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INTEGRACION DE LAS ECUACIONES DE
NAVIER-STOKES MEDIANTE EL METODO DE
LOS ELEMENTOS FINITOS Y EL METODO DE
LAS CARACTERISTICAS.APLICACIONES A
CASOS CON SUPERFICIE LIBRE.
Leo Miguel Gonzalez Gutierrez.
Mayo 2001
Indice General
1 Introduccion. 6
2 Las ecuaciones de la Mecanica de Fluidos.Problema de Navier-Stokes. 10
2.1 Las ecuaciones de la Mecanica de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Particularizacion para un fluido newtoniano e incompresible. . . . . . . . 11
2.3 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Problema de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Aspectos computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 El metodo de los elementos finitos en
Mecanica de Fluidos. 17
3.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Consideraciones practicas del metodo de los elementos finitos. . . . . . . 18
3.2.1 Sistema de almacenamiento matricial. . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 El metodo de las caracterısticas.Problemas de transporte puro 24
4.1 Cinematica de Fluidos.Definicion de trayectoria y curva caracterıstica. . . 244.2 Operador derivada sustancial y ecuacion del transporte puro. . . . . . . . 254.3 El metodo de las caracterısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Discretizacion de la ecuacion del transporte puro. . . . . . . . . . . . . . 284.5 Ejemplos numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Ecuacion de transporte y difusion. 43
5.1 Transporte y difusion de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Discretizacion temporal de la ecuacion de tranporte y difusion. . . . . . . 445.3 Discretizacion espacial de la ecuacion de transporte y difusion. . . . . . . 46
5.4 Ejemplo numerico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
6 Metodo del gradiente conjugado.Problema de Stokes. 53
6.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Solucion iterativa del problema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.1 Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.2 Ecuacion funcional de la presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.3 Solucion del problema mediante gradiente conjugado. . . . . . . . 67
6.3 Ejemplos numericos bidimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.1 Cilindro bidimensional en regimen laminar. . . . . . . . . . . . . . 796.3.2 Validacion del Codigo para el Problema del Cilindro. . . . . . . . 84
6.3.3 Variacion del Drag en un cilindro bidimensional mediante interac-cion electrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.4 Otros casos bidimensionales en regimen turbulento. . . . . . . . . 103
6.4 Ejemplos numericos tridimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.1 Flujo laminar alrededor de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.2 Flujo alrededor del doble modelo de un Serie 60. . . . . . . . . . . 108
7 Tratamiento de superficie libre mediante el metodo de la funcion de
nivel ”Level set method”. 112
7.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2 Tecnica de la funcion de nivel ”level set”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1 Formulacion de la funcion de nivel ”level set” . . . . . . . . . . . 1147.2.2 Reinicializacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 Solucion iterativa del problema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.1 Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.3.2 Ecuacion funcional de la presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.4 Implementacion numerica del metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5 Ejemplos numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8 Conclusiones y lineas futuras de investigacion. 132
9 Apendice I : modelo de turbulencia. 134
9.1 Modelo de Smagorinsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 Apendice II: Subrutina para el calculo de la velocidad tangente y del
gradiente de la velocidad tangente. 138
11 Apendice III: Manejo del CD ROM adjunto a esta tesis. 141
Bibliografıa 142
2
Notacion.
En este trabajo se utilizara fundamentalmente la notacion tensorial o de ındices. Seempleara la notacion Cartesiana cuando se refiere a un sistema de coordenadas, siendo(x1, x2, x3) o (x,y,z) las coordenadas Cartesianas en el caso tridimensional.
Indicar que cuando sea procedente se aplicara el convenio de subındices de Einsteinde suma extendida a los ındices repetidos en productos y derivadas.
Las normas en los espacios funcionales L2(funciones de cuadrado integrable en uncierto dominio) y H1(espacio de Sobolev de funciones cuyas derivadas pertenecen a L2)se denotan por ‖·‖0 y ‖·‖1respectivamente, mientras que la norma Euclidiana de unvector se denota por |·|·
Los operadores del analisis vectorial en notacion tensorial son:
Gradiente de una funcion escalar a : ∂a∂xi
Divergencia de un vector −→v : ∂vi
∂xi
Rotacional de un vector −→v : ξijk∂vj
∂xk
Donde ξijk es el tensor completamente antisimetrico o tensor de Levi-Civitta.
Laplaciano de una funcion escalar a : ∂2a∂x2
i
El sımbolo ∆t se utiliza para designar el intervalo de discretizacion temporal. El restode la notacion se explicara oportunamente en el texto.
Otros sımbolos utilizados en este trabajo son:
Ω Dominio de analisis.Γ = ∂Ω Contorno del dominio.Ω = Ω ∪ Γ Adherencia de ΩΓD Contorno del dominio donde se conoce el campo de velocidades.ΓN Contorno del dominio donde se conoce la tension del fluido.L Longitud caracterıstica del problema (en ejemplos navales sera
la eslora).g Aceleracion de la gravedad.t Tiempo.p Presion del fluido.v Velocidad en el fluido, vector de componenetes vi
τij Tensor de tensiones para fluidos newtonianos.τ ∗ij Parte desviadora o viscosa del tensor de tensiones para fluidos
newtonianos.τRij Tensor de tensiones de Reynolds.
δij Delta de Kronecker.
3
Fn= v√gL
Numero de Froude.
Re=vρLµ
Numero de Reynolds.ρ Densidad del fluido.µ Viscosidad dinamica del fluido.ν = µ
ρViscosidad cinematica del fluido.
4
Agradecimientos
Agradezco en primer lugar y de modo destacado a todos aquellos que desde misprimeros anos me hicieron sospechar que bajo el mundo de las ecuaciones de la fısica-matematica se ocultaban formas de singular belleza.
Por otro lado y de forma mas personal quiero agradecer el resultado de esta tesis ami director Rodolfo Bermejo Bermejo que en todo momento fue capaz de transmitirmeilusion por este trabajo, tambien y de forma muy especial a la Escuela Tecnica Superior deIngenieros Navales que a traves de las instalaciones del Departamento de HidrodinamicaNumerica del Canal de Ensayos Hidrodinamicos me dio todos los medios necesarios parala realizacion de esta tesis con generosidad y afecto. Dentro de la E.T.S.I.N. no quisieraolvidarme de gente como Antonio Souto Iglesias,Miguel Talens y Jose Ramon Rodriguezque fueron capaces de compartir en multiples ocasiones su tiempo conmigo y me hicieronsentir de forma especialmente comoda durante todo el tiempo que duro esta tesis.
Me gustarıa tambien citar a Luis Perez Rojas tutor de esta tesis y Director del Canalde Ensayos Hidrodinamicos de la E.T.S.I.N. por haber hecho posible mi integracion enel equipo de investigacion sobre analisis numerico.
Quisiera citar tambien a la gente que ha colaborado en la validacion de partes delcodigo como Alejandro Rodriguez Gallego, Juan Diez Bejerano, Mariano Asteasuain yen especial a Guillermo Artana y todo su equipo del Laboratorio de Electromecanica delContınuo de la Universidad de Buenos Aires.
A Madrid por su luz y a Buenos Aires por su fidelidad.
5
Capıtulo 1
Introduccion.
En esta tesis se presenta un metodo de resolucion de las ecuaciones que rigen el movimien-to de un fluido viscoso, newtoniano e incompresible mediante una combinacion de metodosde discretizacion, tanto en regimen laminar como turbulento. Nos enfrentamos a unproblema de gran complejidad, cuya dificultad maxima aparece en la naturaleza de susecuaciones. Ademas de esta dificultad se puede anadir otro problema que aparece confrecuencia en aplicaciones industriales como es la interaccion de dos fluidos a traves deuna superficie de interfase. En esta tesis se supondra que uno de los medios fuese aguay el otro aire, denominando a esta interfase: superficie libre. La solucion robusta de estetipo de problemas constituirıa un solida posibilidad de solucion a muchos problemas quedemanda la industria y darıa lugar a un horizonte amplio de aplicaciones tecnologicas.
A pesar de que las ecuaciones que rigen este tipo de fenomenos se conozcan desdeel siglo pasado su complejidad analıtica hizo de ellas algo inabordable y tan solo hubociertos intentos de calculo aproximados que desafiaron a todo tipo de investigadores.En la actualidad gracias al desarrollo de los calculos por ordenador y la gran capacidadde las maquinas actuales se ha llegado a desarrollar una metodologıa de resolucion dedichas ecuaciones conocida como Mecanica de Fluidos Computacional (ComputationalFluid Dynamics-CFD), donde las ecuaciones son resueltas de forma aproximada por algo-ritmos numericos proporcionando informacion sobre los valores de la velocidad, presion,prevencion de la cavitacion,resistencia al avance, sustentacion, angulos de desprendimien-to de la capa lımite, etc.... El abordaje de las ecuaciones del flujo alrededor de un objetoadmite una cierta simplificacion en lo que se conoce como la hipotesis de Flujo Potencialy su desarrollo computacional en metodos de paneles.[Sou-96].
Las herramientas tipo CFD permiten al ingeniero investigar una gran serie de opcionesde diseno en las primeras fases del proyecto antes de iniciar la construccion, dando lugara un moderno tipo de experimentacion que no es otro que la experimentacion numerica.Es justo decir que para que un codigo de CFD sea fiable es necesario que los experimentosen un canal de ensayos hidrodinamico o en un tunel de viento aerodinamico confirmensus predicciones.
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Se tratara por tanto de obtener la distribucion de velocidades, presiones y otros datosde notable interes hidrodinamico en un fluido que rodea diferentes objetos. Esto seraespecialmente adecuado para el diseno optimo de objetos sumergibles, pero se podraaplicar a una gran variedad de problemas dentro y fuera del ambito naval.
Como pre y post procesador del sistema se eligio el programa Gid, desarrollado porel Centro Internacional de Metodos Numericos en Ingenierıa por su buena adaptacion alproblema planteado.
Los elementos finitos como metodo de discretizacion espacial de la ecuaciones dife-renciales a resolver, el metodo de las caracterısticas como forma eficaz de manejo deloperador derivada material y el metodo de la funcion de nivel (”level set method”) sonlos tres pilares basicos sobre los que se asienta este trabajo y gracias a los cuales se ha con-seguido dar solucion a una buena cantidad de casos tanto en situaciones bidimensionalescomo en situaciones tridimensionales. A pesar de hablar de estos tres grandes metodoscomo la gran base teorica del codigo desarrollado, es bueno comentar la multiplicidad depequenos detalles teoricos como por ejemplo el metodo de busqueda de elementos en unmallado que si bien no son partes principales del metodo si que constituyen herramientasfundamentales para que los resultados se obtengan con rapidez y eficacia.
En cuanto a los problemas tratados sin superficie libre se ha intentado resolver aquellosque albergaran una buena coleccion de medidas experimentales para ası poder validarlos resultados obtenidos mediante el ordenador y una vez se ha concluido esta etapa, seha tratado de buscar aplicaciones tecnologicas para las cuales este codigo pudiera serde gran utilidad. Por otro lado, ya en el ambito de la superficie libre se ha procedidode forma similar resolviendo casos cuyas medidas experimentales estuviesen claramenteconsensuadas.
La organizacion del presente trabajo sera del siguiente modo. En el segundo capıtulose hara un estudio detallado de las ecuaciones que rigen los fenomenos de la Mecanicade Fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes), haciendo un gran hincapie en los dos aspectosdonde se hayan las dificultades numericas: primero, la restriccion de la condicion deincompresibilidad y segundo la inestabilidad numerica que aparece cuando el terminoconvectivo cobra importancia frente al viscoso.
En el capıtulo 3 se tratara de desarrollar el metodo de discretizacion espacial que se vaa emplear en este trabajo, y que no es otro que el Metodo de los Elementos Finitos (FEM),se explicara adecuadamente la base matematica en la que se sustenta el metodo y losaspectos practicos que debe cumplir un codigo para ser robusto, rapido y sin un consumoexcesivo de memoria. Se presentara el metodo de Galerkin como metodo de discretizacioncapaz de transformar un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en unsistema de ecuaciones lineal. Incluso podrıamos decir que se introducira el FEM como uncaso particular del metodo de Galerkin. Se describira el tipo de elemento que se utilizara
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en dos o tres dimensiones para nuestros calculos en Mecanica de Fluidos. Tambien sepresentara el metodo del Gadiente Conjugado Precondicionado que se empleara comometodo de resolucion del sistema lineal al que finalmente se llega tras la discretizacion,esta herramienta sera empleada en el resto del trabajo.
En el cuarto capıtulo se dara entrada al tiempo en el problema estudiado, se tienepor tanto la obligacion de desarrollar un metodo de discretizacion temporal que en estetrabajo sera el Metodo de las Caracterısticas. La idea de usar dicho metodo para la inte-gracion del termino convectivo en las ecuaciones de transporte tiene una larga tradicionen Mecanica de Fluidos. El enfoque que aquı se detalla viene precedido por una ciertaintroduccion a la cinematica de fluidos debido a que el Metodo de las Caracterısticas estabasado en una descripcion Lagrangiana del flujo. La ausencia del termino convectivo esuna ventaja que nos proporciona el metodo desde un punto de vista numerico dado que esbien conocida la dificultad numerica que conllevan. Se realizara un ejemplo ilustrativo deotras posibles alternativas a este tipo de metodo pero que no proporcionan un resultadotan bueno.
En el capıtulo 5 se dara un paso mas en la aproximacion a las ecuaciones de Navier-Stokes y se anadira un termino de difusion a la ecuacion del transporte, tal y como nosencontraremos a las fuerzas de origen viscoso en las ecuaciones de Navier-Stokes. Esteproblema aunque distando bastante en dificultad de nuestro objetivo ultimo, permite irvisualizando suficientemente el esquema numerico sobre el que se esta trabajando.
En el sexto capıtulo se podra ver con suficiente detalle el metodo numerico que se va aimplementar para la resolucion de problemas con flujo viscoso e incompresible mediantela descripcion del Metodo del Gradiente Conjugado. Este metodo se emplea una vez se hadiscretizado la ecuacion en el tiempo mediante el metodo de las caracterısticas. De modoque podrıamos decir que la metodologıa de trabajo no es mas que intercalar etapas dondeel primer paso es una discretizacion temporal del operador derivada sustancial medianteel metodo de las caracterısticas que nos transforma el problema de Navier-Stokes en unproblema de Stokes seguido por la solucion de este ultimo problema mediante el Metododel Gradiente Conjugado. Este metodo esta pensado para discretizaciones tipo Galerkintal y como se ha hecho en el presente trabajo.
El capıtulo 7 se plantea la solucion de problemas que involucran el tratamiento y lasolucion de problemas con superficie libre. Las ecuaciones que rigen dichos problemasson nuevamente del tipo transporte-difusion, la superficie libre se tratara mediante elmetodo ”Level Set”, de modo que el Metodo de las Caracterısticas vuelve a ser necesariopara hallar la solucion de la superficie libre.
