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Dossier: Cálculos para corrientes admisibles en régimen permanente
1 EL SÍMIL ELÉCRICO EN EL CASO DE TRASMISIÓN TÉRMICA POR CONDUCCIÓN ......................................................................................................... 3
2 EL RÉGIMEN PERMANENTE ............................................................................... 4
2.1 LOS COEFICIENTES TÉRMICOS ...................................................................... 4 2.1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 4 2.1.2 ECUACIONES TÉRMICAS EN RÉGIMEN PERMANENTE: LA LEY DE FOURIER.................................................................................................................. 4 2.1.2.1 Cálculo de las resistencias térmicas de la aislación y cubierta ...................... 5 2.1.3 EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES ................................................................... 6 2.1.3.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 6 2.1.3.2 EJEMPLO DE UNA CARGA Y UN PLANO CONDUCTOR. .......................... 7
2.2 RESISTENCIA TÉRMICA DEL TERRENO ......................................................... 8 2.2.1 RESISTENCIA TÉRMICA PARA UN CABLE ................................................... 8 2.2.2 GENERALIZACIÓN PARA EL CASO DE VARIOS CABLES EN UNA INSTALACIÓN ........................................................................................................ 11
2.3 RELLENOS TÉRMICOS ................................................................................... 14 2.3.1 ANÁLISIS TÉRMICO PARA EL CÁLCULO DE LA RESISTENCIA EXTERIOR AL RELLENO TÉRMICO ........................................................................................ 16 2.3.1.1 LIMITACIONES DEL MÉTODO DE CÁLCULO ........................................... 17
2.4 ESTUDIO DEL BANCO DE DUCTOS ............................................................... 20 2.4.1 RESISTENCIA TÉRMICA DEBIDA AL AIRE EN EL DUCTO (T’4) ................. 22 2.4.1.1 CONVECCIÓN ............................................................................................ 23 2.4.1.2 RADIACIÓN ................................................................................................ 23 2.4.1.3 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS NEGROS......................... 24 2.4.2 BALANCES ENERGÉTICOS ......................................................................... 25
2.5 FUENTES DE CALOR ...................................................................................... 27 2.5.1 PÉRDIDAS JOULE EN EL CONDUCTOR ..................................................... 27 2.5.1.1 RESISTENCIA DEL CONDUCTOR EN CORRIENTE ALTERNA................ 27 2.5.2 EFECTO PELICULAR .................................................................................... 28 2.5.2.1 ECUACIONES DE MAXWELL .................................................................... 28 2.5.2.2 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE J ....................................................... 28 2.5.2.3 CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE “EFECTO PELICULAR” ........................... 31 2.5.3 EFECTO DE PROXIMIDAD. .......................................................................... 33 2.5.4 PÉRDIDAS DIELÉCTRICAS .......................................................................... 35 6.5.4.1 CAMPO ELÉCTRICO DENTRO DEL AISLANTE ........................................ 35 2.5.4.2 CAPACIDAD DEL CABLE ........................................................................... 37 2.5.5 CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS EN EL DIELÉCTRICO.................................. 38 2.5.6 PÉRDIDAS EN LA PANTALLA METÁLICA .................................................... 38 2.5.6.1 TERNA DE CABLES UNIPOLARES CON LA PANTALLA ATERRADA EN UN SOLO PUNTO .................................................................................................. 39 2.5.6.2 TRESBOLILLO CON PANTALLAS ATERRADAS EN AMBOS EXTREMOS ............................................................................................................................... 39 2.5.6.3 TENDIDO PLANO CON FASES TRASPUESTAS REGULARMENTE, CON LAS PANTALLAS ATERRADAS EN AMBOS EXTREMOS DEL TENDIDO ............ 43
2.5.6.4 TRES FASES EN TENDIDO PLANO TRASPUESTAS REGULARMENTE CON LAS PANTALLAS CONECTADAS EN “CROSSBONDING” Y ATERRADAS EN LOS EXTREMOS. ................................................................................................... 45
3 PLANTEO Y RESOLUCIÓN DEL MODELO TÉRMICO-ELÉCTRICO .................. 47
3.1 CÁLCULO ITERATIVO ..................................................................................... 49
CÁLCULOS PARA DETERMINAR CORRIENTES ADMISIBLES EN REGIMEN PERMANENTE
1 EL SÍMIL ELÉCRICO EN EL CASO DE TRASMISIÓN TÉRMICA POR CONDUCCIÓN El sistema de cables a considerar estará, como se pudo ver en el alcance del presente trabajo, inmerso en un medio sólido (el terreno circundante) por lo cual el calor que surge del cable atravesará por conducción térmica las distintas capas del mismo y el propio terreno, no observándose en este estudio los fenómenos de transferencia de calor por radiación o convección, a excepción del caso de tendido en ductos, (debido al aire contenido en el mismo) que se trata en forma particular. Como irá quedando en claro en los desarrollos que se describirán más adelante, las ecuaciones que describen los fenómenos de conducción térmica y eléctrica son esencialmente las mismas, salvo, claro está, en las unidades y en la identificación física de las variables involucradas. De esta forma será posible establecer una analogía que será muy útil a la hora de representar el fenómeno térmico de conducción a partir de “circuitos térmicos” de parámetros concentrados. Puede establecerse entonces la siguiente tabla, en la que se identifican los parámetros que cumplen el mismo papel en ambos fenómenos, considerando para nuestro estudio un largo de cable de un metro:
Corriente eléctrica [A]
Flujo de calor [W/m]
Potencial eléctrico [V]
Temperatura [ºC]
Resistencia eléctrica [Ω]
Resistencia térmica [ºC.m/W]
Capacidad eléctrica [F]
Capacidad térmica [J/m.ºC]
Históricamente, esta analogía fue utilizada desde principios del siglo XX para intentar describir el fenómeno térmico, llegándose incluso a modelarse la temperatura del cable a través de circuitos eléctricos reales con condensadores y resistencias, como lo realizado por J.H.Neher en el año 1951, presentado en el artículo de la IEEE titulado: “The determination of temperature transients in cable systems by means of analog computer”.(pp 1361-1371)
2 EL RÉGIMEN PERMANENTE
2.1 LOS COEFICIENTES TÉRMICOS
2.1.1 INTRODUCCIÓN El análisis del fenómeno de conducción térmica en régimen permanente corresponde realizarse en primer lugar, ya que nos dará como resultado el modelo más sencillo de analizar. Posteriormente será analizado el régimen transitorio, el cual toma los parámetros del sistema que describen el fenómeno en régimen permanente, adicionándose los parámetros propios del régimen transitorio, a saber, las capacidades térmicas de los distintos medios de conducción térmica. 2.1.2 ECUACIONES TÉRMICAS EN RÉGIMEN PERMANENTE: LA LEY DE FOURIER Antes de describir el modelo térmico en régimen permanente se hace necesario comenzar por enunciar la ecuación básica de trasferencia de calor en este régimen, a saber, la denominada ley de Fourier. Supongamos en primer lugar el caso unidimensional. Este caso puede representarse con dos paredes planas de superficie A, cada una con una temperatura t1 y t2
respectivamente, con t2>t1. Se supondrá que la separación L entre las paredes es pequeña respecto de las dimensiones de ambas paredes, como para que pueda hacerse la siguiente aproximación:
0=∂Θ∂
=∂Θ∂
zy
Siendo θ=θ(x,y,z) la temperatura en cualquier punto de coordenadas (x,y,z) comprendido entre ambas paredes, y x el eje perpendicular a las paredes. Si ahora suponemos que entre ambas paredes existe un medio definido por un cierto coeficiente k llamado conductividad térmica, la ley de Fourier establece que:
D
AkH
)( 12 θθ −⋅⋅= [w]; k en [w/ºC.m]
(En la ecuación anterior H es el flujo calorífico, k es la conductividad térmica y la inversa de ρ T, siendo esta última la resistividad térmica en [ºC.m/w], A el área, θ la
temperatura y D la distancia).
En forma más general, la ley de Fourier, es la siguiente:dx
dkAH
θ⋅−= ; el signo
negativo surge de que la temperatura más alejada de la fuente es menor que la de un punto más cercano a ella y entonces dθ<0.
2.1.2.1 Cálculo de las resistencias térmicas de la aislación y cubierta
Aplicando esta ecuación en un cilindro como el de la figura 1:
a br
d r
L
tb
t a
FIGURA 1 Elemento diferencial, cable geometría cilíndrica
dr
dLrkH
θπ ⋅⋅⋅⋅−= 2
despejando
θπ dLkr
drH ⋅⋅⋅−=⋅ 2
e integrando:
∫∫ ⋅⋅⋅−=⋅b
a
dLkr
drH
b
a
θ
θθπ2
resolviendo esta integral con los extremos en juego:
( )abLka
bLnH θθπ −⋅⋅⋅−=
⋅ 2
⋅
⋅
⋅
=⋅⋅
⋅=−
a
bLn
kL
H
kL
a
bLnH
ba ππθθ
2
1
2
si ahora se define:
−
=
L
HT ba θθ
1 entonces:
⋅⋅=a
bLnT Tρ
π2
11
y como
+−
=
+−1
a
abLn
a
aabLn entonces se puede relacionar la ecuación
anterior con las de la norma IEC 60287 como se ve a continuación.
En el caso de la resistencia térmica entre el conductor y la envolvente, llamada T1:
+
⋅⋅⋅= 1
2
2
1 11
c
Td
tLnT ρ
π
Donde t1 es el espesor del aislamiento entre conductor y envolvente y dc el diámetro del conductor. En el caso de la resistencia térmica del revestimiento o cubierta exterior, llamada T3:
+⋅
⋅⋅= 1'
32
2
13
aD
tLnT Tρ
π
Donde t3 es el espesor de la cubierta exterior y D’a el diámetro bajo la cubierta exterior. Estas dos son las ecuaciones que figuran en la Norma IEC 60287.
T1
T4
T3
Wd
I2R
FIGURA 2 resistencias térmicas
2.1.3 EL MÉTODO DE LAS IMÁGENES
2.1.3.1 INTRODUCCIÓN
El método de las imágenes es uno de los usados en el presente proyecto cuando se aborda el estudio de las resistencias térmicas en situaciones de topología complejas. Este método tiene su aplicación en el campo del electromagnetismo. Debido a la importancia del método daremos a continuación una breve explicación de su funcionamiento en primer lugar para el caso electromagnético dada la analogía que existe con el caso termodinámico. De las ecuaciones de Maxwell en electrostática se desprende que el potencial satisface la ecuación de Laplace la que, dadas las condiciones de borde, tiene una única solución.
Ec. de Laplace: 02 =∇ ϕ
El método de las imágenes consiste en considerar una fuente ficticia de carga que agregada a la del problema original genere una condición de borde igual a la de este problema en el espacio. En general la magnitud de esta fuente está relacionada con la de la fuente original. La fuente ficticia es simétrica respecto de alguna condición de frontera de la fuente original. El potencial general se puede expresar como:
∫ −+=
'
')'(
4
1)()(
0
1rr
darrr
σπε
ϕϕ
Donde σ es la densidad de carga superficial de todos los conductores presentes; la primera expresión del lado derecho de la igualdad es una función específica o fácilmente calculable y la segunda la contribución al potencial de la carga superficial sobre todos los conductores del sistema. (r’ recorre la superficie de los conductores).
