AMAÇLAR:1. Rijit bir cisim üzerindeki noktanın ivmesini ötelenme ve

dönme birleşenlerine ayırmak,2. Rijit cisim üzerindeki bir noktanın ivmesini rölatif ivme

analizi ile hesaplamak.

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME

UYGULAMARŞekilde gösterilen pencere mekanizmasında, link AC, C noktasına sabitlenmiş bir eksen etrafında dönmekte ve AB ise genel düzlemsel hareket yapmaktadır. A noktası eğrisel bir yörüngede hareket ettiğine göre , ivmesinin iki bileşeni olacaktır. Bunun yanında B noktası doğrusal bir yuvada harekete zorlandığından ivmesinin tek bileşeni olacaktır.

Bu noktaların ivmeleri bulunabilir, çünkü hareketleri bilinmektedir.

Mekanizmadaki linklerin ivmelerini nasıl bulunur?

UYGULAMALAR (devam)

Bir otomobil motorunda, krank miline iletilen kuvvetler ve krank milinin ivmesi, pistonun hızına ve ivmesine bağlıdır.

Pistonun ivmesini, bağlantı milini ve krank milini nasıl ilişkilendirebiliriz?

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME

Rijit cisim üzerindeki iki noktanın ivmesi, hız denklemini zamana göre türevi alınarak bulunabilir:

Sonuç aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n

Bunlar A ve B noktalarının mutlak ivmesidir ve sabit bir x-y eksenine göre ölçülmüştür.

Bu terim B noktasının A noktasına göre rölatif ivmesidir ve teğetsel ve normal bileşenleri vardır.

/+dt

dv AB

dt

dvA

dt

dvB =

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME

Vektörel Toplam

aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n

(aB/A)n rölatif normal bileşendir ve (−ω2 rB/A) şeklinde hesaplanır. Yönü her zaman B’den A’ya (merkeze) doğrudur.

Grafik olarak: aB = aA + (aB/A)t + (aB/A)n

(aB/A)t rölatif teğetsel bileşendir ve (αααα ×rB/A) şeklinde hesaplanır rB/A ya diktir..

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam)

Rölatif ivme bileşenleri (aB/A)t = α × rB/A ve (aB/A)n = - ω2 rB/A, şeklinde ifade edilebildiği için rölatif ivme denklemi aşağıdaki hali alır:

aB = aA + α × rB/A − ω2 rB/A

Dikkat edilirse son terim çapraz çarpım değildir. Bu terim açısal hızın şiddetinin karesi ve rB/A vektörünün çarpımına eşittir (her zaman rB/A’nın tersi yönünde).

RÖLATİF HAREKET ANALİZİ: İVME (devam)

RÖLATİF İVME DENKLEMİNİN UYGULANMASI (devam)

İvme denklemini uygularken, A ve B gibi kullanılan iki nokta genellikle hareketi bilinen noktalar olarak seçilir, örnek bağlantı olarak mafsallı birleşimler verilebilir.

Piston ve BC linkini birleştiren C noktası ise doğrusal bir yörüngede hareket edecektir ve bu yüzden aC yatay doğrultuda olacaktır.

Bu mekanizmada B noktasının dairesel bir yörüngede hareket ettiği bilinmektedir bu durumda aB normal ve teğetsel birleşenler cinsinden ifade edilebilir. Dikkat edilirse, BC linki üzerindeki B noktası ile AB linki üzerindeki B noktası aynı ivme değerine sahip olacaktır.

Kinematik Diyagram

ANALİZ YÖNTEMİ

1. Sabit bir koordinat ekseni belirleyin.

2. Cismin kinematik diyagramını çizin.

3. aA, aB, ωωωω, αααα, ve rB/A değerlerini diyagram üzerinde gösterin. A ve B noktaları eğrisel bir yörüngede hareket ediyorlarsa, o zaman ivmeleri teğetsel ve normal bileşenler cinsinden gösterilmelidir, örnek aA = (aA)t + (aA)n ve aB = (aB)t + (aB)n.

