DOCENTE: Leonardo BERTINI - dimnp.unipi.it · Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche CONTENUTI DEL CORSO a CONTENUTI DEL CORSO LEZIONI a Meccanic • Basi teoriche

Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche

Corso dia

PROGETTAZIONE ASSISTITA DELLE STRUTTURE MECCANICHE

Rev: 02 del 03/10/2008

aM

ecc

an

ica Rev: 02 del 03/10/2008

DOCENTE: Leonardo BERTINI

Inge

gner

ia DOCENTE: Leonardo BERTINI

Dip. di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione,

istr

ale

in

I 1° piano

Tel : 050 836621

stic

a/

Mag

i Tel. : 050-836621

E.mail : [email protected]

dL

Sp

eci

alis E.mail : [email protected]

Cd

© Università di Pisa 2008


CONTENUTI DEL CORSOa

CONTENUTI DEL CORSO

LEZIONI

aM

ecc

an

ica LEZIONI

• Basi teoriche del MEF• Applicazione del MEF a problemi strutturali in campo elastico lineare

Inge

gner

ia • Analisi critica dei risultati di un modello ad EF• Criteri di modellazione di strutture con il MEF

istr

ale

in

I

ESERCITAZIONI• Uso del programma ANSYS• Esempi significativi di applicazione del MEF a problemi strutturali

stic

a/

Mag

i Esempi significativi di applicazione del MEF a problemi strutturali

dL

Sp

eci

alis

Cd



Elasticità Elettromagnetismoa

g

TermodinamicaFluidodinamica

aM

ecc

an

ica

Etc…

Inge

gner

ia

Sistemi di equazioni differenziali alle

istr

ale

in

I qderivate parziali

⎧ ⎞⎛ ∂∂∂∂1 Xwvu

stic

a/

Mag

i

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

+∂

+∂∂

+∇

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

01

021

1

2

2

Ywvuv

GX

zw

yv

xu

xu

ν

E qni di Navier

dL

Sp

eci

alis

⎪⎪⎪

⎩

⎨

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅+∇

=+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

+∂

+∂∂

⋅−

+∇

021

1

021

2

GZwvuw

Gzyxyv

νE.qni di Navier

Cd


⎪⎩

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂∂∂− 21 Gzyxzν


S l i i liti h l i i ti l i i t d d il tia

Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)

aM

ecc

an

ica

Inge

gner

iais

trale

in

Ist

ica/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd


Sviluppo di tecniche di soluzione approssimate


a

Metodi di soluzione approssimata:• Differenze finite

aM

ecc

an

ica

• Elementi Finiti• Elementi di contorno• Metodi “mesh free”

Inge

gner

ia Metodi mesh free• …

istr

ale

in

I

Il Metodo degli Elementi Finiti (MEF) è oggi di gran lunga il più diffuso, soprattutto a causa della sua estrema versatilità

stic

a/

Mag

i p

dL

Sp

eci

alis

Cd



Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):a

Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):

Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w

aM

ecc

an

ica

⎪⎪⎧

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅+∇ 021

12

GX

zw

yv

xu

xu

ν

Inge

gner

ia

⎪

⎪⎪

⎨ =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂∂∂−

021

121

2

GY

zw

yv

xu

yv

Gzyxx

ν

ν

istr

ale

in

I

⎪⎪⎪

⎩=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

+∇

⎠⎝

021

12

GZ

zw

yv

xu

zw

ν

stic

a/

Mag

i

Problema sostitutivo: determinare delle funzioni sostitutive che approssimino u v e w con un errore accettabile ai fini pratici e siano

dL

Sp

eci

alis approssimino u, v e w con un errore accettabile ai fini pratici e siano

relativamente facili da calcolare

Cd



Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)

a

u(x)

(problema monodimensionale)a

Mecc

an

ica

u’(x)

Inge

gner

iais

trale

in

I

x

stic

a/

Mag

i xF.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri

dL

Sp

eci

alis nota ovunque una volta noto il valore di un n finito di parametri

Oss.ni: •necessario assicurare la convergenza

Cd


necessario assicurare la convergenza• soluzione affetta da errori


Discretizzazionea

aM

ecc

an

ica

Inge

gner

iais

trale

in

I

nodo

stic

a/

Mag

i

(a)elemento

(b)

dL

Sp

eci

alis ( ) (b)

Cd


Struttura Modello (“mesh”)


a

Esempi di elementi piani con diverse disposizioni dei nodi

aM

ecc

an

ica

nodo

Inge

gner

ia nodo

istr

ale

in

I

elemento

stic

a/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd



Nodi ed elementi identificati da un numero univocoa 1 2 3 54 6 7

Nodi ed elementi identificati da un numero univocoa

Mecc

an

ica

1 2 3 54 68 9 10 1211 13 14

Inge

gner

ia 7 8 9 1110 12

13 14 15 1716 18

15 16 17 1918 20 21

istr

ale

in

I

22 23 24 2625 27 28

stic

a/

Mag

i

i = n° di elemento

i = n° di nodo

dL

Sp

eci

alis

Cd



Gradi di libertà (g.d.l.)a

7

aM

ecc

an

ica

7’

(g.d.l.)

Inge

gner

ia 7’

istr

ale

in

Ist

ica/

Mag

i

yN° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:

i di l

dL

Sp

eci

alis

x• tipo di elemento• natura problema

Cd


N° totale g.d.l. = N° g.d.l./nodo * N° nodi


Studio del comportamento meccanico del singolo elementoa

Elemento piano per problemi 2D

aM

ecc

an

ica

i k

Inge

gner

ia © Università di Pisa 2006

e

istr

ale

in

I

j

vyj

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xi

e vu1

stic

a/

Mag

i j vxj

{ } ⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨=⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨= xj

yie

e

e vv

uu

U 3

2

dL

Sp

eci

alis

y{ }

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨=

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨=

xk

yje

e

vv

uu

U

5

4(6 x 1)

Cd


x⎪⎪⎭⎪

⎪⎩⎪

⎪⎭⎪

⎪⎩ yk

e vu6


Studio del comportamento meccanico del singolo elementoa

Elemento piano per problemi 2D

aM

ecc

an

ica

i kqxi

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ xi

e

e

qqp1

Inge

gner

ia eqyi

{ }⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨=⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨= xj

yi

e

e

e

e

qqq

ppp

P 3

2

istr

ale

in

I

j

vyj

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xi

e vu1⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩ yk

xk

yj

e

e

qqq

ppp

6

5

4

stic

a/

Mag

i j vxj

{ } ⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨xj

yie

e

e vv

uu

U 3

2

1⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩ ykqp6

dL

Sp

eci

alis y{ }

⎪⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪⎪

⎪⎨=

⎪⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪⎪

⎪⎨=

xk

yj

j

e

ee

vv

uu

U

5

4

3

{Ue} {Pe}?

