Embed Size (px)
Citation preview
T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ
Damla ARSLAN
Danışman Yrd. Doç. Dr. Mevlüde YAKIT ONGUN
YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ISPARTA - 2013
© 2013 [Damla ARSLAN]
TAAHHÜTNAME Bu tezin akademik ve etik kurallara uygun olarak yazıldığını ve kullanılan tüm literatür bilgilerinin referans gösterilerek tezde yer aldığını beyan ederim.
Damla ARSLAN
i
İÇİNDEKİLER
Sayfa İÇİNDEKİLER ......................................................................................................................... i ÖZET ......................................................................................................................................... ii ABSTRACT .............................................................................................................................. iii TEŞEKKÜR .............................................................................................................................. iv ŞEKİLLER DİZİNİ ................................................................................................................. v SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ .......................................................................... vi 1. GİRİŞ..................................................................................................................................... 1 2. KAYNAK ÖZETLERİ ........................................................................................................ 3 3. KESİRLİ ANALİZ İÇİN TEMEL TANIM VE TEOREMLER ................................... 5
3.1. Gamma Fonksiyonu .............................................................................................. 5 3.2. Beta Fonksiyonu .................................................................................................... 6 3.3. Mittag-Leffler Fonksiyonu ................................................................................. 6 3.4. Wright Fonksiyonu ............................................................................................... 8 4. KESİRLİ TÜREV VE İNTEGRALLER .......................................................................... 9
4.1. Riemann-Liouville Kesirli Türevi .................................................................... 9 4.2. Caputo Kesirli Türevi ........................................................................................... 12 4.3. Grünwald-Letnikov Kesirli Türevi.................................................................. 13 4.4. Kesirli Türevlerin Özellikleri ............................................................................ 15 5. KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ................................. 18 6. KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN BAZI SAYISAL YÖNTEMLER .................................................................................................. 21 6.1. Kesirli Mertebeden Çokadımlı Yöntemi ....................................................... 21 6.1.1. Açık (Explicit) Çokadımlı Yöntemi ........................................................ 23 6.1.2. Kapalı (Implicit) Çokadımlı Yöntemi .................................................... 25 6.2. Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ........................................................ 26 6.2.1. Açık (Explicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi .................. 27 6.2.2. Kapalı (Implicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ............. 29 6.3. Standart Olmayan Sonlu Fark Yöntemi ....................................................... 30 7. KESİRLİ MERTEBEDEN BRUSSELATOR SİSTEMİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ ....................................................................................................................... 34 7.1. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Açık (Explicit) ve Kapalı (Implicit) Çokadımlı Yöntemleri.......................................................................................... 36 7.2. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ..................................................................................................................... 39 7.2.1. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Açık (Explicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ...................................................................... 39 7.2.2. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Kapalı (Implicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ...................................................................... 41 7.3. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Standart Olmayan Sonlu Fark Yöntemi ..................................................................................................................... 42 8. UYGULAMALAR ............................................................................................................... 45 9. TARTIŞMA VE SONUÇLAR ........................................................................................... 50 KAYNAKLAR .......................................................................................................................... 51 ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................................... 56
ii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ
Damla ARSLAN
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mevlüde YAKIT ONGUN
Bu tez çalışmasında, kesirli mertebeden diferansiyel denklem ve denklem sistemleri için bazı sayısal yöntemler incelendi. Bu yöntemler Açık (Explicit) ve Kapalı (Implicit) Çokadımlı Yöntemleri, Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ve Standart Olmayan Sonlu Fark Yöntemidir. Bir otokatalitik kimyasal reaksiyon modeli olan
)()()()1()( 2 tytxtxatxD p
)()()()( 2 tytxtxtyD p
kesirli mertebeden Brusselator sistemi için bu sayısal yöntemler incelendi. Çözümler Matlab paket programı ile çizdirilip sonuçlar yorumlandı. Anahtar Kelimeler: Kesirli mertebeden diferansiyel denklemler, kesirli mertebeden diferansiyel denklem sistemleri, nümerik çözüm metodları. 2013, 57 sayfa
iii
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
NUMERICAL SOLUTIONS OF FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Damla ARSLAN
Süleyman Demirel University Graduate School of Applied and Natural Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Asst. Prof. Dr. Mevlüde YAKIT ONGUN
In this study, some of numerical methods studied for the fractional-order differential equations and equation systems. These methods are Explicit and Implicit Multistep Methods, Product Integration Method and Nonstandard Finite Difference Method. These numerical methods were investigated for
)()()()1()( 2 tytxtxatxD p
)()()()( 2 tytxtxtyD p
which is an autocatalytic chemical reaction models of fractional-order Brusselator system. The results drawed by Matlab package software and reviewed. Keywords: Fractional differential equations, fractional differential equations systems, methods of numerical solutions. 2013, 57 pages
iv
TEŞEKKÜR
Bu çalışma için beni yönlendiren, bilgi ve tecrübesiyle bana her konuda yardımcı olan, yüksek lisanstan itibaren çalışmamdaki en büyük pay sahibi, bir danışmandan öte gördüğüm ve her konuda destek aldığım, hayatımda büyük öneme sahip danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Mevlüde YAKIT ONGUN'a sonsuz teşekkür ve saygılarımı sunarım. Erasmus Yüksek lisans eğitimimde bu tezi hazırlarken gerek bilimsel gerekse manevi yönden bana herzaman destek Assistant Professor Roberto GARRAPPA (Universita di Bari)'ya teşekkür ve saygılarımı sunarım. Bütün eğitim hayatım boyunca maddi ve manevi olarak bana destek olan aileme teşekkür ederim. 2695-YL-11 No'lu Proje ile tezimi maddi olarak destekleyen Süleyman Demirel Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Yönetim Birimi Başkanlığı'na teşekkür ederim.
Damla ARSLAN ISPARTA, 2013
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Sayfa Şekil 8.1. (a, μ)=(1,3), p=0.7>p₀=2/3, (x₀,y₀)=(1.1,2.9) için Brusselator sisteminin ABM Yöntemi ile çözümü .................................................... 46 Şekil 8.2. (a,μ)=(1,3), p=0.7, (x₀,y₀)=(1.1,2.9),h=0.05 için Brusselator sisteminin SOSF(NSFD) Yöntemi ile çözümü ...................................... 47 Şekil 8.3. (a,μ)=(1,2), p=0.8<p₀=1, (x₀,y₀)=(0.9,2.1) için Brusselator sisteminin ABM Yöntemi ile çözümü ..................................................... 47 Şekil 8.4. (a,μ)=(1,2), α=0.8, (x₀,y₀)=(0.9,2.1)için Brusselator sisteminin SOSF(NSFD) Yöntemi ile çözümü ..................................... 48 Şekil 8.5a. (a,μ)=(1,2), p=0.8, (x₀,y₀)=(0.9,2.1) için Brusselator sisteminin Açık (Explicit) Çokadımlı Yöntemi ile çözümü ............ 48 Şekil 8.5b. (a,μ)=(1,2), p=0.8, (x₀,y₀)=(0.9,2.1) için Brusselator
sisteminin Kapalı (Implicit) Çokadımlı Yöntemi ile çözümü ........ 49 Şekil 8.6a. (a,μ)=(1,2), p=0.8, (x₀,y₀)=(0.9,2.1) için Brusselator sisteminin
Açık (Explicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ile çözümü ............................................................................................................... 49
Şekil 8.6b. (a,μ)=(1,2), p=0.8, (x₀,y₀)=(0.9,2.1) için Brusselator sisteminin Kapalı (Implicit) Türetilmiş(Product) İntegral Yöntemi ile çözümü ....................................................................................................... 49
vi
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ p Kesirli operatör mertebesi B Beta fonksiyonu
,E Mittag-Leffler fonksiyonu
W Wright fonksiyonu pD p'inci mertebeden türev operatörü
h Adım boyu Denominatör fonksiyonu
Gamma fonksiyonu ,,t Parametreler
GL Grünwald-Letnikow türevi
RL Riemann-Liouville türevi C Caputo türevi
SOSF Standart Olmayan Sonlu Fark yöntemi
ABM Adams-Bashforth-Moulton yöntemi
EPİ Açık (Explicit) Türetilmiş (Product) İntegral yöntemi
IPİ Kapalı (Implicit) Türetilmiş (Product) İntegral yöntemi
1
1. GİRİŞ
Bilimin birçok alanında karşılaşılan problemler modellendiğinde bir
diferansiyel denklemden çok, birden fazla denklemden meydana gelen sistemler
ile karşılaşılır. Adi ve kısmi diferansiyel denklemler ve denklem sistemleri
olarak karşılaşılan sistemlerle ilgili literatürde oldukça fazla sayıda çalışma
yapılmış olup, son zamanlarda ise kesirli mertebeden diferansiyel denklem
sistemleri hem matematikte hem de uygulamalı bilimlerde önemli derecede ilgi
görmeye başlamıştır. Isı transferi, viskoelastik, elektrik-devre, elektro-kimya,
dinamik, ekonomi, polimer fizik ve kontrolü gibi alanlarda, kesirli mertebeden
diferansiyel denklem sistemleri karşımıza çıkmaktadır. Kesirli mertebeden
türev içeren diferansiyel denklem sistemlerinin çözümleri oldukça karışıktır.
Bunun için önce kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin ve dolayısıyla
kesirli mertebeden türevin bilinmesi gerekir. Genel olarak lineer olmayan kesirli
mertebeden diferansiyel denklemlerden analitik çözüme ulaşılabilir bir yöntem
yoktur. İntegral denklemleri kullanılarak kesirli mertebeden diferansiyel
denklemlerin çözümlerinde özellikle Laplace, Fourier ve Mellin dönüşümleri
gibi birçok analitik yaklaşımlar ortaya konulmuş, ancak bu yöntemler kesirli
mertebeden diferansiyel denklemlerin lineerlik, sabit katsayılı olup olmadığı
gibi özel hallerinin çözümlerinde çoğu zaman işe yaramaktadır. Açıktır ki,
birçok kesirli mertebeden diferansiyel denklem sistemleri lineer veya sabit
katsayılı olamayacağı gibi analitik çözümlerinin de bulunamaması doğaldır. Bu
tip durumlarda yaklaşık veya sayısal çözümler kaçınılmaz hale gelir.
Yüksek lisans tezi olarak hazırlanan bu tez çalışmasında, kesirli mertebeden
diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü, oldukça karmaşık olmakla birlikte
yukarıda bahsedilen bakış açısından yola çıkılarak benzer yaklaşımların bu tip
denklem sistemlerine uygulanması ile uğraşıldı. Bu amaçla lineer veya lineer
olmayan bazı kesirli mertebeden diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü
için gerekli olan farklı türev ve integral tanımları incelendi (Riemann-Liouville
integral ve türevleri, Caputo anlamındaki kesirli türev, Grünwald- Letnikov
türevleri gibi). Bu tip diferansiyel denklem sistemlerinin Kapalı ve Açık
Yöntemleri, Türetilmiş İntegral Yöntemi ve Standart Olmayan Sonlu Fark
2
Yöntemi gibi bazı sayısal yöntemler ile çözümlerinin yapılabilmesi için gerekli
tanımlar verilerek, çözümlerin grafiksel olarak çizilmesi için de Matlab paket
programından faydalanıldı.
