CAPÍTULO I

INGENIERÍA ECONÓMICA E INTERÉS

TERMINOLGÍA BÁSICA

5.1 INGENIERÍA ECONÓMICAEs una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas. Con el auxilio de estas técnicas, puede desarrollarse un procedimiento comprensible y racional para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos mediante los cuales puede lograrse un objetivo dado; es decir, el método más económico posible.

ALTERNATIVAEs una solución aislada para una situación dada. Nos enfrentamos con alternativas en casi todo lo que hacemos, desde seleccionar el método de transporte que usaremos para ir a nuestro trabajo cada día, hasta decidir si compraremos o arrendaremos una casa. De la misma forma, en la práctica de la ingeniería hay varios modos de cumplir con una tarea específica y es necesario desarrollar la habilidad para comprarlos de una manera racional a fin de seleccionar la alternativa más económica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓNCon el fin de poder comparar los diferentes métodos de lograr un determinado objetivo, es necesario tener un criterio de evaluación que pueda utilizarse como base para juzgar las alternativas. En ingeniería económica, el dinero se utiliza como base de comparación.

FACTORES INTANGIBLESEn algunos casos, las alternativas comprenden factores intangibles, tales como el efecto de un cambio de procesos en la moral de los empleados que no pueden expresarse en términos de dinero. Cuando las alternativas disponibles tienen aproximadamente el mismo costo equivalente, los factores no cuantificables o intangibles pueden usarse como base para seleccionar la mejor alternativa.

DECISIONES ECONÓMICASCada sol que gastamos, o cada uno que nos proponemos no gastar, se convierte en la base de una toma de decisión económica. Todas las decisiones de los ejecutivos incluyen la toma de decisiones económicas. La toma de decisiones, en sentido absoluto, incluye tanto la generación como la evaluación de las alternativas.

VALOR CRONOLÓGICO DEL DINEROLas esperanzas de los prestamistas y de los accionistas por igual, de recibir una compensación por el uso de su capital invertido, confirma el hecho de que el uso de dinero cuesta dinero. El concepto llamado “valor cronológico del dinero” simplifica ese punto de vista y proporciona una base para visualizar las matemáticas.

Para factores en las alternativas, que pueden cuantificarse en términos de dinero, es importante conocer el concepto del valor del dinero en el tiempo. Se dice a menudo que

“el dinero hace dinero”. Esta afirmación es increíblemente cierta; ya que, si en efecto, invierto dinero hoy (por ejemplo en un banco o en una corporación de ahorro y crédito), mañana tendré más dinero acumulado que el que había invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un periodo dado de tiempo es lo que determina el valor cronológico del dinero y constituye el concepto más importante de la ingeniería económica.

5.2 INTERÉS

TASA DE RENDIMIENTO, RÉDITO E INTERÉSEl porcentaje de utilidad obtenido de una inversión recibe diferentes nombres, como tasa de rendimiento, rédito, utilidad, ganancia, interés, etc. Hasta cierto punto, esa costumbre saca partido del significado exacto de las palabras. Por ejemplo, el interés se refiere, generalmente al pago sobre depósitos bancarios o capital prestado más que a las utilidades producidas por una inversión de negocios. En la literatura de economía de ingeniería el término “interés” se usa indistintamente con el de “tasa de rendimiento”, probablemente debido a que las fórmulas usadas para calcular el valor cronológico del dinero en los análisis económicos son las mismas que las fórmulas tradicionales del ”interés”.

La manifestación del valor del dinero en el tiempo se llama interés y constituye una medida del incremento entre la suma original ya sea tomada en préstamo o invertida y el monto final pagado o acumulado. Por consiguiente, si se invirtió dinero en algún tiempo en el pasado el interés será:

Interés = Cantidad total acumulada – Inversión original ------------- (1)

De otra parte, si se pidió prestado dinero en un tiempo pasado, el interés será:

Interés = Cantidad presente pagada – préstamo original ---------------- (2)

En cualquier caso, existe un incremento en la cantidad de dinero que originalmente se tomó en préstamo o se invirtió y el incremento sobre el monto original es el interés. El préstamo o la inversión original es lo que llamamos principal.

CÁLCULO DE INTERÉSCuando el interés se expresa como un porcentaje de la cantidad original por unidad de tiempo, el resultado es una tasa de interés. Esta tasa se calcula como sigue:

Interés acumulado por unidad de tiempo Tasa de interés porcentual = -------------------------------------------------- x 100 % -- (3) Cantidad original

El periodo de tiempo más comúnmente utilizado para expresar las tasas de interés es un año. No obstante, las tasas de interés se expresan a menudo en periodos de tiempo menores de un año (ej. 1 % mensual), por lo cual la unidad de tiempo utilizada para expresar una tasa de interés es llamad periodo de interés.

Ejemplo: La compañía Hágase Rico invirtió $ 100,000 el 1º de mayo y retiró un total de $ 106,000 exactamente un año más tarde. Calcular:a) El interés obtenido de la inversión original, yb) La tasa de interés de la inversión.

Solución:a) Utilizando la ec. (1)

Interés = 106,000 – 100,000 = $ 6,000

b) La ec. (3) se utiliza para obtener:

$ 6,000/añoTasa de interés porcentual = --------------- x 100 % = 6 % anual $100,000

Ejemplo: Juan Silva planea solicitar un préstamo de $ 20,000 por un año al 15 % de interés. Calcule:

a) El interés, yb) La cantidad total de la deuda después de un año

Solución:a) Interés:

Interés = $ 20,000 (0.15) = $ 3,000

b) Cantidad Total:

Deuda Total = $ 20,000 + $ 3,000 = $ 23,000 óDeuda Total = $ 20,000 (1.15) = $ 23,000

EQUIVALENCIAEl valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizados conjuntamente generan el concepto de equivalencia, el cual expresa que diferentes cantidades de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico. Es importante observar que esto no significa, ni quiere decir, que esas cantidades son iguales; no lo son, sólo son iguales sus valores cronológicos. Por ejemplo, si la tasa de interés es del 12 % anual, entonces $ 100 hoy, serán equivalentes a $ 112 dentro de un año, ya que:

Cantidad acumulada = 100 + 100 (0.12) = 100 (1.12) = $ 112

EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS POR EQUIVALENCIAEl concepto de equivalencia es la base para comparar proposiciones alternativas para gastar dinero. Esas proposiciones se describen generalmente por medio de una serie cronológica de costos que no puede ser evaluada mediante una inspección simple. Al utilizar la equivalencia se hace posible comparar esas alternativas.

El concepto de equivalencia puede ilustrarse además, considerando diferentes esquemas de pago de un préstamo. Cada plan representa el pago de un crédito de $ 5,000 en 5

años con una tasa de interés del 15 % anual. La Tabla 1 presenta los detalles de los cuatro planes de pago que se describen a continuación:

Tabla 1. Diferentes Esquemas de Pago de $ 5,000 al 15 % a 5 Años(1)

Fin de año(2) = 0.15 (5)

Interés por año(3) = (2) + (5)

Total adeudado al final del año, $

(4) Pago por Plan, $

(5) = (3) – (4)Saldo después del

pago, $Plan 1

0 5,000.001 750.00 5,750.00 0.00 5,750.002 862.50 6,612.50 0.00 6,621.503 991.88 7,604.38 0.00 7,604.384 1,140.66 8,745.04 0.00 8,745.045 1,311.76 10,056.80 0.00 0.00

10,056.80Plan 2

0 5,000.001 750.00 5,750.00 750.00 5,000.002 750.00 5,750.00 750.00 5,000.003 750.00 5,750.00 750.00 5,000.004 750.00 5,750.00 750.00 5,000.005 750.00 5,750.00 5,750.00 0.00

8,750.00Plan 3

0 5,000.001 750.00 5,750.00 1,750.00 4,000.002 600.00 4,600.00 1,600.00 3,000.003 450.00 3,450.00 1,450.00 2,000.004 300.00 2,300.00 1,300.00 1,000.005 150.00 1,150.00 1,150.00 0.00

7,250.00Plan 4

0 5,000.001 750.00 5,750.00 1,491.58 4,258.422 638.76 4,879.18 1,491.58 3,405.603 510.84 3,916.44 1,491.58 2,424.864 363.73 2,788.59 1,491.58 1,297.015 194.57 1,491.58 1,491.58 0.00

7,457.90SIMBOLOS Y SU SIGNIFICADOLas relaciones matemáticas usadas en la ingeniería económica utilizan los siguientes símbolos:

- P = Cantidad presente (o actual) de dinero ($, S/., etc.).- F o S = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro especificado- A o R = Una serie consecutiva y periódica de cantidades iguales de dinero al

final del periodo ($/año, $/mes, etc.).- N = Número de periodos de interés (meses, años, etc.).- i = Tasa de interés obtenida al final de cada periodo (% por mes, año.)

Los símbolos P y F representan valores que ocurren una sola vez en el tiempo; A ocurre cada periodo de interés para un número dado de periodos con el mismo valor monetario.

El número de periodos n se expresa comúnmente en años. La tasa de interés compuesta i se expresa en porcentaje por periodo de interés (5 % anual).

Ej.: Si se piden prestados $ 2,000 y debe pagarse el crédito más los intereses a una tasa del 12 % anual en 5 años, ¿cuál es el monto total que ha de pagarse?. Liste los valores de P, F, n e i.Solución

P = $ 2,000 F = ? i = 12 % n = 5 años

Ej.: Si se piden prestados $ 2,000 ahora al 17 % anual y a 5 años y debe pagarse el crédito en pagos anuales iguales, ¿cuánto deberá pagares?. Liste los valores de los símbolos involucrados.Solución

P = $ 2,000 A = ? anual durante 5 años. i = 17 % n = 5 años

5.3 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS SIMPLECuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como interés simple.

El interés simple se calcula utilizando únicamente el principal e ignorando cualquier interés que hubiera podido acumularse en periodos de interés anteriores. El interés total puede calcularse utilizando la relación:

Interés = (Principal)(número de periodos)(tasa de interés)Interés = Pni ----------------------------------------------------------------- (4)

Ej. Si se solicita un crédito de $ 1,000 durante 3 años a un interés simple del 6 %, ¿cuánto dinero se pagará al final de los 3 años?.SoluciónUtilizando la ec. (4)

Interés total = (1,000)(3)(0.06) = 180

La cantidad adeudada al final de los 3 años será:

Cantidad total a pagar = 1,000 + 180 = $ 1,180

INTERÉS COMPUESTOEn los cálculos de interés compuesto, el interés correspondiente a un periodo de interés, se calcula sobre el principal, más la cantidad total de intereses acumulados en periodos anteriores. En este caso, se dice que el interés es capitalizable, o convertible en capital y, en consecuencia, también gana intereses. Por lo tanto, el interés compuesto significa interés sobre el interés; es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo.

Ej. Si se solicita un crédito de $ 1,000 a un interés compuesto del 6 % anual, calcule la cantidad total adeudada después de un periodo de 3 años.SoluciónEl interés y la cantidad total adeudada al final de cada año se calcula como sigue:- Interés año 1 = 1,000 (0.06) = 60- Cantidad adeudada al final del año 1 = 1,000 + 60 = 1,060- Interés año 2 = 1,060 (0.06) = 63.60- Cantidad adeudada al final del año 2 = 1,060 + 63.60 = 1,123.60- Interés año 3 = 1,123.60 (0.06) = 67.42- Cantidad adeudada al final del año 3 = 1,123.60 + 67.42 = 1,191.02

INTERÉS SIMPLE

Interés Simple: Cuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como interés simple. El interés simple, sobre el capital P, por n años a la tasa i, está dado por la expresión:

I = Pni

y el monto simple está dado por:

F = P + I = P + Pni = P (1 + ni)

EjemploDeterminar el interés simple sobre $ 750 al 4 % durante ½ año. ¿Cuál será el monto?SoluciónP = $ 750i = 0.04n = ½ año

I = Pni = (750)(0.04)(1/2) = $ 15F = P + I = 750 + 15 = $ 765

Interés Simple Exacto y Ordinario

Interés Simple Exacto: Se calcula sobre la base del año de 365 días (366 en años bisiestos).

Interés Simple Ordinario: Se calcula con base en un año de 360 días. El uso del año de 360 días simplifica algunos cálculos, sin embargo aumenta el interés cobrado por el acreedor.

EjemploDeterminar el interés exacto y ordinario sobre $ 2,000, al 5 %, durante 50 días.SoluciónP = $ 2,000 i = 0.05

Interés Simple Exacto:

n = 50/365 = 10/73 díasI = Pni = (2,000)(10/73)(0.05) = $ 13.70

Interés Simple Ordinario:

n = 50/360 = 5/36 díasI = Pni = (2,000)(5/36)(0.05) = $ 13.89

Cálculo Exacto y Aproximado del Tiempo.Conociendo las fechas, el número de días que ha de calcularse el interés puede ser determinado de dos maneras:

Cálculo Exacto del Tiempo: Como su nombre lo indica, es el número exacto de días, tal como se encuentra en el calendario.

Cálculo Aproximado del Tiempo: Se hace suponiendo que cada mes tiene 30 días.

EjemploDeterminar en forma exacto y aproximado del tiempo transcurrido del 20 de junio de 1970 al 24 de agosto de 1970.SoluciónTiempo Exacto:

- Días restante del mes de junio: 10- Días del mes de julio: 31- Días indicados para agosto: 24

Tiempo Exacto = 10 + 31 +24 = 65 díasTiempo Aproximado:

- 24 de agosto de 1970 24 08 1970- 20 de junio de 1970 20 06 1970 -------------------------- 04 02 -----

Luego el tiempo transcurrido aproximado es 2 meses y 4 días, por lo tanto:

(2 meses)(30 días/mes) + 4 días = 60 + 4 = 64 días.

EjemploDeterminar el interés exacto y ordinario sobre $ 2,000 al 6 %, del 20 de abril al 1º de julio de 1971, calculando el tiempo:a) En forma exactab) En forma aproximada.SoluciónTiempo exacto: 10 + 31 + 30 + 01 = 72 díasTiempo aproximado: 01 07 1971 20 04 1971 ------------------------

11 02 0 luego: 2 x 30 + 11 = 71 días

Interés Exacto.a) I = Pni = (2,000)(72/365)(0.06) = $ 23.67b) I = Pni = (2,000)(71/365)(0.06) = $ 23.34

Interés Ordinarioa) I = Pni = (2,000)(72/360)(0.06) = $ 24.00b) I = Pni = (2,000)(71/360)(0.06) = $ 23.67

De los cuatro métodos para calcular el interés simple, el más corriente es el del interés ordinario con el número exacto de días, siendo éste el sistema utilizado por las instituciones bancarias, el cual, de los cuatro, es el método que produce el mayor interés en cualquier transacción.

Pagaré: Un pagaré es una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha dada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor. En un pagaré intervienen los siguientes elementos:

- Plazo: Es el tiempo especificado explícitamente en el documento (número de meses ó número de días).

- Valor Nominal: Es la suma estipulada en el documento.- Fecha de Vencimiento: Es la fecha en la cual debe ser pagada la deuda.- Valor de Vencimiento: Es la suma que debe ser pagada en la fecha de

vencimiento.

Para determinar la fecha de vencimiento de un pagaré procederemos así:a) Si el plazo está dado en meses, el tiempo se determinará aproximadamente.b) Si el plazo está dado en días, el tiempo se determinará exactamente.

EjemploEn un pagaré firmado el 15 de enero, con vencimiento de tres meses, por $ 5,000 con un interés del 6 %, el plazo es de 3 meses, la fecha de vencimiento es el 15 de abril y el valor de vencimiento es 5,000 + (5,000)(1/4)(0.06) = $ 5,075

Valor Presente de una DeudaEl valor de una deuda, en una fecha anterior a la de su vencimiento, se le conoce como valor presente de la deuda en dicha fecha.

De la relación: F = P (1 + ni)

Tenemos que: F P = ---------

1 + ni

Es el valor presente a la tasa de interés simple i, del monto F, con vencimiento en n años.

EjemploEncontrar el valor presente, al 6 % de interés simple, de $ 1,500 con vencimiento en 9 meses.

SoluciónF = $ 1,500i = 0.06 n = ¾

De: F 1,500 P = --------- P = ------------------ = $ 1,435.41 1 + ni 1 + (3/4)(0.06) P = $ 1,435.41

EjemploUn pagaré de $ 1,200 firmado el 1º de abril con vencimiento en 8 meses y con interés de 5 % es vendido a Y el 14 de julio con la base de un rendimiento en la inversión de 6 %. ¿Cuánto pagará Y por el documento?.SoluciónFecha de vencimiento del pagaré = 1º de abril + 8 meses = 1º de diciembreValor al vencimiento: F = P (1 + ni) = 1,200 1 + (2/3)(0.05) = $ 1,240Cantidad de días del 1º de diciembre al 14 de julio = 140 díasValor presente al 14 de julio: F 1,240

P = --------- = --------------------- = $ 1,211.73 1 + ni 1 + (7/18)(0.06)

Rspta.: P = $ 1,211.73

ECUACIONES DE VALOREn algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta operación, tanto el deudor como el acreedor deben estar de acuerdo con la tasa de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fecha en que se llevará a cabo (a menudo llamada fecha focal).EjemploEn la fecha, B debe $ 1,000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a 1 ½ años a la tasa de 4 % y debe, además, $ 2,500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. Él desea pagar $ 2,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de 5 % y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago único mencionado.SoluciónEl valor de vencimiento del préstamo con intereses = 1,000 1 + (3/2)(0.04) = $ 1,060 Pago requerido = X Diagrama de tiempo: 6 meses Fecha 3 meses Focal 1,060 2,500 0 ----1---2----3----4---5----6---7----8----9----10---11---12-meses 2,000 X

12 meses

Se ha colocado por encima de la línea de tiempo, las obligaciones originales ($ 1,060 al final de 6 meses y $ 2,500 al final de 9 meses) y por debajo de la línea el nuevo sistema de pagos ($ 2,000 en la fecha y X al final de 12 meses).

Calculando cada valor en la fecha focal e igualando la suma del valor resultante de las obligaciones originales con el de las nuevas obligaciones, se tiene:

2,000 1 + (1)(0.05) + X = 1,060 1 + (1/2)(0.05) + 2,500 1 + (1/4)(0.05) 2,100 + X = 1,086.50 + 2,531.25

X = $ 1,517.75

Problemas1. X compró un radio en $ 79.95. Dio un anticipo de $ 19.95 y acordó pagar el resto en

3 meses, más un cargo adicional de $ 2. ¿Qué tasa de interés simple pagó?.

2. Un pagaré a 10 meses por $ 3,000, al 6 %, es suscrito el día de hoy. Determinar su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento de 5 %.

3. ¿En qué tiempo se duplica una cantidad de dinero al 5 % de interés simple?

4. ¿Qué suma debe ser invertida al 5 % para tener $ 1,000 después de 8 meses?.

5. Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy, suponiendo una tasa de 4 % de interés simple: $ 1,000 con vencimiento el día de hoy, $ 2,000 con vencimiento en 6 meses con interés del 5 % y $ 3,000 con vencimiento en un año con intereses al 6 %. Utilizar el día de hoy como fecha focal.

CAPÍTULO II

FLUJO DE CAJA Y FÓRMULAS FINANCIERAS

6.1 FLUJO DE CAJA (CASH FLOW)Toda persona o compañía tiene entradas de dinero (ingresos) y desembolsos de dinero (costos) que ocurren en un tiempo dado. Estas entradas y desembolsos en un intervalo dado de tiempo constituyen un flujo de caja, en la cual los flujos de caja positivos representan usualmente entradas y los negativos representan desembolsos. En cualquier instante del tiempo, el flujo de caja neto estará dado por:

Flujo de caja neto = Entradas – Desembolsos

Como el flujo de caja normalmente tiene lugar a intervalos de tiempo frecuentes y variables comprendidos dentro del periodo de interés, es conveniente adoptar una convención simplificadora, en el sentido de que todos los flujos ocurren al final del periodo de interés. Esto es lo que se conoce como convención del fin de periodo. Fin de periodo significa un periodo de tiempo a partir de la fecha de transacción (independientemente de que esta sea entrada o desembolso).

El flujo de fondos es la diferencia entre beneficios (benefits) y costos para un periodo especificado de tiempo. Un periodo anual es generalmente adecuado para propósitos de evaluación.

Flujo de fondos = Beneficios anuales – Costos anuales

Si los beneficios anuales exceden a los costos anuales, la ganancia o beneficio es referido como un flujo de fondos positivos; si los costos anuales exceden o sobrepasan las ganancias anuales, resulta un flujo de caja negativo.

ELEMENTOS DE BENEFICIOS- Ingresos o retornos (sales revenue)- Valor de salvamento (salvage value)- Retorno de capital de trabajo

ELEMENTOS DE COSTOS- Gasto o desembolso de capital (capital expenditure)- Costo de operación- Pago de impuesto o tributación.

De esta manera, el resultado económico de una alternativa de inversión minera se describe por su anticipada distribución de tiempo de los flujos de fondos.

Como una conveniencia para análisis económicos, los flujos de fondos son actualmente realizados intermitentemente durante cada año, puede asumirse que se suceden en un punto particular en tiempo. El punto en tiempo debe ser escogido de tal manera que simplifique la evaluación, mientras al mismo tiempo proporciona una representación práctica de la corriente actual de flujos de fondos. A menudo, la convención de fin de año (end of the year) se adopta para este propósito, con la cual se asume que los futuros flujos de fondos se realizan a fin de cada año. Los elementos de flujos efectivos actuales, esto es, el costo de capital de una alternativa de reemplazamiento de equipo, son normalmente asumidas que suceden en el punto presente en tiempo.

Las unidades de dinero a ser usadas para la estimación del flujo de fondos deben ser especificadas al comienzo. Las oportunidades de inversión minera deben ser evaluadas ya sea en unidades de dinero constantes o unidades de dinero actuales. Unidades de dinero constantes, tienen un poder de compra constante, medido por lo que comprarán, y de esta manera, son definidas con respecto al poder de compra en un punto particular en el tiempo, esto es el tiempo presente. Las unidades de dinero actuales, reflejan el valor actual del dinero en un año especificado basado en su poder de compra. La relación entre dinero constante y dinero actual es la tasa de inflación, esto es, la tasa según la cual el poder de compra de las unidades de dinero decrece con el tiempo.

El estimado de la distribución de tiempo de los flujos de fondos, es el punto de comienzo para el análisis económico de alternativas de inversión en minerales.

ELABORACIÓN DEL FLUJO DE CAJAEl flujo de caja del proyecto es importante tanto para el banco que prestará sus recursos y para el inversionista.

Para el caso de un proyecto minero es indispensable haber definido previamente los aspectos siguientes:a) Cuantificación de las reservas minerales, que permitirá definir el horizonte del

proyecto.b) La capacidad de producción en cada periodo del proyecto, así como los días de

operación anuales.c) Las inversiones necesarias, para la capacidad de producción.d) Ingresos por ventas de mineralese) Los egresos del proyecto en base a los costos de producción, gastos administrativos

y de ventas.f) Porcentaje de la inversión total que será financiada con recursos propios y que

porcentaje con préstamo.g) Finalmente es necesario identificar las condiciones financieras del préstamo (tasa de

interés, plazo total, plazo de gracia y forma de pago), a fin de elaborar el cronograma de servicio de la deuda.

ELEMENTOS DEL FLUJO DE CAJAEl flujo de caja de cualquier proyecto se compone de cuatro elementos básicos:1) Los egresos iniciales de fondos2) Los ingresos y egresos de operación3) El momento en que ocurren estos ingresos y egresos, y 4) El valor de desecho o salvamento del proyecto

ESTRUCTURA DE UN FLUJO DE CAJALa construcción de los flujos de caj puede basarse en una estructura general que se aplica a cualquier finalidad del estudio de proyectos. Para un proyecto que busca que medir la rentabilidad de la inversión el ordenamiento propuesto es el que se muestra en la tabla siguiente:+ Ingresos afectos a impuestos- Egresos afectos a impuestos- Gastos no desembolsables-------------------------------------------------- = Utilidad- impuesto-------------------------------------------------- = utilidad después de impuesto+ Ajustes por gastos no desembolsables- Egresos no afectos a impuestos+ Beneficios no afectos a impuesto--------------------------------------------------- = Flujo de caja

ESTRUCTURA DEL FLUJO DE CAJA DEL INVERSIONISTA+ Ingresos afectos a impuestos- Egresos afectos a impuestos- Gastos no desembolsables- Intereses del préstamo---------------------------------------------------- = Utilidad antes de impuesto- Impuesto

----------------------------------------------------- = Utilidad después de impuesto+ Ajuste por gastos no desembolsables - Egresos no afectos a impuestos+ Beneficios no afectos a impuestos+ Préstamo- Amortización de la deuda---------------------------------------------------- = Flujo de caja

DIAGRAMAS DE FLUJOS DE CAJAUn “diagrama de flujo de caja” es simplemente una representación gráfica de los flujos de caja dibujados en una escala de tiempo. El diagrama debe representar el enunciado de un problema y debe de incluir lo que se conoce y lo que se desea encontrar.

F L C + i %U d A 0-----1-----2------3------4------5 tiempoJ e J O A -

El tiempo 0 (cero) se considera el presente y el tiempo 1 el final del periodo 1. La escala de tiempo de la figura se ha establecido por 5 años. La dirección de las flechas en el diagrama de flujo es muy importante para la solución de problemas. La flecha vertical hacia arriba indica un flujo de caja positivo; a la inversa, un flujo de caja negativo.

Ej. Si se piden prestados $ 2,000 y debe pagarse el crédito más los intereses a una tasa del 12 % anual en 5 años. Construir el diagrama de flujo de caja para este caso.Solución

- P = $ 2,000- F = ?- i = 12 % anual- n = 5 años P = 2,000 i = 12 % +

0 ------1-------2-----3------4-----5 F = ?

Ej. Suponga que se desea depositar una suma P en una cuenta de ahorros dentro de dos años, de manera que le sea posible retirar $ 400 anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentro de tres años a partir de este momento. Suponga que la tasa de interés es del 5 ½ anual. Construya el diagrama de flujo de caja.Solución

- P = ?- A = $ 400 anuales- n = 5 años- i = 5 ½ % anual i = 5 ½ % A = $ 400

0 ------1----------2-------3-------4--------5-------6--------7- P = ?

6.2 FÓRMULAS FINANCIERAS

DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE PAGO ÚNICOSe desarrollará una fórmula que permita determinar la cantidad de dinero (F) que se ha acumulado después de n años de una inversión única (P) cuando el interés (i) es capitalizado una vez por año (o periodo).

Si una cantidad de dinero P, se invierte en cierto tiempo t = 0, la cantidad de dinero F 1

que se acumula en un año será:

F1 = P + Pi F1 = P(1 + i)

Al final del Segundo año será:

F2 = F1 + F1i F2 = F1(1 + i)F2 = P(1 + i)(1 + i)F2 = P(1 + i)2

De la misma forma, la cantidad de dinero acumulado al final del tercer año será:

F3 = F2 + F2i F3 = F2(1 + i)F3 = P(1 + i)3

De los valores anteriores, es evidente que por inducción matemática, se puede generalizar:

F = P(1 + i)n ------------------------------------------- (1)

La expresión (1 + i)n, llamada el factor de cantidad compuesta pago único (FCCPU), dará la cantidad futura F de una inversión inicial P después de n años a una tasa de interés i.

Despejando P en la ec. (1) en términos de F, resulta:

1P = F--------- ------------------------------------------- (2)

(1 + i)n

La expresión entre corchetes se conoce como el factor valor presente pago único (FVPPU). Esta expresión permitirá determinar el valor presente P de una cantidad futura F, después de n años a una tasa de interés i.

El diagrama de flujo de caja para estas fórmulas se muestra a continuación:

P i ----------------------------------------- 0 1 2 n-2 n-1 n

F

Es importante anotar que las dos fórmulas aquí deducidas son fórmulas de pago único; es decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura cuando está implicado solamente un pago o entrada.

DEDUCCIÓN DEL FACTOR VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME Y DEL FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITALEl valor presente de la serie uniforme, se puede determinar considerando cada valor A como un valor futuro F en el factor valor presente pago único y luego sumando los valores presente:

P = P1 + P2 + P3 + ..... + Pn-1 + Pn

De la ec. (2)

1 1 1 1P = F1--------- + F2--------- + ..... + Fn-1---------- + Fn---------

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-1 (1 + i)n

Haciendo F1 = F2 =..... = Fn-1 = Fn = A

1 1 1 1 P = A--------- + A--------- + ..... + A---------- + A---------

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-1 (1 + i)n

Donde los términos entre corchetes representan el FVPPU para los años 1 hasta n, respectivamente. Factorizando A se tiene:

1 1 1 1 P = A --------- + --------- +….. + ------------ + ---------- ........... (4)

(1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)n-1 (1 + i)n

La ecuación (4) se puede simplificar multiplicando ambos miembros por 1/(1 + i) para obtener:

P 1 1 1 1-------- = A--------- + --------- +….. + ------------ + ----------- ......... (5)

(1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n (1 + i)n+1

Restando la ec. (4) de la ec. (5) se obtiene:

P 1 1 -------- - P = A- --------- + ------------

(1 + i) (1 + i) (1 + i)n+1

Factorizando P, reordenando y simplificando se obtiene: 1 1 1

P-------- = A--------- ----------- - 1 (1 + i) (1 + i)2 (1 + i)n

Dividiendo por –i/(1 +i) se obtiene lo siguiente para i 0

(1 + i)n - 1 P = A-------------- i 0 …………………........... (6) i(1 + i)n

El término entre corchete se denomina factor valor presente serie uniforme (FVPSU). Este factor dará el valor presente P de una serie anual uniforme equivalente A, que comienza al final del año 1 y se extiende durante n años a una tasa de interés i.

Reordenado la ec. (6), podemos expresar A en términos de P:

i(1 + i)n A = P-------------- ……….…………………........... (7) (1 + i)n - 1

El término entre corchetes, denominado factor recuperación de capital (FRC), permite obtener el costo anual uniforme equivalente A durante n años, de una inversión dada P cuando la tasa de interés es i. Es muy importante recordar el hecho de que estas fórmulas se dedujeron con el valor presente P y el primer valor del costo anual uniforme A con un año (periodo) de diferencia. Es decir, la suma presente debe siempre colocarse un periodo antes que el primer valor de A.

Diagrama para determinar P y A de una serie uniforme

P i ----------------------------------------- 0 1 2 n-2 n-1 n A DEDUCCIÓN DEL FACTOR CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Y DEL FACTOR FONDO DE AMORTIZACIÓNSustituyendo P de la ec. (3) en la ec. (7) resulta:

(1 + i)n - 1A = P--------------

i(1 + i)n

1 (1 + i)n - 1A = F-------------------------

(1 + i)n i(1 + i)n

i A = F------------- .................................................. (8)

(1 + i)n - 1

La expresión entre corchetes es el factor fondo de amortización (FFA). La ec. (8) se utiliza para determinar la serie anual uniforme, que será equivalente a un valor futuro F dado.

Nótese en el gráfico, que la serie uniforme A comienza al final del periodo 1, y continúa hasta el año del F dado.

La ec. (8) puede reordenarse para expresar F en términos de A:

(1 + i)n - 1 F = A------------- .................................................. (9)

i

El término entre corchetes se denomina factor cantidad compuesta serie uniforme (FCCSU) y cuando se multiplica por la cantidad anual uniforme dada A produce el valor futuro de la serie uniforme.

Es importante recordar que la cantidad futura F ocurre en el mismo periodo que el último A. El diagrama sería el opuesto para este caso.

Diagrama de Flujo de la transformación de un valor dado F en una serie A equivalente.

F = dado

i

------------------------------------------- 0 1 2 n-2 n-1 n

A = ?

6.3 NOTACIÓN ESTANDAR DE LOS FACTORES Y USO DE LAS TABLAS DE INTERÉS

Para evitarse la molesta tarea de escribir las fórmulas cada vez que se use uno de los factores, se ha adoptado una notación estándar que representa los diferentes factores. Esta notación estándar, que incluye también la tasa de interés y el número de periodos,

se expresará siempre en forma general (X/Y, i %, n). La primera letra dentro del paréntesis (X) representa lo que se quiere encontrar, mientras que la segunda letra (Y) representa lo dado. Por ejemplo, F/P significa “hallar F dado P”. La i es la tasa de interés en porcentaje y la n representa el número de periodos involucrados. De esta manera, (F/P, 6 %, 20) significa obtener el factor que al ser multiplicado por un P dado permita encontrar la cantidad futura de dinero F que se acumulará en 20 periodos si la tasa de interés es de 6 %.

Nombre del Factor Notación Estándar- Valor Presente Pago Único (FVPPU) (P/F, i %, n)- Cantidad Compuesta Pago Único (FCCPU) (F/P, I %, n)- Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) (P/A, i %, n)- Recuperación de Capital (FRC) (A/P, i %, n)- Fondo de Amortización (FFA) (A/F, i %, n)- Cantidad Compuesta Serie Uniforme (FCCSU) (F/A, i %, n)

Para simplificar los cálculos rutinarios de ingeniería económica que involucran los factores anteriores, se han preparado tablas de valores de factores para tasas de interés desde 0.5 hasta 50 % y periodos de tiempo desde 1 hasta 100 años. Estas tablas se encuentran en el Apéndice A.

Para una referencia más rápida, las fórmulas utilizadas se recopilan en la siguiente tabla:

Cálculos que Utilizan la Notación EstándarPara encontrar Dado Factor Fórmulas

P F (P/F, i %, n) P = F(P/F, i %, n) 1

P = F-------- (1 + i)n

F P (F/P, i %, n) F = P(F/P, i %, n) F = P(1 + i)n

P A (P/A, i %, n) P = A(P/A, i %, n) (1+i)n - 1

P = A------------ i(1 + i)n

A P (A/P, i %, n) A = P(A/P, i %, n) i(1+i)n

A = P------------ (1 + i)n – 1

A F (A/F, i %, n) A = F(A/F, i %, n) i

A = F------------ (1 + i)n – 1

F A (F/A, i %, n) F = A(F/A, i %, n) (1+i)n - 1

F = A----------- i

DEFINICIÓN Y DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE GRADIENTES

DEFINICIÓNUn gradiente uniforme es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir, el flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, varía en la misma cantidad cada año. La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente.

Ejemplo: Si un fabricante de pernos predice que el costo de mantenimiento de una máquina aumentará en $ 500 anuales hasta dar de baja a la máquina, hay involucrada una serie de gradiente y la cantidad de gradiente es $ 500. Así mismo, si la compañía espera que el ingreso disminuya en $ 3,000 anuales durante los próximos cinco años, el ingreso que disminuye representa un gradiente por la cantidad de $ 3,000 anuales.

DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE GRADIENTES.Las fórmulas desarrolladas anteriormente para los flujos de caja de serie uniforme se originan con base en pagos de fin de año de igual valor. En el caso de un gradiente, cada flujo de caja de fin de año es diferente, de manera que debe deducirse una nueva fórmula. Al desarrollar una fórmula que se pueda usar para gradientes uniformes, es conveniente suponer que el pago que ocurre al final del año 1 no involucra un gradiente sino que es más bien un pago base. En las aplicaciones reales, el pago es usualmente mayor o menor que el aumento o la disminución del gradiente. Por ejemplo, si usted compra un auto nuevo con una garantía completa de 12,000 kms., puede esperar razonablemente tener que pagar sólo la gasolina durante el primer año de operación. Supongamos que el costo de esta es de $ 400; es decir, $ 400 es la cantidad base. Sin embargo, después del primer año, usted tendría que absorber el costo de reparaciones o reemplazos de partes y no se podría esperar, con toda razón, que estos costos aumenten cada año que usted tiene el auto en su poder. Por ello, si calcula que sus costos de operación aumentan en $ 25 anuales, la cantidad que pagaría después del segundo año es $ 425, después del tercero $ 450 y así sucesivamente hasta el año n, cuando el costo total será 400 + (n - 1) 25. El diagrama de flujo de caja es el siguiente:

----------------------------------------------------------------- 0 1 2 3 n-2 n-1 n $ 400 $ 425 $ 450 $ 400 + (n-3)25 $ 400 $ 400 + (n-2)25 + (n-1)25

Nótese que el gradiente se observa primero entre el año 1 y el año 2 y que el primer pago o pago base ($ 400) no es igual al gradiente ($ 25).

Definiremos un nuevo símbolo para los gradientes:

G = Cambio anual aritmético en la magnitud de las entradas o los desembolsos

El valor de G puede ser positivo o negativo. Si ignoramos el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja de gradiente creciente uniforme como se ilustra en la figura de abajo. Note que el gradiente empieza en el año 2. Esto se denomina gradiente convencional.

Fig. a.

--------------------------------------------------- 0 1 2 3 4 n-1 n G 2G 3G (n-2)G (n-1)G Existen varias maneras por medio de las cuales se pueden deducir los factores gradientes uniformes. Podemos utilizar el factor valor presente pago único (P/F, i %, n), pero se podría obtener el mismo resultado empleando los factores cantidad compuesta pago único, cantidad compuesta serie uniforme, o valor presente serie uniforme.

Refiriéndose a la Fig. a, encontramos que el valor presente en el año cero de los gradientes sería igual a la suma de los valores presentes de los pagos individuales.

De esta manera:

P = G(P/F, i %, 2)+2G(P/F, i %, 3)+3G(P/F, i %, 4)+…+(n-2)G( P/F, i %, n-1) +(n-1)G( P/F, i %, n)

Factorizando G, se obtiene:

P = G(P/F, i %, 2) + 2(P/F, i %, 3) + 3(P/F, i %, 4) + … + (n-2)( P/F, i %, n-1) + + (n-1)( P/F, i %, n)

Reemplazando los símbolos por la expresión del factor valor presente pago único apropiado en la ec. (3), resulta:

1 2 3 n – 2 n - 1P = G --------- + --------- + --------- + … + ----------- + ----------- ………. (10)

(1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)n-1 (1+i)n

Multiplicando ambos miembros de la ec. (10) por (1+i) para simplificar, resulta:

1 2 3 n – 2 n - 1P = G ------- + --------- + --------- + … + ----------- + ----------- …………. (11)

(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-2 (1+i)n-1

Restando la ec. (10) de la (11) y observando que el primer término de la ec. (11) y el último término de la ec. (10) no tienen términos semejantes, se obtienen las siguientes relaciones:

1 2 3 n – 2 n - 1P(1+i) - P = G --------- + --------- + --------- + … + ----------- + ---------

(1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)n-1 (1+i)n

1 1 1 1 1

P(1+i) - P = G --------- + --------- + --------- + … + ----------- + ----------- (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n Desarrollando el primer miembro, factorizamos n en el último término, y dividimos por i, tenemos:

G 1 1 1 1 1 GnP = ----- --------- + --------- + --------- + … + ----------- + ----------- - ----------

i (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n-1 (1+i)n i(1+i)n

La expresión entre corchetes es el valor presente de una serie uniforme de 1 para n años, sustituimos la expresión por el factor P/A de la ec. (6)

G (1+i)n - 1 GnP = ----- -------------- - ----------

i i(1+i)n i(1+i)n

G (1+i)n - 1 GnP = ----- -------------- - ---------- ….................................................. (12)

i i(1+i)n (1+i)n

La ec. (12) es la relación general para convertir un gradiente uniforme G para n años en un valor presente en el año cero; es decir, la Fig. b se convierte en el flujo de caja equivalente de la Fig. c. El valor presente gradiente uniforme y la notación estándar del factor es:

1 (1+i)n - 1 nP = ----- ------------- - ---------

i i(1+i)n (1+i)n

Nótese que en la Fig. b el gradiente empieza en el año 2 y P se halla en el año 0.

Fig. b Fig. c

P

i % i % -------------------- -------------------

0 1 2 3 n-1 n 0 1 2 3 n-1 n G 2G (n-2)G (n-1)G La serie anual uniforme equivalente del gradiente G puede obtenerse multiplicando el valor presente en la ec. (12) por la expresión del factor (A/P, i %, n) de la ec. (7).

A = P(A/P, i %, n)

G (1+i)n - 1 n i(1+i)n A = ----- ------------- - -----------------------

i i(1+i)n (1+i)n (1+i)n – 1

1 nA = G ---- - ------------ ................................................. (13)

i (1+i)n - 1

La expresión entre corchetes en la ec. (13) se denomina factor serie anual gradiente uniforme y se identifica por (A/G, i %, n). Este factor convierte la Fig. d en la Fig. e. Hay que comprender que la serie anual no es sino un valor A equivalente al gradiente. Obsérvese en la Fig. d que el gradiente empieza en el año 2 y que los valores A ocurren desde el año 1 hasta el año n inclusive.

Fig. d Fig. e

i % A = ?

0--1--2---3-n-1-----n- 0--1-----2--n-1----n- i % G 2G (n-1)G (n-2)G

Las formulas usadas para calcular P y A en términos de la notación estándar de los factores son:

P = G (P/G, i %, n) ……………………………………………. (14)

A = G (A/G, i %, n) ……………………………………………. (15)

Ejemplo 2.1La compañía Tequendama espera obtener el próximo año un ingreso de $ 100,000 de la venta de un producto nuevo. Sin embargo, se espera que las ventas disminuyan uniformemente con la nueva competencia a un nivel de $ 47,500 en 8 años. Determine el gradiente y construya el diagrama de flujo de caja.

SoluciónDiagrama de flujo de caja

$ 100,000 G = 7,500 92,500 85,000 77,500 70,000 62,500 55,000 47,500

0----1--------2-------3-------4--------5-------6--------7-------8-

Cantidad base = $ 100,000 Pérdida de ingresos en 8 años = 100,000 – 47,500 = $ 52,500 Gradiente = Pérdida/(n-1) = 52,500/(8-1) = $ 7,500 por año

Ej. 2.9: Una pareja se propone empezar a ahorrar dinero depositando $ 500 en su cuenta de ahorros dentro de un año. Calculan que los depósitos aumentarán en $ 100 por año durante nueve años de allí en adelante. ¿Cuál sería el valor presente de las inversiones si la tasa de interés es del 5 % anual?.SoluciónDiagrama de flujo de caja.

i = 5 %0 ----1-----2-----3------4----5------6-----7-----8------9----10

$ 500 600 700 800 900 1,000 1,100 1,200 1,300 1,400

Se deben hacer dos cálculos:1º Calcular el valor presente (PA) de la cantidad base.2º Calcular el valor presente (PG) del gradiente.Luego el valor presente total, PT = PA + PG

PT = PA + PG PT = 500(P/A, 5 %, 10) + 100(P/G, 5 %, 10) PT = 500(7.72171) + 100(31.652) PT = $ 7,026.05

TASA NOMINAL Y EFECTIVA

En capítulos anteriores se presentaron los conceptos de tasa de interés simple y compuesta. La diferencia básica entre los dos es que el interés compuesto incluye el interés sobre el interés ganado en el año anterior. En esencia las tasas de nominal y efectiva se usan cuando el período de capitalización (o período de interés) es menor que un año. Así, cuando una tasa de interés se expresa sobre un período del tiempo menor que un año, tal como 1 % mensual, los términos nominal y efectivo de las tasas de interés han de considerarse. Específicamente, la tasa de interés anual nominal se define como la tasa de interés del período multiplicada por el número de períodos anuales. Una tasa de interés del 1,5 % mensual puede expresarse como una tasa nominal del 18 % anual (es decir 1,5 % mensual por 12 meses del año). El cálculo de la tasa de interés nominal evidentemente ignora el valor del dinero en el tiempo, en la misma forma que el cálculo del interés simple. Cuando el valor del dinero en el tiempo se tiene en cuenta en el cálculo de tasas de interés anuales a partir de tasas de interés periódicas, la tasa anual toma el nombre de tasa de interés efectivo.

Período de CapitalizaciónEs el período en la cual el capital depositado o prestado se convierte en otro capital. Esto significa que el capital anterior a una tasa de interés se transforma en un nuevo

capital, porque se le agrega el interés ganado en el tiempo que ha estado depositado o prestado.

Período de PagoEs la frecuencia de los pagos o depósitos dentro del intervalo de un año. Más sencillamente, la frecuencia de pagos o depósitos se conoce con el nombre de período de pago.

Es muy importante distinguir entre período de pago y período de capitalización porque en muchos casos pueden no coincidir. Por ejemplo, si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que paga una tasa de interés nominal anual del 14 % capitalizado semestralmente, el período de pago será de un mes, mientras que el período de capitalización será de seis meses. De la misma manera si una persona deposita dinero cada año en una cuenta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, el período de pago es un año, mientras que el período de capitalización es de 3 meses. Si el período de pago y el período de capitalización son iguales, la tasa se expresa como % en ambos períodos (por ejemplo 1 % mensual, donde el período de capitalización es un mes y los pagos se hacen al final de cada mes).

FORMULACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Para ilustrar la diferencia entre tasas de interés nominal y efectiva, determinaremos el valor futuro de $ 100 después de un año utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12 % de interés capitalizable anualmente, el valor futuro de $ 100 utilizando una tasa de interés nominal del 12 % anual es:

F = P(1+i)n = 100(1.12)1 = $ 112.00 ……………………….. (3.1)

De otra parte, si el interés se capitalizara semestralmente, el valor futuro debería incluir el interés ganado sobre el interés en el primer periodo. Una tasa de interés del 12 % anual capitalizado semestralmente significa que el banco pagará el 6 % de interés dos veces por año (es decir, cada 6 meses).

El diagrama de flujo de caja sería el siguiente:

F = ? i nominal = 12 % anual i efectivo = 6 % por periodo

0 ----------------------1/2------------------------1- año 0 1 2 Periodo de interés

P = $ 100

La ecuación (3.1) evidentemente ignora el interés ganado en el primer periodo. Por consiguiente, si tenemos en cuenta todo esto, el valor futuro de los $ 100 sería:

0.12 F = 100 (1 + ------)2 = 100 (1.06)2 = 100 (1.1236) ………………. (3.2)

2 F= $ 112.36

Donde 6 % es la tasa de interés semestral efectivo hallada simplemente como 12 % / 2 = 6 %, puesto que hay dos periodos de capitalización por cada periodo de pago. La tasa de interés anual efectivo será, por consiguiente, 12.36 % en lugar de 12 %, ya que se han ganado $ 12.36 de interés.

La ecuación para deducir la tasa de interés efectivo a partir de la tasa de interés nominal puede obtenerse observando que el primer término entre paréntesis en la ec. (3.2) es igual a (1+i) cuando el periodo de interés es un año. Al igualar este término a la forma generalizada del término entre paréntesis de la ec. (3.1) tenemos: r

(1 + i) = (1 + ---)t t r

i = (1 + ---)t – 1 …………………………………………….. (3.3) t

Donde:- i = Tasa de interés efectiva por periodo- r = Tasa de interés nominal- t = Número de periodos de capitalización.

La ecuación 3.3 se conoce como ecuación de la tasa de interés efectivo.

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVAPara una tasa de interés anual que se capitalice en un determinado número de periodos de interés, la tasa de interés efectivo puede calcularse mediante sustitución en la ec. (3.3).

Este es solamente uno de los dos métodos que pueden utilizarse cuando el periodo de interés es más corto que el periodo de pago.

Ejemplo:Una compañía de crédito anuncia que su tasa de interés para préstamos es del 1 % mensual. Calcule la tasa de interés efectiva anual.SoluciónSustituyendo r/t = 0.01 y t = 12 en la ec. (3.3) se tiene:

i = (1+0.01)12 – 1 = 1.1268 – 1 i = 0.1268 (12.68 %)

CÁLCULOS PARA PERIODOS DE PAGO MAYORES QUE EL PERIODO DE CAPITALIZACIÓNCuando el periodo de capitalización de una inversión (o crédito) no coincide con el periodo de pago, se hace necesario manipular la tasa de interés y/o el periodo de pago a fin de determinar las cantidades correctas de dinero acumuladas o pagadas en los distintos tiempos. Recuérdese que si los periodos de pago y de capitalización no coinciden, las tablas de interés no pueden usarse hasta que se hayan hecho las correcciones apropiadas. Se considerará la situación en la que el periodo de pago (por

ejemplo, año) es igual o mayor que el periodo de capitalización (por ejemplo, mes). Las dos condiciones que ocurren son:1). El flujo de caja requiere el uso de factores de pago único (P/F, F/P) .2). El flujo de caja requiere el uso de factores de serie uniforme.

FACTORES DE PAGO ÚNICOHay dos procedimientos correctos que pueden utilizarse si solamente están involucrados factores de pago único. El primero es el procedimiento en donde la tasa de interés efectivo que coincide con el periodo de pago o un periodo de un año (el que venga primero) se calcula por medio de la ec. (3.3) o de las tablas, y las tablas de interés se usan para el número apropiado de periodos o años.

El segundo procedimiento es dividir la tasa de interés nominal r por el número de periodos de capitalización por año t y multiplicar el número de años por el número de periodos de capitalización por año. Utilizando la notación estándar, las ecuaciones de pago único pueden escribirse como:

P = F (P/F, r/t %, tn) ………………………………………………… (3.4) F = P (F/P, r/t %, tn) ………………………………………………… (3.5)

En donde n es el número de años y r y t son la tasa de interés nominal y número de periodos de capitalización.

EjemploSi una señora deposita $ 1,000 hoy, $ 3,000 dentro de cuatro años y $ 1,500 dentro de seis años a una tasa de interés del 12 % anual capitalizado semestralmente, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?.SoluciónEl diagrama de flujo de caja será: F = ?

0 ------1-----2-----3---4-----5-----6----7-----8----9-----10

$ 1,000 $ 1,500

$ 3,000

Primero se calcula la tasa de interés anual efectivo y luego se halla F en el año 10

0.12 i = (1 + -------)2 – 1 = (1.06)2 – 1 = 0.1236

2

i = 12.36 %

Luego:

F = 1,000 (F/P, 12.36 %, 10) + 3,000 (F/P, 12.36 %, 6) + 1,500 (F/P, 12.36 %, 4)F = $ 11,634.50

Utilizando el Segundo procedimiento, la ec. (3.5) se usa con t = 2.

F = 1,000F/P, 12/2 %, 2 (10) + 3,000F/P, 12/2 %, 2 (6) + 1,500F/P, 12/2 %, 2 (4) F = 1,000(F/P, 6 %, 20) + 3,000(F/P, 6 %, 12) + 1,500(F/P, 6 %, 8) F = $ 11,634.50

El Segundo procedimiento es el más fácil de los dos, puesto que usualmente no requiere interpolación o el uso de las fórmulas de los factores.

FACTORES DE SERIE UNIFORMECuando el flujo de caja del problema indica el uso de uno o más factores de serie uniforme, el procedimiento utilizado es expresar la tasa de interés efectiva sobre el mismo periodo de tiempo que los pagos. Cuando se da una tasa de interés nominal y el periodo de capitalización es igual al periodo de pago (por ejemplo pagos semestrales y una tasa de interés del 8 % anual capitalizado trimestralmente), entonces, como para el caso de factores de pago único, simplemente divida la tasa de interés por t, el número de periodos de capitalización por año y tome n igual al número de pagos. Por ejemplo, el factor P/A aparecerá como (P/A, r/t %, tn).

Cuando la capitalización ocurre más frecuentemente que los pagos (tal como en el caso de pagos semestrales a una tasa de interés del 8 % anual capitalizada trimestralmente), deberá emplearse la tasa de interés efectiva calculada con la ec. (3.3).EjemploSi una persona deposita $ 500 cada 6 meses durante 7 años, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta después de que haga el último depósito si la tasa de interés es del 8 % anual capitalizada trimestralmente?.SoluciónDiagrama de flujo de caja

F = ? i = 8 % anual cap. trim.

0------1--------2--------6-------7- años

A = $ 500

Como el interés se está capitalizando trimestralmente, deberá determinarse la tasa de interés efectiva por periodo de pago (es decir, la tasa de interés efectiva semestral).

r/t = 0.08/4 = 0.02 i = (1+0.02)2 – 1 = 0.0404 i = 4.04 %

La tasa efectiva puede utilizarse ahora en la fórmula F/A para calcular el valor futuro de los depósitos semestrales, con n = 2(7) = 14 periodos. Así:

F = A(F/A, 4.04 %, 14) F = 500(18.344)

F = $ 9,172.12

El procedimiento general que debe seguirse cuando el periodo de pago es igual o más largo que el periodo de capitalización puede resumirse así:1. Determinar si deben las fórmulas de pago único o las fórmulas de serie uniforme.2. Si se requieren fórmulas de pago único, utilizar uno de los métodos detallados en los

factores de pago único.3. Si se requieren fórmulas de serie uniforme, utilizar uno de los métodos detallados en

los factores de serie uniforme para pagos uniformes.4. Utilizar el factor obtenido en el paso 2 o 3 para calcular P, F o A según se requiera.

CÁLCULOS PARA PERIODOS DE PAGO MENORES QUE EL PERIODO DE CAPITALIZACIÓN.Cuando el periodo de capitalización ocurre con menos frecuencia que el periodo de pago, hay varios caminos para calcular el valor futuro o el valor presente, dependiendo de las condiciones específicas (o supuestos) respecto al interperiodo de capitalización.

Interperiodo de Capitalización, se refiere al manejo de los pagos hechos entre periodos de capitalización. Los dos casos que se analizan en seguida son los siguientes:1. No se paga interés sobre el dinero depositado (o retirado) entre periodos de

capitalización.2. El dinero depositado (o retirado) entre periodos de capitalización gana interés

simple. Es decir, no se paga interés sobre los intereses ganados en el interperiodo anterior.

En el primer caso cualquier cantidad de dinero que se deposite o retire entre periodos de capitalización se considerará como si se depositara al comienzo del siguiente periodo de capitalización o se retirara al final del periodo de capitalización anterior. Esta es la manera habitual de operación de los bancos y otras instituciones de crédito. Así, si el periodo de capitalización fuera un trimestre, las transacciones que muestra la Fig. (a) se tratarían como indica la Fig. (b); para calcular el valor presente del flujo de caja representado por la Fig. (b), la tasa nominal de interés anual se divide por 4 (ya que el interés se capitaliza trimestralmente) y se utiliza el factor P/F o F/P.

Fig. (a) $ 120 $ 90 $ 45

--------------------------------------------------------------------- año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses

$ 75 $ 50 $ 150 $ 100 $ 200

Fig. (b)

$ 165 $ 90

0 ---1---2--3----4----5---6------7----8---9-----10---11--12

$ 50 $ 150 $ 175

$ 200

0----------1-------------2----------------3--------------4 Trimestres Para el segundo caso, cualquier cantidad de dinero que se deposite entre periodos de capitalización gana interés simple; con el objeto de obtener el interés ganado en el interperiodo, cada depósito interperiódico debe multiplicarse por:

m (-----) i ........................................................................... (3.10)

N

En donde:- N = Número de periodos en un periodo de capitalización- m = Número de periodos anteriores al final del periodo de capitalización.- i = Tasa de interés por periodo de capitalización.

Obsérvese que el valor obtenido mediante la ec. (3.10) da sólo el interés que se ha acumulado, no la cantidad total de fin de periodo.

EjemploCalcule la cantidad de dinero que habría en la cuenta de ahorros de una persona después de 12 meses, si se han hecho depósitos como lo indica la fig. (c). Supóngase que el banco paga el 6 % anual capitalizable semestralmente e interés simple sobre depósitos interperiódicos.Solución

0-----1-------2-------3 ------4------5------6-------7-------8------9----10-----11-----12 meses $ 70 $ 75 $ 80 $ 85 $ 90 $ 100

El primer paso es hallar la cantidad de dinero que acumularía en cada periodo de capitalización (es decir, cada 6 meses) utilizando la tasa efectiva del 3 % semestral. El valor futuro o presente de tales depósitos puede calcularse con las fórmulas normales de

interés. Así, para los depósitos hechos dentro del primer periodo de capitalización, el valor F6 después de 6 meses es:

F6 = [100+100(5/6)0.03] + [90+90(3/6)0.03] + 80 F6 = (100+2.50) + (90+1.35) + 80 F6 = $ 273.85

Análogamente, la cantidad F12 acumulada en el segundo periodo de capitalización sería:

F12 = [75+75(5/6)0.03] + [85+85(4/6)0.03] + [70+70(1/6)0.03] F12 = (75+1.88) + (85+1.70) + (70+0.35) F12 = $ 233.93

El diagrama de flujo de caja sería la siguiente: F = ?

i = 3 %

0 -------------------------------------6------------------------------------------12- meses F6 = $ 273.85 F12 = $ 233.93

Por tanto, el valor futuro F al final del año es:

F = 273.85(F/P, 3 %, 1) + 233.93 F = $ 516

Al calcular las cantidades de dinero acumuladas después de 6 meses (F6) y 12 meses (F12), obsérvese que la cantidad de los depósitos se añadió a cada término de interés, ya que la ec. (3.10) representa solamente el interés acumulado, no la cantidad total.

La determinación de las cantidades acumuladas en los periodos de capitalización (es decir, las cantidades de final de periodo) se simplifica cuando los pagos (o depósitos) interperiódicos son regulares y uniformes. Es decir, la misma cantidad de dinero se deposita en cada interperiodo. La cantidad equivalente en el periodo de capitalización puede calcularse con la siguiente ecuación: N – 1

A = ND + --------- (iD) ................................................................... (3.11) 2

En donde:A = Pago equivalente uniforme en el periodo de capitalización D = Valor del depósito hecho en cada interperiodo.N = Número de interperiodos por periodo de capitalización.

Ejemplo

Calcule la cantidad equivalente por periodo de capitalización si se depositan $ 200 mensualmente con una tasa de interés del 6 % anual, capitalizable semestralmente si se paga interés simple a los depósitos interperiódicos.SoluciónDe la ec. (3.11):

A = 6(200) + (5/2)(0.03)(200) = $ 1,215

INTERPOLACIÓN EN LAS TABLAS DE INTERÉSAlgunas veces es necesario es necesario localizar el valor de un factor para una tasa de interés i o un año n que aparece en las tablas de interés. Cuando esto ocurre, el valor del factor deseado se puede obtener en una de las dos maneras siguientes: (1) usando las fórmulas que fueron deducidas o por (2) interpolación entre los valores tabulados a ambos lados del valor deseado que no figura en la tabla. Generalmente es más fácil y más rápido usar las fórmulas en vez de interpolar para determinar el valor del factor que corresponde a un valor i o n no listado. Sin embargo, la interpolación lineal es aceptable y se considera suficiente siempre y cuando los valores de i o n no estén demasiado distantes el uno del otro.

El primer paso en la interpolación lineal es disponer los valores conocidos y los desconocidos. Se establece una ecuación proporcional y se resuelve para c, como sigue:

i o n Factor Tabulado valor 1 a c b Deseado no listado d

Tabulado valor 2

a c a --- = --- o c = ----- d ....................................................... (16) b d b

Donde a, b, c y d representan las diferencias entre los números que figuran en las tablas de interés. El valor de c de la ec. (16) se suma o se resta del valor 1, dependiendo de si el factor aumenta o disminuye en valor, respectivamente.

Ejemplo 2.2:Determinar el valor del factor A/P para una tasa de interés del 7.3 % y un n de 10 años, es decir, (A/P, 7.3 %, 10).SoluciónLos valores del factor A/P para tasas de interés de 7 y 8 % figuran en las tablas A-9 y A-10 respectivamente. La situación que tenemos es la siguiente:

7 % 0.14238 a c b 7.3 % X d

8 % 0.14903

La incógnita X es el valor del factor deseado. De la ec. (16)

7.3 – 7 c = ---------- (0.14903 – 0.14238) 8 – 7

0.3 c = ------ (0.00665) = 0.00199

1

Luego: X = 0.14238 + 0.00199 X = 0.14437

CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDASEn algunos casos se conocen la cantidad de dinero invertido y la cantidad de dinero recibido después de un número específico de años, y se desea determinar la tasa de interés o tasa de retorno. La tasa de interés desconocida puede determinarse por solución directa de la ecuación cuando sólo están involucrados un pago único y una entrada única, o una serie uniforme de pagos o entradas. Sin embargo, cuando se trata de pagos no uniformes o varios factores están involucrados, el problema debe resolverse por medio del método de ensayo y error o tanteos.

Aunque las fórmulas de pago único y serie uniforme pueden reordenarse y expresarse en términos de i, generalmente es más simple resolverlos por medio del valor del factor y luego buscar la tasa de interés en las tablas de interés.

Ejemplo 2.11a) Si una persona puede hacer hoy una inversión comercial que requiere un gasto de $

3,000 para recibir $ 5000 dentro de cinco años, ¿cuál sería la tasa de retorno sobre la inversión?

b) Si la misma persona puede recibir un interés del 9 % proveniente de certificados de depósito, ¿qué inversión debería hacer?.

Solucióna) Diagrama de flujo de caja F = $ 5,000

i = ?

0 -------1-------2-------3-------4------5- años

P = $ 3,000

La tasa de interés puede encontrarse estableciendo las ecuaciones P/F o F/P y despejando directamente el valor del factor. Usando P/F.

P = F (P/F, i %, n) 3,000 = 5,000 (P/F, I %, 5)

3,000 (P/F, I %, 5) = --------- = 0.6000

5,000

De las tablas de interés, un factor P/F de 0.6000 para n igual a 5 años se encuentra entre 10 % y 11 %. Interpolando entre estos dos valores, utilizando la ec. (16), tenemos:

0.6209 10 % a c b 0.6000 i % d

0.5935 11 %

0.6209 – 0.6000 0.0209 c = --------------------- (11 - 10) = ---------- (1) = 0.7628

0.6209 – 0.5935 0.0274

Por lo tanto:

i = 10 + 0.76 = 10.76 %

b) Ya que 10.76 % es mayor que el 9 % obtenible en certificados de depósito, la persona debería hacer la inversión comercial.

Ejemplo 2.12Unos padres deseosos de ahorrar dinero para la educación de su hijo compran una póliza de seguro que producirá $ 10,000 dentro de quince años. Los padres deberán pagar $ 500 anuales durante los quince años, comenzando dentro de un año. ¿Cuál será la tasa de retorno sobre la inversión?.Rspta.: i = 3.98 %

CÁLCULO DE AÑOS DESCONOCIDOSEn el análisis económico de equilibrio, es necesario a veces determinar el número de años requeridos antes que una inversión produzca. Otras veces se desearía poder determinar cuándo estarán disponibles las cantidades dadas de dinero de una inversión propuesta. En estos casos, el valor desconocido es n, y para encontrar este valor se puede utilizar técnicas similares a los de tasas de interés desconocidas.

Aunque estos problemas pueden resolverse directamente para n manipulando correctamente las fórmulas de pago único y serie uniforme, por lo general, es más fácil resolver para el valor del factor e interpolar en las tablas de interés.

Ejemplo 2.13¡En cuánto tiempo se duplicarán $ 100 si la tasa de interés es del 5 %?.Solución F = $ 2,000 i = 5 %

0 --------1-------2-------3----n-1------n-

P = $ 1,000 El problema se puede resolver usando uno de los factores F/P o P/F. Empleando P/F:

P = F (P/F, i %, n) 1,000 = 2,000 (P/F, 5 %, n) (P/F, 5 %, n) = 0.500

De la tabla de interés del 5 %, el valor 0.500 se encuentra bajo la columna P/F entre 14 y 15 años.

0.5051 14 a c b 0.5000 X d

0.4810 15

0.5051 – 0.5000 0.0051 c = --------------------- (14 - 15) = ---------- (-1) = - 0.2116

0.5051 – 0.4810 0.0241

c = - 0.2116

Como: c = 14 – X X = 14 + c = 14 + 0.2116 C = 14.21 años Rspta.

Ejemplo 2.14Una compañía petrolera ha comprado un nuevo edificio. El valor presente de los costos futuros de mantenimiento debe calcularse con un factor P/A. Si i = 13 % anual y se espera una vida útil de 42 años, estimar qué valor del factor es correcto, usando interpolación de dos vías en las tablas de i = 12 e i = 15 %.Rspta.: (P/A, 13 %, 42) = 7.7218

Usando la ec. (6) es = 7.6469

Si un inversionista deposita $ 2,000 hoy, $ 500 dentro de tres años y $ 1,000 dentro de cinco años, ¡en cuánto tiempo ascenderá su inversión total a $ 10,000 si la tasa de interés es del 6 %?.Rspta.: n = 19.69 años

¡Cuántos años se demorarían $ 1,750 en triplicar su valor, si la tasa de interés es del 12 % anual?

Rspta.: n = 9.68 años

TASA DE INTERÉS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA

A medida que el periodo de capitalización se hace más y más corto, el valor de t, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. En una situación en la que el interés se calcula en forma continua, t tiende a infinito, y la fórmula de la tasa efectiva de interés, deberá escribirse en una nueva forma.

R i = (1 + -----)t – 1 ………………………………………… (3.3)

t

La definición de la base de los logaritmos naturales, e

1 lim. (1 + -----)h = e = 2.71828 ................................................ (3.12)

h

El límite de la ec. (3.3) cuando t tiende a infinito se puede calcular haciendo r/t = 1/h, de donde t = h.

R lim I = lim (1 + -----)t – 1

t t t

365 1 = lim (1 + -----)hr – 1 lim [(1 + -----)h]r – 1

h h h h

I = er – 1 ……………………………………………… (3.13)

La ec. (3.13) se utiliza para calcular la tasa de interés efectivo continuo.

Ejemploa) Calcule la tasa de interés efectivo para una tasa nominal anual del 10 %, para todos

los periodos de capitalización utilizados en la Tabla 3.1. Compare las respuestas con los valores tabulados.

b) Si un inversionista requiere una tasa efectiva de retorno de por lo menos el 15 % sobre su dinero ¿cuál es la tasa mínima nominal anual aceptable para él si se va a utilizar capitalización continua?.

Solucióna) Utilizando r = 0.10 y la ec. (3.3) para calcular el valor efectivo de i. La

capitalización diaria nos lleva a t = 365

0.10 i = (1 + -------)365 – 1 = 1.10516 – 1 = 0.10516 365 i = 10.516 %

Para capitalización continua usamos la ec. (3.13)

i = e0.10 – 1 = 0.10517 i = 10.51 %

b) Utilizando la ec. (3.13) con i = 15 %, calculamos r tomando el logaritmo natural

er – 1 = 0.15 er = 1.15 ln er = ln 1.15 r = 0.13976 r = 13.976 %

La tasa anual de 13.976 % capitalizado en forma continua generaría un retorno efectivo del 15 %.

La fórmula general para calcular la tasa nominal dada la tasa continua efectiva es:

r = ln (1+I) ……………………………………………….. (3.14)

EjemploRodríguez y Pérez planean invertir $ 5,000 a 10 años al 10 % anual. Calcule el valor futuro para ambos si Rodríguez capitaliza intereses anualmente y Pérez utiliza capitalización continua.SoluciónRodríguez utilizando capitalización anual, el valor futuro es:

F = P (F/P, 10 %, 10) = 5,000 (2.5937) = $ 12,969

Pérez utilizando capitalización continua

F = P (F/P, 10 %, 10) = 5,000 (2.7183) = $ 13,591

EjemploCompare el valor presente de $ 2,000 anuales durante 10 años al 10 % annual: a) Capitalizados anualmente yb) Capitalizados continuamenteSolucióna) Para capitalización anual

P = 2,000 (P/A, 10 %, 10) = 2,000 (6.1446) = $ 12,289 b) Para capitalización continua

r = 10 % y el factor P/A

P = A (P/A, r %, n) = 2,000 (P/A, 10 %, 10) P = 2,000 (6.0104) = 12,021 P = $ 12,021

CAPÍTULO III

VALOR PRESENTE

7.1 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE

El método de comparación del valor actual consiste en la reducción de todas las diferencias futuras entre alternativas a una simple cantidad actual o presente equivalente. Esto puede hacerse, asimismo, calculando el valor presente de cada alternativa, por separado, antes de restar sus diferencias. La comparación puede hacerse, también, transformando la diferencia de costo anual en una simple cantidad actual. De hecho, en ciertas circunstancias es más rápido y sencillo efectuar primeramente una comparación de costo anual, haciendo después la conversión a valor presente.

El hecho de que una comparación de costo anual puede convertirse a valor presente (y viceversa) es importante. Indica que todos los principios que se aplican a las comparaciones de costo anual pueden aplicarse también a las del valor presente. Por consiguiente, podemos observar que:1) Sólo las diferencias son importantes para la selección2) El valor presente de cada alternativa es el valor actual comparativo3) La comparación del valor presente debe hacerse para cada alternativa durante el

mismo número de años.

Ej. Se espera que dos operaciones tengan vidas económicas de 4 años. La primera costará 1,000 dólares, incluyendo la instalación, y se espera que sus costos anuales de operación serán de 800 dólares, con un valor de recuperación de 100. La segunda cuesta 800 dólares, con costos anuales de operación de 900 dólares y valor de recuperación cero. La tasa mínima requerida de rendimiento es de 8 %.Solución1ª. Operación

- PVA = $ 1,000 - AA = $ 800 anuales- VSA = $ 100

PVA = 1,000 VSA = 100 AA = 800/año

0 ------1--------2-------3--------4- i = 8 %

2ª. Operación- PVB = $ 800 - AB = $ 900 anuales

- VSB = $ 0

PVB = 800 VSB = 0 AB = 900/año

0 ------1--------2-------3--------4- i = 8 %

i = 8 % anual n = 4 años

Cálculos1ª. Operación

(1+i)n – 1 1 PV1 = PVA + AA------------ - VSA--------- i(1+i)n (1+i)n (1.08)4 – 1 1 PV1 = 1,000 + 800-------------- - 100---------- 0.08(1.08)4 (1.08)4 PV1 = $ 3,576

2ª. Operación (1+i)n – 1 1 PV2 = PVB + AB------------ - VSB--------- i(1+i)n (1+i)n (1.08)4 – 1 1 PV2 = 1,000 + 800-------------- - 100---------- 0.08(1.08)4 (1.08)4 PV2 = $ 3,780

Rspta.: Ventaja A = $ 204

PROBLEMAS

VALOR PRESENTE, VALOR FUTURO Y SERIE ANUAL UNIFORME

1) Si una mujer deposita $ 600 hoy, $ 300 dos años más tarde y $ 400 dentro de cinco años, ¿cuánto tendrá en su cuenta dentro de 10 años, si la tasa de interés es del 5 %?.

Solución Primer paso: Dibujar el diagrama de flujo de caja F = ?

i = 5 %

------------------------------------------------------------------------------------ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 300 $ 400 $ 600

Dado que cada valor es diferente y no ocurre cada año, el valor futuro F es igual a la suma de los pagos únicos individuales en el año 10. Es decir:

F = P1(1 + i)n1 + P2(1 + i) n2 + P3(1 + i) n3

F = 600(1 + 0.05) 10 + 300(1 + 0.05)8 + 400(1 + 0.05)5 F = $ 1,931.11

2) Resolver el problema anterior, usando el año 5 para encontrar el total equivalente antes de determinar la cantidad final en el año 10.

3) ¿Cuánto dinero tendría una persona en su cuenta después de ocho años si depositara $ 100 anuales durante ocho años al 4 %, comenzando dentro de un año?.SoluciónPrimer paso:

F = ?

i = 4 % 0 -----1--------2-------3-------4--------5-------6--------7-------8-

A = $ 100 Dado que los pagos se inician al final del año 1 y terminan el año que se desea el valor futuro, se puede utilizar la fórmula de F en términos de A:

(1 + i)n - 1 (1.04)8 - 1 F = A------------- = A-------------- = 100(9.2142)

i 0.04

F = $ 921.42

4) ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a gastar ahora para evitar gastar $ 500 dentro de siete años, si la tasa de interés es 18 %?.SoluciónDiagrama del flujo de caja F = $ 500 i = 18 %

0 -------1--------2--------3--------4--------5-------6------7-

P = ?

De la ec. (9)

1 1P = F----------- = 500------------- = 500(0.3139)

(1 + i)n (1.18)7

P = $ 156.96

Ejemplos:P2.3 Construya el diagrama de flujo de caja para los siguientes depósitos (año = k)

Año, k 1 2 3 4 – 7Depósitos 60 60 60 100 + 10(k – 4)

P2.12 ¿Cuál es el valor presente de $ 700 hoy, $ 1,500 dentro de cuatro años y $ 900 dentro de seis años, a una tasa de interés de 8 % anual?.Rspta. $ 2,369.68

P2.24 Me propongo comprar una propiedad que un tio me ha ofrecido generosamente. El plan de pagos es $ 700 año por medio durante ocho años empezando dentro de dos años. ¿Cuál es el valor presente de esta generosa oferta si la tasa de interés es del 17 % anual?.Rspta.: P = $ 1,357.16

VALOR PRESENTE Y EVALUACIÓN DEL COSTO CAPITALIZADO

7.2 COMPARACIÓN POR EL MÉTODO DEL VALOR PRESENTE DE ALTERNATIVAS CON VIDAS ÚTILES IGUALES.El método del valor presente (VP) para la evaluación de alternativas es muy popular ya que gastos o ingresos futuros se transforman en dinero equivalente hoy. De esta forma, es muy fácil, aún para una persona no familiarizada con el análisis económico, ver la ventaja económica de una alternativa sobre otra u otras.

Como el valor presente de un desembolso o de un ingreso es siempre menor que el valor futuro (en términos de dinero, no de equivalencia), cuando la tasa de interés es mayor que cero, el monto del valor presente se conoce como flujo de caja descontado. Del mismo modo, la tasa de interés utilizada en los cálculos de valor presente se llama a veces tasa de descuento, especialmente en instituciones financieras.

La comparación de alternativas que tienen vidas útiles iguales por el método del valor presente es directo. Si las dos alternativas se utilizan en idénticas condiciones, se denominan alternativas de igual servicio y los ingresos anuales tienen el mismo valor numérico. Por consiguiente, el flujo de caja sólo comprende desembolsos, caso en el cual es conveniente omitir el signo menos de los desembolsos. Entonces deberá seleccionarse la alternativa con el menor valor presente. De otra parte, cuando deben considerarse desembolsos e ingresos, si se utiliza la convención de signos mencionados anteriormente, la alternativa seleccionada sería la de mayor valor presente, siempre y cuando los ingresos excedan los desembolsos y viceversa. Aunque no importa cual signo se use para los desembolsos, es importante ser consecuente al asignar el signo apropiado a cada elemento del flujo de caja. Para la evaluación de proyectos únicos, VP < 0 indica una pérdida neta o cierta tasa de retorno y VP > 0 implica una ganancia neta mayor que la tasa de retorno establecida.

Cabe señalar que el análisis de valor presente puede adelantarse cuando hay alternativas múltiples en consideración, utilizando los mismos procedimientos presentados aquí para dos alternativas, lo cual constituye una de las ventajas de este método sobre el método de la tasa de retorno.

EjemploHaga una comparación de valor presente para dos máquinas de igual servicio, cuyos costos se discriminan abajo, si i = 10 %.

Tipo A Tipo BCosto inicial, P $ 2,500 $ 3,500Costo anual de operación, CAO 900 700Valor de salvamento, VS 200 350Vida útil (años) 5 5

SoluciónDiagramas de flujos de caja

Tipo A i = 10 % VSA = $ 200

0-------1-------2--------3--------4-------5-

AA = $ 900

PA = $ 2,500

Tipo B i = 10 % VSB = $ 3500

0-------1-------2--------3--------4-------5-

AB = $ 700

PB = $ 3,500

El valor presente de cada máquina se calcula como sigue:

PA = 2,500 + 900 (P/A, 10 %, 5) – 200 (P/F, 10 %, 5) = $ 5,788

PB = 3,500 + 700 (P/A, 10 %, 5) – 350 (P/F, 10 %, 5) = $ 5,936

Se debe seleccionar la máquina tipo A, puesto que PA < PB

COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS DE VIDAS ÚTILES DIFERENTES POR MEDIO DEL VALOR PRESENTECuando el método del valor presente se utiliza para comparar alternativas que tienen vidas útiles diferentes, el procedimiento anterior se utiliza con la siguiente excepción: las alternativas deben compararse sobre el mismo número de años. Es decir, el flujo de caja para un “ciclo” de una alternativa debe duplicarse para el mínimo común múltiplo de años, con lo cual el servicio se compara sobre la misma vida total para cada alternativa. Por ejemplo, si se desea comparar alternativas con vidas útiles de 3 y 2 años,

respectivamente, dichas alternativas deberán compararse sobre un periodo de 6 años, suponiendo reinversión al final del ciclo de vida útil de cada una de ellas. Es importante recordar que cuando una alternativa tiene valor terminal de salvamento, dicho valor debe incluirse y mostrarse como un ingreso en el diagrama de flujo de caja en el tiempo en que se efectúa la reinversión.

EjemploUn supervisor de una planta está tratando de decidir entre las máquinas que se detallan a continuación:

Máquina A Máquina BCosto inicial $ 11,000 $ 18,000Costo anual de operación 3,500 3,100Valor de salvamento 1,000 2,000Vida útil, años 6 9

Determinar qué máquina deberá seleccionarse sobre la base de una comparación por valor presente, utilizando una tasa de interés del 15 %.SoluciónDiagramas de flujo de caja

Máquina A PWA = ? i = 15 % $ 1,000 $ 1,000 $ 1,000 0---1---2---3---4---5---6---7---8---9-10--11-12--13-14--15-16--17-18- años

AA = $ 3,500

$ 11,000 $ 11,000 $ 11,000

Máquina B PWB = ? i = 15 % $ 2,000 $ 2,000 0---1---2---3---4---5---6---7---8---9-10--11-12--13-14--15-16--17-18- años

AB = $ 3,100

$ 18,000 $ 18,000

Como las máquinas tienen distintas vidas útiles, deben compararse sobre la base del mínimo común múltiplo de las mismas; es decir, 18 años en este caso.

Máquina A: PWA = 11,000 + 11,000(P/F, 15 %, 6) – 1,000(P/F, 15 %, 6) + 11,000(P/F, 15 %, 12)

- 1,000(P/F, 15 %, 12) – 1,000(P/F, 15 %, 18) + 3,500(P/A, 15 %, 18) PWA = $ 38,559

Máquina B: PWB = 18,000 + 18,000(P/F, 15 %, 9) – 2,000(P/F, 15 %, 9) - 2,000(P/F, 15 %, 18)

+ 3,100(P/A, 15 %, 18) PWA = $ 41,384

La máquina A debe preferirse, ya que PWA < PWB

7.3 CÁLCULO DEL COSTO CAPITALIZADOCosto Capitalizado se refiere al valor presente de un proyecto que se supone tendrá una vida útil indefinida. Ciertos proyectos de obras públicas como represas y sistemas permanentes como universidades u organizaciones de caridad deben ser manejadas por métodos de costo capitalizado.

En general, el procedimiento que debe seguirse para calcular el costo capitalizado o costo inicial de una fundación permanente, es como sigue:1. Se dibuja un diagrama de flujos de caja que muestre todos los gastos o ingresos no

recurrentes (que ocurren una sola vez) y al menos dos ciclos de todods los gastos o ingresos recurrentes (periódicos).

2. Se halla el valor presente de todos los gastos (ingresos) no recurrentes.3. Se halla el costo anual uniforme equivalente (CAUE) durante un ciclo de todos los

gastos recurrentes y de las series de costos anuales uniformes.4. Se divide el CAUE obtenido en el paso 3 por la tasa de interés para obtener el costo

capitalizado del CAUE.5. Se suma el valor obtenido en el paso 2 al valor obtenido en el paso 4.

El propósito de iniciar la solución mediante el dibujo del diagrama de flujo de caja, debe ser claro según lo expuesto en los capítulos anteriores. Sin embargo, dicho diagrama es probablemente más importante en éste cálculo que en cualquier otro, ya que facilita la distribución entre gastos no recurrentes y gastos periódicos. En el paso 2, el valor presente de todos los gastos (ingresos) no recurrentes deberá determinarse. Como el costo capitalizado es el valor presente de un proyecto perpetuo, la razón de este paso se hace obvia. En el paso 3, el CAUE (que se ha llamado A hasta ahora) de todos los costos anuales uniformes y recurrentes, deberá calcularse. Esto se hace para calcular el valor presente de los costos anuales perpetuos (costo capitalizado) utilizando:

CAUE Costo Capitalizado = ----------- ........................................... (5.1) i

Esto puede ilustrarse considerando el valor del dinero en el tiempo. Si se depositan $ 100 en una cuenta de ahorros al 6 % de interés capitalizado anualmente, la máxima cantidad de dinero que puede retirarse al final de cada año a perpetuidad es $ 6, o sea el monto de los intereses acumulados en ese año. Esto permite que los $ 100 originales de depósitos ganen otros $ 6 de intereses que se acumularán al siguiente año. Matemáticamente, la cantidad de dinero que puede acumularse y retirarse cada año es:

A = Pi ........................................................................................... (5.2)

Así, para el ejemplo: A = 100(0.06) por año

El cálculo del costo capitalizado propuesto en el paso 4 es el paso 4 es el inverso de lo que acabamos de hacer; es decir, en la ec. (5.2) se despeja P:

A P = ----- ............................................................................................... (5.3) i

Para el ejemplo que venimos citando, si se desea retirar $ 6 cada año eternamente, a una tasa de interés del 6 %, de la ec. (5.3):

6 P = ------- = $ 100 0.06

Después de obtener el valor presente de todos los flujos de caja, el costo total capitalizado es simplemente la suma de dichos valores presente.

EjemploCalcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $ 150,000 y un costo adicional de inversión de $ 50,000 a los 10 años. Los costos anuales de operación son de $ 5,000 los primeros 4 años y de $ 8,000 de allí en adelante. Además, se espera que haya un costo recurrente de reoperación de $ 15,000 cada 13 años. Suponga que i = 5 %.SoluciónUtilizando el procedimiento ya explicado:

1. Dibujamos el diagrama de flujo de caja para dos ciclos.

i = 5 % 0--1---2---3---4----5---6---7----8---9---10--11--12--13--14--15---24--25--26 $ 5,000 $ 8,000

$ 15,000 $ 15,000 $ 50,000

$ 150,000

2. Calculamos el valor presente (P1) de los costos no recurrentes de $ 150,000 hoy y $ 50,000 en el año 10:

P1 = 150,000 + 50,000(P/F, 5 %, 10) = $ 180,695

3. Convertimos el costo recurrente de $ 15,000 cada 13 años en un CAUE (A1) para los primeros 13 años:

A1 = 15,000(A/F, 5 %, 13) = $ 847

4. El costo capitalizado de las series anuales de costo puede calcularse de dos maneras que son (a) considerar una serie de $ 5,000 de hoy al infinito y hallar el valor presente de $ 8,000 - $ 5,000 = $ 3,000 desde el año 5, o (b) hallar el valor presente de $ 5,000 durante 4 años y el valor presente de $ 8,000 del año 5 a infinito. Utilizando el primer método, hallamos que el costo anual (A2) es $ 5,000 y el valor presente (P2) de $ 3,000 del año 5 a infinito, utilizando la ec. (5.3) y el factor P/F, es:

A1 + A2 847 + 5,000 P3 = ------------- = ----------------- = $ 116,940

i 0.05

5. El costo total capitalizado (PT ) se obtendrá ahora sumando:

PT = P1 + P2 + P3 = $ 346,997

Comentario:En el cálculo de P2, se utilizó n = 4 en el factor P/F porque el valor presente del costo anual de $ 3,000 se calcula en el año 4, ya que P está siempre un año atrás del primer A. Se sugiere volver a trabajar el problema utilizando el segundo método sugerido para calcular P2.

COMPARACIÓN DEL COSTO CAPITALIZADO DE DOS ALTERNATIVASCuando dos o más alternativas se comparan sobre la base de sus costos capitalizados, se utiliza el procedimiento de la sección anterior. Como el costo capitalizado representa el costo total presente de financiar y mantener cualquier alternativa dada, automáticamente se comparan las alternativas para el mismo número de años (es decir, infinito). La alternativa con menor costo capitalizado representará la más económica. Como en el método del valor presente y otros métodos alternos de evaluación, son solamente las diferencias en los flujos de caja entre alternativas los que deben simplificarse eliminando los elementos del flujo de caja que son comunes a ambas alternativas.

EjemploSe consideran dos lugares para la construcción de un puente que cruza un río. El sitio norte conectaría una carretera principal con un cinturón vial alrededor de la ciudad y descongestionaría el tráfico local. Las desventajas de este sitio son que el puente prácticamente no solucionaría la congestión del tráfico local durante las horas pico y tendría que extenderse desde una colina para abarcar la parte más ancha del río, la vía férrea y las carreteras locales que pasan por debajo. Por lo tanto, este puente tendría que ser un puente colgante. El sitio sur requiere una distancia mucho más corta, lo que permitiría la construcción de un puente de armadura, pero sería necesario construir una nueva carretera.

El puente colgante tendría un costo inicial de $ 30 millones, con costos anuales de inspección y mantenimiento de $ 15,000. Además, la plataforma de concreto tendría que recubrirse cada 10 años a un costo de $ 50,000. Se espera que el puente de armadura y la carretera de aproximación tengan un costo inicial de $ 12 millones y costos anuales de mantenimiento de $ 8,000. Además, deberá pintarse cada 3 años a un costo de $ 10,000 y cada 10 años limpiarlo con arena a presión y pintarlo a un costo de $ 45,000. Se espera que el costo de compra del derecho de vía para el puente colgante sea de $

800,000 y de $ 10.3 millones para el de armadura. Compare las alternativas sobre la base de sus costos capitalizados y una tasa de interés del 6 %. SoluciónPuente colgante

i = 6 % 0-------1-------2-------3--------4-------5--------6-------7--------8-------9-- ----10-

Ac = $ 15,000 $ 30’000,000 $ 50,000

$ 800,000

Puente de armadura

i = 6 % 0-------1-------2--- ---3--------4-------5--------6-------7--------8-------9-- ----10-

Aa = $ 8,000 $ 12’000,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 10,000 $ 45,000

$ 10’300,000

Costo capitalizado del puente colgante:

P1 = Valor presente del costo inicial = 30’000,000 + 800,000 P1 = $ 30’800,000

El costo recurrente de operación es A1 = $ 15,000, mientras que el costo anual equivalente del costo de recubrimiento es:

A2 = 50,000() = $ 3,794 A1 + A2 P2 = Costo capitalizado de los costos recurrentes =- ----------- i 15,000 + 3,794 P2 = --------------------- 0.06 P2 = $ 313,233

Finalmente, el costo total capitalizado (PS) es:

PS = P1 + P2 = $ 31’113,233 ($ 31.1 millones)

Costo capitalizado del puente de armadura:

P1 = 12’000,000 + 10’300,000 = $ 22’300,000 A1 = $ 8,000 A2 = Costo anual de pintura = 10,000(A/F, 6 %, 3) A2 = $ 3,141 A3 = Costo anual de limpieza con arena = 45,000(A/F, 6 %, 10) A3 = $ 3,414 A1 + A2 + A3 8,000 + 3,141 + 3,414 P2 = --------------------- = ------------------------------ =$ 242,583 i 0.06

El costo total capitalizado (PT) es:

PT = P1 + P2 = 22’300,000 + 242,583 = $ 22’542,583 ($ 22.5 millones)

Como PT < PS, se debe construir el puente de armadura.

EjemploUna planta de cemento espera abrir una nueva cantera. Se han diseñado dos planes para el movimiento de materia prima de la cantera a la planta. El plan A requiere la compra de dos palas removedoras de tierra y la construcción de una Terminal de descargue. El plan B requiere la construcción de una banda transportadora desde la cantera a la planta. Los costos para cada plan aparecen en la Tabla de abajo. ¿Qué plan debe seleccionarse, si el valor actual del dinero es del 15 %?.

TablaDetalle de los planes para movilizar material de la cantera a la planta de cemento

Plan A Plan BPala Terminal Transportadora

P $ 45,000 $ 28,000 $ 175,000 CAO 6,000 300 2,500VS 5,000 2,000 10,000n, años 8 12 24

SoluciónDiagramas de flujos de caja

Plan A i = 15 % 2,000 2,000 2,000 5,000 5,000 5,000

0---1------ 2----7-----8-----9----15-----16----17---23----24-

AP = 6,000

45,000 AT = 300

28,000 45,000 45,000

Plan B 10,000 i = 15 %

0---1------ 2----7-----8-----9----15-----16----17---23----24-

ATR = 2,500

175,000

La evaluación se llevará a cabo sobre 24 años, ya que pensamos utilizar análisis por valor presente. La reinversión en las dos palas tendrá lugar en los años 8 y 16 y el Terminal de descargue tendría que ser readquirido en el año 12. No hay necesidad de reinversiones para el plan B.

Para simplificar los cálculos, usaremos el hecho de que el plan A tiene un costo anual de operación (CAO) adicional de $ 6,300 - $ 2,500 = $ 3,800 anuales.

VP del plan A:

VPA = VPP + VPT + VPCAO

VPP = 2(45,000)1 + (P/F, 15 %, 16) + (P/F, 15 %, 24) - 2(5,000) 1 + (P/F, 15 %, 8) + (P/F, 15 %, 16) + (P/F, 15 %, 24)

VPP = $ 124,355

VPT = 28,0001 + (P/F, 15 %, 12) - 2,000(P/F, 15 %, 12) + (P/F, 15 %, 24) VPT = $ 32,790

VPCAO = 3,800(P/A, 15 %, 24) VPCAO = $ 24,448

VPA = $ 181,593

VP del plan B:

VPB = VPT2 = 175,000 – 10,000(P/F, 15 %, 24) VPB = $ 174,651

Como VPB < VPA, se debe construir la transportadora.

CAPÍTULO IV

COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE Y TASA DE RETORNO

8.1 EVALUACIÓN DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE

El CAUE (Costo Anual Uniforme Equivalente) es otro método utilizado corrientemente para la comparación de alternativas. El CAUE significa que todos los desembolsos (irregulares y uniformes) deben convertirse en un costo anual uniforme equivalente; es decir, una cantidad de fin de año, que es la misma cada año. La principal ventaja de este método sobre las otras es que no requiere que la comparación se lleve a cabo sobre el mismo número de años cuando las alternativas tienen vidas útiles diferentes. Cuando se utiliza el método del CAUE, el costo anual uniforme equivalente de una alternativa debe calcularse para un ciclo de vida solamente. ¿Por qué?. Porque, como su nombre lo indica, el CAUE es un costo anual equivalente para toda la vida del proyecto. Si el proyecto continuara durante más de un ciclo, el costo anual equivalente para el siguiente y sucesivos ciclos, sería exactamente el mismo que para el primero, suponiendo que todos los flujos de caja fueran los mismos para cada ciclo. El CAUE para un ciclo de una alternativa representa pues el costo anual uniforme equivalente de dicha alternativa para siempre.

8.2 MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN DE SALVAMENTOCuando un activo en una alternativa dada tiene un valor final de salvamento (VS), existen varias maneras para calcular el CAUE. Aquí se presenta el método del fondo de amortización de salvamento probablemente el más sencillo de las tres que se discutirán. Es el que utilizaremos en lo sucesivo. En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial (P) se convierte primero a un costo anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P (recuperación de capital). El valor de salvamento, después de su conversión a un costo uniforme equivalente, mediante el factor A/F (fondo de amortización), se resta del costo anual equivalente del primer costo. Los cálculos pueden representarse mediante la ecuación general:

CAUE = P(A/P, i %, n) – VS (A/F, I %, n) ------------------------- (6.1)

Naturalmente, el CAUE no es otra cosa que un valor A, pero aquí lo llamaremos CAUE.

Ejemplo 6.1 Calcular el CAUE de una máquina que tiene un costo inicial de $ 8,000 y un valor de salvamento de $ 500 después de 8 años. Los costos anuales de operación (CAO) de la máquina se estiman en $ 900 y la tasa de interés es del 6 %.SoluciónDiagrama de flujos de caja

i = 6 % 500 i = 6 % 0 ---1---2---3---4---5---6---7---8 0--1---2---3---4---5---6---7---8- 900 2,138 8,000

(b) (b)

El diagrama de flujos de caja nos pide calcular:

CAUE = A1 + A2

Donde: A1 = Costo anual de la inversión inicial, menos el valor de salvamento, de acuerdo con la ec. (6.1) A2 = Costos anuales de mantenimiento = $ 900

A1 = 8,000 (A/P, 6 %, 8) – 500 (A/F, 6 %, 8) = $ 1,238 CAUE = 1,238 + 900 = $ 2,138

ComentarioComo el costo de mantenimiento ya se había expresado como un costo anual sobre la vida del activo, no era necesario utilizar conversiones. La sencillez del método del fondo de amortización de salvamento es obvia en los cálculos directos que presenta este ejemplo. Los pasos en este método son los siguientes:1. Anualizar el costo de inversión inicial sobre la vida útil del activo utilizando el

factor A/P.2. Anualizar al valor de salvamento utilizando el factor A/F.3. Restar el valor de salvamento anualizado del costo de inversión anualizado.4. Sumar el costo anual uniforme al valor obtenido en el paso 3.

MÉTODO DEL VALOR PRESENTE DE SALVAMENTOEl método del valor presente de salvamento es el segundo de los métodos para convertir a CAUE los costos de inversión que posean los valores de salvamento. El valor presente del valor de salvamento se resta del costo de inversión inicial y la diferencia resultante se anualiza para la vida del activo. La ecuación general es:

CAUE = P – VS(P/F, i %, n)(A/P, i %, n) ------------------- (6.2)

Los pasos que deben seguirse en este método son los siguientes:1. Calcular el valor presente del valor de salvamento mediante el factor P/F.2. Restar el valor obtenido en el paso 1 del costo inicial P.3. Anualizar la diferencia resultante sobre la vida útil del activo utilizando el factor

A/P.4. Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 3

Ejemplo 6.2Compare el CAUE de la máquina detallada en el ejemplo 6.1, utilizando el método del valor presente de salvamento.SoluciónUtilizando los pasos señalados anteriormente y la ec. (6.2)

CAUE = 8,000 – 500(P/F, 6 %, 8)(A/P, 6 %, 8) + 900 CAUE = $ 2,138.

MÉTODO DE LA RECUPERACIÓN DE CAPITAL MÁS INTERÉSEl procedimiento final que presentaremos aquí para el cálculo del CAUE de un activo que posea valor de salvamento, es el método de la recuperación de capital más interés, la ecuación general de este método es:

CAUE = (P – VS)(A/P, i %, n) + VS(i) --------------------------------- (6.3)

Al restar el valor de salvamento del costo de inversión, antes de multiplicar por el factor A/P, se está reconociendo que se recuperará el valor de salvamento. Sin embargo, el hecho de que el valor de salvamento no se recupere durante n años debe tenerse en cuenta añadiendo el interés (VSi) perdido durante la vida útil del activo. Olvidar este término sería la misma que suponer que el valor de salvamento se obtuvo en el año 0 en lugar del año n. Los pasos que deben seguirse para la aplicación de este método son los siguientes:1. Restar el valor de salvamento del costo inicial.2. Anualizar la diferencia resultante mediante el factor A/P3. Multiplicar el valor de salvamento por la tasa de interés.4. Sumar los valores obtenidos en los pasos 2 y 35. Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 4.

Ejemplo 6.3Utilizando los valores del ejemplo 6.1, calcule el CAUE utilizando el método de la recuperación del capital más interés.SoluciónDe la ecuación (6.3) y los pasos señalados anteriormente:

CAUE = (8,000 – 500)(A/P, 6 %, 8) + 500(0.06) + 900 CAUE = $ 2,138.

COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS POR CAUEEl método de comparar alternativas por el costo anual uniforme equivalente es probablemente la más sencilla de las técnicas de evaluación presentadas. La selección se hace sobre la base del CAUE, escogiendo la alternativa que tenga el menor costo, como la más favorable. Evidentemente, los datos no cuantificables deben tomarse en consideración antes de llegar a una decisión final, pero en general se preferirá la alternativa que tenga el más bajo CAUE.

Quizás la regla más importante que debe recordares al hacer comparaciones por CAUE es que solamente debe considerarse un ciclo de la alternativa. Esto supone, por supuesto, que los costos de todos los periodos sucesivos serán los mismos. Aunque es cierto que el costo de un activo hoy, será probablemente mucho menor que el costo del mismo activo dentro de diez años, debido a la inflación, debe recordarse que, en general, el costo de las otras alternativas también aumentará por la misma razón. Puesto que los métodos analíticos presentados aquí tienen el propósito de hacer comparaciones y no de determinar costos reales, las mismas conclusiones se obtendrían en cualquier fecha futura, siempre que los costos aumentarán proporcionalmente. Obviamente, cuando hay información disponible que indique que los costos de ciertos activos aumentarán o disminuirán considerablemente, debido a adelantos técnicos, o al aumento de la competencia, estos factores deben tenerse en cuenta al adoptar una decisión.

Ejemplo 6.4Se han propuesto los siguientes costos para dos máquinas peladoras de tomates en una fábrica de conservas.

Máquina A Máquina BCosto inicial $ 26,000 $ 36,000Costo anual de mantenimiento 800 300Costo anual de mano de obra 11,000 7,000Ingresos adicionales gravables ----- 2,600Valor de salvamento 2,000 3,000Vida (años) 6 10

Si la tasa de retorno mínima requerida es del 15 %, ¿qué máquina debe seleccionarse?SoluciónDiagramas de flujos de caja.Máquina A

i = 15 % 2,000

0 -------1- ------2-------3--------4-------5--------6-

11,000 26,000

Máquina B i = 15 % 3,000

0 -------1-------2--------3-------4--------5-------6--------7-------8--------9------10

9,900

36,000

El CAUE de cada máquina, utilizando el método del fondo de amortización de salvamento, ec. (6.1), se calcula como sigue:

CAUEA = 26,000 (A/P, 15 %, 6) – 2,000 (A/F, 15 %, 6) + 11,800 CAUEA = $ 18,442 CAUEB = 36,000 (A/P, 15 %, 6) – 3,000 (A/F, 15 %, 6) + 9,900CAUEB = $ 16,925

Se seleccionará la máquina B; puesto que, CAUEB < CAUEA

Es común utilizar el flujo de caja anual FC t y el valor de salvamento esperado para comparar alternativas por el periodo de recuperación, que es una determinación del número de años n que transcurrirán antes de que el costo inicial y el retorno establecido se lleven a cabo. Es decir, se trata de determinar para cada alternativa el valor n tal que n

0 = - P + FCt (P/F, i %, t) t=1

Se selecciona la alternativa que tenga el menor n. Si i = 0 %, se calcula el periodo de recuperación de no retorno. La comparación que utiliza el análisis por periodo de

recuperación, puede conducir a un resultado diferente al que dan los métodos del valor presente o CAUE debido a que desprecia todos los flujos de caja después del tiempo n y también a que pasa por alto el valor del dinero en el tiempo si i = 0 %.

CAUE DE UNA INVERSIÓN PERPETUAA veces es necesario comparar alternativas en las cuales puede suponerse una vida útil perpetua, tales como, represa para controlar avenidas de los ríos o proyectos de riego. Para este tipo de análisis es importante reconocer que el costo anual de una inversión inicial perpetua es simplemente el interés anual de la suma total invertida inicialmente. Es decir, si el gobierno invirtiera $ 10,000 en cierta obra pública, el CAUE de la inversión sería $ 10,000 (0.04) = $ 400, si la tasa de interés fuera del 4 %. Este cálculo se entiende fácilmente, si se piensa que el gobierno podría gastar $ 10,000 hoy o $ 400 anualmente, por siempre. Gastando los $ 10,000 ahora, el gobierno está perdiendo los $ 400 de otra parte, el gobierno podría convencer a un inversionista privado de que pagara los $ 10,000 de la obra pública y luego pagar al inversionista los $ 400 de pérdida de interés. Desde otro punto de vista, una persona que recibiera $ 10,000 hoy tendría una cantidad de dinero equivalente al de otra persona que recibiera $ 400 anuales a perpetuidad, si la tasa de interés fuera del 4 %, puesto que ambas personas recibirían $ 400 anuales indefinidamente.

Los costos que tengan lugar a intervalos regulares o irregulares se manejan exactamente como en los problemas convencionales de CAUE. Es decir, todos los otros costos deben convertirse a costos anuales uniformes equivalentes para un ciclo. Por lo tanto se vuelven costos anuales indefinidos.

Ejemplo 6.5El Ministerio de Agricultura está considerando dos propuestas para incrementar la capacidad del canal principal del sistema de irrigación del valle de un río. La propuesta A comprende el dragado del canal para remover los sedimentos y malezas que se hayan acumulado en los años que lleva de operación. Como la capacidad del canal debe mantenerse en su máximo debido a la demanda creciente de agua, el ministerio planea comprar el equipo de dragado y accesorios por $ 65,000. Se espera que la duración del mismo sea 10 años y su valor de salvamento $ 7,000. Los costos de operación y mano de obra para los trabajos de dragado se estiman en $ 22,000 al año. Con el objeto de controlar las malezas tanto en el canal como en sus bancos, se fumigará con herbicidas durante la época de irrigación. Los costos anuales de esta operación, incluyendo la mano de obra, se calculan en $ 12,000.

La propuesta considera el revestimiento del canal en concreto con un costo inicial de $ 650,000. Se supone que el revestimiento es permanente, si bien se requerirá un mantenimiento menor cada año con un costo de $ 1,000. Además se harán reparaciones del revestimiento cada 5 años con un costo de $ 10,000. Compare las dos alterantivas sobre la base del CAUE, utilizando una tasa de interés del 5 %.Rspta.: Deberá seleccionarse la propuesta B ($ 35,310 vs. $ 41,861).

PERIODO DE ESTUDIO PARA ALTERNATIVAS CON VIDAS ÚTILES DIFERENTES

CAPITULO V

FACTORES MULTIPLES

UTILIZACIÓN DE FACTORES MULTIPLES

LOCALIZACIÓN DEL VALOR PRESENTE Y DEL VALOR FUTUROCuando una serie uniforme de pagos se inicia en un tiempo que no sea el final del año (periodo) 1, se pueden utilizar varios métodos para encontrar el valor presente. Por ejemplo, el valor presente de la serie uniforme de desembolsos que se muestra en la Fig. 4.1 puede determinares mediante cualquiera de los siguientes métodos:

i %

0---1---2--3----4-----5-----6------7-----8-----9----10----11----12---13-

A = $ 50

Fig. 4.1

2. Utilice el factor valor presente pago único (P/F, i %, n) para hallar el valor presente de cada desembolso en el año cero y súmelos.

3. Utilice el factor cantidad compuesta pago único (F/P, i %, n) para encontrar el valor futuro de cada desembolso en el año 13, súmelos y entonces halle el valor presente del total usando P = F (P/F, i %, 13).

4. Utilice el factor cantidad compuesta serie uniforme (F/A, i %, n) para hallar la cantidad futura mediante F = A (F/A, i %, 10) y luego busque el valor presente usando P = F (P/F, i %, 13)

5. Utilice el factor valor presente serie uniforme (P/A, i %, n) para calcular el “valor presente” (que no estará ubicado en el año cero) y después encuentre el valor presente en el año cero usando el factor (P/F, i %, n).

El diagrama del flujo de caja para la Fig. 4.1 , sería: F = ? P = ?

i %

0----1----2---3-----4-----5-----6------7-----8-----9----10----11----12---13-

A = $ 50

Fig. 4.1

CÁLCULO PARA UNA SERIE UNIFORME QUE EMPIEZA DESPUÉS DEL AÑO 1Existen muchos métodos que pueden utilizarse para resolver los problemas que tienen una serie uniforme que empieza en un tiempo que no es el fin del año 1. Sin embargo, generalmente es mucho más conveniente utilizar las fórmulas de serie uniforme que la de pago único.

Para resolver problemas de este tipo existen etapas específicas que deben seguirse con el objeto de evitar errores innecesarios.1. Dibuje un diagrama de flujo de caja de los ingresos y los desembolsos del problema.2. Ubique el valor presente o el valor futuro en el diagrama de flujo de caja.3. Determine n renumerando el diagrama de flujo de caja4. Dibuje el diagrama de flujo de caja representando el flujo de caja equivalente

deseado.5. Establezca y resuelva las ecuaciones.

Ejemplo 4.1Una persona compra una propiedad en $ 5,000 al contado y pagos anuales diferidos de $ 500 durante seis años, empezando dentro de 3 años. ¿Cuál es el valor presente de la inversión si la tasa de interés es 8 %?.SoluciónDiagrama de flujo de caja PT = ?

PA’ = ? PA = ? i = 8 % años

0 --------1------2-------3-------4--------5-------6-------7-------8-----n+1--n+2- 0 1 2 3 4 5 6 n-1 n A = $ 500 P1 = $ 5,000

PA’ = 500 (P/A, 8 %, 6)

Dado que PA’ está localizado en el año 2, es necesario hallar PA

PA = PA’ (P/F, 8 %, 2)

PT = P1 + PA = 5,000 + 500 (P/A, 8 %, 6)(P/F, 8 %, 2) PT = 5,000 + 500 (4.6229)(0.8573) PT = $ 6,981.60

Ejemplo 4.2Calcule la serie anual uniforme equivalente a 8 años a 6 % de interés para los desembolsos uniformes que se muestran en la siguiente figura:

i = 6 %0-------1------2------3--------4-------5--------6-------7--------8-

A = $ 800

SoluciónLa Fig. (a) muestra el diagrama de flujo de caja original y la Fig. (b) el diagrama equivalente deseado.

F = ? PA’ = ? PT = ?

i = 6 % i = 6 % 0 ---1-2---3---4---5---6---7---8- 0--1---2---3--4---5---6---7---8-

Fig. (a) Fig. (b)

Con el objeto de convertir los flujos de caja uniformes que empiezan en algún momento después del año 1 en un costo anual uniforme equivalente durante todos los años, el primer paso es convertir el flujo de caja en un valor presente o en un valor futuro. Luego se puede utilizar el factor recuperación de capital convencional (A/P, i %, n) o el factor fondo de amortización (A/F, i %, n) para determinar el costo anual uniforme equivalente. En seguida se ilustran ambos métodos.

1. Método Valor Presente (refiérase a la Fig. a)

PA’ = 800(P/A, 6 %, 6) PT = PA‘(P/F, 6 %, 2) = 800 (P/A, 6 %, 6)(P/F, 6 %, 2) PT = $ 3,501.12

Donde PT es el valor presente total del flujo de caja. La serie equivalente A’ puede determinarse ahora con el factor A/P.

A’ = PT (A/P, 6 %, 8) = $ 563.82

Este resultado es para 8 años, como se muestra en la Fig. (b)

2. Método del Valor Futuro (Fig. a). El primer paso es calcular el valor futuro

F = 800 (P/A, 6 %, 6) = $ 5,580

El factor fondo de amortización (A/F, i %, n) puede utilizarse y se obtiene A’

A’ = F (A/F, 6 %, 8) = $ 563.80

CÁLCULOS QUE INVOLUCRAN SERIES UNIFORMES Y CANTIDADES DISTRIBUIDAS ALEATORIAMENTE.Cuando una serie uniforme de pagos se incluye en un flujo de caja que contiene también cantidades únicas distribuidas al azar, debe aplicarse el procedimiento estudiado anteriormente para serie uniforme que empiezan después del año 1, a las cantidades de serie uniforme y las fórmulas de pago único deben aplicarse a las cantidades de pago único.

Ejemplo 4.3Una persona que posee 50 hectáreas de tierra de cierto valor decidió vender los derechos de las minas existentes en su propiedad a una compañía minera. Su objetivo primordial era obtener un ingreso de inversión a largo plazo y dinero suficiente para financiar la

educación de sus dos hijos. Dado que los hijos tenían 12 y 2 años de edad en el momento en que estaban negociando el contrato, sabían que los niños estarían en la universidad en un plazo de seis y dieciséis años a partir del momento actual. Por lo tanto, propusieron a la compañía que les pagara $ 20,000 anuales durante 20 años empezando de aquí a un año, más $ 10,000 dentro de seis y $ 15,000 dentro de 16 años. Si la compañía deseara pagar su alquiler inmediatamente, ¿cuánto tendría que pagar ahora si la tasa de interés es 6 %?.SoluciónDiagrama de flujo de caja

$ 15,000 $ 10,000

A = $ 20,000

0 ----1-----2----6-----7---16---17----18----19---20- i = 6 %

P = ? Fig. 4.8

Este problema se resuelve encontrando el valor presente de la serie uniforme y sumándolo a los valores presentes de los dos pagos individuales. Así:

P = 20,000 (P/A, 6 %, 20 + 10,000 (P/F, 6 %, 6) + 15,000 (P/F, 6 %, 16) P = $ 242,352 .

Ejemplo 4.4Si los pagos uniformes descritos en el ejemplo 4.3 no se iniciaran hasta 3 años después de la fecha en que se firmó el contrato, ¿cuál sería el valor presente de las entradas?.

SERIE ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE DE PAGOS TANTO UNIFORMES COMO ÚNICOS.Cada vez que se desea calcular la serie anual uniforme equivalente de pagos únicos distribuidos al azar y/o cantidades uniformes, el hecho más imortante que es necesario recordar es que los pagos deben ser convertidos primero a un valor presente o a un valor futuro. Luego puede obtenerse la serie anual uniforme equivalente con el factor apropiado A/P o A/F.

Ejemplo 4.6Calcule la serie anual uniforme equivalente durante 20 años para las entradas que se describen en el ejemplo 4.3 (Fig. 4.8).SoluciónEl diagrama de flujo de caja equivalente sería el siguiente: i = 6 % A = ?

0------1-------2--------3------18------19------20-

Del diagrama de flujo de caja que muestra la Fig. 4.8, es evidente que las entradas de serie uniforme (o sea $ 20,000) están ya distribuidas a lo largo de los 20 años del diagrama. Por lo tanto, sólo es necesario convertir las cantidades úinicas a una serie anual uniforme y sumar el valor obtenido a los $ 20,000. Esto puede hacerse por medio del método del valor presente o or el método del valor futuro.

a) Método del Valor Presente

A = 20,000+10,000(P/F, 6 %, 6)(A/P, 6 %, 20)+15,000(P/F, 6 %, 16)(A/P, 6 %, 20) A = $ 21,129 annual.

b) Método del Valor Futuro A = 20,000+10,000(F/P, 6 %, 14)(A/F, 6 %, 20)+15,000(F/P, 6 %, 4)(A/F, 6 %, 20) A = $ 21,129 ANNUAL.

Obsérvese que fue necesario trasladar los pagos únicos a cualquier extremo de la escala de tiempo antes de anualizar. El no hacer esto daría como resultado entradas desiguales en algunos años.

VALOR PRESENTE Y SERIE ANUAL EQUIVALENTE DE GRADIENTES DESFASADAS.El valor presente de un gradiente uniforme siempre estará localizado 2 años (periodos) antes que comience el gradiente.

Ejemplo 4.9Para el diagrama de flujo de caja que se muestra en la Fig. 4.13, explique por qué el valor presente del gradiente está localizado en el año 3.

PG = ?

i % 0------1-------2--------3-------4-------5--------6-------7--------8- años n $ 100 $ 100 $ 100 $ 100 $ 150 G = $ 50 $ 200 $ 250 $ 300

SoluciónEl gradiente es $ 50 y empieza entre los años 4 y 5 del diagrama original de flujo de caja. Por consiguiente, el año 5 representa el año 2 del gradiente; el valor presente del gradiente estaría entonces localizado en el año 3.

Cuando un gradiente de una secuencia de flujo de caja empieza en el año 2, se denomina gradiente convencional. Cuando un gradiente empieza en un tiempo anterior o posterior al año 2, se designa como un gradiente desfasado. Para determinar n es necesario usar el mismo procedimiento de remuneración que se utilizó para determinar dónde se localiza el valor presente del gradiente.

Ejemplo 4.10Calcule la serie anual equivalente para los pagos de la Fig. 4.16

i % 0------1-------2--------3-------4-------5--------6-------7- años n $ 50 $ 50 $ 50 $ 70 $ 90 $ 110 $ 130 Fig. 4.16

SoluciónLos pasos de la solución son:1. Considere la cantidad base de & 50 como costo anual durante todos los siete años

(Fig. 4.17) 2. Halle el valor presente del gradiente PG que ocurre en el año 2, tal como se muestra

en la escala de tiempo año gradiente.

PG = 20 (P/G, i %, 5)

3. Devuelva el valor presente del gradiente al año cero real

P1 = PG (P/F, i %, 2)

4. Analice el valor presente del gradiente desde el año cero hasta el año n.

A = P1 (A/P, i %, 7)

5. Finalmente, sume los costos anuales restantes al costo anual del gradiente. Aquí la cantidad base es $ 50 para todos los siete años y la serie anual es:

A = 20 (P/G, i %, 5)(P/F, i %, 2)(A/P, i %, 7) + 50

PG = ? P1 = ? i % 0------1-------2--------3-------4-------5--------6-------7- años _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n $ 50 $ 50 $ 50 $ 70 $ 90

$ 110 $ 130

GRADIENTES DECRECIENTESEl uso de los factores de gradientes es el mismo para gradientes crecientes y decrecientes, excepto que en el caso de los gradientes decrecientes es válido lo siguiente:

1. La cantidad base es igual a la cantidad mayor alcanzada en la serie de gradiente.2. El gradiente tiene un valor negativo, por lo tanto, el término – G (A/G, i %, n) o – G

(P/G, i %, n) debe utilizarse en los cálculos.

El valor presente del gradiente tendrá aún lugar dos años ante de que empiece el gradiente y el valor A empezará en el año 1 y continuará hasta el año n.

Ejemplo 4.11Encuentre (a) el valor presente y (b) la serie anual de las entradas que se muestran en la Fig. 4.18 para i = 7 % anual. $ 900 $ 800 $ 700 $ 600 $ 500 $ 400

0--------1----------2----------3---------4----------5----------6-

Fig. 4.18 Solucióna) El flujo de caja de la Fig. 4.18 puede separarse como en la Fig. 4.19. La línea a

trazos en la Fig. 4.19 a indica que el gradiente se sustrae de la entrada anual de $ 900. El valor presente se calcula así:Fig. 4.19

$ 900 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ $ 800 $ 700 $ 600 $ 500 $ 400

0--------1----------2----------3---------4----------5----------6-

Fig. 4.19 (a)

A = 900 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

= 0--------1----------2----------3---------4----------5----------6-

Fig. 4.19 (b)

G = $ 100

- 0--------1----------2----------3---------4----------5----------6-

PG = ? Fig. 4.19 ©

b) La serie anual tiene dos componentes: la cantidad base y la cantidad equivalente de gradiente uniforme. La serie de entrada anual (A1 = $ 900) es la cantidad base y la serie anual AG, que es equivalente al gradiente, debe sustraerse de A1. Así:

A = A1 – AG = 900 – 100 (A/G, 7 %, 6) A = 900 – 100 (2.303) A = $ 669.70 anual para los años 1 a 6

PERIODO DE RETORNO

El periodo de retorno es uno de los métodos más simples y aparentemente más frecuentemente usados para medir la atractividad de una inversión.

El periodo de retorno es más comúnmente definido como la longitud de tiempo requerido para recuperar una inversión a partir del flujo de fondos positivo, medido a partir del punto en tiempo cuando la inversión se ha completado, i. e. El comienzo de la producción.

Deberá anotarse que en la práctica hay otros métodos que son variaciones de la definición dada, las cuales son también referidos como periodos de retorno. Sin embargo, las debilidades y méritos de la mayoría de métodos de periodo de retorno como una base para comparación puede ser hecha clara examinando el periodo de retorno como se ha definido.

Si se espera que una inversión produzca una corriente de flujos de fondos positivo que es constante de año a año, luego el periodo de retorno puede ser determinado dividiendo la inversión entre el flujo de fondos positivo anual esperado. De esta manera, si una inversión de 3’000,000 de unidades de dinero se espera que genere flujos efectivos de 1’000,000 de unidades de dinero al año por cinco años, el periodo de retorno será de tres años. Si los flujos de fondos positivos no son constantes de año a año entonces el periodo de retorno se determina sumando los flujos de fondos positivos esperados en años sucesivos hasta que el total sea igual a la inversión original.

Ordinariamente se establece un criterio de máximo periodo de retorno. Todas las propuestas de inversión para los cuales el periodo de retorno es más grande que el máximo son rechazados. Periodos máximos de retorno de dos, tres o cuatro años son frecuentemente usados en la práctica.

La Tabla de abajo presenta los flujos de efectivos para cuatro alternativas de inversión, para cada una de los cuales el periodo de retorno es de tres años.

Flujo de Efectivo (miles de unidades de dinero) Año Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D

0 - 1,000 - 1,000 - 1,000 - 1,000 1 200 200 500 5002 300 300 300 3003 500 500 200 200

4 0 200 200 5005 0 200 200 5006 0 200 200 500

Total 0 600 600 1,500

Una mirada a estas alternativas revela la debilidad del periodo de retorno como una medida de la atractividad de una inversión. Las cuatro alternativas no tienen igual valor económico aunque ellas tienen iguales periodos de retorno. Obviamente, la alternativa D es superior a C, la alternativa C es superior a B, y la alternativa B es superior a A.

En general, el criterio de periodo de retorno tiene cuatro serias debilidades:a) Falla en dar algunas consideraciones a los flujos de fondos más allá o después del

periodo de retorno. b) Niega el valor del tiempo del dinero.c) Falla en tomar en cuenta diferencias en el control de tiempo de los flujos de fondos

dentro del periodo de retorno.d) El criterio del periodo de retorno generalmente usado (i. e. 2 – 4 años) puede

resultar en el rechazo de oportunidades, las cuales ofrecen un retorno en exceso del costo de capital y de esta manera, lleva a baja inversión (under - invesment).

Estas debilidades descalifican al periodo de retorno como un método general de escoger entre alternativas de inversión.

El periodo de retorno mide el retorno de la inversión mientras que otros métodos miden el retorno sobre la inversión. Como tal, el periodo de retorno no proporciona una medida de riesgo en un proyecto, si el riesgo de pérdida de inversión es una función del tiempo. Esto es importante donde hay un alto grado de incertidumbre concerniente con el futuro. Para este propósito, el periodo de pago se usa frecuentemente para completar métodos de comparación de flujos de fondos descontados.

VALOR DEL TIEMPO (TIME VALUE)La distribución de tiempo anticipado de flujos de fondos es el punto de comienzo para la evaluación de una alternativa de inversión minera. Sin embargo, la estimación de los flujos no considera un importante elemento de costo, el costo de capital.

¿Qué costo está asociado con el abastecimiento de fondos para una alternativa de inversión minera?. La mayoría estaría de acuerdo que el costo de capital básicamente consiste de dos componentes; compensación por la precedente inversión en otra oportunidad, y un factor de “riesgo” el cual subjetivamente refleja el grado de riesgo asociado con el tipo de alternativa de inversión que está siendo considerada.

¿Cuál es la justificación económica para pedir fondos para invertir en una alternativa minera?. Claramente, el retorno sobre la inversión anticipado como se refleja por la distribución de tiempo de los flujos debe exceder o sobrepasa el costo de capital estimado.

El valor del tiempo se usa para expresarse y comparar el costo de capital y el retorno sobre la inversión. Desde el punto de vista del abastecimiento de fondos, el costo de

capital es una función de la cantidad de dinero invertida y de la longitud de tiempo antes que reciba compensación. Por esta razón el costo de capital se expresa como una tasa de interés compuesto. Por consiguiente, parecería lógico que el valor del tiempo para la evaluación de alternativas de inversión minera deberá ser basada en la fórmula de interés compuesto.

La función esencial del valor del tiempo, como se expresa en una tasa de interés compuesta, es para proveer el eslabón entre un valor de flujo de fondos en cualquier punto en tiempo y su valor en otro punto en tiempo. Es por consiguiente el eslabón que conecta entre los estimados de flujos de fondos individuales en puntos diferentes en tiempo en la distribución de tiempo anticipada de los flujos de fondos. A fin de comparar estos valores de flujo de fondos, cada uno debe ser traído a un punto común en tiempo. La fórmula de interés compuesto se usa para este propósito.

CÁLCULO DE LA TASA DE REORNO PARA UN SOLO PROYECTO

CONCEPTOS GENERALES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE RETORNOCuando se pide prestado dinero, la tasa de interés se aplica al saldo insoluto de tal manera que el monto total del crédito y los intereses queden cancelados exactamente con el último pago. Si alguien presta dinero para un proyecto o invierte en él, existe un saldo no recuperado en cada periodo de tiempo. La tasa de interés es el retorno sobre este saldo no recuperado de tal manera que el crédito total y los intereses se recuperan exactamente con el último ingreso. La tasa de retorno define ambas situaciones.

Tasa de retorno es la tasa de interés pagada sobre saldos insolutos de dinero tomado en préstamo a la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión (préstamo), de tal manera que el pago o el ingreso final, lleva el saldo a cero, considerando el interés (ganado o adeudado).

La tasa de retorno se considera como un personaje – por ejemplo i = 10 %. La tasa es siempre positiva, i>0; es decir, no se considerará el hecho de que el interés pagado por un crédito es realmente una tasa de retorno negativa. Obsérvese que la definición anterior no determina que la tasa de retorno se establezca sobre el monto inicial de la inversión, más bien lo hace sobre el saldo no recuperado, el cual varía con el tiempo.

Ejemplo 7.1Se espera que una inversión de $ 1,000 produzca un flujo neto de caja de $ 315.47 durante 4 años. Esto representa una tasa de retorno del 10 % sobre el saldo no recuperado. Calcule el monto de la inversión no recuperada para los 4 años utilizando (a) la tasa de retorno del saldo no recuperado y (b) la tasa de retorno de la inversión inicial de $ 1,000 (c) explique por qué toda la inversión inicial se recupera en la parte (b)Solucióna) La Tabla 7.1 presenta las cifras de saldo no recuperado para cada año utilizando la

tasa de 10 % sobre saldo no recuperado al comienzo de cada año. Después de los 4

años, la inversión total de $ 1,000 se ha recuperado y el saldo en la columna 6 es cero.

Tabla 7.1 Saldos No Recuperados Utilizando Una Tasa de Retorno del 10 %(1)

Año(2)

Saldo no Recuperado al

comienzo $

(3)Intereses sobre

Saldo no Recuperado $

(4)Flujo de Caja $

(5) = (4) – (3)Remoción del

saldo no Recuperado $

(6) = (2) – (5)Saldo no

Recuperado al finalizar $

0 ----- ----- - 1,000 ----- - 1,000.001 - 1,000 100.00 + 315.47 215.47 - 784.532 - 784.53 78.45 + 315.47 237.02 - 547.513 - 547.51 54.75 + 315.47 260.72 - 286.794 - 286.79 28.68 + 315.47 286.79 0

261.88 1,000.00

b) La Tabla 7.2 presenta las cifras de saldo no recuperado si el 10 % de retorno se aplicará siempre sobre la inversión inicial de $ 1,000. La columna 6 en el año 4 muestra un monto remanente no recuperado de $ 138.12 ya que solamente se recuperaron $ 861.88 en los 4 años.

Tabla 7.2 Saldos No Recuperados Utilizando Una Tasa de Retorno del 10 % Sobre la Inversión Inicial

(1)Año

(2)Saldo no

Recuperado al comienzo $

(3) = 0.10($ 1,000)Intereses sobre

Saldo no Recuperado $

(4)Flujo de Caja $

(5) = (4) – (3)Remoción del

saldo no Recuperado $

(6) = (2) – (5)Saldo no

Recuperado al finalizar $

0 ----- ----- - 1,000 ----- - 1,000.001 - 1,000 100.00 + 315.47 215.47 - 784.532 - 784.53 100.00 + 315.47 215.47 - 569.063 - 569.06 100.00 + 315.47 215.47 - 353.254 - 253.25 100.00 + 315.47 215.47 - 138.12

400.00 861.88

c) Se ganaría un total de $ 400 en intereses si la tasa de retorno del 10 % se aplicara cada año sobre la inversión inicial. Sin embargo, sólo se ganarán $ 261.88 por intereses si se utiliza la tasa de retorno sobre el saldo no recuperado. Hay más flujo anual de caja disponible para reducir la inversión remanente, cuando la tasa se aplica al saldo no recuperado.

ComentarioComo se definió la tasa de retorno es la tasa de interés sobre el saldo no recuperado, por lo tanto los cálculos en la Tabla 7.1 para la parte (a) representan una interpretación correcta de una tasa de retorno del 10 %.

Para determinar el valor de la tasa de retorno i* de un proyecto, el valor presente de los desembolsos D, se iguala al valor presente de los ingresos R. Es decir:

PD = PR 0 = PR – PD 0 = - PD + PR………………………………………………(7.1)

En este análisis, inversiones son desembolsos y recibos de dinero son ingresos. El método del costo anual uniforme equivalente (CAUE) también puede utilizarse.

CAUED = CAUER

0 = CAUER – CAUED o 0 = - CAUED + CAUER …………………………. (7.2)

En cualquiera de los dos casos, el valor de i* que haga las anteriores relaciones correctas se conocerá con varios nombres: tasa de retorno, tasa interna de retorno, tasa de equilibrio, índice de beneficios o retorno sobre la inversión.

CÁLCULO DE LA TASA DE RETORNO POR EL MÉTODO DEL VALOR PRESENTE.Se demostrará el método del valor presente para calcular la tasa de retorno de una inversión cuando están presentes varios factores. Para entender los cálculos más claramente, recuérdese que la base de los cálculos de la ingeniería económica es equivalencia, o valor del dinero en el tiempo. Anteriormente se ha mostrado que una cantidad presente de dinero es equivalente a una suma mayor de dinero en una fecha futura cuando la tasa de interés es mayor que cero. En los cálculos de la tasa de retorno el objetivo es hallar la tasa de interés a la cual la suma presente y la suma futura son equivalentes; en otras palabras, los cálculos que haremos aquí son simplemente el inverso de los cálculos hechos en anteriores capítulos, en los cuales se conocía la tasa de interés.

La base fundamental de la tasa de retorno es una ecuación de la tasa de retorno, una expansión que simplemente iguala una suma presente de dinero con el valor presente de sumas futuras. Por ejemplo, si se invierten $ 1,000 hoy y se tienen prometidos ingresos de $ 500 dentro de 3 años y de $ 1,500 dentro de 5 años, la ec. De la tasa de retorno es:

1,000 = 500(P/F, i* %, 3) + 1,500(P/F, i* %, 5) ….. .................. (7.3)

Donde el valor de I* que haga correcta la igualdad debe calcularse (Ver Fig. 7.1). $ 1,500 i* % $ 500

0--------1------2--------3--------4------5-

$ 1,000

Fig. 7.1 Flujo de caja para el cual debe calcularse el valor de i*.

Si los 1,000 se mueven al lado derecho de la ec. (7.3), tenemos:

0 = - 1,000 + 500(P/F, i* %, 3) + 1,500(P/F, I* %, 5) ……. (7.4)

La ec. (7.4) está en la forma general de la ec. (7.1), 0 = - PD + PR, que se utilizará para hacer los cálculos por el método del valor presente. En la ecuación i* deberá despejarse por ensayo y error, para obtener i* = 16.95 %. Como hay siempre algunos ingresos y desembolsos presentes en todo proyecto será posible calcular algún valor de i*; sin embargo, la tasa de retorno será siempre mayor que cero a condición de que el monto total de ingresos sea mayor que el de desembolsos

Debe ser evidente que los cálculos de la tasa de retorno son sencillamente el inverso de los cálculos de valor presente. Es decir, si la tasa de interés del 16.95 % se hubiera dado y se deseara hallar el valor presente de $ 500 dentro de 3 años y $ 1,500 dentro de 5 años, la ecuación sería:

P = 500(P/F, 16.95 %, 3) + 1,500(P/F, 16.95 %, 5) = $ 1,000

Que puede reorganizarse fácilmente a la forma de la ec. (7.4). Esto ilustra que las ecuaciones de la tasa de retorno y del valor presente se establecen exactamente de la misma manera. La única diferencia es lo que se da y lo que se busca.

El procedimiento general utilizado para hacer un cálculo de la tasa interna de retorno por el método del valor presente, es el siguiente:1. Se dibuja un diagrama de flujo de caja.2. Se establece la ecuación de la tasa de retorno en la forma de la ec. (7.1). 3. Se seleccionan valores de i* por ensayo y error, hasta lograr el balance de la

ecuación. Probablemente sea necesario hallar i* utilizando interpolación lineal.

Ejemplo 7.2Si se invierten $ 5,000 hoy en un fondo del cual se espera que produzca $ 100 anuales durante 10 años y $ 7,000 al final de los 10 años. ¿Cuál es la tasa de retorno?.Solución1. Diagrama de flujo de caja $ 7,000

i* = ? $ 100 ----------------------------------------------------------------------------------------- $ 5,000

2. De ec. (7.1)

0 = - 5,000 + 100(P/A, i* %, 10) + 7,000(P/F, I* %, 10)

3. Se utiliza el procedimiento de estimación, para determinar la tasa de interés por ensayo y errorSi i* = 6 % - 355.2279 i* = 5 % 69.5663

Interpolando:

6 % ------------ - 355.2279 a c b X ------------- 0.0000 d

5 % ------------- 69.5663

a c c - 355.2279 – 0.0000 ----- = ----- a = ----- x b = ---------------------------- x (1) b d d - 355.2279 – 69.5663

- 355.2279 a = ---------------- x (1) = 0.8362

- 424.7942 a = 6 – X X = 6 – 0.8362 = 5.1638 a = 5.16 % Rspta.

CÁLCULO DE LA TASA DE RETORNO POR EL MÉTODO DEL CAUEAsí como i* puede hallarse por el método del valor presente, puede determinarse utilizando la relación CAUE de la ec. (7.2). El procedimiento es el siguiente:1. Se dibuja un diagrama de flujo de caja.2. Se organizan las relaciones para tener el CAUE de los desembolsos y el CAUE de

los ingresos. Esto es equivalente a determinar un valor A para los desembolsos y para los ingresos.

3. Se arregla la ecuación de la tasa de retorno en forma análoga a la ec. (7.2), es decir:

0 = - CAUED + CAUER

4. Se seleccionan valores de i* por ensayo y error hasta que la ecuación se satisfaga. Si es necesario se interpola para determinar i*.

Ejemplo 7.3Utilizando el método CAUE calcule la tasa de retorno de la situación de inversión del ejemplo 7.2Solución1. La figura del ejemplo 7.2 muestra el diagrama de flujo de caja.2. Las relaciones CAUE para desembolsos e ingresos son:

CAUED = -5,000(A/P, i %, 10) CAUER = 100 + 7,000(A/F, I %, 10)

3. La formulación CAUE utilizando la ec. (7.2) es: 0 = - 5,000(A/F, i* %, 10) + 100 + 7,000(A/F, i* %, 10)

Los resultados son i* = 5 % 0 $ + 9.02 i* = 6 % 0 $ - 48.26 La interpolación nos conduce a i* = 5.16 % como antes.

Así pues, para el cálculo de la tasa de retorno se puede escoger entre el método del valor presente o el método del costo anual uniforme equivalente.

VALORES MÚLTIPLES DE LA TASA DE RETORNOEn las dos secciones anteriores se calculó un valor único de i*, para un flujo de caja dado. Obsérvese que los signos del flujo de caja sólo cambian una vez, usualmente de “menos” en el año 0, a “más” el resto de la vida útil de la inversión. A esto lo llamamos un flujo de caja convencional. Si existe más de un cambio de signo la serie se llama no convencional. Como se indica en la Tabla 7.3 el número de cambios de signo puede ser uno o más.

Tabla 7.3Tipo Signo del Flujo de Caja Número de cambios de signos

0 1 2 3 4 5 6Convencional - + + + + + + 1Convencional - - - + + + + 1Convencional + + + + + - - 1No convencional - + + + - - - 2No convencional + + - - - + + 2No convencional - + - - + + + 3

Cuando hay más de un cambio de signo, es decir, cuando el flujo de caja es no convencional, es posible determinar múltiples valores de i* que permiten satisfacer la ecuación de la tasa de retorno ec. (7.1) o (7.2).

El número total de valores reales de i* es menor o igual al número de cambios de signo en el flujo de caja (Es posible determinar valores imaginarios o en infinito, que también satisfarían la ecuación, pero son de escasa importancia para el analista).

Ejemplo 7.4Un nuevo lubricante sintético ha sido lanzado al mercado durante tres años, con los siguientes resultados de flujo de caja netos en miles de dólares.

Año 0 1 2 3Flujo de caja ( $ 1,000) $ + 2,000 - 500 - 8,100 + 6,800

a) Represente gráficamente el valor presente contra la tasa de retorno para valores de i de 5, 10, 20, 30, 40 y 45 %

b) Determinar si la serie del flujo de caja es o no convencional y estime la tasa de retorno a partir de la gráfica de (a).

Solucióna) Los cálculos del valor presente se indican en la Tabla 7.4; para hallarlos se

utiliza el factor P/F para cada valor de i. La figura 7.3 muestra que la gráfica de valor presente tiene un aspecto parabólico y cruza el eje de las i dos veces debido a los dos cambios de signo en la secuencia del flujo de caja.

Tabla 7.4 Cálculo del Valor Presente para Varias Tasas de Retorno

Flujo de caja ( $ 1,000)

AÑO Valor presente para diferentes valores de i ( $ 1,000)

0 1 2 3$ + 2,000 $ - 500 $ - 8,100 $ + 6,800

5 % $ + 2,000 $ - 476.20 $ - 7,346.70 $ + 5,873.84 $ + 51.4410 % + 2,000 - 454.55 - 6,693.84 + 5,108.84 - 39.5520 % + 2,000 - 416.65 - 5,624.64 + 3,935.16 - 106.1330 % + 2,000 - 384.60 - 4,792.77 + 3,095.36 - 82.0140 % + 2,000 - 357.15 - 4,132.62 + 2,477.92 - 11.8545 % + 2,000 - 344.85 - 3,852.36 + 2,230.40 + 33.19

b) La serie de flujo de caja es no convencional y los dos valores de i* pueden determinarse gráficamente de la figura 7.3; sus valores aproximados son:

i1* = 8 % y i2* = 41 %

75 50 25

0 i* % 10 20 30 40 50 -25 - 50 - 75

- 100 - 125

Fig. 7.3 Valor Presente del Flujo de Caja a distintas tasas de interés

ComentarioSi los valores de i* se calcularan matemáticamente, se obtendría i1* = 7.47 % e i2* = 41.35 %. Si hubiera habido tres cambios de signo en la secuencia del flujo de caja, probablemente hubiera habido tres valores de i* y los valores i1* e i2* hubieran cambiado.

TASA INTERNA DE RETORNO INTERNA Y COMPUESTALos valores de la tasa de retorno que hemos calculado suponen que cualquier flujo de caja positivo (ingreso), es reinvertido inmediatamente a la tasa de retorno que satisface la ecuación de equilibrio. En consecuencia, si la tasa que equilibra la ecuación es, digamos, el 40 % cualquier ingreso posterior a la finalización del proyecto se supone que gana el 40 % en los años restantes. Por supuesto, esta suposición puede ser irrealista cuando la tasa de equilibrio es mucho mayor o mucho menor que la tasa mínima atractiva de retorno (TMAR). La tasa que se calcula con las ecs. (7.1) y (7.2) se llama tasa interna de retorno (TIR) debido a que no considera factores económicos externos al proyecto. Por definición:

La tasa interna de retorno i* es una tasa de interés de un proyecto, que supone que todos los flujos de caja positivos son reinvertidos a la tasa de retorno que satisface la ecuación de equilibrio.

Es precisamente la suposición de reinversión de la tasa interna de retorno, junto con los cambios de signo del flujo de caja, lo que origina la presencia de tasas de retorno múltiples en los flujos de caja no convencionales. Sin embargo, si se utiliza explícitamente una tasa de reinversión para calcular el valor futuro de todos los flujos de caja positivos que puedan invertirse externamente al proyecto, se regresa a un flujo de caja convencional y se elimina el problema de las tasas múltiples de retorno (La secuencia de flujo de caja acumulado, que se obtiene por adición sucesiva de los valores del flujo de caja, debe ser también convencional para asegurar una tasa de retorno única). La tasa de reinversión, representada por c, se toma a menudo igual a la TMAR. La tasa de interés calculada de este modo, para satisfacer la ecuación de la tasa de retorno, se llamará la tasa de retorno compuesta y se representará por i’. Por definición:

La tasa de retorno compuesta i’ es la tasa de interés de un proyecto que supone que los flujos de caja netos positivos, que representan fondos no necesarios inmediatamente en el proyecto, se reinvierten a la tasa c, que se establece explícitamente y que se ha determinado considerando factores externos al flujo de caja del proyecto.

El término compuesto se utiliza para i’ debido a que su determinación está condicionada a la tasa de reinversión c (si c resulta igual a uno de los valores de i* entonces i’ será igual a ese valor de i*).

La forma como la tasa de reinversión se aplica a flujos de caja netos positivos debe hacerse correctamente a fin de obtener el valor correcto de i’ del proyecto. Si se considera que los flujos de caja netos sobrepasan las inversiones del proyecto (los flujos de caja negativos) y el valor de i’ debe causar la inversión total neta del proyecto para que este sea exactamente cero al fin del mismo, la técnica de la inversión neta del proyecto puede utilizarse. Para cada año calcule el valor futuro F de la inversión neta en el proyecto, un año en el futuro; es decir, Ft+1, utilizando Ft y el flujo de caja en el año t, Ct. La tasa de interés que deberá utilizarse en el factor F/P es c si la inversión neta Ft es positiva, o i’ si Ft es negativa. Matemáticamente, para cada año establezca la relación:

F0 = C0 Ft+1 = Ft(F/P, i %, 1) + Ct+1 = Ft(1+i) + Ct+1 ........................... (7.5) t = 1, 2, ….., n-1

En donde n = número total de años del proyecto.

c si Ft > 0 (inversión neta positiva)i =

i’ si Ft < 0 (inversión negativa)

Establezca la relación Fn = 0 y utilice ensayo y error para hallar un valor único de i’. La tasa c se utiliza en la ec. (7.5) cuando la inversión del proyecto se haya recobrado, y un flujo de caja en exceso retorna la tasa de reinversión; mientras que i’ (que debe determinarse) es el retorno del proyecto, que debe lograrse para el flujo de caja.

El desarrollo de F0 hasta F3 para el flujo de caja dado que se da enseguida (Fig. 4.a) utilizando una tasa de reinversión del 15 % es el siguiente:

A Ñ O0 1 2 3

Flujo de Caja $ 50 - 200 50 100Flujo de Caja Acumulado $ 50 - 150 - 100 0

100 100 100

50 50 50 50

0 ----1-----2-----3- 0 --1-----2-----3- 0 ----1 ---2-----3—

142.50 142.50

200

(a) (b) (c)

Fig. 7.4 Secuencia del flujo de caja en (a) su forma original, (b) forma equivalente en el año 1,

(c) forma equivalente en el año 2, utilizada para calcular la tasa de retorno compuesta i’.

La inversión neta para el año t = 0 es F0 = C0 = 50. Por la ec. (7.5) en el año t = 1, los $ 50 retornan c = 15 %, puesto que F0 > 0 y para t = 1 (Fig. 7.4 b)

F1 = 50 (1 + 0.15) – 200 = - $ 142.50

Como el valor del proyecto es negativo en t = 1, el valor F1 gana la tasa i’ para el siguiente año.

F2 = - 142.50 (1 + i’) + 50

Como este resultado debe ser negativo para todo i’ > 0, utilizamos i’ para hallar F3 (Fig. 7.4 c):

F3 = F2 (1 + i’) + C3 = (- 142.50 (1 + I’) + 50)(1 + I’) + 100 ....... (7.6)

Haciendo la ecuación (7.6) igual a cero y despejando i’, obtenemos una tasa única de retorno compuesto para el flujo de caja del proyecto. Si hubiera más valores de F t, i’ debería utilizarse en todas las ecuaciones subsecuentes.

El procedimiento de inversión neta del proyecto para hallar i’ puede resumirse como sigue:1. Se dibuja un diagrama de flujo de caja para la secuencia del flujo de caja original.

2. Se desarrolla la serie de inversiones netas del proyecto, utilizando la ec. (7.5) y el valor establecido de c. El resultado es la expresión de Fn en función de i’.

3. Se iguala la expresión Fn a cero y se calcula el valor de i’ que resuelve la ecuación. Si es necesario, se interpola para calcular i’.

Vale la pena hacer algunos comentarios antes del próximo ejemplo. Si la tasa de reinversión c es igual a i’, el valor de i’ será el mismo de i*, la tasa interna de retorno, debido a que i* supone la reinversión a la tasa interna (vea la definición de TIR). Cuanto más cerca esté el valor de c del de i’, menor será la diferencia entre i’ e i*; pero como i’ es desconocido mientras que c se determina antes de la solución de i’, puede ser difícil minimizar el impacto sobre i’. Es común utilizar para c = TMAR, aceptando que todos los ingresos pueden ser, realísticamente, reinvertidos a la tasa mínima aceptable de retorno.

Ejemplo 7.5Calcule la tasa de retorno compuesto para la inversión de lubricantes sintéticos del ejemplo 7.4, si la tasa de reinversión es (a) 7.47 % y (b) 20 %.Solución(b) Utilizamos el procedimiento anterior para calcular i’ con c = 7.47 %.

1. La Fig. 7.5 muestra el flujo de caja original.

$ 6,800 $ 2,000

0 ------1----------2----------3- años $ 500 $ 8,100

Fig. 7.5 Flujo de Caja original ( $ 1,000)

2. La primera expresión de inversión neta del proyecto es F0 = $ 2,000. Como F0 > 0, utilizamos c = 7.47 % para hallar F1 mediante la ec. (7.5)

F1 = 2,000(1.0747) – 500 = $ 1,649.40 Nuevamente F1 > 0, así para c = 7.47 %

F2 = 1,649.40(1.0747) – 8,100 = - $ 6,327.39

La Fig. 7.6 muestra el flujo de caja equivalente en ese tiempo. Como F2 < 0 utilizamos i’ para expresar F3.

F3 = - 6,327.29(1+i’) + 6,800

3. Hacemos F3 = 0 y despejamos i’

- 6,327.39(1+i’) + 6,800 = 0

6,800 (1+i’) = ------------- = 1.0747 6,327.39

i’ = 0.0747 i’ = 7.47 %

La tasa de retorno compuesta es de 7.47 %, que es el mismo valor de c, la tasa de reinversión, y el valor i* analizado en el ejemplo 7.4. Obsérvese que i = 41.35 %, el otro valor de i* ya no equilibra la ecuación.

$ 6,800

0-------1------2--------3------- años $ 6,327.39

Fig. 7.6 Flujo de Caja Equivalente (÷ $ 1,000) de la Fig. 7.5 a una tasa de reinversión del 7.4 %

El valor futuro equivalente que resulta para i’ = 41.35 y el flujo de caja de la Fig. 7.6 es:

6,327.39(F/P, 41.35 %, 1) = 8,943.77 6,800

Lo cual indica que el retorno es mucho menor que 41.35 %.

(c) En síntesis, para c = 20 % la serie de inversión neta es:

F0 = 2,000 (F0 > 0, use c) F1 = 2,000(1.20) – 500 = $ 1,900 (F1 > 0, use c) F2 = 1,900(1.20) – 8,100 = - $ 5,820 (F2 < 0, use i’) F3 = - 5,820(1+i’) + 6,800

Haciendo F3 = 0 y despejando i’ directamente: 6,800 (1+i’) = ------------ = 1.1684

5,820

i’ = 0.1684 (16.84 %)

La tasa de retorno compuesta es i’ = 16.84 % a una tasa de reinversión de c = 20 %, lo cual es un aumento marcado con relación a i’ = 7.47 % a c = 7.47 %.

ComentarioSi hubiéramos utilizado c = 41.35 %, la ecuación se hubiera equilibrado con i’ = i2* = 41.35 %; donde i2* es la segunda tasa interna de retorno del ejemplo 7.4. Esto sucede debido a la suposición de que los ingresos se reinvierten con uno de los valores de i*, que allí era precisamente 41.35 %.

Es posible resumir las relaciones entre c, i’ e i* como sigue:

Relación entre la tasa de reinversión c y la TIR i* Relación entre i’ y la TIR i*c = i* i’ = i* c < i* i’ < i* c> i* i’ > i*

Puede verificarse la validez de estas relaciones en el ejemplo 7.5

EVALUACIÓN DE LA TASA DE RETORNO PARA ALTERNATIVAS MÚLTIPLES

TABULACIÓN DEL FLUJO DE CAJA NETOLa preparación de un tabulado del flujo de caja se analizó brevemente en el capítulo anterior en relación al flujo de caja neto de una alternativa única. En este capítulo será necesario preparar un tabulado del flujo de caja para cada una de las dos alternativas, así como el flujo de caja neto que resulta cuando se comparan los flujos de caja anuales de las dos alternativas. Los encabezamientos de columna, para un tabulado de flujo de caja que comprenda dos alternativas, se muestran en la Tabla 8.1. Si las alternativas tienen vidas útiles iguales, la columna años irá de 0 a n, la vida de las alternativas. Si las alternativas tienen vidas útiles distintas, la columna años irá de 0 al mínimo común múltiplo de las dos vidas. El uso de la regla del mínimo común múltiplo de las dos vidas. El uso de la regla del mínimo común múltiplo es necesario debido a que el análisis de la tasa de retorno sobre los valores del flujo de caja neto, debe hacerse siempre sobre el mismo número de años para cada alternativa (como era el caso con las comparaciones por valor presente). Si se tabula el mínimo común múltiplo de las vidas útiles, se mostrará la reinversión para cada alternativa en los tiempos apropiados (tal como se hizo en el capítulo para el análisis por valor presente de los flujos de caja).

El lector verá en este capítulo que la tabulación del flujo de caja es una parte integral del procedimiento para seleccionar una de las dos alternativas sobre la base de la tasa incremental de retorno. En consecuencia un formato normalizado para dicha tabulación simplificará la interpretación de los resultados finales. En este capítulo, la alternativa con la mayor inversión inicial se considerará siempre como alternativa B. Es decir:

Flujo de caja neto = flujo de cajaB – flujo de caja A Formato para la Tabulación del Flujo de Caja

(1) (2) (3) = (2) – (1) Flujo de Caja Flujo de

Caja netoAño Alternativa A Alternativa B012

---------

Ejemplo 8.1Una compañía de herramientas y troqueles está analizando la compra de una fresadora adicional. La compañía tiene la oportunidad de comprar una máquina ligeramente usada por $ 15,000 o comprar una nueva por $ 21,000. Como la máquina nueva es un modelo más sofisticado con algunos avances automatizados, se espera que su costo operativo anual sea de $ 7,000, mientras que los mismos costos para la máquina usada se estiman en $ 8,200 anuales. Se espera que ambas máquinas tengan una vida útil de 25 años y un valor de salvamento del 5 %. Tabule el flujo neto de caja de las alternativas.Solución

Tabulado del Flujo de CajaFlujo de Caja Flujo de Caja Neto

Año Fresadora Vieja Fresadora Nueva (Nueva – Vieja)0 $ - 15,000 $ - 21,000 $ - 6,000

1 – 25 - 8,200 - 7,000 + 1,20025 + 750 + 1,050 + 300

Total $ - 219,250 $ - 194,950 $ + 24,300

Los valores de salvamento en el año 25 se han separado del flujo de caja ordinario para mayor claridad. Obsérvese la inclusión de un signo para indicar un desembolso (menos) o un ingreso (más).

ComentarioObsérvese que cuando las columnas del flujo de caja se restan, la diferencia entre los totales de las dos alternativas se hace igual al total de la columna de flujo de caja neto. Esto proporciona una verificación de las sumas y las restas al preparar el tabulado.

Cuando los desembolsos son los mismos durante un número consecutivo de años, listan flujos de caja únicos, ahorra tiempo, como se hizo en los años 1 a 25 en el ejemplo. Sin embargo, recuérdese que se mezclaron varios años cuando se sumó para obtener los totales de las columnas.

Ejemplo 8.2Una compañía empacadora de tomates está considerando dos tipos diferentes de bandas transportadoras. El tipo A tiene un costo inicial de $ 7,000 y una vida útil de 8 años. El costo inicial del tipo B es $ 9,500 y su vida útil se estima en 12 años. Los costos de operación anuales se estiman en $ 900 para el tipo A, y $ 700 para el tipo B. Si los valores de salvamento son de $ 500 para el tipo A y $ 1,000 para el B, (a) tabule los flujos de caja de cada alternativa, y (b) tabule el flujo de caja neto utilizando el mínimo común de las vidas útiles para análisis por valor presente.Solución(a) La tabulación de cada activo muestra los flujos de caja de A y vida útil 8 años y B

de 12

Flujo de Caja Para la Vida Útil Respectiva de Cada ActivoFlujo de Caja

Año Tipo A Tipo B0 $ - 7,000 $ - 9,500

1 – 7 - 900 - 7008 - 900 + 500 - 700

9 – 11 ----- - 70012 ----- - 700 + 1,000

(b) El mínimo común múltiplo de años entre 12 y 8 es 24. La tabulación del flujo de caja neto para los 24 años se da en la Tabla 8.4. Obsérvese que los valores de salvamento y de reinversión se muestran en los años 8 y 16 para el tipo A, y en el año 12 para el tipo B.

Tabla 8.4 Flujo de Caja Durante 24 Años, Para Activos de Vidas Útiles DiferentesFlujo de Caja Flujo de Caja Neto

(B – A)Años Tipo A Tipo B0 $ - 7,000 $ - 9,500 $ - 2,500

1 – 7 - 900 - 700 + 200 - 7,000

8 - 900 - 700 + 6,700 + 500

9 – 11 - 900 - 700 + 200 - 9,500

12 - 900 - 700 - 8,300 + 1,000

13 – 15 - 900 - 700 + 200 - 7,000

16 - 900 - 700 + 6,700 + 500

17 – 23 - 900 - 700 + 200 - 900 - 700

24 + 500 + 1,000 + 700$ - 41,100 $ - 33,800 $ + 7,300

INTERPRETACIÓN DE LA TASA DE RETORNO SOBRE LA INVERSIÓN ADICIONALEl primer paso en el cálculo de la tasa de retorno sobre la inversión adicional entre dos alternativas, es la preparación de un tabulado de flujo de caja semejante al de las tablas anteriores. Cuando la evaluación se lleva a cabo por el método del valor presente, se debe utilizar el mínimo común múltiplo de las vidas útiles para el periodo de estudio. La columna “flujo de caja neto” refleja entonces la inversión adicional que se requeriría si se seleccionara la alternativa con el mayor costo inicial. Así en el ejemplo 8.1 la máquina fresadora nueva requeriría una inversión adicional de $ 6,000, como se muestra en la última columna de la tabla del ejemplo 8.1. Adicionalmente si se comprara la máquina nueva habría “ahorros” de $ 1,200 anuales durante 15 años, más $ 300 en el año 25 como resultado de la diferencia en los valores de salvamento. La decisión de comprar la fresadora vieja o la nueva puede tomarse sobre la base del beneficio de invertir los $ 6,000 adicionales en la máquina nueva. Si el valor presente de los ahorros es mayor que el valor presente de la inversión adicional utilizando la tasa de retorno

mínima atractiva para la compañía (TMAR), debe hacerse la inversión adicional, (es decir, debe aceptarse la alternativa de costo inicial meyor). De otra parte, si el valor presente de los ahorros es menor que el valor presente de la inversión adicional, entonces debe aceptarse la alternativa de menor costo inicial.

Obsérvese que si selecciona la fresadora nueva, habría ahorros netos de $ 24,300 de acuerdo con la tabla del ejemplo 8.1. Téngase presente que en esta cifra no se ha considerado el valor del dinero en el tiempo, ya que esta cifra se obtuvo sumando los valores de varios años sin utilizar factores de interés y no puede, por consiguiente, utilizarse como base para una decisión. Los totales al final de la tabla sirven solamente como una verificación de las sumas y restas de los años individuales. En efecto, los $ 24,300 serían el valor presente del flujo neto de caja con i = 0 %.

El razonamiento para tomar la decisión es el mismo que si sólo se estuviera considerando una alternativa, en este caso representada por la diferencia (flujo de caja neto) en la tabulación del flujo de caja. Cuando se le considera de esta manera, es obvio que, a menos que esta inversión conduzca a una tasa de retorno mayor que la TMAR, la inversión no debería hacerse (lo que quiere decir que la alternativa de menor precio debería seleccionarse para evitar esta inversión adicional). Sin embargo, si la tasa de retorno de la diferencia de inversión es mayor que la TMAR, la inversión debería hacerse (lo que quiere decir que debería seleccionarse la alternativa de precio más elevado).

EVALUACIÓN DE LA TASA DE RETORNO INCREMENTAL UTILIZANDO EL MÉTODO VP.El procedimiento básico que se da aquí supone que todos los flujos de caja son negativos (excepto el valor de salvamento), y que una de las dos alternativas deberá seleccionarse. Por consiguiente, sólo se analiza la inversión adicional. El método que comprende alternativas con flujos de caja positivos, se detallará posteriormente.

El procedimiento es el siguiente:1. Ordene las alternativas y seleccione la que tenga la menor inversión inicial,

alternativa A.2. Prepare la tabulación del flujo de caja y del flujo de caja neto utilizando el mínimo

común múltiplo de años.3. Dibuje el diagrama de flujo de caja neto4. Calcule la tasa incremental de retorno i*B-A utilizando el método del valor presente

ec. (7.1) (Tenga en cuenta los cambios de signo en la secuencia del flujo de caja neto, que puede indicar la presencia de tasas de retorno múltiples).

5. Si i*B-A < TMAR, seleccionar la alternativa A. Si i*B-A TMAR, seleccione la alternativa B.

Este método puede ser más rápido si el valor i*B-A se estima manualmente en lugar de calcularlo exactamente mediante interpolación lineal si el valor exacto de la tasa de retorno no se requiera. Por ejemplo, si la TMAR es 15 % y se ha establecido que i*B-A

está en el intervalo del 15 al 20 %, no sería necesario un valor exacto para aceptar B, ya que i*B-A TMAR.

Ejemplo 8.3Un fabricante de pantalones para niños está analizando la conveniencia de comprar una nueva cosedora, la cual puede ser semiautomática o totalmente automática. Los estimativos de cada una de ellas son los siguientes:

Semiautomática AutomáticaCosto inicial $ 8,000 $ 13,000Desembolsos anuales 3,500 1,600Valor de salvamento 0 2,000Vida de años 10 5

Determine que máquina debería comprar si la TMAR es 15 %.SoluciónUtilizando el procedimiento anterior1. La alternativa A será la semiautomática (s) y la B, la automática (a).2. Los flujos de caja para 10 años se tabulan en la Tabla 8.5.

Tabla 8.5 Tabulación de Flujo de Caja(1) (2) (3) = (2) – (1)

Flujo de CajaAño Semiautomática Automática Diferencia

0 $ - 8,000 $ - 13,000 $ - 5,0001 – 5 - 3,500 - 1,600 + 1,900

+ 2,0005 ----- - 13,000 - 11,000

6 – 10 - 3,500 - 1,600 + 1,90010 ----- + 2,000 + 2,000

$ - 43,000 $ - 38,000 $ + 5,000

3. El diagrama de flujo de caja neto se da en la Fig. 8.1.

$ 2,000 i = 15 % $ 1,900

0 -------1-------2-------3--------4-------5--------6-------7--------8-------9-------10 $ 5,000 $ 11,000

4. La ecuación de la tasa de retorno incremental para el flujo de caja neto es:

0 = - 5,000 + 1,900 (P/A, i %, 10) – 11,000 (P/F, I %, 5) + 2,000 (P/F, I %,10)

La solución de la misma nos indica que i*a-s se encuentra entre 12 y 15 %Mediante interpolación i*a-s = 12.65 %

5. Puesto que la tasa de retorno de la inversión adicional es menor del 15 %, tasa mínima atractiva de retorno, deberá comprarse la máquina de menor costo, o sea la semiautomática. Si i*a-s 15 %, se hubiera seleccionado la automática.

ComentarioEn el paso 4, una revisión de la secuencia de signos del flujo de caja neto indica que podría haber valores múltiples de la tasa interna de retorno (hasta 3). El análisis anterior, de acuerdo con la discusión de las tasas de retorno interna y compuesta, supone que los flujos netos positivos de $ 1,900 de los años 1 a 5 se están reinvirtiendo a una tasa c = 12.65 %. Si esta no fuera una suposición razonable, deberá seguirse el procedimiento de las tasas de retorno interna y compuesta, utilizando la tasa de reinversión apropiada a fin de determinar un valor diferente de i*a-s que pueda compararse con la TMAR del 15 %.

La tasa de retorno incremental obtenida anteriormente puede interpretarse como un valor de equilibrio de i, es decir, la tasa de retorno a la cual pudiera seleccionarse cualquier alternativa. Si el valor de i* calculado mediante la ecuación de la tasa de retorno es mayor que la TMAR, se selecciona la alternativa que implica mayor inversión. Así en efecto, la tasa de equilibrio para la inversión incremental del ejemplo 8.3 es 12.65 %. La Figura 8.2 es un esquema de los valores presentes del flujo de caja neto para diferentes tasas de retorno. A valores de i < 12.65 %, el valor presente de la máquina automática es menor que el de la semiautomática. Para valores de i > 12.65 %, sucede lo contrario. Por lo tanto, si la TMAR = 10 %, se seleccionaría la máquina automática, mientras que si TMAR = 15 %, como en el ejemplo, se selecciona la semiautomática, ya que el valor de equilibrio es menor del 15 %.

V d a e Automática l o C r a j P a Semiautomática r e N s e e t n o t 0 10 12.65 15 e

Fig. 8.2 Diagrama de Equilibrio del Valor Presente del Flujo de Caja Neto contra la Tasa de Retorno, ejemplo 8.3

EVALUACIÓN DE LA TASA DE RETORNO INCREMENTAL UTILIZANDO EL MÉTODO DEL CAUEAunque se recomienda el uso del método del valor presente para calcular i* en la evaluación de alternativas, las conclusiones que se obtengan deben ser las mismas con ésta o con el método del CAUE. En algunos problemas sin embargo, puede encontrarse que los cálculos del CAUE son más sencillos. Recuérdese que en el método del valor

presente se debe utilizar el mínimo común múltiplo de años para el análisis. Para el CAUE esto no siempre es necesario, dependiendo de si las vidas útiles son iguales o diferentes. Solamente si las vidas si las vidas son iguales puede utilizar el CAUE del flujo de caja neto, caso en el cual el método del fondo de amortización de salvamento se aplicará para calcular i*B-A. La ecuación de la tasa de retorno toma la forma:

0 = P(A/P, i %, n) VS(A/F, i %, n) A ......................... (8.1)

En donde el símbolo (delta) identifica P, VS y A como las diferencias entre las distintas alternativas del valor presente, el valor de salvamento y los valores en la tabulación del flujo de caja neto. Para la determinación de i*B-A se utilizará interpolación manual en las tablas, o un programa de computador.

Si las vidas útiles son diferentes, el CAUE para un ciclo del flujo de caja de cada alternativa deberá determinarse y así i*B-A se calcula a partir de:

0 = CAUEB – CAUEA ...............................................................(8.2)

Obsérvese que el flujo de caja neto no se utiliza (y no es necesario determinarlo) en este análisis, pero la tasa de retorno se refiere al costo anual uniforme equivalente incremental entre las alternativas.

El procedimiento es el mismo que la tasa de retorno incremental utilizando el método del valor presente, excepto que en el paso 4, se utilizarán las ecs. (8.1) u (8.2) para el cálculo de la tasa de retorno.

Ejemplo 8.6Compare las máquinas cosedoras del ejemplo 8.3, utilizando el método del CAUE con una TMAR del 15 %.SoluciónEl análisis de valor presente del flujo de caja neto en el ejemplo 8.3, nos indicaba que debería comprarse la máquina semiautomática. Para el CAUE se utilizará el método del fondo de amortización de salvamento y la forma general del CAUE de la ec. (8.2), ya que las vidas útiles son diferentes. Para las vidas útiles respectivas de 5 años de la máquina (a) y de 10 años de la semiautomática (s):

CAUEa = - 13,000 (A/P, i %, 5) + 2,000 (A/F, I %, 5) – 1,600 CAUEs = - 8,000 (A/P, I %, 10) – 3,500

Utilizando la relación de la tasa de retorno 0 = CAUEa – CAUEs:

0 = - 13,000 (A/P, i %, 5) + 2,000 (A/F, i %, 5) + 8,000 (A/P, I %, 10) + 1,900

Con I = 12 %, 0 $ + 24.33; con I = 15 %, 0 $ - 87.52. La interpolación nos conduce a i*a-s = 12.65 %. (Como en el método del valor presente); y deberá comprarse la máquina semiautomática ya que 12.65 % es menor que la TMAR del 15 %.

ComentarioEs importante recordar que si el análisis de CAUE se lleva a cabo sobre el flujo de caja neto, la tabulación del flujo de caja debe extenderse al mínimo común múltiplo de vidas útiles (10 años en este ejemplo), como en el método del valor presente.

SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTE UTILIZANDO EL ANÁLISIS DE LA TASA DE RETORNO.

El análisis de esta sección, conocida como evaluación de alternativas múltiples, involucra más de dos alternativas. En los casos estudiados, una alternativa excluye la aceptación de las otras, por lo que las alternativas se denominan mutuamente excluyentes. Así, si hay que comparar una determinada pieza y hay cuatro vendedoras disponibles, sólo se puede seleccionar una vendedora que suministre la parte.

Como en cualquier problema de selección en ingeniería económica, existen varias soluciones técnicas correctas. Los métodos del valor presente y del CAUE constituyen las técnicas más sencillas y directas. Utilizando una tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) fija, se calcula el valor total presente o el CAUE de cada alternativa. Se selecciona la tenga el valor presente o CAUE más favorable. El método CAUE se ilustra en el ejemplo 8.9. Otro método frecuentemente utilizado es la tasa de retorno. Cuando se aplica este método, se requiere que la inversión total retorne al menos con la tasa mínima atractiva de retorno (TMAR). Cuando los retornos de varias alternativas igualan o sobrepasan la TMAR, al menos se justifica la alternativa que requiera la menor inversión. Sin embargo, como más capital puede invertirse en otras alternativas aceptables, la inversión incremental requerida debe justificarse también si el retorno de la inversión adicional supera la TMAR, la inversión total se hará buscando maximizar el retorno. Así, pues, para el análisis de la tasa de retorno, se utilizan los siguientes criterios para escoger un proyecto mutuamente excluyente: se selecciona la alternativa que (1) requiere la inversión mayor y (2) muestre que la inversión incremental sobre cualquier alternativa aceptable se justifica porque su retorno es al menos igual a la TMAR.

Por lo tanto, la regla más importante que debe recordarse cuando se evaluan alternativas por el método de la tasa de retorno incremental, es que una alternativa no puede compararse nunca con otra para la cual la inversión incremental no haya sido justificada. El procedimiento de análisis es:1. Ordenar las alternativas en función de la inversión inicial creciente.2. Considerando la alternativa de “no hacer nada” como un defensor, se calcula la

tasa de retorno total i* para la alternativa con la mínima inversión inicial.3.