Finalmente, en el apendice I del trabajo se realizara un estudio para la implementacionde un esquema turbulento a la solucion del flujo. El principal interes de este apendice noreside en la solucion numerica de las ecuaciones de Reynolds, ya que son matematicamente
8
similares a las de Navier-Stokes sino en el planteamiento y la solucion de dichas ecuacionesacopladas con modelos de turbulencia. Algunos de estos modelos se plantean en formade ecuaciones de transporte-difusion por lo que habra que retomar los metodos de loscapıtulos anteriores. En el apendice II se detallara el proceso de calculo que se ha seguidopara calcular la derivada de la velocidad tangencial respecto a la direccion normal en elproblema del cilindro, el motivo de esta explicacion se halla en que si otros investigadoresquisieran contrastar los resultados de sus investigaciones con los aquı obtenidos, proba-blemente se pregunten sobre la metodologıa que aquı hemos empleado. Por ultimo en elapendice III se detalla la manera de visualizar los videos contenidos en el CD adjunto aesta tesis.
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Capıtulo 2
Las ecuaciones de la Mecanica de
Fluidos.
Problema de Navier-Stokes.
2.1 Las ecuaciones de la Mecanica de Fluidos.
Se va a tratar de representar el comportamiento de un fluido en un cierto volumen decontrol Ω. La velocidad vi = vi(xi, t) es una funcion vectorial que depende del punto delespacio xi ∈ Ω y del tiempo t entre [0,∞). Del mismo modo la presion es una funcionescalar que se escribira como p = p(xi, t) con analogas dependencias espacio-temporales.
Las ecuaciones de la Mecanica de Fluidos que van a constituir la base fısica de estetrabajo no son otras que:
1. La ecuacion de Conservacion de la Masa o ecuacion de Continuidad.2. La ecuacion de la Conservacion de la Cantidad de Movimiento.
Estas ecuaciones se desarrollaran bajo las hipotesis de que el fluido viscoso que seestudia es un medio continuo y se haya en equilibrio termodinamico local.
Las expresiones matematicas de dichas ecuaciones son conocidas como Ecuaciones deNavier-Stokes y se escriben:
∂ρ
∂t+
∂(ρvi)
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (2.1)
ρDvi
Dt= ρ · fi −
∂p
∂xi
+∂τ ∗
ij
∂xj
en Ω × (0, t) (2.2)
10
Siendo:
fi (x, t) el campo de fuerzas masico que puede incluir fuerzas de distinta naturalezacomo son las fuerzas de inercia, electromagneticas o gravitatorias. El estudio actual selimitara a casos inerciales(objetos en reposo o moviendose en trayectoria rectilınea convelocidad constante) y/o gravitatorios. Por lo tanto se puede considerar que el campofi (x, t) es el campo gravitatorio y designarlo como gi.
Las ecuaciones de Euler se obtienen de las ecuaciones de Navier-Stokes sin mas queprescindir del termino viscoso en la ecuacion (2.2).
2.2 Particularizacion para un fluido newtoniano e in-
compresible.
En el caso de que nuestro fluido sea incompresible se le supondra densidad ρ constante,esta afirmacion podrıa ser discutible en el caso en el que se tuviera un fluido gaseoso yvelocidades del orden del sonido. En los casos que aquı se van a estudiar las velocidadesse supondran muy inferiores a las de orden sonico y por lo tanto aunque uno de losmedios sea gaseoso se puede considerar incompresible, por lo tanto la ecuacion (2.1) setransforma en:
∂vi
∂xi
= 0 (2.3)
Si ademas la naturaleza de nuestro fluido es de tipo Newtoniano se puede afirmar queel tensor de tensiones viscosas τ ∗
ij se expresa como:
τ ∗ij = µ(
∂vi
∂xj
+∂vj
∂xi
) (2.4)
Suponiendo un unico fluido de viscosidad constante µ y teniendo en cuenta la ecuacion(2.3) se llega a que:
11
∂τ ∗ij
∂xj
= µ∂2vi
∂x2j
(2.5)
Luego finalmente bajo todas las consideraciones comentadas se tiene que en el casonewtoniano e incompresible las ecuaciones de Navier-Stokes son:
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (2.6)
ρDvi
Dt= ρ · gi −
∂p
∂xi
+ µ∂2vi
∂x2j
en Ω × (0, t) (2.7)
Si se adimensionalizan estas ecuaciones en funcion de una longitud caracterısticaL,una velocidad caracterıstica U y una presion caracterıstica ρU2 se tienen las ecuacionesde Navier-Stokes adimensionalizadas en funcion del numero de Reynolds Re = ρUL
µy el
numero de Froude Fn = U√gL
. Se considerara que el campo gravitatorio actua segun elsentido opuesto al eje OZ.
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (2.8)
Dvi
Dt=
−1
Fn2· δiz −
∂p
∂xi
+1
Re
∂2vi
∂x2j
en Ω × (0, t)
En el caso particular en el que Re≫1, el termino viscoso se hace suficientementepequeno y puede ser despreciado, a las ecuaciones que resultan de tal consideracion seconocen como ecuaciones de Euler y tienen la forma:
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (2.9)
Dvi
Dt=
−1
Fn2· δiz −
∂p
∂xi
en Ω × (0, t)
Por otro lado si el Re≪1, el termino convectivo se hace suficientemente pequeno ypuede ser despreciado, a las ecuaciones que resultan de tal consideracion se conocen comoecuaciones de Stokes y su forma es:
12
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (2.10)
∂vi
∂t=
−1
Fn2· δiz −
∂p
∂xi
+1
Re
∂2vi
∂x2j
en Ω × (0, t)
2.3 Condiciones de contorno
A las anteriores ecuaciones se les debe anadir un conjunto de condiciones de contorno einiciales compatibles como son:
vi = vDirichleti en ΓD × (0, t) (2.11)
vi · ni = 0∂ (vi · ti)
∂n= 0 en ΓS × (0, t) (2.12)
τijnj = −pni + µ∂vi
∂n= 0 en ΓN × (0, t) (2.13)
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω × (t = 0) (2.14)
Se supondra que ΓD ∩ ΓN ∩ ΓS = ∅ y ΓD ∪ ΓN ∪ ΓS = Γ = ∂Ω, contorno de Ω,elcual sera suficientemente suave (localmente Lipschitz).
ΓD es la parte del contorno del dominio donde se conoce el campo de velocidades(contorno tipo Dirichlet de velocidad), ΓS es la parte del contorno del dominio dondese impone la direccion de la velocidad y derivadas normales nulas de las componentestangenciales de la velocidad (contorno tipo slip) y ΓN donde se conoce la tension delfluido (contorno tipo Neumann de velocidad).
Se ha designado como nj al vector unitario normal exterior a ∂Ω.La condicion de contorno (2.13) es una condicion sobre el vector de tension ti = τijnj.
El exito de esta condicion de contorno viene discutido por Gresho en [Gresho-91] y es unabuena caracterizacion de la condicion de contorno en la frontera de salida del fluido. Setrata de anular tan solo el vector de tension en la salida ti sin imponer ninguna condicionde contorno al tensor de tensiones del fluido τij. Las condiciones de contorno que no sontipo Dirichlet son por desgracia las mas complicadas debido a que como mucho la fısica
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de la materia es nuestra unica guıa. Si el metodo de los elementos finitos se empleaa traves de la formulacion debil de las ecuaciones de Navier-Stokes, las condiciones decontorno sobre el vector de tension ti son especialmente sencillas de implementar ya queson condiciones de contorno naturales(NBC). Esto quiere decir por un lado que:
a)ninguna atencion especial se le debe tener a las condiciones sobre ti ya que seimplementan automaticamente en el codigo, tan solo si ti fuese no nulo en algun contornohabra que suministrar el valor en dicho contorno al codigo.
b)la condicion se evalua en su formulacion debil y no punto a punto.c)una geometrıa compleja no anade dificultades respecto a una sencilla.
2.4 Problema de Navier-Stokes.
El conjunto de las ecuaciones (2.8) junto con un conjunto de condiciones de contornocompatibles se conocen como problema de Navier-Stokes. Tal y como se aprecia a lavista de las ecuaciones el problema plantea un sistema acoplado de cuatro ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales de segundo orden en la velocidad (debido al terminoviscoso) y no lineal (debido al termino convectivo). Este problema es uno de los demayor complejidad de los que se encuentran habitualmente en aplicaciones industrialesy tecnologicas.
Las dos formulaciones mas comunes empleadas para generar codigos computacionalesson:
a)la formulacion en variables primitivas velocidad-presion tal y como se ha hecho enesta tesis y se va a continuar realizando.
b)formulaciones en variables derivadas: es decir, mediante la ecuacion de Poisson parala presion y la ecuacion de transporte de la vorticidad, o mediante la funcion de corrientey la vorticidad.
A la vista de las condiciones de contorno se puede afirmar que en el caso en el que ΓN
= ∅ la solucion para el campo de presiones solo esta fijada salvo constante aditiva. Encaso contrario, ΓN 6= ∅, no es necesaria constante aditiva alguna ya que hay condicionesde contorno que incluyen la presion. (Ver condicion (2.13))
Para poder plantear su resolucion mediante el metodo de los elementos finitos uti-lizando el procedimiento clasico de Galerkin no se deben olvidar las inestabilidades queaparecen al realizar dicho procedimiento. Las dificultades numericas que aparecen sedeben fundamentalmente a dos factores:
a) la condicion de incompresibilidad o de adivergencia en la velocidad que obliga aque los espacios de elementos finitos sean compatibles, es decir que cumplan la condicionde Babuska-Brezzi (se notara como condicion BB).
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b) Dominio del termino convectivo sobre el termino viscoso en la ecuacion de con-servacion de la cantidad de movimiento, esto es algo equivalente a decir que se pierdeestabilidad numerica a medida que se aumenta el numero de Re.
Como se ha mencionado anteriomente, el hecho de imponer la condicion de divergen-cia nula al campo de velocidades en las ecuaciones de Navier-Stokes tiene efectos muyimportantes. Esto se produce principalmente por el hecho de que el campo de veloci-dades puede ser la unica incognita del problema de Navier-Stokes, para ser posteriormentecorregido con un campo de presiones obtenido a partir del campo de velocidades. Es nece-sario darse cuenta de que la presion en la formulacion incompresible de las ecuaciones deNavier-Stokes, tal y como se indica en [Sni-Gre-87] no es una variable termodinamica da-do que se carece de ecuacion de estado, sino que en el fondo es una cantidad que estableceel equilibrio de fuerzas en cada partıcula fluida y que se comporta como un multiplicadorde Lagrange que busca que el campo de velocidades sea adivergente. Ademas de sercierto que su presencia nos obliga a cumplir la condicion de incompresibilidad, su gra-diente es una fuerza por unidad de volumen. La presion se propaga a velocidad infinitapara conseguir que el flujo sea en todo momento y en todo lugar incompresible. Paraver como de cierta es esta afirmacion bastarıa con tomar el rotacional de la ecuacion(2.7) y se verıa que la presion desaparece de la ecuacion. En ese caso se podrıa calcularel campo de velocidades que saliera de tomar el rotacional en la ecuacion (2.7), dandolugar a la ecuacion de transporte de la vorticidad, y posteriormente corregirlo con uncampo de presiones de modo que nos permitiera cumplir la condicion de incompresibi-lidad, este campo de presiones se podrıa calcular tomando la divergencia a la ecuacion(2.7) y teniendo en cuenta la ecuacion (2.6), es lo que se llama la formulacion ”pressurePoisson”,ver [Gresho-91].
Respecto a la existencia y unicidad de la solucion del problema de Navier-Stokes, hasido estudiada en una gran cantidad de artıculos y publicaciones, entre otros se podrıacitar a: Temam[Teman-85], Ladyzhenskaya[Lad-69] y Heywood[Hey-80],suponiendo quese verifica la condicion BB que como se vera mas adelante se obtiene gracias a la ade-cuada eleccion de los espacios de elementos finitos. Se puede demostrar, ver [GaEsp-99],que las condiciones de existencia y unicidad no se cumplen para valores elevados del Re.Para valores moderados del numero de Reynolds, en experimentos se pueden encontrarsoluciones no estacionarias e incluso varias soluciones, cuya aparicion depende de lascondiciones iniciales que se planteen. Se tratarıa por tanto un problema de alta depen-dencia de las condiciones iniciales. A esta problematica se volvera a ver en el apendice Ireferido al estudio de la turbulencia.
2.5 Aspectos computacionales
Por otro lado la problematica que presenta el hecho de que el termino convectivo seamucho mayor que el viscoso es bien conocida en el ambito de los metodos numericos.
15
Este hecho se produce para altos numeros de Re y provoca que la solucion numericaclasica del metodo de los elementos finitos (esquemas desarrollados a partir del metodo deGalerkin) falla y aparezcan oscilaciones en todo el dominio. Las mencionadas oscilacionesdesaparecen a medida que se diminuye el tamano de malla, algo que desde el puntode vista practico-computacional es impensable debido a su lentitud y gasto enorme dememoria.
Desde un punto de vista fısico, se sabe que al aplicar el metodo de Galerkin se anadenviscosidades negativas proporcionales al numero de Reynolds, provocando una mala es-tabilidad al problema y dando lugar a oscilaciones. Estas oscilaciones suelen ser locali-zadas y no tienden a propagarse en sistemas lineales, pero dado que las ecuaciones deNavier-Stokes tienen terminos no lineales que a elevados numeros de Reynolds tienengran importancia, se llega a inestabilidades globales.
La manera de tratar en este trabajo el termino convectivo sera el Metodo de lasCaracterısticas que nos permitira prescindir explıcitamente del termino convectivo. Estaventaja del metodo se ve compensada con la dificultad de tener que calcular los pies delas caracterısticas de los nodos del mallado en cada iteracion temporal, tal y como severa en el capıtulo 4.
No debe olvidarse que para resolver un problema por metodos computacionales el do-minio Ω debe ser finito, esto significa que hay que limitar el volumen de estudio del fluidomediante fronteras artificiales. Pues bien, dar con una condicion de contorno adecuadapara dichas fronteras artificiales que sea facilmente implementable a nivel numerico esuna dificultad anadida al problema.
2.6 Conclusiones.
En el presente capıtulo se presentan el conjunto de ecuaciones que se van a tratar de re-solver posteriormente y las diversas dificultades que contienen los problemas que de ellasse derivan. Las dificultades se deben fundamentalmente a la condicion de incompresibi-lidad del flujo, lo cual obliga a utilizar elementos div-estables que cumplan la condicionB-B que se vera en detalle posteriormente.
