DÖRT ROTORLU (QUADROTOR) HAVA ARACININ DURUM KESTiRiMiNE DAYALI LQG İLE YÖRÜNGE KONTROLÜ

8/7/2019 DRT ROTORLU (QUADROTOR) HAVA ARACININ DURUM KESTiRiMiNE DAYALI LQG LE YRNGE KONTROL

1/47

STANBUL TEKNK NVERSTES

ELEKTRK - ELEKTRONK FAKLTES

DRT ROTORLU (QUADROTOR) HAVA ARACININ

DURUM KESTRMNE DAYALI LQG LE

YRNGE KONTROL

LSANS BTRME TASARIM PROJES

Ahmet KARAAHMETOLU

KONTROL MHENDSL BLM

OCAK 2011


2/47

STANBUL TEKNK NVERSTES

ELEKTRK - ELEKTRONK FAKLTES



YRNGE KONTROL

LSANS BTRME TASARIM PROJES

Ahmet KARAAHMETOLU

040050447

Danman: Prof. Dr. Hakan TEMELTA

Blme Teslim Edildii Tarih:19.01.2011

KONTROL MHENDSL BLM

OCAK 2011


3/47

ii

NSZ

Lisans eitimim boyunca edindiim bilgi ve birikimiborlu olduum, kazandmmesleki sorumluluk ve etik anlayyla beraber bir mhendis bak asna sahipolmam iin gayretlerini hi esirgemeyen tm Kontrol Mhendislii retimyelerine, aratrma grevlilerineve bitirme projeme nclk eden, hocam Prof. Dr.Hakan Temeltaa teekkr bir bor bilirim.

Ayrca projenin her aamasnda benden bilgi ve deneyimlerini esirgemeyen Ara.

Gr. Mehmet Krat Yalna ve son olarak maddi manevi destekleriyle her zamanyanmdaolan aileme en iten dileklerimle teekkr ederim.

Ocak 2011 Ahmet KARAAHMETOLU


4/47

iii

NDEKLER

Sayfa

KISALTMALAR......ZELGE LSTES..................EKL LSTES....ZET......................................................................................................................GR.....................................................................................................................

1.1 nsansz Hava Aralar..........................................................................1.2 Quadrotor..............................................................................................

2. MODELLEME............2.1 Quadrotorun Matematiksel Modelinin Belirlenmesi.2.2 Dorusal Modelin Elde Edilmesi..

3. DORUSAL KASKAT KONTROL ........3.1 Yatay Eksenlerde Konum Kontrol..3.2 Dikey Eksende Konum Kontrol ve Sapma As Kontrol

4. DURUM KESTRML LQR ve LQG KONTROL.4.1 LQR Kontrol.

4.1.1 Durum geribeslemeli kontrol ve kontroledilebilirlik..4.1.2 LQR kontrol..

4.2 Durum Gzleyicili LQR Kontrol.4.2.1 Luenberger Gzleyicisi ve Gzlenebilirlik4.2.2 Durum gzleyicili kontrol yaps

4.3 Linear Quadratic Gaussian (LQG) Kontrol.

5. BENZETM ORTAMI VE BENZETM SONULARI5.1 Benzetim Ortam...5.2 Sistem Parametreleri.5.3 Senaryolar.5.4 PD-PID Kaskat Kontrol....

5.4.1 Senaryo 15.4.2 Senaryo 25.4.3 Senaryo 3 ...5.4.4 Senaryo 4

5.5 Durum Gzleyicili LQR Kontrol ve LQG Kontrol...5.5.1 Senaryo 15.5.2 Senaryo 25.5.3 Senaryo 35.5.4 Senaryo 4

5.6 Yrnge Planlamas...6. SONU.KAYNAKLAR.EKLER..

ivv

vi

vii

11

1

22

6

8

910

1111

11

12

13

14

14

15

17

17

19

20

20

21

22

23

24

25

25

2627

29

30

34

3536

36


5/47

iv

KISALTMALAR

LQR

LQG

HA

VTOLARE

: Linear Quadratic Regulator

: Linear Quadratic Gaussian

: nsansz Hava Aralar

: Vertical Take-Off and Landing: Algebraic Riccati Equation


6/47

v

ZELGE LSTES

Sayfa

izelge 2.1: Modellemede kullanlan parametreler...... 9izelge 5.1: Sistem parametreleri.... 19izelge 5.2: Senaryolar.... 20izelge 5.3: Kontrolr katsaylar.... 20 izelge 5.4:Yrngelerin varnoktalar 30


7/47

vi

EKL LSTES

Sayfa

ekil1.1: Quadrotor (DragonFlyer)...... 1ekil2.1: Quadrotora ait eksenler ve kuvvetler .... 3ekil 3.1: PD Kontrol .... 10ekil 3.2: Kaskat PD-PID Kontrol .... 10ekil 4.1: Durum geri beslemeli kontrol yaps .. 11ekil4.3:Luenberger Gzleyicili LQR Kontrol Sistemi Blok Diyagram...15ekil 5.1: Kapal evrim sistem blok diyagram .... 18ekil 5.2: PD-PID Kaskat Kontrol Blok Diyagram...21ekil5.3: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlmsistemin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar... 21

ekil5.4: Dorusal olmayan sistem yunuslama ve yalpalama as sistemcevaplar........................................................................................ 22ekil5.5: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlmsistemin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar... 22ekil 5.6: Dorusal olmayan sistem yunuslama ve yalpalama as sistem

cevaplar........................................................................................23ekil5.7: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlm sistemin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar.... 23ekil5.8: Dorusal olmayan sistem yunuslama ve yalpalama as sistem

cevaplar 24ekil5.9: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlm sistemin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar 24ekil5.10:Dorusal olmayan sistem (a) yunuslama ve (b) yalpalama as sistem

cevaplar 25ekil5.11:Durum gzleyicili LQRve LQG kontrol yntemleri iin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar 26ekil5.12:Durum gzleyicili LQR ve LQG kontrol yntemleri iin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar.... 27ekil5.13:Durum gzleyicili LQR ve LQG kontrol yntemleri iin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar.... 28ekil5.14:Durum gzleyicili LQR ve LQG kontrol yntemleri iin x ekseninde, y

ekseninde, z ekseninde, sapma as basamak cevaplar ve referanslar.... 29

ekil5.15:Belirlenen yrngelere ait hz ve konum grafikleri.... 30ekil 5.16:Belirlenen yrngede hareket, grltsz ve ilk koulsuz .... 31ekil5.17:Belirlenen yrngede grlt ve balang koulu altnda hareket.... 32ekil 5.18:Yrnge hareketi boyunca grltsz ve ilk koulsuz ortamda, grlt ve

balang koulu altnda sistemin asal sistem cevaplar..... 33ekil B.1: LQG Kontrol Simulink Grnts. 37ekil B.2: Gzleyicili LQR Kontrol Simulink Grnts . 37ekil B.3:Luenberger Gzleyicisi.... 38ekil B.4:Dorusal olmayan sistem modeli..... 38ekil B.5:Kaskat PD-PID Kontrol Yaps........ 39ekil B.6:PD-PID Kontrolr Blok Diyagram..... 39


