UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA· SEDE MEDELLIN

FACULTAD DE MINAS POSGRADOEN ;\PROVECHAMIENTO DE RECURSOSHIDRAuLICOS

. MEDELLIN,1998

ECUACIONES DE NAVIER- STOKES Y UNA· SOLUCI6~ NUMERICAPARA FLUJOS A

. SUPERFICIE LIBRE

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18 \. Edici6n

·1.

Francisco Mauricio Toro· Botero Profesor Asociado

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DEPTO. DE BIBLIOTECA.~

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A Marcela y Maria Clara .

.... EI modelo se encuenlra enmarcado denlro de las ecuaciones de Navier - Slokes para dinamica de tluidos incomprensibles. Elias son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales las cuales, se piensa, describen el movimiento de tluidos para gases y Hquidos; para tlujos larninares y turbulenlos y cubren escalas inferiores a los milfmetros y hasta longitudes astron6micas ....

. ... El punto es que no se ha podido demostrar que las ecuaciones de Navier - Stokes, en las 3 dimensiones espaciales, poseen soluciones suaves a partir de condiciones iniciales arbitrarias, aun en condiciones bien suaves y ffsicarnente razonables ....

Traduccion dellibro "Applied Analysis of the Navier-Stokes Equations" de C.R. Doering" y J.D. Gibbon.

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TABLA DE CONTENIDO.

Pagina

Lista de Figuras VII

Lista de Sfmbolos Xl

Presentaci6n xvi

l. Ecuaciones de Navier-Stokes

1.1 Ley de Conservaci6n de Masa.

1.2 Esfuerzos en un Punto. 3

1.3 Ley de Conservaci6n del Momentum Lineal. 4

1.4 Tensor de Tasa de Deformaci6n. 7

1.5 Ley Generalizada de Stokes. 11

l.6 Ecuaciones de Navier-Stokes. 14

2. Introducci6n al Estudio de la Turbulencia. 17

2.1 Introducci6n. 17

2.2 Promedios Temporales y Promedios Ensamblados. 19

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P~gina

2.3 Descomposici6n de Reynolds y Proceso de Promediado de las Ecuaciones de Navier - Stokes. 21

2.3 .1 Ecuaci6n Promedio de Conservaci6n de Masa. 22

2.3 .2 Ecuaci6n Promedio de Conservaci6n del Momentum Lineal. 23

2.4 Tensor de Esfuerzos de Reynolds. 26

2.5 Los Esfuerzos de Reynolds y el Estiramiento de V6rtices. 29

2.6 EI Coeficiente de Torbellino. 31

2.7 Dos Modelos Simples para Estimar el Coeficiente de Torbellino. 34

2.7.1 Coeficiente de Torbellino Basado en la Turbulencia Generada por Fricci6n en el Fondo del Canal. 35

2.7.2 Coeficiente de Torbellino Basado en la Ecuaci6n de Energfa Cinetica de Turbulencia. 36

3. Modelo Hidrodinrunico Promediado a 10 Largo de la Profundidad. 38

3.1 Generalidades y Condiciones de Borde. 38

3.2 Integraci6n a 10 Largo de la Profundidad de la Ecuaci6n de Conservaci6n de Masa. 40

3.3 Integraci6n a 10 Largo de la Profundidad de las Ecuaciones de Momentum. 41

3.4 lntegraci6n a 10 Largo de la Profundidad de la Ecuaci6n de Conservaci6n de una Especie Qufmica. 48