La segunda dificultad se halla cuando el termino convectivo tiene una mucha mayorimportancia en la ecuacion que el termino viscoso en la ecuacion de conservacion de lacantidad de movimiento, esto tiende a inestabilizar la ecuacion y por tanto a la perdidade la solucion unica con independencia de las condiciones iniciales. Esto ocurre paranumeros de Reynolds altos. La existencia y unicidad de una solucion estacionaria tansolo se puede asegurar para valores pequenos del Re. Para valoreas moderados y altosla experiencia muestra que las soluciones pueden ser no estacionarias e incluso dependeraltamente de las condiciones iniciales.
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Capıtulo 3
El metodo de los elementos finitos en
Mecanica de Fluidos.
3.1 Introduccion.
El problema que se planteo en el capıtulo anterior es de ese tipo que unicamente puedenser resueltos mediante el uso de metodos numericos avanzados y ordenadores. La primeraparte del problema ya se ha realizado en el capıtulo 1 y consiste en expresar medianteun modelo matematico un sistema fısico equivalente.
En nuestro campo, la Hidrodinamica, nuestro sistema fısico puede venir descrito taly como se ha visto antes por una o mas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
El Metodo de los Elementos Finitos es uno de los metodos mas comunes para re-solucion de sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Es un metodo decalculo de amplia generalidad, lo que quiere decir que puede ser aplicado a transitoriosy a estados estacionarios, a problemas lineales y no lineales e incluso a geometrıas dedimension arbitraria. En el fondo el FEM es un metodo de transformacion de un sistemade ecuaciones en derivadas parciales en un sistema lineal algebraico de ecuaciones.
Los elementos finitos nos proponen un metodo sencillo y eficaz para la resolucionde problemas elıpticos, que son los que nos van a aparecer continuamente en nuestrometodo, dado que como se vera mas adelante se reducira la complejidad del problema deNavier-Stokes a una sucesion ordenada de problemas elıpticos. De modo que conseguirun codigo rapido, robusto y eficiente capaz de resolver problemas elıpticos con una ciertadiversidad de condiciones de contorno debe ser el primer objetivo.
Se utilizara un metodo variacional conocido como metodo de Galerkin que tiene unageneralidad mayor que la que puedan ofrecer otros metodos basados en la optimizacionde un funcional (metodo de Ritz). Es necesario explicar para entender lo favorable que esel metodo de Galerkin frente a otros, que es bastante difıcil e incluso a veces imposible,encontrar el funcional adecuado para una ecuacion diferencial en derivadas parciales.
En una buena parte del capıtulo se basa en detallar aspectos que si bien no pertenecenintrınsecamente al FEM, son claramente necesarios para que el metodo tenga un buen
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rendimiento computacional. Se hara especial enfasis en la tecnica de almacenamiento ma-tricial para que la eficacia de los recursos de la computadora sea optima. Para cualquierreferencia que verse sobre la teorıa general del metodo de los Elementos Finitos aplicadoa las ecuaciones de Navier-Stokes se recomienda consultar [Cuv-85].
3.2 Consideraciones practicas del metodo de los ele-
mentos finitos.
3.2.1 Sistema de almacenamiento matricial.
Tal y como se ha explicado antes, el objetivo es transformar un sistema de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales en un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemaslineales vienen como es habitual caracterizados por una matriz de coeficientes y un vectorde terminos independientes , por lo tanto el proceso de formacion de matrices es un pasoineludible en todo calculo de Elementos Finitos. Los elementos de matriz Aij vienenrepresentados en nuestro caso por integrales, que cumplen, debido a la naturaleza delas funciones base elegidas en la teorıa clasica de elementos finitos,que la unica zona deldominio donde dicha integral puede ser no nula es la zona ocupada por los elementos el
que contengan a los nodos i y j a la vez.
∫
Ω
Aij dΩ =
elementos i,j∑
l=1
∫
el
Aij del (3.1)
Tal y como se puede entender existen dos posibilidades:
a) Que los nodos i y j sean el mismo i=j. La integral queda restringida a todos loselementos que contienen al nodo i.
b) Que los nodos i y j sean nodos distintos. La integral queda restringida a todos loselementos que contienen a la recta que une los nodos i-j.
La consecuencia mas importante de todo esto es que si los nodos i y j no son el mismoo no pertenecen a un mismo elemento la integral es nula. Esto implica que debido atener tantas combinaciones de nodos que no comparten elemento, hay un gran numerode elementos de matriz nulos. Es por ello, que aparece el hecho de tener que trabajarcon matrices ralas o dispersas(sparse). Esto se podrıa expresar:
∫Ω
AijdΩ = 0 si i y j no comparten elemento.
Tal abundancia de ceros en las matrices del metodo lleva a adoptar una tecnicade almacenamiento y manejo de matrices donde se pueda prescindir de guardar cerosocupando memoria de ordenador inutilmente.
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A traves de esta tecnica se reemplaza cada matriz por tres vectores, dos de elloscontienen de alguna forma la informacion de cuales son los elementos no nulos de lamatriz y donde estarıan colocados en la gran matriz cuadrada, de modo que siempre sepueda establecer una relacion biunıvoca entre la matriz cuadrada y el vector compactode los elementos no nulos en que se convertira dicha matriz, el tercer vector contiene elvalor de los elementos de matriz no nulos.
Para llevar a cabo este proceso lo primero que hay que realizar es una tabla auxi-liar(puede ser eliminada de la memoria una vez usada) que nos permita crear los dosvectores de informacion aludidos anteriormente. Esta primera tabla conocida como tablaNVI (nodos vecinos a un nodo i) tendra tantas filas como nodos contenga el mallado ytantas columnas como el maximo numero de nodos vecinos pueda tener un nodo (estenumero lo debe estimar el programador), su contenido sera para cada fila-nodo i : losnodos vecinos a dicho nodo i ordenados de mayor a menor contando consigo mismo(enel caso de que la matriz sea simetrica tan solo se cuenta con los nodos menores o igualesque el nodo i).
Una vez se ha escrito esta tabla, se puede escribir el vector NVPN(nodos vecinospor nodo) tendra una longitud igual al numero de nodos mas uno y por definicionNVPN(1)=0, el contenido de este vector sera el numero de nodos acumulados que pre-senta un nodo i sin incluirse a si mismo,esto coincide con el numero de elementos no nulosde la fila i-1 en la tabla NVI. Otra propiedad interesante del vector NVPN es que si unelemento de matriz ocupa la fila i en una matriz cuadrada del problema entonces ocuparaun lugar comprendido entre NVPN(i)+1 y NVPN(i+1) dentro del vector compacto quereemplace dicha matriz. Esto se puede expresar matematicamente:
NV PN(i) = Card x 6= 0, i − 1 filas (3.2)
Sea aij una matriz NxN rala que se desea pasar a forma de vector compacto an,comose ha dicho antes existe una correspondencia biunıvoca entre los ındices i,j y el ındice n.
(i, j) ⇔ n
Como se ha dicho antes:
NV PN(i) + 1 ≤ n ≤ NV PN(i + 1)
Por ultimo se debe ser capaz de escribir el vector NNVI(numero de nodos vecinosa un nodo i) que tendra una longitud igual al numero de elementos no nulos de lamatriz cuadrada representada y cuyo contenido sera el de la tabla NVI leida por filas yprescindiendo de los ceros, es decir el contenido de NNVI no es otra cosa que la parte nonula de la tabla NVI dispuesta en forma continua. Se verifica que:
NNV I(n) = j
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Mediante las relaciones:
NV PN(i) + 1 ≤ n ≤ NV PN(i + 1)
NNV I(n) = j
se puede obtener n conocidos (i, j) o viceversa.Debido al uso de este tipo de notacion algunas operaciones tıpicas de matrices hay
que reformularlas de alguna manera. Un ejemplo interesante es el producto matriz-vectorexpresando la matriz en forma de vector compacto. Sea ci el vector resultado del productode la matriz aij por el vector bj:
ci = aijbj =
NV PN(i+1)∑
α=NV PN (i)+1
aαbNNV I(α) (3.3)
El resultado de utilizar este tipo de almacenamiento matriz→vector-compacto es deun enorme rentabilidad a nivel de ahorro de memoria:
Sin ir mas lejos, un mallado estructurado de 25 nodos, tendrıa una matriz represen-tativa de 252 = 625 elementos, a traves de esta tecnica se llegarıa a compactar la matrizen un vector de 97 registros. Una reduccion de un 84,5%.
Si el mallado estructurado es de 2601 nodos, la matriz pasarıa a tener 26012 = 6765201elementos, y se podrıa reducir a un vector de 12701 registros. Una reduccion de 99,82%.
Como se puede observar a medida que el mallado va siendo mayor la eficacia delmetodo de almacenamiento tambien aumenta.
3.2.2 Error
La finalidad del apartado actual es mostrar la precision del Metodo de los ElementosFinitos, o dicho de otro modo: cual es la diferencia entre la solucion aproximada u quenos dan las ecuaciones aproximadas por el metodo de Galerkin y la solucion exacta delproblema continuo original.
Considerese una ecuacion diferencial elıptica de orden 2m, m ≥ 0, las ecuaciones deGalerkin que se obtienen mediante m integraciones parciales y contienen derivadas deorden menor o igual que m. Una aproximacion por elementos finitos se designa conformesi se cumplen las siguientes condiciones:
a)las funciones base φi son m veces continuas y diferenciables en cada elemento.
b) las funciones base φi son m veces continuas y diferenciables en Ω.
Restrigiendo el estudio a las ecuaciones de segundo orden, lo que significa m = 1.En el estudio de las ecuaciones de Navier-Stokes, aparece una ecuacion para la presioncon m = 0. Por lo tanto una aproximacion por elementos finitos para la presion sera
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conforme si las funciones base para la presion son continuas en cada elemento sin tenerporque satisfacer ningun requerimiento de continuidad en la frontera de los elementos.
Lo primero que se debe significar es que la maxima precision del metodo es igual ala precision de interpolacion en cada elemento. De hecho en cada elemento la solucionobtenida es aproximada por funciones lineales,cuadraticas,etc... Se llamara he al diametrodel elemento e (maxima circunferencia inscribible en 2D o maxima esfera inscribible en3D), por otro lado se puede llamar h a :
h = max hee
A partir de la teorıa de interpolacion lagrangiana se sabe que la optima precision deun elemento finito es del orden hk+1 donde k denota el orden de las funciones base delMetodo de los Elementos Finitos.
De modo general se podrıa decir que el Metodo de los Elementos Finitos depende delas siguientes condiciones:
a)Sea Eh el conjunto de todos los elementos con diametro menor o igual que h. Lasubdivision en elementos debe ser regular, lo que implica que existe una constante γ ≥ 1tal que:
he
h′
e
≤ γ ∀e ∈ Eh,∀h > 0. (3.4)
Donde h′
e denota el supremo de los diametros de todas las esferas contenidas en e. Enel caso 2D, las cantidades he y h
′
e estan geometricamente dadas en la figuras 3.1 y 3.2 .
En el caso triangular 2D, la condicion (3.4) es equivalente a la condicion de que losangulos de los triangulos estan situados lejos del 0o y de los 180o.
b)La solucion exacta u debe ser suficientemente suave. En particular la precisionde los FEM se deteriora cuando la solucion exacta contiene singularidades debido arazones como: discontinuidades en los datos, esquinas, rincones en Ω. El refinamientode la distribucion de los elementos en las proximidades de una singularidad pasa a sernecesario.
c)Todas las integrales que se encuentran en matrices y vectores se calculan exacta-mente.
Cuando las condiciones mencionadas arriba son satisfechas se tiene la siguiente esti-macion de error, que para k=1,2 y para n=1,2,3:
∫
Ω
|u − u|2 dΩ
1/2
≤ chk (3.5)
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Figura 3.1: Caso triangular
∫
Ω
|grad u − grad u|2 dΩ
1/2
≤ chk (3.6)
En algunos casos particulares, por ejemplo cuando las siguientes condiciones son sa-tisfechas: datos suficientemente suaves y continuos, Ω convexa, condiciones de contornotipo Dirichlet o Neumann en Γ, la estimacion (3.5) puede ser mejorada:
∫
Ω
|u − u|2 dΩ
1/2
≤ chk+1 (3.7)
La constante c depende de cosas como de que manera se ha dividido en elementos lageometrıa. Tambien depende de la geometrıa de Ω, la suavidad de la solucion exacta u yotros datos del problema como el lado derecho f y los coeficientes del operador. Respectoa la dependencia de c con γ,debe tenerse en cuenta que c se hace pequena a medida queγ se elige mas pequeno. Esto significa que los resultados mas precisos se deben esperarpara triangulos equilateros y tetraedros regulares.
Cuando se utilizan metodos de integracion numericos como el de Gauss para calcularelementos de matriz o vector, se esta introduciendo un error extra, este error se puede
22
Figura 3.2: Caso cuadratico
tener en cuenta de la siguiente manera:
En el caso que se consideren triangulos en 2D o tetraedros en 3D, el error estimadoa traves de las formulas (3.5) .... (3.7) sigue siendo valido cuando se usa una formula deintegracion polinomica exacta para P2k−2 (e).
En el caso de que se utilicen elementos finitos lineales (k=1),basta con utilizar formulasde integracion que que sean exactas para integrar P0 (e) ,es decir constantes. De estamanera las formulas clasicas de integracion de Gauss pueden ser aplicadas.
En el caso de que se utilicen elementos finitos lineales (k=2),basta con utilizar formulasde integracion que que sean exactas para integrar P2 (e). Para estos casos tambien existenformulas clasicas de integracion de Gauss para ser aplicadas.
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Capıtulo 4
El metodo de las
caracterısticas.Problemas de
transporte puro
4.1 Cinematica de Fluidos.Definicion de trayectoria
y curva caracterıstica.
La Cinematica de Fluidos ofrece dos perspectivas para el analisis del movimiento de unfluido, estas perspectivas son la descripcion Euleriana del movimiento: donde se hace unestudio local del fluido y se analiza la velocidad desde un punto de vista de la Teorıade Campos, y por otro lado se encuentra la descripcion Lagrangiana del movimientoque trata de seguir el movimiento de una partıcula fluida concreta a lo largo del espaciode modo similar al que emplea la Mecanica Clasica en el estudio del movimiento de lapartıcula.
En el enfoque Lagrangiano se estudiara una partıcula concreta, una sola partıculaindividual, y se generalizaran los resultados al resto de las partıculas fluidas. Suponiendoque se refiere el movimiento a un sistema de referencia cartesiano, se define un vectorposicion xi en un instante de tiempo t. La derivada temporal de dicho vector posicion esla velocidad de la partıcula y su derivada segunda la aceleracion.
La trayectoria o curva caracterıstica de la partıcula se define como la curva que formanlas posiciones sucesivas de una partıcula a lo largo del tiempo. Para obtener dicha curvabasta integrar la ecuacion de movimiento de la partıcula y sustituir una condicion inicial.