Bu çalışma 9 ana bölümden oluşmaktadır: 3. bölümde kesirli mertebeden
diferansiyel denklemler ile ilgili temel tanımlar ve teoremler gözden
geçirilmiştir. Bölüm 4'de kesirli türevler ve kesirli diferansiyel denklemlerin
özellikleri verilmiştir. 5. bölümde lineer kesirli mertebeden diferansiyel
denklemleri için varlık ve teklik teoremleri incelerek bu teoremler genel bir
kesirli mertebeden diferansiyel denklem için genelleştirilmiştir. 6. bölümde;
kesirli mertebeden diferansiyel denklemler için bazı sayısal yöntemler
geliştirilmiştir. Bölüm 7'da bu geliştirilen sayısal yöntemler otokatalitik
kimyasal reaksiyon modeli olan kesirli mertebeden Brusselator diferansiyel
denklem sistemine uygulanmıştır. Bölüm 8 de bulunan sayısal çözümler Matlab
paket programı yardımıyla çizdirilmiştir. Son olarak, bu çalışmayla ilgili sonuç
ve tartışmalar kısmı Bölüm 9'de verilmiştir.
3
2. KAYNAK ÖZETLERİ
Kesirli Analiz (Fractional Calculus) kavramı, eski bir geçmişe sahip olan
günümüzde ise oldukça popüler hale gelen bir konudur. Özellikle fizikte,
mühendislikte ve kontrol teorisinde kesirli mertebeden diferansiyel denklem ve
denklem sistemlerinin çok sayıda uygulaması mevcuttur. Bu tip diferansiyel
denklem ve denklem sistemleri, kesirli mertebeden türevler ve integraller
kullanılarak tanımlanır. Bu tip denklem ve denklem sistemlerinin bazıları;
elektro-eloktrolite polarizasyon (Ichise vd., 1971), elektromanyetik dalgalar
(Heaviside, 1971), dielektrik polarizasyon (Sun vd., 1984), viskoelastik
sistemler (Bagley vd.,1991), deprem oskilasyonu (He, 1998), kompleks
sistemlerin kuantum açılımı (Kusnezov vd., 1999), sayısal finans (Laskin, 2000),
Ricatti denklemi (Cang vd., 2007), (Odibat vd., 2008) ve dalga denklemleridir.
Ayrıca Oustaloup (1999) ve Podlubny (1999) tarafından kesirli mertebeden
diferansiyel denklemler ve denklem sistemlerinin teori ve uygulamarı
çalışılmıştır.
Son zamanlarda ise, kesirli analiz kavramı mühendislik, kimya, finans, fizik,
sismoloji ve benzeri gibi alanlarda uygulamaların geniş olması sebebiyle daha
da artan bir popülerlik kazanmıştır. Tamsayı olmayan mertebeden türevler,
tamsayı mertebeden diferansiyel hesabın klasik teorisinin genişlemesi olarak
bilinmesine rağmen, 19. yüzyılın sonunda Kesirli analiz ile ilgili büyük
geliştirmeler gerçekleştirilmiştir. Kesirli Analizle ilgili Oldham vd. (1974),
Samko vd. (1993), Miller vd. (1993), Podlubny (1999), Diethelm (2010) ve
Mainardi (2010) gibi araştırmacıların çalışmaları oldukça önemlidir. Bunlara
ilaveten Baleanu vd. (2012) nin diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemleri ve
uygulamalarıyla ilgili çalışmaları da oldukça önemlidir. Birçok durumda
özellikle de lineer olmayan bir kesirli mertebeden diferansiyel denklemin
analitik çözümünü bulmak mümkün olmamakta ve fark yöntemleri veya diğer
alternatif yaklaşımlar ile sayısal yöntemler kullanmak kaçınılmaz olmaktadır.
(Diethelm vd., 2002 ) de detaylı şekilde incelenmiştir.
4
Kesirli mertebeden türev içeren diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri
oldukça karışıktır. Bunun için önce kesirli mertebeden türevin ve integralin
bilinmesi gerekir. Sayısal çözümlerinin elde edilmesindeki sıkıntı ise, kesirli
türev operatörünün yapısında bulunan Gamma fonksiyonunun faktoriyel
hesabından kaynaklanan işlemlerin oldukça uzun zaman ve bellek
gereksinimidir. Özellikle lineer olmayan diferansiyel denklem ve denklem
sistemlerinde bu durum daha da sıkıntı oluşturmakta ve bu sorunun üstesinden
gelebilmek için her bir adımda lineer olmayan cebirsel bir sistem oluşturan
Kapalı bir yaklaşım uygulamak gerekmektedir. Her ne kadar lineer olmayan adi
veya kısmi türevli diferansiyel denklem ve denklem sistemlerinin analitik
çözümlerini bulmak zor olsa da, son dönemlerde daha çok, kolay bir şekilde
algoritması oluşturulabilen ve dolayısıyla da programlanabilen, çok daha hızlı
sonuçlanan, hem lineer hem de lineer olmayan problemlerin çözümünde
kullanılabilen Multistep Yöntemi (Galeone vd., 2006), Diferansiyel Dönüşüm
Yöntemi (Oturanç vd., 2008), Adomian Ayrıştırma Yöntemi (Cheng vd., 2011),
Adams Çokadımlı(Multistep) Yöntemi (Garrappa, 2009), Predictor-Corrector
Yöntemi (Garrappa, 2010), Spline Yöntemi (Pedas vd., 2011), Standart Olmayan
Sonlu Fark Yöntemi (Ongun vd., 2013) gibi yöntemlerle problemlerin sayısal
çözümlerine ulaşmak mümkündür.
5
3. KESİRLİ ANALİZ İÇİN TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde, bazı özel fonksiyonlar için temel teşkil eden tanım ve teorilere
kısaca yer verilecektir. Kesirli diferansiyel denklemleri için önemli rol oynayan
bu fonsiyonlar Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu, Mittag-Leffler fonksiyonu
ve Wright fonksiyonudur.
3.1. Gamma Fonksiyonu:
Γ(n) ile ifade edilen Gamma fonksiyonu (Euler Gamma Fonksiyonu veya ikinci
tip Euler integrali),
dtetn tn
1
0
)(
şeklindeki integralle ifade edilir. Burada R ),0(: dir. Nn için
dtetn tn
0
!
olduğundan, Gamma fonksiyonu, faktöriyel fonksiyonu olarak da ifade edilir.
0n için bu fonksiyon yakınsaktır. Burada
1)1(
eşitliği mevcut olup, bu ifade genelleştirilerek
!)()1( nnnn
elde edilir (Podlubny, 1999).
6
3. 2. Beta Fonksiyonu:
İki değişkenli olan Beta fonksiyonu
dtttyxB yx 11
0
1
)1(),(
0)Re(,0)Re( yx
olarak tanımlanan Beta fonksiyonu simetri özelliğine sahiptir ki, bu da en
belirgin özelliklerinden biridir;
),(),( xyByxB
diğeri ise Beta fonksiyonu ile Gamma fonksiyonu arasındaki ilişkiyi veren ve
Laplace dönüşümünden elde edilen;
),()(
)()(),( xyB
yx
yxyxB
eşitliğidir (Podlubny, 1999).
3.3. Mittag-Leffler Fonksiyonu:
Mittag-Leffler fonksiyonları, kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerde çok
yaygın kullanım alanları bulan oldukça önemli bir fonksiyondur ve
)1()(
0
k
zzE
k
k
şeklinde Mittag-Leffler tarafından tanımlanmıştır. İki parametreli Mittag-Leffler
fonksiyonu ise ilk olarak Agarwal ve Humbert (1953) tarafından Laplace
dönüşüm tekniği kullanılarak yapılmış olup, kesirli mertebeden diferansiyel
hesapta önemli bir yere sahiptir ve iki parametreli Mittag-Leffler fonksiyonu
7
)()(
0
,
k
zzE
k
k
seri açılımıyla verilir. Bu açılımdan yola çıkılarak,
zk
k
k
k
ek
z
k
zzE
!)1(
)(00
1,1
z
e
k
z
zk
z
k
zzE
zk
k
k
k
k
k
1
)1(
1
)!1()2()(
1
000
2,1
2
2
02
00
3,1
1
)2(
1
)!2()3()(
z
ze
k
z
zk
z
k
zzE
zk
k
k
k
k
k
ve bunun genelleştirilmiş hali de;
!
1)(
1
01,1
k
ze
zzE
km
k
z
mm
şeklindedir. Mittag-Leffler fonksiyonunun özel birer durumları olan hiperbolik
kosinüs ve sinüs fonksiyonları da,
zk
z
k
zzE
k
k
k
k
cosh!2)12(
)(2
0
2
0
2
1,2
z
z
k
z
zk
zzE
k
k
k
k
sinh
)!12(
1
)22()(
12
0
2
0
2
2,2
olarak bulunur (Podlubny, 1999).
8
3.4. Wright Fonksiyonu:
Wright fonksiyonu kesirli mertebeden difüzyon dalga denklemlerinde olduğu
gibi lineer kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde
önemli rol oynar.
Bu fonksiyon iki parametreli Mittag-Leffler fonksiyonuna bağlı olarak
geliştirilmiştir. Laplace dönüşümü yardımıyla en iyi kullanılabilecek şekilde
Humbert vd. (1953) tarafından geliştirildi.
Fonksiyonun tanımı şu şekildedir:
)(!))(,;(
0
kk
zzzW
k
k
Fonksiyon integral şeklinde de tanımlanabilir:
de
izzW z
Ha
2
1))(,;(
Burada Ha Hankel'in simgesidir (Podlubny, 1999).
9
4. KESİRLİ TÜREV VE İNTEGRALLER
4.1. Riemann-Liouville Kesirli Türevi
Bu bölümde Riemann-Liouville (RL) kesirli türevinin tanımı için gerekli adımlar
gösterilmiştir.
)(tfy sürekli bir fonksiyon olmak üzere, )(tfy fonksiyonunun birinci
mertebeden türevi
h
htftf
dt
dftf
h
)()(lim)(
0
bu fonksiyona ikinci kez türev uygulanırsa
h
htftf
dt
fdtf
h
)()(lim)(
02
2
h
htfhtf
h
htftf
hh
)2()()()(1lim
0
20
)2()(2)(lim
h
htfhtftf
h
benzer şekilde üçüncü mertebeden türev
303
3 )3()2(3)(3)(lim)(
h
htfhtfhtftf
dt
fdtf
h
bu şekilde devam edilirse genel formül
)()1(1
lim)(0
0
)( rhtfr
n
hdt
fdtf r
n
rnhn
nn
(4.1)
10
şeklinde elde edilir. Burada
!
)1()2)(1(
r
rnnnn
r
n
açılımını elde ederiz. Burada (4.1) genel formülünde
)()1(1
)(0
)( rhtfr
p
htf r
n
rp
p
(4.2)
Ve buradan p keyfi bir tamsayı olmak üzere np alınırsa ifade
p
ppp
hh dt
fdtftf
)()(lim )()(
0 (4.3)
olacaktır. a ve t ler işlemdeki uç noktalar olmak üzere
)(lim)( )(
0tftfD p
h
atnhh
p
ta
ile gösterilecektir. (4.1) denkleminden yola çıkarak p nin negatif durumlarına
göre;
!
