GEOMETRIA ANALITICA

TEMA: ELIPSE

INTEGRANTES

FATIMA LOURDES BOLAÑOS HERNANDEZ ANDREA CARRILLO CASILLAS RAQUEL FLORES LIRA ROSARIO MARLETH SANCHEZ TINAJERO 3°G

¿Qué es un elipse?

LA ELIPSE ES EL LUGAR GEOMETRICO DE UN PUNTO QUE SE MUEVE EN UN PLANO,DE TAL FORMA QUE LA SUMA DE SUS DISTANCIAS A DOS PUNTOS FIJOS DE DICHO PLANO ES SIEMPRE IGUAL A UNA CONSTANTE,MAYOR QUE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS FIJOS.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de una elipse La elipse es una

curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre si;

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

El semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Elementos de la elipse

Elementos de la elipse Focos Son los puntos fijos F y F'. Eje focal Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario Es la mediatriz del segmento FF'. Centro Es el punto de intersección de los ejes. Radios vectores Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a

los focos: PF y PF'. Distancia focal Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la

semidistancia focal.

A los puntos A y B se les conoce como focos, y normalmente se simbolizan con las letras F y F’.

Puntos C es el centro V y V’ son vértices B y B’ son covertices.

A representa la distancia del centro a cualquiera de los dos vértices.

B representa la distancia del centro a cualquiera de los dos covertices.

C representa la distancia del centro a cualquiera de los dos focos.

La relación que guardan los tres parámetros A B Y C es pitagórica.

Vértices Son los puntos de intersección de la elipse con

los ejes: A, A', B y B'. Eje mayor Es el segmento de longitud 2a, a es el valor

del semieje mayor. Eje menor Es el segmento de longitud 2b, b es el valor

del semieje menor. Ejes de simetría Son las rectas que contienen al eje mayor o al

eje menor. Centro de simetría Coincide con el centro de la elipse, que es el

punto de intersección de los ejes de simetría.

Forma cartesiana centrada en origen.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen es;

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h, k) la ecuación es;

La elipse como cónica

Surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada.

La elipse como hipotrocoide Es un casco particular de

hipotrocoide, donde R = 2r, Siendo R el radio de la circunferencia diretriz, y r el radio de la circunferencia generatriz.

En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.

PROPIEDADES

PROPIEDADESEcuación paramétrica: La elipse anterior tiene como ecuación paramétrica x = a·cos θ, y = b·sen θ, con θ describiendo el intervalo [0;2π). (NOTAR que θ no es el ángulo que forma OM con OM1) La tangente a la elipse en el punto M (xo, yo ) admite como ecuación: x·(x - xo)/a² + y·(y - yo)/b² = 0, que se escribe también: x-xo/a² + y-yo/b² = 1 (que se obtiene con el método de desdoblamiento de las variables). La excentricidad de la elipse es ε = c/a. El área interior a la elipse es π·a·b. La circunferencia es una elipse en la que a = b. En mecánica celeste, un cuerpo sometido a la atracción gravitatoria de otro y que gira a su alrededor, describe una órbita elíptica. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales

La elipse, como lugar geométrico, tiene una característica muy particular que la distingue de otras curvas cerradas: cualquier punto sobre la elipse cumplirá que la suma de las distancias de el a los puntos A y B deben mantenerse constantes.

por esta razón inicial, con la misma longitud del estambre fijando sus estremos en los puntos A y B se obtuvo una elipse.

De manera concreta una elipse es una curva cerrada formada por una infinidad de puntos del plano, para los cuales las sumas de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos se mantienen constantes.

Ejercicios

Encontremos la ecuación de la elipse que tiene los siguientes elementos C(0,0),V(5,0) Y LR=3.6

De los datos deducimos que a=5.Con el dato de LR despejamos de su definición

LR= 2b =3.6 5

B= (5)(3.6) = 9 2

Con los elementos planteados se sabe que una elipse horizontal con centro en el origen, por lo que su ecuación es

x2+y2=1 25 9 La ecuación general queda como sigue 9x2+25y2-225=0

Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).  Solución: 

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (fig. 6.5.8) se tiene que, y por tanto . 

   fig. 6.5.8. De esta forma, los vértices de la elipse son los

puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por : 

X2 +y2= 1 X2+Y2 = 1 5 2 42 25 16

FUENTES DE CONSULTA

LIBRO DE GEOMETRIA ANALITICA WWW,GOGLE.COM