DOGRUSAL DENKLEM

1

4. BÖLÜM

DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

Doğrusal Denklem Sistemix1,x2, …,xn ‘ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

11 1 12 2 1 1n na x a x a x b+ + + =L

21 1 22 2 2 2n na x a x a x b+ + + =L

………………………………

1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b+ + + =L

sisteme Doğrusal Denklem Sistemi denir. Burada aij ve bj ’ler reel sabitlerdir.

Denklem Sistem: Matris FormundaDoğrusal denklem sistemi matris formunda,

A x=b şeklinde yazılır.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

=

A

L

L

L L L L

L

1

2

m

b

b

b

=

bM

1

2

n

x

x

x

=

xM

A, m×n boyutlu matris, b, m×1 boyutlu vektördür. Doğrusal denklem sisteminin çözümü, n×1 boyutlu x bilinmeyen vektörüdür.

Genişletilmiş Matris

[ ]

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

.

.

. . . . .

.

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

=

A b

L

LM

M

L

2

Doğrusal Denklem Sistemlerinin Tipleri

Doğrusal Denklem Sistemleri

1.Homojen olmayan denklem sistemleri,

b≠0

2.Homojen denklem sistemleri,

b=0

Doğrusal Denklem Sisteminin Çözüm Sayısı

A x=b, m denklem n değişkenden oluşan bir sistem olsun:

1. Sistem tek bir çözüme sahiptir, (tutarlı

sistem):

r(A)=r(A:b)=n 0≠A

2. Sistem sonsuz sayıda çözüme sahiptir,

(tutarlı sistem):

r(A)=r(A:b)<n 0=A

3. Sistem çözümsüzdür, (tutarsız sistem):

r(A)<r(A:b) 0=A

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamıİki Boyut

1. 3x y+ = 2. 3x y+ = 3. 3x y+ =

1x y− = − 2 2 6x y+ = 1x y+ =

0≠A 0=A 0=A

Yukarıdaki üç sistemin grafikleri

Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı:Determinant İle İlişkisi (Üç Boyut)

Genel olarak n-boyutlu denklem sisteminde 0=A

ise, a. sistemin çözümü yoktur b. sistemin sonsuz çözümü vardır.

n=3 için denklem sistemi:

11 1 12 2 13 3 1a x a x a x b+ + =

21 1 22 2 23 3 2a x a x a x b+ + =

31 1 32 2 33 3 3a x a x a x b+ + =

Her bir denklem x1x2x3-üç boyutlu uzayda birer düzlem tanımlar.

3


Sistemde 0≠A ise üç düzlem sadece bir noktada

kesişir. Bu nokta sistemin tek çözümüdür.


Sistemde 0=A ise otaya çıkabilecek üç durum söz

konusudur: a. Düzlemlerin her hangi ikisi ya paraleldir ya da

çakışıktır. i. İki düzlem paralel ise üç düzlemin ortak

noktası yoktur. Sistem çözümsüzdür. ii.İki düzlem çakışık ise üçüncü düzlem ile ara

kesitleri bir doğrudur. Sonsuz çözüm vardır.


b. İki düzlemin arakesit doğrusu üçüncü düzleme ya paraleldir ya da üçüncü düzlem ile çakışıktır. i. Ara kesit doğrusu üçüncü düzleme paralel ise düzlemleri ikişerli arakesit doğruları paraleldir. Sistem çözümsüzdür.

ii.Ara kesit doğrusu üçüncü düzlemin üzerinde ise, sonsuz çözüm vardır.


c.Üç düzlem ya birbirine paraleldir ya ikisi çakışüçüncüye paraleldir ya da üç düzlem çakışıktır.

i.Üç düzlem paralel ise sistem çözümsüzdür. ii. İki düzlem çakışık üçüncüye paralel ise sistem

çözümsüzdür. iii.Üç düzlem çakışık ise sonsuz çözüm vardır.