)1)...(1(
r
rppp
r
p
r
p
r
rppp
r
pr)1(
!
)1)...(1(
Açılımından faydalanarak (4.2) eşitliğinde p yerine p yazarsak;
)()(0
)( rhtfr
phtf
n
r
pp
h
(4.4)
11
denklemini elde ederiz ve burada p pozitif keyfi bir tamsayıdır. Eğer n sabit
ise, )()( tf p
h
nin 0h iken limitinin 0'a gitmesi doğaldır. Sıfır olmayan bir
limite ulaşmak 0h iken n olmak zorundadır. nath alınabilir. Burada
a bir reel katsayı ve )()( tf p
h
nin limit değeri sonlu veya sonsuzdur.
Burada kesirli integrali
)(lim)()( )(
0tftfDtfI p
h
atnhh
p
ta
p
ta
ile göstereceğiz. Burada p
ta
p
ta ID integral operatörü ve )(tf fonksiyonu
üzerinde bir işlemdir. a ve t ise bu işlemdeki uç noktalardır.
Şimdi de (4.4) denklemi için p ’nin farklı durumlarını ele alalım: 1p olsun;
)(1
)(0
)1( rhtfh
tfn
r
h
anht ve f ‘in sürekli olması durumunda
dfdzztftfDtf
tat
tah
atnhh
)( )( )()(lim00
1)1(
0
(4.5)
olur. 2p alalım bu durumda 0h iken;
1!
)12)...(12(22
r
r
r
r
)()1()(0
)2( rhthfrhtfn
r
h
yht ifadesinden bir terim açarak
12
)()1()(1
1
)2( rhyhfrhtfn
r
h
elde ederiz. Burada 0h iken
dftdzztzftfDtf
tat
tah
atnhh
)()( )( )()(lim00
2)2(
0
(4.6)
olur, çünkü burada ty ve 0h dir. Bu şekilde devam edilerek p nin ,...4,3
gibi değerleri de bulunur. O halde (4.5) ve (4.6) denklemlerinden
dftp
rhtfr
phtfD p
a
tn
r
p
atnhh
p
ta )()()!1(
1 )(lim)( 1
00
genel denklemini elde ediriz (Podlubny, 1999). Bu konu ile ilgili daha detaylı
bilgi Andrew vd. (1992) ve Zhang vd. (1996)'ın çalışmalarından elde edilebilir.
4.2. Caputo Kesirli Türevi
Riemann-Liouville kesirli türev tanımı, kesirli türev ve integralin
uygulamalarında oldukça önemlidir.
Modern teknolojideki uygulamalarda bu tanımında bazı değişikliklere ihtiyaç
duyulduğu görülmüştür. Özellikle viskoelastik ve mekanikteki uygulamalarda,
metaryalin fiziksel özelliklerini belirtmede kesirli türevin kullanımının daha iyi
sonuç verdiğine dair birçok çalışma mevcuttur. Matematiksel modelleme ile
elde edilen kesirli mertebeden diferansiyel denklemler başlangıç koşulları ile
birlikte formüle edilir. Yani uygulamadaki problemler, fiziksel yorumlamaya
imkan veren başlangıç koşullarını kullanmayı gerektiren kesirli mertebeden
türev tanımına ihtiyaç duyar. Riemann-Liouville türevine t=a uç noktasındaki
limit değerinin ilavesi gereklidir.
Caputo türevi
13
dssfstpn
tfD npn
a
t
tC
p )()()(
1)( 1
0
olarak ifade edilir. Burada npn 1 dir. Caputo(C) yaklaşımının en temel
avantajı, Caputo kesirli türevlerinin tamsayı merteben diferansiyel
denklemlerdekiyle aynı formda başlangıç koşullarına sahip olmasıdır. Başka bir
ifadeyle at alt limitinde, bilinen bir fonksiyonun tam mertebe türevlerinin
limit degerlerini içermesidir (Podlubny, 1999).
4.3. Grünwald-Letnikov Kesirli Türevi
Grünwald-Letnikov (GL) türevinin mertebesi 0p olacak şekilde
)(lim)( )(
00 N
p
j
j
Np
NN
tGL jhtfwhtfD p
)1()(
)()1()(
jp
pj
j
pw jp
j
olarak tanımlanır. Ayrıca buradaki )( p
jw , p)1( kuvvet serisi açılımındaki
katsayılar olmak üzere
jp
j
j
p w )(
0
)1(
dir. )( p
jw , j nin bazı değerleri için açıldığında
,...2,1 ,1
1 ,1 1
)()(
0
jw
j
pww j
p
j
p (4.7)
rekürans bağıntısı elde edilir (Podlubny, 1999).
14
Şimdi de bu türevler arasındaki ilişkiden bahsedeceğiz: İlk olarak Riemann-
Liouville ve Caputo türevi araşındaki ilişkiyi şöyle tanımlayabiliriz:
];[)()( 0100tfTtfDtfD mtRLtC
pp
bu ilişki
))()(()( 000tftfDtfD pp
tRLtC
eşitliğinden gelmektedir. f fonksiyonunun 0t noktasındaki )1( m ’inci
dereceden Taylor polinomu ];[ 01 tfTm :
)(!
)](;[ 0
)(1
0
01 tfk
tttfT k
km
k
m
olarak tanımlanır. 10 p iken 1m ve )()](;[ 000 tfttfT ‘dir.
Diğer bir yandan Riemann- Liouville ve Grünwald-Letnikov türevleri arasında
uygun varsayımlar altında
)()(00
tfDtfD pp
tGLtRL
olacak şekilde bir ilişki vardır. Buradan yola çıksak:
];[)()()( 0100tfTtftfDtfD mtGLtC
pp
genellemesini yapabiliriz. Bu ilişki yukarıdakine benzer şekilde
))()(()( 000tftfDtfD pp
tRLtC
15
eşitliğinden gelmektedir. Kesirli mertebeden bir diferansiyel denklemde Caputo
türevini kullandığımızda bu genellikle başlangıç koşulları Cauchy tipinde olan
00 )(
))(,()(0
yty
tytftfD p
tC
denklemler için tercih edilir. Eğer burada Riemann-Liouville tanımı kullanılırsak
1)(lim
))(,()(1
00
0
btyJ
tytftfDp
p
ttt
tRL
başlangıç koşulunu elde ederiz ki bunun da açık olarak bir fiziksel anlamı yoktur
ve dolayısıyla uygulamalarda pratik olarak kullanımı uygun değildir (Ongun vd.,
2013).
Lemma 4.3.1: Mertebesi 10 p olan ve her j 1,2, . . . olacak şekilde p)1(
kuvvet serisinin katsayıları olan )( p
jw için;
a) 01 )(
1 pw
b) 10 )1(
1 pw .
İspat: Bu lemmanın ispatı (4.7) denklemiyle verilen ilişkinin bir sonucudur
(Ongun vd., 2013).
4.4. Kesirli Türevlerin Özellikleri
Lemma 4.4.1: Lineerlik özelliği: R, 21 olmak üzere
)()())()(( 2121 tgDtfDtgtfD p
ta
p
ta
p
ta
kesirli türevin lineerlik özelliği vardır (Podlubny, 1999).
16
İspat: Grünwald-Letnikov kesirli türevinden yola çıkarak;
))()(()1(lim))()(( 21
00
21 rhtgrhtfr
phtgtfD
r
rp
tnhh
p
ta
)(()1(lim00
1 rhtfr
ph
r
rp
tnhh
)()1(lim0
02 rhtg
r
ph
r
rp
tnhh
).()( 21 tgDtfD p
ta
p
ta
Benzer şekilde RL kesirli türevi ile de ispat edilebilir (Podlubny, 1999).
Lemma 4.4.2: ))(()( tfFtg bileşke fonksiyonunun p -inci mertebeden türevi
)()1(
)(!)(
)1(
)())(( )(
0
tgpr
atr
r
ptg
p
attfFD r
pr
r
p
ta
(4.8)
dir (Podlubny, 1999).
İspat: )(tg pozitif bir fonksiyon olacak şekilde; ))(()( thFtg olsun. )(tg ’nin
k -inci türevini Faa di Bruno formülünden yararlanarak
rar
rr
k
m
km
m
k
n
n
r
th
athFkthF
dt
d
!
)(
!
1))((!))((
)(
00
)(
0
olur (Hilfer, 2001). Burada )1( krar ler negatif olmayan integral değerleri
olacak şekilde makra r
k
r
r
k
r
11
ve
olur. Bulduğumuz bu değerleri (4.8)
denkleminde yerine yazarsak
17
ra
r
rr
k
m
km
m
kpr
r
p
tar
th
athF
pr
atr
r
pktg
p
attfFD
!
)(
!
1))((
)1(
)(!!)(
)1(
)())((
)(
00
)(
00
elde edilir (Podlubny, 1999).
Bazı fonksiyonların kesirli türevleri, integralleri ve bu fonksiyonların özellikleri
ile ilgili bilgilere (Podlubny, 1999), (Weilbeer, 2005), (Soytaş, 2006)
çalışmalarında detaylı olarak yer verilmiştir. Örnek vermek açısından
)( ttf
fonksiyonunun 2/1p -inci mertebeden türevini bulalım. Burada npn 1
aralığında 1n dir. Caputo türevinden faydalanarak
tdsstdt
tfdtyD
t
tC
11
0212/1
2/1
2
12/1
0)(
)1(
1)()(
tdsst
t
2
1
)()(
1
021
)(21 olduğundan
2/1
2/1
2/1
21
tdt
td
olarak buluruz (Soytaş, 2006).
18
5. KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Bu bölümde kesirli türev içeren adi diferansyel denklemlerin varlık ve teklik
durumları incelenecektir. Yalnızca kesirli türevli başlangıç değer problemleri
(Cauchy) problemleri ele alınacaktır. ,p
C D ,p
RL D p
GL D sembolleri sırası ile
sıfır noktasındaki Caputo, Riemann-Liouville ve Grünwald-Letnikov kesirli
türevlerini göstermek üzere kesirli mertebeden denklem için bazı temel
tanımlar verilecektir (Weilbeer, 2005).
Tanım 5.1 : ,0p ,Np pn ve RR 2 A olsun.
))(,()( tytftyD p
RL (5.1)
diferansiyel denklemi Riemann-Liouville tipinde kesirli mertebeden diferansiyel
denklemi olarak adlandırılır. Bu tip diferansiyel denklemin başlangıç koşulları
n
pn
zk
kp
RL bzyJnkbyD
)(lim ),1,,2,1( )0(0
(5.2)
Benzer şekilde
))(,()( tytftyD p
C (5.3)
diferansiyel denklemi Caputo tipinde kesirli mertebeden diferansiyel denklemi
olarak adlandırılır. Bu tip diferansiyel denklemin başlangıç koşulları
)1,,2,1( )0( nkbyD k
kp
C (5.4)
(Weilbeer, 2005).
19
Teorem 5.1: ,0p ,Np ,pn 0,0 hK ve R,,, 21 mbbb olsun.
