Distribuição Weibull

Eng. Newton Jos Ferro D. Sc A-1

Anexo A

A Distribuio de Weibull na manuteno

1. INTRODUO

A distribuio estatstica de Weibull teve sua origem a partir da publicao do artigo Uma teoria estatstica de resistncia dos materiais, em 1939, pelo engenheiro sueco Ernst Hjalmar Waloddi Weibull, no Generalstabens Litografiska Anstalts Frlag (Editora do Instituto Litogrfico de Pesquisa Geral Estocolmo).

A mesma comeou a ficar conhecida a partir de 1951, com a publicao no Jornal de Mecnica

Aplicada Journal Of Applied Mechanics ASME Paper., sob o ttulo Uma funo estatstica de ampla aplicao, referente ao estudo de trao em correntes de ao, utilizando frmulas semi-empricas desenvolvidas pelo mesmo.

Para quem quizer se aprofundar no assunto, o documento original pode ser encontrado no site

http://www.barringer1.com/wa.htm, com as seguintes caractersticas:

Publicao de 1939:

Waloddi Weibull author, Professor, Royal Technical University, Stockholm, 1939

A Statistical Theory Of The Strength Of Materials, Ingenirsvetenskapsakademiens Handlingar Nr 151, 1939, Generalstabens Litografiska Anstalts Frlag, Stockholm.

This document, in English, was provided by Isamu Yoshimoto, 1-26-23-301 Kamiyoga,

Setagaya-ku, Tokyo, 158-0098, JAPAN to Dr. Abernethy. This document shows the mean rank Y-

axis plotting position used by Dr. Weibull. Later, Dr. Weibull adopted Benards median rank plotting position.

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Publicao de 1951:

A Statistical Distribution Function of Wide Applicability, Journal Of Applied Mechanics ASME Paper.

4 Meg PDF file (7 pages) This is THE hallmark Weibull paper and includes discussion in this one file!

A funo demonstrou ser adequada na aplicao da anlise de falha em equipamentos, tendo se

tornado uma das ferramentas bastante utilizada em anlises de confiabilidade.

Em resumo, a anlise de Weibull um mtodo estatstico que correlaciona os dados de falha

com as caractersticas de falhas prematuras, aleatrias, ou provocadas por desgaste.


1.1. A Distribuio de Weibull e aplicabilidade na Manuteno

A distribuio de Weibull, alm de correlacionar os dados de falha com as caractersticas da

falha, uma ferramenta muito til na anlise de falhas de equipamentos, devido aos seguintes

fatores:

Possui uma grande flexibilidade em sua Funo Densidade de Probabilidade (PDF),

possibilitando a sua utilizao em grande parte dos processos de anlise de falhas; e

Possibilita verificar e quantificar o intervalo timo para realizao da manuteno

preventiva, considerando-se apenas o fator de custo de manuteno (tratando-se de uma

funo objetiva).

1.2. Traduo parcial do artigo Uma funo estatstica de ampla aplicao

A traduo parcial do artigo apresentado por Weibull em 1951 ser utilizado como ponto de

partida a fim de melhor se compreender os parmetros da referida distribuio.

O anexo A apresenta uma reviso dos conceitos fundamentais utilizados nesse artigo.

Se uma varivel X for atribuda a indivduos de uma populao, a funo de distribuio (df -

distribution function) de X, denotada por F (X), pode ser definida como o nmero de todos os

indivduos que tm , dividida pelo total de indivduos.

Esta funo tambm representa a probabilidade P de se selecionar aleatoriamente um indivduo que tenha o valor de X igual ou menor do que x, e assim temos

Qualquer funo de distribuio pode ser escrita na forma

Embora inicialmente parea ser uma complicao, a vantagem desta transformao formal

depende da relao

O mrito desta frmula pode ser demonstrado com um problema bem simples:

Assuma que se tenha uma corrente consistindo de diversos elos. Se encontrarmos, atravs de

testes, a probabilidade de falha P de qualquer carga xaplicada a um elo individualmente, e se

desejamos encontrar a probabilidade de falha de uma corrente consistindo de nelos, temos a base da deduo da proposio de que a corrente ir se partir, caso qualquer um de seus elos se

parta. Portanto, a probabilidade de no falha da corrente , igual probabilidade da

no falha simultnea de todos os elos. Assim temos . Se ento a funo de distribuio de um elo individual possuir a forma da equao [2], obtm-se

A equao [4] apresenta a expresso matemtica apropriada do princpio de que o elo mais

fraco da corrente, ou, mais genericamente, para o tamanho do efeito da falha em materiais slidos.

