2. DISTRIBUSI RATA RATA

Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran terhingga N dengan parameter rata rata dan simpangan baku . Dari populasi ini diambil sampel acak berukuran n. jika sampling dilakukan tanpa pengembalian, kita tahu semuanya ada buah sampel yang berlainan. Untuk semua sampel yang didapat, masing masing dihitung rata rata nya. Dengan demikian diperoleh buah rata rata. Anggap semua rata rata ini sebagai data baru, jadi didapat kumpulan data yang terdiri atas rata rata dari sampel sampel. Dari kumpulan ini kita dapat menghitung rata rata dan simpangan bakunya. Jadi didapat rata rata daripada rata rata, diberi simbul ( baca : mu indeks eks garis ), dan simpangan . baku dari pada rata rata, diberi simbul ( baca : sigma indeks eks garis ).

Contoh :

Diberikan sebuah populasi dengan N = 10 yang data nya : 98, 99, 97, 98, 99, 98, 97,97,98, 99 Jika dihitung, populasi ini mempunyai = 98 dan = 0,78. Diambil sampel berukuran n = 2. Semuanya ada = 45 buah sampel. Untuk setiap sampel kita hitung rata-ratanya. Data dalam tiap sampel dan rata-rata tiap sampel diberikan dalam data berikut ini.

Jumlah ke 45 buah rata rata = 4410. Maka rata ratanya untuk ke 45 rata rata ini = = 98

Jadi

Simpangan baku ke 45 rata rata diatas juga dapat dihitung.

Besarnya adalah :

Tetapi rata rata populasi = 98 dan simpangan baku selanjutnya kita hitung :

Ternyata bahwa berlaku :

X (1)

=

Jika N cukup besar dibandingkan terhadap n, maka berlaku hubungan :

X (2)

Untuk pengunaan, rumus X(2) cukup baik apabila (n/N) 5%

Dari uraian diatas didapat :

Jika sampel acak berukuran n diambil dari sebuah populasi berukuran N dengan rata rata dan simpangan baku , maka distribusi rata rata sampel mempunyai rata rata dan simpangan baku seperti dalam rumus X(1) jika (n/N) > 5%, seperti dalam rumus X(2) jika (n/N) 5%.

dinamakan kekeliruang standar rata rata atau kekeliruan baku rata rata atau pula galat baku rata rata. Ini merupakan ukuran variasi rata rata sampel sekitar rata rata populasi .

, mengukur besarnya perbedaan rata rata yang diharapkan dari sampel ke sampel.

Dari daftar X(1) kita dapat menghitung frekuensi rata rata dan juga peluangnya. Untuk rata rata 97 misalnya, frekuensinya f = 3 sedangkan peluangnya p = 3/45 = 1/15. Frekuensi dan peluang untuk rata rata lainnya dapat dihitung. Hasilnya dapat dilihat dalam daftar X(2).

Kita lihat bahwa rata rata untuk semua sampel membentuk sebuah distribusi peluang. Untuk penggunaannya, kita perlu mengetahui bentuk atau model distribusi tersebut. Ternyata bahwa untuk ini berlaku sebuah dalil yang dinamakan dalil limit pusat seperti tertera dibawah ini :

Jika sebuah populasi mempunyai rata rata dan simpangan baku yang besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n cukup besar, distribusi rata rata sampel mendekati distribusi normal dengan rata rata a = dan simpangan baku

Perhatikan bahwa dalil dimuka berlaku untuk sebarang bentuk atau model populasi asalkan simpangan bakunya terhingga besarnya. Jadi, bagaimanapun model poipulasi yang disampel, asal saja variasinya terhingga, maka rata rata sampel akan mendekati distribusi normal. Pendekatan kepada normal ini makin baik jika ukuran sampel n makin besar. Biasanya, untuk n30 pendekatan ini sudah mulai berlaku.

Apabila populasi yang disampel sudah berdistribusi normal, maka rata rata sampel juga berdistribusi normal meskipun ukuran sampel n < 30.

Untuk populasi model lainnya dan sampel berukuran kecil ( n < 30 ) akan diuraikan kemudian.

Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata rata perlu distandarkan agar daftar distribusi normal baku dapat digunakan. Ini perlu untuk perhitungan perhitungan. Untuk ini digunakan transformasi

X(3) z =

Contoh :

tinggi badan mahasiswa rata rata mencapai 165 cm dan simpangan baku 8,4 cm. telah diambil sebuah sampel acak terdiri atas 45 mahasiswa. Tentukan berapa peluang tinggi rata rata ke 45 mahasiswa tersebut :

a) antara 160cm dan 168cm

b) paling sedikit 166cm

jawab :

jika ukuran populasi tidak dikatakan besarnya, selalu dianggap cukup besar untuk berlakunya teori. Ukuran sampel n = 45 tergolong sampai besar sehingga dalil limit pusat berlaku. Jadi rata rata untuk tinggi mahasiswa akan mendekati distribusi normal dengan :

rata rata

simpangan baku cm = 1,252 cm

a) Dari rumus X(3) dengan dan didapat :

dan

Penggunaan daftar distribusi normal baku memberika luas kurva = 0,5 + 0,4918 = 0,9918

Peluang rata rata tinggi ke 45 mahasiswa antara 160cm dan 168cm adalah 0,9918

b) Rata rata tinggi pa;ing sedikit 166 cm memberikan angka z paling sedikit

Dari daftar normal baku, luas kurva = 0,5 0,2881 = 0,2119

Peluang yang dicari = 0,2119

Apabila dari populasi diketahui varians nya dan perbedaan antara rata rata dari sampel ke sampel diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka berlaku hubungan.

X(4).

Dari rumus X(4) ini, ukuran sampel yang paling kecil sehubungan dengan distribusi rata rata, dapat ditentukan.

Contoh :

Untuk contoh diatas, misalkan harga harga dari sampel yang satu dengan sampel lainnya diharapkan tidak mau lebih dari 1cm. jika populasi cukup besar, maka :

yang menghasilkan atau n 70,58.

Paling sedikit perlu diambil sampel terdiri atas 71 mahasiswa.