoVibradon

R E C IE N TA M E N TE E N T W IT TE RConfiabilidadUp: Consejo: Laestandarlzaclon es un componenteclave de cualquier programahttp://bit.ly/gT8zhAConfiabilidadUp: Evento:Implantadon Efectiva delMantenimiento Predictivehttp://bit.ly/dORJJLConfiabilidadUp: Evento: XIIICongreso Internacional deMantenimiento 2011http://www.aciemma intena nce.org/prog rama.htrrConfiabilidadUp: Consejo: EscucheyEspere http://bit.ly/hrEhNpConfiabilidadUp: Consejo: Consejo5 para Mejorar su Admlnlstraclon dePiezas de Repuesto de MROhttp://bit.ly/hcgDcMConfiabilidadUp: Evento: XIIICongreso Internacional deMantenimiento 2011,6 al8 de abril.http://bit.ly/eBzLarConfiabilidadUp: Evento: SeguridadElectrica, Marzo 30 - Abril 1 .Seminario de Capacltaclonhttp://bit.ly/fxrp4u

C O NF IA B IL lD A D .N E T E N F LlC K R
http://bit.ly/gT8zhAhttp://bit.ly/dORJJLhttp://www.aciemma/http://bit.ly/hrEhNphttp://bit.ly/hcgDcMhttp://bit.ly/eBzLarhttp://bit.ly/fxrp4uhttp://bit.ly/fxrp4uhttp://bit.ly/eBzLarhttp://bit.ly/hcgDcMhttp://bit.ly/hrEhNphttp://www.aciemma/http://bit.ly/dORJJLhttp://bit.ly/gT8zhA


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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n deWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...Fa, v1, v2: Valor critico de la dlstribucion F, evaluada en el nivel designificancia a y con grados de libertad v1 y v2.Dada la complejidad de la ecuaclon (5), generalmente el rango demediana se aproxima mediante la siguiente expreslon, exacta dentro de0.005 [1]:R A l { x - . ) = ic- 0.3 (6),. , 11,+0 .4Donde:RM(xt): Rango de mediana.i: Orden de falla.n: Numero total de datos de la muestra.Dado que la ecuaclon (5) es mas exacta, en los calculos se ernpelaraesta , Para facil itar su empleo, a contlnuaclon se presenta el codigo fuentepara crear una fundon definida por el usuario en Excel.Para crear la fundon, siganse los siguientes pasos: Abra Excel. Haqase la cornblnaclon de teclas Alt +F11. Esta acclon abrlra el editorde Visual Basic.

En el menu insertar de VB, selecclonese la opclon Modulo. En el panel derecho, coplese el siguiente codigo fuente:Public Function RangoMediana(alfa As Single, n As Long, i As Long) AsDouble,*****************************************************************************'*Esta funclon calcula el rango de mediana en funclon de la dlstrlbuclon F.*'*alfa representa el nivel de significancia con el que se calcula la dist. F.*'*n es el nurnero de puntos de la muestra. *'*i es el orden de falla. *'*****************************************************************************

Dim a As Double, f As DoubleOn Error GoTo ManejarErrora = i / (n - i + 1)f = Application.WorksheetFunction.Flnv(alfa, 2 * (n - i + 1), 2 * i)RangoMediana = a / (f + a)

Salir:Exit Function

ManejarError:Select Case Err.Number

Case 1004MsgBox "Los argumentos (n) 0 (i) no pueden ser cero.",

vbCritical + vbOKOnlyCase Else

MsgBox "Se ha generado el error" & Err.Number &_Err.Description, vbCritical + vbOKOnly

End SelectResume Salir

End Functiond d I h did d


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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n de Weibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c... Para usar la funclon creada, selecclonese Funclon del menu Insertar

de Excel. Se abre la ventana Insertar funclon, En la ventana Insertar fundon, en la lista desplegable 0 seleccionar

una categoria, selecclonese la categoria Definidas por el usuario. En el cuadro de lista Seleccionar una funclon, hagase cllc en

RangoMediana. Hagase cllc en el boton Aceptar. En la ventana Argumentos de funclon, digitese los valores de los

argumentos. Tengase en cuenta que el valor del argumento alfaslernpre es 0.5.

3.3 Pasos1.- A contlnuaclon se presenta la secuencia que se debe seguir en laapllcaclon del rnetodo de los Minimos Cuadrados.1. Asuma D (pararnetrode locallzaclon) igual cero y ordene los datos de menor a mayor. EI criteriode ordenaclon debe ser el tiempo entre fallas. Vease la tabla 1.