La esencia del método es poder reemplazar el segundo término por un potencial debido a una distribución de carga especificada que cumpla que las superficies de los conductores del problema original coincidan con las equipotenciales de 21 ϕϕ + ( 2ϕ
correspondería a la fuente imagen introducida). Como la ecuación de Laplace tiene una única solución dadas las condiciones de borde, como se expresó anteriormente, entonces la función que es solución del problema es la generada por la fuente original y su imagen. Con la salvedad de que esta solución se aplica no a todo el espacio sino a la región del problema original. En síntesis se halló la solución buscada sin tener que resolver una ecuación diferencial con condiciones de borde.
2.1.3.2 EJEMPLO DE UNA CARGA Y UN PLANO CONDUCTOR.
La fuente está representada por una carga q distante una distancia d de un plano conductor que impone la condición de frontera: un valor de potencial cero en el mismo. El método de las imágenes consiste en ubicar a una distancia d del plano en ubicación simétrica a la carga original una fuente de valor q’= - q. El potencial total en todo el espacio viene dado por la siguiente ecuación
2010 44),,(
r
q
r
qzyx
πεπεϕ −= con r=r(x,y,z)
Que cumple la condición de borde en el plano conductor yz. Entonces este potencial es solución de la ecuación de Laplace y es la solución del problema original en el semiplano derecho (x positivas).
Líneas de fuerza
Plano conductor
Carga puntual
Equipotenciales
FIGURA 3 equipotenciales carga y plano conductor
2.2 RESISTENCIA TÉRMICA DEL TERRENO 2.2.1 RESISTENCIA TÉRMICA PARA UN CABLE En este caso, a diferencia del ejemplo dado, la geometría es cilíndrica, sin embargo se aplica la misma idea. Primero se analizará el caso de un cable individual y posteriormente se analizará el efecto del resto del circuito. El problema a resolver consiste en determinar la temperatura en todo punto del terreno, dado un cable de radio rc , enterrado a un profundidad L medida desde la superficie del terreno al centro del mismo. Se asume que: - la única fuente de calor es la generada por el cable (y por su imagen). - la cubierta del cable se considerará isoterma (*). - el terreno es de resistividad constante en todo punto. - no existe flujo de calor en el sentido axial del cable (por tanto la temperatura del terreno será - - constante en cualquier recta paralela al cable). - la superficie del terreno se considera isoterma, y a temperatura ambiente (**) (*) es posible resolver el problema sin asumir esta hipótesis, la solución que se obtiene es la misma que la que se define en la norma IEC 60287 siempre que se haga la aproximación L>>rc. Sin embargo, es fundamental para dar validez al cálculo anterior de las resistencias térmicas de la aislación y cubierta, que el límite de cada capa sea equipotencial. (**) en termodinámica es usual manejar el concepto de “depósito” térmico. Un depósito térmico en un cuerpo al cual se puede transferir calor indefinidamente, y también desde él, sin que cambie su temperatura. Así, un depósito térmico siempre permanece a temperatura constante. La atmósfera se suele considerar un depósito térmico, por lo que su interfase con el terreno tendrá entonces temperatura constante.
En este caso el método de las imágenes se utiliza de la siguiente manera: Se coloca una fuente de calor infinita que al ser paralela a la superficie del suelo y sin dimensión quedará reducida a un punto. Estará colocada a una distancia L’ de la superficie. De esta fuente, surgirá calor uniformemente en toda su longitud, representando las pérdidas del cable. Adicionalmente se coloca una fuente imagen de la anterior, simétrica respecto de la superficie, que absorbe la misma cantidad de calor que la otra emite. Esto tendrá el efecto de obtener (como se verá) una distribución de temperaturas tal que el plano de la superficie del terreno y la cubierta del cable sean isotermas. El esquema es el de la figura:
L'
L' X
Y
rc
r'1
r1
r*
L
e'r
er
θ
FIGURA 4 esquema para el cálculo de resistencia térmica del terreno
Llamemos en primer lugar L
Hq = ; [W/m] al flujo de calor por unidad de longitud. Una
fuente emitirá entonces q, y la otra -q. Como se explicitó antes, la ecuación de Fourier para coordenadas cilíndricas con flujo radial de calor puede escribirse ahora como:
r
drqdt ⋅
⋅=πρ
2; con la convención se signo positivo para que dt sea la diferencia de
temperatura entre el punto más cercano y el más alejado de la fuente emisora. Se aplicará ahora superposición, para calcular la temperatura total en un punto cualquiera del plano, respecto de la temperatura ambiente. El detalle consiste en que, tomando como origen de coordenadas (r, θ) como en la figura, debe encontrarse la
componente radial del flujo total, lo cual es equivalente a adicionarle al vector reqr
⋅
la proyección de 'reqr
⋅−
respecto de rer
; o sea la componente radial del flujo de calor será )( 'rr eeqqrr
⋅⋅−
Aplicando el teorema del coseno: θcos'4'4'22
rLLrr −+= y observando que:
'
cos'2'
r
Lree rr
θ−=⋅
rr; se tiene entonces que:
integrando ahora en una dirección cualquiera desde un cierto r1 a r*, siendo este último radio el que recorre los puntos donde la temperatura es la ambiente, a saber, la superficie del suelo y la profundidad infinita del terreno para cualquier ángulo θ entre [π/2 y 3π/2] (la cual se supone también a temperatura ambiente), obtenemos la diferencia de temperatura entre el punto (r1,θ) y el medio ambiente:
−+⋅
−+
⋅=
−+
−−
⋅=∆ ∫
1
1
22
1
*22*
*
22
cos'4'4
cos'4'42cos'4'4
cos'21
2
*
1 r
LrLr
LrLr
rLn
qdr
rLLr
Lr
r
qt T
r
r
Tθ
θπρ
θθ
πρ
pero se observa que, dada la posición de r* siempre se cumple que, o bien:
'cos* Lr =θ o bien: r*→∞; con lo que la igualdad se reduce a:
⋅=
−+
⋅=∆
1
1
1
1
22
1 '
2
cos'4'4
2 r
rLn
q
r
LrLrLn
qt TT
πρθ
πρ
Donde r’1 es la distancia desde la imagen al punto donde se está calculando la temperatura. Este resultado será útil más tarde a los efectos calcular el aporte de los demás cables del circuito. En principio, la temperatura ∆t en el punto (r1,θ) es función de (r1,θ). Si ahora consideramos el lugar geométrico de los puntos (r1,θ) tal que ∆t=cte, veremos que es una circunferencia:
En efecto, sea
∆
⋅
= π
ρ
2
qT
t
eK ; entonces operando resulta:
( ) θcos'4'41 1
222
1 LrLKr −=− ; pasando a coordenadas cartesianas (x,y) tenemos que:
( )( ) 0'4'41 2222 =−++− LxLyxK
Este lugar geométrico corresponde a una circunferencia de centro (α,0) con
1
'22 −
−=K
Lα
drr
Lr
r
qdr
r
ee
r
qdt TrrT
−−⋅
⋅=
⋅−⋅
⋅=
2
'
'
cos'21
2'
1
2
θπ
ρπ
ρrr
y radio ( )
'21
'4
1
'4 2
2
2
22
2
LK
L
K
Lrc αα −=
−+
−=
Si ahora definimos L=L’-α; vamos a considerar a rc el radio de la cubierta exterior del cable, la cual será entonces isoterma, y L será la profundidad de enterrado del cable desde su eje al plano del suelo. Como se ve, el método para lograr la superficie isoterma del cable implica que la fuente de calor no proviene exactamente de su eje, sino que se encuentra desplazada en un valor α.
Utilizando entonces la ecuación:
−+
⋅=∆
1
1
22
1 cos'4'4
2 r
LrLrLn
qt T
θ
πρ
para el caso
en que los puntos (r1,θ) pertenezcan al lugar geométrico, el valor ∆t será constante sin importar que θ se utilice, en particular si θ = 0 y L=L’-α se cumple que:
crr += α1 y ( )
+
+−+
⋅=
−
⋅=∆
)(
)()(2
2
'2
2 1
2
1
c
cTT
r
rLLn
q
r
rLLn
qt
ααα
πρ
πρ
pero )(2'2 22 ααααα +−=−= LLrc ; despejando resulta 22
crLL −+−=α
sustituyendo en la ecuación anterior y operando, se llega a:
+−−
−+−
⋅=∆
cc
ccT
rLrL
rLrLLn
qt
22
22
2πρ
si definimos cr
Lu = nos queda:
( )1211
11
2
2
2
2
−+
⋅=
+−−
−+−
⋅=∆ uuLn
q
uu
uuLn
qt TT
πρ
πρ
Si observamos esta ecuación, podemos definir la resistencia térmica del medio exterior
al cable como: q
tT
∆=4 ; obteniendo la ecuación de la norma IEC 60287:
( )12
2
4 −+
= uuLnT T
πρ
2.2.2 GENERALIZACIÓN PARA EL CASO DE VARIOS CABLES EN UNA INSTALACIÓN El caso anterior solo se correspondería a un caso monofásico con retorno por tierra, caso que no se presenta en la práctica. Un caso real contempla por lo menos tres cables unipolares para el caso trifásico. En este estudio particular se contemplarán dos ternas en paralelo, por lo que se podrán tener hasta seis fuentes de calor.
Para el desarrollo de estas ecuaciones supondremos las siguientes hipótesis adicionales: Cada cable actúa como una línea fuente sin distorsionar el campo térmico debido a otros cables (principio de superposición). Cada cable se incorpora a la geometría con su imagen para mantener la condición de borde que establece a la superficie del terreno como una isoterma. Todos los cables tienen las mismas pérdidas eléctricas, y por tanto generan la misma cantidad de calor Del resultado de las ecuaciones se podrá ver que la temperatura de la cubierta de cada cable es diferente (como es de esperar), por lo que para el cálculo posterior de las corrientes admisibles en cualquier régimen se tomará la resistencia térmica que se “ve” desde el cable más caliente, el cual puede observarse que coincide con el o los cables más interiores de una instalación. Como se había visto en el ítem 2.2.1, el incremento de la temperatura respecto de la temperatura ambiente en cualquier punto provocada por un par cable-imagen podía ser expresada como:
⋅=∆
r
rLn
qt T '
2πρ
siendo r y r’ las distancias al punto desde el cable y su imagen
respectivamente. Aplicaremos entonces superposición, calculando el incremento extra de temperatura aportado por cada par cable-imagen que se agregue al punto donde se ubica el par cable-imagen que corresponderá al de temperatura más alta. Esto implica una aproximación, dado que el incremento extra de temperatura en el eje del cable no será exactamente igual al provocado en cualquier punto de la cubierta, que de hecho ya no será más isoterma. Para ilustrar esto se elaboró el siguiente cálculo en Matlab para una instalación en tendido plano: L=1; a=0.3; xx=-1.5:0.02:1.5; yy=-1.5:0.02:1.5; [x,y]=meshgrid(xx,yy); X1=-a; Y1=L; X2=0; Y2=L; X3=a; Y3=L; D1=((x-X1).^2+(y-Y1).^2).^(1/2); D2=((x-X2).^2+(y-Y2).^2).^(1/2); D3=((x-X3).^2+(y-Y3).^2).^(1/2); x1=-a; y1=-L; x2=0; y2=-L; x3=a; y3=-L; d1=((x-x1).^2+(y-y1).^2).^(1/2); d2=((x-x2).^2+(y-y2).^2).^(1/2); d3=((x-x3).^2+(y-y3).^2).^(1/2);
z=log((D1.*D2.*D3)./(d1.*d2.*d3)); contour(z,15,'b') axis off
FIGURA 5 Isotermas en el caso de tendido plano (a la derecha, detalle). De las figuras anteriores se pueden hacer dos observaciones: el cable del medio es el que tiene la cubierta a mayor temperatura, ya que la isoterma del medio está más distante del centro del cable. Las cubiertas no son isotermas, en particular se puede observar la deformación de la isoterma central en la dirección de los cables adyacentes. En el caso de las distancias r’, dado que normalmente la profundidad de enterrado es L>>rc la variación de la temperatura adicional provocada por las imágenes al variar el punto de la cubierta es muy pequeña, por lo que se “promedia” al eje del cable más caliente. En el caso de las distancias r el método se considera válido por la norma IEC 60287 aún con distancias entre ejes del orden del radio del cable, como por ejemplo el caso del montaje en “tresbolillo”.
