1

西安石油大学教案（数学分析）

第 1 次课 2 学时

章节 §1.1 函数

讲授主要

内容函数的概念、函数的四则运算、函数的图象、数列

重点

难点

重点：函数概念，函数要素、函数的四则运算、函数的图象

难点：把数列看作特殊的函数研究

要求掌握

知识点和

分析方法

掌握函数的概念、函数的图象，把数列看作特殊的函数

教授思

路，采用

的教学方

法和辅助

手段，板

书设计，

重点如何

突出，难

点如何解

决，师生

互动等

思路：通过生活中的实例引入集合相关概念，给出集合的表达形式并讨论其运算，通

过对集合运算法则的证明培养学生严谨的逻辑思维；给出映射概念及其表示形式并举

例说明，通过对实例的分析，对映射进行分类；在映射概念的基础上，说明函数是一

种特殊的映射，并列举多个常用函数进行分析；结合数字运算理解函数的四则运算，

通过对比，掌握函数的四则运算。

教学方法和辅助手段：实例教学方法和画图辅助法。

难点突破：通过实例的列举和画集合之间的关系图示，帮助学生理解映射、逆映射和

复合映射的概念，在此基础上利用映射引入函数概念，分析函数定义的两个要素。把

数列看作是特殊的函数研究数列。

作业布置 数学分析课后练习题 1.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

2

西安石油大学教案（数学分析）

第 2 次课 2 学时

章节 §1.2 四类具有特殊性质的函数

讲授主要

内容四类有特殊性质的函数，如有界、单调、奇、偶和周期函数

重点

难点

重点：函数的有界、单调、奇、偶和周期性质

难点：这四类有特殊性质函数的图象

要求掌握

知识点和

分析方法

熟练掌握这四类函数，利用图象，深入了解。

教授思

路，采用

的教学方

法和辅助

手段，板

书设计，

重点如何

突出，难

点如何解

决，师生

互动等

思路：先给出这四类特殊性质函数的定义，及其定义的变形定义，然后通过图象更加

深入，形象的理解，最后给出相关例题进行强化练习。

难点突破：本节的难点是这四类函数的图象。首先对于函数的有界性，结合图象，例

题来掌握。对于函数的但调性，奇，偶性结合初等数学里的内容结合图象，例题更加

深入讲授。而对于周期函数，主要掌握几类典型函数的周期，并能够作出他们的图像。

作业布置 数学分析课后练习题 1.2

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

3

西安石油大学教案（数学分析）

第 3 次课 4 学时

章节 §1.3 复合函数与反函数，习题课

讲授主要

内容复合函数，反函数与初等函数

重点

难点

重点：复合函数，反函数与初等函数

难点： 理解反函数的定义，及其与原函数的关系

要求掌握

知识点和

分析方法

熟练掌握复合函数、反函数与初等函数。利用反函数与原函数之间的图象解题，

分清复合函数的结构，由内到外逐层分析。

教授思

路，采用

的教学方

法和辅助

手段，板

书设计，

重点如何

突出，难

点如何解

决，师生

互动等

思路：使学生深刻理解复合函数，反函数的概念，熟悉与其性态有关的一些常见术语。

要求学生：深刻理解复合函数和反函数的定义以及掌握复合函数的结构，反函数和原

函数定义域、值域及图象之间的关系；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会

求函数的定义域，会分析函数的复合关系。

难点突破： 理解复合函数的结构，反函数与原函数图象，定义域和值域之间的关系。

作业布置 数学分析课后练习题 1.3

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

4

西安石油大学教案（数学分析）

第 4 次课 2 学时

章节 §2.1 数列的极限

讲授主要

内容数列极限的 Nε − 定义、收敛数列的性质、简单的数列极限计算

重点

难点

重点：数列极限的 Nε − 定义，收敛数列的性质，简单的数列极限计算

难点：数列极限的 Nε − 定义

要求掌握

知识点和

分析方法

数列极限的 Nε − 定义、会做简单的给出ε 求N 的计算，收敛数列的性质，简单的

数列极限计算

教授思

路，采用

的教学方

法和辅助

手段，板

书设计，

重点如何

突出，难

点如何解

决，师生

互动等

思路：通过讨论典型数列1nn

+

，{ }2n ，12n

，{ }1( 1)n−− 和1( 1)nn

n

− + −

，启发

学生认识到：数列 na 当n→∞时有四种变化趋势：（1）与某常数a无限接近；（2）无

限增大；（3）无限减小；（4）无特定的变化趋势，在此基础上引入数列极限的 Nε − 定

义，并进一步利用该定义，证明数列极限的四条重要性质。

教学方法和辅助手段：本节在教师的引导下，启发学生发现、总结、思考并解决问题。

难点突破：在老师的启发下，师生互动的过程中，通过对数列1( 1)nn

n

− + −

与常数

1a = 的关系的细致入微地剖析，逐渐将数列极限概念渗透到学生的头脑中。在讲解难

点时，注意结合数列极限的几何意义这一重要的辅助手段，帮助学生理解数列极限的

Nε − 定义的本质。

作业布置 数学分析课后练习题 2.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

5

西安石油大学教案（数学分析）

第 5 次课 6 学时

章节 §2.2 收敛数列，习题课