8/47

vii



YRNGE KONTROL

ZET

Tezin amac, drt pervaneli insansz bir hava arac olan quadrotorun dorusal kaskat

kontrol ve durum kestirimli LQG (Linear Quadratic Gaussian) kontrol yntemleri ile

yrnge kontrolnn yaplmas ve sonularn incelenip karlatrlmasdr. alma

teorik olarak yaplm, benzetim ortamnda test edilmitir.

Quadrotor, drt pervanesi bulunan ve bu pervanelerin itki kuvvetleri ile tahrik

edildii, alt serbestlik dereceli bir hava aracdr. ok girili ok kl bir sistem

olan quadrotorun matematiksel modeli dorusal olmayan ifadeler iermektedir. Bu

sebeple Kontrol Mhendisliinde ileri dzey almalara konu olmutur. Literatrde

bu hava aralarile ilgili yaplan birokfarklalma vardr[1], [2], [3], [4].

Bu almada, ilk olarak insansz hava aralar hakknda bilgi verilen, quadrotorun

tantld giri blmnn ardndan sistemin matematiksel modeli elde edilmi ve

sistem modeli belirlenen alma blgesinde dorusallatrlmtr. kinci blmde

quadrotorun dorusallatrlm modeli ele alnarak kaskat PD-PID kontrol

algoritmas elde edilmitir. nc blmde LQR (Linear Quadratic Regulator) ve

LQG kontrol tantlm, dorusallatrlm model ele alnarakLuenberger gzleyicili

LQR kontrol ve LQG kontrol algoritmalar oluturulmutur. LQG kontrol algoritmas

oluturulurken Kalman-Bucy filtresi kullanlmtr. almann drdnc blmnde

benzetim ortam tantlm ve kullanlan kontrol yntemleri karlatrlmtr. Elde

edilen kontrol yntemleri dorusal olmayan model zerine uygulanmtrve yrnge

planlamas yaplarak yrnge takip baarm izlenmitir. Uygulama ortam

MATLAB Simulink yazlm kullanlarak oluturulmutur. Son blmde ise

sonular ele alnm ve yorumlanmtr.


9/47

1

1. GR

1.1 nsansz Hava Aralar

nsansz hava aralarna(HA)olan ilgi son zamanlarda hzla artmaktadr ve bu konu

zerine olduka ciddi almalar yaplmaktadr. Bu tarz aralar bata askeri

aratrmalarda olmak zere uzaktan alglama, jeofizik aratrmalar, gvenlik ve

tama gibi birok farkl alanda kullanlabilmektedir. nsanlar iin tehlikeli olabilecek

alma ortamlarnda byk avantajlar salayabilmektedir. Quadrotorlar, kontrol

zor olmakla beraber basit yaps ile en ok ilgiyi grmektedir [1]. Ayrca quadrotor,

dikey kalk-ini (VTOL-Vertical Take-Off and Landing) yapabilmesi ve havada

askda kalabilme zellikleri ile tercih sebebi olmaktadr.

1.2 Quadrotor

Quadrotor yksek hareket kabiliyetine sahip, drt pervaneli, alt serbestlik dereceli

ve dikey-ini kalk zelliine sahip bir insansz hava aracdr. Hareket iin

rotorlardan elde edilen itki kuvvetleri kullanlmaktadr. Birbirine dik iki aft zerine

yerletirilmi drt rotor bulunmaktadr. Rotorlar elektrik motorlar ile

dndrlmektedir.ekil 1.1de rnek bir quadrotor grlmektedir.

ekil 1.1:Quadrotor (DragonFlyer)


10/47

2

Quadrotorlar, alt serbestlik dereceli olup dorusal eksen takmnda (3 boyutta) ve

asal koordinatlarda (3 boyutta) hareket edebilmektedir. Asal hareket yunuslama

(roll), yalpalama (pitch) ve sapma (yaw) alar ile ifade edilir. Rotorlar tarafndan

oluturulan itki kuvveti hareketi salamaktadr. Yunuslama ve yalpalama alar

karlkl rotorlarn rettii itki kuvvetleri arasndaki farkn oluturduu moment ile

salanmaktadr. Ayn zamanda bu alar nedeniyle ara dorusal olarak yatay

koordinatlarda hareket edebilmektedir. Sapma as ise art arda gelen rotorlarn ters

ynde dnmesi ile dengelenmektedir. Dikey dorultuda hareket ise itki kuvvetlerin

toplamna bal olarak gereklemektedir.

2. MODELLEME

2.1 Quadrotorun Matematiksel Modelinin Belirlenmesi

Quadrotorlar yaplarnda birok aerodinamik etkiyi barndrr. Bu etkilerin

aratrlmas bu almann kapsam dnda kalmaktadr. Modelleme srasnda

yaplan genellemeler ve kabuller aadadr:

-

Ele alnan aracn rijit yapda olduu,- Quadrotorun tam olarak simetrik bir yapda olduu ,

- Hava basnc etkisinin nemsenmedii ve aerodinamik etkilerin hzn

karesiyle orantl olduu,

- Eylemsizlik matrisinin kegen olduu kabul edilmitir.