La'
b'
N'
L
N
b
ara
ra' Aire
Suelo
rb
rb'
rN
rN'
FIGURA 6 método de las imágenes
En base a lo anterior se tiene que, para el cable más caliente (el cual surgirá después por comparación de los resultados):
( )
⋅++
⋅+
⋅+−+
⋅=∆
N
NT
b
bT
a
aTT
r
rLn
q
r
rLn
q
r
rLn
quuLn
qt
'
2...
'
2
'
21
2
2
πρ
πρ
πρ
πρ
siendo a, b, ...N los pares cable-imagen adicionados. Esto puede escribirse como:
( )
−+
⋅=∆
N
N
b
b
a
aT
r
r
r
r
r
ruuLn
qt
'...
''1
2
2
πρ
entonces la resistencia térmica que
se “ve” desde el cable a considerar será:
( )
−+
=
N
N
b
b
a
aT
r
r
r
r
r
ruuLnT
'...
''1
2
2
4 πρ
Por inspección de cada cable en particular (variando las distancias implicadas) se puede obtener la resistencia térmica más alta, que es la que corresponde al cable más caliente, y por tanto la que se usará en etapas posteriores de cálculo.
2.3 RELLENOS TÉRMICOS Los rellenos térmicos se utilizan para mejorar la conducción del calor generado por un conjunto de cables, a través del terreno circundante. Se trata en general de preparados químicos con resistividades bajas, como ser el caso de la bentonita u otros compuestos. Estos poseen la característica de no perder su humedad; esta propiedad es importante para evitar el fenómeno del aumento de la resistividad con la disminución de la humedad en el terreno, fenómeno que ocurre cuando el propio calor generado por los cables seca el terreno. De esta forma se logra mantener la resistividad térmica del material circundante al cable en un valor bajo y constante, independientemente de otros factores.
Relleno térmico
Zanja
Cable
FIGURA 7 zanja y relleno térmico Generalmente las zanjas en las que van tendidos los conductores, y por lo tanto donde se utiliza el relleno térmico, son de sección rectangular. Se observa que el ancho de la zanja de excavación y la cantidad de relleno térmico en general elevan el costo de la instalación por lo que se trata de una solución de
compromiso entre el tamaño de la zanja, cantidad de relleno térmico y la disipación térmica deseada. Para abordar el estudio de este caso dividiremos el problema en dos subproblemas. Estos se basan en que la resistencia térmica del terreno es equivalente a la suma de dos resistencias térmicas:
• la primera corresponde a la resistencia térmica desde el exterior de la cubierta de uno de los cables, el más solicitado térmicamente, hasta el límite del relleno térmico, (del cual se asumirá la hipótesis de que su borde es aproximadamente una isoterma, ésta hipótesis será tanto más válida cuanto menor sea la resistividad del relleno térmico respecto de la del terreno).
• la segunda corresponde a la resistencia entre el borde del relleno térmico y la superficie del terreno a temperatura ambiente ( o sea, la superficie del terreno y la profundidad infinita del mismo).
En base a lo anterior, se puede escribir el siguiente desarrollo:
eeiitot kkR ⋅+⋅= ρρ
Donde:
=totR Resistencia térmica total
=iρ resistividad del relleno térmico
=eρ resistividad del terreno exterior
ik = coeficiente que depende sólo de la geometría de la configuración, y que
representa la resistencia térmica descripta en a)
ek = coeficiente que depende sólo de la geometría de la configuración, y que
representa la resistencia térmica descripta en b) Nota: Observar que si ei ρρ = totitot kR ⋅=⇒ ρ ; donde totei kkk =+ , siendo éste
último el coeficiente que representa la resistencia térmica entre el conjunto de cable y la superficie del terreno.
Usando que totei kkk =+ , entonces la ecuación anterior se puede escribir como:
)()( ieetotieeetotitot kkkkkR ρρρρρ −+⋅=⋅+−⋅=
Este resultado implica que la resistencia térmica total se puede hallar como la suma de una resistencia térmica del cable más caliente calculada como si todo el terreno circundante tuviese una resistividad iρ (problema resuelto anteriormente en la sección
6.2) más la resistencia térmica definida en b) calculada como si el terreno que circunda el relleno térmico tuviera una resistividad )( ie ρρ − .
En definitiva el problema se reduce al cálculo de esta última resistencia térmica.
2.3.1 ANÁLISIS TÉRMICO PARA EL CÁLCULO DE LA RESISTENCIA EXTERIOR AL RELLENO TÉRMICO Consideremos el siguiente esquema para las dimensiones del relleno térmico:
r1
r2
y
xrb
FIGURA 8 esquema del círculo equivalente
Se tiene entonces que: 2/1 xr = y el radio del círculo circunscripto es 2
22
2
yxr
+=
donde x < y. La aproximación consiste en sustituir el relleno rectangular por un relleno circular cuyo radio rb sea tal que la resistencia térmica vista desde sus superficies sea la misma, asumiendo que ambas superficies son isotermas. Con este “equivalente” la resistencia térmica entre el relleno y la superficie del terreno será una función logarítmica de rb y Lg en donde Lg es la distancia entre la superficie del terreno y el centro del relleno térmico. Intuitivamente, se puede pensar que el radio rb es menor a r2 y mayor a r1 .La fórmula para el cálculo de rb será:
( )
−−
=1
2
2
1
2
2
2
1
1 r
rLn
rr
rxy
r
rLn b
ππ
Una justificación intuitiva de esta aproximación es la que sigue: El área rayada es la atravesada por el calor que surge del relleno. El área exterior al círculo de radio r1 pero interior al relleno, no es atravesada por calor alguno, ya que se
pretende calcular la resistencia exterior al relleno térmico. Por tanto, se trata de obtener la resistencia térmica entre r1 y rb como la que habría entre r1 y r2 afectada por el cociente del volumen (o el área, ya que la geometría es cilíndrica) por donde realmente pasa calor entre r1 y r2 y el volumen total entre estos dos radios. Operando la ecuación anterior y sustituyendo r1 y r2 por sus valores, se obtiene:
21
2
14
22
1
4
4)(2
2
2
2
2
22
2
2
xLn
x
yLn
y
xyxxLn
x
xyLn
y
xyx
rLn b +
+⋅
⋅⋅−⋅
=+
+⋅
⋅
⋅−⋅=
ππ
π
π
21
4
2
1)(
2
2 xLn
x
yLn
y
x
y
xrLn b +
+⋅
−=
π
Como tenemos ahora un relleno “equivalente” al rectangular se pueden utilizar las fórmulas antes desarrolladas para un cable individual enterrado. Si llamamos “N” a la cantidad de cables con iguales pérdidas dentro del relleno térmico, y suponemos que estas fuentes térmicas se concentran en el centro mismo del relleno térmico, podemos escribir:
( ) ( )( )1//2
2 −+
−⋅=∆ bgbg
ie rLrLLnNqtπ
ρρ
Pero, razonando como en casos anteriores, visto desde el cable más caliente del conjunto, qt /∆ representa la resistencia adicional “vista” desde el mismo,
correspondiente a un conjunto de cables con iguales pérdidas inmersos en un relleno térmico. Como se podrá entender, al igual que en el caso del cálculo de la resistencia térmica de un conjunto de varios cables, la hipótesis de iguales pérdidas en los mismos es fundamental para obtener estas fórmulas. Siguiendo con el razonamiento, se obtiene:
( )( ) ( ) eiebgbgie krLrLLnNTad ⋅−=−+
−= ρρ
πρρ
1//2
2
4
Siendo Tad4 la resistencia térmica adicional resultante de un conjunto de cables con iguales pérdidas inmersos en un relleno térmico.
2.3.1.1 LIMITACIONES DEL MÉTODO DE CÁLCULO
Este método da un valor de resistencia diferente del valor que surgiría, por ejemplo, si se calculara por el método que considera la geometría exacta del problema, sin embargo, tiene la virtud de su simpleza y el hecho de utilizar una fórmula de cálculo ya desarrollada. Intuitivamente puede entenderse que, cuanto más difiera la forma del relleno térmico de un cuadrado, tanto más inexacto será el método. De hecho la norma IEC 60287 limita la validez del mismo a valores de y/x ≤3. Incluso en casos extremos en que y/x sea muy grande la hipótesis que considera los límites del relleno térmico como una isoterma deja de ser adecuada.