Pagina

4. Modelo Hidrodinamico Tri - dimensional . 53

4.1 Ecuaciones de Momentum y de Conservaci6n de Masa para el Fluido. 53

4.2 Ecuaci6n de Convecci6n-Difusi6n para el Transporte de Especies Qufmicas. 60

5. So1uci6n Numerica de las Ecuaciones de Navier-Stokes para Flujos a Superficie Libre. 62

5.1 Condiciones de Borde para el Modelo Tri - dimensional 62

5.1.1 Fronteras de Entrada. 63

5.1.2 Fronteras de Salida. 65

5.1.3 Fronteras Cerradas. 65

5.1.4 Condiciones de Borde para el Modelo Bi - dimensional. 66

5.2 El Metodo del Elemento Eficiente. 67

5.2.1 Las Funciones de Interpolaci6n. 67

5.2.2 Esquema de Lax-Wendroff para la Integraci6n en el Tiempo. 73

5.2.3 Oscilaciones Numericas y su Control por Medio de un Filtro Matematico. 74

5.2.4 Algoritmo de Soluci6n de las Ecuaciones del Modelo Numerico 77

6. Ejemplos de Aplicaci6n de los Modelos Bi- y Tri-dimensional. 80

6.1 Aujo Alrededor de un Dique. 80

Pagina

6.1.1 Experimentos de Laboratorio. 81

6.1.2 Comparaci6n de los Resultados del Modelo con las Mediciones Experimentales. 82

6.2 Simulaci6n del Avance de una Cuila Salina en un Medio de Aguas Claras par Medio del Modelo Bi-dimensional. 95

6.2.1 Simulaci6n del A vance de una Curia Salina sin la Acci6n del Viento en la Superficie. 96

6.2.2 Simulaci6n del A vance de una Curia Salina con la Acci6n del Viento en la Superficie. 102

7. Referencias Bibliograficas. 107

7. 1 Referencias Citadas. 107

7.2 Otras Referencias Recomendadas. 110

LISTA DE FIGURAS.

Figura Pagina

l.l Volumen de Control para Evaluaci6n de la Ley de Conservaci6n de Masa. 2

1.2 Cubo Diferencial IIustrando los Esfuerzos en las Caras Directamente Visibles . 4

1.3 Cubo Diferencial Mostrando los Esfuerzos en Direcci6n x. 5

1.4 Deformaci6n de la Partfcula de Fluido en el plano x-z. 8

2.1 Movimiento de una Partfcula de Fluido en un flujo a Cortante Puro. 29

2.2 Flujo a Cortante Puro y Longitud de Mezclado. 31

3.1 Secci6n Transversal del Dominio de Integraci6n para el Modelo Promediado a 10 Largo de la Profundidad. 39

5.1 Funciones de Interpolaci6n Lagrangianas e Hfbridas y sus Primeras Derivadas para el Numero de Peclet igual a 1.5. 71

5.2 Funciones de Interpolaci6n Lagrangianas e Hfbridas y sus Primeras Derivadas para el Numero de Peclet igual a 5.0. n

vii

Figura Pagina

5.3 Esquemas de las Oscilaciones Tfpicas Nodo a Nodo. 75

6 .1 MalIa de Ca\culo con Puntos de Monitoreo. 83

6.2 Perfiles de la Componente u de la Velocidad para los Puntos de Monitoreo 1 a 3. 85

6 .3 Perfiles de la Componente u de la Velocidad para los Puntos de Monitoreo 4 a 7. 86

6.4 Perfiles de la Componente u de la Velocidad para los Puntos de Monitoreo 8 a 1 I . 87

6.5 Perfiles de la Componente lJ de ia Velocidad para los Puntos de Monitoreo I a 3. 88

6.6 Perfiles de la Componente lJ de la VeJocidad para los Puntos de Monitoreo 4 a 7 . 90

6.7 Perfiles de la Componente lJ de la VeJocidad para los Puntos de Monitoreo 8 a J I. 91

6.8 Perfiles Transversales de la Componente u de la Velocidad a 10 Largo de las Secciones A-A y 8-8 . 92

6.9 U neas de IguaJ Profundidad Obtenidas con el Modelo Numerico. 92

6.10 Detalle de la Zona de Recirculaci6n para los Niveles 2 y 6 con Z = 0.019 m y Z = 0.075 m, respectivamente. 93

VIII

PaginaFigura

Detalle de la Zona de Recirculaci6n para los Niveles 9 y 126.11 94con Z = 0 .132 m y Z = 0.203 m, respectivamente .

956.12 Malia de Calculo para la Cienaga Rectangular.

96Campo de Velocidades para el Estado Permanente. 6.13

97Isolfneas de Profundidad para el Estado Permanente. 6.14

Isolfneas de Concentraci6n Salina para un Tiempo de 20 horas . 6.15 98Caso sin Viento.

Isolfneas de Profundidad para un Tiempo de 20 horas. 6.16 98Caso sin Viento.

Isolfneas de Concentraci6n Salina para un Tiempo de 80 horas . 6.17 99Caso sin Viento.

6.18 Isolfneas de Profundidad para un Tiempo de 80 horas. 99Caso sin Viento.

6.19 Campo de Velocidades para un Tiempo de 192 horas. 100Caso sin Viento.

Isolineas de Concentraci6n Salina para un Tiempo de 192 horas . 6.20 101Caso sin Viento,

6.21 Isolfneas de Profundidad para un Tiempo de 192 horas. 101Caso sin Viento.

Isolfneas de Concentraci6n Salina para un tiempo de 40 horas . 6.22 103Caso con Viento.