Modellemede kullanlan parametreler izelge 2.1deyer almaktadr.

izelge 2.1: Modellemede Kullanlan Parametreler

Deiken Tanm Birimi

Ix x ekseninde quadrotor ataleti kg 2

d srklenme katsays Nm 2

b itki katsays N 2

L pervane ile merkez aras uzaklk m

m ktle kg

g yer ekimi ivmesi m / 2

F1,2,3,4 rotorlarn itki kuvvetleri N rotor hz rad/s


11/47


12/47

4

(2.3)

(2.4)

Quadrotorun dn hareketi adet Euler as ile ifade edilebilir.Bu alar ve asal

hzlar (2.4)de verilmektedir.(2.4) ifadesinde grlen alar srasyla yunuslama (, x

ekseni etrafnda), yalpalama (, y ekseni etrafnda)ve sapma (, z ekseni etrafnda)

alardr. Euler alar referans eksen takm ile gvdeye sabitlenen eksen takm

arasndaki alar ifade eder. Referans alnan eksen takm dnyaya sabitlenmi

olarak belirlenir. Sistemin konumu bu referans ekseninde gsterilmektedir. Kuvvet,

moment, hz ve ivmeler ise gvdeye sabitlenmi eksen zerinde ifade edilir. Bu

deikenler bir rotasyon matrisi ile referans eksene aktarmaldr ve bu amala, ekil

2.1deki gibi seilen eksen takmna ait Rotasyon Matrisi (2.3) belirlenir [5].

Referans alnan dorusal (x,y,z) eksen takmlarnda dnme eylemsizlik momentleri

(2.5) ifadesinde yer almaktadr.

(2.5)

Dey dorultuda motorlarn oluturduu itki kuvveti, quadrotor zerinde bir

moment oluturur. Bu moment karlkl itki kuvvetleri arasndaki farktan dolay

oluan ve zt ynde dnen rotorlarn arasnda oluan moment farkndan dolay

oluur. Quadrotora etki eden moment denklemi (2.6)dagrlmektedir.

(2.6)

Bylece quadrotora etkiyen moment ifadesi (2.7) eklinde bulunur[6].


13/47

5

(2.7)

Rotorlarda oluan dey itki kuvvetleri Fi, rotorlarn quadrotorun arlk merkezineuzaklL, itki kuvveti katsaysb, srklenme (drag) katsaysd ile

gsterilmektedir.

Bylece asal koordinatlarda elde edilen hareket denklemleri (2.8)de yer

almaktadr.

(2.8)

Quadrotora etkiyen toplam dey itki kuvveti;

(2.9)

Dorusal hareket denklemleri ise g yer ekimi olmak zere, (2.10) ifadesi ile

bulunur.

(2.10)

Sistemin girii (2.11) ile ifade edildiinde quadrotor sistemini ifade eden

matematiksel denklemler (2.12) eklinde olmaktadr[6].


14/47

6

(2.11)

(2.12)

2.2 DorusalModelin Elde Edilmesi

Elde edilen nonlineer denklemler Taylor seri almnda ilk terimler alnarak

dorusallatrlmtr.

(2.13)

(2.13) ifadesi kullanlarak dorusal olmayan denklemler bir alma noktas seilerek

o nokta etrafnda dorusallatrlmtr. Bu alma noktas, (2.14)de ifade edilen

havada askda kalma noktasdr.

(2.14)


15/47

7

Buna gre elde edilen dorusal denklemler (2.15) ve modelin durum uzaynda

ifadesi;

(2.15)

(2.16)

x: durum vektr u: Giri Vektr

y: k vektr

(2.17)

Sistemin tm durumlar ve klar (2.17) ifadesi verilmitir. Sistem klar

yrnge kontrol yaplaca iin (x,y,z,) olarak seilmitir. Bu almada dorudan

hz kontrol yaplmayacak ancak optimal durum kontrol yntemleri kullanlarak hz

deerlerinin belirli aralklarda kalmas salanacaktr. Ayrca dikey dorultuda

sisteme etkiyen sabit terimler tasarm srasnda gz ard edilecek, uygulama

aamasnda sisteme kontrol iareti olarak eklenecektir.

Bylece, elde edilen dorusal modele ilikin durum matrisi, giri matrisi ve k

matrisi (2.18) elde edilmitir.


16/47

8

(2.18)

3. DORUSAL KASKAT KONTROL

Dorusallatrlm model ele alndnda kontrol edilmek istenen sistem klar

(x,y,z,) ile sistem girileri arasnda transfer fonksiyonlar yazlabilir.Bylece z ve

klarna ilikin transfer fonksiyonlar 2. Dereceden (3.3) ve (3.6) ifadelerinde, x

ve y klarna ilikin transfer fonksiyonlar 4. dereceden (3.1) ve (3.2) ifadelerinde

grld gibi elde edilir. Bunun nedeni x ve y klarnn ve terimlerine bal

olmasdr. Bu sebeple yatay konumda uu kontrol iin kaskat bir kontrol

algoritmas uygun grlmtr. Bylelikle, nce ve alarn kontrol eden bir PD

kontrolr, daha sonrada x ve y eksenlerindeki konum kontrol iin PID kontrolr

algoritmaskullanlabilir.


17/47

9

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

3.1 Yatay Eksenlerde Konum Kontrol:

PD kontrolde, hatann oransal ve trevsel katsaylarla arplmas ile kn referans

takip etmesi amalanr. Hata, e=xref-xolmak zere PD kontrol kural u ekilde elde

edilmitir:

(3.7)

Burada Kp ve Kd kontrolr parametreleri, u(t) kontrol iareti ve X(t) sistem kn

temsil etmektedir.

Yunuslama ve yalpalama alarnn kontrol iin PD kontrol yaps kullanlmtr.

(3.4) ve (3.5) transfer fonksiyonlarna bakldnda s-dzleminde iki kutup olduu

grlmektedir. PD, bu sistemi kapal evrimde uygun am ve yerleme zaman

kriterlerine gre kontrol etmek iin uygun bir seimdir. Kullanlacak kontrolr yaps

ekil 3.1de grlmektedir. PD kontrolr ani referans deiikliklerinde trevnedeniyle ok yksek deerler alabilir, bu nedenle kontrolr geribesleme yolu


18/47

10

zerine konmu ve ileri yolda bir kazan eklenmitir. Bu durum kapal evrim

transfer fonksiyonunun karakteristik denklemini deitirmeyecektir.

ekil 3.1:PD Kontrol

x ve y eksenlerinde uu kontrol ekil 3.2de grlen yap ile salanacaktr. Buaamada PID kontrol algoritmas kullanlmtr. Ani referans deiimlerine kar

kontrolr PD ve PI olmak zere iki paraya ayrlm ve PD ksm geribesleme

zerine konulmutur.

ekil 3.2: Kaskat PD-PID Kontrol

3.2 Dikey Eksende Konum Kontrolve Sapma As Kontrol

Dorusal model ele alndnda z ve klarna ilikin sistem modeli ve

alarna ilikin sistem modeli ile ayn olmaktadr. Bu sebeple z ekseninde konum

kontrol ve sapma asnn kontrol iin bir PD kontrolr yeterlidir. Tezin son

blmnde benzetim sonular karlatrlrken g yer ekiminden dolay sistemde

bulunan sabit terim etkileri, kontrol iaretine eklenecektir.