Considerese la trayectoria o curva caracterıstica de una partıcula desde un sistemade referencia cartesiano. En un instante generico t0 la partıcula se encontrara en unpunto Xi, al cabo de un cierto incremento de tiempo ∆t la partıcula habra pasado a unaposicion xi(ver figura 4.1), de forma que el vector desplazamiento se puede definir comoel vector diferencia entre la posicion xi y la posicion Xi.
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Figura 4.1: Estudio del movimiento
αi = xi − Xi. (4.1)
Por ser la velocidad tangente a la trayectoria de la curva que genera la partıcula entodo instante de tiempo,se tiene que la velocidad es paralela al vector elemento de arcoque define la trayectoria. Por lo tanto:
dx1
v1
=dx2
v2
=dx3
v3
(4.2)
4.2 Operador derivada sustancial y ecuacion del trans-
porte puro.
Es una necesidad muy comun en Mecanica de Fluidos la de tener que transportar unacierta magnitud escalar o vectorial. El operador que permite transportar una ciertamagnitud escalar definida en el espacio-tiempo a (xi, t) mediante un campo de velocidadesvi (xi, t) tambien definido en forma Euleriana en el espacio-tiempo, es la derivada materialo sustancial.
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El transporte de una magnitud escalar a sin ningun tipo de difusion cumple laecuacion:
∂a
∂t︸︷︷︸Termino
local
+ vi ·∂a
∂xi︸ ︷︷ ︸Termino
convectivo
= 0. (4.3)
Definiendo el operador derivada sustancial como:
D
Dt=
∂
∂t+ vi ·
∂
∂xi
(4.4)
La anterior ecuacion queda:
Da
Dt= 0 (4.5)
A esta ecuacion se denominara Ecuacion de Transporte Puro. Como es obvio, necesitade una condicion inicial para ser un problema bien planteado, esta condicion sera llamadaa0 (x, 0) .
4.3 El metodo de las caracterısticas.
El Metodo de las Caracterısticas ha sido una idea muy utilizada para la integraciondel termino convectivo en la ecuacion de transporte puro y goza de gran tradicion enla Mecanica de Fluidos Computacional. La manera mas comun de implementar estemetodo esta claramente basada en la descripcion Lagrangiana del movimiento del fluido.Se identificara cada punto de la malla con la posicion final de una partıcula fluida, y sebusca en otro instante la posicion de dicha partıcula, la idea es repetir un mismo procesopara los distintos instantes t1, t2, ...., tn a medida que el flujo progresa.
Las ventajas de estos metodos puramente Lagrangianos sobre los esquemas conven-cionales Eulerianos son la estabilidad numerica y la ausencia del termino convectivo. Laausencia de termino convectivo es un tema interesante desde un punto de vista numericoya que es bien sabido que es fuente de dificultades desde un punto de vista computacional.El problema es que a medida que el tiempo avanza, la malla inicial se va deformando yello implica un gran deterioro de la precision en la solucion numerica. Este inconvenientese puede remediar parcialmente si se regenera la malla tras unos ciertos pasos temporales.
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Por otro lado, la regeneracion de la malla seguida de una interpolacion de la solucion deuna malla antigua a una nueva puede ser muy costoso computacionalmente.
El Metodo de las Caracterısticas Modificado,propuesto por Allievi y Bermejo, ver[Rod-99], es una interpretacion del enfoque Lagrangiano que por un lado mantiene lasbuenas propiedades del metodo mientras que por otro resuelve los problemas citadosanteriormente. El Metodo de las Caracterısticas Modificado propone que el seguimientode las partıculas no se haga hacia adelante en el tiempo sino que se haga hacia atras. Dehecho lo que hace es buscar la posicion en un instante tn,de las partıculas que llegaran alos puntos de la malla en tn+1.
Supongase el intervalo temporal [0, T ] dividido en N intervalos [tn, tn+1] de longitud ∆ttal que N·∆t = T . Para cada intervalo [tn, tn+1] se puede integrar cualquier ecuacion detransporte (en el apartado siguiente se hara una aplicacion con la ecuacion del transportepura) a lo largo de las trayectorias de las partıculas fluidas tal y como se describira acontinuacion.
Se utilizara la notacion Xi (xi, tn+1; t) para notar la posicion de una partıcula en uninstante t que llegara al punto xi en el instante tn+1. La trayectoria de dicha partıculaverifica las ecuaciones (ver figura 4.2):
dXi
dt(x, tn+1; t) = vi (X (x, tn+1; t) , t) (4.6)
Xi (x, tn+1; tn+1) = xi
Debe recordarse que Xi (xi, tn+1; t) es el punto en el instante t correspondiente a lacurva caracterıstica del operador ∂
∂t+vi ·
∂∂xi
. Suponiendo que vi satisface las condicionespara la existencia de una solucion unica de (4.6) para todo instante t,ver [Foias-85], setiene que para los instantes tn ≤ t ≤ tn+1.
Xi (xi, tn+1; tn) = xi −
∫ tn+1
tn
vi (X (x, tn+1; t) , t) dt (4.7)
Se puede probar que la ecuacion (4.7) define una transformacion continua de Ω ensı mismo: Ω −→ Ω, teniendo en cuenta que dado que dicha aplicacion se basa en la ve-locidad vi (X (x, tn+1; t) , t) hay que tener en cuenta las condiciones de contorno Dirichlethomogeneas para la velocidad. De esta manera para cualquier (xi, t) ∈ Ω × [tn, tn+1] ,sepuede integrar cualquier ecuacion de transporte a lo largo de las lıneas caracterısticas. Severa en el apartado siguiente un ejemplo practico realizado con la ecuacion de tranportepura y en el capıtulo cinco se hara una aplicacion a la ecuacion de transporte-difusion.
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Figura 4.2: Curva caracterıstica del movimiento.
4.4 Discretizacion de la ecuacion del transporte puro.
Supongase un campo escalar a (xi, t) definido en Ω× [0, T ] de modo que la magnitud a estransportada sin difusion mediante un campo de velocidades vi, de modo que se cumplela ecuacion del transporte puro:
Da (xi, t)
Dt= 0 (4.8)
A continuacion se integrara la ecuacion (4.8) a lo largo de las lineas caracterısticasentre los puntos (xi, tn+1) (nodos pertenecientes a la malla) y (Xi, tn) (conocido como piede las caracterısticas), los pies de las caracterısticas no son puntos que esten situados en
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los nodos sino en cualquier lugar de Ω, de modo que la relacion entre ambos puntos estadefinida a traves de la ecuacion (4.7). Realizando dicha integracion:
a (xi, tn+1) = a (Xi, tn) (4.9)
Esta ecuacion reproduce la misma informacion que ya contenıa (4.8) y que no es otraque la magnitud a (x, t) se mantiene constante a lo largo de las curvas caracterısticas,esto se interpreta facilmente dado que es la derivada sustancial de a lo que es igual acero, es decir la derivada siguiendo a la partıcula se anula y por lo tanto el valor de lamagnitud a en dos puntos de dicha curva caracterıstica como el nodo (xi, tn+1) y el piede la caracterıstica de dicho nodo (Xi, tn) debe ser el mismo.
En la ecuacion (4.9) se desea calcular el lado derecho y atribuırselo a a (xi, tn+1), odicho de otra manera se desea calcular en tn y transportar dicha informacion hacia elfuturo en tn+1. Para calcular a (Xi, tn) se hara una interpolacion del valor del campo aen el pie de la caracterıstica Xi,esto se escribe:
a (Xi, tn) =nodosE∑
j=1
aj (tn) · φj (Xi) (4.10)
Esto significa que la interpolacion se extiende a todos los nodos del elemento E quecontenga a Xi,a este numero de nodos por elemento se llamara nodosE.
Por lo tanto se realizara la interpolacion mediante los elementos finitos evaluando lasfunciones base en los pies de las caracterısticas Xi y multiplicandolas por el valor de lafuncion a en los nodos de dicho elemento aj (tn) .
La solucion obtenida por los metodos de interpolacion es en general no conservativa,y si su grado es mucho mayor que uno, las soluciones adquieren fuertes oscilaciones en lasvecindades de las regiones con variaciones espaciales rapidas. Bermejo y Staniforth in-ventaron el esquema QMSL, ver [Ber-Stan-92],para suprimir tales oscilaciones y devolvera la solucion numerica las mismas propiedades que tenıa la solucion exacta, el unico in-conveniente del esquema QMSL es que no tiene conservacion de la masa. En cualquiercaso hay trabajos realizados en la linea de adicionar la propiedad de conservacion de lamasa al esquema QMSL, ver [Ber-Con-00].
El esquema QMSL parte de (a1 (tn) , a2 (tn) , ....., anodosE (tn)) como los valores de lasolucion aproximada en los nodos del elemento donde esta localizado el pie de la carac-terıstica en el instante tn. Sean:
A+ = max (a1 (tn) , a2 (tn) , ....., anodosE (tn))
A− = min (a1 (tn) , a2 (tn) , ....., anodosE (tn))
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Por lo tanto A+ (A−) es el maximo(mınimo) local de los nodos que rodean al pie dela caracterıstica en tn. Los pasos, para cada instante tn+1 y para cada nodo de la mallaxi son:
1)Se calcula el pie de la caracterıstica y se identifica el elemento donde esta localizado.
2)Se calcula con funciones base cuadraticas aH (Xi, tn) empleando una interpolacionsimilar a la expresada en la ecuacion (4.10)
3)Calcular A+ y A− como se definio anteriormente.
4)Estimar:
a (Xi, tn) = A+ si aH (Xi, tn) > A+
a (Xi, tn) = A− si aH (Xi, tn) < A−
a (Xi, tn) = aH (Xi, tn) cualquier otro caso.
Lo primero que habra que calcular por tanto seran los pies de las caracterısticas Xi
en tn (ver figura 4.3),este es un paso de gran importancia dentro de nuestro esquemanumerico. Esta etapa se debe llevar a cabo de forma cuidadosa ya que es necesariopara mantener el orden de precision, ver [Bermej-SI-95]. En estos analisis se indicaque X (x, tn+1; tn) debe ser calculado con un error al menos de un orden superior queel algoritmo utilizado para aproximar la solucion a (xi, tn+1). Algunos autores calcu-lan X (x, tn+1; tn) mediante un esquema de Runge-Kutta explıcito de segundo orden,pero realmente se ha encontrado que no es un metodo suficientemente exacto como paramantener a la partıcula en su trayectoria curva. Una posibilidad es tambien utilizar unesquema de Runge-Kutta explıcito de cuarto orden, pero se tiene el inconveniente de ten-er que extrapolar la velocidad para tn+ 1
2y tn+1. En el contexto de los elementos finitos
se han propuesto esquemas explıcitos Eulerianos de primer orden para este calculo, ver[Pironn-82]. En este trabajo se usara un metodo propuesto por Temperton y Staniforth,ver [Temp-87], basado en esquemas semi-Lagrangianos para la integracion de ecuacionesmetereologicas. Para el calculo definitivo de X (x, tn+1; tn) hay que acompanar este esque-ma de un metodo de busqueda y localizacion de puntos en un mallado, esta combinacionda lugar a un esquema de calculo eficiente y preciso.
Si se fija la atencion sobre la ecuacion (4.7),en este momento se esta especialmente in-teresado en calcular los Xi (x, tn+1; tn) correspondientes a los puntos de la malla xi
NUMNODi=1 .
Dado que la ecuacion (4.7) tiene solucion unica para cada xi,se puede afirmar que hayun unico punto Xi (xi, tn+1; tn) en Ω,asociado al nodo xi. En general Xi (xi, tn+1; tn) nocoincidira con la posicion espacial de un nodo de la malla, de modo que para saber sobreque elemento se encuentra dicho punto se tendra que localizar el elemento de la malla
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donde se encuentre. El esquema que se utilizara en este trabajo es sencillo y eficaz,pudiendose ver en detalle en [Alli-Ber-97], a partir de ahora dicha rutina de busqueda ylocalizacion sera llamada subrutina SLALG.
Para el calculo en sı de Xi (xi, tn+1; tn) ,se define un vector αi (ver figura 4.4) tal que:
αi = xi − Xi (xi, tn+1; tn) (4.11)
Figura 4.3: Situacion del pie de la caracterıstica.
Si se aproxima la integral de la ecuacion (4.7) mediante la regla del punto medio, setiene que:
αi = ∆t · vi
(Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
), tn+ 1
2
)+ O
(∆t3
). (4.12)
Siendo Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)es el punto medio del arco que une los puntos (xi, tn+1) y
(Xi (xi, tn+1; tn) , tn). Desarrollando por Taylor la curva caracterıstica se puede por tantoescribir:
xi = Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)+
∂
∂tXi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)·∆t
2+ O
(∆t2
). (4.13)
31
Recuerdese que :
∂
∂tXi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)= vi
(Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
), tn+ 1
2
)(4.14)
Por lo tanto la expresion anterior nos queda:
xi = Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)+ vi
(Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
), tn+ 1
2
)·∆t
2+ O
(∆t2
)= (4.15)
= Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)+ αi ·
1
2+ O
(∆t2
)
Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
)= xi −
1
2αi + O
(∆t2
). (4.16)
y
vi
(Xi
(xi, tn+1; tn+ 1
2
), tn+ 1
2
)= vi
(xi −
1
2αi, tn+ 1
2
)+ O
(∆t2
)(4.17)
Figura 4.4: Vector alpha.
32
Sustituyendo (4.16) en (4.12) se llega a:
αi = ∆t · vi
(xi −
1
2αi, tn+ 1
2
)+ O
(∆t3
)(4.18)
Debe notarse que la velocidad esta calculada en el instante tn+ 1
2. De modo que para
evaluarla hay que utilizar una formula de extrapolacion, en este caso se utilizara deAdams-Bashford recomendada por Temperton y Staniforth en [Temp-87], llegandose a:
vi
(x, tn+ 1
2
)=
3
2· vi (x, tn) −
1
2· vi (x, tn−1) + O
(∆t2
)(4.19)
El algoritmo propuesto para calcular αi se trata de lo siguiente:
Se parte de:
α0i = ∆t
[3
2· ui (x, tn) −
1
2· ui (x, tn−1)
](4.20)
Tras calcular α0i , para k=0,1,....
α(k+1)i = ∆t
[3
2· ui
(xi −
1
2α
(k)i , tn
)−
1
2· ui
(xi −
1
2α
(k)i , tn−1
)](4.21)
El error que se deriva de este algoritmo se puede estudiar del siguiente modo, sean:
e(k)i = αi − α
(k)i
e(k) = max∣∣∣e(k)
i
∣∣∣
A partir de las ecuaciones (4.19), (4.21) y un desarrollo de Taylor se puede demostrarque:
e(k+1) ≤1
2K ∆t e(k) (4.22)
33
Figura 4.5: Pie de la caracterıstica y nodos en el mallado.