4. Rölatif ivme denklemini uygulayın:

aB = aA + αααα × rB/A − ω2 rB/A

5. Bilinmeyen bir şiddet değeri için eğer sonuç negatifse, diyagramda gösterdiğiniz yönün ters olduğu anlamına gelir.

Verilen: Şekilde gösterilen an için, AB çubuğu üzerindeki A noktası 5 m/s2 ivme değerine ve 6 m/s’de hıza sahiptir.

Aranan: Çubuğun bu andaki açısal ivmesi ve B noktasının yine bu andaki ivmesi bulunuz.

Plan: Analiz yöntemini takip edin!

ÖRNEK 1

Çözüm: Önce, çubuğun bu andaki açısal ivmesini bulmamız gerekmekte. AB çubuğu için (IC) anlık sıfır hız noktasını kullanarak ω bulunur:ω = vA/rA/IC = vA / (3) = 2 rad/s

IC

ÖRNEK 1 (devam)

A ve B noktalarının ikisi de doğrusal hareket etmekteler:

aA = -5 j m/s2

aB = aB i m/s2

Rölatif ivme denklemini uygularsak:aB = aA + αααα × rB/A – ω2rB/A

aB i = - 5 j + α k × (3 i – 4 j) – 22 (3 i – 4 j)aB i = - 5 j + 4 α i + 3 α j – (12 i – 16 j)

i, j bileşenleri karşılaştırılırsa:

aB = 4 α – 12

0 = 11 + 3α

Çözüm:

aB = - 26.7 m/s2

α = - 3.67 rad/s2

aB i = - 5 j + 4 α i + 3 α j – (12 i – 16 j) denklemi ile soru çözülür:

ÖRNEK 1 (devam)

KONTAK HALİNDEKİ CİSİMLER

Kaymadan birbiriyle kontak halinde bulunan ve farklı yörüngelerde hareket eden iki cisim ele alalım:

Bu durumda ivmenin teğetsel bileşenleri aynı olacaktır:(aA)t = (aA’)t (αB rB = αC rC olduğunu gösterir).

İvmenin normal bileşenleri ise aynı olmayacaktır:(aA)n ≠ (aA’)n (bu nedenle aA ≠ aA)

YUVARLANMA HAREKETİDinamikte sıklıkla karşılaşılan diğer bir problem kayma olmadan gerçekleşen yuvarlanma hareketidir (top, silindir veya diskin hareketi). Bu durum, rölatif hız ve ivme denklemleri ile analiz edilebilir.

Silindir yuvarlanırken G noktası doğrusal hareket eder. ω ve αbiliniyorsa, A noktasının yerle temas (kontak) anı için, A noktasına rölatif hız ve ivme denklemleri uygulanabilir. A noktası anlık sıfır hız noktasıdır (IC), ancak bu nokta anlık sıfır ivme noktası değildir.

Kayma gerçekleşmediği için A yerle temas ettiği anda vA = 0’dır. Kinematik diyagramdan:

vG = vA + ωωωω × rG/A

vG i = 0 + (-ωk) × (r j)vG = ωr or vG = ωr i

G düz bir yörüngede hareket ettiği için, aG

yataydır. A nok. yere değmeden hemen önce, hızı aşağı yöndedir, ve değdikten hemen sonra, hızı yukarı yöndedir. Bu sebeple, yerden ayrıldığında yukarı yönde ivmelenmektedir diye düşünülebilir.

Denklemin i ve j bileşenlerini eşitlersek:aG = αr ve aA = ω2r veya aG = αr i ve aA = ω2r j

aG = aA + αααα × rG/A – ω2rG/A => aG i = aA j + (-α k) × (r j) – ω2(r j)

• Hız:

• İvme:

YUVARLANMA HAREKETİ (devam)

Verilen: Vites, sabit düzlemde hareket etmektedir.

Aranan: A noktasının bu andaki ivmesi.

Plan: Analiz yöntemini uygula!

ÖRNEK 2

Çözüm: Vites sabit yüzeyde kaymadan hareket ettiğine göre, aO sağa doğrudur ve şiddeti ise aşağıdaki gibi bulunur:

aO = αr = (6 rad/s2)(0.3 m)=1.8 m/s2

aA = aO + αααα × rA/O – ω2 rA/O

aA = 1.8i + (-6k)×(0.3j) –122 (0.3j)

= (3.6 i – 43.2j) m/s2

y

x

1.8 m/s2

aO = 1.8 m/s2 bulunduktan sonra, O ve A noktaları için rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz:

ÖRNEK 2 (devam)

aA = aB + αααα × rA/B – ω2 rA/B

kullarak da soruyu çözünüz!