O mesmo mtodo de raciocnio pode ser aplicado a um amplo grupo de situaes onde a

ocorrncia de um evento em qualquer parte do objeto pode ser considerada como tendo ocorrido

no objeto como um todo, por exemplo, o fenmeno de limites de rendimento, resistncias estticas

ou dinmicas, avarias eltricas de isolamento, vida til de lmpadas eltricas e at mesmo a morte

de um ser humano, uma vez que a probabilidade de sobrevivncia depende da probabilidade do

mesmo no ter falecido devido a diferentes causas.


Especificao da funo . A nica condio geral necessria para que esta funo

satisfaa a de ser uma funo positiva, no decrescente, com limite inferior no

necessariamente igual a zero.

A funo mais simples que satisfaz esta condio :

E assim

O mrito desta funo de distribuio pode ser encontrado no fato de que esta a expresso

matemtica mais simples na forma apropriada (equao 2) que satisfaz a condio geral

necessria. A experincia tem demonstrado que em muitos casos, ela se adequa s observaes de

uma forma melhor do que do que outras funes de distribuio conhecidas.

A objeo tem sido o fato de que esta distribuio no tem base terica. Mas na medida em que

o autor entende, existem com pouqussimas excees as mesmas objees contra todas as outras funes de distribuio, aplicadas a populaes reais nos campos naturais ou biolgicos,

pelo menos na medida em que a base terica nada tem a ver com a populao em questo. Alm

disso, totalmente intil esperar uma base terica para as funes de distribuio de varivel

aleatria, como propriedades de resistncia de materiais ou de componentes de mquinas ou o

tamanho de partculas, sendo as mesmas cinzas espalhadas, ou mesmo adultos do sexo masculino

nascidos nas ilhas britnicas.

Acredita-se que em tais casos s existe um modo prtico: testar empiricamente. De acordo com

este programa de testes a equao [5] tem sido aplicada no s ao tipo de populao para a qual

foi desenvolvida, mas tambm em populaes de campos totalmente diferentes, tendo tido

resultados bastante satisfatrios.

O autor nunca foi de opinio de que esta funo sempre vlida. Pelo contrrio, existem

muitas dvidas em relao ao termo correta funo de distribuio, pelo fato do valor correto da resistncia de um ao SAE, depender no somente do material em si, mas tambm do processo

de fabricao e de outros fatores. Na maioria dos casos espera-se que esses fatores influenciem

somente os parmetros. Contudo, acidentalmente eles podem afetar a prpria funo.

O propsito deste artigo o de ilustrar com alguns exemplos a experincia de que a funo de

distribuio na forma da equao [5] pode ter ampla utilizao.

2. OS PARMETROS DA DISTRIBUIO ESTATSTICA DE WEIBULL

A Distribuio Estatstica de Weibull pode ser utilizada na forma de at trs parmetros,

conforme apresentado a seguir:


2.1. Parmetro Livre

O parmetro livre , tambm conhecido como parmetro de localizao, tempo at a falha

inicial ou vida mnima. Adota as mesmas unidades dos dados de falha. utilizado para indicar o

valor mais provvel do tempo de vida de um equipamento at a ocorrncia da primeira falha.

Alguns autores consideram que at o tempo a taxa de falhas ser igual a zero, porm o mesmo s

ocorrer se o parmetro livre for positivo (estabelece-se a premissa de 100% de confiabilidade at o

tempo ).

Pode ocorrer o caso do parmetro livre ser negativo, indicando que a confiabilidade ser menor

do que 100% no tempo igual a zero. Isto pode ocorrer devido a problemas de transporte do material,

armazenamento incorreto e questes de manufatura, dentre outras.

Representa um deslocamento no eixo das abscissas (x), transladando o incio da distribuio

para um valor diferente de zero.

2.2. Parmetro de Forma

Parmetro de forma Modificando-se o seu valor a PDF alterada. O parmetro de forma

um nmero adimensional, com as seguintes caractersticas:

e

A seguinte relao entre o parmetro de forma e manuteno sugerida por Alan

Kardec em seu livro Manuteno Funo Estratgica:


Fator de forma muito menor do que 1

A funo da taxa de falhas decrescente, correspondendo ao incio de

funcionamento ou mortalidade infantil.