Donde K=max∣∣∣ ∂ui
∂xj
∣∣∣. Por tanto, si K ∆t es suficientemente pequeno, se puede afirmar
a partir de esta ultima desigualdad que despues de pocas iteraciones (tres o cuatro) sepuede aproximar αi hasta orden O (∆t3) .
Desde este momento se utilizara la notacion Xnh para aproximar el valor de los pies
de las caracterısticas Xh (x, tn+1; tn). Para referirse al pie de la caracterıstica correspon-diente al nodo i de la malla x = xi, se hara mediante Xn
hi. Claramente los pies de lascaracterısticas de interes son aquellos asociados a los puntos de la malla xi
MVi=1 . Siendo
MV el numero total de nodos cuadraticos. Segun la ecuacion (4.11) se puede escribir:
Xnhi = xi − αhi (4.23)
donde los αhi son calculados en el proceso iterativo descrito anteriormente.
α(k+1)hi =
∆t
2
[3 · un
h
(xi −
1
2α
(k)hi
)− un−1
h
(xi −
1
2α
(k)hi
)](4.24)
Los valores unh
(xi −
12α
(k)hi
)y un−1
h
(xi −
12α
(k)hi
)se calculan por interpolacion numerica
mediante elementos finitos segun la expresion:
34
unh (x) =
MV∑
j=1
Unj φj (4.25)
Debe tenerse en cuenta que para llevar a cabo tal interpolacion y por lo tanto parapoder calcular α
(k+1)hi , debe identificarse el elemento donde el punto xi −
12α
(k)hi esta loca-
lizado (ver figura 4.5). Esta busqueda de un punto interior a un elemento, como ya se hadicho antes, es una parte importante del codigo y debe realizarse con eficacia y precision.Un algoritmo de busqueda y localizacion debe ser desarrollado especialmente para estatarea de modo que todos los pies de las caracterısticas puedan ser localizados dentro dealgun elemento y tambien sean conocidas las coordenadas locales del pie de la carac-terıstica dentro de ese elemento. La subrutina Slalg desarrollada por Allievi y Bermejoen [Alli-Ber-97] permite identificar los elementos huesped de cada partıcula fluida en lospies de su caracterıstica, tambien nos proporciona como es necesario las coordenadas lo-cales del pie de la caracterıstica dentro de ese elemento. La subrutina Slalg hace uso delmetodo de Newton para invertir la aplicacion biyectiva entre el elemento de referencia yun elemento dado de la malla, junto con ello utiliza un criterio de movimiento para ir deelemento a elemento de la malla. Por lo tanto para calcular a∗n
h (x) = anh (Xn
h ) se procededel siguiente modo:
a∗nh (x) =
MV∑
j=1
A∗nj φj (x) (4.26)
Donde los valoresA∗n
j
son los valores que toma la funcion a en los nodos de la malla
en el instante tn. Un analisis teorico del procedimiento de interpolacion para el calculode a∗n
h (x) fue presentado por Bermejo en [Bermej-SI-95]. A diferencia de los esquemasconvencionales de combinacion del metodo de las caracterısticas con Galerkin en los quese calcula a∗n
h (x) mediante una proyeccion L2 sobre el espacio de velocidades Vh,aquı lacombinacion se realiza de un modo que es claramente menos caro computacionalmentede conseguir.
El pseudocodigo que resume todo este procedimiento es el siguiente:
Supongase conocido:
MV:numero de nodos de velocidad.n:numero de nodos de velocidad por elemento.NODES:matriz de nodos en cada elemento.VECEL:tabla de elementos vecinos de un elemento dado.ITFCH:numero maximo de iteraciones para el calculo de los pies de las caracterısticas.V n
j , V n−1j :valores de la velocidad en los nodos de la malla en los instantes tn y tn−1.
Anj :valores de la funcion escalar a en los nodos de la malla en el instante tn.
xi:coordenadas e los puntos de la malla.
35
ǫ1:tolerancia para la convergencia en el calculo de los pies de las caracterısticas.NE: vector que contiene el elemento ie que alberga al pie de la caracterıstica asociado
a cada nodo.XX: vector que contiene las coordenadas locales de los pies de las caracterısticas.
La primera parte del pseudocodigo lo que hace es calcular los valores extrapolados dela velocidad vi de acuerdo a la ecuacion (4.19),los valores de α
(0)i a traves de la ecuacion
(4.20) y las coordenadas xi = xi −12α
(0)i
for i = 1, ....,MV doVi ←
12
(3Un
i − Un−1i
)
zi ← ∆tVi
xi ← xi −12zi
end do.
La segunda parte del pseudocodigo muestra la manera de tratar la ecuacion (4.21).Recuerdese que la funcion Slalg es capaz de identificar el elemento huesped de los puntosxi = xi −
12αi a partir de los siguientes datos: xi,NODES,VECEL, de modo que devuelve
un vector NE y un vector XX con los elementos huesped y las coordenadas locales dentrode cada elemento. Con esta informacion se itera desde k=1,2,....,ITFCH en la ecuacion(4.21) hasta conseguir la convergencia para un cierto αk
i . Para cada paso k , se lleva acabo la interpolacion mediante elementos finitos mediante una expresion del tipo si =si + ∆tVi
iejφj (x) , siendo Viiej la componente i de la velocidad del nodo j del elemento
huesped ie, y φj (x) el valor de la funcion base del nodo j en el pie de la caracterıstica x.Finalmente el objetivo es la convergencia en el calculo de los pies de las caracterısticas.
36
for k=1,....,ITFCH docall Slalg(xi,NODES,VECEL, NE, XX)
for i=1,2,....,MV doie=VECEL(i)s=0.0
for j=1,2,....,n doiej=NODES(ie,j)s=s+∆tViejφj (xi)end do
xi ← send do
if max|xi − zi| > ǫ1
for i=1,2,.....,MV dozi ← xi
xi ← xi −12zi
end doELSE
for i=1,2,.....,MV dozi ← xi
xi ← xi − zi
end dooutput xi
end ifend do
Una vez lograda la convergencia y por lo tanto calculados los pies de las caracterısticas,en el ultimo paso del pseudocodigo se describe el procedimiento para calcular la funciona en los pies de las caracterısticas a∗n
h (x) = anh (Xn
h ) de acuerdo a la ecuacion (4.9).
call Slalg(xi,NODES,VECEL, NE, XX)for i=1,2,....,MV doie=VECEL(i)s=0.0
for j=1,2,....,n doiej=NODES(ie,j)s=s+∆tAn
iejφj (xi)end do
An−1i ← An
i
A∗ni ← s
end dooutput A∗n
i
37
En [Glow-Pir-92] Pironneau y Glowinski desarrollan este metodo de la caracterısticascon la diferencia del calculo de los pies de la caracterısticas Xn
h , el procedimiento que allıse realiza se base en el seguimiento de las lıneas de corriente en el mallado, que tiene elinconveniente como se reconoce en el artıculo de saber decidir cual es el siguiente elementoque la caracterıstica debe cruzar, cosa que obliga a una programacion extremadamentecuidadosa.
Figura 4.6: Posicion inicial del cono de altura 1.
4.5 Ejemplos numericos.
Se resolvera como ejemplo de la ecuacion de transporte puro un problema de transportede una superficie conica mediante un campo de velocidades definido unicamente por unarotacion con velocidad constante ω alrededor de un eje fijo en el espacio.
Sea un campo escalar a (xi, t) que representa la altura de un cono definido en Ω×[0, T ]donde la magnitud a es transportada sin difusion mediante un campo de velocidades vi,demodo que se cumple la ecuacion del transporte puro:
Da (xi, t)
Dt= 0 =⇒ a (xi, tn+1) = a (Xi, tn) (4.27)
38
Figura 4.7: Posicion final tras una vuelta, caso lineal, altura final 0.41478.
El cono queda definido matematicamente por:
a(r, 0) =
H ·
(1 − r
R
)r ≤ R
0 r > R
(4.28)
Siendo r2 = (x − x0)2 + (y − y0)
2
Donde (x0, y0)son las coordenadas del centro del cono.
Los parametros R y H son el radio y la altura respectivamente del cono.
La velocidad de un punto de la base del cono de coordenadas (x1, x2) donde lascoordenadas del centro de la base del cono son (x0, y0) cumple que:
vi = ξijk ωjxk (4.29)
Por lo tanto
v1 = −ωx2 (4.30)
v2 = ωx1
39
Figura 4.8: Posicion inicial, caso cuadratico, altura del cono =1.
Al tratarse de un campo de velocidades estacionario las expresiones (4.20) y (4.21) sepueden reducir a :
α0i = ∆t
[3
2· vi (x) −
1
2· vi (x)
]= ∆t · vi (x) (4.31)
Tras calcular α0i , para k=0,1,....
α(k+1)i = ∆t
[3
2· vi
(xi −
1
2α
(k)i
)−
1
2· vi
(xi −
1
2α
(k)i
)]= (4.32)
= ∆t · vi
(xi −
1
2α
(k)i
)(4.33)
El campo de velocidades vi cumple que su divergencia es nula. Se trabajara conuna malla uniforme de espaciado h=0.01, el incremento de tiempo considerado es ∆t =1800s,y la velocidad angular ω = 0.3636 · 10−4s−1. Se tomara (x0, y0) = (−14h, 0) yR=8h. Es facil calcular que el numero de pasos de tiempo para dar una vuelta completaes 96.
40
Figura 4.9: Posicion final tras una vuelta, caso cuadratico, altura final 0.9137
A continuacion se muestran una serie de vistas tridimensionales del cono tras unarevolucion completa. Un primer experimento se realizo a traves del esquema QMSL einterpolacion cuadratica (ver figuras 4.8 y 4.9) , otro se realizo tambien mediante QMSLe interpolacion lineal(ver figuras 4.6 y 4.7) y por ultimo se resolvio este mismo problemamediante un esquema explıcito tipo Leap-Frog (figura 4.10).
Se puede observar que en los tres experimentos llevados a cabo los resultados son biendistintos: en el primer caso, aplicacion del metodo de las caracterısticas con funcionesbase lineales, el cono pierde bastante altura y se deforma mucho tras una vuelta pasandode tener altura unidad a tener 0.41478 (ver figura 4.7), en el segundo caso y tambienmediante el metodo de las caracterısticas pero ahora con funciones base cuadraticas, losresultados son buenos consiguiendose poca perdida de forma y apenas perdida de altura(ver figura 4.9), en el ultimo caso con un esquema explıcito tipo Leap-Frog la mallaadquiere mucha difusion aunque el cono apenas pierda altura y forma(ver figura 4.10).
41
Figura 4.10: Posicion final tras una vuelta segun el esquema Leap-Frog.
42
Capıtulo 5
Ecuacion de transporte y difusion.
5.1 Transporte y difusion de Fluidos.
En multiplicidad de casos algunas de las magnitudes que se estudian en Mecanica deFluidos ademas de ser transportadas por un cierto campo de velocidades experimen-tan una cierta difusion o disipacion en su evolucion. Sin ir mas lejos la cantidad demovimiento en la ecuaciones de Navier-Stokes sufre difusion debido a la viscosidad, oincluso la concentracion de un cierto contaminante sufre difusion cuando se le inyecta auna corriente fluida. Por otro lado ya que esta ecuacion contiene terminos similares alos que contienen las ecuaciones de Navier-Stokes, su manejo nos acerca mucho a nuestroverdadero objetivo, sin por ello dejar de ver diferencias como el hecho de que es unaecuacion lineal y por lo tanto mas sencilla que Navier-Stokes. Respecto a su tratamientonumerico es necesario decir que historicamente se han tenido dificultades para suavizardiscontinuidades en las direcciones normales al flujo. Los tıpicos esquemas Eulerianosno funcionan adecuadamente debido a que la discretizacion espacial de la ecuacion porelementos finitos da lugar a un sistema de ecuaciones lineal mal condicionado si el pasotemporal no es suficientemente pequeno. Hay que ir por lo tanto a un metodo como elmetodo de las caracterısticas haciendo uso de una discretizacion espacial por Galerkinpara resolver dicha dificultad.
La ecuacion general de una magnitud fluida escalar definida en el espacio-tiempoa (xi, t) mediante un campo de velocidades vi (xi, t) tambien definido en el espacio-tiempoque se transporta con difusion es:
.∂a
∂t︸︷︷︸Termino
local
+ vi ·∂a
∂xi︸ ︷︷ ︸Termino
convectivo
= ν∂2a
∂x2i︸ ︷︷ ︸
Terminodifusivo
(5.1)
43
Recordando la expresion del operador derivada sustancial :
D
Dt=
∂
∂t+ vi ·
∂
∂xi
(5.2)
La anterior ecuacion nos queda:
Da
Dt= ν
∂2a
∂x2i
(5.3)
A esta ecuacion sera denominada Ecuacion de Transporte-Difusion. Como es obvio,esta ecuacion necesita de unas condiciones de contorno y una condicion inicial para serun problema bien planteado, la condicion sera llamada a0 (x, 0) .
5.2 Discretizacion temporal de la ecuacion de tran-
porte y difusion.
Supongase un campo escalar a (xi, t) definido en Ω× [0, T ] de modo que la magnitud a estransportada con difusion mediante un campo de velocidades ui,de modo que se cumplela ecuacion del transporte-difusion:
Da (xi, t)
Dt= ν
∂2a (xi, t)
∂x2i
(5.4)
A continuacion se integrara la ecuacion (5.4) a lo largo de las lıneas caracterısticasentre los puntos (xi, tn+1) (nodos pertenecientes a la malla) y (Xi, tn) (conocido como piede las caracterısticas), los pies de las caracterısticas no son puntos que esten situados enlos nodos sino en cualquier lugar de Ω, de modo que la relacion entre ambos puntos estadefinida a traves de (4.7). Realizando dicha integracion:
∫ a(xi,tn+1)
a(Xi,tn)
da (x, t) =
∫ tn+1
tn
ν∂2a (xi, t)
∂x2i
dt (5.5)
a (xi, tn+1) − a (Xi, tn) =
∫ tn+1
tn
ν∂2a (xi, t)
∂x2i
dt (5.6)
Aplicando la regla de cuadratura del trapecio al termino de difusion:
44
a (xi, tn+1) = a (Xi, tn) +1
2·
(∂2a (xi, tn+1)
∂x2i
+∂2a (Xi, tn)
∂x2i
)ν · t. (5.7)
Esta ecuacion reproduce la misma informacion que ya contenıa (5.4) y que no es otraque la magnitud a (x, t) varıa a lo largo de las curvas caracterısticas en la medida que selo marca el termino de difusion, ahora la derivada sustancial de a lo que es distinta decero, es decir la derivada siguiendo a la partıcula no es nula y por lo tanto el valor de lamagnitud a en dos puntos de dicha curva caracterıstica como el nodo (xi, tn+1) y el piede la caracterıstica de dicho nodo (Xi, tn) es distinto.
