Meli Muchlian Distribusi Maxwell-Boltzmann Page 1

DISTRIBUSI MAXWELL-BOLTZMAN

Salah satu statistik klasik yang terkenal adalah statistik Maxwell- Boltzmann. Statistik ini

memandang enam dimensi pergerakan molekul, yakni tiga dimensi posisi dan tiga dimensi

kecepatan. Ruang enam dimensi ini disebut ruang fasa. Ruang fasa masih dibagi lagi ke dalam

volume kecil enam dimensi yang disebut sel.

Molekul terbagi di dalam sel dan terjadilah distribusi molekul menurut sel. Distribusi jumlah

molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut status makro dari system,

sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap status makro disebut status mikro

dari sistem. Jumlah status mikro terhadap status makro tertentu dinamakan probabilitas

termodinamik.

A. Distribusi kecepatan dan energy kinetic partikel

Gas terdiri dari atom atau molekul. Atom-atom atau molekul tidak benar-benar

berinteraksi satu sama lain kecuali melalui tabrakan. Dalam gas nyata ada keseimbangan distribusi

kecepatan. Distribusi ini disebut Distribusi Maxwell-Boltzman yang bergantung pada suhu, seperti

yang ditunjukkan Gambar 1. Nilai suhu menentukan kurva kecepatan molekul.

Gambar 1. Kecepatan partikel bervariasi dengan suhu mutlak. Namun, distribusi memiliki profil

yang sama, distribusi didorong ke kiri dan ke atas sebagai penurunan suhu, dan didorong ke kanan

dan ke bawah dengan naiknya suhu.

Hal diatas menunjukkan bahwa energi kinetik rata-rata sebuah atom atau molekul, <1/2

mv2>, berbanding lurus dengan suhu mutlak T. Misalnya, untuk gas monoatomik seperti neon, <1/2

mv2> =3/2 kT, di mana m adalah massa atom dan k adalah konstanta Boltzman. Kuadrat kecepatan

rata-rata meningkat dengan kenaikan suhu.

Distribusi Maxwell-Boltzman juga dapat digunakan untuk menjelaskan bagaimana hidrogen

dan helium dalam atmosfer bumi menghilang dan menunjukkan nitrogen dan oksigen. Untuk gas

Meli Muchlian Distribusi Maxxwell

molekul seperti oksigen dan nitrogen yang memiliki dua atom dalam

terdapat hubungan hubungan. <1/2 mv

Akar kuadrat dari <v2>, yang disebut

seberapa cepat atom atau molekul bergerak

atom nitrogen karena massa molekul

kecepatan rata-root- square helium

sebuah molekul nitrogen adalah tujuh

dan oksigen, di atmosfer bumi masing

B. Fungsi Distribusi Maxwell-

Maxwell dan Boltzman menurunkan suatu persamaan yang menyatakan distribusi partikel di

dalam system yang kemudian dikenal dengan

dimana:

• Ni adalah jumlah partikel dalam keadaan

• εi adalah harga kuantum energi (tingkat energ

• gi adalah degenerasi tingkat energi i, jumlah

dengan energi εi

• µ adalah potensial kimia

• k adalah konstanta Boltzmann

• T adalah temperatur absolut

• N adalah total jumlah partikel

• Z adalah fungsi partisi

Selain itu fungsi distribusi juga dinyatakan sebagai:

dimana indeks i menentukan keadaan tertentu dari

energi εi.

