中国科学技术大学 陈凯

量子信息物理学PH3520201

量子信息导论00220201

中国科学技术大学微尺度国家实验室/近代物理系

陈凯2019.9

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第一章 量子体系

量子态表示，密度矩阵，

混合态，量子不可克隆定理，

Schmidt分解，量子测量等

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Schmidt decomposition任意两体纯态

∑∑= =

⊗=⟩Φn

i

m

jij jia

1 1|

存在一组正交态|µ1⟩, |µ2⟩, …, |µn⟩以及|ϕ1⟩, |ϕ2⟩, …, |ϕn⟩使得

∑=

⊗=⟩Φn

ccccp

1| ϕµ

假设 n ≤m

ΦΦ1Tr 的本征态|ϕ1⟩, |ϕ2⟩, …, |ϕn⟩为

参考QCQI §2.5, M.A. Nielsen and I.L. Chuang

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也即

|11||00| ⟩⟨+⟩⟨=I |01||10|1 ⟩⟨+⟩⟨=σ|11||00|3 ⟩⟨−⟩⟨=σ |01||10|2 ⟩⟨+⟩⟨−= iiσ

=I

=

1001

0σ

=

0110

1σ

−=

00

2 ii

σ

−

=10

013σ

, , ,

( )321

0001

|00| σ+=

=⟩⟨ I

( )321

1000

|11| σ−=

=⟩⟨ I

( )2121

0010

|10| σσ i+=

=⟩⟨

( )2121

0100

|01| σσ i−=

=⟩⟨

密度矩阵矩阵元的表示

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两比特密度矩阵BA HH ⊗∈ρ

⟩⟩⟩⟩

=

⟨⟨⟨⟨

11,1110,1101,1100,11

11,1010,1001,1000,10

11,0110,0101,0100,01

11,0010,0001,0000,00

11|10|01|00|

|11|10|01|00

ρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρ

用到 ( )321|00| σ+=⟩⟨ I

( )321|11| σ−=⟩⟨ I

( )2121|10| σσ i+=⟩⟨

( )2121|01| σσ i−=⟩⟨

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⊗+⋅⊗+⊗⋅+⊗= ∑

=

3

1,,4

1nm

Bn

Amnm

BABABA rIIII ba σσρ σσvvvv

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密度矩阵性质

∑=i

ipTr 22ρ因此

纯态

混合态

混合程度，最小值？

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一般地

仍然为一个密度矩阵

所有N维Hilbert空间H中的密度矩阵构成一个凸集

密度矩阵性质

21 )1()( ρλλρλρ −+=

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作用一个幺正变换U在初态 ，我们有ψ

ψU

( ) †† UUUU ψψψψ =

密度矩阵演化

密度矩阵变为

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作用一个幺正变换U在一个系综上 ，我们有

密度矩阵演化

密度矩阵变为

{ }kkq ψ,

{ }kk Uq ψ,

†

†

t

UU

UqU

UUq

kk

kk

kk

kk

ρ

ψψ

ψψ

=

= ∑

∑

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系综分解

正交归一基矢下的系综分解

任意系综生成和表示

可以证明，同一密度矩阵的两组系综之间存在一个幺正变换关系

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Trace操作

对于混合态

意味着对于各种量子态的测量输出总的概率为1

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Trace操作性质矩阵对角元求和

221100

222120

121110

020100

aaaaaaaaaaaa

Tr ++=

特性 [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] i

ii AATr

ATrUAUTrCABTrABCTr

BATrABTrByTrAxTryBxATr

φφ∑=

=

==

+=+

t

][][

正交基展开 iφ

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Trace操作

可分离态情形

*)( ψϕϕψ =Tr

∑ ⊗=⊗ij BBiAAiBA jjqiip )()(ρρ

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Trace操作纠缠态情形

我们得到

∑∑==j

BAjBAi

iABABAB jjii *ααψψρ

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Trace操作一个例子

我们得到

量子态纯化Purification

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++++

=

→

33223120

13021100

3332

2322

3130

2120

1312

0302

1110

0100

33323130

23222120

13121110

03020100

2

aaaaaaaa

aaaa

Traaaa

Tr

aaaa

Traaaa

Tr

aaaaaaaaaaaaaaaa

Tr

Trace操作作用在矩阵上

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??

||

==

=

⟩=⟩Φ ∑

B

A

ijij

ABij

ijAB

aA

ija

ρρ

约化密度矩阵 －练习

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沿基矢 进行测量

量子测量

量子测量 如对于任意叠加态

∑∑==

==n

ii

n

iii aa

1

2

11||,|| βφ

φβ |iia =几率幅

nii 1}{ =β

2|| ia几率

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Von Neumann测量是投影测量的一种类型。给定一组正交基 ，如果我们对于量子态

实施沿基矢 的Von Neumann测量，则有

}{ kψ

∑=Φ kk ψα }{ kψ kψ

( ) ( )ΦΦ=ΦΦ=

ΦΦ=Φ=

kkkk

kkkk

TrTr ψψψψ

ψψψα22

Von Neumann测量

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例如考虑对于量子态

实施相对于基矢 的Von Neumann测量

−+

210

,2

10

−−+

++=Φ

210

2210

2βαβα

)10( βα +=Φ

因此我们有测得 的几率为

+

210

2

2βα +

Von Neumann测量

注意到

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实际上

2210 βα +

=Φ

+

2210 ** βα +

=

+Φ

2210

210

210

210

2βα +=

ΦΦ

+

+=

+ΦΦ

+

Tr

Von Neumann测量

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投影测量(Projective measurements)

可观测量M存在一个谱分解

满足

获得结果m的几率为

系统的量子态变为

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投影测量(Projective measurements)可观测量M存在一个谱分解

更一般地定义可观测量

|01||10|1 ⟩⟨+⟩⟨=σ

|11||00|3 ⟩⟨−⟩⟨=σ

|01||10|2 ⟩⟨+⟩⟨−= iiσ

=

0110

1σ

−=

00

2 ii

σ

−

=10

013σ

, ,

称为自旋沿着 轴方向的测量

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广义测量Quantum measurements are described by a collection {Mm} of measurement operators. These are operators acting on the state space of the system being measured. The index m refers to the measurement outcomes that may occur in the experiment.

对于量子态，结果m发生的几率为

测量后的系统处于

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广义测量其中测量算符满足完备性条件

可见

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我们有投影算子 和

满足

000 =M 111 =M

例子

从而

同理

测量之后量子态处于

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广义测量是可实现的

任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统，应用一个幺正变换并实施投影测量来实现

量子系统A，测量算符Mm, 辅助系统B

定义

可见

实施投影测量

从而有输出m的几率为

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广义测量是可实现的

任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统，应用一个幺正变换并实施投影测量来实现

量子系统A，测量算符Mm, 辅助系统B

测量之后的联合量子态处于

要测量的系统处于

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POVM测量－－Positive Operator-Valued Measure

量子系统A，测量算符Mm,

我们有

对于量子态，结果m发生的几率为

定义

可见集合Em本身就可以决定所有可能的不同测量输出的几率

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How to distinguish non-orthogonal states optimally

Use generalized (POVM) quantum measurements.[see, e.g., Y. Sun, J. Bergou, and M. Hillery, Phys. Rev. A 66, 032315 (2002).]

The view from the laboratory:A measurement of a two-state system can onlyyield two possible results.

If the measurement isn't guaranteed to succeed, thereare three possible results: (1), (2), and ("I don't know").

Therefore, to discriminate between two non-orth.states, we need to use an expanded (3D or more)system. To distinguish 3 states, we need 4D or more.

H-polarized photon 45o-polarized photon

vs.

From Steinberg

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Θ

The geometric picture

Two non-orthogonal vectorsThe same vectors rotated so theirprojections onto x-y are orthogonal

(The z-axis is “inconclusive”)

90o

Θ1

2

1From Steinberg

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But a unitary transformation in a 4D space produces:

…and these states can be distinguished with certaintyup to 55% of the time

A test caseConsider these three non-orthogonal states:

Projective measurements can distinguish these stateswith certainty no more than 1/3 of the time.

(No more than one member of an orthonormal basis is orthogonal to two of the above states, so only one pair may be ruled out.)

From Steinberg

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Experimental schematic

(ancilla)

From Steinberg

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A 14-path interferometer for arbitrary 2-qubit unitaries...

From Steinberg

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Success!

The correct state was identified 55% of the time--Much better than the 33% maximum for standard measurements.

"I don't know"

"Definitely 3"

"Definitely 2""Definitely 1"

M. Mohseni, A.M. Steinberg, and J. Bergou, Phys. Rev. Lett. 93, 200403 (2004)

From Steinberg

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参考QCQI §2.2, M.A. Nielsen and I.L. Chuang

M. Mohseni, A.M. Steinberg, and J. Bergou, Phys. Rev. Lett. 93, 200403 (2004)

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