DT Bölüm 4 Devre Analiz Yöntemleri Yeni (1)

DEVRE ANALİZ YÖNTEMLERİ

Bölüm 4: Devre Analiz YöntemleriHazırlayan: Ertuğrul ErişReferans kitap:Electric Circuits, Nilsson, RiedelPearson, Prentence Hall,2007

Ekim 2009 Ertuğrul Eriş 2

DEVRE ANALİZ YÖNTEMLERİ

Terminoloji Düğüm Gerilimleri Yöntemi

Bağımlı kaynaklı Özel durumlar

Çevre Akımları Yöntemi Bağımlı kaynaklı Özel durumlar

Düğüm gerilimleri ile çevre akımları yöntemlerinin karşılaştırılması

Kaynak eşdeğerlilikleri Thevenin ve Norton eşdeğerlikleri Maksimum güç transferi Çarpımsallık toplamsallık


TERMİNOLOJİ

Düğüm(node): İki veya daha fazla devre elemanının bağlı olduğu yer

Yol (path): bir elemandan en fazla bir defa geçmemek koşuluyla, komşu devre elemanları izlenerek gidilen yol,

Çevre (loop): başlangıç ve son düğümleri aynı olan yol

Göz (mesh): İçinde bir başka çevrim içermeyen çevrim

Gözlü devre (Planar circuit)


ÖRNEK DEVRE

DüğümlerÇevrimlerÇevreler

Gözlü devre


DEVRE ÇÖZÜMÜ-1 Bir devreye ilişkin bilinenler

Devre topolojisi Elemanların tipi, ( tanım bağıntıları) , Eleman sayısı (ne) Bağımsız kaynaklar (Akım ve/veya gerilim)

Bir devreye ilişkin bilinmeyenler Her bir elemana ilişkin akım ve gerilimler (2ne)

Çözüm için gerekli denklemler Düğümlere ilişkin Kirchhoff’un Akımlar Denklemleri (KAD)

Sayısı nd

Bağımsızların sayısı nd-1, biri referans düğümü Çevrelere ilişkin Kirchhoff’un Gerilim Denklemleri (KGD)

Sayısı hemen söylenemez Bağımsızların sayısı, (gözlü devrelerdeki göz sayısı kadar) ne- (nd-1)

Tanım bağıntıları sayısı ne

Denklem/ Bilinmeyen sayısı Toplam denklem sayısı: (nd-1) + ne- (nd-1) + ne = 2ne

Bilinmeyen sayısı : 2ne

Tanım bağıntıları lineer olan elemanlardan oluşan devreler Lineer devrelerdir, bu devrelere ilişkin denklemlerde lineerdir. Tanım bağıntılarında türev olmayan, lineer

elemanlaradan oluşan devrelere ilişkin devre denklemleri lineer cebirseldir.

Tanım bağıntılarında türev olan, lineer elemanlaradan oluşan devrelere ilişkin devre denklemleri lineer diferansiyeldir.


DEVRE ÇÖZÜMÜ-2

Lineer bağıntı, lineer cebirsel ve lineer diferansiyel denklem tanımları.


MİNUMUM SAYIDA DENKLEM İLE DEVRE ÇÖZÜMÜNE ÖRNEK

(2ne) Bilinmeyen/denklem incelendi Acaba daha az Bilinmeyen/denklem-

Yeni değişkenler Düğüm gerilimleri yöntemi

(nd-1) denklem

Çevre akımları yöntemi ne-(nd-1) denklem


DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ (Node-

Voltage Method) İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-1 Düğüm gerilimi: herhangi bir düğüme

ilişkin düğüm gerilimi, bu düğüm ile ile seçilen referans düğümü arasındaki gerilim farkıdır. Referans düğümün düğüm gerilimi 0 dır.

Herhangi bir elemana ilişkin gerilim, o elemanın bağlı olduğu düğümlere ilişkin düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilebilir.

Düğüm gerilimleri sayısı (nd-1) dir Referans düğüm gerilimi sıfırdır.


DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ (Node-

Voltage Method) İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-2

1.AdımKGA

Eleman Gerilimleri

ne-nd+1

ne

2.Adım

Eleman Akımları

ne-nd+1

ne

3.Adım

Çevre Akımları

ne-nd+1

ne-nd+1

Denklem sayısı

Bilinmeyenler

Bilinmeyensayısı

Tanım Bağıntısı

Yeni değişkenler

Çevre Akımları

AX=B

Eleman Akımları

Eleman Gerilimleri

Tanım bağıntıları


DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİNE BİR ÖRNEK(iki adımda)

i1

i2

i3

i4i5

2 31

Vd1=10vVd2=9.09vVd3=10.91vİ1=-1.82A


DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİNE BİR ÖRNEK(tek adımda)

i1

i2

i3

i4i5

321


BAĞIMLI KAYNAKLI DEVRELER İÇİN DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİ

Yöntem aynen uygulanır, nd-1 bilinmeyen (düğüm gerilimleri) ve nd-1 denklem (KAD), ilave olarak

Bağımlı kaynaklardan dolayı ek bilinmeyenler gelebilir Her bir bağımlı kaynak için ek denklem(supplementary) yazılır

Bağımlı gerilim kaynakları varsa, Akımları ek bilinmeyenler olarak gelir, Tanım bağıntıları, düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilerek, her biri

için düğüm gerilimleri arasında bir bağıntı bulunur (ek denklemler) Sonuç, ek bilinmeyen kadar ek denklem yazıldığı için, bilinmeyen

sayısı ve denklem sayısı aynı Bağımlı akım kaynakları varsa,

Akım denklemlerinde bilinmeyen olarak görülen bağımlı kaynak akımları yerine, tanım bağıntılarından yaralanarak düğüm gerilimleri cinsinden ifadeleri konulur

Sonuç, bilinmeyenler ve denklem sayısı aynen kalır, değişmez.

Süperdüğüm(supernode) uygulaması incelemeyeceğiz


i1

i2

i3 i4

i5

BAĞIMLI KAYNAKLI BİR DEVRENİN DÜĞÜM GERİLİMİ YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ

2 31 4

Bağımlı gerilim kaynağı yerine, bağımlı akım kaynağı olsa ne olurdu?Bağımlı kaynaklar, toprak dışında iki düğüm arasına bağlı olsa ne olurdu?

Vd1=20vVd2=16vVd3=10vİφ=1.2AVd4=9.6vİv=-2A


DÜĞÜM GERİLİMLERİ YÖNTEMİNİN DOĞRUDAN UYGULAMASI MATRİSEL AX=B (Nilsson’da yok)

aij xi bi=

A X B


BİR BAŞKA ÖRNEK


ELEKTRONİKTEN BİR ÖRNEK

Bu örnekte olduğu gibi aralarında bir elemanın bulunmadığı iki düğüm arasındaki gerilime bağlı

bir bağımlı kaynak olabilir


ÇEVRE AKIMLARI (Mesh-Current Method) YÖNTEMİ İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-1

Çevre akımı: herhangi bir çevrede dolanan fiktif(sanal) akımdır.

Herhangi bir elemana ilişkin akım, o elemanın içinde bulunduğu çevrelere ilişkin çevre akımları cinsinden ifade edilebilir. Eleman akımı; eleman akımı ile aynı yönde

olan çevre akımları pozitif, ters yönde olanları negatif alınarak bulunan cebirsel toplama eşittir.

Bağımsız çevre akımları sayısı: ne -(nd-1), yani bağımsız akım denklemleri sayısı, yani planar devrelerdeki göz(mesh) sayısı kadardır.

Yöntem (Yalnızca bağımsız kaynaklar varken) ne -(nd-1) çevreye (gözlere, mesh) ilişkin bağımsız KGD

yazılır, Bu denklemlerdeki gerilimler yerine, tanım bağıntıları

kullanılarak, eleman akımlarına geçilir, bağımsız akım kaynaklarının gerilimleri bilinmeyen olarak

kalır. eleman akımları yerine çevre akımları yazılır. Bağımsız akım kaynaklarının akımı çevre akımları cinsinden

yazılır. ne -(nd-1) + bağımsız akım kaynağı sayısı kadar

denklemli ve bilinmeyenli (çevre akımları+bağımsız akım kaynaklarının gerilimleri) denklem takımı elde edilir.

Çevre akımları bulunduktan sonra Eleman akımları, çevre akımlarından yararlanarak bulunur. Eleman gerilimleri tanım bağıntılarından yararlanılarak

bulunur.