Para dar una idea de cómo depende la exactitud del método de la forma del relleno, podemos calcular la temperatura en el punto “P” del siguiente esquema, en el cual se intenta obtener una isoterma aproximadamente en el límite del relleno, utilizando el método de las imágenes con fuentes iguales en el borde del mismo:
q
Fuentede Valor "q"
-q
Fuentede Valor "-q"
x
y
Lg
P
Lg
a1a2
a3
a4
a5
a6
b2
b1
b3
b4
b5
b6
FIGURA 9 método de las imágenes para simulación de relleno rectangular
A continuación se presenta un algoritmo en MATLAB en el que primero se calcula la resistencia en un punto debida a los aportes de las fuentes puntuales del esquema anterior y luego la relaciona con la resistencia calculada utilizando el método propuestos por la IEC 60287: %Comparación de las constantes según metodo de cálculo Lg=1.5; % profundidad de enterrado del centro del relleno y=0.2:0.01:0.55; %dimensión mayor, variable x=0.2; %dimensión menor %defino las distancias desde las fuentes al punto de cálculo P: a1=((2*Lg+x).^2+(y/2).^2).^(1/2); a2=((2*Lg+2*x/3).^2+(y/2).^2).^(1/2); a3=((2*Lg+x/3).^2+(y/2).^2).^(1/2); a4=((2*Lg).^2+(y/2).^2).^(1/2); a5=((2*Lg+x).^2+(y/6).^2).^(1/2); a6=((2*Lg).^2+(y/6).^2).^(1/2); b1=y/2; b2=((y/2).^2 +(x/3).^2).^(1/2); b3=((y/2).^2 +(2*x/3).^2).^(1/2); b4=((y/2).^2 +x^2).^(1/2);
b5=y/6; b6=((y/6).^2+x.^2).^(1/2); %el coeficiente para este caso será: Krect=(1/6)*log((a1.*a2.*a3.*a4.*a5.*a6)./(b1.*b2.*b3.*b4.*b5.*b6)); %ahora se calcula según IEC 60287: A= (1/2).*(x./y).*((4/pi)-(x./y)).*log(1+(x./y).^2)+log(x./2); rb=exp(A); u=Lg./rb; %el coeficiente para este caso será: Kcirc=log(u+(u.^2-1).^(1/2)); graf=plot(y,Kcirc./Krect); title('Variación del cociente de las constantes geométricas'); xlabel('y [metros]'); ylabel('Kcirc/Krect'); set(gca,'Xcolor','red','Ycolor','red'); set(gca,'XGrid','on','YGrid','on'); set(graf,'color','red');
0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.551
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4Variación del cociente de las constantes geométricas
y [metros]
Kci
rc/K
rect
Como puede verse, ambos métodos de cálculo dan constantes geométricas similares cuando x≅y. Además, se observa que el cálculo según IEC 60287 es entonces conservador, y lo será más aún en la medida en que más difieran las dimensiones del relleno. Método utilizado para y/x>3 Para y/x>3, podría utilizarse el método del ejemplo colocando más fuentes para lograr mayor precisión, sin embargo, esto no es conveniente ya que incorpora una mayor complejidad en los cálculos. Se adoptará entonces en estos casos un método también
conservador, el cual consiste simplemente en considerar el relleno térmico como círculos de igual diámetro centrados en cada cable del conjunto, del mayor diámetro posible según las dimensiones x e y del relleno. Se consideraría entonces la resistencia térmica del relleno como:
)12
(2
1+
×××
×=
De
eLnTTr ρ
π
En donde “e” es el espesor útil del relleno, “De” es el diámetro exterior de cada cable y “ρT” la resistividad térmica del relleno térmico. Adicionalmente, se calculará la resistencia exterior T4 considerando como si el relleno térmico fuera una capa más del cable sobre su cubierta, y por tanto el borde cilíndrico de dicha capa se considerará isoterma, sustituyendo en este caso el diámetro de la cubierta.
Límite de relleno térmico útil Relleno
térmico
Zanja
Cable
e
FIGURA 10 Límite de relleno térmico (y/x>3)
2.4 ESTUDIO DEL BANCO DE DUCTOS Muchas veces los conductores están rodeados de otro tipo de materiales que en principio no se comportan como un “buen relleno térmico” sino que su utilización es debida a otros factores; es el caso del hormigón que se utiliza en los bancos de ductos en los cruces de vías de tránsito con el objetivo de disminuir las solicitaciones mecánicas a las que se ven sometidos los cables.
Ducto
Zanja
Cable
Hormigón
FIGURA 11 banco de ductos En este caso de cables ubicados en ductos se descompone la resistencia térmica total en tres resistencias térmicas: la existente entre la cubierta del cable y la superficie interior del ducto, la correspondiente al espesor del ducto es decir entre la pared interna y la externa, la resistencia externa al ducto (habiendo o no un banco de hormigón).
T'4
T''4
T'''4
Aire
Cable
Ducto
Terreno
FIGURA 12 resistencias térmicas (cable en ducto)
El estudio de la resistencia térmica de la parte a) involucra dos fenómenos de transmisión de calor diferentes a los vistos hasta el momento. Ellos son los de convección ( en el caso de este proyecto solo convección natural) y radiación, lo que se abordará posteriormente dada su importancia. Para la resistencia de la parte b) se utiliza él método ya visto que mediante la ecuación de Fourier proporciona la siguiente fórmula:
Donde Do es el diámetro exterior del ducto y Dd el interior. La resistencia de la parte c) se calcula de igual forma que en el caso ya visto de un cable enterrado, con la salvedad de que se sustituye el diámetro exterior del cable De por el diámetro exterior del ducto. Para el caso de varios cables el problema se reduce al análisis que se efectuó anteriormente haciendo la misma sustitución (suponiéndose que los ductos son iguales). En el caso de existir un banco de hormigón se utilizará el mismo procedimiento que se utilizó para los rellenos térmicos. La ecuación correspondiente para un cable tomaría la forma:
y ρT la resistividad térmica del terreno. Para un conjunto de varios cables:
( )
−+
=N
N
b
b
a
aT
r
r
r
r
r
ruuLnT
'...
''1
2
2'''
4 πρ
y si además se tiene un banco de hormigón la resistencia anterior queda:
( ) ( )( )1//2
'...
''1
2
22'''
4 −+
−+
−+
= bgbgHe
N
N
b
b
a
aH rLrLLnNr
r
r
r
r
ruuLnT
πρρ
πρ
Donde ρH es la resistencia térmica del hormigón, Lg la distancia entre el centro del banco de hormigón y la superficie, ρe es la resistencia térmica del terreno exterior al banco. 2.4.1 RESISTENCIA TÉRMICA DEBIDA AL AIRE EN EL DUCTO (T’4) Al analizar el fenómeno térmico que ocurre dentro del ducto se observa que no se manifiesta el fenómeno de conducción térmica, sino que el calor se trasmite por radiación y convección.
)(2
1"4
d
o
D
DLnT ×
×=
π
)1(2
1 2'''
4 −+×××
= uuLnT Tρπ dD
Lu
×=
2
2.4.1.1 CONVECCIÓN
Para el fenómeno de convección entre la superficie de un cuerpo y el medio gaseoso circundante, se utiliza la siguiente ecuación general para la transferencia de calor, asumiendo transferencia de calor unidimensional:
Donde hsup es el coeficiente de convección natural de la superficie del cable (normalmente se halla experimentalmente) y Asup el área de la superficie del cable por unidad de longitud. Las temperaturas son las de la superficie del cable y del aire respectivamente.
2.4.1.2 RADIACIÓN
En general cuando se irradia un medio se presentan 3 fenómenos bien definidos: Reflexión de parte de la radiación incidente Absorción de parte de la radiación incidente Transmisión de parte de la radiación incidente El siguiente esquema clarifica lo recién dicho:
Transmisión
Absorción
Reflexión Irradiación
Gabs
Gtras
GGref
Radiación propia
FIGURA 13 transmisión de calor por radiación
absreftr GGGG ++=
o expresado de otra manera: ταρ ++=1
supsupsup )( Ahq aireconv ×−×= θθ
donde ρ es la reflectividad, α es la absortividad y τ es la transmisibilidad o dicho de otra forma las anteriores son las relaciones entre la radiación reflejada, absorbida o transmitida respecto de la irradiación, respectivamente. Es usual hablar en fenómenos de radiación de calor de medios opacos, lo que está significando que no hay transmisión de radiación y por lo tanto el fenómeno es un fenómeno de superficie (τ es cero). También es usual hablar de cuerpos grises con lo cual se está significando que α = ε. Nota: ε, llamada emisividad, es la relación entre la radiación propia del cuerpo en consideración y la radiación de un cuerpo negro a la misma temperatura.
Recordamos también que la potencia total de emisión (radiación) de un cuerpo negro
viene dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann 4θσ ⋅=bE donde σ es la constante
de Stefan-Boltzmann y θ es la temperatura absoluta.
2.4.1.3 INTERCAMBIO DE CALOR ENTRE CUERPOS NEGROS
En general la radiación que sale de una superficie es debida tanto a la reflexión como a la emisión propia, estas radiaciones se encuentran con una segunda superficie, que experimenta reflexión y absorción. Para el caso de superficies “negras”, no se manifiesta el fenómeno de reflexión (toda radiación se absorbe). En general el intercambio de radiación entre dos superficies negras viene dado por:
jiiiji FJAq ,, ⋅⋅=
donde qi,j es la radiación que sale de la superficie i y es interceptada por la superficie j, Ai es la superficie del cuerpo i, Ji es la radiosidad de la superficie i y Fi,j es el factor de forma. Nota: La radiosidad es la suma de la radiación reflejada más la emitida.
Para el caso de los cuerpos negros la radiosidad coincide con la emisión y por lo tanto la ecuación anterior queda:
jiibiji FEAq ,, ⋅⋅= ⋅
en donde Ebi es la emisión del cuerpo negro. Similarmente para qj,i y por lo tanto planteando la diferencia
ijji qqq ,, −= se obtiene
( )44
, jijii FAq θθσ −⋅⋅⋅=
Para nuestro caso se asumen las siguientes hipótesis:
La transferencia de calor es unidimensional el ducto es “opaco “, es decir, no transmite el calor radiado hacia él la cubierta del cable es “opaca” y “gris”, esto último significa que, la constante de absorción es igual a la emisibilidad. El aire es “transparente”, es decir, desde el punto de vista de la radiación se comporta como si fuera el vacío o dicho de otra forma trasmite todo la radiación incidente. En estas condiciones, la fórmula de radiación que se aplica es:
Donde As-d es el área efectiva de la radiación de calor por unidad de longitud, Fs-d el factor de forma de radiación que depende de la geometría, σ es la constante de Boltzmann que vale 5.667 x10-8 W/m2 x K4, y θd la temperatura de la cara interna del ducto. Las temperaturas necesariamente están expresadas en grados Kelvin. 2.4.2 BALANCES ENERGÉTICOS Dadas estas dos formas de transferencia de calor se pueden plantear entonces los balances energéticos en las superficies involucradas para de esa forma obtener, dado el calor generado por el cable, las temperaturas en los puntos de interés. Balance energético en la superficie del cable El flujo de calor “q” generado por el cable es igual a las pérdidas por radiación y convección en el aire:
Balance energético en la cara interna del ducto La energía transferida por convección y radiación en el aire es igual al flujo de calor por conducción en el espesor del ducto:
θ0 es la temperatura de la cara externa del ducto, Ad es el área interna del ducto. Balance energético en la superficie exterior del ducto
)(44
sup. ddsdsdsrad FAq θθσ −×××= −−−
)()(44
supsupsupsup ddsdsaire FAAhq θθσθθ −×××+×−×= −−
)()(44
sup''
4
0ddsdsddaired
d FAAhT
θθσθθθθ
−×××+×−×=−
−−
El calor que se trasmite por conducción en el ducto es igual al calor conducido por el terreno:
En la práctica, se realizan aproximaciones, ya que es deseable obtener ecuaciones que permitan definir una “resistencia térmica”, aunque ésta no será independiente de las temperaturas en juego. Ya en su artículo “The Calculation of the temperature Rise and load capability of cable systems” (1957), los autores J.H. Neher y M.H. McGrath proponían para las siguientes aproximaciones: 1) Para el caso del flujo convección, y dentro de los posibles rangos de variación de las magnitudes involucradas, como por ejemplo las temperaturas, se propuso la siguiente fórmula, la cual fue hallada por métodos experimentales:
4/1
1
∆Θ×∆Θ××=
e
econvD
Dkq
en donde k1 es una constante experimental, De el diámetro exterior del cable y ∆Θ = θsup - θd 2) Para la radiación, y dentro del mismo rango de flujos de calor, la ecuación general para el fenómeno se simplifica a: θm = θaire
donde θm es la temperatura media dentro del ducto. Entonces, para este análisis k2 y k3 son constantes no dependientes de la temperatura, aunque dependientes de la emisibilidad de la superficie del cable y la geometría del problema. Sobre la base de las dos aproximaciones anteriores se puede escribir:
( ) ⇒×+×∆Θ××+
∆Θ×∆Θ××=+= − me
e
edsradconv kDkD
Dkqqq θ32
4/1
1. 1
( )
'
4
32
4/1
1 1
1T
kDkD
Dkq
me
e
e
=
×+××+
∆Θ××
=
∆Θ⇒
θ
donde T’4 por ser el cociente entre ∆Θ y el calor que surge del cable, se la interpreta como una resistencia térmica entre la cubierta del cable y la pared interna del ducto. Además, y dado que ∆Θ1/4 no varía mucho dentro del rango de temperaturas posibles, se propuso tomar un valor medio para ∆Θ e independizar éste término de la temperatura. Suponiendo además que De no es mayor que 100 mm (4”)
'''
4
0
''
4
0
TT
ambd θθθθ −=
−
( )medsrad kDkq θ×+×∆Θ××=− 32. 1
aproximadamente, y agrupando constantes en forma conveniente, se llega finalmente a la fórmula de cálculo propuesta por la norma IEC 60287:
θm = θaire , temperatura media del aire dentro del ducto U, V e Y son constantes tabuladas para los distintos tipos de ductos que suelen utilizarse normalmente en las canalizaciones subterráneas, según notación de la mencionada norma.