Meli Muchlian Distribusi Maxxwell - Boltzmann

molekul seperti oksigen dan nitrogen yang memiliki dua atom dalam molekul (diatomic)

2 mv2> = 5/2 kT,

yang disebut kecepatan root-mean-square (Vrms) merupakan

bergerak. Vrms untuk hidrogen adalah kali lebih besar dari

molekul nitrogen empat belas kali lipat dari hidrogen

adalah kali lebih besar dibandingkan nitrogen

tujuh kali atom helium. Nilai Vrms dari hidrogen,

masing-masing, 1,93 km/s, 1,37 km/s, 0,52 km/s, dan

-Boltzman

dan Boltzman menurunkan suatu persamaan yang menyatakan distribusi partikel di

dalam system yang kemudian dikenal dengan Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzman,

adalah jumlah partikel dalam keadaan i

(tingkat energi) keadaan ke-i

adalah degenerasi tingkat energi i, jumlah keadaan partikel (tidak termasuk

Selain itu fungsi distribusi juga dinyatakan sebagai:

dimana indeks i menentukan keadaan tertentu dari pada himpunan dari semua

Page 2

(diatomic), maka

merupakan ukuran

kali lebih besar dari

idrogen. Demikian pula,

nitrogen karena massa

, helium, nitrogen,

dan 0,48 km/s.

dan Boltzman menurunkan suatu persamaan yang menyatakan distribusi partikel di

, yaitu

partikel (tidak termasuk ‘partikel bebas")

pada himpunan dari semua keadaan dengan

Meli Muchlian Distribusi Maxxwell

Statistik Maxwell-Boltzman sering digambarkan sebagai statistik partikel klasik

Dengan kata lain konfigurasi partikel A dalam keadaan 1 dan partikel B

dengan kasus di mana partikel B dalam keadaan 1 dan partikel A dalam keadaan 2.

Maxwell-Boltzmann sangat berguna untuk mempelajari gas

C. Turunan Distribusi Maxwell

Dalam turunan ini, distribusi Boltzmann diperoleh dengan menggunakan asumsi

terbedakan, meskipun koreksi ad hoc untuk menghitung Boltzmann diabaikan, hasilnya tetap

berlaku. Misalkan kita memiliki sejumlah tingkat energi, diberi label indeks i, tiap tingkat memili

energi εi dan berisi total partikel Ni.

mengasumsikan hanya ada satu cara untuk menempatkan partikel Ni ke tingkat energi i.

Banyaknya cara berbeda mem

memilih 2 objek dari objek N, dengan demikian N (N

urutan tertentu dipandang N!/(N-n)!. Jumlah cara memilih 2 objek dari objek N tanpa

N(N-1) dibagi dengan 2 jumlah cara

objek dari objek N tanpa memperhatikan urutan

memiliki satu set kotak nomor 1, 2, 3…k

menempatkan mereka dalam kotak 1,

menempatkan mereka dalam kotak 2

Jika kotak-i memiliki "degenerasi" dari gi, yaitu memiliki

untuk mengisi kotak-i dalam jumlah

maka jumlah cara untuk mengisi kotak

objek Ni dalam kotak gi. Banyaknya cara menempatkan objek Ni dibedakan dalam kotak gi adalah

. Jadi banyaknya cara (W) atom N dapat diatur

tingkat ke-i memiliki atom Ni adalah:

Untuk menemukan Ni dengan

Maximum dan ln (W) dicapai oleh nilai

maka:

Dengan enggunakan pendekatan Stirling untuk

Meli Muchlian Distribusi Maxxwell - Boltzmann

Boltzman sering digambarkan sebagai statistik partikel klasik

Dengan kata lain konfigurasi partikel A dalam keadaan 1 dan partikel B dalam keadaan 2

dengan kasus di mana partikel B dalam keadaan 1 dan partikel A dalam keadaan 2.

Boltzmann sangat berguna untuk mempelajari gas.

Maxwell-Boltzman

, distribusi Boltzmann diperoleh dengan menggunakan asumsi

bedakan, meskipun koreksi ad hoc untuk menghitung Boltzmann diabaikan, hasilnya tetap

Misalkan kita memiliki sejumlah tingkat energi, diberi label indeks i, tiap tingkat memili

i dan berisi total partikel Ni. Awalnya kita mengabaikan masalah degenerasi:

mengasumsikan hanya ada satu cara untuk menempatkan partikel Ni ke tingkat energi i.