R,0için )1(/ ve0:R),(:1
2 yhtKkptbyttytG kn
k
k
npn
burada R: Gf fonksiyonunun G 'de sürekli ve sınırlı, ikinci değişkene göre
Lipschitz şartını sağladığını kabul edelim. Öyle bir 0L sabiti vardır ki
Gytyt ),(),,( 21 için
2121 ),(),( yyLytfytf
eşitsizliği sağlanır. (5.1) ile verilen (5.2) başlangıç koşulunu sağlayan Riemann-
Lieouville tipli kesirli mertebeden diferansiyel denklemi ],0( hCy sürekli ve
tek bir çözüme sahiptir. Burada
nMKphhh /1~
)/)1((,,min ,
),(sup: ),( ztfM Gzt ve
~
h aşağıdaki koşulu sağlayan keyfi bir pozitif sayıdır:
pkp
nph
/1
~
))1((
)12(
Caputo kesirli türevide benzer şekilde aşağıdaki teorem ile verilebilir (Weilbeer,
2005).
Teorem 5.2: ,0p ,Nn ,pn 0,0 hK ve R,,, 21 mbbb olsun.
],[],0[: 00 KbKbhG
burada R: Gf fonksiyonunun G 'de sürekli ve sınırlı olduğunu kabul
edelim. (5.3) ile verilen (5.4) başlangıç koşulunu sağlayan Caputo tipli kesirli
mertebeden diferansiyel denklemi ],0( hCy sürekli ve tek bir çözüme sahiptir.
Burada )1,0(p
20
),(sup: ile )/)1((,min),(
/1 ztfMMpKhhGzt
n
Öyle bir 0L sabiti vardır ki Gytyt ),(),,( 21 için
2121 ),(),( yyLytfytf
eşitsizliği sağlanır (Weilbeer, 2005).
Teorem 5.1 ve Teorem 5.2 bize yeterli olmayıp, bu tip diferansiyel denklemlerin
Volterra integral denklemleri olarak yazılabilmesi için aşağıdaki teoremin
verilmesi gerekir.
Teorem 5.3:
1. Teorem 5.1' deki kabuller altında ],0( hCy fonksiyonunun (5.1)
denkleminin (5.2) başlangıç koşulunu sağlayan bir çözümü olabilmesi için gerek
ve yeter koşul
dssysfstpkp
tbty p
tkp
k
k
n
))(,()()(
1
)1()( 1
01
ikinci tip Volterra integral denkleminin bir çözümü olmasıdır.
2. Teorem 5.2' deki kabuller altında ],0( hCy fonksiyonunun (5.3)
denkleminin (5.4) başlangıç koşulunu sağlayan bir çözümü olabilmesi için gerek
ve yeter koşul
dssysfstp
bk
tty p
t
k
kp
k
n
))(,()()(
1
!)( 1
00
1
ikinci tip Volterra integral denkleminin bir çözümü olmasıdır (Weilbeer, 2005).
21
6. KESİRLİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN BAZI SAYISAL
YÖNTEMLER
Bu bölümde kesirli mertebeden diferansiyel denklemler için bazı sayısal
yöntemler incelenecektir.
6.1. Kesirli Mertebeden Çokadımlı Yöntemi
Test problemi olarak
))(,()( tytftyD p (6.1)
kesirli diferansiyel denklemini alalım. Buradaki türev Caputo türevi olarak
alınırsa 00 )( yty başlangıç koşulu ile birlikte
dsst
sy
dt
d
ptyDtyD
p
t
t
tC
p p
)(
)(
)1(
1)()(
0
0
dir. Bu denklem Volterra integral denklemi olarak yeniden yazılırsa:
dssysfstp
yty p
t
t
))(,()()(
1)( 1
0
0
olur. Kesirli mertebeden diferasiyel denklemlerin sayısal çözümü için lineer
Kesirli Çokadımlı Yönteminin (Fractional Multistep Method) Lubich (1986)
tarafından yakınsaklığı ve kararlılık özellikleri incelenmiştir.
Tanım 6.1: C],0[: Xf olsun.
],0[ ,))(,()()(
1))(()( 1
0
Xtdssysfstp
tfIty p
t
t
p
integral denkleminin bir yaklaşımı olan
22
NnjhfwhjhfwhtfI nj
s
j
p
jn
n
j
p
n
p
h ,,1,0 ),()())((00
kesirli konvolisyon açılımıdır. Buradaki jw ağırlıkları konvolisyon ağırlığı
olarak adlandırılır ve
nhtjhfwhtf jn
n
j
pp
h
),(:)(0
kısmı, konvolisyon kısmıdır. Buna karşılık gelen hata pp
h
p
h JE
’dir. Geri
kalan
)(:)(0
jhfwhtfS nj
s
j
pp
h
terimi ise başlangıç kısmı olarak ve njw ağırlıkları başlangıç ağırlığı olarak
adlandırılır. Lubich (1986) tarafından integralin kesirli yamuk yöntemi ile
hesaplanması sonucu
),(00
jnjnj
n
j
p
jnj
n
j
ytfhy
genel formunda yazmak mümkündür. Burada j ve j reel parametrelerdir.
jj w
,)1( j
j
j w ,1,0j
şeklindedir.
23
6.1.1. Açık (Explicit) Çokadımlı Yöntemi
Galeone vd. (2006) ve (2007), kesirli Açık çokadımlı yönteminin kararlılık ve
mertebe incelemeleri detaylı olarak çalışmıştır. Bu çalışmalarda da kesirli Açık
1. mertebeden çokadımlı yöntemine göre
))(,()( 11 nnn
p tytftyD (6.2)
))(,( 110
1
0
nn
p
njnj
n
j
tytfhbyyw
olarak tanımlanır. Burada 1,0
1
nbw n
p
jj
n
'dir. Ayrıca nb serisinin açık bir
gösterimi mevcuttur ki bu da:
1,)1()2(
)(
n
np
pnpbn
(Galeone vd., 2008). Benzer şekilde kesirli Açık 2. mertebeden lineer çokadımlı
yöntemine göre
),(12
),(2
2 22110
1
0
nnnn
p
njnj
n
j
ytfp
ytfp
hbyyw
olarak tanımlanır Burada 11111 ),())(,( nnnnn fytftytf dir. Henüz herhangi
bir yaklaşım yapmadık çünkü herşeyi tam değerlendirebileceğimizi
varsayıyoruz. Gerçekten de
)(lim)(0
N
p
j
N
j
p
NN
p
tGL jhtfwhtfD
24
Grünwald-Letnikov türevinden yola çıkarak adım boylarını sabit bir 0h ve
,0 hnttn htTN /)( 0 olacak şekilde
0 ,1
,1,,1,0 ,
10
1
0
j
n
jjjj wnjw
açılımlarından faydalınarak
),()( 110
0
nnjn
p
j
n
j
p ytfyywh
elde ederiz ki bu da
),( 11
0
1
0
1
0
nn
pp
j
j
n
jn
p
j
n
j
ytfhwyyw
olur. Burada n
p
jj
n
bw
0
1
'dir. Ayrıca nb serisinin açık bir gösterimi mevcuttur ki
1,)1()2(
)(
n
np
pnpbn
(Galeone vd., 2008), (Garrappa, 2010), (Garrappa, 2011). Böylece denklemimiz:
),( 110
1
1
0
nn
p
njn
p
j
n
j
n ytfhbyywwy
njn
p
j
n
j
nn
p
n byywytfhy 0
1
1
11 ),(
Bu yöntem İleri Euler Yöntemi olarak da adlandırılır. Dolayısıla bu yöntem Açık
bir yöntemdir.
25
6.1.2. Kapalı (Implicit) Çokadımlı Yöntemi
Benzer mantıkla adım (6.1) denklemini Kapalı formda yazacak olursak
))(,()( nnn
p tytftyD (6.3)
şeklindedir. Açık yöntemine benzer işlemler uygulanarak
),()( 0
0
nnjn
p
j
n
j
p ytfyywh
denklemini yazabiliriz ve burda yaklaşım, geri ayrıklaştırma türevi kullanılarak
elde edilir
),(0
1
0
1
0
nn
pp
j
j
n
jn
p
j
n
j
ytfhwyyw
ve bu denklemi düzenlersek
yn hp ftn ,yn y0bn n1
j1
w j
pynj
elde ederiz ve denklemde ny 'i elde etmek için eşitliği sol tarafa atıp 0 'a
eşitleyelim
0),(1
1
0
jn
p
j
n
j
nnn
p
n ywbyytfhy (6.4)
burada Kapalı formdaki (6.4) denklemimizi Açık hale getirmek için Newton
Raphson yöntemine başvuracağız. Varsayalım ki ny =z için
jn
p
j
n
j
nn
p ywbyztfhzzg
1
1
0),()(
(6.5)
26
olsun. İterasyon
,...1,0,)(
)(1
i
zg
zgzz
i
iii
ve başlangıç noktası 10 nyz olacak şekilde gerekli düzenlemeler yapılarak
),(1
),(1
10
1
in
p
jn
p
j
n
jnin
p
i
iiztfh
ywbyztfhz
zz
ileri fark denklemini Açık hale getirmiş oluruz
6.2. Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi
Abel-Volterra tibi integral dekleminin sayısal çözümleri için kesirli geri adımlı
fark formülleri dışında daha birçok yönetem vardır. Bu yöntemlerden
bazılarının temeli kesirli çokadımlı yöntemlere dayanır. Bazıları
sıralama(collocation) yöntemlerine bazıları da Türetilmiş İntegral Yönteminde
integral denklemlerindeki çekirdek kuadratik spline interpolasyonu ile elde
edilen ikinci dereceden bir polinoma yakınsar. Bu amaçla
))(,()(0
tytftyD p
t
y(t₀)=y₀ (6.6)
şeklindeki kesirli diferansiyel denklemini ele alalım. Burada RR],[: 0 Ttf
sınırlı kümesinde 10 p olacak şekilde sol taraftaki türev Caputo türevi
olarak ifade edilirse
dsst
sy
dt
d
ptyDtyD
p
t
t
tC
p p
)(
)(
)1(
1)()(
0
0
27
olarak yazılabileceği daha önceki bölümlerde verilmişti. (Kilbas vd., 2006)'dan
faydalınarak (6.6) denklemi Volterra integral denklemi olarak yeniden
düzenlenirse
dssysfstp
yty p
t
t
))(,()()(
1)( 1
0
0
(6.7)
yazılabilir. Palarma (1996) ve Linz (1985) çalışmalarında integral
denklemindeki integralin çekirdeğinin yaklaşık olarak ikinci dereceden spline
polinoma yakınsaması teorisi kullanılarak Açık ve Kapalı yöntemleri
geliştirilmiştir (Galeone vd., 2008).