Cd


x⎪⎪⎭⎪

⎪⎩⎪

⎪⎭⎪

⎪⎩ yk

xke vu6

5


Studio condotto in campo lineare:a { } [ ] { }UKP eee

Studio condotto in campo lineare:a

Mecc

an

ica { } [ ] { }

166616 xxxUKP eee ⋅=

Inge

gner

ia 166616 xxx

istr

ale

in

I

Matrice di rigidezza dell’elemento

stic

a/

Mag

i g

dL

Sp

eci

alis

Cd



Significato fisico dei termini della matrice di rigidezza, kij“C di t ” i l

a

i k“Cedimento” vincolare:

aM

ecc

an

ica

e

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

001615141312111

kkkkkkkkkkkk

pp

e

e

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧00

Inge

gner

ia

j⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨⋅⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨ 010

363534333231

262524232221

3

2

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

ppp

e

e { }⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎨=U e

010

istr

ale

in

I

xy

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩ 000

565554535251

464544434241

5

4

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

pp

e

e 1⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩00

stic

a/

Mag

i ⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣⎪⎭⎪⎩ 06665646362616 kkkkkkpe

dL

Sp

eci

alis

23262322212 0...100 kkkkkpe =⋅++⋅+⋅+⋅=

Cd


....; 434333 kpkp ee ==


a

Il termine km,n di [Ke] è pari alla reazione vincolare presente secondo ilgrado di libertà “m” (m=1,..6), se si applica un sistema di spostamentinodali in cui tutte le componenti sono nulle tranne la “n-esima” che

aM

ecc

an

ica p

assume valore pari ad 1

Inge

gner

ia

i k

k25k63

istr

ale

in

I i ke∑= e

ne

nmem ukp

stic

a/

Mag

i

j

∑n

nnmmp ,

dL

Sp

eci

alis j

y“peso” di un nel contribuire a pm

Cd


xy


Elemento = molla “multidimensionalea F

aM

ecc

an

ica

xF=k x

Inge

gner

ia

x

istr

ale

in

I

i ke

qxi

{ } [ ] { }UKP eee

stic

a/

Mag

i

j

e

xy

qyi vyj{ } [ ] { }UKP eee ⋅=

dL

Sp

eci

alis jx

vxj

Cd



Teorema di reciprocitàa

p

δΑΒAδ

B

aM

ecc

an

ica

A BδΒΑ

Inge

gner

ia δΑΒ= δΒΑ

istr

ale

in

I

i kpm

e = ple

stic

a/

Mag

i i k

ek

eium=1

kml = klm

dL

Sp

eci

alis pm

jj

eml lm

[Ke] simmetricaCd


ul= 1j

pl[Ke] simmetrica


Valutazione di [Ke]a

i kIn casi semplici è possibile calcolarele reazioni vincolari in presenza di

aM

ecc

an

ica

ep

“cedimenti vincolari” dei nodi (Es.elementi trave)

Inge

gner

ia

jy

istr

ale

in

I

j

x 1

stic

a/

Mag

i xsi ottengono immediatamente le

kem,n

dL

Sp

eci

alis

In generale, questa procedura non è praticabile per un elemento di forma genericaC

d


forma generica


Spostamenti nei punti interni all’elementoa

i kv

Spostamenti nei punti interni all elemento

{ } [ ] { })(),(

)( UNyxv eex

⎬⎫

⎨⎧

aM

ecc

an

ica e

y v

vy

P(x,y)

{ } [ ] { }16621212

),(),(

),(

xxxx

UyxNyxv

yxv ee

y⋅=

⎭⎬

⎩⎨=

Inge

gner

ia

jx

y vx

F.ni di forma (“shape functions”)

istr

ale

in

I j( )∑

=

⋅=6

1,

ll

erlr uyxNv

stic

a/

Mag

i

Ogni f.ne di forma rappresenta il “peso” (dipendente dalla posizione di P) che ciascuna componente di spostamento nodale ha nel determinare

dL

Sp

eci

alis

Pb: - che forma matematica dare alle Ne(x y) ?

lo spostamento di P

Cd


Pb: - che forma matematica dare alle N (x,y) ?- come determinare le Ne(x,y) ?


i ka

ei k

e

aM

ecc

an

ica

jy

e

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xivu1

P(x,y)

Inge

gner

ia

jx vy

vxj

{ } ⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨=⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

= xj

yi

xi

e vv

uu

U 3

2

1

istr

ale

in

I j vxP(x,y){ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎨

yk

xk

yj

vvv

uuu

6

5

4

6

stic

a/

Mag

i ⎭⎩⎭⎩ yk6 6

111

)()(

),(),(),(

NN

uyxNyxvyxv

eel

ljjeljjxjj =⋅== ∑

=

dL

Sp

eci

alis

⎧ ≠ 30 lse

3212111 ....),(),( uuyxNuyxN jje

jje =+⋅+⋅=

Cd


⎩⎨⎧

=≠

=3130

),(1 lselse

yxN jjel


)()()()(6

∑ NNN eeea

....),(),(),(),( 2121111

11 +⋅+⋅=⋅= ∑=

uyxNuyxNuyxNyxv jje

jje

lljj

eljj

( ) ( )⎪⎧ == 0,1, 1411 ii

eii

e yxNyxN v P(x y) v⎧ =1)( yxN ⎧ 0)( yxN

aM

ecc

an

ica

i ke

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

====

0,0,0,0,0,1,

1613

1512

1411

iie

iie

iie

iie

iiii

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

vx

vy P(x,y)