CAUSAS PROVVEIS

Servio malfeito, sem qualidade; Servio bom, material ruim; Servio bom, material bom, equipamento mal operado; e Equipamento novo, fase de ajustes.

Fator de forma muito prximo a 1

A funo da taxa de falhas constante.

CAUSAS PROVVEIS

Equipamento com taxa de falhas constante (aleatria); Erro na coleta de dados; e Operao fora das condies de projeto.

Fator de muito maior do que 1

A funo da taxa de falhas crescente.

CAUSAS PROVVEIS

No h programa de manuteno; Programa de manuteno inadequado; e Deciso gerencial de rodar at ocorrer a falha.

2.3. Parmetro de Escala

O parmetro de escala Utiliza as mesmas unidades dos dados de falha. obtido

matematicamente pela expresso . Assim, a confiabilidade obtida a partir da

expresso , transforma-se em . Como a

sobrevivncia corresponde a aproximadamente 37%, o parmetro de escala corresponde ao perodo

de ocorrncia de 63% das falhas.

2.4. As principais equaes da Distribuio de Weibull

A equao da Funo Densidade de Probabilidade da Distribuio de Weibull dada por:

A confiabilidade dos dados de falha que seguem a distribuio de Weibull, por sua vez, pode ser

encontrada por meio da seguinte equao:

O tempo mdio para falhar (MTTF) dado por:


E a varincia

Onde corresponde funo gamma.

A taxa de falhas , por sua vez dada por:

2.5. A Distribuio de Weibull com dois parmetros

A distribuio de Weibull com 2 parmetros a mais comumente utilizada. Neste caso O

parmetro livre corresponde a zero, passando as equaes da FDP e Confiabilidade a serem

assim utilizadas:

2.6. A Distribuio de Weibull Monoparamtrica

A distribuio de Weibull com 1 parmetro obtida a partir da distribuio de Weibull com 2

parmetros, assumindo-se um valor constante preestabelecido para o parmetro de forma , sendo

desconhecido o parmetro de escala. Pelo fato do fator de forma ser estabelecido a priori (por meio

da experincia, produtos similares ou bancos de dados), alguns autores a chamam de WeiBayes,

porm na realidade no se est realizando uma anlise bayesiana.

2.7. A Confiabilidade Condicional da Distribuio de Weibull

A confiabilidade condicional definida como o clculo da confiabilidade de um sistema dado

que o mesmo j operou por um tempo , e pode ser obtido a partir da seguinte equao:

Este tipo de confiabilidade til para o clculo do perodo seguinte ao burn-in ou aps um

perodo de garantia


3. OBTENO E INTERPRETAO DOS PARMETROS

3.1. Utilizao do Papel de Weibull

Uma das formas de se obter os parmetros de forma e a vida caracterstica a partir do papel de Weibull (anexo B).

O papel de Weibull utiliza escalas logartmicas e o eixo das abscissas (x) formado pelos

tempos de falha, enquanto o eixo das ordenadas (y) corresponde Funo de Distribuio

Cumulativa - F (t) que utiliza os tempos da categoria mediana (median rank - MR) obtidos a partir

da aproximao de Bernard conforme a equao a seguir:

onde: MR = categoria mediana (Median Rank);

n = tamanho da amostra;

i = i-simo tempo de falha

NOTA: Por se tratarem de nmeros medianos, os mesmos devem ser ordenados em

ordem crescente

Exemplo: Encontre os dados da categoria mediana para os seguintes dados de falha:

Encontre F(t) utilizando a categoria mediana para os seguintes tempos de falha (ti):

ORDENAO TEMPOS DE FALHA (ti) MR - F(t)

1 746 horas

2 1106 horas

3 1417 horas


ORDENAO TEMPOS DE FALHA (ti) MR - F(t)

1 746 horas 0,206

2 1106 horas 0,5

3 1417 horas 0,794

3.2. Regresso Linear da Distribuio de Weibull

Os parmetros da distribuio de Weibull podem ser obtidos a partir da sua Funo de

Distribuio Cumulativa - F (t), conforme a seguir:

Regresso linear da distribuio Weibull

onde o parmetro de forma e a vida caracterstica.