Ordenando la ecuacion anterior y mandando al lado izquierdo los terminos en tn+1
(terminos incognitas), mientras que se mantendra en el lado derecho todo lo que se evaluaen tn. :
a (xi, tn+1) −1
2ν · t ·
∂2a (xi, tn+1)
∂x2i
= a (Xi, tn) +1
2ν · t ·
∂2a (Xi, tn)
∂x2i
(5.8)
En la ecuacion (5.8) se puede hallar el lado derecho y calcular a (xi, tn+1) realizandola formulacion variacional que lleve a un sistema lineal de ecuaciones, o dicho de otramanera se tiene informacion en tn y transportar con difusion dicha informacion hacia elfuturo en tn+1. Tal y como se hizo antes,para calcular a (Xi, tn) se hara una interpolaciondel valor del campo a en un pie de la caracterıstica Xi,esto se escribe:
a (Xi, tn) =nodosE∑
j=1
aj (tn) · φj (Xi) (5.9)
Se podrıa llamar f a todo el termino derecho que es bien conocido en tn:
f (Xi, tn) = a (Xi, tn) +1
2ν · t ·
∂2a (Xi, tn)
∂x2i
(5.10)
Luego la ecuacion (5.8) queda:
a (xi, tn+1) −1
2ν · t ·
∂2a (xi, tn+1)
∂x2i
= f (Xi, tn) (5.11)
45
5.3 Discretizacion espacial de la ecuacion de trans-
porte y difusion.
Considerese el caso bidimensional en Ω ⊂ ℜ2 con condiciones de contorno Dirichlet :
−1
2ν · t · ∇2a + a = f en Ω (5.12)
a = g en Γ0.
a = a0(x, 0) inicialmente (5.13)
Los pasos necesarios para obtener una formulacion variacional del problema de con-torno (5.12) son:
1-se multiplica la ecuacion diferencial por una funcion φi i = 1, ..., N que se anuleen Γ0 (contorno tipo Dirichlet).
2-se integra sobre Ω.3-se aplica la formula de Green.
El resultado de todo ello es.
∫
Ω
(−
1
2ν · t · ∇2a + a
)· φi · dΩ =
∫
Ω
f · φi · dΩ (5.14)
∫
Ω
(1
2ν · t ·
∂a
∂xk
·∂φi
∂xk
+ a · φi
)dΩ −
∫
Γ0
1
2ν · t ·
∂a
∂nφi · dΓ =
∫
Ω
f · φi · dΩ (5.15)
Para la realizacion de la integral sobre Γ :
∫∂a
∂nΓ0
φi · dΓ = 0 dado que φi = 0 en Γ0
Se denotara V como el espacio de funciones que cumplen ser nulas en Γ,la formavariacional del problema es:
Encontrar a ∈ V tal que
h(a, φi) =∫Ω
fφidΩ ∀φ ∈ V
46
Siendo h(u, φi) =
∫
Ω
(1
2ν · t ·
∂u
∂xk
∂φi
∂xk
+ uφi
)dΩ
Si se restringe nuestra formulacion a un espacio de dimension finita con una baseφ1,φ2,φ3,.....φN .Se supondra que φi (Γ0) = 0 para i=1,2,...,N y se notara como VN alespacio generado por la base φ1,φ2,φ3,.....φN .
La formulacion variacional aproximada es:
Encontrar a ∈ VN tal que
h(a, φ) =∫Ω
fφdΩ ∀φ ∈ V
La solucion a, funcion de VN la se puede escribir como:
a (x) =N∑
j=1
αjφj (x) (5.16)
De donde se deduce el sistema de ecuaciones lineales de incognitas α1, α2, ...., αN :
∑
j=1
αj
1
2ν · t ·
∫
Ω
∂φj
∂xk
·∂φi
∂xk
dΩ +
∫
Ω
φjφidΩ
=
∫
Ω
f ·φi ·dΩ i = 1, 2, ..., N (5.17)
La aproximacion por elementos finitos puede ser definida del siguiente modo. Sesupondra que Ω es una region poligonal que se puede subdividir en un numero finito detriangulos que componen un mallado adecuado.
De esta manera se puede escribir una funcion cualquiera como:
a (x) =N∑
j=1
ajφj (x)
siendo aj = a(xj)
Dado que la solucion aproximada debe satisfacer las condiciones de contorno tipoDirichlet en Γ0, se fijaran los aj = g para aquellos valores de j para los cuales xj ∈ Γ0.
47
Una nueva enumeracion de los nodos dejando fuera los de valor nulo lleva a aproximarla solucion por la forma general:
a (x) =N∗∑
j=1
ajφj (x) (5.18)
Donde N∗ es el numero de nodos que no pertenecen a Γ0. Se llega tras todo esteproceso a un sistema final de ecuaciones algebraicas para a1, a2, ...., aN∗ .
En notacion matricial:
Aij aj = Fi (5.19)
Donde los elementos de la matriz Aij estan dados por:
Aij =1
2ν · t ·
∫
Ω
∂φj
∂xk
·∂φi
∂xk
dΩ +
∫
Ω
φjφidΩ (5.20)
El lado derecho viene dado por el vector Fi :
Fi =
∫
Ω
f · φi · dΩ (5.21)
Sustituyendo f por su valor, ver ecuacion (5.10):
Fi =
∫
Ω
(a (Xi, tn) +1
2ν · t ·
∂2a (Xi, tn)
∂x2i
) · φi · dΩ (5.22)
Es sencillo ver que la matriz A es una matriz definida positiva y dispersa (sparse)pudiendo tener una estructura en banda si la numeracion de los nodos fuese apropiada.
Se ha comprobado como en un caso 2D con condiciones de contorno tipo Dirichletque la combinacion del metodo de Galerkin y el Metodo de los Elementos Finitos llevaa un sistema de ecuaciones lineal con buenas propiedades numericas. En este caso no seha escrito una formulacion variacional del problema y se ha trabajado directamente conel problema de contorno.
El sistema de ecuaciones resultante tiene una matriz dispersa (sparse) y un conjuntode propiedades que pueden ser probadas facilmente, se puede decir que dicha matriz essimetrica, definida positiva y con estructura en banda.
Hay que notar que en este caso el campo de velocidades es un dato del problema demodo que el problema no tiene retroalimentacion ninguna.
48
Figura 5.1: Posicion inicial de los frentes
5.4 Ejemplo numerico.
El problema que se tratara de resolver a continuacion en el fenomeno de transportey difusion que sufren dos frentes que viajan a diferentes velocidades de modo que seencuentran y se funden en uno solo. La velocidad maxima de ambos frentes esta a lolargo de la diagonal principal del cuadrado Ω que se elegira como dominio. Este problematiene solucion propuesta por Krishnamachari et al. en [Krisna-89] y representa un testmuy interesante para ilustrar el comportamiento de distintos esquemas numericos.
Para comprobar el correcto funcionamiento de nuestro codigo, se resolvio el siguienteproblema:
∂a
∂t+ u(x, t) ·
∂a
∂x+ v(y, t) ·
∂a
∂y= ν
∂2a
∂x2i
en Ω × (0, T ] (5.23)
a (Γ) = u(xΓ, t) · v(yΓ, t) en Γ × (0, T ] (5.24)
Donde el valor inicial de la funcion a es:
a(x, y, 0) = u(x, 0) · v(y, 0) (5.25)
y el valor de las condiciones de contorno, que varıan con el tiempo:
49
Figura 5.2: Evolucion en t=0.2 s.
vi(ξ, t) =0.1e−Ai + 0.5e−Bi + e−Ci
e−Ai + e−Bi + e−Cii = 1 (ξ = x) , 2 (ξ = y) (5.26)
Ai =0.05
ν(ξ − 0.5 + 4.95t) (5.27)
Bi =0.25
ν(ξ − 0.5 + 0.75t) (5.28)
Ci =0.5
ν(ξ − 0.375) (5.29)
La solucion analıtica viene dada por:
a(x, y, t) = u(x, t) · v(y, t) (5.30)
Los parametros utilizados en este problema son:
∆x = ∆y =1
31
ν = 5 · 10−4m2s−1
50
∆t = 5 · 10−2s
T = 0.6s
Los resultados obtenidos al implementar el codigo de elementos finitos y el metodode las caracterısticas haciendo uso de una interpolacion de segundo orden Lagrangianase muestran a continuacion.
El dominio de resolucion del problema es un cuadrado de lado unidad centrado enel punto (0.5,0.5) que ha sido mallado de forma estructurada mediante cuadrilateros delado ∆h = 1
31.
Figura 5.3: Situacion en t=0.4 s.
En el artıculo [Berm-99] se puede comparar el metodo semi-Lagrangiano de inte-gracion de este tipo de ecuaciones con otros esquemas Eulerianos implıcitos tipo Crank-Nicolson, el resultado de esta comparacion es que tanto a simple vista como mediantela computacion de los errores de cada metodo a lo largo de la diagonal del dominio lasolucion que se obtiene a partir de un esquema semi-Lagrangiano es mas precisa que des-de la perspectiva Euleriana. En el caso semi-Lagrangiano los errores estan concentradosen estrechas regiones alrededor de los dos escalones que representan los frentes, mientrasque lejos de esas regiones los errores son muy pequenos. Esto se aprecia razonablementebien en las instantaneas tomadas de la simulacion del proceso, ver figuras 5.1, 5.2 y 5.3.
51
Por el contrario en el esquema Euleriano se producen estelas de error tras los gradientesde la funcion escalar a , que aparecen distribuidos sobre anchas regiones.
Los videos elaborados a partir de las soluciones de este problema con distintos ma-llados se pueden encontrar en el CD adjunto a esta tesis. (Se recomienda leer el archivoleame.txt del CD o el Apendice III de esta tesis donde se encuentran las instruccionesadecuadas para la visor de videos)
52
Capıtulo 6
Metodo del gradiente
conjugado.Problema de Stokes.
6.1 Introduccion.
Mediante la aplicacion del metodo de las caracterısticas descrito en el capıtulo 4 se ob-tiene la discretizacion temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes llegando a algo conforma identica a las ecuaciones de Stokes. Para ello basta con multiplicar la ecuacionde conservacion de la cantidad de movimiento por dt e integrar entre tn+1(instante pre-sente) y tn(pasado) a lo largo de las curvas caracterısticas, realizando a continuacion laevaluacion de las integrales que aparecen mediante distintas reglas de cuadratura.
Recordando las ecuaciones de Navier-Stokes presentadas en el capıtulo 2. Sea Ω ⊂Rd (d = 2, 3) un dominio abierto con una frontera Γ suficientemente suave. Supongaseque en la frontera se comparten condiciones de contorno de tres tipos de modo que seconsiderara el contorno dividido en tres partes ΓD, ΓS y ΓN tal que Γ = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓS yque tambien satisfacen que ΓD∩ΓN∩ΓS = ∅. Las ecuaciones que describen el movimientotransitorio de un fluido newtoniano incompresible son:
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (6.1)
Dvi
Dt=
−1
Fn2· δiz −
∂p
∂xi
+1
Re
∂2vi
∂x2j
en Ω × (0, t) (6.2)
Estas ecuaciones se resuelven de acuerdo a las siguientes condiciones iniciales y decontorno:
vi = vDirichleti en ΓD × (0, t) (6.3)
53
τijnj = −pni + µ∂vi
∂n= 0 en ΓN × (0, t) (6.4)
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω × (t = 0) (6.5)
vi · ni = 0∂ (vi · ti)
∂n= 0 en ΓS × (0, t) (6.6)
Donde −→n es el vector unitario normal saliente al contorno Γ.
A la parte del contorno ΓS se le dara un tratamiento casi analogo al de ΓD ya quelo que se hara es extrapolar en el tiempo el valor de la componente tangencial de lavelocidad en un punto situado a una cierta distancia h en direccion normal al contornoΓS y obligar a que esta sea la velocidad en el contorno. De esta manera automaticamentese esta asegurando que vi · ni = 0 . La otra condicion es equivanente a :
∂ (vi · ti)
∂n= 0 =⇒ vt (−→x ∈ ΓS) = vt (−→x + h−→n ) (6.7)
Imponer esta condicion no es trivial pero se ha comprobado que extrapolando lavelocidad en el contorno en cada iteracion temporal a partir de valores anteriores develocidad e imponiendola allı como condicion de contorno tipo Dirichlet no homogenease obtienen buenos resultados y la condicion (6.7) se satisface. El valor de h se estimaen funcion del mallado realizado alrededor de ΓS.
Por esta razon a partir de este momento el problema se reducira a considerar exclusi-vamente ΓD y ΓN ya que es relativamente sencillo tratar las otras condiciones aplicadasen ΓS como petenecientes a ΓD tras un proceso de extrapolacion y tangencia.
La discretizacion temporal de estas ecuaciones se realiza suponiendo un intervalotemporal [0, T ] dividido en N subintervalos [tn, tn+1] de longitud ∆t, de modo que N∆t =T. Para cada intervalo se van a integrar las ecuaciones (6.1) − (6.5) a lo largo de lastrayectorias de las partıculas fluidas tal y como se explica a continuacion.
Tal y como se realizo en el capıtulo 3 se comienzan hallando los pies de las carac-terısticas mediante un proceso analogo al que allı se realizo, y se interpolan los valores dela velocidad en dichos pies de las caracterısticas. Para cualquier (xi, t) ∈ Ω× [tn, tn+1] ,seintegra la ecuacion (6.2) a lo largo de las caracterısticas para obtener:
tn+1∫
tn
dvi (xj, t) =
tn+1∫
tn
−1
Fn2· δiz · dt −
tn+1∫
tn
∂p
∂xi
· dt +
tn+1∫
tn
1
Re
∂2vi
∂x2j
· dt (6.8)
54
Figura 6.1: Condiciones de contorno tipo slip.
vi (xj, tn+1) = vi (Xj (x, tn+1; tn) , tn)+
tn+1∫
tn
−1
Fn2·δiz ·dt−
tn+1∫
tn
∂p
∂xi
·dt+
tn+1∫
tn
1
Re
∂2vi
∂x2j
·dt (6.9)
La evaluacion de estas integrales debe hacerse mediante alguna regla de cuadratura.De este modo se busca obtener un algoritmo de avance en el tiempo que nos permita irobteniendo soluciones suficientemente aproximadas de vn+1
i y pn+1. Hay un gran numerode autores que han propuesto diferentes maneras de integrar (6.9),se pueden poner dife-rentes ejemplos como [Pironn-82] o [Huff-9], o bien si se utilizase una regla de cuadraturaa primer orden en el lımite superior llevarıa a un tipo de esquema Euler con caracterısticahacia atras. Basandonos en un analisis de error optimo de [Bermej-SI-95], se propone unesquema que se obtiene mediante combinacion de la regla del trapecio para el terminoviscoso junto con la regla del lımite superior para la integral del termino de presion. Por lotanto se acaba obteniendo un esquema Crank-Nicolson con metodo de las caracterısticaspara la velocidad y un esquema implıcito de primer orden para la presion.