B

ÖRNEK 3

Verilen: AB çubuğu gösterilen anda ωAB=3 rad/s, αAB=2 rad/s2

değerleri ile dönmektedir..

Aranan: C bloğunun hız ve ivmesi istenmekte.

Plan: Analiz yöntemini uygula!

B noktası döndüğüne göre, ivmenin hangi bileşenleri oluşacaktır?

7 cm

5 cm

5 cm

Kinematik Diyagramlar

vB = (ωAB) rB/A = (3) 7 = 21 cm/s

aBn = (ωAB)2 rB/A= (3)2 7 = 63 cm/s2

aBt = (αAB) rB/A = (2) 7 = 14 cm/s2

Çözüm:B noktası döndüğüne göre, bu noktanın hız ve ivmesi :

vB = (-21 i ) cm/s

aB = (-14 i −63 j ) cm/s2

7 cm

5 cm

5 cm

Kartezyen formda ifade

edildi.

ÖRNEK 3 (devam)

Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif hız denklemini uygulayarak, BC linkinin açısal hızını bulabiliriz:

vC = vB + ωωωωBC× rC/B

(-0.8 vC i −0.6 vC j) = (-21 i ) + ωBC k × (-5 i −12 j)

= (-21 + 12 ωBC) i −5 ωBC j

i ve j bileşenlerini karşılaştırarak:

-0.8 vC = - 21 + 12 ωBC

-0.6 vC = - 5 ωBC

Bilinmeyen değerler bulunur:

ωBC = 1.125 rad/s

vC = 9.375 cm/s

7 cm

5 cm

5 cm

ÖRNEK 3 (devam)

Şimdi B ve C noktaları arasında rölatif ivme denklemini uygulayabiliriz:

aC = aB + ααααBC × rC/B – ω2BC rC/B

(-0.8 aC i − 0.6 aC j) = (-14 i − 63 j) + αBC k × (-5 i −12 j) – (1.125)2 (-5 i −12 j)

(- 0.8 aC i − 0.6 aC j)

= (-14+12 αBC + 6.328 ) i

+ (- 63 – 5 αBC + 15.19) j

i ve j bileşenleri karşılaştırılırsa;

- 0.8 aC = -7.672 + 12 αBC

- 0.6 aC = - 47.81 –5 αBC

ÖRNEK 3 (devam)

Bilinmeyenler bulunur:

αBC = -3.0 rad/s2

aC = 54.7 in/s2

Bu iki denklem çözülürse:

- 0.8 aC = -7.672 + 12 αBC

- 0.6 aC = - 47.81 –5 αBC

ÖRNEK 3 (devam)

ÖRNEK 4

Verilen: AB çubuğu gösterilen anda ωAB=10 rad/s, αAB=20 rad/s2

değerleri ile dönmektedir..

Aranan: Şekilde gösterilen an için, C pistonunun ivmesi istenmekte.

Plan: Analiz yöntemini uygula!

B noktası döndüğüne göre, ivmenin hangi bileşenleri oluşacaktır?

0.75 m

0.25 m

ÖRNEK 4 (devam)

Aşağıdaki şekilde kinematik diyagram gösterilmiştir. aC

düşey ve doğrusal bir hat üzerindedir.

İki pozisyon vektörünü de kartezyen cinsten ifade edersek: rB = - 0.25sin 45i + 0.25cos 45j

= -0.177i + 0.177j

rC/B = 0.75sin 13.6i + 0.75cos 13.6j

= -0.177i + 0.729j

AB mili sabit bir eksen etrafında döndüğüne göre:

aB = ααααAB × rB – ω2AB rB

= -20k × (-0.177i + 0.177j) –(10)2 (-0.177i + 0.177j)

= 21.21i – 14.14j m/s2

m

m

rB

ÖRNEK 4 (devam)

Şimdi BC rodunu (genel düzlemsel hareket yapmakta) hareketine geçilebilir. aB için bulduğumuz ifade kullanılır ve dikkat edilirse, aC düşeyde hareket etmektedir.