讲授主要

内容收敛数列的性质，收敛数列的四则运算，数列的收敛判别法，子数列

重点

难点

重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。数列极限的计算。

难点：收敛数列的判别准则。

要求掌握

知识点和

分析方法

掌握收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理。会用这些定理求某

些收敛数列的极限；

教授思

路，采用

的教学方

法和辅助

手段，板

书设计，

重点如何

突出，难

点如何解

决，师生

互动等

思路：在理解收敛数列的性质，理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号

性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定

理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意

义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学方法和辅助手段：本节在教师的引导下，启发学生发现、总结、思考并解决问题。

难点突破：在老师的启发下，师生互动的过程中，通过对收敛数列与子数列关系的细

致入微地剖析，逐渐将数列极限概念渗透到学生的头脑中。在讲解难点时，注意结合

极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；

作业布置 数学分析课后练习题 2.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

6

西安石油大学教案（数学分析）

第 6 次课 2 学时

章节 §2.3 函数的极限

讲授主要

内容函数极限的ε δ− 、 Xε − 定义，函数极限的性质，简单的函数极限计算

重点

难点

重点：函数极限的ε δ− 、 Xε − 定义，函数极限的性质，简单的函数极限计算

难点：函数极限的ε δ− 、 Xε − 定义

要求掌握

知识点和

分析方法

函数极限的ε δ− 定义、会做简单的给出ε 求δ 的计算，函数极限的性质，简单的函

数极限计算

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：在分析数列与函数关系的基础上，启发学生思考函数极限可能出现的自变量变

化情形，抛开数列极限定义中的特殊性，给出自变量的两种变化趋势；与数列极限的

Nε − 对比给出自变量趋于有限值时函数极限为 A的ε δ− 、自变量趋于无穷大时函数

极限为 A的 Xε − 定义，利用定义证明几个简单函数的极限；进一步分别给出两种情

形下函数极限为 A的几何解释和单侧极限的定义，讨论极限存在与单侧极限之间的关

系并举例说明；与数列极限的四条性质相对应，给出函数极限的相应性质，并利用几

何解释作为辅助思考手段，启发学生共同完成证明。

教学方法和辅助手段：和数列极限进行类比进行讲授，以几何解释作为辅助手段。

难点突破：本节的难点在于函数极限的ε δ− 、 Xε − 定义，在讲授时首先分析数列与

函数关系，从而启发学生思考函数自变量可能出现的变化情形与数列变化情形的不同，

在此基础上给出自变量的两种变化情形，并与数列类比得出相应的函数极限定义。

作业布置 数学分析课后练习题 2.3

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

7

西安石油大学教案（数学分析）

第 7 次课 6 学时

章节 §2.3 函数极限的定理，习题课

讲授主要

内容函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，函数极限存在判别法，

重点

难点

重点：函数极限的基本性质,如唯一性、有界性、保号性。极限存在的几种判别方法

难点：极限存在的判别方法单调有界公理，夹逼定理，Heine 定理及 Cauchy 准则。

要求掌握

知识点和

分析方法

掌握极限存在的几种判别法，单调有界公理，夹逼定理，Heine 定理及 Cauchy 收敛

准则。

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：在分析数列极限与函数极限关系的基础上，启发学生思考函数极限与数列极限

的不同与相同之处, 掌握函数极限的基本性质,如唯一性、有界性、保号性。掌握函数

极限存在的几种判别法，单调有界公理，夹逼定理，Heine 定理及 Cauchy 收敛准则。

并利用几何解释作为辅助思考手段，启发学生共同完成证明。

教学方法和辅助手段：和数列极限进行类比进行讲授，以几何解释作为辅助手段。

难点突破：本节的难点在于掌握函数极限的判别方法如单调有界公理，夹逼定理，Heine

定理及 Cauchy 收敛准则。

作业布置 数学分析课后练习题 2.4

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

8

西安石油大学教案（数学分析）

第 8 次课 4 学时

章节 §1.4 无穷小与无穷大 ，习题课

讲授主要

内容无穷小、无穷大的定义，无穷大、无穷大的关系，无穷小的关系

重点

难点

重点：无穷大、无穷小的定义，无穷大、无穷小的关系

难点：无穷小与极限的关系

要求掌握

知识点和

分析方法

无穷大、无穷小的定义，无穷大、无穷小的关系.

