dualita mikro

MIKROEKONOMIE II Středně pokročilý kurz Jiří KAMENÍČEK, Ivo KOUBEK

1

Kapitola 4 Úvod do duality1 *

Když jsme zkoumali vliv změn cen a důchodu na marshallovskou poptávku, hledali jsme optimální

množství statků, která při daných cenách a důchodu maximalizují užitek. Naopak, když jsme zkoumali

substituční efekt, hledali jsme optimální množství statků, která při daných cenách a úrovni užitku

minimalizují výdaje spotřebitele. Abychom tuto analýzu mohli pojmout rigorózněji, rozšíříme ji

o další pojmy.

Uvažujme konkrétní preferenční uspořádání. Ceny a důchod ponechejme v obecných hodnotách p a

M. Potom spotřební soubor 1 2 n

x x x … x∗ ∗ ∗ ∗= , , , , který je řešením maximalizace užitkové funkce ( )u x za

podmínek:

1

, 0 1n

i i i

i

p x M x i … n=

≤ ≥ = , ,∑ ,

je vektorem poptávkových funkcí ( )i ix D p M∗ = , . Dosadíme-li tatoix∗ do původní užitkové funkce

( )u x , dostaneme:

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nu u x x … x u D p M D p M … D p M v p M∗ ∗ ∗ ∗

= , , , = , , , , , , = , .

Def.: Funkce ( )v p M, se nazývá nepřímá užitková funkce. Zachycuje maximalizovanou hodnotu u∗

užitkové funkce ( )u x jako funkci cen p a důchodu M.

Alternativně můžeme vytvořit poněkud umělý problém, kdy spotřebitel hledá nejlevnější způsob,

jak dosáhnout konkrétní životní úrovně:

1

min za podmínky 1) ( )

2) 0 1 .

n

i ii

i

p x u x u

x … n

=

≥

≥ = , ,

∑

ı

Když optimální množství ix∗ , která jsou řešením našeho nového problému, opět vyjádříme jako

funkce omezujících parametrů p a u, dostaneme poptávkové funkce, které závisejí na cenách užitku.

Nazýváme je hicksovské poptávkové funkce a značíme:

( )i ix H p u∗ = , .

Dosadíme-li hicksovské poptávkové funkce do původní rovnice výdajů 1

n

i iiE p x

==∑ , dostaneme

minimalizovanou hodnotu výdajů E* jako funkci cenp a užitku u:

1 1

( ) ( )n n

i i i ii i

E p x p H p u m p u∗ ∗

= =

= = , = , .∑ ∑

Funkce ( )m p u, se nazývá výdajovou funkcí2.

1 Vzhledem k okolnostem, které rozvedeme v další části textu, se ve skutečnosti jedná o pseudodualitu. Lepší a přesnější

název by zněl: reciprocita. Vžil se však termín dualita, který budeme používat i my. 2 Protože v mikroekonomii se funkce, která modeluje vztah optimalizované hodnoty a exogenní proměnné, obvykle píše

malým písmenem, aby se výdajová funkce nepletla s elasticitou nebo s výdaji obecně, budeme ji místo E nebo e značit m.


2

Vztah mezi popsanou maximalizací užitku a mezi minimalizací výdajů je patrný z obrázku 4.1. Při

maximalizaci užitku jsme mezi soubory na rozpočtové čáře B (jejichž výdaje se rovnají důchodu M)

hledali soubor x∗ na nejvyšší dostupné indiferenční křivce I* jako bod dotyku I* a B. Při minimalizaci

výdajů se pohybujeme po konkrétní indiferenční křivce I a hledáme souborx∗ na nejnižší dostupné

izokvantě peněžních výdajů *E jako bod dotyku I a *E .

Izokvanta peněžních výdajů je množinou všech spotřebních souborů, které stojí stejně peněz.

Každou úroveň peněžních výdajů E lze chápat jako určitou úroveň důchodu M a tedy i každou

izokvantu výdajů E jako konkrétní rozpočtové omezeníB a naopak. Na bod dotyku konkrétní

indiferenční křivky 0I a rozpočtového omezení 0B se můžeme dívat jako na řešení problému

maximalizace funkce ( )u x při cenách p pro 0M M= , nebo jako na řešení problému minimalizace

výdajů 1

n

i iip x

=∑ při cenáchp pro 0( )u x u= .

Obrázek 4.1 Reciproký vztah maximalizace užitku a minimalizace výdajů

Díky tomu můžeme z maximalizace užitku zjistit marshallovské poptávky ( )iD p M, . Jejich

dosazením za příslušná ix do užitkové funkce ( )u x odvodíme nepřímou užitkovou funkci ( )v p M, a

z ní vyjádříme výdajovou funkci ( )m p u, . Nebo z vázané minimalizace výdajů E zjistíme hicksovské

poptávky ( )iH p u, . Jejich dosazením za příslušná ix do rovnice výdajů 1

n

i iip x

=∑ odvodíme

výdajovou funkci ( )m p u, . Z ní vyjádříme nepřímou užitkovou funkci ( )v p M, .

Výdajová funkce ( )m p u, a nepřímá užitková funkce( )v p M, jsou při konstantních cenách

vůči sobě navzájem inverzními funkcemi a v zásadě obsahují stejné informace. Proto si

můžeme vybrat, se kterou chceme pracovat.


3

V této kapitole si ukážeme, že jsme vždy schopni z výdajové funkce ( )m p u, zpětně odvodit

hicksovské poptávkové funkce ( )iH p u, a z nepřímé užitkové funkce( )v p M, můžeme odvodit

marshallovské poptávkové funkce( )iD p M, . Důkladně prozkoumáme i vztah mezi oběma funkcemi.

Vzhledem k určité podobnosti problémů vázané maximalizace užitku a vázané minimalizace

výdajů se vztahem duálních úloh z oblasti matematické teorie duality, bývá problém vázané

minimalizace výdajů často mylně považován za duální k problému vázané maximalizace užitku.3

Tento omyl (který se traduje přinejmenším od dob, kdy na ”dualitu” v teorii spotřebitele upozornili

Kenneth J. ARROW a Gepard DEBREU) způsobil, že se označení dualita pro téma této kapitoly vžilo

natolik, že z hlediska vzájemného dorozumění nám nezbývá, než tento název respektovat.

4. 1. Minimalizace výdaj ů. Výdajová funkce a Shephardova v ěta

Def.: Minimalizace výdajů je situace, kdy jsme se rozhodli pro určitou úroveň spotřeby, kterou představuje konkrétní indiferenční křivka spotřebitele. Hledáme takový spotřební soubor, který by spotřebiteli zajistil danou úroveň spotřeby nejlevnějším způsobem.

1

0

1

min za podmínky: 1) ( )

2) 0 1, , .

n

n

i ix … x

i

i

p x u x u

x i n

, ,=

≥

≥ =

∑

…

Pro 2n = můžeme problém znázornit graficky na obrázku 4.2.

