Du concret à l’abstrait

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

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NumérationNumération

Les méthodes de numération se sont souvent développées en fonction des besoins des utilisateurs.

Introduction

L’invention de symboles et de mots pour désigner les quantités est le fruit d’une démarche d’abstraction qui n’est pas évidente en soi. Dans cette présentation, nous allons voir différentes tentatives pour représenter et manipuler les nombres.

À l’origine, les quantités ne sont pas désignées par un nombre mais par une collection d’objets concrets, les entailles sur un bâton ou les cailloux dans un sac. Ce sont des numérations concrètes.

Les premières sociétés agraires ont vu le jour dans la région du Croissant fertile, les populations vont y trouver à se nourrir sans avoir à se déplacer au gré des saisons.

Croissant fertile

C’est une région où les précipitations annuelles sont supérieures à 200 mm de pluie, où poussent le blé et l’orge sauvages et où il y a beaucoup de moutons et de chèvres sauvages. C’est la production et le contrôle des surplus agricoles qui constituaient les fondements et la richesse de ces sociétés. Leur fonctionnement nécessitait un système de gestion complexe.

Besoins des sociétés agrairesL’accumulation, le contrôle et le commerce de ces

surplus nécessita le développement de métiers

spécialisés : archi-tectes, ouvriers, soldats. Les

excédents de production sont utilisés pour acquérir

des biens en provenance de régions éloignées et

pour ériger des monuments, des fortifications, etc.

Les échanges commerciaux, la comptabilité des

récoltes, la rémunération des soldats et des ouvriers

nécessitaient l’utilisation de systèmes de gestion et

de numération dont les sociétés de chasseurs-

cueilleurs n’avaient pas besoin.

Les premières sociétés implantées dans la région du Croissant fertile ont utilisé une numération concrète en confectionnant des « jetons-calculi » en argile crue ou en terre cuite.

Jetons-calculi

Les découvertes archéologiques ont permis de constater qu’il y a eu deux modes d’utilisation des jetons-calculi.

La première méthode est celle des jetons striés et perforés qui pouvaient être enfilés sur une ficelle.

L’autre méthode consiste à utiliser une bulle-enveloppe, sphère d’argile séchée, dans laquelle on enferme des jetons-calculis.

Bulle-enveloppe

La bulle-enveloppe est cachetée par le déroulement d’un sceau cy-lindrique qui laisse son empreinte à la surface. La bulle-enveloppe est également utilisée pour sceller les termes d’une entente ou d’un contrat entre deux personnes. Ces bulles ne sont pas cuites. Le des-tinataire doit l’ouvrir pour en véri-fier le contenu.

Sceaux cylindriques

Empreintes de sceaux cylindriques

Empreintes de sceaux cylindriques

Un des inconvénients de la bulle est le fait que pour vérifier son contenu il faut la briser. Pour pallier à cet inconvénient, on a commencé à laisser sur la surface des bulles-enveloppes une empreinte des jetons-calculi qu’elle contenait. On s’est alors rapidement rendu compte qu’il était superflu de sceller les jetons-calculi dans une bulle. Il suffisait d’indiquer ce nombre sur une tablette d’argile.

Empreintes dans l’argile

L’information est alors directement accessible. Pour garantir l’information imprimée sur la tablette, celle-ci est marquée d’un sceau, qui peut être celui de l’expéditeur ou du témoin de l’entente.

Première abstractionLa nécessité de représenter de grands nombres a incité les utilisateurs à concevoir des jetons-calculi qui représentaient plusieurs unités d’un même produit. Ainsi, on utilisa :• un petit cône pour désigner l’unité;

• Une petite bille pour représenter un regrou-pement de dix unités;

• un grand cône pour représenter un regrou-pement de 60 unités;

• Un grand cône perforé pour représenter un regroupement de 60X10 unités.

La forme du jeton ne représente plus la denrée mais simplement une quantité qui est imprimable sur une tablette d’argile.

Première abstractionIl devint alors possible de représenter de plus grand nombres sans avoir à reproduire plusieurs fois le même symbole.

Nos sources de renseignements sur les mathématiques babyloniennes sont essentiellement les tablettes d’argile retrouvées lors de fouilles archéologiques entreprises au XIXe siècle. L’empreinte obtenue en enfonçant un objet dans l’argile est la méthode la plus simple d’y faire une marque et, surtout, d’avoir une marque dont la forme sera toujours facilement reconnaissable.

Civilisation babylonienne

Les tablettes d’argile étaient gravées à l’aide d’un calame, tige de roseau biseautée. L’empreinte du calame donne un « coin », du latin cuneus, d’où l’appellation d’écriture cunéiforme. Selon l’orientation du calame, le coin sera vertical, oblique ou horizontal.