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：给出无穷小的定义并举例，强调学生注意无穷小与很小数的区别，利用无穷小

给出函数极限存在的充要条件；给出无穷大的定义并举例，同样强调学生注意无穷大

与很大数的区别，给出函数 ( )f x 为当 0x x→ 时无穷大的几何意义并举例说明；利用

函数极限的定义证明无穷大与无穷小之间的关系定理；利用极限定义、无穷小与函数

极限的关系证明极限相关运算法则，在此基础上举例说明这些法则的使用，总结有理

函数极限计算的各种可能情形。

教学方法和辅助手段：以讲授和实例为主的教学方法。

难点突破：本节的难点是无穷小的概念,无穷小与极限的关系.

作业布置 数学分析课后练习题 2.5

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

9

西安石油大学教案（数学分析）

第 9 次课 2 学时

章节 §3.1 连续函数

讲授主要

内容连续函数概念,间断点及其分类

重点

难点

重点：函数连续性的概念和连续函数的概念

难点：函数连续性的概念

要求掌握

知识点和

分析方法

如何判断连续函数,函数的间断点及其分类

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练

写出函数在一点连续的各种等价叙述；应使学生从分析导致函数在一点不连

续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从

反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类

型的间断点；明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础

的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学方法和辅助手段：实例教学法和变式教学法。

难点突破：本节的难点是函数连续性概念

作业布置 数学分析课后练习题 3.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

10

西安石油大学教案（数学分析）

第 10 次课 6 学时

章节 §3.2 连续函数的性质，习题课

讲授主要

内容

闭区间上连续函数的有界性，最值性及介值性等性质。反函数连续的充分条件，

初等函数的连续性。

重点

难点

重点：连续函数在闭区间的性质。

难点：闭区间上连续函数的性质。

要求掌握

知识点和

分析方法

熟练连续函数的性质并能加以应用；知道所有初等函数都是在其定义域

上的连续函数，并能加以证明.

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性

质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问

题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；掌握闭区间上连续函数的主

要性质 ，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；理解

函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与

在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。深刻理解初等函数在

其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以

证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。

教学方法和辅助手段：发现教学法和实例教学法。

难点突破：一致连续的概念,等函数连续性命题的证明.

作业布置 数学分析课后练习题 3.2

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

11

西安石油大学教案（数学分析）

第 11 次课 4 学时

章节 §4.1 实数连续性定理

讲授主要

内容

实数连续性等价的六个定理：闭区间套定理，确界原理，有限覆盖原理，聚点原

理，致密性定理，Cauchy 准则。

重点

难点

重点：实数连续性等价的六个定理：闭区间套定理，确界原理，有限覆盖原理，聚

点原理，致密性定理，Cauchy 准则。

难点：实数连续性等价的六个定理的证明。

要求掌握

知识点和

分析方法

掌握描述实数连续性等价的六个定理：闭区间套定理，确界原理，有限覆盖原理，

聚点原理，致密性定理，Cauchy 准则

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：与使学生掌握实数,实数连续性的概念，建立起实数连续性的清晰

概念；掌握描述实数连续性等价的六个定理：闭区间套定理，确界原理，有限覆盖原

理，聚点原理，致密性定理，Cauchy 准则.掌握这六个定理的内容,在证题的过程中,

会运用这几个定理.

教学方法和辅助手段：发现教学法、实例教学法和图形辅助相结合。

难点突破：本节的难点在于学生对实数连续性等价的六个定理：闭区间套定理，确界

原理，有限覆盖原理，聚点原理，致密性定理，Cauchy 准则这几个定理的理解,会用这

些定理去证题.