19/47

11

4. DURUM KESTRML LQR ve LQG KONTROL

Dorusallatrlm sistem iin tasarlanan kaskat kontrolr benzetim ortamnda her ne

kadar iyi sonular verse de gerek sistem denklemleri dorusal olmad gibi

sistemde bozucu ve grlt etkileri de olacaktr. Bu nedenle havada asl konumdadorusallatrlan sistemi dorusal PID kontrol yntemi ile yatay eksenlerde kontrol

etmek mmkn olmayacaktr. Bu almada hem bozucu ve grlt etkilerini hemde

nonlineerlik etkilerini azaltmak amacyla Linear Quadratic Gaussian (LQG) kontrol

yntemi kullanlacaktr. Bu yntem, Linear Quadratic Regulator (LQR) kontrolrne

durumlar kestirim yoluyla eklenerek oluturulur. Bu nedenle ilk olarak LQR kontrol

ynteminden bahsedilmi daha sonra Luenberger gzleyici ve Kalman Filtresi olmak

zere iki farkl durum kestirim yntemi zerinde durulmutur.

4.1 LQR Kontrol

Linear Quadratic Regulator (LQR) kontrol yaps, belirlenen maliyet fonksiyonunu

minimum yapacak ekilde tasarlanan bir durum geribeslemeli optimal kontrol

yntemidir. Bu yntemle belirlenen bir performans lt minimum yaplmak

istenmektedir. ncelikle durum geribeslemeli kontrol ve kontroledilebilirlik

kavramlarndan bahsedilecektir.

4.1.1 Durum Geribeslemeli Kontrol ve Kontroledilebilirlik

Durum geribeslemeli kontrol, durum deikenlerinin sabit bir kazanla arplmasna

dayal bir kontrol yntemidir[7]. Durum geribeslemesine ilikin blok diyagram ekil

4.1de verilmektedir.

ekil 4.1:Durum geri beslemeli kontrol yaps


20/47

12

ekil 4.1 de grld gibi kontrol kural;

u = -K x (4.1)

ifadesi olarak elde edilmektedir. A durum matrisi, B giri matrisi, C k matrisi ve

S referans iaretini boyutlandran bir kazan matrisidir.

Bir sistemin kapal evrim kutuplarnn, durum geri beslemesi ile istenen yerlere

atanabilmesi, sistemin kontrol edilebilir olmas ile mmkndr. (4.2) ifadesi ile

belirlenen sistem iin (A,B) kontrol edilebilir bir ift ise sistem kararl hale

getirilebilir [8].

(4.2)

Birbalang anndan snrl bir sre ierisinde sistemin tm durumlar bir son deere

gtrlebiliyorsa sistem kontrol edilebilir denir. Rudolf Kalmann aklad bu

kstas durum geribeslemeli kontroln kouludur. Kontroledilebilirliin testi iin (4.3)

matrisi incelenmelidir.

(4.3)

Kontroledilebilirlik matrisinin kertesi tam (full rank) ise sistem kontrol edilebilir

demektir [5]. 2. Blmde elde edilen dorusal quadrotor modeli incelendiinde

kontroledilebilirlik matrisinin bu koulu salad ve sistemin kontrol edilebilir

olduu grlmektedir.

4.1.2 LQR Kontrol

Dorusalzamanla deimeyen (4.2) sistemi iin;

(4.4)


21/47

13

Q pozitif tanml, Rpozitif yartanml matrisler ve bir katsay olmak zere JLQRyi

minimum yapan kontrol algoritmasna LQR denmektedir. Eer ok byk seilirse

JLQRyi azaltmak iin kontrol iareti kk deerler alacak, ok kk seilirse x(t)

durumlar kk deerler alacak ancak kontrol iareti ok byyecektir[9]. (4.4)

ifadesi ile tanmlanan karesel maliyet fonksiyonunu minimum yapan kontrol kural

(4.5) ifadesi ile verilmektedir.

(4.5)

K geribesleme kazanc olmak zere 4.6 ifadesi ile hesaplanmaktadr.

(4.6)

(4.6) ifadesinde yer alan P, (4.7)da verilen cebirsel Riccati denkleminin (Algebraic

Riccati Equation-ARE) zyinelemeli zm ile bulunan pozitif yar tanml bir

matristir [9].

(4.7)

LQR tasarmnda en nemli adm (4.4) ifadesi ile tanmlanan maliyet fonksiyonun

belirlenmesidir. Burada Q ve R arlk matrisleri kontrol edilecek durumlarn

referanstan hatasnn ve kontrol iaretininbyklerinin ne kadar snrlanacan

belirlerler. Bu arlk matrislerinin belirlenmesi iin farkl yntemler bulunmaktadr.

Bu alma da Bryson kural kullanlmtr[9]. Bu kurala gre Q ve R matrisleri (4.8)

ifadesi ile elde edilmektedir.

(4.8)

4.2 Durum Gzleyicili LQR Kontrol

LQR kontrol ynteminin uygulanabilmesi iin tm durumlarn llebiliyor olmas

gerekmektedir. Ancak bu fiziksel dnyada gereklenmesi ou zaman mmkn bir

durum deildir. Quadrotor elde edilen modele gre 12 durumdan olumaktadr. Bu


22/47

14

durumlardan, C k matrisinde yer ald gibi, drt tanesinin kontrol edilmesi

amalanmaktadr. Bu alma kapsamnda sadece bu drt kn llebildii

varsaylmtr. Durum geribeslemeli kontrol iin sistemin dier durumlarnn

bilinmesine ihtiya duyulmaktadr ve bu durumlar kestirim yoluyla elde edilecektir.

Bylece LQR kontrolre Luenberger gzleyici eklenerek sistem kontrol edilecektir.

4.2.1 Luenberger Gzleyicisive Gzlenebilirlik

Durum gzleyicisi bir sistemin llen giri ve klarndan yola karak sistemin

llemeyen durumlarn kestirmek iin kullanlan bir yntemdir. Sistemin tm

durumlarnn tahmin edilebilmesi iin sistemin gzlenebilir bir sistem olmas

gerekmektedir. Gzlenebilirlik, kontroledilebilirliin duali olup bir sistemin bilinen

giri ve klarndan yola karak sistemin tm durumlar bulunabiliyorsa sistem

gzlenebilir denir. Gzlenebilirliin testi iin (4.9) matrisi incelenmelidir.

