DODATAK 2, Statistika

Financijski menadžment 1

Mr.sc. Željka Domijan 1



1. ARITMETI ČKA SREDINA I STANDARDNA DEVIJACIJA 1.1. Aritmetička sredina Nizovi numeričkih podataka pokazuje izrazitu tendenciju da se vrijednosti grupiraju ili gomilaju oko odreñene "centralne" točke. Tako da je za neki niz podataka moguće odabrati neku tipičnu vrijednost ili srednju vrijednost koja opisuje čitav niz podataka. Aritmetička sredina (nazivamo je još sredina, ili prosjek) najčešće je korištena srednja vrijednost. Izračunava se tako da se zbroje svi podaci u nizu, a zatim zbroj podijeli s brojem podataka. Aritmetička sredina označava se sa x . Ako imamo n podataka, s vrijednostima x1, x2, x3, … , xn, tada je Primjerice, za niz brojeva: 80, 51, 72, 89, 68, 60 sredina je Isto tako za niz brojeva 70, 73, 65, 70, 75, 67 sredina je 70. Fizička interpretacija koja olakšava razumijevanja svojstva sredine može se ilustrirati dijagramom točaka. Sredina se nalazi u točki ravnoteže. Dijagram 1 Dijagram 2 Ako su vrijednosti niza podataka (xi) grupirane u frekvencije (f i) tada izračunavamo "vaganu" ili "ponderiranu" aritmetičku sredinu koristeći formulu:

n

x

n

xxxxxx

n

1ii

n4321∑

==+++++

=K

706

6016889725180x =+++++=

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

f

xf x



Primjer 1 Na tržištu su se pojavile dionice tvrtke Delta. Tijekom dana broker je vodio evidenciju o kupnji ovih dionica. Prikupljeni podaci prikazani su u tablici frekvencija (xi = broj kupljenih dionica, fi = broj investitora). Izračunajte prosječan broj kupljenih dionica po investitoru.

� Formiramo tablicu frekvencija

Broj kupljenih dionica xi

Broj investitora f i

xi ×××× fi

1 5 5 2 6 12 3 8 24 4 4 16 5 5 25 6 0 0 7 1 7

Ukupno 29 89 Uvrštavanjem u formulu dobivamo:

1.2. Varijanca i standardna devijacija Drugo važno svojstvo koje opisuje podatke je njihova raspršenost ili disperzija. Dva skupa podataka mogu imati istu srednju vrijednost i vrlo različitu disperziju kao što je prikazano dijagramima 1 i 2. Vrijednosti podataka prikazanih na dijagramu 2 manje variraju nego vrijednosti podataka prikazanih na dijagramu 1. Dvije najčešće korištene mjere raspršenosti koje uzimaju o obzir kako su sve vrijednosti iz skupa podataka distribuirane jesu: varijanca i standardna devijacija. One mjere kako vrijednosti iz niza podataka variraju oko sredine. Varijanca je sredina kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti od sredine. Označavamo je simbolom σσσσ2. Ako imamo niz od n podataka, x1, x2, x3, …, xn, i neka je x sredina niza, tada

0689.329

89

f

xfx

8

1ii

8

1iii

===∑

∑

=

=

n

)x(x

n

)x(x)x(x)x(xσ

2n

1ii

2

n

2

2

2

12∑

=−

=−++−+−= L

Svaki investitor je u prosjeku kupio 3 dionice tvrtke Delta.



Standardna devijacija dobiva se tako što se vadi drugi korijen iz varijance Prema tome, standardna devijacija (σσσσ) daje prosječno odstupanje svih vrijednosti niza od njegove sredine.

� Za izračun standardne devijacije koristite sljedeći postupak: 1. Izračunajte sredinu 2. Nañite razliku izmeñu svake vrijednosti niza i sredine 3. Kvadrirajte svaku od razlika 4. Zbrojite kvadrirane rezultate 5. Zbroj podijelite s brojem podataka 6. Iz dobivenog rezultata izvadite drugi korijen.

Primjer 2 Izračunajte standardnu devijaciju niza brojeva 19, 15, 13, 12, 11

� Najprije treba izračunati sredinu: Oduzimanjem sredine (x =14) od svakog broja u nizu dobivamo: 5, 1,–1, –2, –3.

� Zbroj odstupanja od sredine uvijek je jednak nuli. Kvadriranjem izračunatih razlika dobiva se: 25, 1, 1, 4, 9. Prosjek kvadrata razlike iznosi: Standardnu devijaciju podataka prikazanih u tablicama frekvencija izračunavamo uz pomoć sljedeće formule:

n

)x(xσσ

2n

1ii

2∑

=−

==

145

70

5

1112131519x ==++++=

8540

5941125

σ2 ==++++= odnosno 2.8288σ ==

∑

∑

=

=−

= n

1ii

2n

1iii

f

)x(xfσ



Primjer 3 Brokera zanima utjecaj najavljenog poskupljenja nafte na promjene cijena dionica na tržištu. Prikupljeni podaci o broju promjena cijena dionica tijekom dana prikazani su u prva dva stupca tablice.

Izračunajte aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju.

�

952.195218637.1212

2807.938679

f

)x(xfσ

n

1ii

2n

1iii

≈==−

=∑

∑

=

=

Aritmetička sredina, odnosno prosječan broj promjena cijena dionica iznosi 3.071. Prosječno odstupanje broja promjena cijena od aritmetičke sredine (tj. standardna devijacija) iznosi 1.952. NORMALNA DISTRIBUCIJA Vrlo često podaci prikupljeni mjerenjima prirodnih ili društvenih pojava prikazani grafički formiraju simetričnu krivulju zvonolikog oblika. Većina podataka (vrijednosti numeričke varijable X) koncentrirana je oko njezine sredine (x) dok je mali broj ekstremnih vrijednosti smješten na krajevima krivulje. Takav raspored vrijednosti nazivamo normalna distribucija, a njezin grafički prikaz normalna krivulja ili Gausova krivulja.

Broj promjena (xi)

Broj dionica (f i)

xi f i

f i ×(xi- x)

f i ×(xi- x)2

0 17 0 -52.2028302 160.3020874 1 26 26 -53.8396226 111.4886529 2 59 118 -63.1745283 67.6444246 3 31 93 -2.1933962 0.1551931 4 22 88 20.4433962 18.9969294 5 29 145 55.9481132 107.9376332 6 19 114 55.6556604 163.0290803 7 7 49 27.5047170 108.0727793 8 0 0 0.0000000 0.0000000 9 2 18 11.8584906 70.3118992

Ukupno 212 651 0.0000000 807.9386792

071.30707547.3212

651

f

xfx 10

1ii

10

1iii

≈===∑

∑

=

=



Normalna distribucija ovisi o dva parametra: aritmetičkoj sredini (x) i standardnoj devijaciji (σ). Za veće vrijednosti σ normalna krivulja više je razvučena (to jest šira), a za manje vrijednosti σ normalna krivulja je uža. Za normalno distribuiranu varijablu X vrijedi: • 68.27% njenih vrijednosti nalazi se unutar intervala x ± 1σ:

• 95.45% njenih vrijednosti nalazi se unutar intervala x ± 2σ:

• 99.73% njenih vrijednosti nalazi se unutar intervala x ± 3σ:

• Normalna krivulja proteže se od - ∞ do + ∞, simetrična je (50% vrijednosti nalazi se lijevo, a 50% desno od x). Svaka normalna krivulja može se svesti na standardiziranu ako se obilježje X linearno transformira u X = X + Z σ, tako se umjesto varijable (obilježja) X dobiva standardizirano obilježje (varijabla) Z:

Standardizirano obilježje je odstupanje vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine izraženo u jedinicama standardne devijacije, to jest

- 1σ x +1σ

- 2σ x +2σ

- 3σ x +3σ

σ

XXZ

−=

68.27%

95.45%

99.73%

σ−= xx

z ii



Primjena standardiziranog obilježja izvire iz njegovih svojstava: aritmetička sredina standardiziranog obilježja uvijek je jednaka nuli, a standardna devijacija jedan, odnosno

z = 0, σz = 1 Transformacijom dobivena standardizirana normalna krivulja izgleda ovako:

U tablici 5 (�, dodatak 1) mogu se očitati površine ispod standardizirane normalne krivulje izmeñu dviju ordinata podignutih na bilo kojim mjestima apscise z1 i z2. To će ujedno biti i vjerojatnost da će se slučajna varijabla Z nalaziti izmeñu vrijednosti z1 i z2.