2.5 FUENTES DE CALOR Las fuentes térmicas del cable serán las siguientes: Pérdidas joule en el conductor. Pérdidas en el aislante, provocadas por la componente resistiva de la corriente a través del mismo (llamadas “pérdidas dieléctricas”). Pérdidas joule en la pantalla metálica, a causa de las corrientes inducidas en la misma. 2.5.1 PÉRDIDAS JOULE EN EL CONDUCTOR Dado que estas pérdidas están dadas por I2Rac , es fundamental hallar la expresión de la resistencia en alterna del conductor del cable.
2.5.1.1 RESISTENCIA DEL CONDUCTOR EN CORRIENTE ALTERNA
La resistencia del conductor en corriente alterna y a la temperatura de servicio, debe contemplar el efecto del aumento de la resistencia debido al aumento de la temperatura en el conductor y a la variación de la resistencia por los efectos resultantes de los campos magnéticos variables en juego. De aquí que se deba escribir: Rac = R’ (1 + ys +yp) (Rac: resistencia equivalente en corriente alterna) Siendo: R’= Rcc(1+α20(θ-20)) la resistencia en continua a la temperatura θ del conductor. Rcc es la resistencia del conductor en continua y a 20ºC. α20 es el coeficiente de variación de resistividad eléctrica del material conductor, al variar la temperatura del mismo respecto de 20º. Como puede verse, esta última fórmula contempla el conocido efecto de variación de la resistencia con la temperatura, mediante una linealización de la curva R’(θ) de cada material conductor. ys es el coeficiente de aumento de resistencia debido al efecto pelicular yp es el coeficiente de aumento de resistencia debido al efecto de proximidad de las otras fases
em DYV
UT
××+×+=
)(1.01
'
4 θ
2.5.2 EFECTO PELICULAR El llamado efecto pelicular es un fenómeno en donde la corriente alterna que circula por un conductor tiende a fluir más cerca de la superficie que del centro del mismo y por lo tanto en un área menor a la sección nominal del conductor, provocando un incremento de la resistencia del conductor. Este fenómeno se presenta cuando la corriente que circula por el conductor deja de ser continua. El efecto aumenta con el aumento de la frecuencia. La justificación de este fenómeno es la siguiente: La ley de Lenz establece que “en caso de cambio en un sistema magnético algo sucede que tiende a oponerse al cambio”; por lo tanto el campo magnético variable en el tiempo provoca una fem inducida que tiende a generar una corriente en el sentido contrario a la que le dio origen. La corriente inducida (en sentido contrario) es mayor en el centro debido a que en la medida en que nos acercamos al centro del conductor más líneas de campo envuelven al punto del conductor en consideración. El efecto neto es que la corriente total es menor en el centro. Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a este problema lo justifican en más detalle.
2.5.2.1 ECUACIONES DE MAXWELL
A continuación recordaremos brevemente las ecuaciones de Maxwell para llegar a las ecuaciones del fenómeno:
tJH
∂∂
+=×∇D
t
BE
∂∂
−=×∇ ρ=⋅∇ D 0=⋅∇ B
ED
EJ
HB
⋅=
⋅=
⋅=
ε
µg
A los efectos del presente estudio supondremos medios en los que la dependencia de B, J y D con respecto a H y E respectivamente, es lineal y la constante de linealidad es independiente de las variables.
2.5.2.2 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE J
Tomando el rotor en la segunda ecuación se obtiene:
2
2)()()(
)()(t
D
t
J
t
t
DJ
t
H
t
H
t
BE
∂∂
⋅−∂∂
⋅−=∂
∂∂
+∂⋅−=
∂×∇∂
⋅−=∂⋅∂
×−∇=∂∂
−×∇=×∇×∇ µµµµµ
Donde se supuso que se pueden intercambiar las derivadas parciales respecto del tiempo con las derivadas de coordenadas, es decir, se trata de variables desacopladas, hipótesis válida para nuestro estudio dado que los campos involucrados
son de la forma tjerEE ⋅⋅= ω)( y por lo tanto la variable temporal esta desacoplada de las variables espaciales, en particular de r.
El último término queda 2
2
t
E
t
Eg
∂∂
⋅⋅−∂∂
⋅⋅− εµµ
Usando la propiedad del rotor del rotor: AAgradA 2)()( ∇−⋅∇=×∇×∇ , lo
aplicamos a E:
2
22
t
E
t
EgE
∂
∂⋅−
∂
∂⋅⋅−=∇− εµµ
En donde se supuso que no hay una densidad volumétrica de carga, div D = 0, y por lo tanto div E = 0. La ecuación para J quedaría entonces:
2
22 )(
t
J
gt
J
g
J
∂
∂⋅−
∂
∂⋅−=∇−
εµµ o lo que es lo mismo
02
22
2
22 =
∂
∂⋅−
∂
∂⋅⋅−∇⇒
∂
∂⋅−
∂
∂⋅⋅−=∇−
t
J
t
JgJ
t
J
t
JgJ εµµεµµ
Suponiendo campos de la forma: tjerJJ ⋅⋅= ω)( y derivando con respecto al tiempo se obtiene:
022 =⋅⋅+⋅⋅⋅−∇ JJgjJ εµωµω
Para las frecuencias de tipo industrial (50 o 60 Hz) el término t
D
∂∂
puede despreciarse,
conduciendo al juego de ecuaciones llamadas “cuasimagnetostáticas”, en cuyo caso la ecuación anterior puede aproximarse a:
02 =⋅⋅⋅−∇ JgjJ µω Observación: para el estudio de transmisión de ondas electromagnéticas, este término no puede despreciarse.
Si se tiene en cuenta que se trata de un problema de geometría cilíndrica en donde no hay dependencia respecto de la coordenada z (en el sentido del conductor) ni de θ (coordenada angular, en el entendido de que ninguna dirección tiene preferencia sobre otra en un plano axial del conductor); con estas consideraciones J sólo depende de r y por lo tanto desarrollando el Laplaciano se puede escribir:
01
2
2
=⋅⋅⋅−∂∂
⋅+∂
∂Jgj
r
J
rr
Jµω
o de otra forma
( )0
112
22
2
=⋅+
−∂∂
⋅+∂∂
Jj
r
J
rr
J
δ
donde g⋅⋅
=µω
δ2
es conocido como el factor de penetración.
La solución de esta ecuación es el polinomio de Bessel de orden cero y argumento imaginario (Io). Entonces:
( ) ( )( )( )∑
∞
= ⋅
+⋅⋅=+⋅⋅=
022
2
0!2
/1)/1()(
kk
k
minmink
jrJjrIJrJ
δδ
Se puede ver que esta función de densidad de corriente es compleja (es decir que la resistencia en corriente alterna es en realidad una impedancia, no obstante, a los efectos de las pérdidas en el conductor interesa sólo la parte real), y además que su módulo es mínimo en r=0, aumentando monótonamente con r. De esta forma, queda demostrado que la densidad de corriente es máxima en el borde del conductor y mínima en su centro. Esto lleva a la siguiente conclusión: cuanto mayor es el diámetro del conductor la corriente tiende a circular por el borde del mismo (de allí el nombre “efecto pelicular”), no aprovechándose completamente la sección de conductor. De hecho, para secciones de conductor muy grandes (digamos 1000 mm² o más) el fabricante opta por construir el conductor formado por segmentos aislados eléctricamente (pero que en definitiva conducen corriente de la misma fase) a los efectos de disminuir el efecto pelicular. Observación: el parámetro δ tiene dimensiones de longitud y es la denominada “profundidad de penetración”. Éste da una idea de hasta que profundidad la corriente tiene valores no despreciables. En puntos del conductor mucho más adentro, la corriente es muy pequeña. A frecuencias del orden de los 50Hz, la penetración no es muy grande debida a la permeabilidad del conductor. En el caso del acero µr = 100 resultando en una profundidad pelicular de entre 2 y 3 mm. Como ejemplo numérico podemos ver la profundidad de penetración para el cobre: La resistividad del cobre es 0.017241µΩ-m (g es la inversa de la resistividad) µ0=4*π*10exp-7 N/A², la frecuencia angular es 2*π*50, entonces la profundidad de penetración vale 9.34 mm.
2.5.2.3 CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE “EFECTO PELICULAR”
Supongamos ahora que se tiene un conductor de radio r0 y una tensión ∆V aplicada entre dos planos separados a una distancia “l”. Se analizará el caso en que ∆V es una tensión continua, y el caso en que siendo la tensión entre los dos planos anteriores alterna, ésta se halla en su valor máximo (∆V). Entonces:
acacdcdc IZIR ⋅=⋅ donde Zac es ahora la impedancia del conductor en alterna
Además se tiene que:
2
0rJI dcdc ⋅⋅= π y ∫=S
ac dSrJI )( , siendo “S” la sección del conductor.
Por otro lado si se aplica la condición de borde siguiente: dcJrJ =)( 0
, es decir que la
densidad de corriente en el borde del conductor es igual a la que habría en continua entonces resulta:
( )( )
( )( )
2
0
0
002
0
0
002
0
)/1(
)/1(
)/1(
)/1(
)(r
dSjrI
jrIr
dSjrIJ
jrIJr
dSrJ
J
R
Z
SS
min
min
S
dc
dc
ac ⋅⋅+⋅
+⋅=⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅=⋅⋅=
∫∫∫π
δ
δπ
δ
δπ
y operando se puede demostrar que:
( ) ( )( )( )
( )( )( )
=⋅
+=⋅⋅
⋅
+⋅=+⋅ ∫∑∫∫∑∫ +
∞
=
∞
=
drrk
jdrrd
k
jrdSjrI
r
k
kk
k
r kk
k
S
0
0
12
022
2
, 022
2
0!2
/12
!2
/1)/1(
δπθ
δδ
θ
( )( )( )
( ) )/1(/1
2
)!1(!22
/12 01
0
02
222
0 δδ
πδπ jrI
j
r
kk
jr
kk
kk
+⋅⋅+
⋅=
+⋅⋅⋅
+= ∑
∞
=
+
donde “I1” es el polinomio de Bessel de orden uno y argumento imaginario:
( ) ( )( )∑
∞
=+
+
+⋅⋅
+⋅=+⋅
012
12
0
01)!1(!2
/1)/1(
kk
k
kk
jrjrI
δδ
En definitiva:
( )
( )( )
( ) ( )( ) )/1(
)/1(
2
/1
)/1(/1
2
)/1(
01
0002
0
01
0
00
δδδ
πδ
δπ
δjrI
jrIjrr
jrIj
r
jrI
R
Z
dc
ac
+⋅
+⋅⋅
+⋅=⋅⋅
+⋅⋅+
⋅+⋅
=
Para llevar esta expresión a su forma más conocida se aplican ahora las siguientes relaciones:
)()(
)()(
1
1
1
00
jxJjxI
jxJxI
⋅=
=−
donde J0 y J1 son las funciones de Bessel de argumento real y orden 0 y 1 respectivamente. Nota: en general las funciones de Bessel de argumento real y orden “n” son de la forma:
∑∞
=
+
+⋅
⋅−=
0
2
)!(!