Relao entre as variveis x e y da reta de regresso linear e a respectiva distribuio

estatstica

DISTRIBUIO xi yi

exponencial ti

itF1

1ln

normal ti tFzi1

lognormal ln ti tFzi1

Weibull ln ti ln

itF1

1ln

4. CLASSIFICAO DOS DADOS DE FALHA

A tabela a seguir resume a situao dos dados de falha:

CLASSIFICAO DOS DADOS DE FALHA

Quanto origem - operacional ou dados de campo; e

- falhas geradas em testes.

Quanto ao intervalo de ocorrncia - agrupados; e

- no-agrupados.

Quanto ao tamanho da amostra - grandes amostras; e

- pequenas amostras.

Quanto censura - dados completos; e

- dados censurados.

Os dados operacionais refletem o uso normal do componente, enquanto os dados de teste so

obtidos diretamente de testes de confiabilidade.

Freqentemente os dados de campo, devido ao mtodo de coleta e registro das falhas,

podem ser agrupados em intervalos no qual as falhas individuais no so preservadas. Para grandes

amostras, dados agrupados em intervalos, podem facilitar o processo de anlise.

Uma parte dos dados de falha conhecida pelo termo dados completos. Essa expresso significa que o tempo de falha de cada unidade da amostra ou dos intervalos de todos os

componentes da amostra conhecido. Neste caso, a amostra formada apenas por dados de falha,


de forma a que todos os componentes foram observados at a falha, e todos os tempos disponveis

correspondem a ocorrncia de falhas.

A outra parte se refere censura. A mesma ocorre quando os dados esto incompletos

devido remoo de observao de pelo menos um componente antes da falha ou porque o teste

encerrado antes que todas as unidades falhem. Unidades podem ser removidas, por exemplo,

quando falham devido a outros modos de falha.

As principais caracterizaes de censura podem ser assim discriminadas:

a. Dados de censura simples. Todas as unidades tm o mesmo tempo de teste, e o teste concludo antes que todas as unidades tenham falhado. Podem ser de censura direita ou

esquerda.

Censura direita (suspenso): Os tempos de falha consideram pelo menos uma unidade censurada direita que implica em que o evento de interesse (tempo de

falha) est direita dos pontos de falha, ou seja: O componente permanece operando

e a sua falha ocorrer posteriormente ao encerramento do perodo de observao.

Pode ser sub-dividido nos tipos I e II.

- Censura tipo I Teste se encerra aps a ocorrncia de um determinado tempo t* previamente fixado.

- Censura tipo II Teste se encerra aps a ocorrncia um nmero fixo de falhas r. O tempo de teste da rth falha ser tr.

Censura esquerda: Os tempos de falha consideram pelo menos uma unidade censurada esquerda que significa que ocorreram antes do tempo de observao.

b. Dados de censura mltipla: Os tempos de teste ou de operao diferem entre as unidades censuradas (removidas, porm operando). Unidades censuradas so removidas da amostra

em tempos diversos, ou entram em servio em tempos distintos.

O registro de dados de falhas, por modo de falha, ir resultar em dados de censura mltipla

desde que as unidades sejam removidas de uma amostra em particular devido natureza de sua

falha. A censura introduz dificuldades adicionais na anlise estatstica dos tempos de falha. Ao se

ignorar unidades censuradas na anlise, pode ocorrer a eliminao de informaes valiosas e alterar

o resultado. Por exemplo, no teste tipo I ao se ignorar as unidades que permaneceriam operando,

somente as unidades menos resistentes, que falharo mais cedo, sero tratadas na anlise e a

confiabilidade do componente poder ser altamente subestimada.

5. DETERMINAO DO INTERVALO DE TEMPO TIMO (T) PARA SE EFETUAR A MANUTENO PREVENTIVA SISTEMTICA DE UM EQUIPAMENTO OU

COMPONENTE

Um equipamento ou componente submetido a um programa de manuteno sistemtica ser sempre

objeto ao longo de sua vida, de um nmero maior de intervenes, do que se somente intervenes

corretivas fossem feitas. Se o objetivo do programa minimizar os custos com o equipamento ou

componente, o fato mencionado estabelece a primeira condio a ser satisfeita para se tentar

alcanar o objetivo do programa, ou seja, os custos de manuteno preventiva sejam menores que

os custos de manuteno corretiva. Esta primeira condio expressa pela desigualdade: Kp < Kc.