作业布置 数学分析课后练习题 4.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

12

西安石油大学教案（数学分析）

第 12 次课 4 学时

章节 §4.2 闭区间连续函数整体性质的证明，习题课

讲授主要

内容一致连续的概念,闭区间上连续函数性质的证明,上下确界的概念。

重点

难点

重点：闭区间上连续函数性质。

难点：闭区间上连续函数性质的证明,上下确界的概念

要求掌握

知识点和

分析方法

了解一致连续的概念,掌握闭区间上连续函数性质的证明,掌握上下确界的概念。

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：连续上节所学的知识点,对闭区间上连续函数的三个性质:有界性、最值性和零

点定理给出了证明，掌握这三个性质的证明过程中所采用的方法。理解一致连续的概

念。掌握一致连续性的证明方法。

教学方法和辅助手段：系统地总结该章的重点和难点，主要使用实例教学法。

难点突破：闭区间上连续函数性质的证明,上下确界的概念。

作业布置 数学分析课后练习题 4.2

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

13

西安石油大学教案（数学分析）

第 13 次课 2 学时

章节 §5.1 导数

讲授主要

内容导数定义，导数的几何意义，利用定义求函数的导数

重点

难点

重点：导数定义及利用定义求导数，导数的几何意义

难点：导数定义

要求掌握

知识点和

分析方法

理解导数的定义和导数的几何意义，能利用导数的定义求函数的导数

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：从极限思想出发，用直线运动平均速度的极限定义其瞬时速度并给出表达式，

用曲线上一点处割线的极限位置定义曲线上该点的切线，进一步给出切线斜率的表达

式；比较瞬时速度与切线斜率表达式的共同点，撇开其具体意义，得出函数的导数定

义，进一步给出导函数的定义；结合极限计算方法，计算 , ,sin ,nC x x ,xa loga x等基

本初等函数的导函数，给出不可导典型实例： | |y x= 在 0x = 处；定义左导数和右导

数，在此基础上给出函数在区间可导的定义；解释导数几何意义，并用几何意义说明

函数 | |y x= 在 0x = 处不可导；最后给出并证明函数可导性与连续性之间的关系。

教学方法和辅助手段：发现教学法和图形辅助相结合。

难点突破：本节的难点是导数定义，为了解决这一难点，首先在讨论直线运动的瞬时

速度和曲线上一点切线斜率问题时，采用发现教学法，启发学生去发现瞬时速度与平

均速度、切线与割线的关系，然后与学生一起给出极限的表达形式，最后和学生讨论

这一形式中各部分的含义，从而促使学生牢固理解记忆导数定义。

作业布置 数学分析课后练习题 5.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

14

西安石油大学教案（数学分析）

第 14 次课 6 学时

章节 §5.2 求导法则与导数公式，习题课

讲授主要

内容函数的四则运算的求导法则，反函数、复合函数求导法则

重点

难点

重点：函数的四则运算的求导法则，反函数、复合函数求导法则

难点：反函数、复合函数的导数

要求掌握

知识点和

分析方法

能利用函数的四则运算的求导法则、复合函数求导法则求函数导数，会求反函数的

导数

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：利用极限运算和函数可导一定连续证明函数四则运算的求导法则，举例说明这

些法则的使用，完善基本初等函数中三角函数的求导公式，在证明函数乘积和商的求

导法则中，启发学生思考中间量的引入方法；然后证明反函数的求导公式，用指数函

数和对数函数导数进行验证，进一步求出反三角函数的求导公式；接着证明复合函数

的求导法则，从复合函数实例出发，逐步分解、求导，帮助学生理解这一法则；最后

总结基本求导法则与导数公式，并进一步用实例进行说明。

教学方法和辅助手段：启发式教学法和实例教学法。

难点突破：本节的难点在于反函数和复合函数的求导方法，解决这一难点的关键在于

通过实例函数的分析，将复杂的函数分解，帮助学生理清函数关系，再结合求导运算

加深学生对基本求导法则与导数公式的记忆，使学生作到不仅知道公式、法则，而且

还能独立的合理运用这些法则和公式。

作业布置 数学分析课后练习题 5.2

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

15

西安石油大学教案（数学分析）

第 15 次课 2 学时

章节 §5.3 隐函数与参数方程求导法则

讲授主要

内容隐函数求导法则，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变换率

重点

难点

重点：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变换率

难点：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

要求掌握

知识点和

分析方法

会计算隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，理解相关变化率的求解办法

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：首先给出隐函数的定义，介绍隐函数的显化；进一步提出隐函数显化有困难情

况下函数的求导问题，启发学生思考在这种情况下，如何去求隐函数的导数，通过实

例说明这一方法，在隐函数求导运算的基础上，介绍对数求导法并以实例说明这一方

法的适用情形；然后从抛射体运动轨迹函数表达式的建立，提出参数方程所确定函数

的导数计算方法，用复合函数和反函数求导法则给出求导方法并通过实例说明；最后

通过实际问题引入相关变化率的定义，给出其在物理、经济上的运用实例。

教学方法和辅助手段：启发式教学法和实例教学法相结合。

难点突破：针对本节隐函数所确定函数的求导问题，需要在实例的讲授过程中，将求

导过程须将 y看作是 x的函数这一本质逐步渗透到学生头脑中；而对于参数方程所确

定函数的求导问题，主要在于高阶导数的求法上，需要启发学生思考，得出参数方程

的导数仍然以参数方程形式表示，从而帮助学生理解参数方程高阶求导运算的本质。

作业布置 数学分析课后练习题 5.3

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

16

西安石油大学教案（数学分析）

第 16 次课 4 学时

章节 §5.4 微分，习题课

讲授主要

内容微分的概念，微分的运算法则和求导公式，微分在近似计算中的应用。

重点

难点

重点：微分的定义、计算、几何意义

难点：微分的定义、几何意义

要求掌握

知识点和

分析方法

理解微分的定义，会计算函数的微分，了解微分的几何意义

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：通过一段曲线，引入可微性及微分的定义，给出可微与可导之间的关系；从几

何上解释微分意义，提出以切线段代替曲线段的重要数学思想，为后续弧微分及弧长

计算打好基础；总结基本微分公式和微分运算法则，从复合函数微分法则给出微分形

式不变性并通过实例说明；从微分定义出发，说明微分在函数近似计算中的应用，总

结常用的近似计算公式，在近似计算的基础上引入误差、相对误差等误差定义，进行

误差分析。

教学方法和辅助手段：启发式教学法、画图辅助法结合实例教学法。

难点突破：为了解决微分定义这一难点，应启发学生思考变化量划分中每一部分与变

化量之间的关系；而针对微分几何意义这一难点，应当有意识地向学生渗透以切线段

代替曲线段的以直代曲的数学思想。

作业布置 数学分析课后练习题 5.4

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

17

西安石油大学教案（数学分析）

第 17 次课 4 学时

章节 §2.5 高阶导数与高阶微分，习题课

讲授主要

内容高阶导数的定义、计算，高阶微分。

重点

难点

重点：高阶导数，高阶微分的概念。

难点：高阶导数的 Leibniz 公式。

要求掌握

知识点和

分析方法

掌握高阶导数，高阶微分的概念和计算，了解高阶导数的 Leibniz 公式

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：首先结合实例复习基本求导法则与导数公式，进一步加强学生求导运算的能力；

从物理中变速直线运动速度与位置函数、加速度与速度函数之间的关系，引入二阶导

数的定义和表达形式，将其拓展到n阶导数的定义和表达形式，举例计算，并说明高

阶导数求导运算与普通求导运算的关系；利用数学归纳法证明高阶导数的 Leibniz 公

式，将其与二项式定理形式进行比较，帮助学生记忆，最后通过实例2 2xx e 的求导运算

说明利用这一公式简化高阶导数求导运算的适用情形，类似引出高阶微分的定义。

教学方法和辅助手段：讲授和实例为主的教学方法。

难点突破：本节的难点在于高阶导数计算中的简化技巧，在讲授中以sin xx a、 的高阶

导数为例，将一阶导数的形式进行适当地转化，使其与sin xx a、 形式相近，再结合复

合函数求导法则，给出二阶导数表达式，进一步给出n阶导数表达式；最后对 Leibniz

公式的适用情形进行总结。

作业布置 数学分析课后练习题 5.5

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

18

西安石油大学教案（数学分析）

第 18 次课 6 学时

章节 §6.1 中值定理，习题课

讲授主要

内容罗尔定理，拉格朗日中值定理及推论，柯西定理

重点

难点

重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理及推论，柯西定理

难点：拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造

要求掌握

知识点和

分析方法

理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西定理，掌握拉格朗日中值定理证明中辅助

函数的构造方法

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：首先从分析实际生活中山丘顶部的曲线特征出发，启发学生得出费马引理并在