(4.9)

Gzlenebilirlik matrisinin kertesi tam (full rank) ise sistem gzlenebilir demektir

[10]. 2. Blmde elde edilen dorusal quadrotor modeli incelendiinde, sistemin

(x,y,z,) klar iin bu koulu salad ve sistemin gzlenebilir olduu

grlmektedir.,

(4.10)

(4.10) biiminde tanmlanan bir sistem iin Luenberger gzleyicisi (4.11) eklinde

ifade edilen bir sistemdir.

(4.11)

olmak zere(4.11) ifadesi elde edilir.


23/47

15

. (4.12)

Grld gibi gzleyici tasarm, durum geribeslemeli kontrolde olduu gibi bir

kutup atama problemi olarak karmza kmaktadr. (A,C) gzlenebilir bir iftse (A-

LC)nin zdeerleriniistenilen yere atayan bir L matrisi belirlenebilir.

4.2.2 Durum Gzleyicili Kontrol Yaps

Durum gzleyicisi ile kestirilen durumlar (4.13) ifadesinde yer alan kontrol kuralnda

grld gibi durum geribeslemeli kontrolde kullanlan durumlarn yerine

kullanlr.

Bu kontrol kuralna referans eklenerek referans kontrol yaps oluturulurken

referans boyutlandran bir S matrisi kullanlmtr. Bu ekilde elde edilen kontrol

sisteminin blok diyagram ekil 4.1degrlmektedir

ekil 4.2:Luenberger Gzleyicili LQR Kontrol Sistemi Blok Diyagram

.

(4.13)


24/47

16

4.3 Linear Quadratic Gaussian (LQG) Kontrol

Sistem modeli (4.10) eklinde olduu srece durum gzleyicisi iin seilen L matrisi

(A-LC)yi asimptotik kararl yapacaktr. Ancak genellikle sistem dinamii lme

grltleri ve bozuculardan etkilenir. Bu durumda daha makul bir sistem modeli;

(4.14)

biiminde olmaldr. d bozucu etkileri ve n ise grlty ifade etmektedir. Elde

edilen gzleyici hatas (4.15) biimde olacak,bozucu ve grlt sebebiyle gzleyici

hatas sfra yaknsamayacaktr.

(4.15)

LQG probleminde (4.16) ifadesini minimum yapan L matrisi bulunur.

(4.16)

(4.17)

d (t) ve n (t) sfr ortalamal Gaussian grlts olmak zere (4.17)de grltnn

toplam g spektrumunu ifade edilmektedir. d(t) ve n(t) geni anlamda duraan

rastgele sreler (wide-sense stationary random process) olmak zere (4.18) ifadesi

otokorelasyon fonksiyonunu vermektedir.

(4.18)

Burada E, beklenen deer operatrdr. G spektrumu (4.18) fonksiyonunun

fourier dnm(4.19) olarak elde edilir [9].

(4.19)


25/47

17

QNve RNmatrisleri elde edildikten sonra (4.14) sistemi iin (4.15)de verilen JLQG

yi minimum yapan L matrisi (4.20) ifadesi ile bulunur.

(4.20)

P matrisi, (4.21) ile verilen cebirsel Riccati denkleminin zmdr.

(4.21)

(4.14) sistemi iin kullanlan bu yntem Kalman filtresinin srekli zaman versiyonu

olup Kalman-Bucy filtresi olarak adlandrlr.L matrisi hesaplandktan sonra K

durum geribesleme kazancnn bulunmas iin izlenecek yntem LQR problemi ile

ayndr.

5. BENZETM ORTAMI VEBENZETM SONULARI

5.1 Benzetim Ortam

Dorusal ve dorusal olmayan sistem modelleri MATLAB Simulink yazlm

zerinde oluturulmu ve tasarlanan kontrolrler bu yazlm zerinde denenmitir.

Kontrol algoritmalarnn oluturulmas MATLAB komutlar yardm ile

gerekletirilmitir. Benzetim sonularndan bahsedilirken kontrol parametrelerinin

nasl belirlendii zerinde de durulacaktr. Kontrol algoritmalarnn benzetim

sonular verilirken Simulink grntleri yerine sisteme ait blok diyagramlar

verilecektir.

Ayrca kontrol iareti sisteme etkiyen ivmeler olarak ele alnm, rotorlar dndren

motor dinamikleri ve sisteme dorusal etkiyen sistem parametreleri kontrolr

tasarm srasnda gz ard edilmitir. Benzetim srasnda bu etkilerde sisteme

eklenecektir. Bylece elde edilen kapal evrim sistem blok diyagram ekil 5.1 te

yer almaktadr.


26/47

18

ekil 5.1:Kapal evrim sistem blok diyagram

ekil 5.1de yer alan w rotorlarn asal hzlar, u ivme (kontrol iareti), ysistem

k, refkonum referans ve Velektrik motorlarna uygulan gerilimdir. Gy

quadrotorun kontroln, Gwrotorlarn asal hz kontroln salamaktadr.Gr motor

dinamiklerini,Gq quadrotorun hareket karakteristiini ieren sistem modelleridir.T

ise rotorlarn asal hzlar ile quadrotora etkiyen ivme arasnda, sistem

parametrelerinden oluan bir dnm operatrdrve (5.1) ile ifade edilmektedir.

Tezin bundan nceki aamalarnda uref = u kabul ile kontrol algoritmalar

oluturulmutur.Grsistemi bir Gwkontrolr ile kontrol edildikten sonra motorlarngeici hal dinamikleri quadrotor sistemine gre olduka hzl olacaktr ve sistemi ok

az etkileyecektir. Bu alma motorlarn kontrol konusu iermemektedirve uref = u

kabul yaplarak benzetimler gerekletirilmitir.

w = [w1 w2 w3 w4]T

(5.2)


27/47

19

b, m, Ix,y,zve dizelge 2.1de yer alan sistem parametreleri ve Nbir matris olup

rotor asal hzlarn ifade eden wvektrnn nokta arpm ile arplarak ukontrol

iaretini vermektedir. T operatr(5.1) ilemini yapan bir ilem operatrolup tersi

alnabilmektedir.