v

vy

P(x y)⎪⎩

⎪⎨

⎧==

0)(0),(1),(

11

11

jj

ii

NyxNyxN

⎪

⎪⎨

⎧==

0),(0),(

12

12

jj

ii

yxNyxN

Inge

gner

ia ( ) ( )⎩ 0,0, 1613 iiii yxNyxN vx

( ) ( )⎪⎧ == 0,0, 1411 jj

ejj

e yxNyxN

vxP(x,y)⎪⎩ = 0),(11 kk yxN

⎧ = 0),(13 ii yxN

⎪⎩ = 0),(12 kk yxN

⎧ = 0),(14 ii yxN

istr

ale

in

I

j ⎫⎧⎫⎧ ivu

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

====

0,1,0,0,

1613

1512

jje

jje

jje

jje

jjjj

yxNyxNyxNyxN vy

P(x y)⎪⎩

⎪⎨

⎧=

0)(1),(0),(

13

13

jj

ii

NyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

0)(0),(0),(

14

14

jj

ii

NyxNyxN

stic

a/

Mag

i j

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

yi

xi

vvv

uuu

2

1( ) ( )⎩ 1613 jjjj yy

( ) ( )⎪⎧ == 0,0, 1411 kk

ekk

e yxNyxN

vxP(x,y)⎪⎩ = 0),(13 kk yxN

⎧ = 0)( yxN

⎪⎩ = 0),(14 kk yxN

⎧ = 0)( yxN

dL

Sp

eci

alis

{ }⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

yj

xje

vv

uu

U4

3( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

====

0,0,1,0,

,,

1613

1512

1411

kke

kke

kke

kke

kkkk

yxNyxNyxNyxNyy

⎪

⎪⎨

⎧==

0),(0),(

15

15

jj

ii

yxNyxN

⎪

⎪⎨

⎧==

0),(0),(

16

16

jj

ii

yxNyxN

Cd

© Università di Pisa 2008⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ yk

xk

vv

uu

6

5

( ) ( )⎩ ,, 1613 kkkk yy ⎪⎩ =1),(15 kk yxN ⎪

⎩ = 0),(16 kk yxN


CBAN e ++)(⎧ =1)( yxNa

yCxBAyxN lmlmlmelm ⋅+⋅+=),(

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

0)(0),(1),(

11

11

jj

ii

NyxNyxN

aM

ecc

an

ica ⎪

⎩ = 0),(11 kk yxN

kN11

1

⎧ 1CBA

Inge

gner

ia i k11

⎪

⎪⎨

⎧=++=++

01

111111

111111

jj

ii

yCxBAyCxBA

istr

ale

in

I

jx

y⎪⎩ =++ 0111111 kk yCxBA

stic

a/

Mag

i j

⎪⎪⎧

Δ−

=211

jkkj yxyxA

⎤⎡ yx1

dL

Sp

eci

alis

⎪⎪

⎪⎪⎨ Δ

−=

211kj

xx

yyB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Δ jj

ii

yxyx

111

det2

Cd


⎪⎪⎩ Δ

−=

211jk xx

C⎥⎦⎢⎣ kk yx1


1a i k

N11

aM

ecc

an

ica

y i kN13

1

Inge

gner

ia

jx y1

istr

ale

in

I

jx

N1

stic

a/

Mag

i

i kN15

dL

Sp

eci

alis

y

Cd


jx


a

kInterpretazione geometrica

aM

ecc

an

ica

N

Inge

gner

ia

iN11

N13P

istr

ale

in

I N11N15

stic

a/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd


j


⎧ 0)(Na


⎪

⎪⎨

⎧==

0),(0),(

12

12

jj

ii

yxNyxN

aM

ecc

an

ica ⎪⎩ = 0),(12 kk yxN

N12 0

Inge

gner

ia

i kN12 0

⎪⎨

⎧=++=++

00

121212

121212

jj

ii

yCxBAyCxBA

istr

ale

in

I

x

y⎪⎩

⎨=++ 0

0

121212

121212

kk

jj

yCxBAyCx

stic

a/

Mag

i

jx

⎧ 0A

dL

Sp

eci

alis

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

000

12

12

CBA

Cd


⎪⎩ = 012C


Matrice delle funzioni di formaa

⎫⎧

aM

ecc

an

ica

{ } [ ] { }),(),(),(

),( UyxNyxvyxv

yxv ee

y

x ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

Inge

gner

ia

16621212 xxxx⎭⎩

istr

ale

in

I

( ) ( ) ( ) ⎤⎡ 000 NNN

stic

a/

Mag

i ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== 152613241122

151311

0000,0,0,

NNNNNNyxNyxNyxN

dL

Sp

eci

alis

Cd



Calcolo delle deformazionia

Spostamenti Deformazionicongruenza

aM

ecc

an

ica

⎧ ∂ ⎤⎡ ∂

Inge

gner

ia

⎪⎪⎪⎧

∂∂∂

=

vxvx

xε

( )yxvxx

0⎫⎧⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

∂∂∂

⎪⎫

⎪⎧ε

istr

ale

in

I

⎪⎪

⎪⎨

∂∂∂∂

=

vvyvy

yε( )( ) [ ] ( ){ }yxvL

yxvyxv

y y

x

xy

y ,,,

0 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∂∂∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨γε

stic

a/

Mag

i

⎪⎪⎩ ∂

∂+

∂∂

=xv

yv yx

xyγxy

xy⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ ∂∂

∂∂⎭⎩γ

dL

Sp

eci

alis

Cd



a

{ } [ ]{ }),(),( yxvLyx =ε { } [ ]{ }),(),( eUyxNyxv =

aM

ecc

an

ica

2x13x23x1 166212 xxx

Inge

gner

iais

trale

in

I

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }ee UBUNL ==ε

stic

a/

Mag

i { } [ ][ ]{ } [ ]{ }6x13x63x1

UBUNLε

dL

Sp

eci

alis

Cd



Contenuto matrice [B]a

[ ]

