Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & ? Â· Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika)

Embed Size (px)

Text of Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & ? Â· Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan...

  • Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

    6

  • Outline

    Distribusi Variabel Acak Diskrit

    Distribusi Binomial

    Distribusi Multinomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    2

  • Distribusi Probabilitas

    Adalah sebuah susunan distribusi yang

    mempermudah mengetahui probabilitas

    sebuah peristiwa / merupakan hasil dari

    setiap peluang peristiwa 3

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • Variabel Acak/Random

    Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat

    bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam

    suatu ruang sampel

    Misal: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali, maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau

    6 kali merupakan kesempatan

    4

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • Macam Variabel Acak/Random

    Variabel Acak Diskrit

    Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.

    Nilainya merupakan bilangan bulat & asli, tidak berbentuk pecahan

    Contoh: Banyaknya pemunculan

    angka/gambar dalam pelemparan sebuah koin

    Jumlah anak dalam keluarga

    Variabel Random Kontinu

    Variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai2 pada suatu interval tertentu

    Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan

    Contoh: Pada label kurva baja tertulis

    diameter 2 0,0005 mm. sehingga daerah hasil variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 x 2,0005; x adalah bilangan real}

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    5

  • 1. Distribusi Binomial suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

    bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai

    dengan proses Bernoulli.

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    6

  • Proses Bernoulli 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    7

    usaha

    Percobaan terdiri dari beberapa usaha

    t i a p - t i a p u l a n g a n percobaan bebas satu sama lainnya.

    Probabilitas kesuksesan

    tidak berubah dari

    percobaan satu ke

    percobaan lainnya. Persyaratan:

    Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

    Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

    Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.

    Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

  • perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5

    kali Sisi

    gambar Sisi angka

    Dua macam kartu yang diambil berturut-turut

    dengan label ; merah : berhasil hitam : gagal

    berhasil gagal

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    8

  • Distribusi Binomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    9

    Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan:

    kesuksesan dengan probabilitas p kegagalan dengan probabilitas q = 1 p

    maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu

    banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

    0 1 2x n xn

    b(x;n,p) p q ;x , , ,....,nx

    = =

    Di mana :

  • Contoh

    Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu memproduksi 3 barang, berapakah probabilitas yang diperoleh, jika:

    a. Satu barang cacat b. Dua barang baik c. Maksimum dua barang cacat

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    10

    maka akan diperoleh ruang sampel sbb:

    S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc}

    b = barang baik

    c = barang cacat

  • Solusi:

    Probabilitas nilai x, yaitu: X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8 X = 1, nilai probabilitasnya = p(x = 1) = 3/8 X = 2, nilai probabilitasnya = p(x = 2) = 3/8 X = 3, nilai probabilitasnya = p(x = 3) = 1/8

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    11

    Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = , q =

    x = banyaknya barang yang baik n = 3

    Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah:

    sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc

    x 3 2 2 2 1 1 1 0

    Dengan x = 0, 1, 2, 3

  • Solusi: a. Jika peristiwa A satu barang cacat, maka A mempunyai

    ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} p(A) = 3/8

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    12

    b. Jika peristiwa B adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} p(B) = 3/8

    Dengan distribusi binomial x = 2 1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2

    Dengan distribusi binomial x = 2 2 barang baik

  • Solusi:

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    13

    c. Jika peristiwa C adalah memproduksi maksimum dua barang cacat, maka C mempunyai ruang sampel : S = { bbb, bcb, bcb,cbb, ccb, cbc, bcc} p(C) = 7/8

    Dengan distribusi binomial x = 1, 2 dan 3 Maksimum 2 barang cacat, x 0

    1

  • Tabel Binomial - Cara membaca Untuk n=15, p=0.4 ;

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    14 n r p 0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .

    15 1

    2 0.0271

    : : :

    8 0.9050

    9 0.9662

    : :

    15

    9

    015 0 4 0 9662

    xb(x; ; . ) .

    =

    =

    b(x;15;0.4)=0.0271x=0

    2

    8

    015 0 4 0 9050

    xb(x; ; . ) .

    =

    =

  • 15

    Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a. sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b. ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c. tepat 5 orang yg sembuh

    Penyelesaian: Misal : X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diketahui : p = 0.4 n = 15

    a)

    Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

    [ ]9

    0

    10 1 10 1 0 1 9

    1 15 0 4

    1 0 96620 0338

    x

    P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

    b(x; ; . ) lihat tabel

    ..

    =

    = < = = + = + =

    =

    =

    =

    Contoh

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • 16 b)

    Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

    8 2

    0 0

    3 8 8 2

    15 0 4 15 0 4

    0 9050 0 02710 8779

    x x

    P( X ) P(X ) P(X )

    b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

    . .

    .

    = =

    =

    =

    =

    =

    c)

    Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859

    5 4

    0 0

    5 5 15 0 4 5 4

    15 0 4 15 0 4x x

    P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )

    b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

    0.4032 - 0.2173 0.1859

    = =

    = = =

    =

    =

    =

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • Distribusi Binomial Kumulatif

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    17

    Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

    )(...)2()1()0(

    )(

    PBK

    0

    0

    nXPXPXPXP

    xXP

    qpC

    n

    x

    n

    x

    xnxxn

    =++=+=+==

    ==

    =

  • Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

    =

    =r

    xpnxbpnrB

    0),;(),;(

    B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    18

  • Contoh Soal u/ Tabel Binomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    19

    Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT. Makmur Jaya

    adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan

    2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

    Berapa probabilitas ?

    1. Ke-2 mesin cuci berwarna merah

    2. Ke-2 mesin cuci berwarna putih

    3. Berwarna merah minimal 1

    Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan

    Tabel Distribusi Binomial Kumulatif.

  • Tabel Distribusi Binomial

    p = , q = , dan n=2

    X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

    Dari tabel distribusi binomial :

    Nilai x 0 1 2

    Probabilitas 0,2500 0,500 0,2500

    1. Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah dapat ditentukan x=2, P = 0,2500

    2. Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih dapat ditentukan x=0, P = 0,2500

    3. Probabilitas berwarna merah minimal 1 dapat ditentukan dengan nilai x=1 ditambah nilai x = 2. sehingga: 0,5000 + 0,2500 = 0, 7500

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    20

  • Tabel Distribusi Binomial Kumulatif

    p = , q = , dan n=2

    X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

    Dari tabel distribusi binomial kumulatif:

    Nilai x 0 1 2

    Probabilitas 0,2500 0,7500 1,0000

    1. Probabilitas ke-2 mesin berwarna merah = P(x=2) P(x=1) = 1,0000- 0,7500= 0,2500

    2. Probabilitas ke-2 mesin berwarna putih = P(x=0) = 0,2500

    3. Probabilitas berwarna merah minimal 1 = {P(x=1) P(x=0)} + {P(x=2) P(x=1)} = {0,7500 - 0,2500} + {1,0000 - 0,7500} = 0,7500

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    21

  • Distribusi Multinomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    22

    Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah

    sukses dari n percobaan yang independen, d