Obrázek 4.2 Minimalizace výdajů

Indiferenční křivka 0I obsahuje všechny soubory x, pro které je 0

1 2( )u x x u, = a pro všechny tyto

soubory odděluje v kladném kvadrantu jejich horší a jejich lepší množinu. Vzhledem k omezujícím

podmínkám minimalizace výdajů je lepší množina0L přípustnou množinou problému a indiferenční

3 Analogie přitom zjevně pokulhává. Proměnné výběru obou úloh (tj. množství jednotlivých statků xi) jsou stále stejné.

V matematické dualitě existují vždy primární a duální proměnné. Na rozdíl od skutečných navzájem duálních úloh se účelové funkce uvedených problémů liší a proto se liší i hodnota maximalizované účelové funkce v problému maximalizace užitku a hodnota minimalizované účelové funkce v problému minimalizace výdajů.


4

křivka I0 je její hranicí. Jak víme, pro ryze monotónní a ryze konvexní preference bude indiferenční

křivka ryze konvexní směrem k počátku a v každém bodě kladného kvadrantu 1 2

x x , můžeme její

sklon popsat vztahem:

( ) ( ) ( )0

1221

( )1 2( )u x u

MU xxx MRS x

x MU x=

∆ = − = −∆

.

Všechny přímky E′ , 0

E , E′′ mají sklon: ( )

02 1

001 2dE

x px

x p=

∆ = −∆

.

Každá z těchto přímek představuje pro odlišnou úroveň výdajů množinu všech spotřebních souborů

1 2x x x,

= , které při cenách 0

1p , 02p stojí stejné množství peněz a představují stejné výdaje (tj.

E′ , 0E , E′′ ). Jinak řečeno, k jejich koupi je při cenách 01p , 0

2p zapotřebí stejný peněžní důchod

(tj. M ′ , 0M , M ′′ ). Obecně budeme tyto množiny nazývat izokvantami výdajů. Pro 20x ,+∈� budou

mít podobu přímek (nebo čar) a proto bývají také nazývány přímkami (nebo čarami) stejných

výdajů. Pokud jsou ceny 01p , 0

2p kladné, budou soubory na přímkách vzdálenější od počátku

vyžadovat od spotřebitele vyšší výdaje.

V přípustné množině 0L hledáme bodx∗ , který leží na nejnižší přímce stejných výdajů. Jak je

patrné z obrázku 4.2, přímka E′ sice představuje nižší výdaje než 0E a E

′′ , s množinou 0L však nemá

žádný společný bod. Proto žádný její bod nevyhovuje podmínce 0( )u x u≥ ze zadání úlohy. Na E′′

existují nepochybně body, které patří do 0L , alespoň některé z nich však jsou vnitřními body 0L . Proto

musí existovat na nižších přímkách stejných výdajů jiné body, které také umožní dosáhnout úrovně

užitku 0u při menším množství alespoň jednoho statku, tedy levnějším způsobem.

Protože tím jsme z bodů podezřelých z optima vyloučili všechny vnitřní body 0L , omezíme se při

hledání optimax∗ jen na body na indiferenční křivce 0I . Abychom si mohli být jisti, že na hledané

přímce stejných výdajů neexistuje žádný vnitřní bod množiny 0L , ale přesto na ní existuje bod, který

splňuje podmínku 0( )u x u≥ , musí se tato přímka indiferenční křivky pouze dotýkat. To znamená, že

výdaje jsou při daných cenách minimální v bodě dotykux∗ , kde je splněna podmínka: 0

1 2( )u x x u∗ ∗

, = .

Pro 1 2, 0x x∗ ∗ > je společný sklon všech přímek stejných výdajů 0102

p

p− roven sklonu indiferenční

křivky 0I , tj. (1

2 ( )

MU x

MU x

∗

∗− ) 4 :

4 Pokud by druhý statek nebyl kupován, není podmínka rovnosti sklonů nutná. Potom by stačilo, kdyby nižší izokvanty

výdajů nebyly pro body lepší množiny v kladném kvadrantu dostupné. Čili když izokvanty výdajů nebudou v bodě optima

strmější než indiferenční křivka, tj. když1 2 1 2

( ) ( )p p MU x MU x∗ ∗

≤ (viz rohové řešení při maximalizaci užitku).


5

*

01* *2 1 2

2100 ( )1 2 12

( ) ( )( )E u x u

MU xd x p d xx MRS x x

d x MU x d xp

∗∗

∗∆ = =

= − = − − = .

Takový bod leží pouze na přímce 0E . Proto bude přímka 0E vyjadřovat minimalizované výdaje na

dosažení úrovně užitku alespoň 0u . Užitek 0u můžeme považovat za životní úroveň, která odpovídá

spotřebním souborům na 0I . Na obrázku 4.2 je bodem dotyku soubor0x , který leží na 0I a zároveň

pro něj platí: 00 11

0 02 2 ( )

MU xp

p MU x

= . V tomto bodě se dotýkají indiferenční křivka 0I (reprezentující požadovanou

životní úroveň 0u ) a nejnižší dostupná přímka konstantních výdajů 0E (reprezentující při cenách

01p , 0

2p minimalizované výdaje 0E = 0 0

1 1p x + 0 0

2 2p x ). Proto je soubor0x optimálním výběremx∗ . Jeho

souřadnice 0 0

1 2x x, představují při cenách 0

1p , 0

2p a při požadované úrovni užitku 0u konkrétní poptávaná

množství. Představují tedy konkrétní hodnoty hicksovských poptávek ( ) ( )0 0 0 0 0 0

1 1 2 2 1 2H p p u H p p u, , , , , .

Z obrázku 4.2 je patrné, že stejný optimální spotřební soubor 0 01 2,x x bychom dostali maximalizací

užitku při stejných cenách 01p , 0

2p a při důchodu 0 0M E= jako konkrétní hodnoty marshallovských

poptávek 0 0 0 0 0 01 1 2 2 1 2D p p M D p p M

, , , , , . Rozdíl mezi hicksovskou a marshallovskou poptávkou

bude zřejmější, když zkoumáme změny poptávaných množství se změnou cen.

Jak ukazuje obrázek 4.2, se změnou ceny a při nezměněné požadované úrovni užitku budou přímky

stejných výdajů (na kterých leží optimální spotřební soubory při různých cenách) „klouzat“ po

indiferenční křivce 0I . Nové optimální spotřební soubory (na obrázku 4.2 při cenách 11p , 1

2p např.

soubor 1 11 2x x∗ ∗, na 1

E ) sice tuto indiferenční křivku neopustí, zato se však změní výdaje. Při stejné

změně ceny a při konstantním důchodu by naopak při maximalizaci užitku zůstaly v novém

optimálním spotřebním souboru výdaje stejné, změnil by se však užitek.

V předchozí kapitole jsme se podrobně zabývali marshallovskými poptávkami. Dotkli jsme se však

i hicksovských poptávek, přesto, že jsme o nich otevřeně nehovořili. Substituční efekty cenových

změn představují totiž právě změny hicksovských poptávek vyvolaných změnami cen. Proto víme, že

hicksovské poptávky jsou ve svých vlastních cenách nerostoucí. Jak ale závisejí na cenách ostatních

statků, nelze poznat stejně snadno. Pro některé dvojice statků to však můžeme odhadnout ze způsobu

spotřeby.