6.2.1. Açık (Explicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi
1, jj tt aralığında tanımlanan ),())(,( jjj ytffsysf fonksiyonu jtt j 0
olmak üzere Açık formda alınıp (6.7) denklemi yeniden yazılırsa
dsstfp
yty p
n
t
t
j
j
n
n
j
j
1
0
1
0 )()(
1)(
1
(6.8)
elde edilir. Sağ taraftaki integralin hesaplanmasında sayısal yöntemlerden olan
dikdörtgen metodu kıllanılarak aralıklara bölme işlemi uygulandığında
dsstdsstdsst p
n
t
t
p
n
t
t
p
n
t
t
n
j
j
n
j
j
111 )()()(
11
şeklinde yazılabilir. Bu integral hesaplandığında sınır koşullarının da
yerleştirilmesi ile
p
ttttdsst
p
jn
p
jnp
n
t
t
j
j )()()(
11
1
(6.9)
28
eşitliğine ulaşılır. (6.9) denklemini (6.8) denkleminde yerine yazarsak
p
jn
p
jnj
j
n
n ttttfpp
yty )()()(
1)( 1
0
1
0
(6.10)
elde edilir. Aralıklar adım boyu olan h'a göre yeniden ifade edilirse
nhttn 0
)( jnhtt jn
)1(1 jnhtt jn
olur. (6.10) denkleminde yerine yazılırsa
yn y0 1p 1
j0
n1
hp f jn jp n j 1p 6.11
(6.11)
iterasyon denklemi elde edilir. (6.11) denklemi
jjn
j
np
n fbhyy 1
0
1
0
formunda düzenlenmesi gerekirse, bu denklemdeki 1 jnb 'nin
)1(
)1()(1
p
jnjnb
pp
jn
olduğu görülür (Garrappa, 2010), (Garrappa, 2011).
29
6.2.2. Kapalı (Implicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi
Açık Türetilmiş İntegrasyon metoduna benzer mantıkla, bu sefer 1, jj tt
aralığında tanımlanan jj
jj
tt
ff
jj tsfsysf
1
1)())(,( bir parçalı lineer
interpolasyon polinomu olarak alınıp (6.7) denkleminde yerine yazıldığında
dstt
fftsfst
pyty
jj
jj
jj
p
n
t
t
j
n
n
j
j
1
11
0
1
0 )()()(
1)(
1
eşitliği elde edilir. Sağ taraftaki ifade terim terim integrallenirse
dssttstt
ff
pdsstf
pyty p
nj
t
t
jj
jjn
j
p
n
t
t
j
j
n
n
j
j
j
j
1
1
11
0
1
0
1
0 ))(()(
1)(
)(
1)(
11
olur. Buradan (Lubich, 1986) ve (Diethelm vd., 1999) dan faydalanarak
jjn
j
np
n
p
n fahdfhyy
1
0,00
formunda yazılabileceğini görürüz. Bu eşitlikteki nd ve na
)2(
)1()1( 1
0,
p
pnnnd
pp
n
,...2,1
0
,
,
)2(
)1(2)1(
)2(1
111
n
na
p
nnn
p
n ppp
olarak hesaplanır (Garrappa, 2010), (Garrappa, 2011).
30
6.3. Standart Olmayan Sonlu Fark Yöntemi
Standart Olmayan Sonlu Fark (Nonstandard Finite Difference Schemes/NSFD)
yöntemi ilk olarak Mickens (1994) tarafından hem adi hemde kısmi türevli
diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için tanımlandı ve daha sonrasında bu
yöntem birçok probleme uygulandı. Standart Olmayan Sonlu Fark(SOSF)
yöntemi basit bir şekilde tanımlanmak istenirse test problemi olarak
),,( ytfdt
dy (6.12)
alalım. Burada bir parametredir. 0h adım boyu olmak üzere hnttn 0
alınarak Standart Olmayan Sonlu Fark yöntemi aşağıdaki şekilde iki adımda
kurulabilir.
Adım 1: (6.12) denkleminin sol tarafındaki türev )(, nn tyy 'in bir yaklaşımı
olmak üzere
),(
1
h
yy
dt
dy nn (6.13)
şeklinde ayrık olarak yazılır.
Adım 2: (6.12) denklemindeki lineer olmayan terimler yerine
),,,,( 1 nn yytF lokal olmayan ayrık gösterimlerle ifade edilirse (6.12)
denklemi
),,,,(),(
11
nnnn yytF
h
yy (6.14)
ayrık formda yazılır.
31
Klasik ayrıklaştımada hh ),( olarak alınırken bu yöntemde ),( h artık h
adım boyuna bağlı denominatör fonksiyonu olarak tanımlanır ve denominatör
fonksiyonu
0 ),(),( 2 hhOhh (6.15)
koşulunu sağlar. Diğer yandan (6.15) koşulunu sağlayan denominatör
fonksiyonlarının seçimi belli koşullar altında keyfi olabilir. Bu seçimi yaparken
dikkat edilmesi gereken konu (6.12) denklemi ile verilen orjinal sürekli
denklem ile (6.14) ayrık formda ifade edilen denklemin çözümlerinin birbirleri
ile dinamik olarak uygunluk(dynamic consistency) göstermesidir. Denominatör
fonksiyonun seçimine örnek olarak (6.12)'de yytf ),,( alalım. Bu
denklemin 0 için 0y kararlılık noktasında monoton yakınsak olduğu
bilinmektedir. Klasik Açık Euler yönteminde
11 ),,,,( ve),( nnn yyytFhh
olarak alınır ve h adım boyu uygun
şekilde yeterince küçük seçilmedikçe çözümlerin 0'a monoton yakınsamadığı
görülür. Denominatör fonksiyonunun seçimindeki en yaygın yöntem f ‘nin
sabit nokta (fixed point) teorisinden faydalanılan yöntemdir. Buna göre
Llyl ,2,1,~ için 0),~,( lytf ’dir. yy
ldy
dfR
~
olmak üzere
fonksiyonunun
lLl
Rh
RRR
eRh
,2,1max ,
1),(
şeklindeki seçim ile orjinal sürekli model ve ayrık modelin aynı kararlılık
özelliği gösterdiği (Mickens, 1990), (Mickens, 1993), (Mickens, 1999), (Mickens,
2002) ve (Mickens, 2006) çalışmalarında detaylı şekilde mevcuttur.
(6.12) diferansiyel denkleminin sağ tarafındaki lineer olmayan terimler için,
problemin yapısına göre, ),,,,( 1 nn yytF gösteriminden farklı local olmayan
ayrık terimler almak mümkündür. Örnek olarak
32
1111
11
2 ,2
, ,
nn
nnnnnnn yy
yyyyyyyy
n
nnnnnnnn
nn
y
yyyyyyyy
yyy
2
1
2
1111
2213 , , ,2
seçimleri yapılabilir.
Standart Olmayan Sonlu Fark yönteminin kesirli mertebeden adi ve kısmi
diferansiyel denklemlere uygulanması yeni bir konudur ve literatürde bu tip
çalışmalar henüz yeterli sayıda değildir. (Momani vd.,2011), (Momani vd.,2012)
ve (Rawvan vd., 2011) çalışmalarında bu yöntemin bazı problemlere
uygulamalarını yapmışlardır. SOSF yöntemini kesirli mertebeden diferasiyel
denklemlerine uygulamak için kesirli mertebeden sistemlerin bazı özelliklerini
dikkate almak zorundayız. (6.6) kesirli diferansiyel denkleminin sol tarafına
Grünwald-Letnikov türevinin uygulanması ve sağ tarafına ise (6.14)’deki şekilde
ayrıklaştırma yapılırsa, 10 p olmak üzere
),,,,()(),(
110
0
nnjn
p
j
j
n
yytFyywh
(6.16)
elde edilir. Yalnız burada ph yerine seçimize bağlı ),( h denominatör
fonksiyonunu yazalım. (6.15) denklemi ile verilen ),( h , kesirli türeve sahip
diferansiyel denklemler için dinamik uygunluk göstermediğinden kesirli
türevlere uygun olarak p ' ye bağlı şekilde yeniden oluşturulmak istenirse
0 , ),(),( hpkhOhh kp (6.17)
şeklinde alınması daha uygun olacaktır. Kesirli diferansiyel denklemler için bazı
denominatör fonksiyonları
33
1)()1( ,
1 ,
1 ,
)sin( ,
)sin( ,
p
p
phhpp
phE
peehh
h
p
şeklinde verilebilir. Buradaki (.) ve (.)pE fonksiyonları sırasıyla
)1()( ,)(
0
1
0
pk
zzEdttez
k
k
p
zt
(6.18)
şeklindeki Gamma Euler fonksiyonu ve Mittag-Leffler fonksiyonlarıdır.
Bu denominatör fonksiyonları (6.17) uygunluk koşulunu sağlamış olmasına
rağmen birçoğunun yakınsaklık mertebesi (6.15) denklemi ile verilenle aynı
değildir. (6.17) denklemindeki yakınsaklık mertebesi olan k ’nın 1 pk
eşitsizliğini sağlaması gerekir. Çünkü yukarıdaki denaminatör fonksiyonlarının
birçoğu bu koşulu sağlamıyor ve 10 p iken p küçüldükçe yakınsaklık
mertebesi de küçülüyor. Fakat yakınsaklık mertebesinin küçülmesine rağmen
bu denaminatör fonksiyonlarının bazıları kararlılıkla ilgili bir sıkıntı
oluşturmayabilir. Bu amaçla test problemi olarak alınan (6.6) denkleminde
yytf ),,( alınarak, sol tarafına Grünwald-Letnikov türevi kullanılıp sağ
tarafına ise 11 ),,,,( nnn yyytF şeklinde Açık ayrıklaştırma yapıldığında,
(Galeone vd., 2006) den faydalınarak denominatör fonksiyonun
p
h2
),(0 (6.19)
koşulunun sağlaması gerektiği görülür. Yukarıda verdiğimiz denominatör
fonksiyonlarından yalnızca aşağıdaki iki tanesini
phh e
he
h
p
1),( ve
1),( 21
karşılaştırmak istersek her ikisi de
(6.17) uygunluk koşulunu sağlamasına rağmen ppp hhh 1
22 ),( dir.
(Ongun vd., 2013).
34
7. KESİRLİ MERTEBEDEN BRUSSELATOR SİSTEMİNİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ
Bu bölümde ilk defa Zhou vd. (2005) tarafından çalışılan
)()()()1()( 2
0tytxtxatxD p
tC
)()()()( 2
0tytxtxtyD p
tC (7.1)
şeklinde tanımlanan bir otokatalitik kimyasal reaksiyon modeli olan, kesirli
mertebeden Brusselator sisteminin bazı sayısal çözümleri incelenecektir.
Burada p , bir ek bifurkasyon parametresidir ve bunlar sistem içerisinde kararlı
ve kararsız durumlara geçiş yaparlar ve sistemde limit döngü içinde değişirler.
p=1 için sistem tek limit döngüye sahiptir. 12 a iken de
1)1( 22 aa için kararlı bir limit döngüsü vardır )(tx ve )(ty , aktivatör
ve inhibitör değişkenleri, 0a ve 0 parametrelerdir,
0)(,)( 0000 ytyxtx ve 10 p aralığındadır (Wang vd., 2007), (Gafiychuk
vd., 2008).