Como j vimos anteriormente, o custo mdio horrio da manuteno preventiva, considerando o

modelo de falhas da distribuio de Weibull, :


C

hora

K

T t

K

T t

T tmp p c

0 0

0

Onde: t0 vida mnima ou confiabilidade intrnseca (horas, Kms, ciclos, ...)

vida caracterstica (horas, Kms, ciclos, ...)

fator de forma

A finalidade do programa, determinarmos o intervalo de tempo T entre manutenes preventivas que torne mnimo o valor da funo Cmp / hora. Mesmo quando a condio Kp < Kc se verifica, nem sempre possvel determinarmos o intervalo de tempo T que atenda o objetivo do programa, ou seja, qual a poltica mais econmica de manuteno (preventiva ou corretiva).

Para determinarmos o mnimo da funo Cmp / hora, necessrio que:

d

C T

hora

dt

mp

0 determinao de T

d

C T

hora

dT

mp2

20

restrio para que admita um mnimo

Pela derivada 1a, obtm-se:

1

0T t K

K

p

c

para: T > t0 e T > 0

Pela derivada 2a, obtm-se:

1

01

T t , e podemos chegar as seguintes concluses:

Se 1 ou , o que caracteriza taxa de falhas constante (falhas aleatrias) e decrescente (falhas precoces), respectivamente. A funo Cmp/hora(T) no admite mnimo, pois sua derivada 2a menor ou igual a zero.

Se , o que caracteriza taxa de falhas crescente (falhas por desgaste), a funo Cmp/hora (T) passa por um mnimo, pois a sua derivada 2a maior que zero.

Do que foi exposto, podemos resumir a determinao do perodo T, para uma poltica de manuteno preventiva sistemtica, cujo objetivo seja minimizar os gastos da manuteno do

equipamento ou componente, nos seguintes passos:

1o) Determinar se existe um intervalo de tempo T finito. A condio para que exista um tempo T finito, o qual torna mnimo o valor da funo Cmp/hora(T), :

desvio padro da distribuio dos tempos para falhar. vida mdia do equipamento, tempo mdio para falhar ou tempo mdio entre falhas.


Onde

Desta forma, a partir do valor do parmetro de forma, podemos estabelecer a relao com o lado

direito da inequao , conforme a tabela a seguir:

1,05 0,92 0,04

1,10 0,83 0,08

1,20 0,70 0,15

1,25 0,65 0,17

1,40 0,52 0,24

2,20 0,23 0,38

10,0 0,01 0,49

0 0,50

Analisando a desigualdade acima, podemos observar que a possibilidade de existir um tempo T finito, ser tanto maior quanto menor for o valor da relao Kp/Kc, ou quanto menor for o valor de

2/2 ou ambos. Se Kp > Kc a condio acima no ser satisfeita. Caso a condio acima se verifique, uma manuteno preventiva sistemtica se justifica, e um

perodo padro T pode ser determinado. Se a condio no se verifica, o perodo T tende a infinito e a poltica de manuteno ser intervir no equipamento ou componente somente quando

ocorrer falhas.

2a) Determinao do perodo padro timo T:

Temos, que:

1

0T t K

K

p

c

Logo: T t K

K

p

c

01

1

1

Donde: T tK

K

p

c

0

11

1

, para:

6. O EXCEL E A DISTRIBUIO DE WEIBULL

6.1. Como o Excel apresenta a funo de Weibull

O EXCEL possui a funo WEIBULL onde informa que retorna a distribuio de Weibull, porm se a acessarmos, veremos os seguintes argumentos:


Onde:

x o valor no qual se avalia a funo, um nmero no negativo;

ALFA o parmetro da distribuio, um nmero positivo;

BETA o parmetro da distribuio, um nmero positivo; e

CUMULATIVO um valor lgico: para a funo cumulativa, use VERDADEIRO; para a funo de probabilidade de massa, use FALSO.

Em complemento, se entrarmos no tpico ajuda encontraremos o seguinte texto:

Funo WEIBULL

Retorna a distribuio Weibull. Use esta distribuio na anlise de confiabilidade, como no clculo

do tempo mdio de falha para determinado dispositivo.

Sintaxe

WEIBULL(x;alfa;beta;cumulativo)

X o valor no qual se avalia a funo.

Alfa um parmetro da distribuio.

Beta um parmetro da distribuio.

Cumulativo determina a forma da funo.

Comentrios


Se x, alfa ou beta no for numrico, WEIBULL retornar o valor de erro #VALOR!.