El esquema de integracion tendrıa la siguiente forma:
Dado un v0 (xi) ,para cualquier x ∈ Ω y n=0,1,.....,N.
1o-Calcular:
Xi (xi, tn+1; tn) = xi −
∫ tn+1
tn
vi (X (x, tn+1; t) , t) dt (6.10)
55
2o-Interpolar:
v∗n = vn (X(x, tn+1; t)) (6.11)
3o-Resolver:
vn+1i = v∗n
i +∆t
2
−1
Fn2· [δn+1
iz + δn+1iz (X (x, tn+1; tn))] − (6.12)
∂pn+1
∂xi
· ∆t +∆t
2 · Re[∂2vn+1
i
∂x2j
+∂2v∗n
i
∂x2j
]
∂vn+1i
∂xi
= 0 (6.13)
con las condiciones
vi = vDirichleti en ΓD (6.14)
τijnj = −pni + µ∂vi
∂n= 0 en ΓN (6.15)
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω (6.16)
La resolucion de este ultimo tercer paso es conocido como resolver el problema de
Stokes. La resolucion de este problema se desarrollara en el apartado siguiente.
6.2 Solucion iterativa del problema de Stokes.
6.2.1 Generalidades.
La discretizacion temporal del problema de Navier-Stokes mediante el metodo de lascaracterısticas nos lleva a la solucion del siguiente problema tipo Stokes.
vn+1i − β ·
∂2vn+1i
∂x2j
= v∗ni +
∆t
2
−1
Fn2δiz −
∂pn+1
∂xi
· ∆t+ (6.17)
56
+β∂2v∗n
i
∂x2j
en Ω
∂vn+1i
∂xi
= 0 en Ω (6.18)
vi = vDirichleti en ΓD
τijnj = −pni +1
Re
∂vi
∂n= 0 en ΓN
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω
donde se ha llamado:
β =1
2 · Re∆t. (6.19)
Para hacer mas sencilla la presentacion del procedimiento numerico en las seccionessiguientes se debe antes reformular el problema de Stokes en su formulacion variacional.Por lo tanto se definiran unos espacios donde se encuentra la solucion y se ampliara algola notacion. Sean los espacios:
Vg ⊂ H1 (Ω)d
V0 ⊂ H1 (Ω)d
que se definen:
Vg =
vi ∈ H1 (Ω)d | vi = vDirichleti en ΓD
V0 =
vi ∈ H1 (Ω)d | vi = 0 en ΓD
H1 (Ω)d es el espacio de Hilbert de vectores de funciones con primera derivada enL2 (Ω). Sea el espacio de presiones Q= L2 (Ω) /R definido como:
Q =[p] | ∀p, q ∈ L2 (Ω) p, q ∈ [p] =⇒ p − q = constante
57
Se debe notar que Q es un conjunto cociente cuyos elementos son clases de equivalenciade funciones L2 (Ω). A pesar de las posibles confusiones a las que pudiera dar lugardesde un punto de vista estricto, es costumbre llamar a cada clase de equivalencia porsu representante p. En particular cuando ΓD = ΓD ∪ ΓN y tambien se satisface queΓN = ∅,el conjunto Q se define:
Q = L20 (Ω) =
p ∈ L2 (Ω) |
∫
Ω
pdΩ = 0
Es decir que en el caso que la presion no aparezca en las condiciones de contorno enmodo alguno, o lo que es lo mismo todas las condiciones de contorno estan aplicadas sobrela velocidad, la presion solucion de las ecuaciones de Navier-Stokes queda indefinida salvoconstante aditiva, de modo que si p es solucion de dichas ecuaciones entonces p∗ = p+Ces tambien solucion ∀C ∈ ℜ. De modo que para fijar una solucion entre las infinitasposibles se le obliga a cumplir la condicion de:
∫
Ω
pdΩ = 0
Se introducira una notacion para el producto escalar de dos vectores de Q o de H1 (Ω)d
como:
(d, e) =
∫
Ω
d · e · dΩ
〈d, e〉Γ =
∫
Γ
d · e · dΓ.
Tambien se definiran las formas bilineales a y b como:
a : H1 (Ω)d × H1 (Ω)d → ℜ
a (u, v) = (u, v) + β (∇u,∇v) ∀u, v ∈ H1 (Ω)d
b : Q × H1 (Ω)d → ℜ
b (q, v) = (q,∇ · v) ∀q ∈ Q, v ∈ H1 (Ω)d
Definidas estas relaciones se esta capacitado para escribir la formulacion debil delproblema de Stokes:
58
Si se multiplica escalarmente a la ecuacion (6.17) por un vector w ∈ V0 y la ecuacion(6.18) por un vector q ∈ Q y se integra en Ω teniendo que:
∫
Ω
vn+1i · widΩ − β ·
∫
Ω
∂2vn+1i
∂x2j
· widΩ =
∫
Ω
v∗ni · widΩ +
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2δn+1iz · widΩ− (6.20)
−
∫
Ω
∂pn+1
∂xi
· ∆t · widΩ + β
∫
Ω
∂2v∗ni
∂x2j
· widΩ
∫
Ω
∂vn+1i
∂xi
· q · dΩ = 0 (6.21)
Aplicando derivacion por partes a las derivadas segundas y al gradiente de presion :
∂2vn+1i
∂x2j
· wi =∂
∂xj
(∂vn+1
i
∂xj
· wi
)−
∂vn+1i
∂xj
·∂wi
∂xj
∂2v∗ni
∂x2j
· wi =∂
∂xj
(∂v∗n
i
∂xj
· wi
)−
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
∂pn+1
∂xi
· wi =∂
∂xi
(pn+1 · wi
)− pn+1 ·
∂wi
∂xi
Sustituyendo y aplicando el teorema de Gauss en las derivadas totales :
∫
Ω
vn+1i ·widΩ−β
∫
Γ
∂vn+1i
∂xj
· wi · nj · dΓ + β
∫
Ω
∂vn+1i
∂xj
·∂wi
∂xj
·widΩ =
∫
Ω
v∗ni ·widΩ+ (6.22)
+
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2(δn+1
iz + δn+1iz (X (x, tn+1; tn)) · widΩ −
∫
Γ
(pn+1 · wi
)· ni · ∆t · dΓ+
+
∫
Ω
pn+1 ·∂wi
∂xi
· ∆tdΩ + β
∫
Γ
∂v∗ni
∂xj
· wi · nj · dΓ − β
∫
Ω
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
· widΩ
Observando la definicion de V0 y teniendo en cuenta que w ∈ V0,por lo que w = 0 enΓD.
59
∫
Ω
vn+1i · widΩ + β
∫
Ω
∂vn+1i
∂xj
·∂wi
∂xj
dΩ − β
∫
ΓN
(∂vn+1
i
∂xj
+∂v∗n
i
∂xj
)nj · wi · dΓN− (6.23)
−β
∫
ΓN
pn+1 · ni · 2Re · wi · dΓN =
∫
Ω
v∗ni · widΩ +
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2δn+1iz · widΩ+
+∆t
∫
Ω
pn+1 ·∂wi
∂xi
dΩ − β
∫
Ω
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
dΩ
Segun las definiciones anteriores esto se puede escribir como:
a(vi, wi) − ∆t · b(pn+1,∂wi
∂xi
) − β
∫
ΓN
(∂vn+1
i
∂xj
+∂v∗n
i
∂xj
)
︸ ︷︷ ︸·
[1]
nj · wi · dΓN−
−β
∫
ΓN
pn+1 · ni · 2Re · wi · dΓN =
∫
Ω
v∗ni · widΩ +
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2δn+1iz · widΩ− (6.24)
−β
∫
Ω
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
dΩ
Desarrollando en serie a lo largo de las curvas caracterısticas:
vn+1i = v∗n
i +∂v∗n
i
∂xk
· tk · ∆t + O(∆t2
)(6.25)
∂vn+1i
∂xj
=∂v∗n
i
∂xj
+∂
∂xj
(∂v∗n
i
∂xk
· tk
)· ∆t + O
(∆t2
)(6.26)
∂v∗ni
∂xj
=∂vn+1
i
∂xj
−∂
∂xj
(∂v∗n
i
∂xk
· tk
)· ∆t + O
(∆t2
)(6.27)
Por tanto el termino [1] queda:
∂vn+1i
∂xj
+∂v∗n
i
∂xj
= 2 ·∂vn+1
i
∂xj
−∂
∂xj
(∂v∗n
i
∂xk
· tk
)· ∆t + O
(∆t2
)(6.28)
60
Sustituyendo en la ecuacion (6.24) :
a(vi, wi) − ∆t · b(pn+1,∂wi
∂xi
) −
∫
ΓN
∆t
(1
Re
∂vn+1i
∂n− pn+1 · ni
)dΓN
︸ ︷︷ ︸[2]
− (6.29)
−
∫
ΓN
β∆t∂
∂n
(∂v∗n
i
∂xk
· tk
)· wi · dΓN
︸ ︷︷ ︸[3]
=
∫
Ω
v∗ni · widΩ +
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2δiz · widΩ−
−β
∫
Ω
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
dΩ
El termino [2] es nulo debido a la condicion de contorno aplicada sobre ΓN y el termino[3] se desprecia asumiendo que es un termino del orden ∆t2 por ir multiplicado por β∆t.Recordando por otro lado la ecuacion (6.21) queda por tanto:
a(vi, wi) − ∆t · b(pn+1,∂wi
∂xi
) = a (v∗ni , wi) −
∆t
2
1
Fn2· (δiz, wi) (6.30)
b(q, un+1
i
)= 0
Se puede demostrar, ver por ejemplo [Girault-86], que existe solucion unica de (6.30)que satisface la condicion inf-sup. Para obtener dicha solucion se ha utilizado en este tra-bajo el algoritmo del gradiente conjugado (CGA) empleado por Glowinski ,ver [Cahouet-88],[Dean-93] y [Brist-87], para obtener la solucion de (6.30).
Una vez se ha obtenido una formulacion debil del problema, este planteamiento semi-discreto(se ha discretizado en el tiempo pero aun no en el espacio) puede ser reescritoen un contexto de elementos finitos. Para aproximar la solucion (vi, p) ,se usaran ele-mentos finitos del tipo Taylor-Hood (elementos cuadraticos en la velocidad y lineales enla presion P2/P1). Para este tipo de elementos, tanto la velocidad como la presion soncontinuas sobre el contorno de cada elemento. Se sabe con certeza que para este tipo deelementos los campos discretizados de velocidad y presion satisfacen la condicion inf-sup,ver [Verf-84] y [Stenb-92].
61
Si ei y ej son dos elementos distintos de una particion regular en elementos finitos deun cierto dominio Ω,tales que cumplan alguna de las siguientes condiciones:
1-Que tengan interseccion nula, o bien2-Que tengan una arista o una cara (en el caso tridimensional) en comun, o bien3-Que tengan una nodo en comun.Los espacios de elementos finitos para velocidad y presion son:
Vh =
vh ∈ C0(Ω
)d|vh|ej
∈ P2 (ej) ∀j
Qh =
ph ∈ C0(Ω
)|vh|ej
∈ P1 (ej)∀j
Donde P2 (ej) y P1 (ej) son espacios de polinomios definidos sobre el elemento ej.Del mismo modo es util definir los espacios de dimension finita siguientes:
Vh0 =vh ∈ Vh | vh|ΓD
= 0
Qh =wh ∈ Qh | wh|ΓN
= 0
Si vi y p son suficientemente suaves, la solucion que se obtiene a traves del metodode elementos finitos vih y ph, satisfacen las siguientes cotas de error:
‖vi − vih‖0 + h ‖∇ (vi − vih)‖0 ≤ K1hs+1 ‖vi‖s+1
‖p − ph‖0 ≤ K2hr ‖p‖Hr/ℜ
Donde K1 y K2 son constantes, ‖·‖0 , ‖·‖s+1y ‖·‖Hr/ℜ son normas en los espacios de
Hilbert L2 (Ω) , Hs+1 (Ω) y Hr (Ω) /ℜ respectivamente. Esto significa que si vi y p sonsuficientemente regulares, luego (vih, ph)aproximan (vi, p)con error del orden de O(h3) envelocidad y O(h3) en presion.
Por otro lado para cada instante de tiempo tn, vih (x, tn) ∈ Vh satisfacen la condicionde Lipschitz, es decir, ∀x1, x2 ∈ Ω existe una constante L tal que:
max |vih (x1, tn) − vih (x2, tn)| ≤ L |x1 − x2|
Por lo tanto, para cualquier (x, tn) :
max |vih (x, tn)| ≤ ∞
Estas dos condiciones son importantes para poder aproximar la solucion unica en losnodos. La solucion en un punto cualquiera xi ∈ Ω a partir de lo obtenido en el calculopor elementos finitos es:
62
vnih (xi) = Un
j φj (xi)
pnih (xi) = P n
k wk (xi)
Siendo φj , wk los conjuntos de funciones base de Vh y Qh respectivamente, y Unj
y P nk los correspondientes valores en los nodos de la malla obtenidos en el instante tn a
partir del metodo de los elementos finitos.
6.2.2 Ecuacion funcional de la presion.
El objetivo en el este apartado es mostrar un metodo eficaz e iterativo para desacoplarpresion y velocidad en el problema de Stokes que se ha conseguido una vez se ha im-plementado el metodo de las caracterısticas en las ecuaciones de Navier-Stokes. Por lotanto, se recuerda el problema de Stokes definido a partir de las ecuaciones:
∫
Ω
vn+1i · widΩ − β ·
∫
Ω
∂2vn+1i
∂x2j
· widΩ =
∫
Ω
v∗ni · widΩ +
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2δiz · widΩ (6.31)
−
∫
Ω
∂pn+1
∂xi
· ∆t · widΩ + β
∫
Ω
∂2v∗ni
∂x2j
· widΩ
∫
Ω
∂vn+1i
∂xi
· q · dΩ = 0 (6.32)
Observando el sistema de ecuaciones se puede ver como la presion pn+1 y la veloci-dad vn+1
i estan claramente acopladas y no es facil conseguir que en ninguna de las cuatroecuaciones (tres de conservacion de la cantidad de movimiento junto con la de conser-vacion de la masa) aparezca una unica incognita de las cuatro existentes (3 velocidadesvn+1
i i = 1, 2, 3. y la presion pn+1).