)2/()1()(
k
knk
nnkk
xxJ
Entonces, aplicando además que J0(-x)=J0(x) y J1(-x)= - J1(x):
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) )/1(
)/1(
2
/1
)/1(
)/1(
2
/1
)/1(
)/1(
2
/1
01
000
01
000
01
1
000
δδδ
δδδ
δδδ
jrJ
jrJjr
jrJ
jrJjr
jjrJj
jjrJjr
R
Z
dc
ac
−⋅
−⋅⋅
−⋅=
−⋅
−⋅⋅
−⋅=
+⋅⋅
+⋅⋅
+⋅=
−
de aquí que la función “efecto pelicular” Fpel sea de la forma:
⋅==)(
)(
2Re)(
1
0
zJ
zJz
R
ZzF
dc
ac
pel donde ( ) ( ) )/1(Re 0 δjrFRZR peldcacac −⋅⋅==
Dada la gran complejidad que presenta la evaluación de esta fórmula, la norma IEC 60287 no la utiliza: En cambio establece una aproximación, para simplificar el cálculo del coeficiente de incremento de la resistencia eléctrica, denominado por dicha norma “factor de efecto pelicular” (ys), que vale:
Donde
Debido a que el conductor no es necesariamente macizo, sino que está formado por alambres cableados, se introduce un coeficiente experimental ks que además depende de la construcción del conductor (por ejemplo, si es compactado o no), y que se obtiene de la tabla 2 de la norma IEC 60287. A continuación se muestra una aproximación utilizando la fórmula obtenida contra la aproximación realizada por la norma. Rdc=0.00002737; %ohm/m; correspondiente a un cable de 630 mm² de Cu f=50; %hz ks=1; mu=4*pi*0.0000001; %N/A²
4
4
8.0192 s
s
sx
xy
⋅+=
'108 72
R
kfx s
s ⋅⋅⋅⋅= −π
z=(1-j)*((f*mu)/Rdc)^(1/2); F=(z/2)*(besselj(0,z)/besselj(1,z)); Fpel=real(F) xs=(2*f*mu*ks/Rdc)^(1/2); Ys=xs^4/(192+0.8*xs^4); norma=1+Ys %coeficiente según IEC 60287 Resultados: Fpel = 1.1010 norma = 1.1009
Como puede verse el efecto pelicular en este caso (Conductor de Cu de 630 mm2) es del orden del 10% de la resistencia en continua y la aproximación de la norma es adecuada si se compara con la solución exacta. 2.5.3 EFECTO DE PROXIMIDAD. El efecto de proximidad es el aumento en la resistencia efectiva en alterna de un conductor debido al cambio en la distribución de la densidad de corriente en el mismo provocada por los campos magnéticos generados por las corrientes de los otros conductores de fase. Dependerá entonces de la geometría y del tipo de configuración de los conductores. El investigador J.C. Costello, en su artículo publicado en 1936 (Journal I.E.E., 1936, vol.79,pag 595) presentó un estudio teórico, para encontrar la expresión general del factor de efecto proximidad en un sistema de tres conductores circulares iguales, dispuestos en tresbolillo, y conduciendo corrientes trifásicas equilibradas. Para llegar a la expresión final, es necesario definir antes:
s
dc=α , donde “s” es la distancia entre los ejes de los conductores y “dc” el diámetro
de cada conductor.
'
8
R
fx
⋅⋅=
π donde R’ es la resistencia en continua a la temperatura de operación
del conductor ( )( ) nn
n
n
n jjjxJ
jjxJΨ+Φ=
⋅⋅
⋅⋅−=
−
+
1
1ρ donde Jn es la función de Bessel
de argumento real de orden “n”
⋅
−
⋅−−
⋅
⋅−
−++⋅
= ∑∞=
=
m
m
mmm
mn
n
mnB
mnA
mn
mnnA
1 6
)(sin3
6
)(cos
2!)!1(
)!1(
6cos
2ρ
ππαπα
⋅
−
−−
⋅⋅
⋅−
−++⋅⋅
= ∑∞=
=
m
m
mmm
mn
n
mnB
mnA
mn
mnnB
1 6
)(sin
6
)(sin3
2!)!1(
)!1(
6sin3
2ρ
ππαπα
En función de las definiciones anteriores, la solución es:
∑∞=
=
Ψ+=
n
n
nnnp
nBA
xy
1
222
2
Esta expresión es válida para cualquier frecuencia y tamaño de conductor. Como podrá intuirse, el cálculo de esta expresión es muy complejo, no resultando práctica su utilización. Por tanto, es conveniente realizar algunas aproximaciones. En primer lugar, si se explicitan los dos primeros términos de la suma (para lo cual se deben estimar A1, A2, B1 y B2 por aproximaciones sucesivas) la expresión es:
+Ψ+Ψ⋅= ...
128
5
16
3 4
2
2
1
2 ααxy p Si se definen las funciones:
Ψ=
Ψ=
1
2
2
2
8
1)(
8
1)(
xxG
xxF
entonces:
++⋅=++= ...)(
)(
24
5
)(
)(
24
5
)(
)(
10
72...)(
16
5)(
2
32
24
2
22
242
xG
xF
xG
xF
xF
xGxFxGy p αααα
Los términos en potencias mayores a 4 implican funciones de x mucho más complicadas, pero A.H.M. Arnold, en su artículo “EDDY CURRENT LOSSES IN MULTI-CORE PAPER-INSULATED LEAD –COVERED CABLES” (IEE Journal, parte II, vol 88, pag 52) agrega la suposición que los términos en estas potencias forman una progresión geométrica (lo cual es sugerido de alguna forma por los dos primeros términos de la expresión). En ese caso:
)(
)(
24
51
)(2
3
)(
)(
24
51
)(
)(
24
5
)(
)(
10
72
2
2
2
2
2
xG
xF
xG
xG
xF
xG
xF
xF
xGy p
α
α
α
α
−=
−⋅=
esta última expresión es la que históricamente se ha utilizado para el cálculo del factor de proximidad, a partir del artículo citado. En este último, son tabuladas las citadas funciones F(x) y G(x), para su uso práctico. Para valores de “x” menores a 2,8 (cosa que se cumple en casi todos los casos reales) la norma IEC 60287 introduce una nueva aproximación. Además, se introduce en lugar de “x” el término:
pp kR
fx ⋅⋅
⋅= −72 10
'
8π donde el término experimental kp se introduce para contemplar
el hecho de que en realidad los conductores no son perfectamente circulares y macizos, sino formados por alambres cableados. kp se halla en la tabla 2 de la norma IEC 60287. La expresión según la citada norma es:
++
+
⋅⋅
⋅
+=
27.08.0192
18.1312.0
8.01924
4
22
4
4
p
p
cc
p
p
p
x
xs
d
s
d
x
xy
2.5.4 PÉRDIDAS DIELÉCTRICAS Las pérdidas de calor generadas en la aislación del cable son debidas a que ésta posee una cierta resistividad eléctrica no nula, por lo que existirá una cierta corriente a través del aislante en fase con la tensión del conductor, y por lo tanto existirá una componente de potencia activa de pérdidas. Este fenómeno depende de Uo² (tensión conductor-pantalla) y por ello solo tiene interés en los cables de media y alta tensión. En cables de baja tensión es despreciable. Para describir físicamente el fenómeno, se debe abordar el cálculo del campo eléctrico dentro del aislante y la capacidad del cable.
6.5.4.1 CAMPO ELÉCTRICO DENTRO DEL AISLANTE
h
E(r)
r0
r1
r
FIGURA 14 campo eléctrico dentro del aislante.
Si tenemos una superficie cilíndrica, infinita y cargada con una cierta densidad de carga superficial σ (que representará al conductor), el campo eléctrico se puede suponer radial y dependiente solo de la distancia “r” al eje del conductor. Aplicando la ley de Gauss se obtiene:
r
rrE
hrrhrE
QdSnrE
S
00 )(2
2)()( ⋅
=⇒⋅
=⋅⇒=⋅∫ εσ
επσ
πε
rr
donde Q es la carga total dentro del cilindro de radio “r”, largo “h” y “S” es su superficie sin incluir las “tapas”. “ε” es la constante dieléctrica del aislante. Ahora bien, la circulación del campo eléctrico desde r0 a r1 es la diferencia de potencial entre el conductor del cable y la pantalla metálica:
∫ ⋅
=⇒=
1
0
1)(
0
1
0
0
r
rr
r
rLn
UEUdrrE
Como puede verse por inspección de la ecuación anterior, el punto donde el campo es más intenso es sobre la superficie del conductor. A modo de ejemplo se grafica el campo eléctrico en un cable 12/20 KV, 240 mm² de sección: Uo=12; %KV tensión fase-pantalla r0= 18.5/2; %mm radio del conductor e= 5.5; %mm espesor nominal de aislación r1= r0+e; %mm r=r0:0.1:r1; E=(Uo/log(r1/r0)).*(1./r); % KV/mm graf=plot(r,E); title('campo eléctrico en el aislante') xlabel('r [mm]'); ylabel('intensidad de campo [KV/mm]'); set(graf,'color','red'); grid on;
9 10 11 12 13 14 151.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3campo eléctrico en el aislante
r [mm]
inte
nsid
ad d
e ca
mpo
[K
V/m
m]
2.5.4.2 CAPACIDAD DEL CABLE
Por definición, la capacidad “C” entre el conductor y la pantalla metálica es tal que:
2
02
1CUEd = donde Ed es la energía almacenada en el condensador “C”
A su vez, podemos calcular esta energía a través de la ecuación:
∫ ⋅=V
d dVrEE )(2
1 2ε donde “V” es el volumen de aislación entre conductor y pantalla,
en un largo “h” de cable. Utilizando la expresión del campo eléctrico antes hallada y operando resulta:
∫
=⋅⋅
=
V
d
r
rLn
hUdhrd
r
r
rLn
UE
0
1
2
0
2
0
12
2
0 1
2
1 πεθε por tanto:
⋅=
0
1
2
r
rLn
hC
πε
y expresando la capacidad por unidad de longitud de cable:
=
0
1
2
r
rLn
Cπε
[F/m]
2.5.5 CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS EN EL DIELÉCTRICO Como se había dicho, la corriente Id a través de la aislación tiene una pequeña componente resistiva, además de la componente capacitiva (se supone esta corriente en un largo “h” de cable). Esto permite realizar el siguiente diagrama:
IcId
δ
UoIr
FIGURA 15 diagrama de la corriente Id
donde Ic e Ir son las corrientes capacitiva y resistiva, respectivamente. Las pérdidas en el dieléctrico pueden expresarse como:
δtg00 ⋅⋅=⋅= crd IUIUW ahora bien, ω⋅⋅= CUI c 0 de donde:
ωδ ⋅⋅⋅= CUWd tg2
0
El factor “tg δ” se denomina “factor de pérdidas” y se determina experimentalmente para cada material aislante considerado. Dada su relación directa con las pérdidas en el aislante, éste suele ser un parámetro típico a ser obtenido en ensayos no sólo de cable, sino también de otros equipos. Debe aclararse que este factor no es constante, sino que depende de la tensión del cable y de la temperatura. 2.5.6 PÉRDIDAS EN LA PANTALLA METÁLICA Como se dijo, las pérdidas en la pantalla metálica son provocadas por las corrientes inducidas en la misma. Por tanto, dado que la inducción varía según la disposición de las fases del cable y el tipo de aterramiento de las pantallas, debe distinguirse según el caso. En cuanto a la resistencia eléctrica de la pantalla, sólo se contempla la variación de la misma con la temperatura, despreciándose el efecto pelicular, ya que se trata de una capa formada por alambres de cobre de sección muy pequeña. Nota: Para cables de gran sección (como son los de conductor de tipo segmentado) en donde las corrientes son relativamente grandes, la norma IEC 60287 recomienda tomar en cuenta también las pérdidas de Foucault en las pantallas. En todos los demás casos, este efecto se desprecia.
