Igualdades y ecuacionesLa balanza est en equilibrio.Una ecuacin es una igualdad en cuyos miembros hay letras y nmeros relacionados por operaciones aritmticas. 20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5Representa una igualdad numricaUna igualdad tiene dos miembros, el primero es la expresin que est a la izquierda del signo igual, y el segundo, el que est a la derecha.20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5La igualdad x + 20 = 10 + 20 es una ecuacin. La letra x se llama incgnita, porque su valor es desconocido.Una ecuacin tambin se llama igualdad algebraica.Una igualdad numrica se compone de dos expresiones numricas unidas por el signo igual, (=).

Clasificacin de las ecuacionesLas ecuaciones se clasifican atendiendo al nmero de letras o incgnitas y al trmino de mayor grado. Ejemplos:x + 10 = 20 12 es una ecuacin de primer grado con una incgnita.2x + 2y = 100 es una ecuacin de primer grado con dos incgnitas.x2 = 16 es una ecuacin de segundo grado con una incgnita.xy = 12 es una ecuacin de segundo grado con dos incgnitas.x3 x2 + 5x = 10 es una ecuacin de tercer grado con una incgnita.EJERCICIO PROPUESTOSustituye en cada caso, la letra o letras por nmeros para que se verifique la igualdad.a) a 3 = 10b) 5x = 100c) x + y = 8d) 5 + 2x = 15e) x2 = 16a = 13x = 20x = 1, y = 7x = 5x = 4 x = 5, y = 3x = 4

Soluciones de una ecuacinLas soluciones de una ecuacin son los valores de las incgnitas que al sustituirlos en la ecuacin hacen que se verifique la igualdad. Ejemplo 1:Cules son los valores de x que al reemplazarlos en la ecuacin 5 + x = 8 hacen que se cumpla la igualdad? Existe un solo valor: es x = 3, porque 5 + 3 = 8. La ecuacin anterior, 2x + 2y = 100, tiene infinitas soluciones. Ejemplo 2:Con una cuerda de 100 cm podemos formar muchos rectngulos. La condicin que deben cumplir sus lados viene expresada por la ecuacin 2x + 2y = 100. Algunos pares de valores son: x = 30, y = 20; x = 40, y = 10; x = 25, y = 25.Comprobamos la primera pareja: 2 30 + 2 20 = 60 + 40 = 100.Ejemplo 3:Cules son los valores de x que al reemplazar en la ecuacin x2 = 36 hacen que la igualdad se verifique? Hay dos valores: x = 6 y x = 6, pues: 62 = 36 y (6)2 = 36.Resolver una ecuacin es encontrar sus soluciones.

Ecuaciones equivalentesLa solucin de las siguientes ecuaciones es x = 6:Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.Observa cmo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:a) 4x 12 = x + 6Sustituyendo:b) 3x = 18 4 6 12 = 6 + 6 = 123 6 = 18Ecuacin dada:3x + 4 x = 7 + x3x + 4 x 4 = 7 + x 42x = 3 + xRestamos 4 a cada miembro. 2x x = 3 + x x x = 3Restamos x a cada miembroComprueba que x = 3 es la solucin de las tres ecuaciones.c) x = 6 Es evidente. Las tres ecuaciones son equivalentes.

Regla de la sumaSi a los dos miembros de una ecuacin se les suma o se les resta el mismo nmero o la misma expresin algebraica, se obtiene otra ecuacin equivalente a la dada. Ejemplo:Para resolver la ecuacin 5x 7 = 28 + 4xRegla de la suma y transposicin de trminosRestamos 4x:5x 7 4x = 28 + 4x 4xSumamos 7:5x 7 4x + 7 = 28 + 4x 4x + 7x = 35Operamos:Aplicar la regla equivale a transponer trminos, pasndolos de un miembro a otro cambindolos de signos.En la prctica5x 7 = 28 + 4xSe pasa 4x al primer miembro restando:5x 7 4x = 28Se pasa 7 al segundo miembro sumando:5x 4x = 28 + 7Se opera:x = 35

Regla del productoSi a los dos miembros de una ecuacin se los multiplica o divide por un mismo nmero, distinto de cero, se obtiene otra ecuacin equivalente a la dada. Ejemplo:Para resolver la ecuacinRegla del producto y simplificacin de trminosMultiplicamos por 2:Dividimos por 5:x = 108La regla del producto permite simplificar trminos. En la prctica5x = 5405x = 540x = 108

Resolucin de ecuaciones de primer grado1. Quitar parntesis.3. Suprimir de ambos miembros los trminos iguales.4. Pasar a un miembro los trminos que contenga la incgnita, y al otro miembro los nmeros5. Reducir trminos semejantes y operar.2. Quitar denominadores. Se puede hacer de dos maneras:6. Despejar la incgnita.En la resolucin de ecuaciones de primer grado con una incgnita conviene seguir un orden para evitar errores de clculo: multiplicando la ecuacin por el producto de los denominadores, o multiplicando la ecuacin por el m.c.m. de los denominadores.