Například kakaový prášek a mléko se mohou ve spotřebě doplňovat. Potom říkáme, že to jsou čisté

(nebo též hicksovské) komplementy. S rostoucí cenou mléka bude hicksovská poptávka po mléku

klesat. S ní bude klesat i hicksovská poptávka po kakau. Protože jsou tyto vztahy symetrické, znamená

to, že stejný následek by byl vyvolán i zvýšením ceny kakaa. Naopak, jiné dvojice statků (například

máslo a margarín) se mohou ve spotřebě navzájem zastupovat. Potom s růstem ceny másla a s


6

následným poklesem hicksovské poptávky po másle se může hicksovská poptávka po margarínu

zvyšovat. Obdobně, s růstem ceny margarínu by hicksovská poptávka po másle klesala. Takové

dvojice statků nazýváme čisté (hicksovské) substituty.

Z obrázku 4.2 je rovněž zřejmé, že proporcionální změna všech cen nezmění ani přípustnou

množinu, ani poměr cen, tedy ani vybraný spotřební soubor. Při proporcionální změně cen však

spotřebitel bude muset zvýšit své výdaje ve stejné proporci.

Při velkém počtu statků bychom mohli problém minimalizace výdajů opět řešit pomocí

Lagrangeovy metody. Namísto toho se pokusíme ukázat, jak se prostřednictvím výdajové a nepřímé

užitkové funkce můžeme od marshallovských poptávek dostat k hicksovským a obráceně. K tomu

potřebujeme odvodit výdajovou funkci.

Jednotlivá optimální množství statků ix∗ ze spotřebního souborux∗ jsou konkrétními poptávanými

množstvími při daných cenách a užitku. Jsou tedy pro konkrétní ceny a pro požadovanou úroveň

užitku hodnotami hicksovských poptávkových funkcí:

0 0i ix H p u∗

= , .

Jejich dosazením do rovnice výdajů: 1

n

i iip x

=∑ , obdržíme hodnotu minimalizovaných výdajůE∗ při

daných cenách a užitku:

1

n

i ii

E p x∗ ∗

=

=∑ .

Kdybychom problém minimalizace výdajů řešili pouze pro obecně zadané hodnoty1 np … p, , a pro

u (tedy nikoli pro konkrétní údaje), obdrželi bychom jednotlivá optimální množství statků ix∗ jako

funkce cen a užitku, tedy jako hicksovské poptávkové funkce: ( )iH p u, .

Def.: Hicksovské poptávkové funkce popisují množství jednotlivých statků jako funkce cen p a požadované úrovně užitku u za předpokladu, že výdaje spotřebitele jsou minimální.

Dosazením hicksovských poptávek do rovnice výdajů dostaneme minimalizované výdaje E∗

obecně jako funkci cen a užitku. Tuto funkci nazýváme výdajovou funkcí a značíme ji ( )m p u, :

( ) ( )1 1

n n

i i i ii i

E p x p H p u m p u∗ ∗

= =

= = , = ,∑ ∑ .

Def.: Výdajová funkce pro dané preference a pro konkrétní zvolenou užitkovou funkci přiřazuje konkrétním hodnotám cen1 np … p, , a užitku u minimalizované výdaje nutné při těchto cenách

k dosažení alespoň této úrovně užitku.

Jestliže známe výdajovou a příslušnou užitkovou funkci, můžeme pro libovolný soubor při

jakýchkoli cenách snadno dopočítat nejmenší nutné výdaje. Výdajová funkce má celou řadu

pozoruhodných vlastností. Nás ale nejvíce zajímá takzvaná Shephardova věta.


7

Def.: Shephardova věta říká, že míra, jakou se mění minimalizované výdaje ( )E m p u∗ = , při změně

ceny i – tého statku ip , se blíží hicksovské poptávce po tomto statku:i

x∗ = ( )i

H p u, , s tím, jak

se ip∆ blíží k nule:

( ) ( )i

m p uip H p u∂ ,

∂ = , .

To znamená, že celková změna minimalizovaných výdajů E∗∆ se bude po malé změně i − té ceny

blížit změně výdajů na původní optimální množství i − tého statku: i iE p x∗ ∗∆ → ∆ .

Tato věta je důležitá především jako technický nástroj mikroekonomické analýzy. Pokud známe

výdajovou funkci spotřebitele, můžeme vždy dopočítat hicksovskou poptávku po libovolném statku

jako parciální derivaci výdajové funkce podle ceny. Praktický důsledek toho, co Shephardova věta říká

o minimalizovaných výdajích, je nasnadě.

Předpokládejme například, že před změnou ceny jsme kupovali 10 kusů ( 0 10ix = ) určitého statku.

Dejme tomu, že jeho cena vzrostla o 50 haléřů ( 0 5ip∆ = , ). V hrubém odhadu můžeme předpokládat,

že výdaje nutné na zachování původní úrovně užitku představují přibližně takové zvýšení důchodu,

které by nám po změně ceny umožnilo koupit (kromě stejných množství statků, jejichž cena a tedy ani

výdaje na tyto statky se neměnily) stejné množství statku (tj. 10 kusů) jehož cena se měnila. Přibližná

změna výdajů bude 0i iE x p∗∆ ∆� . Tato změna představuje zvýšení důchodu o 10⋅ 0,5 Kč = 5 Kč, tedy

0

i

Eip x

∗∆∆ � .

Pro zachování stejné úrovně užitku bude u diskrétní cenové změny většinou stačit menší změna

výdajů. Spotřebitel totiž přeskupí svůj spotřební soubor jenom tehdy, pokud tím něco ušetří. Protože to

běžně dělá, bude změna výdajů, která je nutná k zachování stejné úrovně spotřeby, zpravidla menší

než: 0i ix p∆ . U nekonečně malých cenových změn však spotřebitel nemá příležitost svůj vybraný

soubor přeskupit, protože z podmínek prvního řádu vyplývá, že v bodě optima se výdaje s nekonečně

malou změnou optimálního souborux∗ nemění. Spotřebitel si tedy u nekonečně malé cenové změny

nemůže změnou kupovaného spotřebního souboru polepšit.

V následující podkapitole se pokusíme najít podobný vztah (který jsme našli mezi výdajovou

funkcí m(p, u) a mezi hicksovskou poptávkou ( )iH p u, ) též mezi nepřímou užitkovou

funkcí ( )v p M, a mezi marshallovskou poptávkou( )iD p M, .

4.2 Nepřímá užitková funkce a Royova identita

Def.: Nepřímá užitková funkce( )v p M, popisuje maximalizovaný užitek u∗ spotřebitele jako funkci

cen p a důchoduM .

