2011

Christiam Huertas

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06/06/2011

Ecuaciones bicuadrada y fraccionaria

ECUACIONES BICUADRADA Y FRACCIONARIA Mathema

Prof.: Christiam Huertas 2

Ecuación bicuadrada

Es aquella ecuación de grado cuatro que presenta la forma general: �(�) = ��� + �� + � = 0; �� ≠ 0

donde ��, , �� ⊂ ℝ.

Veamos algunos métodos para resolverla.

1. Por factorización

Ejemplo Resuelva la ecuación �� − 29�� + 100 = 0.

Lo factorizamos por el método de aspa simple y obtenemos �� − 29�� + 100 = 0 �� −4 �� −25 → (�� − 4)(�� − 25) = 0

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→ (� + 2)(� − 2)(� + 5)(� − 5) = 0 Las soluciones son −2; 2;−5 y 5. ∴ CS = �−2; 2;−5; 5�

2. Por cambio de variable Dada la ecuación bicuadrada: ��� + �� + � = 0

Se resuelve transformándola en una ecuación de segundo grado haciendo el cambio �� = y obtenemos: � � + + � = 0

El resultado es una ecuación de segundo grado que podemos resolverla usando la fórmula general.

= − ± √� − 4��2� → �� = − ± √� − 4��2�

De esta última, se obtienen las cuatro raíces de la ecuación.

Por ejemplo, halle las raíces de la ecuación �� − 3�� + 1 = 0

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Hacemos el cambio �� = y obtenemos � − 3 + 1 = 0.

Aplicamos la fórmula general

= 3 ± √52 → $ = 3 − √52 ∧ � = 3 + √52

→ �� = 3 − √52 ∧ �� = 3 + √52

→ �$ = −&3 − √52 ∧ �' = −&3 + √52

�� = &3 − √52 �� = &3 + √52

∴ CS = (−&3 − √52 ;&3 − √52 ;−&3 + √52 ;&3 + √52 )

Vemos que las raíces son de la forma: −*, *, −+ y +.

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Teoremas Dada la ecuación bicuadrada ��� + �� + � = 0; entonces ,.CS = �*;−*; +;−+�

Aplicación Si �$, ��, �', �� son las raíces de la ecuación �� − �� + 2010 = 0 halle el valor de �$�.$$ + ���.$$ + �'�.$$ + ���.$$

Resolución

/.*� + +� = −�

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0.*� ⋅ +� = ��

2.Si ∆= � − 4��, entonces la ecuación bicuadrada tiene dos raíces dobles. Aplicación. 2.Reconstrucción de una ecuación bicuadrada.

Si * y + son las raíces de una ecuacion bicuadrada tal que * + + ≠ 0, entonces, la ecuación bicuadrada está dada por:

�� − (*� + +�)�� + *� ⋅ +� = 0 4.Si las raíces de una ecuación bicuadrada están en progresión aritmética,

Entonces son de la forma:

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�$ = −3*,�� = −*,�' = *,�� = 3*

Aplicación Si las raíces de la ecuación bicuadrada �� − 40�� + 5 = 0 estan en progresión aritmética, halle el valor de 5.

Resolución Como es una ecuación bicuadrada de raíces que están en progresión aritmética, entonces, sus raíces están en relación de 1 a 3; es decir, �$ = −3*,�� = −*,�' = *,�� = 3*

Además por propiedad se sabe que

�$� + ���6778779 = 40 ∧ �$� ⋅ ���67879 = 5 → 10*� = 40 ∧ 9*� = 5 →*� = 4 ∧ 9 ⋅ 16 = 5 ∴ 5 = 144

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Ecuaciones fraccionarias

Forma general �(�);(�) = 0;;(�) ≠ 0

donde �(�): es un polinomio no nulo. ;(�): es un polinomio no constante.

Para resolver la ecuación fraccionaria se procede de la siguiente manera: �(�);(�) = 0 ↔ �(�) = 0 ∧ ;(�) ≠ 0

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Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación fraccionaria. �' − 4��� + 2� = 0

Resolución �' − 4��� + 2� = 0 ↔ �' − 4� = 0 ∧ �� + 2� ≠ 0 ↔ �(� + 2)(� − 2) = 0 ∧ �(� + 2) ≠ 0 ↔ (� = 0 ∨ � = −2 ∨ � = 2) ∧ (� ≠ 0 ∧ � ≠ −2) ↔ � = 2 ∴ CS = �2