ÇEVRE AKIMLARI (Mesh-Current Method) YÖNTEMİ İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-2


ÇEVRE AKIMLARI YÖNTEMİ (Mesh-

Current Method) İLE DEVRE ÇÖZÜMÜ-2

1.AdımKAA

Eleman Akımları

Nd-1

ne

2.Adım

Eleman Gerilimleri

Nd-1

ne

3.Adım

Düğüm Gerilimleri

Nd-1

nd-1

Denklem sayısı

Bilinmeyenler

Bilinmeyensayısı

Tanım Bağıntısı

Yeni değişkenler

DüğümGerilimleri

AX=B

Eleman Gerilimleri

Eleman Akımları

Tanım bağıntıları


ÇEVRE YÖNTEMİNE İLİŞKİN ÖRNEK

R1=1Ω

10v

i2

is i4

Vd1 Vd2 Vd3i1

i3

R2=2Ω

R3=5Ω R4=10Ω2A

İç2İç1

İç3

İç1=0.87Aİç2=-0.94A


BAĞIMLI KAYNAKLI DEVRELER İÇİN ÇEVRE AKIMI YÖNTEMİ

Yöntem aynen uygulanır: ne-nd-1 (KGD) denklem, ne-nd-1 (Çevre akımları) bilinmeyen

Bağımlı kaynaklardan dolayı ek bilinmeyenler gelebilir Her bir bağımlı kaynak için ek denklem(supplementary) yazılır Bağımlı akım kaynakları var ise,

bunların gerilimleri bilinmeyen olarak gelir Tanım bağıntıları, çevre akımlarıcinsinden ifade edilerek, her biri için

çevre akımları rasında bir bağıntı bulunur (ek denklemler) Sonuç, ek bilinmeyen kadar ek denklem yazıldığı için, bilinmeyen sayısı

ve denklem sayısı aynı Bağımlı gerilim kaynakları varsa,

Bilinmeyen bağımlı gerilim kaynağı gerilimi, tanım bağıntısı kullanılarak, çevre akımları cinsiden yazılır,

Sonuç, denklem sayısı değişmez. Süperçevre(supermesh) uygulaması

incelemeyeceğiz


i1

i2

i3

i4

BAĞIMLI KAYNAKLI BİR DEVRENİN ÇEVRE AKIMI YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜNE ÖRNEK

)()(

)(

)()(

)(

2121

10

2121

220

1

1

1

1

RRRRR

RvRvi

RRRRR

RvRvRvi

E

Eccb

E

Ecccca


ÇEVRE AKIMLARI YÖNTEMİNİN DOĞRUDAN UYGULAMASI MATRİSEL CX=B (Nilsson’da yok)

cij x bi=

C X B


HANGİ YÖNTEM: DÜĞÜM GERİLİMİ, ÇEVRE AKIMI

Bağımsız düğüm denklemi sayısı : Herhangi (nd-1) düğüm sayısı + kaynak

sayısı

Bağımsız çevre denklemi sayısı: Göz gözlere ilişkin çevre sayısı (ne-nd+1) +

kaynak sayısı


KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ

Devre çözümüne katkıda bulunacak uygulamalar

Yazılacak denklem (değişken sayısını) azaltmak

Bağımsız gerilim kaynağına(vs) bağlı bir seri direnç (R), Akımı (vs/R) olan akım kaynağına paralel bağlı (R) direncine eşdeğerdir.


KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ-1

EŞDEĞERLİK:a-b uçları arasına, gerilim kaynağı ve ona seri bağlı direnç veya akım kaynağı ve ona paralel bağlı direnç bağlansa, a-b uçlarının sağındaki devrede hiçbir değişiklik olmaz.Is=Vs/R Vs=RIs

Is=Vs/R

Vs=RIs


KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ-2

Vab

+

I = V/R

+

RL R

b b

Vab

+

RL

R

VabV =R I

+

RL

a

b

+

R

a

b

Vab

+

RL

R

Vs

Is

Is=Vs/R

Vs=RIs


KAYNAK DÖNÜŞÜMLERİ ÖRNEK

Bu devreyi, düğüm gerilimleri veya çevre akımları yöntemi ile çözmek istesek kaç denklem kaç bilinmeyen olur?