Nepřímou se tato funkce nazývá proto, poněvadž užitek spotřebitele bezprostředně závisí na


8

spotřebě konkrétních množství konkrétních statků a nikoli na cenách nebo na důchodu. Protože však

zvolená množství *ix závisejí na cenách p a na důchodu M , závisí na nich přes maximalizační proces

i skutečně dosažený užitek spotřebitele. Pomocí nepřímé užitkové funkce( )v p M, proto můžeme

zkoumat vliv změn cenp a změn důchoduM na užitek spotřebitele.

Obrázek 4.3 a) Změna maximalizovaného užitku se změnou důchodu

b) Změna maximalizovaného užitku se změnou cen

Na začátku kapitoly jsme uvedli: protože soubor:

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( )n nx x x … x D p M D p M … D p M∗ ∗ ∗ ∗

= , , , = , , , , , , ,

můžeme nepřímou užitkovou funkci ( )v p M, získat dosazením marshallovských poptávek

( )i

D p M, za i

x do „přímé“ užitkové funkce ( )u x :

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nu u x x … x u D p M D p M … D p M v p M∗ ∗ ∗ ∗

= , , , = , , , , , , = , .

Z toho, jak se s rostoucími cenami nebo s rostoucím důchodem mění přípustná množina, můžeme

zjistit, že ( )v p M, s důchodem M poroste. Avšak s rostoucími cenami poklesne, nebo se nebude

zvyšovat podle toho, zda spotřebitel kupuje statky, jejichž ceny rostou, nebo nikoli. Dále je zřejmé, že

s proporcionální změnou všech cen i důchodu se přípustná množina spotřebitele nezmění. Nezmění se

tudíž ani vybraný soubor marshallovských poptávek: [ ]1 2( ) ( ) ( )

nx D p M D p M … D p M∗ = , , , , , , . Proto se

nezmění ani maximalizovaný užitek spotřebitele u* = ( )v p M, .

Mohli bychom uvést řadu dalších zajímavých vlastností nepřímé užitkové funkce. Nás však zajímá,

jak se pomocí vlastnosti známé jako Royova identita můžeme od ( )v p M, dostat zpět k

marshallovským poptávkám.


9

Royova identita: ( ) ( ) ( )( )i

i

v p M v p MD p M

p M

∂ , ∂ ,= ⋅ − ,

∂ ∂ .

Intuitivní význam Royovy identity lze vyložit pomocí následující úvahy. Změna ceny ip∆ vyvolá

změnu reálného důchodu spotřebitele. Jestliže cena klesne (tj. 0ip∆ < ), bude množství peněz, které

spotřebitel při nákupu stejného spotřebního souborux∗ v porovnání se situací před změnou ceny ušetří,

rovno: ( i ip x∗−∆ ). Jestliže se cena zvýší (tj. 0ip∆ > ), bude se množství peněz, které spotřebiteli chybí

k tomu, aby si koupil stejný spotřební souborx∗ jako před zvýšením ceny, rovnat: i ip x∗∆ .

U velmi malých cenových změn spotřebitel nemůže svůj důchod zvyšovat po cenové změně tím, že

by měnil strukturu spotřeby.5 Z uvedeného vyplývá, že změna reálného důchodu bude při poklesu

ceny ( 0i

p∆ < ) kladná a pro 0i

p∆ → se bude blížit (i i

p x∗−∆ ). Při zvýšení ceny ( 0i

p∆ > ) bude změna

důchodu záporná a pro 0i

p∆ → se bude blížit hodnotě ( i ip x∗−∆ ).6

Připomeňme, že míra *u

M

∆

∆, jakou s dodatečnou jednotkou důchodu roste maximalizovaný užitek, se

nazývá mezní užitek důchodu (MUM). Pro velmi malé změny důchodu platí: ( )M

v p MMU

Mλ ∗ ∂ ,

=∂

� .

Závěrem využijme toho, že změna maximalizovaného užitku u∗∆ , kterou vyvolala cenová změna

ip∆ , je součinem mezního užitku důchodu a změny reálného důchodu vyvolané touto změnou ceny.

Pro 0ip∆ → bude platit, že i iu p xλ∗ ∗ ∗

∆ → −∆ . Royovu identitu lze proto interpretovat též

následovně:

Def.: Míra, jakou se mění maximální užitek vyvolaný nekonečně malou změnou i − té ceny, se rovná

součinu míry, jíž se mění reálný důchod způsobený touto cenovou změnou (tj. ix∗− ) a součinu

míry, jíž se maximální užitek mění po nekonečně malé změně důchodu (tj. iλ∗ ):

( )( )( ) ( )i i

i

v p M v p MD p M x

p Mλ∗ ∗

∂ , ∂ ,= ⋅ − , = ⋅ −∂ ∂

.

Podobně, jako Shephardova věta vyjadřovala vztah mezi výdajovou funkcí a hicksovskými

poptávkami, vyjadřuje Royova identita vztah mezi nepřímou užitkovou funkcí ( )v p M, a mezi

marshallovskými poptávkami ( )i

D p M, . Při znalosti tohoto vztahu můžeme vždy dopočítat

marshallovskou poptávku po kterémkoli statku jako podíl parciálních derivací nepřímé užitkové

funkce:

5 Například tím, že by statku s nižší cenou kupoval více a statku se zvýšenou cenou méně. 6 Spotřebiteli bude v porovnání s původní výší důchodu chybět částka

i ip x

∗∆ .


10

( )( )

( )i

v p Mp

i v p MM

D p M∂ ,

∂∂ ,

∂

, = − .

K vyjádření substitučního efektu a k měření následků cenových změn na reálný důchod spotřebitele

potřebujeme znát hicksovské poptávky nebo výdajovou funkci. Objektivně pozorovat však můžeme

pouze marshallovské poptávky. Proto by bylo užitečné, kdybychom se s jejich pomocí mohli

dopracovat k výdajové funkci a hicksovským poptávkám. Slabinou takové úvahy však je naše

schopnost (či spíše neschopnost) odvodit z marshallovských poptávek přímou užitkovou funkci u (x).

Takový úkol zatím výrazně převyšuje technický aparát, který jsme si dosud připravili.

Když jsme vytvořili nástroje odvozené z „duality“ problému maximalizace užitku a z minimalizace

nákladů, můžeme se nyní zaměřit na změnu marshallovské poptávky vyvolanou změnou ceny.

Můžeme prezentovat substituční a důchodový efekt obecněji, přesněji a elegantněji. Klí čovým

nástrojem této analýzy bude Slutského rovnice.

4.3 Slutského rovnice

Slutského rovnici obecně zapisujeme výrazem:

( ) ( ) ( ) ( ) { }1 2( )i i i

j j

D p M H p u D p M

jp p M i j … nD p M∂ , ∂ , ∂ ,∂ ∂ ∂ , ∈ , , ,= + − , ⋅ .

Slutského rovnice je nástrojem, který exaktně určuje vztahy mezi substitučními a důchodovými

efekty cenových změn (viz podkapitola 3.5). Slutského rovnice vyjadřuje doslovně:

Def.: Míra, jíž se mění poptávka po i − tém statku vyvolaná změnou ceny jp , je součtem míry, jíž se

mění hicksovská poptávka se změnou ceny jp , se součinem (-1) násobku poptávaného množství

j-tého statku, a míry, jíž se mění poptávka po statku i se změnou důchodu.