C için rölatif ivme denklemi:aC = aB + ααααBC × rC/B – ω2

BC rC/B

aCj = 21.21i – 14.14j + (αBCk) × (-0.177i + 0.729j) –(2.43)2 (-0.177i +

0.729j)

i ve j bileşenlerini karşılaştırarak:

0 = 20.17 + 0.729 αBC

aC = 0.177 αBC – 18.45

m

m

rB

m

m

rB

Kinematik Diyagram

at

an

Bilinmeyenler bulunur:

αBC = 27.7 rad/s2 (yön doğru)

aC = -13.5 m/s2 (ivme azalma

yönünde)

ÖRNEK 4 (devam)

m

m

rB

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler

Bir önceki bölümde hız ve ivmenin tarifi için ötelenen eksenlerde rölatif hareket analizi kullanıldı. Bu analiz tipi aynı rijit cisim üzerindeki noktaların analizi veya pinli olarak birleştirilmiş cisimlerin analizinde faydalı olmaktadır.Bazı problemlerde ise sadece ötelenen koordinat eksenleri problemin analizi için yeterli olmamakta ayrıca dönmesi de gerekmektedir.

Bu bölümde rijit cisim üzerindeki iki noktanın sabit ve dönen eksenlerde hareketi incelenecektir.

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

Pozisyon: Şekilde gösterilen iki noktayı verilen koordinat eksenlerinde ele alalım

rB/A = xBi + yBj

Noktaların pozisyonu rA ve rB gibi iki vektörle X,Y ve Z sabit koordinat sistemine göre belirlenmiştir. Ayrınca, şekilde temel nokta A, x,y,z eksenlerinin orijini olarak kabul edilmiştir. Bu eksenler X, Y, Z’ye göre hem ötelenmekte hem de dönmektedir (Ω ve ). B’nin A’ya göre rölatif pozisyonu rB/A ile gösterilmiştir ve aşağıdaki gibi yazılabilir:

Ω&

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

Vektör toplamı işleminden:

rB = rA + rB/A (16-19)

İlgilenilen anda A’nın hızı vA ve ivmesi ise aA’dır. x,y,z dönen eksenlerinin ise açısal hız ve ivmesi ise aşağıda verilmiştir:

dve

dt=Ω Ω Ω&

Hız: B noktasının hızı (16-19) ‘un zamana göre türevi alınarak bulunur:

/B AB A

d

dt= +

rv v (16-20)

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

(16-20)’deki ikinci terim aşağıdaki gibi yazılabilir:

/ ( )

=

=

B AB B

B BB B

B BB B

d dx y

dt dt

dx dyd dx y

dt dt dt dt

dx dy d dx y

dt dt dt dt

= +

+ + +

+ + +

ri j

i ji j

i ji j

/B Ad

dt

r

(16-21)

Buradaki ilk parantezdeki ilk iki terim, B noktasının x, y, z koordinat eksenlerine göre hızıdır (x, y, z koordinatlarındaki bir gözlemciye göre) ve ile gösterilecektir. ( )/B A xyz

v

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

(16-21)’deki ikinci parantez içindeki terimler ise ive j birim vektörlerinin anlık zamana göre değişimlerini göstermektedir ve X, Y, Z eksenlerine göre ölçülmektedir. dive dj değişimleri sadece x, y, z eksenlerinin dθ kadar dönmesinden kaynaklıdır yani ‘ya bağlıdır.Ω

B B

d dx y

dt dt

+

i j

( )

d d

dt dt

d d

dt dt

θ

θ

= = Ω

= − = −Ω

ij j

ji i

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

Bu ilişkiler aşağıdaki üç boyutlu koordinat eksenleri dikkate alınarak vektörel çarpımla ifade edilebilir:

= ΩΩ k

d

dt

d

dt

= ×

= ×

iΩ i

jΩ j

olarak ifade edilebilir.