Kısaca bu kesirli Brusselator sisteminin kararlılık analizine değinmek istersek;
Gafiychuk (2008)'nin makalesinde bahsedildiği gibi, bu modelin dinamiklerini
incelemek için onun denge noktasını dikkate almamız gerekir:
)()()(),(
)()()()1(),(2
2
tytxtxyxg
tytxtxayxf
olsun. Sistem (7.1)’in denge çözümleri
0),( ve0),( eqeqeqeq yxgyxf
olarak tanımlanır. Kolayca görülebilir ki a
aE , ’dir.
35
Teorem 7.1: 0pp için E denge noktası local asimtotik olarak kararlı olacak
şekilde p₀ marjinal değeri vardır ve 0pp için E kararsızdır.
İspat:
ygxg
yfxfJ
//
//
Jakobian matrisinin tüm özdeğerleri
2)arg(
p
şartını sağlarsa E denge noktasının lokal asimtotik kararlı olduğunu biliyoruz.
özdeğerleri 0))(det( IEJ karakteristik denklemini sağlar. (7.1)
sisteminin denge noktasını Jakobian matrisinde yerine yazarsak
2
21)(
a
aEJ
olur ve buradan da özdeğer fonksiyonları
JJtrtrJ det42
1 2
2,1
olarak elde edilir. Burada 21 atrJ ve 2det aJ ’dir. 20 p için
4
2
det JtrJ ve marjinal değer ,)arg(20 ip
2,1i
şeklindedir. Burada 0pp iken sistem salınımlı ancak kararlıdır, 0pp iken
sistem kararsız ve daha karmaşık dinamikler ortaya çıkmaktadır
(Gafiychuk,2008).
36
7.1. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Açık (Explicit) ve Kapalı (Implicit)
Çokadımlı Yöntemleri
(7.1) denklemi ile verilen kesirli Brusselator sisteminin sayısal çözümü için Açık
Çokadımlı Yöntemini uygulayalım. Bu yöntemle ilgili detaylı bilgi Bölüm 6.1.1 ve
6.1.2 ' de mevcuttur.
(7.1) sistemini (6.2) formunda 1. mertebeden Açık Çokadımlı yöntemini
uygularsak,
111100
111100
)(
)1()(
nnnnjn
p
j
n
j
p
nnnnjn
p
j
n
j
p
yxxxyywh
yxxxaxxwh
elde edilir. Burada sol taraftaki türevler Grünwald-Letnikov türevleridir.
Yukarıdaki denklemi düzenlersek
11110
1
0
1
0
11110
1
0
1
0
)1(
nnnn
pp
jj
n
jn
p
j
n
j
nnnn
pp
jj
n
jn
p
j
n
j
yxxxhwyyw
yxxxahwxxw
elde ederiz ki bu denklemde bir terim açarsak
11110
)1()(1
1
11110
)1()(1
1
)1(
nnnn
pp
njn
p
j
n
jn
nnnn
pp
njn
p
j
n
jn
yxxxhywywy
yxxxahxwxwx
olur. Bu denklem sisteminde nx ve ny ’i sol tarafta yalnız bırakırsak
37
x n hpa 1x n1 x n1x n1yn1 j1
n1
w j
px nj wn
p1x 0
yn hpx n1 x n1x n1yn1 j1
n1
w j
pynj wn
p1y0
6.2
(7.2)
elde ederiz. pw p )(
1 durumu için
x n1
w1
p1x 0 , n 1
w1
p1x 0
j2
n
w j
px nj, n 2
ve benzer şekilde
y
n1
w1
p1y0 , n 1
w1
p1y0
j2
n
w j
pynj, n 2
düzenlemeleri yapılarak
wnp1
x 0 Xn x n1 px n1
wnp1
y0 Yn y
n1 pyn1
6.3
(7.3)
eşitliğini yazmak mümkündür. Burada
jn
p
j
n
j
njn
p
j
n
j
n ywYxwX
)(
1
)(
1
,
dir. (7.2) denklem sisteminde (7.3) daki ifadeleri yerine yazarsak:
38
x n x n1 px n1 hpa 1x n1 x n1x n1yn1
yn y
n1 pyn1 hpx n1 x n1x n1yn1
iterasyon denklemini elde ederiz.
Benzer şekilde (7.1) sisteminin Kapalı Çokadımlı yöntemi ile çözümü için (6.3)
denkleminden yola çıkarsak:
nnnnjn
p
j
n
j
p
nnnnjn
p
j
n
j
p
yxxxyywh
yxxxaxxwh
)(
)1()(
00
00
yazabiliriz. Düzenlersek
nnnn
pp
jj
n
jn
p
j
n
j
nnnn
pp
jj
n
jn
p
j
n
j
yxxxhwyyw
yxxxahwxxw
0
1
0
1
0
0
1
00
)1(
olur ve bu denklemde bir terim açılarak
nnnn
pp
njn
p
j
n
jn
nnnn
pp
njn
p
j
n
jn
yxxxhywywy
yxxxahxwxwx
0
)1()(1
1
0
)1()(1
1
)1(
şeklinde yazılır ve bu sistemde nx ve ny 'i elde etmek için eşitlikleri sol tarafa
atılırsa
0
0)1(
0
)1()(1
1
0
)1()(1
1
ywywyxxxhy
xwxwyxxxahx
p
njn
p
j
n
jnnnn
p
n
p
njn
p
j
n
jnnnn
p
n
39
olur. Burada, Kapalı formda olan nx 'e bağlı birinci denklemi Açık forma
getirebilmek için Newton Raphson yöntemine başvuracağız ve expilict formda
olan ny 'i de eşitliğin sol tarafında yalnız bırakacağız. O halde ilk denklemi
Bölüm 6.1.2 de verilen bilgiler ışığında
nnp
pnjn
pj
n
jn
p
xxh
ywywxh
n
n
pp
njn
p
j
n
j
y
yzzahxwxwzzg
1
2
0
)1()(1
1
0)1()(
1
1
)1()(
şeklinde yazarsak, nx 'e bağlı denklem için iterasyon denklemi
,...1,0,)(
)(1
i
zg
zgzz
i
iii Newton-İterasyon denklemi formunda olacaktır.
Dolayısıyla başlangıç noktası 10 nxz olan
nnp
pnjn
pj
n
jn
p
nip
niipp
njnp
j
n
ji
xxh
ywywxh
n
yzh
yzzahxwxwz
ii
y
zz
1
2)1(1
)1(
1
0)1()(
1
1
20
)1()(1
1
iterasyon denklemini elde ederiz.
7.2. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi
7.2.1. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Açık (Explicit) Türetilmiş (Product)
İntegral Yöntemi
Bölüm 6.2.1 den faydalanarak, 1, jj tt aralığında tanımlanan sistemi
jhtt j 0 olmak üzere (7.1) sistemi Açık Türetilmiş İntegral yöntemine göre
40
(7.4)
şeklinde ifade edilir. Aralıklar adım boyu olan h
nhttn 0
)( jnhtt jn
)1(1 jnhtt jn
olarak ifade edilirse ve (7.4) sisteminde yerine yazılırsa
pp
jjjj
p
j
n
pn
pp
jjjj
p
j
n
pn
jnjnyxxxhyy
jnjnyxxxahxx
)1()(
)1()()1(
0
1
)1(1
0
0
1
)1(1
0
(7.5)
iterasyon denklemi elde edilir. (7.5) denklemini düzenlenirse
jjjjjnj
np
n
jjjjjnj
np
n
yxxxabhyy
yxxxabhxx
)1(
)1(
10
1
0
10
1
0
elde ederiz ve bu denklemdeki 1 jnb 'nin
)1(
)1()(1
p
jnjnb
pp
jn
olduğunu Bölüm 6.2 1' de de göstermiştik.
p
jn
p
jnjjjjj
n
ppn
p
jn
p
jnjjjjj
n
ppn
ttttyxxxyty
ttttyxxxaxtx
)()()(
)()()1()(
10
1
)(1
0
10
1
)(1
0
41
7.2.2. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Kapalı (Implicit) Türetilmiş
(Product) İntegral Yöntemi
Benzer şekilde (7.1) sistemi, Bölüm 6.2.2 de verildiği gibi Kapalı Türetilmiş
integral yönteminden faydalanarak yazılırsa
dstsgstyty
dstsfstxtx
jj
jj
j
j
jj
jj
j
j
tt
gg
jj
p
nt
t
j
n
pn
tt
ff
jj
p
nt
t
j
n
pn
1
1
1
1
1
1
)()()(
)()()(
1
0
1
)(1
0
1
0
1
)(1
0
eşitliği elde edilir. Sağ taraftaki ifade terim terim integrallenirse
dssttsdsstgyty
dssttsdsstfxtx
p
njt
t
tt
ggn
jp
p
nt
t
jj
n
pn
p
njt
t
tt
ffn
jp
p
nt
t
jj
n
pn
j
j
jj
jj
j
j
j
j
jj
jj
j
j
11
0)(
11
0
1
)(1
0
11
0)(
11
0
1
)(1
0
))(()()(
))(()()(
1
1
1
1
1
1
1
1
olur. Buradan gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra
jjnj
np
n
p
n
jjnj
np
n
p
n
gahdghyy
fahdfhxx
10,00
10,00
elde ederiz. Bu eşitlikteki 0,nd ve na için
)2(
)1()1( 1
0,
p
pnnnd
pp
n
,...2,1
0
,
,
)2(
)1(2)1(
)2(1
111
n
na
p
nnn
p
n ppp
olduğunu Bölüm 6.2.2' de de göstermiştik.
42
7.3. Kesirli Brusselator Sistemi İçin Standart Olmayan Sonlu Fark Yöntemi
Bu bölümde, kesirli Brusselator sistemi için Bölüm 6.3 de açıklandığı şekilde,
(7.1) sistemi için Standart Olmayan Sonlu Fark yöntemi uygulandı. Aşağıda üç
farklı şekilde incelenen problemde, her bir durumda lineer olmayan terimlerin
ayrık formda ifadelerinin ve bu durumlar için denominatör fonksiyonlarının
seçimlerinin farklılığı vurgulanmıştır.
Durum 1: (7.1) sisteminin sağ tarafındaki )(tx terimi ve )()(2 tytx lineer
olmayan terimi için aşağıdaki şekilde seçim yapalım:
).()()()()( )()( 11
2
1 nnnn tytxtxtytxtxtx
(7.1) denklem sisteminde yerine yazılırsa
1110
)1()(
1
1110
)1()(
1
)(
)1()(
nnnn
p
njn
p
j
n
jn
nnnn
p
njn
p
j
n
jn
yxxxhywywy
yxxxahxwxwx
elde edilir. Buradan da gerekli düzenlemeler yapılarak
111
)(
10
)1(
)(1
)1()(
)(
11
1)(
10
)1(
nnnnjn
p
j
n
j
p
nn
yxh
xahxwxw
n
yxxxhywywy
xnn
njnp
j
n
j
pn
bulunur. Sonuç olarak
x n x n1xn1ph1ah
1hxn1yn1
yn y
n1 yn1p hx nx n1 hx n1
43
iterasyon denklemine ulaşırız. Buradaki denominatör fonksiyonu
11 )1(
)1,(
pheh
olarak Bölüm 6.3 de verilen fonksiyonlardan biri olacak şekilde seçildi fakat
farklı bir fonksiyon olarak da seçilebilirdi.