Výraz ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ na levé straně rovnice vyjadřuje míru, jíž se mění marshallovská poptávka po

i − tém statku se změnou j − té ceny. První člen ( )i

j

H p u

p

∂ ,∂ na pravé straně rovnice je mírou, jíž se mění

hicksovská poptávka po i − tém statku se změnou j − té ceny. Z minimalizace výdajů víme, že výraz:

( )i

j

H p u

p

∂ ,∂ představuje míru, jíž se s cenou jp mění poptávka po statku i při konstantním reálném

důchodu. Druhý člen na pravé straně rovnice je součinem ( 1− ) násobku poptávaného

množstvíj − tého statku ( )( )j

D p M− , a míry ( )iD p M

M

∂ ,∂ , jíž se s důchodem mění marshallovská

poptávka po statku i. Z Royovy identity víme, že (-1) násobek množství statku, jehož cena se mění, je

právě mírou, jíž se mění reálný důchod se změnou této ceny.

Znaménko výrazu na levé straně Slutského rovnice určuje při vlastní cenové změně ( j i= ), zda se

jedná o běžný statek ( ( ) 0i

i

D p M

p

∂ ,∂ < ), nebo o Giffenův statek ( ( ) 0i

i

D p M

p

∂ ,∂ > ). Z vlastností hicksovských

poptávek víme, že ( ) ( )0 1 2i

i

H p u

p i … n∂ ,∂ ≤ = , , , . Z podmínek nezápornosti dále vyplývá, že


11

( ) ( )0 1 2i

D p M i … n, > = , , , . Proto bude každý normální statek ( ( ) 0iD p M

M

∂ ,∂ > ) zároveň běžným

statkem ( ( ) 0i

i

D p M

p

∂ ,∂ < ). V případě podřadného statku ( ( ) 0iD p M

M

∂ ,∂ < ) však nebude znaménko derivace

( )i

i

D p M

p

∂ ,∂ jisté. Výsledné znaménko výrazu: ( )i

i

D p M

p

∂ ,∂ bude u podřadného statku záviset na vzájemném

poměru absolutních hodnot sčítanců na pravé straně Slutského rovnice.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

i i i i

i

i i

i i i i

i

i i

i i i i

i

i i

D p M H p u D p M D p MD p M

M p M p


M p M p


M p M p

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,< ∧ > , ⇒ <

∂ ∂ ∂ ∂

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,< ∧ = , ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,< ∧ < , ⇒ >

∂ ∂ ∂ ∂

Výsledný celkový vliv cenové změny na poptávku získáme vynásobením výrazu: ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ na levé

straně rovnice cenovou změnou i

p∆ . Obdobně bychom výsledek substitučního efektu získali

vynásobením prvního sčítance na pravé straně rovnice (tj. ( )i

j

H p u

p

∂ ,∂ ) výrazem ip∆ . Výsledek

důchodového efektu získáme vynásobením druhého sčítance na pravé straně rovnice výrazem ip∆ .

Uvedená tvrzení platí bez výhrad pouze pro nekonečně malé cenové změny: ( 0i

p∆ → ). S rostoucí

změnou ceny poroste chyba, které se ve svém výpočtu dopouštíme. I přes tuto výhradu se jedná o

velmi elegantní nástroj analýzy následků cenových změn na poptávky po statcích.

Slutského rovnice však navíc umožňuje (s pomocí substitučního a důchodového efektu) analýzu

následků křížových cenových změn na poptávky. Znaménko výrazu na levé straně Slutského rovnice u

křížových cenových změn ( j i≠ ) určuje, zda je statek i hrubým (marshallovským) komplementem

statku j ( ( ) 0i

j

D p M

p

∂ ,∂ < ), nebo zda je hrubým (marshallovským) substitutem ( ( ) 0i

j

D p M

p

∂ ,∂ > ).

Protože obecně nelze jednoznačně určit znaménko prvního sčítance na pravé straně rovnice

( ( ) 0i

j

H p u

p

∂ ,∂

≤>

), o to obtížnější je stanovit, jestli je míra (jíž se mění poptávané množství se změnou ceny

jiného statku: ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ ) kladná, záporná nebo rovna nule. Z vlastností hicksovských poptávek však

víme, že výraz ( ) 0i

j

H p u

p

∂ ,∂ > znamená, že ve spotřebním souborux∗ (vybraném při cenách p a užitku u)

jsou statky i a j čistými (hicksovskými) substituty, kdežto výraz ( ) 0i

j

H p u

p

∂ ,∂ < naopak znamená, že

statky i a j jsou čistými (hicksovskými) komplementy. Výraz: ( ) 0i

j

H p u

p

∂ ,∂ = znamená, že spotřeba těchto

statků na sobě nezávisí.


12

Dále víme, že vztahy mezi těmito statky jsou symetrické: ( ( ) ( )ji

j i

H p uH p u

p p

∂ ,∂ ,∂ ∂= ). Což znamená, že oba

statky jsou substituty nebo komplementy v běžném smyslu slova. Proto bude pokles množství jednoho

statku doprovázet (v určité míře, která závisí na konkrétním spotřebním souboru) pokles množství jeho

komplementu a vzrůst množství jeho substitutu. Protože tyto vztahy lze často odvodit z věcné povahy

příslušných statků a ze způsobu jejich spotřeby, můžeme je zpravidla určit ad hoc.

Dokážeme-li určit znaménko výrazu: ( )i

j

H p u

p

∂ ,∂ , bude výsledné znaménko ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ záviset na

normálnosti nebo na podřadnosti i − tého statku.7 V případě čistých komplementů z vlastností

hicksovských poptávek vyplývá, že každý normální statek ( ( ) 0iD p M

M

∂ ,∂ > ) bude zároveň hrubým

komplementem ( ( ) 0i

j

D p M

p

∂ ,∂ < ). U podřadných statků ( ( ) 0iD p M

M

∂ ,∂ < ) bude znaménko derivace

( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ opět nejisté. Výsledné znaménko ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ bude záviset na vzájemném poměru absolutních

hodnot sčítanců na pravé straně rovnice:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

i i i i

j

j j

i i i i

j

j j

i i i i

j

j j


M p M p


M p M p


M p M p

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,< ∧ > , ⇒ <

∂ ∂ ∂ ∂

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,< ∧ = , ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,< ∧ < , ⇒ >

∂ ∂ ∂ ∂

V případě čistých substitutů z vlastností hicksovských poptávek vyplývá, že každý podřadný

statek ( ( ) 0iD p M

M

∂ ,∂ < ) bude zároveň hrubým substitutem ( ( ) 0i

j

D p M

p

∂ ,∂ > ), kdežto u normálních statků:

( ( ) 0iD p M

M

∂ ,∂ > ) bude znaménko derivace výrazu: ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ nejisté. Výsledné znaménko ( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ bude

opět záviset na vzájemném poměru absolutních hodnot sčítanců na pravé straně rovnice:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

i i i i

j

j j

i i i i

j

j j

i i i i

j

j j


M p M p


M p M p


M p M p

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,> ∧ > , ⇒ >

∂ ∂ ∂ ∂

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,> ∧ = , ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ , ∂ , ∂ , ∂ ,> ∧ < , ⇒ <

∂ ∂ ∂ ∂

Z poslední implikace vyplývá, že vlastnosti statků (tj. zda se při spotřebě jedná o komplementy

nebo substituty) nemusejí odpovídat tomu, jak se chová poptávka po jednom z obou statků v závislosti

na změně ceny druhého statku. Například čistý komplement (jedná-li se o podřadný statek) může být i

hrubým substitutem. Vztahy hrubé komplementarity nebo substituce navíc nemusí být symetrické

7 Podobně, jako tomu bylo při analýze následků cenové změny.


13

nejen co do velikosti, ale ani podle znaménka. Je-li například statek i čistým komplementem statku j a

zároveň statkem podřadným, kdežto statek j je normálním statkem, vzniká možnost, že statek i bude

hrubým substitutem statku j, kdežto statek j bude hrubým komplementem statku i.

Výsledný celkový efekt křížové cenové změny na poptávku opět získáme vynásobením výrazu

( )i

j

D p M

p

∂ ,∂ (na levé straně rovnice) cenovou změnou jp∆ . Obdobně bychom křížový substituční efekt

získali vynásobením výrazu ( )i

j

H p u

p

∂ ,∂ cenovou změnou

ip∆ a důchodový efekt obdržíme po vynásobení

druhého sčítance (na pravé straně rovnice) cenovou změnou i

p∆ . Přitom platí výhrada týkající se

velikosti cenové změny uvedená při analýze vztahů jednotlivých efektů vlastní cenové změny.

Slutského rovnice poskytuje (vedle obecné analýzy následků změny cen na marshallovskou

poptávku) nástroj na výpočet substitučního efektu cenové změny z konkrétního podoby marshallovské

poptávky:

( ) ( ) ( ) ( ) { }1 2i i i

j

j j

H p u D p M D p MD p M i j … n

p p M

∂ , ∂ , ∂ ,= + , ⋅ , ∈ , , ,

∂ ∂ ∂

Substituční efekt nelze přímo pozorovat a měřit. Přesto jej občas potřebujeme znát. Například pro

výpočty následků cenových změn na prospěch spotřebitele. Kdybychom k dosažení tohoto záměru

použili změnu marshallovské poptávky, kterou empiricky pozorovat můžeme, dopustíme se téměř

vždy nějaké chyby. Není-li důchodový efekt cenové změny roven nule a tedy i

( ) ( ) 0iD p M

j MD p M ∂ ,∂, ⋅ = , platí: ( ) ( )i i

j j

H p u D p M

p p

∂ , ∂ ,∂ ∂≠ .

Podobně ošidné je usuzovat ze změny marshallovské poptávky po i − tém statku (vyvolané

cenovou změnou j − tého statku) na změnu marshallovské poptávky poj − tém statku (způsobenou

změnou ceny i − tého statku). Pro tyto změny marshallovské poptávky bude platit obdobná symetrie,

která platí pro čisté substituty nebo pro čisté komplementy ( ( ) ( )ji

j i

H p uH p u

p p

∂ ,∂ ,∂ ∂= ), avšak jen za

předpokladu, že se u obou statků budou rovnat důchodové efekty, čili když bude platit:

( ) ( ) ( ) ( )ji D p MD p M

j iM MD p M D p M∂ ,∂ ,

∂ ∂, ⋅ = , ⋅ .

4.4 Měření změn životní úrovn ě (způsobené zm ěnami cen) prost řednictvím změn životních náklad ů

Cenová změna může být způsobena například změnou cel dovážených statků, přestavbou

spotřebních daní nebo daní z přidané hodnoty. Pro účely hospodářské politiky je důležité, abychom

tyto vlivy na blahobyt spotřebitele (na jeho životní úroveň) uměli měřit a ocenit.

Přirozenou interpretací životní úrovně je konkrétní dosažená indiferenční křivka. Při cenových

změnách spotřebitel vybraný soubor zpravidla mění. Je tudíž pravděpodobné, že nový soubor bude

ležet na jiné indiferenční křivce I. Například při poklesu ceny statku, který spotřebitel kupoval před


14

zlevněním, bude nový soubor v porovnání s původním optimálním souborem preferován. Bude tedy

ležet na vyšší indiferenční křivce. Jak ale máme měřit prospěch nebo újmu spotřebitelů z cenových

změn?

Protože číselným vyjádřením jednotlivých indiferenčních křivek jsou úrovně užitku jako hodnoty

užitkové funkce, zdálo by se, že nejlepší bude měřit přímo změny hodnot užitkové funkce ( )u x . To

však z několika důvodů není možné:

1. Užitkovou funkci, jak jsme uvedli, nelze objektivně pozorovat. Byli bychom tedy odkázáni na

sdělení (přiznání) spotřebitele. Přijali jsme však předpoklad, že takového měření není schopen. I

kdyby však (navzdory předpokladu teorie ordinálního užitku) spotřebitel byl schopen přesně

vyjádřit u různých spotřebních souborů rozdíly svého užitku, těžko bychom od něj obdrželi

nezkreslenou odpověď, kdyby věděl, že svým sdělením ovlivní dopad chystané politiky na svou

životní úroveň.

2. Velikost prospěchu nebo újmy by byla v závislosti na zvolené funkci užitku zcela arbitrární. I

kdybychom přesně znali preferenční uspořádání spotřebitele (čili kdybychom znali konkrétní

podoby užitkových funkcí, které by odpovídaly jeho preferenčnímu uspořádání), dostali bychom

(v závislosti na zvolené funkci) pro stejné spotřební soubory různé hodnoty užitku. Tudíž bychom

sotva dokázali takové výsledky jednoznačně interpretovat srozumitelným způsobem.

3. Užitková funkce, jak víme, není agregovatelná. Za celkový prospěch všech spotřebitelů nelze

vydávat prostý součet jejich užitků, i kdybychom znali všechny vhodné užitkové funkce každého

jednotlivého spotřebitele. Nejsme s to rozhodnout, kterou z řady hodnot užitku jednotlivce (v

závislosti na zvolené vhodné užitkové funkci), máme použít pro agregaci k vyjádření užitku celé

skupiny tak, aby byla ve „správné” proporci k hodnotám užitků ostatních spotřebitelů.

Lepší alternativou jsou míry užitku založené na spotřebitelově vlastním peněžním ocenění změny

cen. Nespornou výhodou takového peněžního ocenění je, že nezávisí na zvolené funkci užitku, nýbrž

jen na preferenčním uspořádání. Taková peněžní ocenění tedy lze jednoznačně kvantifikovat, sčítat,

odčítat a porovnávat jejich rozdíly. Přesto je i tento pokus o měření celkového prospěchu nebo újmy

spotřebitelů zatížen silnými normativními soudy, které vyvolávají nemalé pochybnosti.