On peut faire varier la forme du coin en enfonçant plus ou moins profondément le calame dans l’argile et en modifiant l’angle selon lequel celui-ci est enfoncé. On peut également modifier la forme par une rotation du poignet en enfonçant le calame. Ces tablettes, après avoir été gravées, étaient cuites, ce qui les a rendu très résistantes et leur a permis de défier le temps.

Écriture cunéiforme

Parmi les tablettes retrouvées, une centaine portent sur les mathématiques. Elles comportent des séries de nombres, des relations géométriques et des listes de problèmes. Elles comportent des tables de multiplication, des nombres et leur réciproque, des carrés et des cubes de nombres ainsi que quelques relations numériques comportant des exposants.

Les premiers symboles pour représenter les nombres en cunéiforme étaient des dessins représentant les objets de la numération concrète et obtenus en imprimant le calame dans l’argile. La table ci-contre en donne la signification.

Symboles numériques

L’écriture cunéiforme des nombres va évoluer pour ne retenir que deux des symboles apparaissant au tableau précédent.

Symboles de numération cunéiforme

pour représenter l’unité et qui peut être répété jusqu’à neuf fois.

pour représenter une dizaine et qui peut être répété jusqu’à cinq fois.

Les symboles sont groupés en paquets. Chaque paquet peut représenter les nombres de 1 à 59. La valeur du paquet dépend de deux choses :

• Le nombre de fois que ces deux symboles sont répétés dans le paquet;

• la puissance de 60 correspondant à la position du paquet dans le nombre.

Un système de numération est un système d’écriture des nombres à l’aide de symboles. Le système babylonien n’a conservé que deux symboles mais la valeur de position des groupements permettait aux scribes de représenter de très grands nombres. Voici quelques exemples :

Système de numération babylonien

1X60 + 12 = 72

13X60 + 13 = 793

12X602 + 31X60 + 22 = 45 082

Le système babylonien est à la fois un système positionnel à base 60 et un système additif à base 6 et 10.

Bases du système babylonien

C’est un système positionnel à base 60 puisque la valeur d’un paquet de symboles est donnée par la puissance de 60 correspondant à la position du paquet dans le nombre.

Cependant, les paquets sont constitués de regroupements par 6 et par 10 dont la valeur interne est obtenue par le nombre de fois que les symboles sont répétés.

12X602 + 31X60 + 22 = 45 082

En utilisant les symboles modernes + et =, l’addition des nombres 12 et 59 se fait de la façon suivante :

Addition en numération cunéiforme

Il faut d’abord regrouper les symboles de l’unité et les additionner. Dix de ces symboles sont remplacés par le symbole d’une dizaine

Il faut alors regrouper les symboles de dizaines et les additionner. Six de ces symboles sont remplacés par le symbole de l’unité dans le regroupement de la puissance supérieure de 60.

Pour effectuer des multi-plications, il faut utiliser des tables gravées sur des tablettes d’argile, ce qui alourdit beaucoup le sac de l’écolier.

Multiplication en cunéiforme

La table de multiplication par 9 reproduite ci-contre illustre bien le fonctionnement du système de numération.

Arithmétique et problèmesMalgré la lourdeur de leur système de numération, les scribes babyloniens utilisaient une procédure par approximations successives, qui peut se poursuivre indéfiniment, pour calculer la racine carrée d’un nombre. Sur une tablette conservée à Yale, on retrouve une expression qui en écriture moderne donne :

Les listes de problèmes consignées sur les tablettes servaient aux scribes qui, lorsqu’ils avaient à résoudre un problème, cherchaient dans les listes un problème analogue.

2124

60

51

602

10

6031,4142212963

Problèmes algébriques

En écriture algébrique moderne, ce problème consiste à résoudre l’équation quadratique :

x2 y2 21,15

y 67

x

x2 – x = 870

On trouve également le problème :La somme de deux carrés donne 21,15 et le côté de l’un est plus petit de 1/7 que le côté de l’autre.

Ce qui équivaut à résoudre le système d’équations :

Parmi les problèmes consignés, citons :Trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire moins le côté donne 870.

ConclusionLes connaissances arithmétiques des babyloniens étaient utilisées dans différents sphères d’activité comme le commerce, les contrats, le calcul d’intérêts, le système de poids et de mesure et le calendrier.

Le système de numération babylonien est assez complexe, comparé au nôtre, mais il a marqué un progrès important dans l’histoire de la numération. Les nombres ont acquis une existence propre indépendante des objets à partir du moment où on a pu en faire une représentation écrite et que l’on a pu leur donner des noms.

Bibliographie

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Fin