Se estudiarán los siguientes casos: Terna de cables unipolares con la pantalla aterrada en un solo punto
Las tres fases en contacto mutuo (tresbolillo) con las pantallas aterradas en ambos extremos del tendido Las tres fases en tendido plano traspuestas regularmente, con las pantallas aterradas en ambos extremos del tendido Las tres fases en tendido plano traspuestas regularmente con las pantallas conectadas en “crossbonding” (trasposición de pantallas) y aterradas en los extremos. Nota:
1) Se entiende por fases traspuestas regularmente de las fases de una canalización cuando esta se divide en tres partes donde las fases se “rotan” de forma secuencial tal como lo indica la figura. El objeto de esta disposición es lograr que la caída de tensión sea igual en cada fase. No es usual el tendido de una terna con más de un ciclo de trasposiciones (2 trasposiciones) pero podría presentarse el caso.
R
S
T R
T
S T
R
S
FIGURA 16
2.5.6.1 TERNA DE CABLES UNIPOLARES CON LA PANTALLA ATERRADA EN UN SOLO PUNTO
En este caso, no existe circulación de corrientes inducidas en las pantallas ya que no hay un circuito de retorno para la corriente. Por tanto, no existen pérdidas térmicas a considerar en las pantallas, salvo que se consideren las pérdidas de Foucault, que normalmente son despreciables. No obstante lo anterior, es de destacar que existe una tensión inducida, que se va incrementando en su valor a lo largo de la pantalla metálica del cable, siendo máxima en su extremo no aterrado. Este sistema no es muy utilizado en Uruguay, salvo en casos de tramos cortos de conexión interna en la Estaciones de Transformación.
2.5.6.2 TRESBOLILLO CON PANTALLAS ATERRADAS EN AMBOS EXTREMOS
En este tipo de tendido la trasposición no es necesaria dada la simetría espacial de la instalación.
Para analizar este problema supondremos cables dispuestos en tresbolillo, cuyos conductores estarán representados por un conductor hueco de igual inductancia, de radio r0 y pantalla metálica cilíndrica de radio r1. Se aplicará el principio de superposición para hallar cada una de las inductancias (propias o mutuas). Para eso tomaremos uno de los 6 elementos en consideración (3 pantallas y 3 conductores) y supondremos que sólo circula corriente por él. Podemos hacer la suposición de que la corriente retorna por un conductor hueco de radio D mucho más grande que los radios r0 y r1 (ver esquema).
d
d
d
ro
r1
D
R
S
T
FIGURA 17 esquema para el cálculo de flujo (tresbolillo)
Utilizando la ecuación de Maxwell en su forma integral ∫∫ ⋅⋅=⋅CC
ndAJdlB 0µ aplicada
a este elemento antes mencionado, y dada las suposiciones dimensionales anteriores se puede asumir una geometría cilíndrica para los campos (Campos sólo tangenciales) y por lo tanto se obtiene el campo magnético B:
r
IB
⋅⋅
=πµ2
, donde Drrr ≤≤10 , ; en este caso 0µµ =
Nota: el circuito C es un circuito cerrado que incluye al conductor o pantalla por donde circula la corriente.
Si ahora se halla el flujo del campo magnético a través de una superficie que va desde la superficie de un conductor equivalente de radio r0 cualquiera o bien desde una pantalla cualquiera de radio r1 hasta el cilindro de radio D (denominada “S”, ver figura 23), se tiene que:
r0
D
r1 S
FIGURA 18 Superficie S para el cálculo del flujo
⋅⋅
=⋅
== ∫ ∫1,0
00
22)(
1,0r
DLnh
I
r
drh
IdSrB
S
D
rπ
µπ
µφ donde h es la longitud de la
superficie de integración en el sentido del eje del cable. El flujo por unidad de longitud es entonces:
ILr
DLn
I⋅=
=1,0
0
2πµ
φ donde
=1,0
0
2 r
DLnL
πµ
es la autoinductancia del
elemento que se trate. Para las mutua entre dos superficies i, j de distintas fases (sean conductores o pantallas) se hallará la parte del flujo que va desde la superficie j hasta el cilindro “D”, debido a la corriente circulando por la superficie i (Esta superficie se notará S’). Como la superficie j no es puntual en realidad la fem inducida no es homogénea en toda su superficie, lo cual genera ciertas corrientes tangenciales, que habitualmente se desprecian. La aproximación que se realiza es suponer que el elemento j es puntal y se localiza en su eje. Por tanto:
⋅⋅
=⋅
== ∫ ∫ d
DLnh
I
r
drh
IdSrB
S
D
dπ
µπ
µφ
22)( 0
'
0
donde d es la distancia entre conductores, por lo tanto la inductancia mutua entre i y j es:
=d
DLnM ji π
µ2
0,
cuando se trata de la pantalla y conductor de la misma fase en lugar de la distancia d se debe utilizar el radio r1.
Aplicando entonces superposición para hallar la fem en la pantalla de la fase R, podemos plantear la siguiente ecuación:
shTshSshRTSRshR Id
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
=
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
φ222222
00
1
000
1
0
dado que las corrientes de los conductores y las pantallas están equilibradas, podemos imponer que la suma de las corrientes sea nula, por lo que:
0=++ TSR III
0=++ shTshSshR III
sustituyendo en la ecuación anterior:
+
⋅=
=
−
+
−
⋅=
1
0
1
0
0
1
00
1
0
22
2222
r
dLnI
r
dLnI
d
DLn
r
DLnI
d
DLn
r
DLnI
shRR
shRRshR
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
φ
El resultado es similar para las otras pantallas de las otras fases (S, T). Resolviendo el circuito formado por la pantalla y tierra obtenemos, para frecuencias industriales (ω):
0=⋅+ shRshshR IRjωφ
donde Rsh es la resistencia eléctrica de la pantalla a la temperatura de operación.
Se observa que el término
⋅
1
0
2 r
dLnjIR π
µω corresponde a la f.e.m. inducida por
los conductores de los cables, y el término
⋅
1
0
2 r
dLnjI shR π
µω es la caída de
tensión provocada por la autoinductancia de la pantalla.
Operando en las ecuaciones anteriores y llamando
⋅=
1
0
2 r
dLnX sh π
µω
( ) 0=++⋅ shshshRRsh jXRIIjX
despejando la corriente en la pantalla, ( )shsh
RshshR
jXR
IjXI
+⋅−
= y tomando los módulos:
( )shsh
Rsh
shR
XR
IXI
22 +
⋅=
Las pérdidas en la pantalla de la fase R son por lo tanto:
( ) ( )
+
⋅=+
⋅⋅=
+
⋅=
1
1...
2
222
22
22
22
sh
shR
shR
shsh
RRsh
R
sh
shsh
Rsh
shshR
X
RR
RW
XR
RIX
R
R
XR
IXRW
Donde WR son las pérdidas Joule en la fase R y RR es la resistencia de la fase R.
Si llamamos
+
=
1
1
2
21
sh
shR
sh
X
RR
Rλ entonces:
1λ⋅= RshR WW
El coeficiente1λ coincide con el de la norma IEC 60287 y relaciona las pérdidas Joule
con las pérdidas en las pantallas.
2.5.6.3 TENDIDO PLANO CON FASES TRASPUESTAS REGULARMENTE, CON LAS PANTALLAS ATERRADAS EN AMBOS EXTREMOS DEL TENDIDO
d
ro
r1
D
d
R S TIIIIII
T R SS T R
FIGURA 19 esquema para el cálculo de flujo (tendido plano con transposiciones) El análisis es muy similar a la parte anterior y las hipótesis que se suponen también. Lo que haremos será calcular el flujo para cada uno de los tramos (I, II, III). Por ejemplo el flujo de la pantalla de la fase R (por unidad de longitud) quedaría para los distintos tramos:
shTshSshRTSRshRI I
d
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
=
22222222
00
1
000
1
0
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
φ
shTshSshRTSRshRII I
d
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
=
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
φ222222
00
1
000
1
0
shTshSshRTSRshRIII I
d
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
=
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
φ22222222
00
1
000
1
0
Considerando que el flujo en la pantalla de la fase R es el promedio de los tres anteriores, obtenemos que:
shTshSshRTSRshR Id
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn ⋅
⋅
+⋅
⋅
+⋅
+⋅
⋅
+⋅
⋅
+⋅
=
3
0
3
0
1
0
3
0
3
0
1
0
2222222222 πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
πµ
φ
Si imponemos las ecuaciones de Kirchoff para las corrientes:
0=++ TSR III
0=++ shTshSshR III
Entonces obtenemos,
shRRshR Id
DLn
r
DLnI
d
DLn
r
DLn ⋅
⋅
−
+⋅
⋅
−
=
3
0
1
0
3
0
1
0
222222 πµ
πµ
πµ
πµ
φ
Análogamente al caso anterior si resolvemos el circuito formado por la pantalla y tierra obtenemos, para frecuencias industriales:
0=⋅+ shRshshR IRjωφ donde Rsh es la resistencia eléctrica de la pantalla a la
temperatura de operación.
Operando en las ecuaciones anteriores y llamando
⋅⋅=
1
30 2
2 r
dLnXsh π
µω obtenemos:
( ) 0=++⋅ shshshRRsh jXRIIjX
despejando la corriente en la pantalla, ( )shsh
RshshR
jXR
IjXI
+⋅−
= y tomando los módulos:
( )shsh
Rsh
shR
XR
IXI
22 +
⋅=
Las pérdidas en la pantalla de la fase R son por lo tanto:
( ) ( )
+
⋅=+
⋅⋅=
+
⋅=
1
1...