1. Abychom mohli souhrnné míry prospěchu (újmy) považovat za souměřitelné se změnami životní

úrovně spotřebitelů, museli bychom přijmout hodnotový soud. Museli bychom předpokládat, že

každý spotřebitel hodnotí přírůstek a ztrátu jedné Kč v každé cenové nebo důchodové situaci

stejně, pouze s opačným znaménkem. To by, dovedeno do důsledků, například znamenalo, že

spotřebitel oplývající bohatstvím si cení 1Kč stejně jako spotřebitel ve velké finanční tísni.

2. Abychom mohli souhrn měr prospěchu (újmy) různých spotřebitelů považovat za celkový

prospěch (újmu) společnosti, museli bychom dále přijmout hodnotový soud: jedna dodatečná Kč

má stejný společenský význam, bez ohledu na to, komu je určena. Vůči takovému předpokladu


15

bychom měli ještě větší výhrady než vůči předchozímu. Kdyby například každý z deseti milionů

spotřebitelů utrpěl újmu ve výši 10 000,- Kč a současně pouze jeden spotřebitel ze stejné skupiny

získal prospěch ve výši 100 miliard Kč, sotva bychom připustili, že z hlediska celku se nic nestalo.

A to vše nehledě k tomu, jak chudí jsou ti, kdo utrpěli újmu, v porovnání s bohatstvím jedince,

který inkasoval prospěch.

Opusťme však příklady s postkomunistickými náměty a vraťme se k pozitivní teorii.8 Víme, že při

daných cenách musí spotřebitel vynaložit určité peněžní výdaje k dosažení konkrétní indiferenční

křivky, tj. k dosažení zamýšlené životní úrovně. Výdaje na dosažení životní úrovně můžeme nazývat

životními náklady. Životní náklady představují hodnoty výdajové funkce ( )m p u, pro konkrétní

požadovaný užitek ( )u u x∗ ∗= . Změny cen kupovaných statků způsobí následující změny životních

nákladů: při růstu těchto cen životní náklady porostou a při poklesu budou rovněž klesat. Změny

prospěchu spotřebitele způsobené změnami cen obdržíme jako( )1− násobek změny životních nákladů

vyvolaný změnami cen, tedy jako výraz:( ) ( )1 m p u∗− ∆ , . Je zřejmé, že obecně s růstem cen

kupovaných statků bude prospěch spotřebitele klesat a s poklesem těchto cen poroste. Avšak konkrétní

částka, jejímž prostřednictvím spotřebitel tento prospěch (nebo újmu) z příslušné cenové změny ocení,

bude (k našemu překvapení, avšak podstatně) záviset na otázce, kterou mu položíme.

Při poklesu ceny se zeptáme, jakou maximální částku by byl spotřebitel ochoten zaplatit za

možnost nakupovat při nových cenách. Při zvýšení ceny se zeptáme, jaká minimální částka by jej

přiměla k tomu, aby souhlasil s nutností nakupovat při nových cenách. Následně obdržíme v absolutní

hodnotě částku, která představuje právě takovou změnu důchodu spotřebitele, která kompenzuje

cenovou změnu tak, že se původní úroveň spotřebitelova užitku nezmění.

Změna důchodu, která vrátí spotřebitele na původní úroveň užitku, představuje změnu životních

nákladů: ( )0

m p u∆ , . Peněžní míra změny prospěchu spotřebitele: ( )0

m p u−∆ , odvozená z definované

změny životních nákladů jako kompenzující změna důchodu, se podle toho postupu nazývá

kompenzující variací (CV).

Def.: CV je množství peněz, které musíme spotřebiteli ubrat, abychom jej při nových cenách udrželi na původní úrovni užitku (na stejné životní úrovni).

Z této definice vyplývá, že když spotřebiteli musíme z jeho důchodu ubrat, aby na tom byl stejně

jako před změnou ceny, (tj. spotřebitel si následkem této změny polepšil), je hodnota CV kladná.

Jestliže mu naopak musíme peníze přidat (tj. s cenovou změnou si pohoršil), znamená to, že množství

peněz, které bychom mu měli ubrat, je záporné, čili CV je záporná.

Alternativně bychom se mohli při poklesu ceny ptát, jakou minimální částku by spotřebitel

potřeboval, aby byl ochoten nakupovat při starých cenách. Při zvýšení ceny bychom se jej zeptali,

8 K důsledkům dvou uvedených předpokladů se vrátíme později.


16

jakou maximální částku by byl ochoten zaplatit za možnost nakupovat při starých cenách. Následně

obdržíme v absolutní hodnotě částku, která představuje změnu důchodu spotřebitele. Z hlediska užitku

tato částka vyrovnává situaci před cenovou změnou se situací po změně ceny tak, aby spotřebitel při

původních cenách dosáhl právě nové úrovně užitku. Změna důchodu, která spotřebitele při původních

cenách posune na novou úroveň užitku, je peněžní mírou změny prospěchu spotřebitele: ( )1

m p u−∆ , .

Tato míra představuje změnu důchodu spotřebitele vyrovnávající situaci při původních cenách

s úrovní užitku při nových cenách. Proto ji nazýváme ekvivalentní variací (EV).

Obrázek 4.3 Kompenzující a ekvivalentní variace při zvýšení a při snížení ceny

Def.: EV je množství peněz, které musíme spotřebiteli přidat, abychom jej při starých cenách dostali na novou úroveň užitku (na novou životní úroveň).

Z této definice vyplývá, že když spotřebiteli musíme k jeho důchodu přidat peníze, aby na tom byl

před změnou ceny stejně jako při původní výši důchodu a po cenové změně (čili když si spotřebitel po

změně cen polepší), je hodnota EV kladná. Pokud mu naopak musíme peněz ubrat (tj. s cenovou

změnou si pohorší), znamená to, že množství peněz, které bychom mu měli přidat, je záporné. EV je

tudíž záporná. Hodnota − EV ( )1m p u= ∆ , proto představuje odpovídající změnu životních nákladů.

Jsou li obě variace CV i EV vhodnými mírami změny prospěchu spotřebitele, očekáváme, že by se

měly rovnat. To však obecně nemusí platit. Neexistuje žádný důvod, proč by náklady na udržení

odpovídající životní úrovně měly být při cenové změně pro různé úrovně spotřeby stejné. Když při

dané úrovni spotřeby konzumujeme určitý statek ve větším rozsahu než při jiné úrovni spotřeby,

potom s růstem ceny tohoto statku budou i náklady na zachování životní úrovně (dosažené při původní

úrovni spotřeby) vyšší než náklady na zachování jiné životní úrovně. Z tohoto příkladu vyplývá, že

rovnost: CV = EV, bude platit jen za velmi restriktivních podmínek. Například, když se důchodový


17

efekt poptávky rovná nule (viz obrázek 4.4). Pokud se důchodový efekt poptávky různý nule nerovná,

mohou se variace CV a EV lišit.