几何图形的帮助下加以证明，以此为基础证明罗尔定理，给出罗尔定理在代数方程确

定根个数和范围的应用实例；然后利用罗尔定理从几何分析、代数讨论两方面构造辅

助函数证明拉格朗日中值定理，启发学生思考辅助函数的构造方法；给出拉格朗日中

值公式的不同表达形式，利用拉格朗日中值定理证明“某一区间上导数恒为零的函数

在该区间上为常值函数”；最后举出利用拉格朗日中值定理证明不等式的实例。

教学方法和辅助手段：启发式教学法、图形辅助相结合。

难点突破：为了解决拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造这一难点，应从代数几

何两个方面进行构造：一方面从几何上分析曲线段与割线段的位置关系，从中得出辅

助函数的构造方法；另一方面，代数上，对定理结论作等价变形并与罗尔定理结论对

比，逆向思维，启发学生思考构造什么样的函数能够满足罗尔定理的条件。

作业布置 数学分析课后练习题 6.1

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

19

西安石油大学教案（数学分析）

第 19 次课 4 学时

章节 §6.2 洛必达法则，习题课

讲授主要

内容洛必达法则

重点

难点

重点：洛必达法则

难点：洛必达法则的适用情形

要求掌握

知识点和

分析方法

掌握洛必达法则，或正确运用后求某些不定式的极限。

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：通过实例引入未定式，给出未定式计算的洛必达法则并用柯西中值定理进行证

明；将洛必达法则适用范围进行拓宽、总结并举例说明。

教学方法和辅助手段：讲授为主的教学方法。

难点突破：对于洛必达法则适用情形这一难点，需要向学生强调定理三个条件缺一不

可，并分别举反例进行说明，同时对其它形式未定式进行总结，说明这些未定式向0 ,0∞∞

的转化方法，进一步使用洛必达法则进行计算。

作业布置 数学分析课后练习题 6.2

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

20

西安石油大学教案（数学分析）

第 20 次课 4 学时

章节 §6.3 泰勒公式，习题课

讲授主要

内容泰勒公式、麦克劳林公式，常用的几个展开式

重点

难点

重点：泰勒公式、麦克劳林公式

难点：泰勒公式的证明，余项的不同表达形式

要求掌握

知识点和

分析方法

了解泰勒公式的条件，能写出简单函数的泰勒公式，能利用泰勒公式证明不等式、

求极限等

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：首先指出利用函数微分进行近似计算“精确度不高”、“不能具体估计误差”这

两个缺点，通过 20

1limx

x

e xx→

− −，

2

30

12lim

x

x

xe x

x→

− − −启发学生思考这一近似计算方法可

否改进，应当如何改进；给出近似代替的多项式形式并分析得出各项系数，进一步证

明泰勒中值定理；给出泰勒公式余项不同形式，原点处泰勒公式即麦克劳林公式并计

算出 sinxe x、 的麦克劳林公式；利用泰勒公式计算极限和证明不等式，说明其余项不

同形式的适用情形。

教学方法和辅助手段：启发式教学法和实例教学法相结合

难点突破：针对泰勒公式证明这一难点，回顾中值定理一节用柯西中值定理证明的习

题 15，比较两者之间关系，可以分解证明难度；对于余项不同表达形式这一难点，分

别给出实例进行分析，启发学生理解余项不同形式的适用情形。

作业布置 数学分析课后练习题 6.3

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注

21

西安石油大学教案（数学分析）

第 21 次课 8 学时

章节 §6.4 导数在研究函数上的应用，习题课

讲授主要

内容

函数的单调性，函数的极值与最值，函数的凸凹性，曲线的渐进线，描绘函数图

象。

重点

难点

重点：函数的单调，凹凸等性质

难点：极值的判定，利用凸性证明相关命题

要求掌握

知识点和

分析方法

会求函数的极值和最值，掌握讨论函数的凹凸性和方法。

教授思

路，采用

的教学方

法和 辅

助手段，

板书设

计，重点

如何突

出，难点

如何解

决，师生

互动等

思路：弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握

求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最

值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基本

的了解。弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能

应用函数的凸性证明某些有关的命题。

教学方法和辅助手段：系统讲授法＋演示例题

难点突破：本节的难点在于曲线 ( )y f x= 拐点的定义，为了解决这一难点，需要在讲

述定义的同时将其与曲线驻点的定义进行比较，帮助学生很好的区别记忆这两个定义。

从实例的分析中，逐步将（1）找可能极值点（2）利用定理进行判断这一步骤渗透到

学生头脑中，使得他们在问题解决过程中步骤清楚，有的放矢。

作业布置 数学分析课后练习题 6.4

主要

参考资料

1、《数学分析》上、下册,华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2001

2、《数学分析》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

3、《数学分析习题课讲义谢惠民》，恽自求 等，高等教育出版社，2003

备注