⎥⎤

⎢⎡ ∂ 0

aM

ecc

an

ica

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂

== 151311

000000

0

0

NNNNNN

xNLB

Inge

gner

ia

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ∂∂

∂∂

∂ 262422 000 NNN

xy

y

istr

ale

in

I ⎦⎣ ∂∂ xy

⎥⎤

⎢⎡ ∂∂∂ NNN 151311 000

stic

a/

Mag

i

[ ] ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂

=NNN

xN

xN

xN

B 262422

151311

000

000

dL

Sp

eci

alis [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

∂∂∂∂∂∂∂∂∂

=

NNNNNNyyy

B

261524132211

000

Cd


⎥⎦

⎢⎣ ∂∂∂∂∂∂ xyxyxy


CBAN ++a

yCxBAN 11111111 ++=a

Mecc

an

ica

Δ−

==∂

∂211

11 kj yyB

xN

Inge

gner

ia

Δ−

==∂

∂211

11 jk xxC

yN

istr

ale

in

I Δ∂ 2y

⎤⎡

stic

a/

Mag

i

[ ] ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

= 262422

151311

000000

CCCBBB

B

dL

Sp

eci

alis [ ]

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 261524132211

262422 000BCBCBCCCCB

Cd



Relazioni costitutivea

Relazioni costitutive

E i 1 t t i di t i t i l i t

aM

ecc

an

ica

⎧ νσ

Esempio 1: stato piano di tensione, materiale isotropo

Inge

gner

ia

⎪⎪⎪

⎨

⎧−=

EExy

yxx

νσσ

νσσε

⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧⎥⎤

⎢⎡

⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧ xx Eενσ 01

istr

ale

in

I

( )⎪⎪⎪

⎪⎨

+=

−=EE

xy

xyy

τνγ

ε

12 ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

xy

y

xy

yE

γε

νν

ντσ

2/10001

1 2

stic

a/

Mag

i

⎪⎩ Exyγ ⎭⎩⎭⎩

dL

Sp

eci

alis

{ } [ ]{ }εσ D=

Cd



Relazioni costitutivea

Esempio 2: stato piano di deformazione, materiale isotropo

aM

ecc

an

ica

⎪⎪⎪⎧

−−=EEE

zyxx

νσνσσε

Inge

gner

ia

[ ] ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

0101

νννν

ED( )12⎪⎪

⎪⎪⎨

+

−−=EEE

xy

zxyy

τν

νσνσσε

istr

ale

in

I [ ] ( )( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

−+=

2/210001

211ν

νννν

D( )⎪⎪⎩

=E

xyxy

τνγ

stic

a/

Mag

i

0=−−=EEE

yxzz

νσνσσε

dL

Sp

eci

alis EEE

Cd



Valutazione di [Ke]a

[ ]

Principio dei Lavori Virtuali

aM

ecc

an

ica

i ke

p

L t = Li t

Inge

gner

ia e

{δUe}

Lest Lint

Carichi nodali veri * Tensioni vere *

istr

ale

in

I jy

{δU }Carichi nodali veri spost.nodali virtuali

Tensioni vere deformazioni virtuali

stic

a/

Mag

i

xy

{ } { }eTeest PUL δ=

dL

Sp

eci

alis

Spost virtuali Carichi effettivi

Cd


Spost. virtuali Carichi effettivi


{ } { }dVL T∫= σδε { } [ ]{ }eUB δδa

{ } { }dVLV∫= σδεint { } [ ]{ }

{ } { } [ ]TTeT

e

BU

UB

δδε

δδε

=

=a

Mecc

an

ica { } { } [ ]

{ } [ ] { }dVBUL TTe∫= σδint { } [ ] { }dVBU TTe ∫= σδ

Inge

gner

ia

{ } [ ] { }dVBULV∫ σδint

{ } [ ]{ }D

{ } [ ] { }dVBUV∫ σδ

istr

ale

in

I

{ } [ ] [ ]{ }dVDBUL TTe ∫= εδint

{ } [ ]{ }εσ D=

stic

a/

Mag

i { } [ ] [ ]{ }V∫int

{ } [ ]{ }eUB=ε

dL

Sp

eci

alis

{ } [ ] [ ][ ]{ }dVUBDBULV

eTTe ∫= δint { } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTe UdVBDBU ∫= δ

Cd



{ } [ ] [ ][ ] { }eTTe UdVBDBUL ∫= δ{ } { }eTe PUL δa

{ } [ ] [ ][ ] { }V

UdVBDBUL ∫= δint{ } { }eeest PUL δ=

aM

ecc

an

ica

{ } { } { } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTeeTe UdVBDBUPU ∫= δδ

Inge

gner

ia V

istr

ale

in

I

{ } [ ] [ ][ ] { }e

V

Te UdVBDBP ∫=

stic

a/

Mag

i

{ } [ ] { }eee UKP

dL

Sp

eci

alis { } [ ] { }eee UKP =

Cd



Applicazionea

Applicazionee[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBK Te ∫=

aM

ecc

an

ica [ ] [ ] [ ][ ]dVBDBK

V∫=

⎤⎡ 151311 000 BBB

Inge

gner

ia

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 262422

151311

000000

BCBCBCCCC

BBBB

istr

ale

in

I ⎥⎦⎢⎣ 261524132211 BCBCBC

⎥⎤

⎢⎡ 01 ν

E

stic

a/

Mag

i

[ ]( ) ⎥

⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

=2/100

011 2

νν

νED

dL

Sp

eci

alis ( ) ⎦⎣

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBK TTe == ∫Cd


[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBKV

== ∫


Osservazione: unità di misuraa

Osservazione: unità di misuraa

Mecc

an

ica

[ ] [ ] [ ] [ ]VBDBK Te = m3

Inge

gner

ia

[ ] [ ] [ ] [ ]

N 21 1N m-1

istr

ale

in

I N m-2m-1 m-1

stic

a/

Mag

i

NmN=3

2

11

dL

Sp

eci

alis mmmm 2

Cd



Calcolo della matrice [Ke]a

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

aM

ecc

an

ica V

Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)

Inge

gner

ia Metodi classici di integrazione:

1) Si scelgono “a priori” n punti, xi

istr

ale

in

I

f(x) 2) Si calcolano i valori di f(xi)

stic

a/

Mag

i

3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti

dL

Sp

eci

alis per i punti scelti

4) Si integra il polinomio in f hiC

d


x0 x1forma chiusa



[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

aM

ecc

an

ica V


Inge

gner



istr

ale

in

I

f(x) 2) Si calcolano i valori di f(xi)n = 2

stic

a/

Mag

i


n 2

dL

Sp

eci



d


x0 x1forma chiusa



[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

aM

ecc

an

ica V


Inge

gner



istr

ale

in

I


stic

a/

Mag

i


n 3

dL

Sp

eci



d


x0 x1forma chiusa



[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

aM

ecc

an

ica V


Inge

gner



istr

ale

in

I


stic

a/

Mag

i


n 4

dL

Sp

eci



d


x0 x1forma chiusa


Integrazione secondo Gauss: esempio 1Da ( ) ( )∫ ∑≅

Fx n

xfWdxxf

g p

Integrale da Valore della f ne nel

aM

ecc

an

ica ( ) ( )∫ ∑

=

≅Ix i

ii xfWdxxf1

gcalcolare

Peso

Valore della f.ne nel punto xi

Inge

gner

ia

Peso

1) Si fissa n

2) Si l li d i W i

istr

ale

in

I 2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un

n=1f(x)

stic

a/

Mag

i

polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato

dL

Sp

eci

alis

x xI punti xi sono detti “punti di Gauss”

Cd


x0 x1 punti di Gauss


Integrazione secondo Gauss: esempio 1Da ( ) ( )∫ ∑≅

Fx n

xfWdxxf

g p

Integrale da Valore della f ne nel

aM

ecc

an

ica ( ) ( )∫ ∑

=

≅Ix i

ii xfWdxxf1

gcalcolare

Peso

Valore della f.ne nel punto xi

Inge

gner

ia

Peso

1) Si fissa n

2) Si l li d i W i

istr

ale

in

I 2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un

f(x) n=2

stic

a/

Mag

i

polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato

31

31

dL

Sp

eci

alis

x xI punti xi sono detti “punti di Gauss”

3 3

Cd


x0 x1 punti di Gauss


Vantaggi dell’integrazione secondo Gauss:a

Vantaggi dell integrazione secondo Gauss:

• fissato n consente il calcolo esatto dell’integrale di

aM

ecc

an

ica • fissato n, consente il calcolo esatto dell integrale di

una f.ne di grado 2n-1 anziché n-1

Inge

gner

ia

• dato il grado n della f.ne che si vuole poter integrare esattamente richiede il calcolo della f ne

istr

ale

in

I integrare esattamente, richiede il calcolo della f.ne stessa in (n+1)/2 punti, anziché in n+1 punti

stic

a/

Mag

i

Le posizioni dei punti di Gauss per integrali in 1, 2 e 3 dimensioni sono note per molti domini di

dL

Sp

eci

alis 3 dimensioni sono note per molti domini di

integrazione.

Cd



ANALISI INTERA STRUTTURAa Congruenza [B]

aM

ecc

an

ica [ ]

Costitutive [D]

Inge

gner

ia Costitutive [D]

istr

ale

in

I

Equilibrio Garantito per il singolo elemento (non ancora per la

stic

a/

Mag

i elemento (non ancora per la struttura)

dL

Sp

eci

alis

Cd



⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ x uv 11

VETTORI DEGLI SPOSTAMENTIa ⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

x

y

x

uu

vv

3

2

1

2

1

1E DEI CARICHI ESTERNI PER L’INTERA STRUTTURA

aM

ecc

an

ica

{ }

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎨

−−=

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎨

−−=U

Inge

gner

ia

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩

−⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩

−

GDLN nyn uv

istr

ale

in

I ⎭⎩⎭⎩

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ x

ff

ff 11

stic

a/

Mag

i

y { } ⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −=⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −=x

y

ff

ff

F3

2

2

1

dL

Sp

eci

alis y { }

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−−

=

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−−

=F

Cd


x ⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ GDLN nyn ff


⎪⎫

⎪⎧ u1VETTORI DEGLI SPOSTAMENTI

a ⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−u2

E DEI CARICHI APPLICATI PER L’INTERA STRUTTURA

aM

ecc

an

ica

{ }

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎨

−== yvuU 2754

Inge

gner

ia

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩

−

GDLnu

istr

ale

in

I

27 (i)

vy27

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

ff1

stic

a/

Mag

i

18 (j) 33 (l)fx18 { } ⎪

⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ =−

= ff

f

F

2

dL

Sp

eci

alis

31 (k)

x18 { }

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−−== xffF 1835

Cd


⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ GDLnf


......... 615141312111 kkkkkk eeeeee

⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧

MATRICE DI RIGIDEZZA

a

{ } [ ]{ } ............... 2

4,33,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

3

ukkk

kkkkkkpq

UKP

e

eee

eeeeee

exjeee

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨=⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⇒=e3,2k

RIGIDEZZA “ESPANSA”PER IL SINGOLO

aM

ecc

an

ica

...

...

...

..................

..................

..................

...

...

...

...

...

...

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩27 (i)

vyi

SINGOLO ELEMENTO

Inge

gner

ia 18881818 xxxx( )

18 (j) 33 (l)q ....................................⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧

istr

ale

in

I

31 (k)

( )qxj

)(......

00............................................................

0......

uu e⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

=⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

0

stic

a/

Mag

i

{ } [ ]{ }......

)(

...............000......

...............0)(0......

...............00......

0)(

0 254

3*

35**

uupp

UKPee

ee

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

==

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨=

⇒=e3,2

*e35,54 k

0k

dL

Sp

eci

alis

...

...

...

..............................

..............................

..............................

...

...

...

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

Cd


11....................................

)064()08( xnxnnxn gdlgdlgdlgdl cuidicuidi ≠≠

⎪⎪⎭⎪

⎪⎩⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎪

⎪⎭⎪

⎪⎩


a 0* =− ∑En

ejj pf

aM

ecc

an

ica

y

01

∑=e

jj pf

Carico C i li

Inge

gner

ia

x

Carico esterno

Carico applicato nel nodo

ll’ l “ ”

istr

ale

in

I

pje1* pj

e2*

e1 e2all’elemento “e”fj

stic

a/

Mag

i

pje4*

pj

pje3*

pj

4 ∑En

epf *

dL

Sp

eci

alis e4e3 ∑

=

=e

jj pf1

Cd



{ } [ ]{ }UKP ee ** =a

{ } [ ]{ }UKPa

Mecc

an

ica

∑=En

ejj pf *

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑

E gdln n

ieji uk *

Inge

gner

ia =e 1 ⎟⎠

⎜⎝

∑ ∑= =e i

iji1 1

( )**2*1 nkkk E

istr

ale

in

I

⎞⎛

( ) =+++++= ......... 21i

njijiji ukkk E

stic

a/

Mag

i

i

n neji uk

gdl E

∑ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= *

dL

Sp

eci

alis

i e= =⎟⎠

⎜⎝1 1

Cd



ne kk

E

∑ *a

jie

eji kk =∑

=1

aM

ecc

an

ica

i

n nejij ukf

gdl E

∑ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= *

i

n

ijukgdl

∑=

Inge

gner

ia

i ejj ∑ ∑

= =⎟⎠

⎜⎝1 1

Matrice di rigidezza

ii

ij∑=1

istr

ale

in

I Matrice di rigidezza della struttura

stic

a/

Mag

i

{ } [ ]{ }UKF =

dL

Sp

eci

alis

nGDLx 1n x n

nGDLx 1

Cd


nGDLx nGDL


SOLUZIONEa { } [ ]{ }UKF =

aM

ecc

an

ica { } [ ]{ }UKF =

Inge

gner

ia

{ } [ ] { }FKU 1−

istr

ale

in

I { } [ ] { }FKU =

stic

a/

Mag

i

c.n.s. : [ ] 0det ≠K

dL

Sp

eci

alis [ ] 0det

Cd



[ ]a

[ ] 0det ≠K Struttura non labilea

Mecc

an

ica

Inge

gner

iais

trale

in

Ist

ica/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd



VINCOLIa

Vincolare = assegnare “a priori” il valore di una delle componenti di spostamento (g.d.l.)

aM

ecc

an

ica p p (g )

Inge

gner

ia

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −−−

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

GDLnm

uu

kkkkkkkk

ff 11112111

u =u*

istr

ale

in

I

⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−−−−−−

−−−

=⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −−

GDLnm ukkkkf 22222212 um u m

stic

a/

Mag

i

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−−

=

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−GDL mmnmmmmm ukkkkf ,21

dL

Sp

eci

alis

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ −−−⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL nnnmnnnn ukkkkf 21

Cd


nGDL •1 nGDL •nGDL nGDL •1


a

um=u*m

aM

ecc

an

ica

⎫⎧⎤⎡ −−⎫⎧⎫⎧ ukkkkkkf 111111121111

fm non assegnabile

Inge

gner

ia

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

−⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−−−−−−−−−

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

−⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

−+−

+−

GDL

GDL

nmm

nmm

m

m

uu

kkkkkkkkkk

kk

ff

2

1

212122221

111111211

2

1

2

1

istr

ale

in

I

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−=

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎨ −−

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎨ −

+

−

+− GDL m

m

mnmmmmmmmm

m

m uu

kkkkkku

f 1

1

1121

*

stic

a/

Mag

i

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩

−⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−−−−−−−−

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩

−⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩

−+

+−

+

GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDLGDL n

m

nnmnmnnn

mnmmmmmm

mn

mm

n

m

ukkkkkkf

f 1

1121

1,1,21,

dL

Sp

eci

alis

nGDL •1 nGDL •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

⎭⎩⎦⎣⎭⎩⎭⎩ + GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL nnnmnmnnnmnn 1121

Cd


GDL GDL ( GDL ) ( GDL )


I t d i i l id i di 1 d la

Introduzione vincolo = riduzione di 1 del numero di incognite ed equazioni

aM

ecc

an

ica

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ +− GDLnmmm

uu

kkkkkkkkkk

kk

ff 111111121111

Inge

gner

ia

⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨

−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−

−−

=⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨

−

−⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨

−+− GDLnmmm

u

u

kkkkk

kkkkk

k

k

uf

f 221212222122

istr

ale

in

I

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−

=

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−+

−

+++−+++

−+−−−−−

+

−

+

−

GDL

GDL

m

m

nmmmmmmm

nmmmmmmm

mm

mmm

m

m

uu

kkkkkkkkkk

kku

ff

1

1

,11,11,12,11,1

,11,11,11,11,1

,1

.1

1

1

stic

a/

Mag

i

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ −−⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ +− GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL nnnmnmnnnmnn ukkkkkkf 1121

dL

Sp

eci

alis

(nGDL-1) •1 (nGDL-1) •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

Cd



a ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

XXXXXXX

0000000000000000

aM

ecc

an

ica

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

XXXX

0000000000000000

Inge

gner

ia

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

XXXXXXXXXX

XXXX

K

000000000000

istr

ale

in

I

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXMMIS

XXXX.

0

stic

a/

Mag

i

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX

dL

Sp

eci

alis

La matrice [K]:• è simmetrica

Cd


è simmetrica• ha una struttura “a banda” attorno alla diagonale principale


a

Esistono molti metodi di soluzione del sistema. Uno dei più comuni ed efficienti è il metodo di eliminazione diretta di Gauss.

aM

ecc

an

ica

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

Inge

gner

ia

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXX

00000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXX

XXX

00000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXX

XXX

0000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

XXX

00000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

XXX

00000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXX

XXX

000000000000000000000000

istr

ale

in

I

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXX

XXXX

000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXX

XXXX

00000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

XXXX

0000000000000000000000000

stic

a/

Mag

i

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

00000000000000000

0000000

dL

Sp

eci

alis

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 1⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 2⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 3⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 4⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX

000000000000000000000

FINALE

Cd


PASSO 1PASSO 2PASSO 3PASSO 4FINALE


Larghezza di banda (“bandwidth”)a

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

XXXXXXXX

0000000000000000

aM

ecc

an

ica

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXX

00000000000000000000

Inge

gner

ia

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXX

0000000000000000000

istr

ale

in

I

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXXX

XXXXXX

00000000000000000

stic

a/

Mag

i

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

dL

Sp

eci

alis ⎥⎦⎢⎣ XXXX00000000

° 2b d )l h(i iNCd


GDLn⋅≈° 2banda)largh.(operazioniN


a

Larghezza di banda Modo di costruire [K]dipende dal

aM

ecc

an

ica

Inge

gner

ia

Esistono due modi principali di costruire la matrice [K]:• seguendo l’ordine progressivo dei nodi;

istr

ale

in

I seguendo l ordine progressivo dei nodi;• seguendo l’ordine progressivo degli elementi

stic

a/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd


Corso di Progettazione Assistita delle Strutture MeccanicheMax. diff. n° d’ordine per nodi attaccati allo stesso elementoORDINE NODI

a

9 121110Largh. banda =(nnE+1)nGDL n

N° g.d.l. per nodo

aM

ecc

an

ica

5 876121110987654321

g . b d ( nE ) GDL,n

Inge

gner

ia

1 432

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

XXXXXXXXX

00000000000000

Largh Banda = 12

istr

ale

in

I

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

000000000000000Largh. Banda 12

stic

a/

Mag

i

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXX

XXXXX

000

00

2 1185

3 1296

dL

Sp

eci

alis

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXX

XXX

000

00

1 1074

2 1185

Cd


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX1 1074

Largh. Banda = 10


Max. diff. n° d’ordine per elementi attaccati allo stesso nodoORDINE ELEMENTI

a

9 121110N° nodi per elemento/2

4 5 6 Largh banda ~(n )n n

aM

ecc

an

ica

5 876121110984736521

4 5 6

2 31

Largh. banda ~(nEn)nnod,enGDL,n

Inge

gner

ia

1 432

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

XXXXXXXXX

00000000000000

Largh Banda = 16

istr

ale

in

I

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXX

XXXX

00000000000000Largh. Banda 16

stic

a/

Mag

i

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXX

XXXXXX

000000

03 12962 4 6

dL

Sp

eci

alis

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXX

XXX

000

00

1 1074

2 11853 51

Cd


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX1 1074

Largh. Banda = 12


Condizioni di convergenza sulle funz.ni di formaa

Condizione 1: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione nulla in tutti i punti dell’elemento quando il campo

aM

ecc

an

ica deformazione nulla in tutti i punti dell elemento quando il campo

di spostamenti nodali corrisponde ad un moto rigido.

Inge

gner

ia

i k

istr

ale

in

I

e

stic

a/

Mag

i

j

dL

Sp

eci

alis

xy

Cd



{ } [ ]{ }eUB=ε⎫⎧Verifica per elemento triangolare

a ⎤⎡ 151311 000 BBB

{ } [ ]{ }UB=ε

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

y

x

uu

aM

ecc

an

ica

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 262422

151311

000BCBCBCCCCB{ }

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

y

xe

uu

U

Inge

gner

ia ⎥⎦⎢⎣ 261524132211 BCBCBC⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ y

x

uu

istr

ale

in

I

xxxx uBuBuB 151311 ++=εΔ

−=

211kj yy

B

stic

a/

Mag

i

Δ−

=

Δ

2

2

13ik yyB

dL

Sp

eci

alis

Δ

−=

Δ

2

2

15ji yy

B0222

=Δ

−+

Δ−

+Δ−

= xji

xik

xkj

x uyy

uyyuyy

ε

Cd


Δ2


a

Condizione 2: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione costante in tutti i punti dell’elemento quando il

di i d li ibil l di i

aM

ecc

an

ica campo di spostamenti nodali è compatibile con tale condizione.

Inge

gner

ia

i k

istr

ale

in

I

e

stic

a/

Mag

i

j ( )ik uxxu −

dL

Sp

eci

alis

xy

( )( ) jx

ij

ikkx u

xxu

−=

Cd



Condizione 3: la f ne di spostamento deve dare luogo aa

Condizione 3: la f.ne di spostamento deve dare luogo adeformazioni limitate all’interfaccia tra elementi diversi.

aM

ecc

an

ica

vx∂ε

Inge

gner

ia x xx

x ∂=ε

istr

ale

in

I

vx

stic

a/

Mag

i

Δvx

dL

Sp

eci

alis

d

x

Cd


x∞→ε dx




aM

ecc

an

ica

xvx

x ∂∂

=ε

Inge

gner

ia x xx ∂

istr

ale

in

I

vx

stic

a/

Mag

id

LS

peci

alis

xfi ilCd


xfinitovalore→ε




aM

ecc

an

ica

xvx

x ∂∂

=ε

Inge

gner

ia x xx ∂

istr

ale

in

Ist

ica/

Mag

i

In generale:S l i li l d i d ll f di

dL

Sp

eci

alis Se le ε implicano la derivata n-sima della f.ne di

spostamento, quest’ultima deve essere continuall’i f i Cl di i i à CC

d


all’interfaccia con Classe di continuità Cn-1


Oss.ne: la funzione di spostamento scelta garantisce talea

p gcontinuità in quanto lo spostamento di un punto appartenente adun lato non dipende dagli spostamenti del nodo opposto

1

aM

ecc

an

ica

kN11

1

Inge

gner

ia i k

y i kN13

istr

ale

in

I

jx

y i

y1

1

stic

a/

Mag

i jjxi k

N15

dL

Sp

eci

alis

y

Cd


jx


a

Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sul singolo elemento

aM

ecc

an

ica

vix

Inge

gner

ia

kvx

vkx

istr

ale

in

I

i kx

v

stic

a/

Mag

i

jx

y vjx

dL

Sp

eci

alis j

Cd



a

Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sull’intero modello

aM

ecc

an

ica

uy

Inge

gner

ia u

istr

ale

in

Ist

ica/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd


x


Andamento effettivo delle tensionia Tensioni discontinue nei nodi

aM

ecc

an

ica

u Spostamenticontinui nei nodi Esatto

σ

Inge

gner

ia continui nei nodiEF

istr

ale

in

Ist

ica/

Mag

i

Esatto

x

dL

Sp

eci

alis Esatto

EF Calcolo di valori mediati nei nodi (media aritmetica o altre tecniche)

Cd


xInterpolazione dei valori mediati nodali nelle zone interne (Es. tramite le N)