Durum 2:
)()()()()( )()( 11
2
nnnn tytxtxtytxtxtx
olacak şekilde seçelim. Durum 1 dekine benzer mantıkla iterasyon denklemi
x n x n1pxn1ha
1h1hxn1yn1
yn y
n1 yn1p hx nx n1 hx n
olarak elde edilir. Buradaki denaminatör fonksiyonu ise pe h
h1
1 )1(
)1,(
şeklinde seçilmiştir.
Durum 3:
)()()()()( )()( 111
2
1 nnnn tytxtxtytxtxtx
olacak şekilde seçersek, gerekli bazı düzenlemelerden sonra iterasyon denklemi
x n x n1 px n1 hx n1x n1yn1 1 ha
yn y
n1 yn1p hx n1 x n1yn1
44
olur. Bu durum için denominatör fonksiyonu phh )( şeklinde seçilirse,
Durum 3 klasik Açık Euler yöntemidir.
Pozitivity koşulu için 00 x ve 00 y , 0, a olacak şekilde her bir durum
için
Durum 1: 1
)(
ph ve
1
1)(
nnxx
h
Durum 2: 111 nn yx ve 1
)(
nnxx
ph
Durum 3: 111 nn yx ve 11
)(
nn yx
ph
şartları sağlanmalıdır (Ongun vd., 2013).
45
8. UYGULAMALAR
Bu bölümde, Bölüm 6.1, 6.2 ve 6.3 'de teorik altyapısı verilen bazı sayısal
yöntemlerin Bölüm 7.1, 7.2 ve 7.3 'de kesirli Brusselator sistemine uygulanması
ile elde edilen iterasyon denklemlerinin Matlab paket programı yardımıyla,
değişen başlangıç koşulları ve p değerleri için sayısal simülasyonlar
yapılmıştır. Busayısal çözümleri karşılaştırabilmek için, kararlılık özelliklerinin
Garappa (2010)' da detaylı şekilde incelendiği Adams-Bashforth-Moulton(ABM)
yönteminin çözümlerini referans çözümler olarak alacağız. Şekil 8.1.'de ,1a
,3 7.0p ve başlangıç koşulları )9.2,1.1(),( 00 yx olmak üzere ABM
referans yöntemi kullanılarak çözümler ve faz portreleri verilmiştir.
2/)31(2,1 i olarak hesaplandığından Teorem 7.1'in ifadesine göre 0p
marjinal değeri 3/2/)arg(20 ip olur ve 0pp çıktığından denge
noktasının kararsızlık durumunda olduğu Şekil 8.1.'den açıkça görülmektedir.
Şekil 8.2.'de 05.0h değeri için ,1a ,3 7.0p ve başlangıç koşulları
)9.2,1.1(),( 00 yx olmak üzere Standart Olmayan Sonlu Fark çözümlerinin
]80,0[ aralığındaki faz portreleri çizdirilmiştir. Durum 3'de phh )(
alındığında elde edilen durum Bölüm 7.1.1.'de verilen Açık Euler yöntemiyle
aynı olacağından bu durum için iki farklı denominatör fonksiyonu alalım. Bunlar
11
1
)1(
)1,(
pheh ve pe h
h1
12
)1(
)1,(
olsun. Bu durumlar Şekil 8.2.'de
Standart Olmayan Sonlu Fark yöntemi için sırasıyla 3a ve 3b olarak verilmiştir.
Şekil 8.3'de, bu sefer (7.1) sisteminde ,1a ,2 8.0p değerleri ve
başlangıç koşulları )1.2,9.0(),( 00 yx olarak alalım. i2,1 olduğundan
Teorem 7.1' e göre 10 p olduğundan çözümlerin kararlılığı ABM yöntemi ile
çizdirilmiştir.
Şekil 8.4.'de, 05.0h değeri için ,1a ,2 8.0p ve başlangıç koşulları
)1.2,9.0(),( 00 yx koşulları için [0,40] aralığındaki Standart Olmayan Sonlu
Fark çözümlerinden elde edilen faz portreler gösterilmiştir.
46
Şekil 8.5a. ve Şekil 8.5b.‘ de, 05.0h değeri için ,1a ,2 8.0p
değerleri ve başlangıç koşulları )1.2,9.0(),( 00 yx koşulları için ]40,0[
aralığındaki sırasıyla kesirli Açık ve Kapalı Çokadımlı yönteminin
çözümlerinden elde edilen faz portreleri gösterilmiştir.
Şekil 8.6a. ve Şekil 8.6b. 'de, 05.0h değeri için ,1a ,2 8.0p
değerleri ve başlangıç koşulları )1.2,9.0(),( 00 yx koşulları için ]40,0[
aralığındaki sırasıyla Açık Türetilmiş ve Kapalı Türetilmiş Çokadımlı yönteminin
çözümlerinden elde edilen faz portreleri gösterilmiştir.
Yaptığımız bütün bu çalışmalar sonucunda bazı sonuçlara vardık. Bu sonuçları
Matlab paket programı yardımıyla çizdirdik.
0 20 40 60 800.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
t
x(t)
0 20 40 60 802.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
y(t)
x(t)
y(t)
0.8 1 1.2 1.4 1.62
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
x(t)
y(t
)
Şekil 8.1. )3,1(),( a , 3/27.0 0 pp , )9.2,1.1(),( 00 yx için Brusselator
sisteminin ABM Yöntemi ile çözümü
47
0.8 1 1.2 1.4 1.62
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
x(t)
y(t
)
NSFD 1
0.8 1 1.2 1.4 1.62
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
x(t)
y(t
)
NSFD 2
0.8 1 1.2 1.4 1.62
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
x(t)
y(t
)
NSFD 3a
0.8 1 1.2 1.4 1.62
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
x(t)
y(t
)
NSFD 3b
Şekil 8.2. )3,1(),( a , 05.0,7.0 hp , )9.2,1.1(),( 00 yx için Brusselator
sisteminin SOSF(NSFD) Yöntemi ile çözümü
0 10 20 30 400.9
1
1.1
t
x(t
)
0 10 20 30 401.8
2
2.2
y(t
)
x(t)
y(t)
0.9 0.95 1 1.051.95
2
2.05
2.1
2.15
x(t)
y(t
)
Şekil 8.3. )2,1(),( a , 05.0,18.0 0 hpp , )1.2,9.0(),( 00 yx için
Brusselator sisteminin ABM Yöntemi ile çözümü
48
0.9 0.95 1 1.051.95
2
2.05
2.1
2.15
x(t)
y(t
)
NSFD 1
0.9 0.95 1 1.051.95
2
2.05
2.1
2.15
x(t)
y(t
)
NSFD 2
0.9 0.95 1 1.051.95
2
2.05
2.1
2.15
x(t)
y(t
)
NSFD 3a
0.9 0.95 1 1.051.95
2
2.05
2.1
2.15
x(t)
y(t
)
NSFD 3b
Şekil 8.4. )2,1(),( a , 05.0,8.0 hp , )1.2,9.0(),( 00 yx için Brusselator
sisteminin SOSF(NSFD) Yöntemi ile çözümü
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.9
1
1.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 451.8
2
2.2
x(t)
y(t)
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.081.95
2
2.05
2.1
2.15
2.2
x(t)
y(t
)
Explicit Çokadımlı Yöntemi
Şekil 8.5a.: )2,1(),( a , 8.0p , )1.2,9.0(),( 00 yx için Brusselator sisteminin
Açık (Explicit) Çokadımlı Yöntemi ile çözümü
49
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.9
1
1.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 451.8
2
2.2
x(t)
y(t)
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.061.96
1.98
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
2.12
2.14
2.16
x(t)
y(t)
Implicit Çokadımlı Yöntemi
Şekil 8.5b.: )2,1(),( a , 8.0p , )1.2,9.0(),( 00 yx için Brusselator sisteminin
Kapalı (Implicit) Çokadımlı Yöntemi ile çözümü
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.9
1
1.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 451.8
2
2.2
x(t)
y(t)
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.081.95
2
2.05
2.1
2.15
2.2
x(t)
y(t
)
EPİ Yöntemi
Şekil 8.6a. )2,1(),( a , 8.0p , )1.2,9.0(),( 00 yx için Brusselator sisteminin
Açık (Explicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ile çözümü
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450.9
1
1.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 451.8
2
2.2
x(t)
y(t)
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.061.96
1.98
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
2.12
2.14
2.16
x(t)
y(t
)
IPİ Yöntemi
Şekil 8.6b. )2,1(),( a , 8.0p , )1.2,9.0(),( 00 yx için Brusselator sisteminin
Kapalı (Implicit) Türetilmiş (Product) İntegral Yöntemi ile çözümü
50
9. TARTIŞMA VE SONUÇLAR
Tez çalışması olarak hazırlanan bu çalışmada, son yıllarda bir çok
araştırmacının oldukça ilgi gösterdiği kesirli mertebeden diferansiyel denklem
ve denklem sistemleri için bazı sayısal yöntemler incelendi.
Bu yöntemlerden biri olan Kapalı Çokadımlı yönteminin çözümüne giderken
Newton-Rapson yöntemini kullandık ve türev terimlerini lineeralize ederken
Taylor serisinden faydalandık. Ayrıca, Kapalı Çokadımlı yönteminin Açık
Çokadımlı yöntemine göre algoritmasının biraz daha karmaşık olması sebebi ile
programlanmasının daha zor olduğunu ve daha fazla sayıda işlem yapması
gerektiği gördük. Çünkü Kapalı Çokadımlı yöntemi genellikle Açık Çokadımlı
yönteminden daha geniş bir zaman adımını gerektirir. Dolayısıyla bu da daha
uzun sürede sonuca ulaşmak demektir.
Türetilmiş integral yöntemi, integral denklemlerinin sayısal çözümlerini bulmak
için kullanılır. Büyük bir öneme sahip olan bu yöntemde, Volterra tipi integral
denklemlerinin sayısal çözüm yöntemlerine benzer teknikler kullanılır. Bu tez
çalışmasında kesirli Brusselator sistemini Açık ve Kapalı formda Türetilmiş
İntegral yöntemiyle çözdürdük ve ABM yöntemi ile karşılaştırıldığında ise aynı
dinamiklere sahip çözümler elde edildi.
Standart Olmayan Sonlu Fark Yöntemi için lineer olmayan terimlerin
ayrıklaştırma işlemi yapılırken, farklı lokal olmayan terimler seçildi. Ayrıca
farklı seçimlere bağlı elde edilen denklemlerde farklı denominatör
fonksuyonunun kullanımının mümkün olduğunu gösterilip elde edilen çözümler
ABM yöntemi ile karşılaştırıldı. Sonuç olarak bu tip diferansiyel denklem ve
denklem sistemleri için Standat Olmayan Sonlu Fark Yönteminin uygun bir
yöntem olduğu sonucuna vardık.
51
KAYNAKLAR
Andrew, L. C, 1992. Special Functions of Mathematics for Engineers, McGraw-Hill.
Bagley, R.L, Calico, R.A., 1991. Fractional Order State Equations For the Control
of Viscoelastically Damped Structures. Journal of Guidance Control and Dynamics, 14, 304-11.