Se x < 0, WEIBULL retornar o valor de erro #NM!.

Se alfa 0 ou se beta 0, WEIBULL retornar o valor de erro #NM!.

A equao para a funo de distribuio cumulativa Weibull :

A equao para a funo de densidade de probabilidade Weibull :

Quando alpha = 1, WEIBULL retornar a distribuio exponencial com:

Exemplo

1

2

3

4

A B

Dados Descrio

105 O valor em que a funo deve ser avaliada

20 O parmetro alfa para a distribuio

100 O parmetro beta para a distribuio

Frmula Descrio (resultado)

=WEIBULL(A2;A3;A4;VERDADEIRO) A funo de distribuio cumulativa Weibull

para os termos acima (0,929581)

=WEIBULL(A2;A3;A4;FALSO) A funo de densidade da probabilidade

Weibull para os termos acima (0,035589)


6.2. Como interpretar os argumentos apresentados

A partir do exemplo e dos argumentos apresentados, em conjunto com os conceitos apresentados

neste treinamento, podemos fazer a seguinte correlao:

ARGUMENTOS DO EXCEL ARGUMENTOS UTILIZADOS

NA PRTICA

X o valor no qual se avalia a

funo.

Tempo de Operao em que se

deseja analisar a funo de

Weibull

Alfa um parmetro da

distribuio.

Parmetro de Forma ()

Beta um parmetro da

distribuio.

Parmetro de escala ()

Cumulativo determina a forma

da funo.

VERDADEIRO retornar a F(t)

(Funo de Distribuio

Cumulativa) no perodo

considerado (argumento X);

FALSO retornar a f(t) (Funo

Densidade de Probabilidade) no

perodo considerado (argumento

X).

Desta forma, para utilizarmos a funo de Weibull a partir do EXCEL, devemos conhecer os

valores dos parmetros de forma e de escala.

Para encontr-los podemos utilizar a tabela de regresso linear que apresenta a Relao entre as

variveis x e y da reta de regresso linear e a respectiva distribuio estatstica. A partir da frmula R(t) = 1 F(t) podemos encontrar a confiabilidade para o perodo considerado.

7. ESTUDO DE CASOS TPICOS OBTIDOS

7.1. Estudo de Caso 1 Anlise de falhas de um caminho fora de estrada

Determinada empresa de grande porte adquiriu 147 caminhes, distribudos em diversas reas,

desenvolvidos especialmente para serem utilizados fora de estrada em terreno agressivo. No perodo

de seis anos, 54 caminhes apresentaram falha nos terminais esfricos da barra de direo,

conforme a tabela a seguir:


Relao dos caminhes com terminais esfricos da barra de direo danificados:

CAMINHO HORMETRO HODMETRO

1 721,7 016686

2 729,2 014564

3 878,8 021733

4 892,2 020348

5 842,4 018914

6 612,4 025515

7 793,5 020365

8 1078,6 013226

9 1034,8 029502

10 INOP 010346

11 1081,6 026546

12 428,6 012029

13 397,7 006567

14 768,1 021270

15 224,1 007361

16 1797,4 017465

17 912,9 008284

18 285 002937

19 744,6 012830

20 1157,1 020423

21 598,1 011618

22 AVARIADO 009142

23 693,9 012363

24 750,6 012556

25 581,5 009338

26 992,2 011661

27 1272,0 018655

28 746,4 001521

29 NO LAN. 001273


CAMINHO HORMETRO HODMETRO

30 707,0 011277

31 808,5 013323

32 690,7 001694

33 475,6 001080

34 563,0 001387

35 665,5 001589

36 1410,4 022986

37 1528,6 035219

38 789,6 019336

39 961,0 021659

40 828,3 018522

41 1012,8 023705

42 857,2 021727

43 695,4 016840

44 656,1 015639

45 572,4 013668

46 1301,3 033520

47 1045,2 025443

48 1327,5 032134

49 882,6 024904

50 1005,4 027621

51 1102,4 027450

52 1104,7 029120

53 997,8 023888

54 410,4 011948

Como a empresa no possua o MTTF (mean time to failure tempo mdio para falhar) para o referido componente e a utilizao dos caminhes pde ser acompanhada por intermdio do

hodmetro e do hormetro, foram realizadas inicialmente anlises distintas considerando-se o

hodmetro e o hormetro, consolidando-se numa anlise conjunta, a partir da distribuio de

Weibull.