Bu durumda, (16-20) hız ifadesindeki ikinci terim aşağıdaki gibi yazılabilir:

( ) ( ) ( )// / /

B AB A B B B A B Axyz xyz

dx y

dt= + × + = + ×

rv Ω i j v Ω r

(16-20) hız ifadesi kompakt bir şekilde yazılabilir:

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

/B AB A

d

dt= +

rv v

( )/ /B A B A B A xyz= + × +v v Ω r v (16-24)

Bv : B’nin mutlak hızı (X, Y, Z eksenlerine göre) =

Av : x, y, z eksenlerinin orijininin mutlak hızı +

/B A×Ω r : x, y, z eksenlerinin dönmesinden dolayı açısal hız etkisi +

( )/B A xyzv : B’nin A’ya göre hızı (x, y, z eksenlerine göre)

: x, y, z eksenlerinin hareketinin X, Y, Z’ye göre gözlemlenmesi

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

İvme: B’ni X, Y, Z eksenlerine göre ivmesi (16-24)’ü zamana göre bir kez daha türevi alınarak bulunabilir:

( )

( )

/

//

//

/

B AB A

B A xyzB A

B AB A B A

B A xyz

d d d

dt dt dt

dd

dt dt

d

dt

d

dt

= + × +

× +

= + × + × +

v v Ωr

vrΩ

ra a Ω r Ω

v

&

(16-25)

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

(16-25) ifadesi sadeleştirilirse (ayrıntıya girmeden) aşağıdaki ivme ifadesi bulunur:

( ) ( ) ( )/ / / /2B A B A B A B A B Axyz xyz= + × + × × + × +a a Ω r Ω Ω r Ω v a&

Ba : B’nin mutlak ivmesi (X, Y, Z eksenlerine göre) =

Aa : x, y, z eksenlerinin orijininin mutlak ivmesi +

/B A×Ω r& : x, y, z eksenlerinin dönmesinden dolayı oluşan açısal ivme etkisi +

: x, y, z eksenlerinin hareketinin X, Y, Z’ye göre gözlemlenmesi( )/B A× ×Ω Ω r : x, y, z eksenlerinin dönmesinden

dolayı oluşan açısal hız etkisi +

Bu denklemde, terimi Coriolis ivmesi olarak bilinir ve bu etki dönen x, y, z eksenlerinin kullanılmasından dolayı ortaya çıkan bir etkidir. İvmenin önemli bir bileşenidir ve dönen referans eksenleri kullanıldığında mutlaka dikkate alınmalıdır.

( )/B A xyza : B’nin A’ya göre ivmesi (x, y, z eksenlerine göre)

( )/2 B A xyz×Ω v : B’nin x, y, z eksenlerine göre rölatif

hareketi ve yine x, y, z eksenlerinin dönmesinden dolayı B’ye etkiyen toplam etki +

( ) ( ) ( )/ / / /2B A B A B A B A xyB yz zA x= + × + × × + × +Ω va a Ω r Ω Ω r a&

Rölatif Hareket Analizi: Dönen Eksenler (devam)

(Etkileşim hareketi)

( )/2 B A xyz×Ω v

Örnek

Verilen: θ = 60o anında, kolun 3 rad/s ve 2 rad/s2 açısal hız ve ivmesi vardır. Tam bu anda, C silindiri dışarı yönde kaymaktadır ve x = 0.2m anında hızı 2 m/s ve ivemsi ise 3 m/s2’dir (kola göre rölatif değerlerdir).

Aranan: Bu andaki Coriolis ivmesini ve silindirin hız ve ivmesini bulunuz.

Örnek (devam)

İki koordinat ekseni de O noktasına yerleştirilmiştir. Silindirin hareketi kola göre verildiğinden x, y, z eksenleri kola iliştirilmiştir. Kinematik denklemler:

( )/ /C O C O C O xyz= + × +v v Ω r v

( )( ) ( )

/

//

/

2

C O

C O

C O C O

C O xyxyz z

= + × +

×

+ × ×

+

a a Ω r Ω

aΩ v

Ω r&

Hareketli referans Ekseninin Hareketi

C’nin hareketli referans eksenine göre hareketi

Hareketi i, j, k bileşenleri ile ifade

etmek I, J, K ile ifade etmekten daha kolay

olacak:

Örnek (devam)

Coriolis ivmesi:

( )/22( 3 ) (2 ) 12 m/s2Cor C O xyz

−× × = −= = k i ja Ω v

C noktasının hız ve ivmesi yukarıdaki denklemleri kullarak bulunur: