e14a

Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 14/natan~no

1

Za betonsko konstrukcijo na sliki dolo~i pribli`ek lastne frekvence.

5 m

EI, m

M1

20 m

P(t)

7 m 8 m

M2

6 m

0.40 m

0.40 m

prerez stebra

M1= 8000 kg M2= 12000 kg Nosilec pravokotnega prereza ima dimenziji b/h=0.5/1.2 m, steber pa ima pravokotni prerez b/h= 0.4/0.4 m Konstrukcija je betonska iz MB 25, E=30 GPa. RE[ITEV Izra~un m in EI nosilca: m b h kg m

EI Eb h

Nm

= = =

=

=

=

05 12 2500 1500

1230 10

0 5 1212

216 103

93

9 2

. . / '. .

.

Ker je masa stebra relativno majhna

'm/kg4002500m4.0m4.0m4.0m4.0ms === jo lahko zanemarimo. Dolo~itev pribli`ka prve lastne frekvence. Problem bomo re{evali s prevedbo na sistem z eno prostostno stopnjo in zato bomo steber nadomestili z linearno vertikalno vzmetjo (saj je osna togost stebra manj{a od osne togosti nosilca).

5 m

EI, m

M1

20 m

P

7 m 8 m

M2

k


2

Njena togost je:

mN108.0

6m4.0m4.01030

HAEk 9

9

stebra

=

=

=

Za izra~un moramo sedaj privzeti neko oblikovno (interpolacijsko) funkcijo. Izhodi{~e koordinatnega sistema postavimo v levo podporo in izberemo interpolacijsko funkcijo v obliki polinoma. Pri re{evanju enake naloge v prej{njem pristopu je bil zanemarjen pogoj, da mora biti pre~na sila na levem koncu nosilca enaka sili v vzmeti, torej pre~nemu pomiku, pomno`enemu s konstatnto vzmeti. Kinemati~ni pogoji so tako:

( )( )

( ) ( )( )( ) 020":20x

02020xk00'''EI:0x

00":0x10:0x

====

======

Tak{na izbira kinemati~nih pogojev ima za posledico, da lahko izberemo polinom 4. reda, ki dobi obliko:

( ) ( )

1 x 123456812.3956790 x506172840.06172839 x106543211.54320987

1 EI60

xk2000 EI3 EI6xk

EI240xkx

343-

34

++=

+

=

Iz ena~be interpolacijske funkcije vidimo, da sta sedaj v tej ena~bi zajeta tako osna togost stebra in upogibna togost nosilca. Ker je jasno, da ta dva parametra bistveno vplivata uspe{nost interpolacijske funkcije, lahko pri~akujemo bistveno bolj{e rezultate `e brez iteracije.


3

5 10 15 20

20

40

60

x

Posplo{ena masa m* se izra~una kot:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

kg1050132411.81834912

12M5Mdxxmdxxxmm

8

22

21

L

0x

2L

0x

2*

=

++== ==

Posplo{ena togost zna{a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

mN1079012667.98123456

dxx"EI0kdxx"xEI0kk

10

L

0x

22L

0x

22*

=

+=+= ==

Pribli`ek prve lastne frekvence tako zna{a:

Hz19343913.33439106s

rad28737120.95059691050132411.818349121079012667.98123456

mk

8

10

*

*

=

=

==

^eprav je to prakti~no do sedaj najbolj{i dobljeni rezultat, izvedimo {e prvi krog iteracije z izbolj{ano Rayleighovo metodo. Dobljene rezultate bomo torej izbolj{ali z uporabo Rayleighove metode in sicer tako, da bomo poskusili izbolj{ati upogibe. Pomika pod masama sta:

( ) ( )( ) ( ) 814814973.881481412v

518518655.72685185v0

2

01

==

==


4

Vztrajnostni sili sta:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 260222

2222

2601

21

2111

N1044444451.71774444vMm45.3

12Mm45.3t,xvMm45.3P

N1059259261.15633217vMm5.35

5Mm5.35t,xvMm5.35P

=++=

++=++

=++=

++=++

&&

&&

Pomika v1 in v2 pod vztrajnostnima silama P1 in P2 sta:

( )

( )

2

2

2

21112

2

221

2

11

1

609574690.17842469

Pk4.0P

EI6.153P

k4.075.0P

EI6666666.103v

866943160.13408635

Pk

4.075.0PEI

6666666.103Pk75.0P

EI75.93v

=

++

+=

=

+++=

Nov pribli`ek lastne frekvence sedaj izra~unamo kot:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Hz59790483.24062478s

rad413455520.3614460

84224561113.239793523657461536.401

vm5.7Mvm5.8M

vvm5.7Mvvm5.8M1 42

2122

2111

12

022

11

011

=

=

=+++

+++=

Vidimo, da iteracija ni prinesla pri~akovane izbolj{ave. Vzrok za tak rezultat le`i v koncentraciji porazdeljene mase v (samo) dve to~ki, in v metodi sami. Nadaljevanje iteracije ne prinese ni~esar k izbolj{anju rezultata.

Documents

e14a