Baleanu, D., Diethelm, K., Scalas E., Trujillo J.J., 2012. Fractional Calculus, Volume
3 of Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos. World Scientific Publishing Company Pte. Ltd., Hackensack, New Jersey.
Cang, J., Xu, H., Liao, S-J, 2007. Series Solutions Of Non-linear Riccati Differential
Equations with Fractional Order Chaos Solitons Fractals at press. Cheng, J., Chu, Y., 2011. Solution to the Linear Fractional Differential Equation
Using Adomian Decomposition Method, Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering, 14 p,10.1155/2011/587068.
Diethelm, K., Freed, A. D., 1999. The FracPECE Subroutine For the Munerical
Solution of Differantial Equations Of Fractional Order, in Forschung und Wissenschaftliches Rechmen 1998, eds. S. Heinzel, and T. Plesser, Gessellschaft für Wissensschaftliche Datenverarbeitung, 57-71, Göttingen.
Diethelm, K., Ford, N.J., 2002. Analisis Of Fractional Differential Equations,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 265, 229-248. Diethelm, K., Ford, N.J., Freed, A.D., 2002. A Predictor-Corrector Approach for
the Numerical Solution of Fractional Differential Equations. Nonlinear Dynamics, 29(1-4), 3-22.
Diethelm, K., Ford, N.J, Freed A.D., Luchko, Y., 2005. Algorithms For the
Fractional Calculus: A Selection of Numerical Methods. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194(6), 743-773.
Diethelm, K., 2010, The Analysis of Fractional Differential Equations, Volume
2004 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin. Gafiychuk, V., Datsko, B., 2008. Stability Analysis and Limit Cycle in Fractional
System With Brusselator Nonlinearities, Physics Letters A, 4902-4904. Galeone, L., Garrappa, R., 2006. On Multistep Methods for Differential Equations
of Fractional Order. Mediterranean Journal of Mathematics, 3(3-4), 565-580.
52
Galeone, L., Garrappa, R., 2007. Second Order Multistep Methods for Fractional Differential Equations, Technical Report 20/2007, Department of Mathematics, University of Bari.
Galeone, L., Garrappa, R., 2008. Fractional Adams- Moulton Methods,
Mathematics and Computers In Simulation, 79, 1358-1367. Galeone, L., Garrappa, R., 2009. Explicit Methods for Fractional Differential
Equations and Their Stability Properties, Journal of Computational and Applied Mathematics, 228, 548-560.
Garrappa, R., 2009. On Some Explicit Adams Multistep Methods for Fractional
Differential Equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 229, 392-399.
Garrappa, R.. 2010. On Linear Stability of Predictor-Corrector Algorithms For
Fractional Differential Equations, International Journal of Computer Mathematics, 87,10, 2281-2290.
Garrappa, R., Popolizio, M., 2011. On The Use of Matrix Functions for Fractional
Partial Differential Equations. Mathematics and Computers in Simulation, 81(5), 1045-1056.
Garrappa, R., Popolizio, M., 2011. On Accurate Product Integration Rules for
Linear Fractional Differential Equations. Journal of Computational and Applied Mathematics., 235(5), 1085-1097.
He, J.H,. 1998. Nonlinear Oscillation With Fractional Derivative and Its
Applications International Conferance on Vibrating Engineering, 98, 288-91.
Heaviside, O., 1971. Electromagnetic Theory. New York, Chelsea. Hilfer, R., 2001. Applications of Fractional Calculus in Physics.,World Scientific.
New Jersey. Humbert, P., Agarwa, R.P.l, 1953. Sur La Fonction De Mittag-Leffler Et Quelques-
unes De Ses Generalisations, Bulletin des Sciences Mathematiques, 77,10, 180-185.
Ichise, M., Nagayanagi, Y., Kojima, T., 1971. An Analog Simulation of Noninteger
Order Transfer Functions for Analysis of Electrode Process. Journal of Electroanal Chemistry, 33, 253-65.
Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo J. J, 2006. Theory and Applications of
Differantial Equations, North Holland Mathematics Studies, Elsevier Science B. V, 204. Amsterdam.
53
Kusnezov, D., Bulgac, A., Dang, G.D., 1999. Quantum Levy Processes and Fractional Kinetics. Physical Review Letters, 82, 1136-9.
Laskin, N., 2000. Fractional Market Dynamics. Physica A., 287, 482-92. Linz, P., 1985. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations,
Volume 7 of SIAM Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, PA.
Lubich, C., 1986. A Stability Analisis of Convalution Quadratures for Abel-
Volterra Integral Equations, IMA Journal of Numerical Analysis., 6, 87-101.
Lubich, C., 1986. Discretized Fractional Calculus. SIAM Journal of Mathematical
Analysis, 17(3),704-719. Mainardi, F., 2010. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity,
Imperial College Press. London. Mickens, R.E., 1990. Difference Equations Theory and Applications. New York. Mickens, R.E., 1993. Nonstandard Finite Difference Models of Differantial
Equations. Atlanta. Mickens, R.E., 1994. Nonstandard Finite Difference Models of Differential
Equations, World Scientific Publishing Company Inc. River Edge New Jersey.
Mickens, R.E., 1999. Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes,
Atlanta. Mickens, R.E., 2002. Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential
Equations, Journal of Difference Equations and Applications, 8, 823-847. Mickens, R.E., 2006. Calculation of Denominator Functions for Nonstandard
Finite Difference Schemes for Differential Equations Satisfying a Positivity Condition, Wiley Inter Science, 672-691.
Miller, K.S., Ross, B., 1993. An Introduction to The Fractional Calculus and
Fractional Differential Equations. A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc. New York.
Momani, S., Hashim, I., 2011. The Non-Standard Finite Difference Scheme for
Linear Fractional PDEs in Fluid Mechanics. Computers & Mathematics Applications, 61(4), 1209-1216.
Momani, S., Rqayiq, A.A., Baleanu, D., 2012. A Nonstandard Finite Difference
Scheme for Two-Sided Space-fractional Partial Differential Equations. International Journal of Bifurcation and Chaos, 22(4).
54
Odibat, Z., Momani, S., 2008. Modified Homotopy Perturbation Method: application to quadratic Riccati Differential Equation of Fractional Order Chaos Solitons Fractals, 36, 167-74.
Oldham, K.B., Spanier, J., 1974. The Fractional Calculus. Academic Press, New
York, London. Ongun, M.Y., Arslan, D., Garrappa, R., 2013. Nonstandard Finite Difference
Scemes for fractional order Brusselator System, Advances in Difference Equations, 10,1186, 1687-1847-2013-102.
Oustaloup, A., Sabatier, J., Lanusse, P., 1999. From fractal Robustness to Crone
Control. Fractional Calculus & Applied Analysis, 2, 1-30. Oustaloup, A., Levron Fevron, F., Nanot, F., Mathieu, B., 2000. Frequency Band
Complex Noninteger Differentiator: Characterization and synthesis. IEEE Trans CAS-I, 47, 25-40.
Oturanç, G., Kurnaz, A., Keskin, Y., 2008. A New Analytical Approximate Method
For The Solution of Fractional Differential Equations, International Journal of Computer Mathematics, 85,(1).
Palamara Orsi. A., 1996. Product Integration for Volterra Integral Equations of
the Second Kind With Weakly Singular Kernels. Mathematics of Computation, 65(215), 1201-1212.
Pedas A., Tamme, E., 2011. On the Convergence of Spline Collocation Methods
for Solving Fractional Differential Equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 235, 3502-3514.
Podlubny, I., 1999. Fractional Differential Equations, Mathematics in Science
and Engineering, Academic Press Inc., 198. San Diego, CA. Radwan, A.G., Moaddy, K., Momani, S., 2011. Stability and Non-Standard Finite
Difference Method of The Generalized Chua's Circuit. Computers & Mathematics Applications, 62(3), 961-970.
Samko, S.G., Kilbas, A.A., Marichev, O.I., 1993. Fractional Integrals and
Derivatives. Yverdon: Gordon and Breach Science Publishers, [Theory and Applications, Edited and With a Foreword by S. M. Nikol'skiı, Translated from the 1987 Russian Original, Revised by the authors].
Soytaş, C., 2006. Kesirli Diferansiyel Denklemlerin Çözüm Yöntemleri, Selçuk
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 53s, Konya. Sun, H.H., Abdelwahad, A.A., Onaral, B., 1984. Linear Approximation of Transfer
Function With a Pole of Fractional Order. IEEE Trans Automat.
55
Wang, Y., Li, C., 2007. Does The Fractional Brusselator With Efficient Dimension Less than 1 Have a Limit Cycle?, Physics Letters A , 363(5-6), 414-419.
Weilbeer, M., 2005. Efficient Numerical Methods for Fractional Differential
Equations and Their Analytical Background, US. Zhang, S., Jin, J., 1996. Computation of Special Functions, John Willey & Sons. Zhou, T.S., Li, C.P., 2005. Synchronization in Fractional-Order Differential
Systems, Physica D, 212.
56
ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Damla ARSLAN Doğum Yeri ve Yılı : Gölhisar, 1987 Medeni Hali : Bekâr Yabancı Dili : İngilizce, İtalyanca E-posta : [email protected] Eğitim Durumu Lise : Gölhisar Süper Lisesi, 2005 Lisans : SDÜ, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Yüksek Lisans : SDÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü, Uygulamalı Matematik Mesleki Deneyim Gölhisar Halk Eğitimi Merkezi “Halk Dansları” Öğretmenliği 2008-2009 Gölhisar Halk Eğitimi Merkezi “Matematik” Öğretmenliği 2008-2009 Isparta Halk Eğitimi Merkezi “Halk Dansları” Öğretmenliği 2009-2010 Yayınları Arslan, D., Ongun, M.Y., Turhan, I., 2013. Nonstandard Finite Difference Schemes
for Fuzzy Differential Equations,J. Applied Functional Analysis - JAFA,. 8, 2, 183-193.
Ongun, M.Y., Arslan, D., Garrappa, R., 2013. Nonstandard Finite Difference
Scemes for fractional order Brusselator system, Advances in Difference Equations, 10.1186, 1687-1847-2013-102.
Arslan, D., Ongun, M.Y., Turhan, I., Nonstandard Finite Difference Schemes for
Fuzzy Differential Equations, International Conference on Applied Mathematics&Approximation Theory, 36, AMAT 2012, May 17-20. Ankara, Turkey.
http://amat2012.etu.edu.tr/index.htm
Fotoğraf
(3.5cm x 3cm)
57
Arslan, D., Ongun, M.Y., Turhan, İ., Standard Olmayan Sonlu Fark Yönteminin Fuzzy Diferansiyel Denklemlere Uuygulanması, III. Ereğli Kemal Akman MYO Tebliğ Günleri, 28-29 Nisan 2011, Ereğli, Konya.
http://www.eregli.selcuk.edu.tr/akademi_gunleri/index.html Turhan, İ., Ongun, M.Y., Arslan, D., Göller Sistemi Kirlilik Modeli ve Sayısal
Çözümü, III.Ereğli Kemal Akman MYO Tebliğ Günleri, 28-29 Nisan 2011,
Ereğli, Konya.
http://www.eregli.selcuk.edu.tr/akademi_gunleri/index.html