,~U.:, l :0,167

2 0'.167; i (}254 : (};2.55 5.256 n : : n : : i 37 O . . : D 38 : n : : i 3 3g ; O:S

1 0 1 0',:)11 0,51' 2 0.:51 3 . 0'58:3'1 4 0583-is 0583- rs 0'.'06717 n.,66718 , 0.667

14C)1 .223::5832. Calcule el rango de mediana para cada observadcn usando la ecuaclen(5) 0 (6).En nuestro caso se usara la ecuaclon (5), empleando la funclon definidapor el usuario RangoMediana. Vease la Figura 2.

=RangbMed).ana(O:5,140,A2j ; ; F . ii in g i i. M e d i a ~ a ( O . 5 : i 4 0 , A 3 j o 2 5 ; ; R a n g i i M e d X a n a ( O . 5 : i ~ 6 , A 4 j : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :I ~ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ~ : ~ : ~ : 0 ~ g : ~ : ~ : ~ h : 0 ~ r g : : ~ 3 : ~ ~ : : A $ . j : : : : :,0 ..25 =Rar:JgoMediana(Q5J 40,A6r...............................................ii3jj............. ; R a ~ g 6 : ~ i e d i a t i a ( Q . s 3 4 i 5 : A i \ .,0.333 ; ; R i in g p : M e d i it i i i( Q s : ; i4 6 , A 8 j.............................i3jj .. .... .. .. .... .. ; R a n g p M ; ; d i i ti a ( Q S : ; i .6 , A 9 j "

. .. . . .. . . . . . . . ' . . . . O .5 ; . .. . . . . . . . ' ' . . ' . . . . ~ : ~ : ~ : n ~ ~ : H : e : ~ : i : ~ : 0 ~ , ( g : ~ : : y ~ i i : A f o i .:::Fl~.r:J.~.~.tv1e~i~:~.~/9::;.:14,fi:. l1)..

Los argumentos de la funclon RangoMediana toman los siguientesvalores:Alfa=0.5; n=14o (total de puntos de la muestra); i= toma el valor indicadoen la columna A. Los valores calculados se muestran en la tabla 2.


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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n deWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...~~.'1 0_167 n _ O O c 4 ' 9 '2 ~}_~7 0 _ D 1 2 0 :3 0 _ 2 5 O _ D 1 ' 9 ~4 0 _ 2 5 D ' _ l ' l 2 ! 0 2,5 0_25 ,O_DJ3316 0:_3 "33 U '_U4047 Qj33 0 - _ , 0 4 7 58 O_333 0_054-6'9 0 :5 0051810 0.5 . 0 ' _ , 0 6 8 9 ,11 Q - _ 5 U _ D 7 1 ! W12 ' 0 , . . 5 0 ' _ , 0 8 3 1 .13 0'.583 Ong03'1 4 0'_583 0 ' _ 0 9 1 ( ' 415 0_583 Q ' _ ' l 1 0 4 5 .1'6 Ou66? 0.111-61.7 0:..667 .0:1188-18 O'_~67 ()!j'259,

1" f o 2:23:5,83 0


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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n deWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...

:l ;

Observese la anldadon de la funclon logaritmo. EIvalor del rango demediana se obtiene de los datos calculados en la columna C. Los valoresde la ordenada y se muestran en la tabla 4 .

4

Od.33

~5.30:82

. .5

- 17@9S(}."Oit91. -1.3863

0 '. 0, 33 3 . -;3.3850.-3t88'3

1405. Genere un grMico con los datos de las columna DyE.AI trazar estos puntos, se genera la recta de reqreslon, Para elloselecclonese GrMico del menu Insertar de Excel; aparece la ventanaAsistente para grMicos. En esta, escojase la operon XY(Dispersion) en lalista Tipo de grMico y siganse las instrucciones en pantalla. Vease lafigura 5

i -. .. . , .. .. .. : J ,: 5 "-.2

2y""~.6:9.I.5x-l95H'

H" = '():9464

-1 5.