4

Asal Determinantr(A)=r olmak üzere; r<m=n ya da m≠n ise ters matris ya da Cramer yöntemi aşağıda verilen tanımlar kullanılarak uygulanabilir. Tanım: A matrisinden seçilen determinantı sıfırdan farklı r×r boyutlu bir kare alt matrisin A1

determinantına sistemin bir asal determinantı denir ve ∆r ile gösterilir. Determinant içinde kalan katsayılara ait bilinmeyenlere asal bilinmeyen ve denklemlere de asal denklemler denir.

Artırılmış Asal Determinant

Tanım: Sistemin asal determinantı ∆r olsun. A

matrisinin asal determinantında yer almayan satırlarından biri r+1-inci satır ve bu satıra ait sabiti ise b vektörünün r+1-inci elemanı olarak eklenmesi ile elde edilen r+1 boyutlu kare matrisin determinantına ise artırılmış asal determinant ya da karakteristik determinant denir.

Sistemin ÇözümüTanım: A matrisinin asal determinantında yer almayan satır sayısı m-r olduğundan sistemin karakteristik determinant sayısı her ∆r için m-r adet olacaktır.

( ) ( )

11 1 1

21 2 2

1

1

11 1 1

r

r

r

r rr r

rr r r

a a b

a a b

a a b

a a b

+

++ +

∆ =

K

K

K K K K

K

K

Teorem: Sistemin çözümlü olabilmesi için gerek ve yeter koşul sistemin artırılmış determinatlarınınhepsinin sıfır olmasıdır.

Doğrusal Denklem Sisteminin Çözüm Yöntemleri

1.Matrisler ile çözüm

a. Gauss eliminasyon (Echelon matris)

b. Ters matris

2. Determinantlar ile çözüm (Cramer yöntemi)

5

Doğrusal Denklem Sisteminin Gauss Eliminasyon ile ÇözümüElemanter işlemlerden sonra genişletilmiş

matrisin genel yapısı: Echelon matris

[ ]

11 12 1 1 1

* * * *22 2 2 2

* * *

*1

*

.

0 .

. . . . . . . .

0 0 .

0 0 0 0 .

. . . . . . . .

0 0 0 0 .

r n

r n

rr rn r

r

m

a a a a b

a a a b

a a b

b

b

+

=

A b

K K

K K

M K K

K K

K K

Tek Çözümlü Sistem1. Sistem tek bir çözüme sahip ise r=n olur:

r(A)=r(A:b)=n

Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş

matrisin genel yapısı:

[ ]

11 12 1 1

* * *22 2 2

* *

.

0 .

. . . . . .

: 0 0 .

0 0 0 . 0

. . . . . .

0 0 0 . 0

r

r

rr r

a a a b

a a b

a b

=

A b

K

L

K

K

K

Çok Çözümlü Sistem2.Sistem çoklu çözüme sahip ise r<n olur:

r(A)=r(A:b)=r



[ ]

11 12 1 1 1

* * * *22 2 2 2

* * *

.

0 .

. . . . . . . .

0 0 .

0 0 0 0 . 0

. . . . . . . .

0 0 0 0 . 0

r n

r n

rr rn r

a a a a b

a a a b

a a b

=

A b

K K

K K

M K K

K K

K K

Çözümsüz Sistem3.Sistem çözümsüz ise r<m olur:

r(A)=r ve r(A:b)>r



[ ]

11 12 1 1 1

* * * *22 2 2 2

* * *

*1

*

.

0 .

. . . . . . . .

0 0 .

0 0 0 0 .

. . . . . . . .