2
222
22
22
22
sh
shR
shR
shsh
RRsh
R
sh
shsh
Rsh
shshR
X
RR
RW
XR
RIX
R
R
XR
IXRW
Donde WR son las pérdidas Joule en la fase R y RR es la resistencia de la fase R.
Si llamamos
+
=
1
1
2
21
sh
shR
sh
X
RR
Rλ entonces:
1λ⋅= RshR WW
El coeficiente
1λ coincide con el de la norma IEC 60287 y relaciona las pérdidas Joule con las pérdidas en las pantallas. Hacemos notar que este coeficiente hallado
1λ difiere del coeficiente 1λ hallado para el
caso del tendido en tresbolillo en un factor 3 2 dentro de la función logaritmo.
2.5.6.4 TRES FASES EN TENDIDO PLANO TRASPUESTAS REGULARMENTE CON LAS PANTALLAS CONECTADAS EN “CROSSBONDING” Y ATERRADAS EN LOS EXTREMOS.
Cuando se utiliza el tendido plano con transposiciones regulares, la separación de las fases hace que la temperatura de los cables disminuya levemente respecto del tendido en tresbolillo. Sin embargo este efecto es compensado por el aumento de las pérdidas en las pantallas de cada fase, ya que de las fórmulas anteriores se observa un aumento de la inductancia de la pantalla, a consecuencia justamente de esa mayor separación. La forma de aprovechar la mejoría de la separación de fases es directamente intentar eliminar las pérdidas por circulación de corriente en las pantallas, para ello se utiliza la permutación circular de pantallas (crossbonding) según el siguiente montaje:
RST
I R
I S
I T
I shTI shS
I shR
T ra m o I T ram o II T ra m o III
FIGURA 20 Conexionado en Crossbonding
Nota: El montaje en “crossbonding” podría hacerse también en un tendido en tresbolillo, sin embargo, no es prácticamente utilizado en este caso, ya que es más provechoso usarlo en tendido plano con separación de fases, en virtud del sobrecosto de este montaje (típicamente el montaje en “crossbonding” implica el uso de cajas de empalme especiales, para hacer el cruzamiento de pantallas en el punto de unión de los tramos de transposición. Independientemente del largo del tendido se necesitan dos cajas de empalmes de este tipo).
Supongamos entonces que los tramos I, II y III son iguales, de largo “h”. Si calculamos por superposición el flujo en la pantalla de la fase R en cada tramo, se tiene que:
⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
⋅
⋅=Φ TSRshTshSshR
I
shR Id
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLnh
222 11
0
πµ
⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
⋅
⋅=Φ RTSshTshSshR
II
shR Id
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLnh
222 11
0
πµ
⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
⋅
⋅=Φ SRTshTshSshR
III
shR Id
DLnI
d
DLnI
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLnh
222 11
0
πµ
Ahora bien, la expresión: h
III
shR
II
shR
I
shRshR
3
Φ+Φ+Φ=Φ es el flujo medio por unidad de
longitud sobre la pantalla de la fase R, que vale:
=
++⋅
+
++⋅
+
++⋅
+⋅
+⋅
+⋅
⋅
=Φ323322 11
0 SRTRTSTSRshTshSshRshR
III
d
DLn
III
d
DLn
III
r
DLnI
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn
πµ
⋅
+⋅
+⋅
⋅
= shTshSshR Id
DLnI
d
DLnI
r
DLn
22 1
0
πµ ya que se supuso 0=++ TSR III
Análogamente, se pueden obtener expresiones para los flujos en las otras pantallas:
⋅
+⋅
+⋅
⋅
=Φ shRshTshSshS Id
DLnI
d
DLnI
r
DLn
1
0
2πµ
⋅
+⋅
+⋅
⋅
=Φ shRshSshTshT I
d
DLnI
d
DLnI
r
DLn
22 1
0
πµ
en las cuales los términos que generan f.e.m. inducida también se anulan.
Si se resuelve ahora el sistema:
=+Φ
=+Φ
=+Φ
0
0
0
shTshshT
shSshshS
shRshshR
IRj
IRj
IRj
ω
ω
ω
La solución es: 0=== shTshSshR III con lo que se anulan las corrientes en las
pantallas. Por tanto, el coeficiente de pérdidas por circulación de corriente inducida en
las pantallas (λ1) es nulo en el montaje en “crossbonding”, a condición de que los tres tramos I, II y III sean iguales. Nota: En la práctica siempre existirán pequeñas diferencias en el largo de los tramos de la transposición. Cuando esto sucede, el cálculo anterior deja de ser válido, ya que las f.e.m. inducidas por pantalla no se anulan totalmente, por lo que las corrientes en las mismas tampoco lo hacen. Además, la simetría del problema desaparece, y las corrientes inducidas en las pantallas son diferentes por cada fase. Para este caso, la norma IEC 60287 establece una aproximación, que consiste en calcular la corriente en una pantalla cualquiera como si no existiera cruzamiento de pantallas (manteniéndose el montaje en tendido plano con transposiciones) y afectándola por un factor:
tot
mintot
h
hh 3− donde hmin es el tramo más corto de los tramos I, II y III y htot el largo total del
tendido. Si notamos los otros tramos mayores como p x hmin y p x hmin entonces el coeficiente anterior se escribe:
( )( ) qp
qp
qph
hqph
h
hh
min
minmin
tot
mintot
++−+
=++
−++=
−
1
2
1
313 y por tanto el coeficiente de pérdidas residual en
este caso será aproximado al del tendido plano con transposiciones (sin cruzamiento de pantallas), afectado por el cuadrado del coeficiente anterior.
3 PLANTEO Y RESOLUCIÓN DEL MODELO TÉRMICO-ELÉCTRICO Una vez calculadas las resistencias térmicas y las distintas fuentes de calor involucradas, se puede plantear el siguiente circuito que modela el fenómeno físico de transferencia de calor:
I²R
Wd/2
Wd/2
T1 T3 T4Θ cond. Θ
pantalla
Θamb.del terreno
λ1 I²R
1
2
2 T
WRI
pantallaconddθθ −
=+
43
.
1
2
12 TTT
WRI
ambpantallapantallacondd
+
−=
−++⋅
θθθθλ
de la primer ecuación se despeja θpantalla obteniéndose:
+⋅−=2
2
1d
condpantalla
WRITθθ
reemplazando en la segunda ecuación podemos despejar la temperatura en el conductor.
43
.
2
122
1
2
22 TT
WRIT
WRI
WRI
ambd
cond
dd
+
−
+⋅−=+++⋅
θθλ
( )
( ) ( )( )dd
dddambcond
WRITTW
RIT
WRI
WRITT
WRIT
++++
+⋅=
=
+++⋅++
+⋅=−
12
222
1
2
43
2
1
22
143
2
1.
λ
λθθ
Donde las fuentes de “corriente” representan las pérdidas en los distintos elementos del cable (se recuerda que para este análisis se toma siempre el cable más caliente del tendido, en virtud de lo ya explicado en el cálculo de la resistencia térmica del terreno (punto 6.2).
Para las pérdidas dieléctricas se utiliza el modelo “π”, dividiéndose éstas en dos partes a un lado y otro de la resistencia térmica del aislante (esto se utiliza para evitar un análisis diferencial, ya que las pérdidas dieléctricas se producen en todo el volumen del aislante). La temperatura de interés es la del conductor pues el punto más comprometido de la aislación es el que está en contacto con este último. Despejando de la ecuación anterior la corriente:
( )
( ) ( )4311
431
.
1
2
TTRTR
TTT
W
I
dambcond
+⋅+⋅+⋅
++⋅−−=
λ
θθ
Esta es la corriente máxima admisible en régimen permanente dada una temperatura media del terreno y una temperatura máxima de operación para el aislante (para su cálculo se toma θcond. = Temperatura máxima de operación para el aislante que en el caso particular del aislante en XLPE o EPR es de 90°C).
3.1 CÁLCULO ITERATIVO En la práctica, a los efectos del cálculo con valores reales, se observa que existen parámetros que dependen del resultado final que se pretende calcular, a saber, de la propia corriente admisible en régimen permanente. Ellos son:
a) El factor λ1: Éste depende de la resistencia eléctrica de la pantalla metálica, la cual a su vez depende de temperatura a la que ésta se encuentre (θpant). No es posible saber el valor de esta última temperatura, hasta no calcular el valor de la corriente.
b) La resistencia térmica del aire contenido en el ducto (cuando existe): Se había visto en el punto 6.4.2 que ésta resistencia térmica depende de la temperatura media del aire en el ducto, que se asume como el promedio de la temperatura de la cubierta del cable y la temperatura de la pared interna del ducto. Igual que en el caso a) no es posible saber a priori el valor de ninguna de estas temperaturas, ya que dependen de la propia corriente que se pretende calcular.
Si bien puede hacerse una estimación de tales temperaturas y quedarse con el primer valor calculado, la solución más correcta y que aporta el perfil de temperaturas real en todos los puntos del circuito térmico, es un cálculo de tipo iterativo (*)
(*) – En el caso de instalaciones de cables de Baja Tensión directamente enterrados, no es necesario un cálculo iterativo, debido a que no existen pantallas metálicas ni ductos. La corriente admisible se halla directamente por la fórmula ya descripta.
Para comprender el método iterativo, se reproduce a continuación el circuito térmico para el caso mas general, explicitando las resistencias térmicas del aire en el ducto y las del propio ducto:
W d/2
W d/2 λ1 I²R
T1 T3T4t (T4''')θ cond. θ pant. θ am b.
T4a (T4')
T4d (T4'')
θ cub. θ ducto
I²R
En función del mismo, se pueden despejar las temperaturas de interés:
( )[ ] ( )( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ambtdadpant
cubd
m
ambtdadcub
ambtddd
TTTTRIW
TTTRIW
TTRIW
θλθ
θθθ
θλθ
θλθ
++++⋅⋅++=
+=
+++⋅⋅++=
++⋅⋅++=
4443
2
1
444
2
1
44
2
1
1
2
1
1
Ahora bien, el método consiste en lo siguiente:
1) Estimar las temperaturas de la pantalla metálica (θpant) y la temperatura media del aire contenido en el ducto (θm)
2) Resolver el circuito térmico, o sea calcular la corriente admisible 3) Recalcular con el valor obtenido en el paso 2), los nuevos valores de θpant y
θm 4) Volver a calcular la corriente
Se repite este procedimiento, hasta que en un paso la diferencia entre el valor actual y el valor anterior de θpant sea porcentualmente inferior a una cierta precisión requerida. Allí se detiene el proceso, tomándose como resultado el último valor de corriente obtenido.
Nota: se toma θpant porque es la temperatura de recálculo que se encuentra mas cerca del conductor, y por tanto la que variará mas con las iteraciones. El número de iteraciones en un cálculo práctico es del orden de cinco, para una precisión de 0,001 %. Se entiende por número de iteraciones a la cantidad de veces que se calcula la corriente y las temperaturas, por tanto, el mínimo de iteraciones es uno, y corresponde al caso descrito en (*).
![[Geotecnia] Manuel Romana - Cálculo de Asientos Admisibles](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5571f95949795991698f5e62/geotecnia-manuel-romana-calculo-de-asientos-admisibles.jpg)