Ukupna površina ispod normalne krivulje iznosi 1. Budući da je normalna krivulja je simetrična, površine (vjerojatnosti) s jedne i druge strane od sredine iznose 0.5. Tablica daje vrijednosti samo za polovicu krivulje, pozitivne vrijednosti z. Te vrijednosti predstavljaju vjerojatnost P(0< Z< z). Negativne vrijednosti z nalaze se na potpuno isti način, a očitane tabelarne vrijednosti predstavljaju vjerojatnost P(-z< Z< 0).

� Pri izračunu vjerojatnosti da slučajna varijabla Z zauzme vrijednosti izmeñu z1 i z2 poželjno je skicirati graf tražene površine ispod standardizirane normalne krivulje.

� • 0 pokazuje položaj x • -3 pokazuje 3 standardne devijacije manje od x • 3 pokazuje 3 standardne devijacije veće od x

U predstupcu te tablice nalaze se vrijednosti standardiziranog obilježja z izražene brojevima s jednom decimalom. Druga decimala označena je u zaglavlju tabele. Te vrijednosti označuju udaljenost z (izraženu u standardnim devijacijama) od aritmetičke sredine z (koja je uvijek jednaka nuli). Broj koji se nalazi na tom mjestu znači proporciju ukupne površine što se nalazi izmeñu ordinate podignute na mjestu aritmetičke sredine i ordinate podignute u z.



Primjer 4

Izračunajte P(-1.774<Z<0)

� P((-1.774<Z<0) = P(0<Z<1.774) = 0.4619 Primjer 5

Izračunajte P(-2.118<Z<1.88)

� P(-2.118<Z<1.88) = P (-2.188<Z<0) + P(0<Z<1.88) = P (0<Z<2.188) + P(0<Z<1.88) = 0.4829 + 0.4699 = 0.9528 Primjer 6

Izračunajte P(Z>-1.668)

� P(Z>-1.668) = P(-1.668<Z<0) + P(Z>0) = P(0<Z<1.668) + P(Z>0) = 0.4523 + 0.5 = 0.9523 Primjer 7

Izračunajte P(Z>1.683)

� P(Z>1.683) = P(Z>0) – P(0<Z<1.683) = 0.5 – 0.4538 = 0.0462 Primjer 8

Izračunajte P(Z<2.445)

� P(Z < 2.445) = P(Z<0) + P(0<Z<2.445) = 0.5 + 0.4928 = 0.9928



Primjer 9

Izračunajte P(Z<-2.039)

� P(Z<-2.039) = P(Z>2.039) = P(Z>0) − P(0<Z<2.039) = 0.5 −0.4792 = 0.0208 Primjer 10

Izračunajte P(1.121<Z<2.975)

� P(1.121<Z<2.975) = P (0<Z<2.975) − P(0<Z<1.121) =0.4985 – 0.3688 = 0.1297 Primjer 11

X je normalno distribuirana varijabla sa sredinom x = 33 i standardnom devijacijom σ = 8. Izračunajte vjerojatnost da je X manji od 20.

�

= P(Z<-1.625) = 0.5 – P(0<Z<1.625)

= 0.5 – 0.4479 = 0.0521 P(X < 20) = 5.21%

Zadatak za vježbu: Na burzi trenutačna cijena dionice tvrtke “Alfa” iznosi 7.20 kuna. Prema predviñanjima brokera tijekom godine cijena dionice biti će normalno distribuirana varijabla sa sredinom x = 7.00 kuna i standardnom devijacijom σ = 0.20 kuna. Pod pretpostavkom da je predviñanje točno, izračunajte vjerojatnost da za godinu dana cijena ove dionice neće biti niža od sadašnje.

−<=<σ

x20ZP20)P(X

Documents

DODATAK 2, Statistika