0 0 0 0 .

r n

r n

rr rn r

r

m

a a a a b

a a a b

a a b

b

b

+

=

A b

K K

K K

M K K

K K

K K

6

Doğrusal Denklem Sisteminin Ters Matrisler ile Çözümü

1. Kare sistem m=n

a. Ax=b doğrusal denklem sisteminin katsayılar

matrisinin (boyutu n×n) tersi A-1 varsa çözüm

vektörü:

A-1

Ax= A-1

b

x= A-1

b


b. Eğer 0=A ise A-1 bulunamaz.

r(A) ve r(A:b) hesaplanmalıdır.

i. r(A)=r(A:b)=r ise n-r parametreye

bağlı sonsuz çözüm vardır. r×r

boyutlu bir alt matrisin (A1) tersi

alınarak çözülür.

ii. r(A)≠r(A:b) ise çözüm yoktur.


2. Dikdörtgen sistem m>n

Katsayılar matrisinin (boyutu m×n) tersi A-1

bulunamaz:


a. i.r(A)=r(A:b)=n ise m-n parametreye bağlı

sonsuz çözüm vardır. n×n boyutlu bir alt

matrisin (A1) tersi alınarak çözülür.

ii.r(A)=r(A:b)=r (r<n), ise m-r parametreye

bağlı sonsuz çözüm vardır. r×r boyutlu bir alt


b. r(A)≠r(A:b) ise çözüm yoktur.


3. Dikdörtgen sistem m<n

Katsayılar matrisinin (boyutu m×n) tersi A-1

bulunamaz:


a. i.r(A)=r(A:b)=m ise n-m parametreye bağlı

sonsuz çözüm vardır. m×m boyutlu bir alt


ii.r(A)=r(A:b)=r ise (r<m), n-r parametreye

bağlı sonsuz çözüm vardır. r×r boyutlu bir alt


b. r(A)≠r(A:b) ise çözüm yoktur.

7

Doğrusal Denklem Sisteminin Determinantlar ile Çözümü

Doğrusal denklem sistemlerinin

determinantlar kullanılarak gerçekleştirilen çözümü

CRAMER YÖNTEMİ olarak adlandırılır.

Genellikle m=n olan sistemlere uygulanır.

Bazı ara işlemler ile dikdörtgen sistemlere de

uygulanabilir.

Doğrusal Denklem Sisteminin Determinantlar ile Çözümü

Teorem (Cramer Yöntemi): Denklem sayısı n ve

bilinmeyen sayısı n olan bir homojen olmayan

denklem sistemi için eğer, 0≠A ise sistemin tek

bir çözümü:

11x =

A

A, 2

2x =A

A,…, n

nx =A

A

vardır. Burada Ai matrisleri i-inci sütun yerine sabitler sütunun konulması ile elde edilmiştir.

HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ

Teorem: Homojen doğrusal denklem sistemleri daima sıfır çözümü denilen; 0,,0,0

21===

nxxx K

bir çözüme sahiptir. Sıfır olmayan bir çözüm ancak ve ancak A matrisinin rankı, r(A)=r, bilinmeyen sayısı n değerinden küçük r<n ise vardır.

HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİGEOMETRİSİ: İki Boyut

Homojen denklem sistemi n=2 için 0

212111=+ xaxa

0222121=+ xaxa

Bu iki denklem orijinden geçen birer doğruyu belirler. İki durum söz konusudur:

a. Doğrular sadece orijinde kesişir (sıfır çözüm) b. Doğrular çakışıktır (sonsuz çözüm)

8

HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ GEOMETRİSİ: İki

Boyut

HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ ÇÖZÜMLER

Teorem: Bir kare m=n homojen doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak katsayılar matrisi tekil

0=A ise sonsuz çözüme sahiptir.

Teorem: Bir homojen doğrusal denklem sisteminde eğer kare m<n ise sonsuz çözüm daima vardır. Rank ve boyutlar için mümkün durumlar

a. r=m=n için tek çözüm sıfır çözümdür. b. r=n<m için tek çözüm sıfır çözümdür. c. r=m<n için sonsuz çözüm vardır. d. r<m,n için sonsuz çözüm vardır.

Documents

DOGRUSAL DENKLEM