Os resultados obtidos utilizando-se o software Reliability Analysis1 encontram-se descritos a seguir:

1 Este software parte integrante do livro An Introduction to Reliability and Maitainnability Engineering de Charles E. Ebeling


Anlise pela distribuio de Weibull com 2 parmetros

DADOS GERAIS

Censura tipo I;

Tempo de operao observado 2000 horas;

Amostra 147;

Falhas 51

ANLISE DO HORMETRO

REGRESSO LINEAR ESTIMADOR DE MAXIMA VEROSSIMILHANA (MLE)

Parmetro de forma () 2,40 Parmetro de forma () 1,24

Parmetro de escala () 1776 horas Parmetro de escala () 3822 horas

Coeficiente de correlao 0,97 MTTF 3665 horas

Coeficiente de determinao 0,95

DADOS GERAIS

Censura tipo I;

Tempo de operao observado 36000 km;

Amostra 147;

Falhas 55

ANLISE DO HODMETRO

REGRESSO LINEAR ESTIMADOR DE MAXIMA

VEROSSIMILHANA (MLE)


Parmetro de escala () 72636 Parmetro de escala () 71183 km

Coeficiente de correlao 0,98 MTTF 68842 km



Anlise pela distribuio de Weibull com 3 parmetros

DADOS GERAIS

t0 = 200 horas

Censura tipo I;

Tempo de operao observado 2000 horas;

Amostra 147;

Falhas 51

ANLISE DO HORMETRO




Parmetro de escala () 2256 horas Parmetro de escala () 4931

horas

Coeficiente de correlao 0,964 MTTF 5202 horas


DADOS GERAIS

t0 = 1000 km

Censura tipo I;

Tempo de operao observado 36000 km;

Amostra 147;

Falhas 55

ANLISE DO HODMETRO




Parmetro de escala () 133306 km Parmetro de escala () 83821 km

Coeficiente de correlao 0,96 MTTF 87992 km



ANLISE

Por se tratarem de dados suspensos, a estimativa deve ser realizada utilizando o MLE. Desta

forma os coeficientes de correlao e determinao no devem ser considerados.

Aps os dados de falha terem sido ordenados (critrio mediano Median rank), foi realizada uma crtica para verificao da existncia de dados duvidosos ou incompletos e observado que uma

distribuio Weibull de 3 parmetros atenderia melhor do que a de 2 parmetros, em virtude da

existncia de dados com valores muito menores em relao ao conjunto de dados de falha.

Assim a anlise apresentada utilizou os dados da distribuio Weibull de 3 parmetros, em que

o parmetro de forma ficou abaixo de 1, tanto para o hormetro como para o hodmetro, indicando

uma taxa de falhas decrescente, representando falhas prematuras.

As causas provveis para essa relao so:

Manuteno realizada no atender aos requisitos esperados

Esta causa pode ser desconsiderada, em virtude dos manuais tcnicos do fabricante no

preverem nenhum tipo de manuteno para o componente, devendo o mesmo ser inspecionado e

substitudo quando necessrio.

A manuteno atende aos requisitos esperados, porm o mesmo no ocorre com o material utilizado

Desconsiderando-se a primeira causa, a segunda no pode ser descartada, devendo ser

analisada detalhadamente, por ser potencial candidata causa da falha.

A manuteno e o material utilizado atendem aos requisitos esperados, porm existem deficincias na operao do material; e

Desconsiderando-se as duas causas iniciais, a terceira ainda no pode ser descartada,

todavia, a princpio, a Vtr tem sido utilizada dentro das especificaes para a qual foi projetada.

Equipamento novo, fase de ajustes.

A resposta para esta questo depende do fabricante, necessitando-se de uma realimentao

do processo em relao ao MTTF do componente indicado pelo fabricante da pea, assim como dos

dados de MTTF de outros usurios desse tipo de caminho especial.

Ao se analisar as causas provveis mais comuns identificadas em relao ao problema em

questo, no puderam ser descartadas:

a questo do material no atender aos requisitos esperados;

tratar-se de um projeto em fase de ajustes; e

tratar-se de deficincia na operao do material.

CONSIDERAES FINAIS

Comparando-se os dados de falha com os tempos mdios para falhas de 87.992 Km e 5.202

horas para o hodmetro e hormetro, respectivamente, obtidos por intermdio da distribuio

Weibull com trs parmetros, verifica-se que trata-se de uma falha prematura, indicando grande

possibilidade do material no atender aos requisitos esperados, justificando um recall do componente em todos os caminhes especiais da empresa.