Kontrol algoritmalarndan bahsedilirken sisteme etkiyen sabit etkiler (g, yer ekimi)dorusal durum uzay modelinde yer almamtr. Ancakbenzetim srasnda sistemde

yer alan sabit etkiler kontrol iaretine toplam olarak eklenmi (uref+g) ve sistem

yeniden dorusallatrlmtrve kontrolrler bu dorusal sistem zerinden

tasarlanmtr. Yeniden elde edilen dorusal model (5.2)dediferansiyel

denklemlerle ifade edilmitir.

(5.2)

5.2 Sistem Parametreleri

izelge 5.1: Sistem Parametreleri

Deiken Tanm BirimiIx 8.1e-3 kg 2

Iy 8.1e-3 kg 2Iz 14.2e-3 kg 2

d 1.1e-6 Nm 2b 54.2e-6 N 2

L 0.48 m

m 1.0 kg

g 9.81 m / 2

max 3500 RPM

max 366 rad/s


28/47

20

5.3 Senaryolar

Oluturulan kontrol algoritmalarn denemek zere be farkl senaryo

oluturulmutur. Bu senaryolar izelge 5.2de yer almaktadr.

izelge 5.2: Senaryolar

Senaryox

[m]

y

[m]

z

[m]

[o]

lkKoullar[ ]

Grlt(Gaussian Noise)

ortalama: 0

1 3 4 5 0 0 0

2 3 4 5 10 0 0

3 3 4 5 10 [pi/10 pi/10 pi/10] 0

4 3 4 5 10 [pi/10 pi/10 pi/10] Varyans: 0.01

5.4 PD-PID Kaskat Kontrol

(5.2) sistemini kontrol etmek iin bir PD-PID kontrol algoritmas, 3. blmde

oluturulmutu. Gerekli kontrolr parametreleri belirlenen bir ama fonksiyonunu

minimum yapacak ekilde genetik algoritma yardm ile elde edilmitir. Bu amala

MATLAB yazlm ile bir ama fonksiyonu oluturulmu ve bu fonksiyonu

minimum yapan kontrolr parametreleri MATLAB Gatool arac ile belirlenmitir.Bu ama fonksiyonunu oluturan kriterler, hatann karesel integralinin zamanla

arpm ile kontrol sinyalinin karesel integrallerinin toplamlar (ITSE ve ISU) olarak

belirlenmitir. ekil 5.2 deki yap iin hesaplanan kontrolr katsaylar izelge

5.3te verilmektedir.

izelge 5.3: Kontrolr Katsaylar

Kp Ki Kd

x ekseninde kontrol leri yol Geribesleme

evrim 2.416 1.632 0 2.683

D evrim 1.185 1.001 0.349 0.886

y ekseninde kontrol

evirm 2.416 1.632 0 2.683

D evrim -1.185 1.001 -0.349 0.886

z ekseninde kontrol 0.9878 0 0 1.6596

Sapma as () 0.9878 0 0 1.6596


29/47

21

ekil 5.2: PD-PID Kaskat Kontrol Blok Diyagram

5.4.1 Senaryo 1

(a) (b)

(c) (d)

ekil 5.3: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlm sistemin (a) x ekseninde,(b) y ekseninde, (c) z ekseninde, (d) sapma as basamak cevaplar vereferanslar


30/47

22

(a) (b)

ekil 5.4: Dorusal olmayan sistem (a) yunuslama ve (b) yalpalama as sistemcevaplar

Dorusal olmayan sistem d etkiler olmamasna ramen salnml bir davran

gstermektedir. Sistemi belirli bir alma noktasnda dorusallatrdmz iin bu

alma blgesinden uzaklatka sistem davran beklenilen in dnda olmaktadr.

5.4.2 Senaryo 2

(a) (b)

(c) (d)

ekil 5.5: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlm sistemin (a) x ekseninde,(b) y ekseninde, (c) z ekseninde, (d) sapma asbasamak cevaplar vereferanslar


31/47

23

(a) (b)


Dorusalmodele uygulan referanssistem cevaplar zerinde bir etki

yapmamasna ramen, dorusal olmayan modelinin tm klar bu durumdan

etkilenmektedir. Bunun nedeni dorusallatrma ileminden sonra x, y ve z klar

asndanbamsz olarak elde edilmitir ancak gerek sistemde tm klar

sapma asna baldr.

5.4.3 Senaryo 3

(a) (b)

(c) (d)

ekil 5.7: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlm sistemin (a) xekseninde, (b) y ekseninde, (c) z ekseninde, (d) sapma as

basamak cevaplar ve referanslar


32/47

24

(a) (b)


5.4.4 Senaryo 4

(a) (b)

(c) (d)

ekil 5.9: Dorusal olmayan sistem ve dorusallatrlm sistemin (a) xekseninde, (b) y ekseninde, (c) z ekseninde, (d) sapma as

basamak cevaplar ve referanslar


33/47

25

(a) (b)


Grld gibi dorusal sistem ele alnaraktasarlanan PD-PID kaskat kontrol yaps

dorusal olmayan sistem modeli zerinde ok kt sonular vermitir. Her ne kadar

1. senaryoda sistem kararl olsa da, sisteme eklenen balang koullar ve grltsistemi kararsz yapmaktadr.

5.5 Durum Gzleyicili LQR Kontrolve LQG Kontrol

Durum gzleyicili LQR ve LQG kontrol algoritmalar MATLAB komutlar

yardmyla oluturulmutur. Gzleyici tasarm iin place, LQR tasarm iin lqr

ve Kalman filtresi iin kalman komutlar kullanlmtr. Elde edilen gzleyici,

LQR ve Kalman filtresi tasarm parametreleri EK-AdaMATLAB kodlar EK-Bdeyer almaktadr.

5.5.1 Senaryo 1

Balang koullar ve grltlerin sistemde olmad durumda hem durum

gzleyicili LQR kontrol yntemi hemde Kalman Filtreli LQG kontrol yntemi

(x,y,z) eksenlerde referans olduka iyi takip etmektedir. Durumlarn kestirimine

dayal bu kontrol yntemleri, ekil 5.11de grld gibi, sistemdeki dorusal

olmayan etkilere kar olduka dayankl (robust) sonular vermektedir.


34/47

26

(a) (b)

(c) (d)

ekil 5.11: Durum gzleyicili LQR ve LQG kontrol yntemleri iin (a) xekseninde, (b) y ekseninde, (c) z ekseninde, (d) sapma as basamak cevaplar vereferanslar

5.5.2 Senaryo 2

lkbenzetim sonularnda olduu gibi, sisteme referans sapma as eklenmesiyle her

iki kontrol ynteminde de tm klar referans takibini iyi bir ekilde

gerekletirmitir. Bu durum optimal LQR tasarmnda kriter olarak belirlenen

durumlarn kabul edilebilir maksimum deerleri ile dorudan ilikilidir. Her iki

kontrol ynteminde de belirlenen kriterler dorultusunda dorusal PID kontrolyntemi gre daha dayankl sonular elde edilmitir.


