Amaçlar:1. Düzlemsel hareket halinde

bulunan bir cisme üçhareket denklemininuygulanması.

2. Ötelenme hareketi içerenproblemlerin analizi.

DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ:

DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ

• Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiğini sabit bir referans ekseninegöre simetrik olan cisimler için sınırlayacağız. Cisme etkiyenkuvvetler de bu eksene göre yine simetrik etkiyecek.

• Bir önceki bölümde incelendiği gibi, bir cisim genel düzlemselhareket yapıyorsa, ötelenme ve dönme hareketlerininkombinasyonu şeklinde hareket ediyor demektir.

• Önce P gibi bir noktadakoordinat sistemi oluşturulur.

x-y eksenleri dönmemelidir.Eksenler bir yere sabit olmalıveya sabit bir hızla hareketedebilir.

• Bir cisim ötelenme hareketi yapmaktaysa hareket denklemi ΣF = m aG (vektörel) olacaktır. Bu denklem skaler formda yazılabilir.

Σ Fx = m(aG)x ve Σ Fy = m(aG)y

HAREKET DENKLEMLERİÖtelenme Hareketi

• Bu denklemler ne ifade eder:Cisme etkiyen tüm kuvvetlerintoplamı cismin kütlesi çarpı kütlemerkezinin ivmesine eşittir (ikiyönde de bu sağlanmalıdır).

DÖNME YOK!

DÖNME HAREKETİ VARSA NE OLUR?Dış kuvvetlerin oluşturduğu momentlerin etkisini yani dönmehareketini de dikkate alırsak:

Bu kuvvetlerin bir P noktasına göre momenti aşağıdaki gibihesaplanır:

Σ (ri × Fi) + Σ Mi = r × maG + IGαααα

ΣΣΣΣ Mp = ΣΣΣΣ(Mk)p

Burada r = x i + y j ve Σ Mp tüm dış kuvvetlerin P noktasında yarattığı momenttir. Σ(Mk)p terimi P noktasına göre kinetik moment denir.

r

DIŞ KUVVETLER ATALET KUVVETLERİ

DİNAMİK DENGE

Dış Kuvvetlerin P’de oluşturdukları momentDış Kuvvetlerin P’de

oluşturdukları moment

Dış Kuvvetlerin P’de oluşturdukları moment, kinetik

kuvvetlerin aynı noktada oluşturdukları momente

EŞİTTİR!

P noktası cismin kütle merkezi G ile çakışıyorsa, yukarıdakidenklem skaler tek bir denkleme indirgenir ΣMG = IGα.

Bu denklem ne ifade eder: Etkiyen tüm dış kuvvetlerin kütlemerkezine göre yarattığı bileşke moment, G noktasına göre

kütle atalet momenti × açısal ivmeye eşittir.

Böylece genel düzlemsel hareket için, üç adet bağımsız skalerdenklem kullanarak, rijit bir cismin genel hareket denklemitanımlanabilir. Bu denklemler aşağıda özetlenmiştir:

Σ Fx = m(aG)x

Σ Fy = m(aG)y

Σ MG = IGα veya Σ Mp = Σ (Mk)p

GENEL DÜZLEMSEL HAREKET DENKLEMLERİ

P nok. herhangi bir nokta!

Atalet Kuvvetleri

Eğer rijit bir cisim sadece ötelenme hareketi yapıyorsa, budurumda cisim üzerindeki tüm parçalar eşit ivmeye sahiptir yaniaG = a ve αααα = 0.Bu durumda hareket denklemi aşağıdaki hali alır:

Eğer problemi kolaylaştıracaksa, moment denklemi kütlemerkezinin dışında başka bir noktaya göre alınarakuygulanabilir. Örneğin A noktası kullanılırsa:

ΣMA = (m aG ) d

HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME DURUMU

Σ Fx = m(aG)x

Σ Fy = m(aG)y

Σ MG = 0

Eğer rijit bir cisim eğrisel ötelenme hareketi yapıyorsa, n-t koordinatlarını kullanmak en uygun durumu oluşturur.Bu durumda, n-t koordinatları için yazılmış hareket denklemlerini kullanmak gerekir:

Σ Fn = m(aG)n

Σ Ft = m(aG)t

Σ MG = 0 or

Σ MB = e[m(aG)t] – h[m(aG)n]

HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME DURUMUEĞRİSEL ÖTELENME (devam)

+

ANALİZ YÖNTEMİSadece ötelenme hareketi yapan rijit bir cismin kinetiği aşağıdaki adımlar izlenerek çözülebilir:

1. x-y veya n-t referans eksenleri oluşturulmalıdır ve kütlemerkezinin ivmesi aG için bir yön tayin edilmelidir,

2. Tüm dış kuvvetleri ve atalet kuvvetlerini gösterir serbest cisimve kinetik diyagramlar çizilmelidir,

3. Bilinmeyenler gösterilmelidir,

5. Sürtünme kuvvetleri her zaman hareket yönünün tersi yönünde etki etmektedir.

4. Üç hareket denklemi uygulanmalıdır (aşağıdaki gruplardan biriya da ötekisi):

Σ Fx = m(aG)x Σ Fy = m(aG)y Σ Fn = m(aG)n Σ Ft = m(aG)t

Σ MG = 0 veya Σ MP = Σ (Mk)P Σ MG = 0 veya Σ MP = Σ (Mk)P

Verilen: 50 kg’lık kasa yataybir yüzeydedurmaktadır. Yüzeyinkinetik sürtünmekatsayısı µk = 0.2.

Aranan: P = 600 N ise,kasanın ivmesi nedir?

Yöntem: Analiz yöntemini uygula!

Dikkat edilirse, P kuvveti kasayı devirmeden kaydırabilirveya devirebilir. Önce, devrilmeden hareket ettiğinidüşünelim. Bu kabulü daha sonra kontrol edeceğiz!

ÖRNEK 1

Koordinat eksenleri ve serbestcisim diyagramı gösterilmiştir.Kasanın ağırlığı (50)(9.81) Nkütle merkezine ve normal kuvvetNc ise O’ya etkimektedir (çünküP’nin oluşturduğu devrilmemomentine karşı koymaktadır). Onoktası kasanın merkezinden bir xmesafesine etkimektedir.Bilinmeyenler Nc, x, ve aG’dir.

Hareket denklemlerini uygularsak:

Çözüm:

Σ Fx = m(aG)x: 600 – 0.2 Nc = 50 aG

Σ Fy = m(aG)y: Nc – 490.5 = 0

Σ MG = 0: -600(0.3) + Nc(x) – 0.2 Nc(0.5) = 0

Nc = 490.5 N

x = 0.467 m

aG = 10.0 m/s2

⇒⇒⇒⇒

ÖRNEK (devam)

x = 0.467 m < 0.5 m, olduğu için kasa kabul edildiği gibidevrilmeden kaymaktadır.

x 0.5 m’den büyük olsaydı, problemi devrilme kabulü altındatekrar çözmek gerekecekti. Bu durumda NC’nin A noktasınaetkidiği kabul edilecekti.

ÖRNEK (devam)

ÖRNEK 2

Verilen: El arabası 200 kg kütleyesahiptir ve kütle merkezi G

noktasındadır. Kola P=50 N’luk birkuvvet etki etmektedir. Araba yataydüzlemde hareket halindedir vetekerleklerin ağırlığı ihmaledilmiştir.

Aranan: A ve B tekerleklerindeki normal reaksiyonlar nedir?

Plan: Analiz yöntemini uygula!

Çözüm: El arabası doğrusal bir yörüngede hareket edecektir.Serbest cisim ve kinetik diyagramlar çizilirse:

=

x

y

Hareket denklemlerini uygularsak:

←Σ Fx = m(aG)x

50 cos 60° = 200 aG

aG = 0.125 m/s2

+

ÖRNEK 2 (devam)

Kinetik Diyagram

ΣMG = 0 (sadece ötelenme hareketi yapmakta)

⇒ -(0.3)NA+(0.2)NB+0.3(50 cos 60°) – 0.6(50 sin 60°) = 0

− 0.3 NA+ 0.2 NB = 18.48 N m (2)

+↑Σ Fy = 0 ⇒ NA + NB –1962 –50 sin 60° = 0

NA + NB = 2005 N (1)

=

x

y

Denklem (1) ve (2) kullanılarak NA ve NB bulunur.NA = 765 N, NB = 1240 N

Hareket denklemlerini uygulamaya devam:

ÖRNEK 2 (devam)

ΣMA = Σ(Mk)A

ÖRNEK 3

Şekildeki yük sepeti 150 kg kütleye sahiptir ve kütle merkezi G ilegösterilmiştir. P = 600 N’luk yatay kuvvet etkisinde ise, çekicininivmesini ve A ile B tekerleklerinde oluşan tepki kuvvetlerini bulunuz.Tekerleklerde sürtünme kuvveti oluşmamakta ve kütleleri de ihmaledilebilmektedir.

Çözüm: Serbest cisim ve kinetik diyagramları ele alalım:

NA = 327 NNB = 1145 NaG = 4 m/s2