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中国科学技术大学 陈凯
量子信息物理学PH3520201
量子信息导论00220201
中国科学技术大学微尺度国家实验室/近代物理系
陈凯2019.9
中国科学技术大学 陈凯
第一章 量子体系
量子态表示,密度矩阵,
混合态,量子不可克隆定理,
Schmidt分解,量子测量等
中国科学技术大学 陈凯
Schmidt decomposition任意两体纯态
∑∑= =
⊗=⟩Φn
i
m
jij jia
1 1|
存在一组正交态|µ1⟩, |µ2⟩, …, |µn⟩以及|ϕ1⟩, |ϕ2⟩, …, |ϕn⟩使得
∑=
⊗=⟩Φn
ccccp
1| ϕµ
假设 n ≤m
ΦΦ1Tr 的本征态|ϕ1⟩, |ϕ2⟩, …, |ϕn⟩为
参考QCQI §2.5, M.A. Nielsen and I.L. Chuang
中国科学技术大学 陈凯
也即
|11||00| ⟩⟨+⟩⟨=I |01||10|1 ⟩⟨+⟩⟨=σ|11||00|3 ⟩⟨−⟩⟨=σ |01||10|2 ⟩⟨+⟩⟨−= iiσ
=I
=
1001
0σ
=
0110
1σ
−=
00
2 ii
σ
−
=10
013σ
, , ,
( )321
0001
|00| σ+=
=⟩⟨ I
( )321
1000
|11| σ−=
=⟩⟨ I
( )2121
0010
|10| σσ i+=
=⟩⟨
( )2121
0100
|01| σσ i−=
=⟩⟨
密度矩阵矩阵元的表示
中国科学技术大学 陈凯
两比特密度矩阵BA HH ⊗∈ρ
⟩⟩⟩⟩
=
⟨⟨⟨⟨
11,1110,1101,1100,11
11,1010,1001,1000,10
11,0110,0101,0100,01
11,0010,0001,0000,00
11|10|01|00|
|11|10|01|00
ρρρρρρρρρρρρρρρρ
ρ
用到 ( )321|00| σ+=⟩⟨ I
( )321|11| σ−=⟩⟨ I
( )2121|10| σσ i+=⟩⟨
( )2121|01| σσ i−=⟩⟨
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⊗+⋅⊗+⊗⋅+⊗= ∑
=
3
1,,4
1nm
Bn
Amnm
BABABA rIIII ba σσρ σσvvvv
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密度矩阵性质
∑=i
ipTr 22ρ因此
纯态
混合态
混合程度,最小值?
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一般地
仍然为一个密度矩阵
所有N维Hilbert空间H中的密度矩阵构成一个凸集
密度矩阵性质
21 )1()( ρλλρλρ −+=
中国科学技术大学 陈凯中国科学技术大学 陈凯
作用一个幺正变换U在初态 ,我们有ψ
ψU
( ) †† UUUU ψψψψ =
密度矩阵演化
密度矩阵变为
中国科学技术大学 陈凯中国科学技术大学 陈凯
作用一个幺正变换U在一个系综上 ,我们有
密度矩阵演化
密度矩阵变为
{ }kkq ψ,
{ }kk Uq ψ,
†
†
t
UU
UqU
UUq
kk
kk
kk
kk
ρ
ψψ
ψψ
=
= ∑
∑
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系综分解
正交归一基矢下的系综分解
任意系综生成和表示
可以证明,同一密度矩阵的两组系综之间存在一个幺正变换关系
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Trace操作
对于混合态
意味着对于各种量子态的测量输出总的概率为1
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Trace操作性质矩阵对角元求和
221100
222120
121110
020100
aaaaaaaaaaaa
Tr ++=
特性 [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] i
ii AATr
ATrUAUTrCABTrABCTr
BATrABTrByTrAxTryBxATr
φφ∑=
=
==
+=+
t
][][
正交基展开 iφ
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Trace操作
可分离态情形
*)( ψϕϕψ =Tr
∑ ⊗=⊗ij BBiAAiBA jjqiip )()(ρρ
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Trace操作纠缠态情形
我们得到
∑∑==j
BAjBAi
iABABAB jjii *ααψψρ
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Trace操作一个例子
我们得到
量子态纯化Purification
中国科学技术大学 陈凯中国科学技术大学 陈凯
++++
=
→
33223120
13021100
3332
2322
3130
2120
1312
0302
1110
0100
33323130
23222120
13121110
03020100
2
aaaaaaaa
aaaa
Traaaa
Tr
aaaa
Traaaa
Tr
aaaaaaaaaaaaaaaa
Tr
Trace操作作用在矩阵上
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??
||
==
=
⟩=⟩Φ ∑
B
A
ijij
ABij
ijAB
aA
ija
ρρ
约化密度矩阵 -练习
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沿基矢 进行测量
量子测量
量子测量 如对于任意叠加态
∑∑==
==n
ii
n
iii aa
1
2
11||,|| βφ
φβ |iia =几率幅
nii 1}{ =β
2|| ia几率
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Von Neumann测量是投影测量的一种类型。给定一组正交基 ,如果我们对于量子态
实施沿基矢 的Von Neumann测量,则有
}{ kψ
∑=Φ kk ψα }{ kψ kψ
( ) ( )ΦΦ=ΦΦ=
ΦΦ=Φ=
kkkk
kkkk
TrTr ψψψψ
ψψψα22
Von Neumann测量
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例如考虑对于量子态
实施相对于基矢 的Von Neumann测量
−+
210
,2
10
−−+
++=Φ
210
2210
2βαβα
)10( βα +=Φ
因此我们有测得 的几率为
+
210
2
2βα +
Von Neumann测量
注意到
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实际上
2210 βα +
=Φ
+
2210 ** βα +
=
+Φ
2210
210
210
210
2βα +=
ΦΦ
+
+=
+ΦΦ
+
Tr
Von Neumann测量
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投影测量(Projective measurements)
可观测量M存在一个谱分解
满足
获得结果m的几率为
系统的量子态变为
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投影测量(Projective measurements)可观测量M存在一个谱分解
更一般地定义可观测量
|01||10|1 ⟩⟨+⟩⟨=σ
|11||00|3 ⟩⟨−⟩⟨=σ
|01||10|2 ⟩⟨+⟩⟨−= iiσ
=
0110
1σ
−=
00
2 ii
σ
−
=10
013σ
, ,
称为自旋沿着 轴方向的测量
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广义测量Quantum measurements are described by a collection {Mm} of measurement operators. These are operators acting on the state space of the system being measured. The index m refers to the measurement outcomes that may occur in the experiment.
对于量子态,结果m发生的几率为
测量后的系统处于
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广义测量其中测量算符满足完备性条件
可见
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我们有投影算子 和
满足
000 =M 111 =M
例子
从而
同理
测量之后量子态处于
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广义测量是可实现的
任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统,应用一个幺正变换并实施投影测量来实现
量子系统A,测量算符Mm, 辅助系统B
定义
可见
实施投影测量
从而有输出m的几率为
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广义测量是可实现的
任意广义的量子测量均可以通过纠缠该系统与一个辅助系统,应用一个幺正变换并实施投影测量来实现
量子系统A,测量算符Mm, 辅助系统B
测量之后的联合量子态处于
要测量的系统处于
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POVM测量--Positive Operator-Valued Measure
量子系统A,测量算符Mm,
我们有
对于量子态,结果m发生的几率为
定义
可见集合Em本身就可以决定所有可能的不同测量输出的几率
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How to distinguish non-orthogonal states optimally
Use generalized (POVM) quantum measurements.[see, e.g., Y. Sun, J. Bergou, and M. Hillery, Phys. Rev. A 66, 032315 (2002).]
The view from the laboratory:A measurement of a two-state system can onlyyield two possible results.
If the measurement isn't guaranteed to succeed, thereare three possible results: (1), (2), and ("I don't know").
Therefore, to discriminate between two non-orth.states, we need to use an expanded (3D or more)system. To distinguish 3 states, we need 4D or more.
H-polarized photon 45o-polarized photon
vs.
From Steinberg
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Θ
The geometric picture
Two non-orthogonal vectorsThe same vectors rotated so theirprojections onto x-y are orthogonal
(The z-axis is “inconclusive”)
90o
Θ1
2
1From Steinberg
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But a unitary transformation in a 4D space produces:
…and these states can be distinguished with certaintyup to 55% of the time
A test caseConsider these three non-orthogonal states:
Projective measurements can distinguish these stateswith certainty no more than 1/3 of the time.
(No more than one member of an orthonormal basis is orthogonal to two of the above states, so only one pair may be ruled out.)
From Steinberg
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Experimental schematic
(ancilla)
From Steinberg
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A 14-path interferometer for arbitrary 2-qubit unitaries...
From Steinberg
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Success!
The correct state was identified 55% of the time--Much better than the 33% maximum for standard measurements.
"I don't know"
"Definitely 3"
"Definitely 2""Definitely 1"
M. Mohseni, A.M. Steinberg, and J. Bergou, Phys. Rev. Lett. 93, 200403 (2004)
From Steinberg
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参考QCQI §2.2, M.A. Nielsen and I.L. Chuang
M. Mohseni, A.M. Steinberg, and J. Bergou, Phys. Rev. Lett. 93, 200403 (2004)
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