35/47

27

(a) (b)

(c) (d)


5.5.3 Senaryo 3

Sistem durumlarndan (,,) alarna eklenen /10 kadar balang koulu durum

gzleyici sistemi kararsz kld ekil 13te grlmektedir. Buna karn LQG

kontrolr istenilen sistem cevabn vermektedir.Bu benzetim sonucunda grld

gibi LQG kontrol deien ortam artlarna gre olduka etkili bir kontrol yntemidir.


36/47

28

(a) (b)

(c) (d)


Benzetimin bu aamasnda LQR kontrolr kararsz duruma getii iin bir sonraki

senaryoda balang koullar kullanlmayacak sadece Gaussian grlts altnda

sistem cevaplar incelenecektir.


37/47

29

5.5.4 Senaryo 4

(a) (b)

(c) (d)


Balang koullar altnda iyi sonular veren LQG kontrol, Gaussian grltl

benzetim ortamnda da sistemi kararl klabilmesine karn Luenberger gzleyicili

LQR kontrol sistemi kararl klmak iin yetersiz kalmtr.


38/47

30

5.6 Yrnge Planlamas

Blm 5.4 ve 5.5te tasarlanan kontrol sistemlerinin basamak giriler iin

performanslar karlatrlmtr. Bu blmde ise almada incelenen kontrol

algoritmalar arasnda belirlenen performans kriterlerine gre en iyi sonu veren

LQG kontrol yntemi iin bir yrnge planlamas yaplarak sistemin performansincelenecektir.

Belirlenen yrngelerin balang ve var noktalarna ait koordinatlar izelge

5.15te yer almaktadr.

izelge 5.4: Yrngelerin var noktalar

Koordinatlar x y z

Balang 0 0 01. Yrnge 4 16 8

2.Yrnge 12 4 2

3.Yrnge 8 8 8

4.Yrnge 2 2 2

Yrngelerdeki hareketin x,y ve z eksenlerindeki hz ve konum grafikleriayr ayr

belirlenmitir veekil 5.15de yer almaktadr.

ekil 5.15: Belirlenen yrngelere ait hz ve konum grafikleri


39/47

31

Benzetim sresi 96 saniyedir. Hedef koordinatlarda bekleme sresi Grlt ve

balang koullar olmadan ve referans sapma as sfr olmak zere (x,y,z) eksen

takmnda, referans yrngeler ve quadrotorun yrnge takibi ekil 5.16da yer

almaktadr.

ekil 5.16: Belirlenen yrngede hareket, grltsz ve ilk koulsuz

ekil 5.16te grld sistem iki hedef noktasndaki hareketi boyunca srekli hal

hatas yapmasna ramen hedef noktaya sorunsuz olarak ulamaktadr. Bunun nedenisistemin kontrolnn sadece basamak giriler iin yaplm olmasdr. Rampa ve

parab0lik girilere kar sistemin kontrol bu alma kapsam dnda braklmtr.


40/47

32

Sisteme, varyans 0.01 olan Gaussian grlts ve pi/10 rad ilk koul eklendiinde

referans yrngeler ve quadrotorun yrnge takibi ekil 5.16da yer almaktadr.

ekil 5.17: Belirlenen yrngede grlt vebalang koulu altnda hareket

ekil 5.17de grld gibi LQG kontrol algoritmas balang koullar ve

grltye ramen sistemi kararl klabilmitir.

Yrnge hareketleri boyunca , , alarnn zamanla deiimini veren grafikler

ekil 5.18de yer almaktadr.


41/47

33

(a)

(b)

ekil 5.18: Yrnge hareketi boyunca (a) grltsz ve ilk koulsuz ortamda, (b)grlt ve balang koulu altnda sistemin asal sistem cevaplar

Sapma asnn () dier asal konumlara daha ok bozulmas ka etkiyen

grltden dolaydr.


42/47

34

6. SONU

Bu almada son yllarda poplerlii hzla artan insansz hava arac, quadrotorun

modellemesi ve kontrol, benzetim ortamnda gerekletirilmi ve sonular

yorumlanmtr. Quadrotor, yapsnda bulunan nonlineer etkiler sebebiyle PID gibi

dorusal kontrol yntemleri ile kontrol edilmesi mmkn olmayan bir sistem olarakkarmza kmaktadr. Bu almada da dorusal kontrol yntemlerinin dorusal

olmayan quadrotor sisteminin kontrolnde ne kadar etkisiz kald dorulanm ve

quadrotor sistemi iin daha etkili kontrol yntemleri aratrlmtr. Bu aamada

olduka etkili bir kontrol yntemi olan, optimal LQR kontrolr zerinde

durulmutur. Ancak LQR kontrol her ne kadar dayankll garanti eden bir kontrol

yntemi olsa da, bu durum sistemdeki tm durumlarm llebilmesi kouluna

baldr [9]. Bu sebeple dayankllk problemini ortadan kaldracak yetenee sahip

bir kestirim yntemi olanKalman filtresinin kullanldLQG kontrolre ynelmek

uygun bir seenek olarak karmza kmaktadr. Kalman filtresi ve LQR kontrol

yntemi bir arada dorusal olmayan sistemlerin kontrol iin olduka gl kontrol

algoritmalar gelitirmeye olanak salamaktadr. almamzda elde ettiimiz

benzetim sonular da bunu dorular niteliktedir.

Bu almada, tasarlanan kontrol algoritmalarbenzetim ortamnda gerekletirilmi

olmas sebebiyle gerek uygulamalarda karmza kabilecek baz kstlargz ardedilmitir. Bu nedenle quadrotorlarda itki kuvvetini oluturan motorlarn kontrol ,

lmede karlalan sorunlar gibi balca konular bu almann kapsam dnda

braklmtr. Buna karnarlkl olarak dorusal olmayan sistemlerin kontrolnde

dorusal yntemlerin baarm ltleri zerinde durulmu ve alternatif yntemler

nerilmitir.