Abychom mohli i při vícenásobných změnách cen obě variace CV a EV kvantifikovat pomocí

dostupnějších informací, než je mapa indiferenčních křivek spotřebitele, využijeme nástrojů, které

jsme odvodili z duality.

Veličina CV je vlastně rozdíl minimálního množství peněz potřebného k dosažení původní úrovně

užitku před a po cenové změně. S využitím známé výdajové funkce obdržíme:

0 0 1 0 0 1 0( ) ( ) ( )CV m p u m p u M m p u= , − , = − , .

Jestliže se změní jen jedna cena, potom platí:

0 01 1

1 11 1

00 0 1 0 0

1 1 11

( )( ) ( ) ( )

p p

p p

m p um p u m p u dp H p u dp

p

∂ ,, − , = = , .∂∫ ∫

Podobně EV je rozdíl minimálních množství peněz potřebných k dosažení nové úrovně užitku před

a po cenové změně:

0 1 1 1 ( 0 1 0EV ( ) ( ) )m p u m p u m p u M= , − , = , −

Pokud se mění jenom jedna cena, platí že:

0 01 1

1 11 1

10 1 1 1 1

1 1 11

( )EV ( ) ( ) ( )

p p

p p

m p um p u m p u dp H p u dp

p

∂ ,= , − , = = , .∂∫ ∫

Tyto integrály můžeme interpretovat jako plochy mezi polopřímkami 11p a 0

1p pod křivkou

01( )H p u, , měříme-li CV a pod křivkou 1

1( )H p u, , měříme-li EV. Jedinou pozorovatelnou

poptávkou spotřebitele je: 1( )D p M, . Ta však oproti 1( )H p u, navíc obsahuje důchodový efekt.9

Alfred Marshall definoval a zavedl jinou míru prospěchu spotřebitele ze směny. Ta se nazývá

spotřebitelský přebytek. Měříme ji jako plochu pod marshallovskou poptávkou a nad cenovou

přímkou. A. Marshall vycházel při zavedení termínu spotřebitelský přebytek z úvahy, že cena,

kterou je spotřebitel ochoten zaplatit za každou jednotku daného statku, odráží přesně jeho prospěch

z této jednotky. Takže to, co spotřebitel ušetřil, vyjadřuje jeho celkový čistý prospěch ze směny.

Tato úvaha by byla správná, kdyby neexistoval důchodový efekt cenové změny. Použijeme-li jako

míru změny prospěchu spotřebitele změnu spotřebitelského přebytku: (∆CS), kterou spočítáme jako:

01

11

p

ipDdp∫ , potom pokud existuje důchodový efekt, nebude se tento výpočet shodovat ani s CV, ale ani

s EV. Změna spotřebitelského přebytku∆ CS bude nadhodnocovat CV a podhodnocovat EV (nebo

naopak) podle toho, jestli je statek (jehož cena se mění) normální nebo podřadný a jestli jeho cena

9 Změna Hi vyjadřuje pouze substituční efekt, kdežto změna Di vyjadřuje celkový efekt cenové změny.


18

klesá nebo roste. Všechny tři křivky (tudíž i EV, CV a ∆ CS) se však budou shodovat, jestliže se bude

důchodový efekt statku (jehož cena se mění) rovnat nule (nejčastěji, když 1 0DM

∆∆ = ).

Obrázek 4.4 EV, CV a ∆CS jako změny prospěchu spotřebitele

Jestliže se EV a CV budou lišit, můžeme (pokud na tom nezávisí žádné zásadní rozhodnutí) využít

jako jejich určité aproximace míry prospěchu:∆ CS. Jedná-li se o zásadní rozhodnutí, potom si

musíme vybrat, kterou z variací považujeme za vhodné vyjádření spotřebitelova peněžního ocenění

cenové změny. Odpověď však bude záviset na formulaci položené otázky!

Příklad 1. Uvažujme projekt (například výstavbu jaderné elektrárny), který je financován z daní

spotřebitelů, který by po dokončení investice vedl k poklesu cen a tedy i k poklesu životních nákladů.

1) Ptáme-li se, zda se má projekt uskutečnit, měli bychom odpovědět ano, pokud by každý

spotřebitel při nových cenách uspořil životní náklady na zachování současné životní úrovně v takové

výši, která by převýšila částku, kterou zaplatí na daních:

0 0 1 0projekt( ) ( )CV m p u m p u T= , − , > .

2) Ptáme-li se, jestli je lépe projekt zamítnut, měli bychom odpovědět ano, pokud by každý

spotřebitel dosáhl při stávajících cenách nové životní úrovně: ( 1( )u p M, ) levněji (tj. menším

zvýšením svého důchodu než projektT ). Za těchto okolností by stát udělal lépe, kdyby snížil daně.

0 1 1 1projektEV ( ) ( )m p u m p u T= , − , < .

Pro zbývající eventuality (například pokud projektCV T EV< < ) však nejsme schopni z hlediska

spotřebitelů ekonomicky racionálně rozhodnout.

Klíčová slova


19

Výdajová funkce minimalizace výdajů

Izokvanta výdajů, přímka stejných výdajů čisté komplementy

Čisté substituty Shephardova věta

Royova identita Slutského rovnice

Životní náklady kompenzující variace (CV)

Ekvivalentní variace (EV) spotřebitelský přebytek

Shrnutí:

1. Na každý optimální spotřební soubor (čili na bod, ve kterém se některá indiferenční křivka dotýká

určité izokvanty výdajů) můžeme pohlížet jako na řešení dvou různých problémů. Jednak jako na

maximalizaci užitku při daných cenách a daném důchodu, nebo jako na minimalizaci výdajů při

daných cenách a při dané úrovni užitku.

2. Z maximalizace užitku můžeme odvodit nepřímou užitkovou funkci υ (p,M). Z minimalizace

výdajů můžeme odvodit výdajovou funkci m (p, u). Tyto dvě funkce budou při stejných cenách

navzájem inverzní. Následně stačí znát jednu z nich, abychom odvodili druhou.

3. Pomocí Shephardovy věty umíme odvodit z výdajové funkce hicksovské poptávky. Pomocí

Royovy identity umíme z nepřímé užitkové funkce odvodit marshallovské poptávky. To znamená,

známe-li například hicksovské poptávky, vždy můžeme odvodit marshallovské. Za určitých

podmínek je tomu i naopak.

4. Slutského rovnice nám poskytuje nástroj, kterým můžeme důsledně analyzovat následky vlastních i

křížových cenových změn na poptávku spotřebitele.

5. Změny životní úrovně vyvolané změnou ceny lze vyjádřit pomocí změny životních nákladů

nutných pro zachování původní životní úrovně. Takto měřená změna životní úrovně se nazývá

kompenzující variace. Další vhodnou mírou je ekvivalentní variace, která vyjadřuje změnu

výdajů nutných k dosažení nové životní úrovně při původních cenách v porovnání se situací před

cenovou změnou. Obě míry se zpravidla liší. Za určitých podmínek však můžeme jako určité

aproximace CV a EV využít při změně jedné ceny změny spotřebitelského přebytku.

Documents

dualita mikro