Banyaknya cara berbeda memilih satu dari objek N dalam N yang terlihat

memilih 2 objek dari objek N, dengan demikian N (N - 1) dan bahwa pemilihan n objek dalam

n)!. Jumlah cara memilih 2 objek dari objek N tanpa

jumlah cara yaitu 2!. Hal ini dapat dilihat bahwa jumlah cara memilih n

objek dari objek N tanpa memperhatikan urutan dengan koefisien binomial: N!/(N

1, 2, 3…k, jumlah cara memilih objek N1 dari objek N dan

menempatkan mereka dalam kotak 1, kemudian memilih objek N2 dari sisa

menempatkan mereka dalam kotak 2 dan sampai berikutnya adalah:

i memiliki "degenerasi" dari gi, yaitu memiliki sub-kotak gi, sehingga cara apapun

jumlah sub kotak diubah dengan cara mengisi kotak

maka jumlah cara untuk mengisi kotak-i harus ditingkatkan dengan banyaknya cara mendistribusikan

objek Ni dalam kotak gi. Banyaknya cara menempatkan objek Ni dibedakan dalam kotak gi adalah

atom N dapat diatur di tingkat energi i memiliki keadaan

i memiliki atom Ni adalah:

dengan W maksimal, jumlah partikel dan energi haruslah

dan ln (W) dicapai oleh nilai Ni yang sama. Dengan menggunakan pengali Lagrange

enggunakan pendekatan Stirling untuk faktorial

Page 3

Boltzman sering digambarkan sebagai statistik partikel klasik “erbedakan”.

keadaan 2 berbeda

dengan kasus di mana partikel B dalam keadaan 1 dan partikel A dalam keadaan 2. Statistik

, distribusi Boltzmann diperoleh dengan menggunakan asumsi partikel

bedakan, meskipun koreksi ad hoc untuk menghitung Boltzmann diabaikan, hasilnya tetap

Misalkan kita memiliki sejumlah tingkat energi, diberi label indeks i, tiap tingkat memiliki

kita mengabaikan masalah degenerasi:

mengasumsikan hanya ada satu cara untuk menempatkan partikel Ni ke tingkat energi i.

yang terlihat. Berbagai cara

1) dan bahwa pemilihan n objek dalam

n)!. Jumlah cara memilih 2 objek dari objek N tanpa menggunakan

t dilihat bahwa jumlah cara memilih n

koefisien binomial: N!/(N - n)!n!. Jika kita

dari objek N dan

dari sisa objek N-N1 dan

gi, sehingga cara apapun

mengisi kotak yang berbeda,

i harus ditingkatkan dengan banyaknya cara mendistribusikan

objek Ni dalam kotak gi. Banyaknya cara menempatkan objek Ni dibedakan dalam kotak gi adalah

keadaan gi sehingga

haruslah tetap. W

engan menggunakan pengali Lagrange

Meli Muchlian Distribusi Maxxwell

kita mendapatkan:

Kemudian:

Akhirnya:

Untuk memaksimalkan persamaan

sesuai dengan yang ekstrim lokal:

Dengan menyelesaikan persamaan di atas (

Secara termodinamika bahwa β = 1/kT mana k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah

temperatur, dan bahwa α = -µ/kT mana

kadang-kadang ditulis:

dimana z = exp (µ / kT) adalah mutlak.

Cara lainnya,

untuk mendapatkan jumlah populasi

dimana Z adalah fungsi partisi yang didefinisikan oleh:

Meli Muchlian Distribusi Maxxwell - Boltzmann

persamaan di atas kita terapkan teorema Fermat (titik stasioner),

Dengan menyelesaikan persamaan di atas ( ) kita sampai ke sebuah persamaan

β = 1/kT mana k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah

/kT mana µ adalah potensial kimia, sehingga akhirnya:

/ kT) adalah mutlak.

jumlah populasi

dimana Z adalah fungsi partisi yang didefinisikan oleh:

Page 4

di atas kita terapkan teorema Fermat (titik stasioner),

persamaan untuk Ni:

= 1/kT mana k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah

sehingga akhirnya: