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A continuación, resumimos en un cuadro lo estudiado sobre cónicas:

Ecuación canónica Gráfica Elementos principales

Circunferencia

Centro

Radio

Elipse con eje de simetría

vertical

Centro

Longitud de semiejes ( y )

Vértices principales

Vertices secundarios

Elipse de eje de simetría

horizontal

Hipérbola de eje principal

vertical y centro

Centro

Vértices

Longitudes semieje transversal y

variable auxiliar

( y )

Hipérbola de eje principal horizontal y centro

Parábola vertical

Vértice

Parámetro

Foco

Eje de simetría Parábola horizontal

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Relaciona cada ecuación con la gráfica que le corresponde y justifica tu elección.

a)

b)

c)

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Lo primero que podemos observar es que las tres ecuaciones están escritas en forma

canónica y que las tres cónicas están centradas en el y que tanto la ecuación a)

como la ecuación b) son elipses, ya que en la ecuación dada la variable está elevada al

cuadrado, y precedida por un signo positivo, al igual que la variable . Además las

constantes que acompañan a ambas variables son diferentes. En cambio en la ecuación

c) los términos con e tienen signos diferentes por lo que será una hipérbola.

En la ecuación a) tenemos que y se ubica debajo de la variable y y está

debajo de . Por lo tanto, es una elipse de eje principal horizontal y corresponde a la

figura 2.

En la ecuación b) podemos ver que nuevamente es 3, pero se encuentra debajo de la

variable , por lo que es una elipse de eje principal vertical. Tenemos además que .

Por lo tanto es la figura 3.

Por último, en la ecuación c) tenemos una hipérbola de eje principal horizontal ya que el

signo está delante de la , y por lo tanto y . Y la figura que corresponde es

la figura 1.

Forma general de las cónicas

La forma general de las cónicas estudiadas en esta materia es

,

para distintos números reales y . Esta forma se obtiene cuando desarrollamos las ecuaciones canónicas de las cónicas que estudiamos.

Existen algunos criterios que nos ayudarán a reconocer qué cónica está asociada a una ecuación dada en forma general. En el siguiente esquema mostramos un resumen de estos criterios:

199

Ecuación general de la cónica

o y

y tienen el mismo signo, pero y tiene signos distintos

Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola

Pasar a la forma canónica

El número que divide al

término con es más grande

que el que divide al

término con .

El número que divide al término con es más

grande que el que divide

al término con .

El signo que antecede al

término con es positivo y el que antecede

al término con es negativo.

El término que antecede al

término con es positivo y el que antecede al término con

es negativo.

Parábola horizontal

Parábola vertical

Elipse horizontal

Elipse vertical

Hipérbola horizontal

Hipérbola vertical

Identifica a qué cónicas se corresponden las siguientes ecuaciones y justifica tu elección:

a)

b)

a) Tenemos que y como no hay término con podemos deducir que , con

lo que la ecuación representa una parábola vertical.

b) Como y , y tienen diferentes signos, podemos deducir que la ecuación

representa una hipérbola. Para poder reconocer si la hipérbola es vertical u

horizontal, podemos llevar la ecuación a la forma canónica

Como el signo que antecede al coeficiente con es positivo, sabemos que la ecuación

corresponde a una hipérbola horizontal.

Si tenemos la ecuación , notemos que está dada en la forma general , con y . Como tenemos que y que y B tienen el mismo signo, sabemos que la ecuación corresponde a una elipse. Si llevamos a la forma canónica completando cuadrados obtenemos:

Es decir, una elipse horizontal, ya que el número que divide al término con es el 4, que es más grande que el número que divide al término con (en este caso, es un 1).

200

Actividades

62. A partir de las siguientes ecuaciones determina de qué tipo de cónica se trata, sus elementos principales y haz un gráfico aproximado señalando los elementos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

63. Relaciona cada ecuación con la gráfica que le corresponde. Justifica tu elección.

a) b) c)

64. Relaciona cada ecuación con la gráfica que le corresponde. Justifica tu elección.

a)

b)

c)

1 2 3