Figura Pagina

6.23 Isolineas de Profundidad para un tiempo de 40 horas. Caso con Viento. 103

6.24 Isolfneas de Concentraci6n Salina para un Tiempo de 80 horas. Caso can V icnto. 104

6.25 Isolfneas de Profundidad para un Tiempo de 80 horau. Caso con Viento. 104

6.26 Campo de Velocidades para un Tiempo de 192 horas. Caso con Viento. 105

6.27 Isolfneas de Concentraci6n Salina para un Tiempo de 192 horas. Caso con Viento. 105

6.28 Isolfneas de Profundidad para un Tiempo de 192 horau. Caso con Vienlo. 106

x

V

p

':!L

u, v, w

x, y, z

Ix

g

LISTA DE SIMBOLOS.

Densidad.

Vector Velocidad.

Volumen de control.

Componentes Cartesianas de la Velocidad.

Coordenadas Espaciales.

Coordenada Temporal.

Tensor de Esfuerzos .

Componente, en Direcci6n x, de las fuerzas masicas.

Acelaraci6n de la Gravedad.

Vector de Estiramiento en las Direcciones x, y, y z.

Tensor Tasa de Deformaciones Unitarias .

Tensor de Rotaciones del Elemento de Fluido.

Componentes del Tensor Tasa de Defonnaciones Unitarias.

xi

Cij

fl

fl '

Ex, Ey, E,

p

\12

u

u',u' , w '

p '

o

~M

E,

K

u

1'0

h

A

Tensor de Constantes de Proporcionalidad entre el Tensor Esfuerzos y el Tensor Tasa de Deformaciones Unitarias .

Viscosidad Dimimica del Fluido.

Segundo Coeficiente de Viscosidad.

Coeficiente de Torbellino en Direcciones x, y y z.

Presion Termodinamica.

Operador Laplaciano.

Variable u Promediada en el Tiempo.

Fluctuaciones de la Componente de la Velocidad.

Fluctuaciones de la Presi6n.

Longitud de Mezclado.

Deficit de Momentum.

Coeficiente de Torbellino.

Constante de von Karman.

Velocidad de Cizalladura.

Esfuezo de Fricci6n en la Pared .

Profundidad del flujo . Posici6n del Fondo del Dominio.

Funci6n de Distribuci6n en la Direcci6n Vertical del Coeficiente de Torbellino.

XII

a(x) , P(x)

H

u,v

w

K

Cota de la Superficie Libre.

Limiles Inferior y Superior de la Inlegral en la Regia de Leibnitz.

Funci6nfEvaluada en el Fondo del Dominio .

Funci6nfEvaluada en la Superficie Libre.

Profundidad del Flujo.

Velocidades Promediadas a 10 Largo de la Profundidad en Direcciones x y y, Respectivamente.

Presi6n Almosferica.

Velocidad u Evaluada en la Superficie Libre.

Velocidad u Evaluada en el Fondo del Dominio.

Funciones de Distribuci6n, en la Direcci6n Vertical , de las Componentes u y ude la Velocidad.

Coeficientes de Ponderaci6n para los Terminos Convectivos en el Modelo Promediado a 10 Largo de la Profundidad.

Velocidad del Vienlo 10 m por Encima de la Superficie.

Coeficiente de Fricci6n Atm6sfera - Superficie Libre .

Angulo que Forma el Vector Velocidad del Vienlo con el Eje x.

Densidad del Fluido en la Superficie Libre.

Xl\l

C Coeficiente de Fricci6n de Chezy.

Concenlraci6n Masica de la Especie Qufmica a.Pa

Ma Peso Molecular de la Especie Qufmica a.

Jx • Jy• Jl Flujos Masicos Dispersivos en Direcciones x. y y z.

ra Tasa de Produccion de la Especie Qufmica a.

Concentracion Masica Promediada a 10 Largo de la&:>a Profundidad.

jp Funci6n de Distribuci6n en la Vertical de la Concentraci6n Masica.

Coeficientes de Ponderaci6n para los Terminos O:UP . O:up

Convectivos en la Ecuacion de Difusi6n Promediada a 10 Largo de la Profundidad.

tVx. tV)' Flujos Masicos Dispersivos Promediados a 10 Largo de la Profundidad.

Dx. Dy Coeficientes de Dispersi6n Empfricos.

Concentracion Volumetrica de Ja Especie a. Ca

Densidad de Referencia. Po

To Temperatura de Referencia.

T Temperatura en Grados Celcius.

v Viscosidad Cinematica.

IR Numero de Richardson .

XIV