-
8/19/2019 ech est
1/4
UNIVERSITE de NICE - SOPHIA ANTIPOLIS
Institut Supérieur d’Economie et de Management
ANNÉE UNIVERSITAIRE : 2012-2013 REF.
ANNÉE D’ÉTUDE : L2MATIÈRE : PROBABILITÉS,
STATISTIQUESENSEIGNANT : Julien BARRÉTHÈME DE LA SÉANCE
: Estimation; intervalles de confiance.
Correction- Fiche TD 5 - L2 Économie-Gestion
Exercice 1 : estimation d’une moyenne; écart-type connu
(Anderson)Chaque semaine, le magasin Monoprix de A. sélectionne un
échantillon de 100 clients, pourestimer le montant moyen des
dépenses de chaque client. En se fondant sur les
nombreusesenquêtes précédentes, Monoprix suppose que la dépense
de chaque client suit approximative-ment une loi normale,
d’écart-type 10 euros.Cette semaine, la moyenne d’échantillon
observée par le Monoprix de A. est 45 euros. On notem le
montant moyen dépensé par les clients cette semaine.a. On
connâıt l’écart-type, σ = 10; la dépense de chaque
client suit une loi normale. Onapplique la formule du cours, avec
σ = 10, α = 0.05, n = 100
I 0.95 = [45
−1.96
∗10/
√ 100, 45 + 1.96
∗10/
√ 100] = [43.04, 46.96]
b. Cette fois, on utilise α = 0.01 :
I 0.99 = [45− 2.58 ∗ 10/√
100, 45 + 2.58 ∗ 10/√ 100] = [42.42, 47.58]Exercice 2
: estimation d’une moyenne; écart-type connu (Anderson)
L’écart-type d’une population est supposé connu égal à 15.a.
La moyenne d’un échantillon aléatoire de 60 observations
est égale à 80. Construire unintervalle de confiance à 95% pour
la moyenne de la population.
L’échantillon est de taille n = 60; on peut
supposer que c’est suffisant pour appliquer leTCL. On peut donc
utiliser la formule du cours pour construire l’intervalle de
confiance
I 0.95 = [m± σz α/2/√
n] = [80− 1.96 ∗ 15/√ 60, 80 + 1.96 ∗ 15/√ 60] =
[76.2, 83.8]b. On effectue 60 observations supplémentaires;
la moyenne de l’échantillon aléatoire de
120 observations est toujours 80. Construire un intervalle de
confiance à 95% pour la moyennede la population.On utilise
miantenant n = 120 :
I 0.95 = [m± σz α/2/√
n] = [80 − 1.96 ∗ 15/√
120, 80 + 1.96 ∗ 15/√
120] = [77.32, 82.68]
c. Combien d’observations doit-on effectuer pour obtenir
une marge d’erreur de 1 au seuilde confiance de 95% ?
1
-
8/19/2019 ech est
2/4
La marge d’erreur ε est donnée par la formule
ε = z α/2 ∗ σ/√
n. Pour avoir ε 1.962 ∗ 152/12 ; par exemple
n = 865.Exercice 3 : estimation d’une moyenne;
écart-type inconnu
Un échantillon tiré d’une population suivant une loi normale
fournit les observations suivantes :
120, 141, 93, 105, 76, 132,
109, 117
a. Donnez une estimation ponctuelle de la moyenne de la
population.On estime la moyenne de la population par la moyenne de
l’échantillon; on trouve
x̄ = 111.6
b. Donnez une estimation ponctuelle de l’écart-type de la
population.On utilise la formule du cours; on obtient
s̄2
= (120
−111.6)2 + ... + (117
−111.6)2
7
donc s̄ = 20.85c. Donnez un intervalle de confiance
à 95% pour la moyenne de la population.
L’écart-type est a priori inconnu, donc estimé à partir de
l’échantillon; l’échantillon est petit(n = 8), mais on sait
que la loi de la population est normale; on peut donc appliquer la
formuledu cours, en utilisant la loi de Student à 7 degrés de
liberté. Donc
I = [x̄± tα/2s̄/√
n] = [111.6 ± 20.85 ∗ 2.365/√
8] = [94.17, 129.03]
Exercice 4 :1. On considère l’échantillon
suivant, constitué de tirages suivant une loi normale
d’espéranceµ et d’écart-type σ =
3, N (µ, 32) :
14.5 9.3 12.3 10.4 12.9 10.2 13.5 14.2
a. Construire un intervalle de confiance pour µ, au
niveau de confiance 99%. Expliquer lesétapes de votre
démarche.La population suit une loi normale, donc on peut
construire un intervalle de confiance avecun échantillon de taille
n = 8. L’écart-type de la population est connue, donc
on utilise la loinormale pour construire l’intervalle de
confiance.
On calcule la moyenne d’échantillon, on obtient x̄
12.2. On a la formule suivante pour lamarge d’erreur
ε = z α/2σ/√
n
Avec α = 0.01, z α/2 = 2.58. Donc
ε 2.7. On obtient l’intervalle
I = [9.5;14.9]
b. Toujours au niveau de confiance 99%, on souhaite
obtenir une marge d’erreur pour µinf́erieure ou égale à
0.5; comment choisir la taille de l’échantillon (on suppose
toujours σ = 3) ?On utilise la même formule que
ci-dessus pour la marge d’erreur. On veut ε =
2.58∗3/√ n ≤ 0.5.On obtient n
≥240.
2. On considère l’échantillon suivant, constitué de
tirages suivant une loi normale d’espéranceµ et d’écart-type
σ inconnu, N (µ, σ2) :
2
-
8/19/2019 ech est
3/4
18.8 11.2 3.4 8.6 17.4 7.7 15.8 12.5
Construire un intervalle de confiance pour µ, au niveau
de confiance 95%. Expliquer lesétapes de votre démarche.La
population suit une loi normale, donc on peut construire un
intervalle de confiance avec unéchantillon de taille n
= 8. L’écart-type de la population est inconnu, donc on
utilise une loi
de Student à 7 degrés de liberté pour construire l’intervalle
de confiance.On calcule la moyenne d’échantillon, on obtient x̄
11.9. On calcule l’écart-type d’échantillon,
on obtient s 5.27 On a la formule suivante pour la marge
d’erreurε = tα/2s/
√ n
Avec α = 0.05, on obtient tα/2 = 2.36, et
ε 4.4. On obtient l’intervalleI = [7.5;16.3]
Exercice 5 : estimation d’une proportion
Une enquête de La Poste indique que l’envoi personnalisé d’un
courrier publicitaire à un clientpotentiel entrâıne une visite en
magasin de ce client dans 46% des cas (entendu à la
radio).Supposons que ce résultat vienne d’une enquête sur 50
courriers envoyés. Construire un
intervalle de confiance à 90% pour la proportion de
destinataires du courrier se rendant enmagasin.On utilise le cours
pour l’estimation d’une proportion, avec α = 0.1; on
obtient
I = [0.46 ± z α/2
¯ p(1 − ¯ p)/n] = [0.344, 0.576]Exercice 6 :
estimation d’une proportion
Deux candidats sont en lice pour la prochaine élection, A et B.
Un sondage donne A gagnant
avec 55% des voix contre 45 à son adversaire.a. On
suppose que 250 personnes ont été sondées.
On construit l’intervalle de confiance pour la proportion de
votants en faveur de A, au seuil1− α=95% :
I = [0.55 ± 1.96 ∗
.55 ∗ .45/250] = [0.488, 0.612]b. Même question, si on
suppose maintenant que 1000 personnes ont été interrogées.On
obtient maintenant
I = [0.55
±1.96
∗
.55
∗.45/1000] = [0.519, 0.581]
Exercice 7 : taille d’échantillonsOn souhaite faire une
enquête sur le salaire annuel moyen à la sortie d’une école
d’ingénieur.Avant de commencer l’enqûete, on se pose les
questions suivantes : avec quelle précisionsouhaite-t-on
connâıtre le salaire moyen ? Quelle taille d’échantillon choisir
? On estimegrossièrement l’écart-type àenviron 3500 euros.
a. Utilisez cet ordre de grandeur pour estimer la taille
de l’échantillon si on souhaite unemarge d’erreur de 500 euros, au
seuil de confiance 95%.La marge d’erreur au seuil 95%, pour un
échantillon suffisament grand, est donnée par
laformule ε = 1.96
∗σ/√
n. On en déduit une estimation de n :
n 1.962 ∗ 35002/5002 = 189
3
-
8/19/2019 ech est
4/4
b. De même, estimer la taille de l’échantillon si on
souhaite une marge d’erreur de 100euros.Même méthode
n 1.962 ∗ 35002/1002 4706c. Recommanderiez-vous
d’utiliser plutôt une marge d’erreur de 100 ou 500 euros ?
Connaı̂tre un salaire annuel avec une précision de l’ordre de
100 euros n’est pas nécessaire; uneprécision de 500 euros semble
suffisante. De plus, recueillir des données pour un échantillon
de4700 personnes est long et cher. On choisira donc une précision
de 500 euros.
Bien sûr, ces estimations de n sont grossières,
puisqu’elles reposent sur l’estimation elle-même grossière de
l’écart-type. Elles sont néanmoins très utiles pour planifier
l’enquête nécessaire.
Exercice 8 : estimation d’une moyenne, écart-type
inconnua. Un échantillon de 11 observations fournit une
moyenne d’échantillon de 42, et un écart-typed’échantillon de 9.
On souhaite construire un intervalle de confiance pour la moyenne
de lapopulation au seuil de confiance de 90%. Quelle hypothèse
doit-on faire sur la population ?Construire l’intervalle de
confiance.
L’échantillon est très petit, trop pour que l’on puisse
utiliser le TCL; on doit donc supposerque les observations suivent
une loi normale, et il faut utiliser la loi de Student, avec 11−1 =
10degrés de liberté. On obtient une marge d’erreur de 1.812 ∗
9/√ 11 4.92
I = [37.08, 46.92]
b. L’échantillon contient maintenant 85 observations; la
moyenne d’échantillon est 44, etl’écart-type d’échantillon 9.5.
On veut construire un intervalle de confiance, comme à la
ques-tion a. A-t-on besoin de faire la même
hypothèse ? Pourquoi ? Construire l’intervalle deconfiance.
Cette fois-ci, l’échantillon est assez grand pour que l’on
puisse utiliser le TCL; il n’y a doncplus besoin de supposer que la
population suit une loi normale. On peut aussi utiliser la
loinormale pour construire la marge d’erreur, qui vaut 1.645 ∗
9.5/√ 85 1.70. Donc
I = [42.3, 45.7]
Remarque : pour plus de sécurit́e, on peut aussi utiliser la
loi de Student pour construirel’intervalle; la différence est
très faible, on obtient une marge d’erreur d’environ 1.71.
4