Dimensioni ottimali degli elementia

Dimensioni ottimali degli elementi

σ σ

aM

ecc

an

ica

EsattoEF

σEsattoEF

σ

Inge

gner

iais

trale

in

Ist

ica/

Mag

id

LS

peci

alis

Dimensioni elementii li

Dimensioni elementi

Cd


non ottimali ottimali


aa

Mecc

an

ica

Inge

gner

iais

trale

in

Ist

ica/

Mag

id

LS

peci

alis

Cd

© Università di Pisa 2008 Modello Tensioni σy non mediate Tensioni σy mediate


In casi in cui le tensioni sono intrinsecamente discontinue, l’ i di di i di ò di i i l i i

σxa

l’operazione di media nei nodi può diminuire la precisione.Esempio 1 : Lastra in due materiali diversi, soggetta ad allungamento uniforme Mediate

aM

ecc

an

ica allungamento uniforme Mediate

Inge

gner

ia © Università di Pisa 2006 Non mediate

istr

ale

in

Ist

ica/

Mag

i

xy

η

dL

Sp

eci

alis

E=105 MPa

x

Cd


E=2.1 105 MPaη


Esempio 2: lastra incastrata agli estremi e caricata al centroσya Mediata

aM

ecc

an

ica Mediata

Inge

gner

ia © Università di Pisa 2006

istr

ale

in

I Non mediata

stic

a/

Mag

i η

dL

Sp

eci

alis

η

Cd

© Università di Pisa 2008x

y


Elementi di ordine superiore1

a

1i k

N11

1a

Mecc

an

ica

N11i k

y i kn

Inge

gner

ia

jx

yy l m

istr

ale

in

I jjx

⎪⎨

⎧==

0)(1),(11 ii

yxNyxN

⎧ =1)( yxN ⎧ = 0)( yxN

stic

a/

Mag

i

⎪⎩

⎨==

0),(0),(

11

11

kk

jj

yxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0)(0),(1),(

11

11

jj

ii

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

0)(0),(0),(

11

11

mm

ll

yxNyxNyxN

dL

Sp

eci

alis


yCxBAyxN lmlmlmelm +⋅+⋅+=),(

⎩ = 0),(11 kk yxN ⎩ = 0),(11 nn yxN

Cd


xyFyExD lmlmlm ⋅+⋅+⋅+ 22


Elemento con F ne Forma quadraticaa T i i di i i di

Elemento con F.ne Forma quadraticaa

Mecc

an

ica

uTensioni discontinue nei nodi

SpostamentiE

σ

Inge

gner

ia continui nei nodi EsattoEF

istr

ale

in

Ist

ica/

Mag

i

Esattox

dL

Sp

eci

alis

x

EF

Cd


x


Carichi non concentrati Forze di volumea

i k{ }tForze di volume

tyLavoro forze di volume

aM

ecc

an

ica

{ }w

{ }tx

{ } { }eTe LLPUL δ

Inge

gner

ia

j wyCarichi distribuiti

{ } { } tWee

est LLPUL ++= δ

L i hi di ib i i

istr

ale

in

I

xy wx

Carichi distribuiti

{ } { }= T dVwvdL δ

Lavoro carichi distribuiti

stic

a/

Mag

i { } { }{ } { } { } [ ] { } { } [ ] { }∫∫∫ ===

=TTeTTeT

W

W

dVwNUdVwNUdVwvL

dVwvdL

δδδ

δ

dL

Sp

eci

alis ∫∫∫

VVV

{ } { } { } [ ] { }∫∫ == TTeT dLtNUdLtvL δδ

Cd


{ } { } { } [ ] { }∫∫LL

t dLtNUdLtvL δδ


{ } [ ]{ } { } { }eeeee PPUKP ++a

{ } [ ]{ } { } { }et

eW

eee PPUKP ++=a

Mecc

an

ica

{ } [ ] { }∫−= TeW dVwNP { } [ ] { }∫−= Te

t dLtNP

Inge

gner

ia

{ } [ ] { }∫V

W{ } ∫

L

istr

ale

in

I

Reazioni vincolari conseguenti all’applicazione all’elemento delle forze distribuite e di volume = - Carichi nodali t ti t i l ti ll f di t ib it di l

stic

a/

Mag

i staticamente equivalenti alle forze distribuite o di volume

dL

Sp

eci

alis

Cd



a

Esempio: carico uniformemente distribuito sul lato di un elemento triangolare

aM

ecc

an

ica g

i k{ }t{ } [ ] { }∫

Inge

gner

ia

ty{ } [ ] { }dtNP

L

Tet ∫−= ξ

istr

ale

in

I

jCarichi distribuiti

tx122616 xxx

stic

a/

Mag

i

xy

[ ] ⎤⎡ 151311 000 NNN

dL

Sp

eci

alis [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

151311

151311

000 NNNN

Cd



Npeixt

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧ 11, 0

i ka

{ } tNN

pp

e

eiyt

⎫⎧⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

11,

,

00 i k

aM

ecc

an

ica

{ } ξdtt

NN

pp

Py

x

Le

jyt

jxtet

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨= ∫

13

13

,

,

00

Inge

gner

ia

NN

pp

ekt

ekxt

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ 15

15,

00 j

y

istr

ale

in

I Np kyt ⎥⎦⎢⎣⎪⎭⎪⎩ 15, 0

)(11 −=−

−=−= ∫∫ xe LtdLtdtNp ξξξξ

xy

1

stic

a/

Mag

i

)(

2)(11,

−=−=−=

===

∫∫

∫∫xe

Lx

Lxixt

LtdLtdLtNp

dL

tdtNp

ξξ

ξξξ

kN11

1

iN13

N151

dL

Sp

eci

alis

00)(

2)(

15

13,

=−=−=

−=−=−=

∫∫

∫∫e

kt

Lx

Lxjxt

dLtdLtNp

dLL

tdLtNp

ξ

ξi

kik1i k

Cd


00)(15, ∫∫L

xL

xkxt dLtdLtNp ξjjj


a

Carichi nodali equivalenti

aM

ecc

an

ica

i ktxL/2/2

Inge

gner

ia

t L/2

t yL/

istr

ale

in

I

jy

txL/2yL

/2

stic

a/

Mag

i

xyt y

dL

Sp

eci

alis

Cd


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DOCENTE: Leonardo BERTINI - dimnp.unipi.it · Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche CONTENUTI DEL CORSO a CONTENUTI DEL CORSO LEZIONI a Meccanic • Basi teoriche