Gelecek almalarda, gerek bir quadrotor sistemi zerinde almalar yaplarak

karlalabilecek kstlarzerinde ve bu almada kullanlan kontrol yntemlerinin

tasarm kriterlerinin optimum olarak seimi zerinde durulmas beklenebilir. Bu

almada yer almayan hz kontrol ve yrnge takibi srasnda oluan srekli hal

hatalarn giderilmesi zerinde alma srdrlebilir. Bunun yan sra daha ileri bir

alma olarak uyarlamal kontrol yntemleri zerine almalar yaplabilir.

Uyarlamal yntemlerin LQG zerinde veya beraber uygulanmas ile dorusal

olmayan sistemlere kar daha etkin sonular elde edilebilir.


43/47

35

KAYNAKLAR

[1] Dikmen, .C., Arsoy, A., Temelta, H., Dikey ni-Kalk Yapabilen Drt

Rotorlu Hava Aracnn (Quadrotor) Uu Kontrol,Havaclk ve Uzay TeknolojileriDergisi, Cilt 4., Say 3.,pp. 33-40, 2009.

[2] Soumelidis, A., Prohazska Z., Regula G., Bauer P., Embedded Computer

Based Nonlinear Vehicle Control: A Quadrotor Helicopter Experiment, Hungary,

2008.

[3] Kvrak, A.., Design of Control Systems for a Quadrotor Flight Vehicle

Equipped With Inertial Sensors, Yksek Lisans Tezi, Atlm niversitesi, Ankara,

2006.

[4] Petersen, C.F., Hansen H., Steffen L., Rimestad, M., Madsen L.T.,

Autonomous Hovering with a Quadrotor Helicopter, Project Report, Aalborg

University, 2008.

[5] Franko, S., nsansz Helikopterin Model ngrl Kontrol, Yksek Lisans

Tezi, stanbul Teknik niversitesi, stanbul, 2010.

[6] Karakurt, M.,Quadrotor VTOL Aracnn Modellenmesi ve Kontrol,LisansTezi, stanbulTeknik niversitesi, stanbul, 2010.

[7] Kyak, E., Durum Geribeslemeli Uu Kontrol Sistem Tasarm, Erciyes

niversitesi Fen Bilimleri Enstits Dergisi, Say25., pp. 409425, 2009.

[8] Bozkurt, A.,Kontroledilebilirlik ile Kararllk Arasndaki liki, Dumlupnar

niversitesi Fen Bilimleri Enstits Dergisi, Say17., 2008.

[9] Hespanha, J.P.,Undergraduate Lecture Notes on LQR/LQG Controller

Design, 2007.

[10] Williams II, R.L.,Lawrence D.A.,Linear State Space Control Systems,John

Wiley & Sons, Inc.,pp. 151-157,New Jersey, 2007.


44/47

36

EKLER

EK-A

Matlab Kodlar

clear

clcj1 = 8.1e-3;

j2 = 8.1e-3;

j3 = 14.2e-3;

b = 54.2e-6;

d = (1.1e-6);

l = 0.48;

m = 1.0;

g = 9.81;

T=[1/m 1/m 1/m 1/m;

0 -1/j1 0 1/j1;

-1/j2 0 1/j2 0;

-d/(b*j3) d/(b*j3) -d/(b*j3) d/(b*j3)];

T1=inv(T);

g1=2*g;

g2=-g1;

A=[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 g1 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 g2 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];B=[0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

1 0 0 0;

0 0 0 0;

0 1 0 0;

0 0 0 0;

0 0 1 0;

0 0 0 0;

0 0 0 1];

C=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0];

D=[0 0 0 0;

0 0 0 0;0 0 0 0;

0 0 0 0];

G=eye(12);

H=[0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0];

p=[-20 -21 -22 -23 -24 -

25 -26 -27 -28 -29 -30 -

31];

L=place(A',C',p)';

G1=[0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

1 0 0 0;

0 0 0 0;

0 1 0 0;0 0 0 0;

0 0 1 0;

0 0 0 0 ;

0 0 0 1];

H1=[0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 0];

BB=[B G1];

DD=[D H1];

GSk=ss(A,BB,C,DD);

QN=[0.1 0 0 0;

0 0.1 0 0;

0 0 0.1 0;

0 0 0 0.1]*20;RN=[1 0 0 0;

0 1 0 0;

0 0 1 0;

0 0 0 1]/100;

[est,Lk,Pk]=kalman(GSk,QN,RN);

p0=0.5;

p1=0.1;

p2=20;

p3=10;

p4=10;

q=1;

Q=[1/(p3^2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;

0 1/(p4^2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 1/(p3^2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 1/(p4^2) 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 1/(p3^2) 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 1/(p4^2) 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1/(p1^2) 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1/(p1^2) 0 0 0 0 ;

0 0 0 0 0 0 0 0 1/(p1^2) 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/(p1^2) 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/(p0^2) 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/(p0^2)];

R=[1/(p2^2) 0 0 0;

0 1/(p2^2) 0 0;

0 0 1/(p2^2) 0;

0 0 0 1/(p2^2)];QQ=transpose(G)*Q*G;

RR=transpose(H)*Q*H+q*R;

NN=transpose(G)*Q*H;

[K s e]=lqr(A,B,QQ,RR,NN);

K1=[0 0 2 0;

0 -2 0 0;

2 0 0 0;

0 0 0 40];

init = pi/10;


45/47

37

EK-B

LQR ve LQG Kontrolr Simulink Grnts

ekil B.1: LQG Kontrol Simulink Grnts

ekil B.2: Gzleyicili LQR Kontrol Simulink Grnts


46/47

38

ekil B.3: LuenbergerGzleyicisi

ekil B.4: Dorusalolmayan sistem modeli


47/47

Dorusal olmayan modele ait Matlab Embedded Function :

function[X_dotdot,Y_dotdot,Z_dotdot,Phi_dotdot,Teta_dotdot,Psi_dotdot] = fcn(u1,u2,u3,u4,Phi,Teta,Psi)X_dotdot=u1*(cos(Phi)*sin(Teta)*cos(Psi)+sin(Phi)*sin(Psi)); Y_dotdot=u1*(cos(Phi)*sin(Teta)*sin(Psi)-sin(Phi)*cos(Psi)); Z_dotdot=u1*(cos(Phi)*cos(Teta))-9.81;

Phi_dotdot=u2;Teta_dotdot=u3;Psi_dotdot=u4;

ekil B.5: Kaskat PD-PID Kontrol Yaps

Documents

DÖRT ROTORLU (QUADROTOR) HAVA ARACININ DURUM KESTiRiMiNE DAYALI LQG İLE YÖRÜNGE KONTROLÜ