t -4.-3

Fig;Uf3J5. , Trazado de fa recta de reg res iO t I1con S= [ )iPara hallar la ecuaclon de la recta de reqreslon, ernpleense las funciones:PENDIENTE(conocido_y; conocido_x) donde: conocido_y son los valoresdependientes (valores de la columna E) y conocido_x son los valoresindependientes (valores de la columna D) para estimar la pendiente de larecta; INTERSECCION.EJE(conocido_y; conocido_x) para estimar elintercepto de la recta. Para determinar el grado de correlaclon lineal delos puntos, ernpleense las funciones: PEARSON(matrizl; matriz2) dondematrizl son los valores dependientes (columna E) y matriz2 son losvalores independientes (columna D). Esta funclon devuelve el coeficientede correladon r. COEFICIENTE.R2 (conocido_y; conocido_x) devuelve elcuadrado del coeficiente de correlaclon. Estos valores, en si, representanuna especie de prueba de bondad de ajuste de la recta de reqreslon. EIcoeficiente de correladon esta indicando que tan fuerte 0 debll es larelaclon lineal entre los datos; si este valor es mas cercano a uno, hayuna fuerte dependencia lineal. Por otro lado, el coeficiente dedeterminacion, r2, esta indicando el porcentaje de los puntos que estanrelacionados linealmente.


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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Distribuci6n deWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...De donde:

EIcoeficiente de correlaclon, r, indica que hay una excelente relaclon(dependencia) lineal de los datos, ya que su valor esta muy proximo auno. EI coeficiente de determinacion, r2, indica que el 94.64% de losdatos estan relacionados linealmente. En conclusion, estos valoresindican que la muestra se comporta conforme a la fundon de densidad deWeibull.6. Estime el valor del pararnetro de forma y de escala.Dado que el para metro de forma es la pendiente de la recta de regresion,de la ecuaclon (7) se obtiene:

. J 3 = 0.6995 ( B e )De la ecuacton (4), numeral 3.1, se obtiene el valor del para metro deescala:

3.4 Consideraciones sobre el para metro de localizaci6nLas siguientes consideraciones se deben tener en cuanta al momenta deanal izar un parametro de locallzaddn diferente de cero. Veanse lasreferencias bibliograficas [1], [6]a) Si al graficar los puntos de la muestra aparece una cola de puntoshacia arriba 0 hacia abajo, es un indicativo de que el parametro delocallzeclon debe ser calculado.b) Una cola hacia abajo 0 una reducclon sublta de la pendiente sonindicativos de que un pararnetro de locallzacion poslt lvo esta presente.Vease la figura 5.c) Una cola hacia arriba 0 un incremento sublto de la pendiente sonindicativos de que un parametro de local lzaclon negativo esta presente.Este punto esta de acuerdo con el intervalo de validez de D. Vease elnumeral 2.Un pararnetro de locallzaclon negativo se presenta cuando hay unidadescon fallas en servicio, 0 unidades en servicio con defectos que causa ranfallas. Ejemplos: Defectos originados durante el ensamble. Defectos originados durante el transporte. Defectos originados durante la lnstaladon 0 montaje. Defectos originados durante el almacenamiento.d) Valores grandes del parametro de forma ([3>10) son otro indicativo deque el para metro de local lzaclon debe ser calculado.Teniendo en cuanta las consideraciones anter iores, y analizando la figura5, se procedera a calcular el pararnetro de locallzaclon.3.5 Calculo del para metro de local lzaclon 8Para el calculo del para metro 3 se usara el complemento Solver deExcel, ya que debe ser determinado por ensayo yerror.Para empezar, se debe definir la celda cambiante que, como se menclonoen el paso 3 del numeral 3.3, debe ser la celda donde se aslqnc el valorcero. Esta celda debe estar involucrada en una funclon, Vease la figura 3.EImejor estimador deli es el valor deli que proporcione el mejorajuste de la linea de reqreslcn de los datos rnuestrales. EIcoeficiente dedeterminacion, r2, proporciona esta medida [1], ya que este mide lacantidad de puntos que estan relacionados linealmente y, por 1 0 tanto, lacelda que contenga este valor sera la celda objetivo a maximizar - puesel objetivo es mejorar el ajuste de la recta de reqresfon-. Para iniciar el


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15/02/12 Articulos I Calculo de los Parametres de la Oistribuci6ndeWeibull I Confiabilidad.Net: la cultura de c...bajo del tiempo entre fallas de la muestra, el cual corresponde al dato deorden uno -0.167-. Vease la ta bla 1). Este constituye la restrlcclon enSolver. Vease la Figura 6.

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