Ressalta-se que esta empresa utiliza apenas peas genunas na manuteno desses caminhes

e que o seu pessoal de operao e de manuteno foram treinados diretamente pelo fabricante.


Desta forma, para o aprofundamento da anlise do processo em questo, faz-se necessria a

identificao do MTTF do componente, por parte do fabricante, assim como o posicionamento

oficial da referida organizao em relao ao problema descrito.

7.2. Estudo de Caso 2 Parada no programada Caminhes Fora de Estrada

RELATRIO DE ANLISE DE FALHAS (parcial)

Objetivo

Analisar e identificar as causas razes das falhas, gerir suas respectivas aes de bloqueio em

decorrncia da Parada no programada trs caminhes fora de estrada modelo xxx por um perodo

de 24 horas cada um, devido falha no amortecedor dianteiro direito de marginal de manuteno no

valor de R$ 50.000,00 gerando uma indisponibilidade de 72 horas correspondente a 0,95% da DF

no ms de junho e 0,48% em (ms) de (ano).

Sumrio

Sumrio executivo

Histrico

Inspeo no campo

Inspeo dos componentes

Mxima Garantia

Grfico de distribuio de vida

Definio de confiabilidade e seus termos

Sumrio executivo

Problema: Parada no programada de trs dos sete caminhes fora de estrada modelo xxx nmeros

aaa-bbb-ccc devido vazamento de leo pela vedao da suspenso dianteira lado direito com vida

mdia de apenas 4403 horas com interrupo da produo e custos marginais de manuteno.

Abordagem: Reuniu-se equipe de Manuteno no dia xx de (ms) de (ano) para proceder o

levantamento de dados para a investigao;

Resultados: durante a realizao do estudo houve a ocorrncia de mais duas, o que s confirma a

abordagem da anlise em que h problemas de materiais do selo e, mesmo sem a desmontagem dos

cilindros para saber se o kit de selagem o original, ou de transio ou o da nova fabricao , o modo de falha tem fundamentos para solicitao de garantia.

Comentrios: ao se aplicar a ferramenta de confiabilidade atravs dos parmetros de Weibull se obteve um fator de forma (Beta) de 8,8 e vida caracterstica (Eta) de 4658horas. Abernethy

(2000) comenta que valores de Beta > 4 implicam em idade avanada ou fim de vida , com desgaste

rpido a partir de um certo ponto ou tempo de uso, em que a falha tpica por propriedade dos

materiais, embora o componente esteja respondendo dentro do que se espera do material e a

possibilidade falhas imprevistas sejam muito pequenas.

Por outro lado, com este valor de Eta, significa que provvel que 63% das suspenses j tero

falhado com 4658 horas. Portanto, necessrio que seja revisto o tipo de material aplicado no selo e

se requeira uma garantia do fornecedor pelas falhas ocorridas.


Aes:

1-Solicitar garantia do fornecedor para as suspenses instaladas nos equipamentos adquiridos;

2-Adquirir peas, componentes e ferramentas reserva para realizar manuteno corretiva;

3-Instalar um isolamento trmico na descarga prximo ao amortecedor (Paliativo);

4-Revisar Plano de Manuteno sistemtica para substituio dos amortecedores;

5-Informar sobre a necessidade de melhoria dos acessos.

7.3. Estudo de Caso 3 Determinao do intervalo timo de manuteno

A Unidade de Direo Hidrosttica (HSU), dentre outras funes, responsvel pelo sistema

de direo de um veculo especial sobre lagartas. A mesma passou a apresentar problemas em sua

regulagem, fazendo com que o veculo tenha direo irregular, mudando de direo mesmo com os

controles na posio de linha reta.

Enquanto se tenta identificar a causa da falha, resolveu-se estabelecer um intervalo timo para

realizao de inspees na regulagem do sistema, como manuteno preventiva. Para tanto foi

realizada uma anlise paramtrica tendo sido encontrado um fator de forma () igual a 1,25.

Assumindo-se que a relao corresponde a 0,16 (para atender a inequao

conforme tabela, para = 1,25), temos:

e obteramos o intervalo T= 4840 milhas a partir da

equao T tK

K

p

c

0

11

1

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Distribuição Weibull