Ejercicio resuelto 1Resolver la ecuacin:4(x 10) = 6(2 x) 5x Quitar parntesis: Pasar la incgnita al 1er miembro y los nmeros al 2: Reducir trminos semejantes:4x 40 = 12 + 6x 5x4x 6x + 5x = 12 + 403x = 28 Despejar la incgnita:x = 7

Ejercicio resuelto 2Resolver la ecuacin: Quitar denominadores: m.c.m.(4, 36, 9) = 36. Multiplicamos por 36 Operar: Transponer trminos:4x = 24 Despejar la incgnita:x = 6 9(x 1) (x 5) = 4(x + 5) Quitar parntesis:9x 9 x + 5 = 4x + 209x x 4x = 20 + 9 5 Reducir trminos semejantes:Colegio El Valle

Resolucin de problemas mediante ecuaciones de primer grado1.er paso: Expresar el enunciado en lenguaje algebraico. 3.er paso: Resolver la ecuacin.4. paso: Interpretar el resultado. 5. paso: Comprobar el resultado obtenido.2. paso: Escribir la ecuacin. Para resolver un problema mediante ecuaciones conviene seguir estos pasos:

Resolucin de problemas mediante ecuaciones de primer grado: problema resuelto1. Aos que tienen que transcurrir . x3. Resolvemos la ecuacin:4. Tienen que transcurrir 5 aos. 5. Comprobacin:2. Dentro de x aos se tiene que cumplir .. 3(11 + x ) = 43 + xMarta tiene 17 aos y su madre 43. Dentro de cuntos aos la edad de la madre ser el triple que la edad de su hija Marta. Edad de Marta dentro de x aos .... 11 + xEdad de la madre dentro de x aos 43 + x3(11 + x ) = 43 + x33 + 3x = 43 + x2x = 10x = 5Dentro de 5 aos, Marta tendr 16 aos, y su madre, 48 aos.3 (11 + 5) = 3 16 = 48 y 43 + 5 = 48

Ecuaciones de segundo grado. Tipo ax2 + c = 0Ejemplos:x2 16 = 03x2 = 243 tambin es del mismo tipo. 3x2 = 243 es equivalente a 3x2 243 = 0Por tanto es una ecuacin del tipo ax2 + c = 0, con a 0. x2 = 163x2 = 243x2 = 813x2 + (243) = 0El trmino ax2 se llama cuadrtico, y el c, trmino independiente.Las ecuaciones del tipo ax2 + c = 0 se resuelven despejandola incgnita, y si tienen solucin, esta constituida por dosnmeros opuestos.Si c = 0, la ecuacin es ax2 = 0, cuya nica solucin es x = 0.

Ecuaciones de segundo grado. Tipo ax2 + bx = 0Ejemplos:x2 4x = 0La ecuacin 7x2 42x = 0 tambin es del mismo tipo. Las ecuaciones anteriores son del tipo ax2 + bx = 0, con a 0. x(x 4) = 07x2 42x = 0x(7x 42) = 0El trmino bx se llama trmino lineal.Las ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0 tienen siempre dos soluciones,siendo una de ellas x = 0.Se resuelven sacando factor comn, e igualando a cero cada unode los dos factores.x = 0x = 4x = 0 y x = 4 son soluciones de x2 4x = 002 4 0 = 042 4 4 = 0x = 07x 42 = 07x 42 = 07x = 42x = 6x = 0 y x = 6 son soluciones de 7x2 42x = 0.Comprubalo.

Ecuacin de segundo grado completaLas soluciones de de esta ecuacin se obtienen aplicando las frmulas:Trmino cuadrticoTrmino linealTrmino independientePor ejemplo, las soluciones de la ecuacin 2x2 + 3x 35 = 0 son:Comprobacin: 2 3,52 + 3 3,5 35 = 24,5 + 10,5 35 = 02 (5)2 + 3 (5) 35 = 50 15 35 = 0Es del tipo ax2 + bx + c = 0

Ecuacin de segundo grado completa. EjercicioEJERCICIO RESUELTOResolver la ecuacin 4x2 37x + 9 = 0Identificamos los coeficientes: a = 4, b = 37, c = 9Aplicamos las frmulas:Comprobacin:Para x = 94 92 37 9 + 9 = 324 333 + 9 = 0

Resolucin de problemasPROBLEMAHacer un dibujoIndicamos con x el lado de la base.Se desea construir un depsito de agua de 90 m3 de capacidad, con forma de ortoedro de base cuadrada y de 2,5 m de altura. Cunto tiene que medir el lado de la base? Plantear la ecuacinEl volumen del ortoedro es largo por ancho por alto:V = x x 2,5 = 2,5 x2Como el volumen tiene que ser igual a 90 m3:Resolver la ecuacinx2,5x2,5x2 = 90Comprobacin2,5x2 = 90x2 = 36x = 6; x = 6Interpretar el resultadoLa solucin x = 6 no tiene sentido. 2,5x2 = 2,5 62 = 2,5 36 = 90El lado de la base del depsito tiene que medir 6 m.

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