THEVENİN EŞDEĞERLİĞİ 1


THEVENİN EŞDEĞERLİĞİ 2


THEVENİN EŞDEĞERLİĞİ 3 Devredeki belli elemanların elektriksel büyüklükleri ile

ilgileniliyorsa, bu eşdeğerlikler kolaylıklar sağlar Bir A devresi bir başka devre B devresini besliyorsa, A

devresinin eşdeğerini kullanarak B devresini analiz edebiliriz

Vth, A devresi ab uçlarına, RL direnci bağlı değilken, yani açık devre iken ki V0 gerilimidir

Rth ise, A devresinin ab uçları kısa devre edildiğinde akan kısa devre akım I0 hesablanıp, Rth=V0/I0 bulunur


i1i2

THEVENİN EŞDEĞERLİĞİNE ÖRNEK-1


i2

i1

THEVENİN EŞDEĞERLİĞİNE DİĞER YOLA ÖRNEK-2



Vth=-5v;



Isc=-50 mA; Rth=100Ω


THEVENİN-NORTON/KAYNAK DÖNÜŞÜMÜ

Thevenin eşdeğeri:Vs=Vth

R=Rth

Vth=açık devre gerilimi

Norton Eşdeğeri eşdeğeri:Is=Isc

R=Rn

Isc=kısa devre akımı

R=Rth=Rn=Vth/Isc


THEVENİN VE NORTON EŞDEĞERLİKLERİ İÇİN DİĞER BAKIŞ

Rth aynı zamanda, kaynaklar devre dışı edildiğinde ab uçlarından sola bakıldığında görülen dirençtir.

Bir devreye ilişkin bir çift uçtan (ab) görülen direncin hesaplanması için önce devredeki bağımsız kaynaklar devre dışı yapılır: Bağımsız gerilim kaynakları kısa devre Bağımsız akım kaynakları açık devre

Sonra (ab) uçlarına bir bağımsız gerilim kaynağı bağlanır (V1), devreye verdiği akım hesaplanır (I1)

Bağımsız gerilim kaynağının hesaplanan akıma oranı (ab uçlarından görülen direnci verir (R=V1/I1)

Norton eşdeğer devresi, Thevenin devresinin akım kaynağı eşdeğeridir.


MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ

Bir devreye bağlı yüke maksimum güç transfer edebilmek için yük direnci ne olmalıdır?

Bir devreyi Thevenin eşdeğeri olarak düşünüp, yükteki gücü hesaplayıp, yüke göre türevini alıp sıfıra eşitleyip RL yükünü buluruz oda Thevenin direncine (Rth) eşittir. RL= Rth


MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ-1


MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ-2


(ab) UÇLARINA MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ İÇİN R NE OLMALIDIR?


MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ ÖRNEĞİ

i1 i2

Rth

+


MAKSİMUM GÜÇ TRANSFERİ ÖRNEĞİ

R th

Rth=3Ω

iç1

iç2 v

+I

Rth= V/I


SÜPERPOZİSYON: TOPLAMSALLIK; ÇARPIMSALLIK ÖZELLİKLERİ

Toplamsallık Bir devrede (Lineer) kaynakların tek başına

olduklarında Diğer kaynaklar devre dışı

yani gerilim kaynakları kısa devre akım kaynakları açık devre

bulunan çözümlerin toplamı, kaynakların hepsi birlikte devrede iken ki

çözümüne eşittir. Çarpımsallık

Kaynaklar k katına çıkarılırsa, çözümde k katına çıkar

Matematiksel olarak bu bağıntıyı nasıl tanıtlarız?


TOPLAMSALLIK ÖZELLİKLERİ-1

i1=17 A, i2=6A, i3=11 A, i4=-1 A,


i’1=15 A, i’2=10A, i’3=5 A, i’4=5 A,



i1=17 A, i2=6A, i3=11 A, i4=-1 A,i’1=15 A, i’2=10A, i’3=5 A, i’4=5 A,

i’’1=2 A, i’’2=-4A, i’’3=6 A, i’’4=-6 A,


Akımlar için geçerli olan bu toplamsallık gerilimler içinde geçerli olur mu? Neden?

SÜPERPOZİSYON: ÇARPIMSALLIK TEOREMİ

Lineer bir devrede bütün bağımsız kaynaklar ‘k’ katına çıkarıldığındaDevrenin çözümüde ‘k’ katına çıkar. Lineer denklemlerin özelliğinden

doğrudan tanıtlanabilir.


Documents

DT Bölüm 4 Devre Analiz Yöntemleri Yeni (1)