Los distintos metodos utilizados para resolver este sistema son en su mayorıa iterativosy en el fondo no son mas que variantes del siguiente algoritmo:
Sea p0 ∈ L2 (Ω) dato y se llamara ’m’ al ındice del algoritmo de gradiente conjugadoque llevara la iteratividad del proceso:
Para m≥ 0,suponiendo pm conocido, el calculo desacoplado de la presion pm+1 y lavelocidad vm+1
i se realiza mediante las ecuaciones:
63
vm+1i ∈ Vg; ∀wi ∈ V0 se tiene:
∫
Ω
vm+1i · widΩ − β ·
∫
Ω
∂2vm+1i
∂x2j
· widΩ =
∫
Ω
v∗ni · widΩ +
∫
Ω
∆t
2
−1
Fn2δiz · widΩ− (6.33)
−
∫
Ω
∂pm
∂xi
· ∆t · widΩ + β
∫
Ω
∂2v∗ni
∂x2j
· widΩ
pm+1 = pm − ρ∂vm+1
i
∂xi
(6.34)
El cambio interesante es hacer que en la ecuacion (6.33) la presion deja de ser incognitay pasa a ser dato, por otro lado la ecuacion de incompresibilidad del fluido (∇ · −→v = 0)deja de aparecer explıcitamente y pasa a formar parte de la ecuacion (6.34) de modoque a medida que el campo de velocidades se va haciendo mas adivergente la presion vaconvergiendo y pm+1 = pm.
Si∂vm+1
i
∂xi
→ 0 =⇒ pm+1 ∼= pm.
Es decir la presion se va corrigiendo y se va aproximando a la correcta a medida quela divergencia de la velocidad va tendiendo a cero. El cambio va mucho mas alla, dadoque se ha conseguido que el sistema este por fin desacoplado en velocidad-presion auncuando sea necesario iterar para poder resolverlo.
El problema (6.33) es claramente equivalente a:
vm+1i − β
∂2vm+1i
∂x2j
= v∗ni +
∆t
2
−1
Fn2δiz −
∂pm
∂xi
· ∆t + β∂2v∗n
i
∂x2j
(6.35)
Llamando:
fi =1
∆tv∗n
i +1
2
−1
Fn2(δn+1
iz + δniz (X (x, tn+1; tn)) +
β
∆t
∂2v∗ni
∂x2j
(6.36)
Nos queda:
1
∆t· vm+1
i −1
2 · Re
∂2vm+1i
∂x2j
= fi −∂pm
∂xi
(6.37)
64
Con las condiciones de contorno:
vi = vDirichleti en ΓD (6.38)
τijnj = −pni +1
Re
∂vi
∂n= 0 en ΓN (6.39)
El algoritmo representado por las ecuaciones (6.33) y (6.34) ha sido estudiado analıti-camente por Glowinski, ver [Glowinski-84], llegando a la conclusion de que el sistema esconvergente siempre que:
Si 0 < ρ <1
Re · d⇒ lim
m→∞
vm+1
i , pm→ vi, p en
(H1 (Ω)
)d× L2 (Ω)
Donde vi, p es solucion de (6.17)-(6.18)
En el siguiente apartado se mostrara la resolucion de este tipo de problemas medianteel algoritmo del gradiente conjugado precondicionado cuyas propiedades de convergenciason buenas y uniformes con respecto a los valores de ∆t/Re. Es sabido que la convergenciadel algoritmo mejora a medida que el numero de Reynolds y el paso de tiempo ∆tdisminuyen.
Supongase Q = L2 (Ω) dado que la presion esa perfectamente definida por estar lapresion dentro de las condiciones de contorno.
Se define un operador A:Q −→ Q de la siguiente manera:
a)Para q∈ Q,se resuelve:
1
∆t· vq
i −1
2 · Re
∂2vqi
∂x2j
= −∂q
∂xi
en Ω (6.40)
vqi = 0 en ΓD. (6.41)
1
2 · Re
∂vqi
∂n= qni en ΓN. (6.42)
La formulacion variacional del problema (6.40) viene dada por:
vqi ∈ V0;∀φ ∈ V0 se tiene que:
1
∆t·
∫
Ω
vqi · φ · dΩ +
1
2 · Re
∫
Ω
∂vqi
∂xj
·∂φ
∂xj
· dΩ =
∫q
Ω
∂φ
∂xi
dΩ (6.43)
65
b)Se define A mediante la expresion:
Aq =∂vq
i
∂xi
(6.44)
Las propiedades del operador A son:
1. Es lineal: A (q + q′) = Aq + Aq′
2. Es simetrico y semidefinido positivo: esto se puede obervarclaramente sin mas que tomar φ = vq′
i y sustituir en (6.43) .
∫
Ω
q(Aq′)dΩ =1
∆t·
∫
Ω
vqi · v
q′
i · dΩ +1
2 · Re
∫
Ω
∂vqi
∂xj
·∂vq′
i
∂xj
· dΩ (6.45)
Haciendo q = q′ :
∫
Ω
q(Aq)dΩ =1
∆t·
∫
Ω
(vqi )
2 dΩ +1
2 · Re
∫
Ω
(∂vq
i
∂xj
)2
dΩ = (6.46)
=
∫q
Ω
∂φ
∂xi
dΩ = 0 =⇒ q = 0
Por lo tanto A es un operador definido positivo.
3. El operador es fuertemente elıptico. Se puede demostrar queexiste una constante c>0 tal que:
∫
Ω
q(Aq)dΩ ≥ c ‖q‖2L2(Ω) ∀q ∈ Q. (6.47)
Por otro lado se puede observar que la primera ecuacion de (6.40) se puede escribircomo:
(1
∆t−
1
2 · Re
∂2
∂x2j
)vq
i = −∂q
∂xi
(6.48)
Despejando vqi :
66
vqi = −
(1
∆t−
1
2 · Re
∂2
∂x2j
)−1∂q
∂xi
(6.49)
Tomando la divergencia de esta ecuacion, se llega a otra definicion del operador A:
Aq =∂vq
i
∂xi
= −∂
∂xi
(1
∆t−
1
2 · Re
∂2
∂x2j
)−1∂q
∂xi
(6.50)
.
6.2.3 Solucion del problema mediante gradiente conjugado.
El algoritmo matematico que se va a describir a continuacion tiene su justificacion teoricaen las publicaciones: [Cahouet-88], [Glow-90], [Brist-87] y [Glow-Le-89]. La idea delmetodo, debida a J.Cahouet, no es otra que la combinacion de dos residuos, uno paraRe/∆t ≫ 1(altos numeros de Reynolds) y otro mas adecuado para Re/∆t ≪ 1.
Suponiendo que en el contorno se tuvieran condiciones de contorno tipo Dirichlet ytipo Neumann; la variante del algoritmo del gradiente conjugado precondicionado apli-cado a (6.17) y (6.18) se describe del siguiente modo:
Lo primero es observar las condiciones de contorno y notar que no son homogeneas(se supondra vDirichlet
i 6= 0) en toda la frontera de modo que se deben homogeneizar sonlas condiciones de contorno tipo Dirichlet:
vi = vDirichleti en ΓD
τijnj = −pni +1
Re
∂vi
∂n= 0 en ΓN
Para ello se introduce un campo de velocidades v0i ∈ Vg solucion de:
v0i − β ·
∂2v0i
∂x2j
= ∆t · fi en Ω
v0i = vDirichlet
i en ΓD
1
Re
∂v0i
∂n= 0 en ΓN
Haciendo el cambio de variable: vi = vi − v0i se llega al problema:
67
vi − β ·∂2vi
∂x2j
=∂pm
∂xi
· ∆t en Ω (6.51)
vi = 0 en ΓD
1
Re
∂vi
∂n= pni en ΓN
donde:∂vi
∂xi
=∂ (vi − v0
i )
∂xi
= −∂v0
i
∂xi
A partir del problema del cual es solucion vi y la definicion del operador A dada atraves de (6.40) y (6.44). Se concluye que:
Ap = −∂v0
i
∂xi
(6.52)
o formulado variacionalmente:
p ∈ Q
∫
Ω
(Ap) q · dΩ = −
∫
Ω
∂v0i
∂xi
· q · dΩ (6.53)
Como se ha visto antes A es un operador simetrico y fuertemente elıptico de modoque el problema (6.52) , (6.53) puede ser resuelto por el algoritmo del gradiente conjugadooperando sobre Q.
Por lo tanto otra manera equivalente de escribir el algoritmo de resolucion serıa verla ecuacion (6.34) como:
pm+1 = pm − ρ
(Apm +
∂v0i
∂xi
)(6.54)
Esta ultima expresion (6.54) es de vital importancia ya que muestra como el algoritmoiterativo en el ındice m expresado en la ecuacion (6.34) no es otra cosa que un metododel gradiente de paso ρ aplicado al problema (6.52) , (6.53) .
El algoritmo de calculo aplicado al problema (6.52) , (6.53) es como sigue:
Dado p0 ∈ Q :
68
v0i − β ·
∂2v0i
∂x2j
= ∆t · fi −∂p0
∂xi
en Ω (6.55)
v0i = vDirichlet
i en ΓD
1
Re
∂v0i
∂n= p0ni en ΓN
Llamando
g0 =∂v0
i
∂xi
w0 = g0.
Para m≥ 0 y suponiendo pm, vmi , gm, wm son conocidas, se pueden calcular pm+1,
vm+1i ,gm+1, wm+1 de la siguiente manera:
vim − β ·
∂2vim
∂x2j
= −∂wm
∂xi
en Ω (6.56)
(6.57)
vim = 0 en ΓD
(6.58)
1
Re
∂vim
∂n= wmni en ΓN
Llamando:
gm =∂vi
m
∂xi
Se calcula ahora:
ρm =‖gm‖2
L2(Ω)∫Ω
wm·gmdΩ
pm+1 = pm − ρmwm
69
vm+1i = vm
i − ρmvim
gm+1 = gm − ρmgm
Dado este paso se puede hacer una estimacion de la convergencia del algoritmo. Demodo que si:
‖gm+1‖2L2(Ω)
‖g0‖2L2(Ω)
≤ ε =⇒ Se acepta como solucion vi = vm+1i y p = pm+1.
En caso contrario se calcula:
γm =‖gm+1‖
2L2(Ω)
‖gm‖2L2(Ω)
y se renuevan wm+1 y gm+1 :
wm+1 = gm+1 = γmwm.
Volviendo a (6.56) con m = m + 1.
El algoritmo que se acaba de presentar merece algunos comentarios:
-La parte mas complicada del algoritmo es el paso (6.56) donde se debe resolver unproblema elıptico con el operador I −β · ∂2
∂x2j
. Para grandes numeros de Reynolds y pasos
de tiempo pequenos,β = ∆t
2·Re → 0, el operador discreto que suplanta a I − β · ∂2
∂x2j
esta
bien condicionado y por lo tanto el sistema lineal de ecuaciones converge rapidamente.
-Si m→ ∞ ⇒vm+1
i , pm+1
= vi, p donde vi, p es la solucion del problema deStokes (6.17) − (6.18).
-La convergencia del algoritmo de ındice iterativo m que comienza con el problema(6.56) es bastante rapida si β ≫ 1. Por desgracia, dado que los casos mas interesantes seproducen en las dichas circunstancias ( β < 1),numeros de Reynolds altos, la convergenciadel algoritmo se deteriora a medida que β disminuye. Para los casos donde β ≪ 1 la
70
convergencia no es buena. Necesitandose en la mayorıa de estos casos un modelo deturbulencia, ver apendice I. Para entender este comportamiento recuerdese que:
Aq = −∂
∂xi
(1
∆t−
1
2 · Re
∂2
∂x2j
)−1∂q
∂xi
=−1
∆t
∂
∂xi
(1 −
∆t
2 · Re
∂2
∂x2j
)−1∂q
∂xi
(6.59)
Si β ≫ 1 =⇒ ∆t
Re ≫ 1
Aq ∼ −1
2 · Re
∂
∂xi
(−
∂2
∂x2j
)−1∂q
∂xi
(6.60)
Suponiendo que los operadores conmutan (lo cual no es estrictamente cierto siempre)se obtiene:
Aq ∼ −1
2 · Re
∂2
∂x2i
(−
∂2
∂x2j
)−1
q =1
2 · Re· q (6.61)
De modo que A se comporta de un modo analogo a un multiplo del operador identidad,por lo tanto se debe esperar una alta convergencia del algoritmo de ındice iterativom que comienza con el problema (6.56) cuando β ≫ 1. Esto es facil de comprobarnumericamente.
La hipotesis contraria β ≪ 1 =⇒ ∆t
Re ≪ 1 lleva a:
Aq =−1
∆t
∂
∂xi
(1 −
∆t
2 · Re
∂2
∂x2j
)−1∂q
∂xi
∼−1
∆t
∂2q
∂x2i
(6.62)
A partir de la ecuacion (6.62) se puede observar que claramente el operador A distabastante de parecerse al operador identidad en el caso en el que β ≪ 1 y por lo tanto laconvergencia del algoritmo puede ser lenta, se debe pensar en un numero de condiciondel orden de h−2 tras la discretizacion espacial. Para tratar de aumentar el ritmo deconvergencia del algoritmo mediante una mejora en el condicionamiento se sugiere elalgoritmo del gradiente conjugado precondicionado.
Sea B un operador Q −→ Q :
Bq =1
∆tϕq +
1
Req (6.63)
71
Donde ϕqes la solucion del problema:
−∂2ϕq
∂x2i
= q en Ω. (6.64)
∂ϕq
∂n= 0 en ΓD. (6.65)
ϕq = 0 en ΓN . (6.66)
Se puede probar que el operador B es continuo, auto-adjunto y fuertemente elıpticosobre Q:
Para probar los anteriores resultados se define la forma bilineal b(·, ·) :
b (q, q′) =
∫
Ω
(Bq) q′ · dΩ (6.67)
que es continua, simetrica y P-elıptica. De las ecuaciones (6.63) , (6.64) , (6.65) , (6.66)y aplicando integracion por partes:
b (q, q′) =
∫
Ω
(Bq) q′ · dΩ =
∫
Ω
(1
∆tϕq +
1
Req
)q′ · dΩ = (6.68)
= −1
∆t
∫
Ω
ϕq∂2ϕq′
∂x2i
· dΩ +1
Re
∫
Ω
qq′ · dΩ =
=1
∆t
∫
Ω
∂ϕq
∂xi
·∂ϕq′
∂xi
· dΩ −1
∆t
∫
Γ
ϕq ·∂ϕq′
∂n· dΓ +
1
Re
∫
Ω
qq′ · dΩ =
=1
∆t
∫
Ω
∂ϕq
∂xi
·∂ϕq′
∂xi
· dΩ +1
Re
∫
Ω
qq′ · dΩ
La relacion (6.68) muestra claramente como la forma bilineal b(·, ·) es simetrica, porotro lado dado que existe una aplicacion lineal q−→ ϕq continua de Q en H1 (Ω) expresadaa traves de (6.64) , (6.65) , (6.66) , ello implica la continuidad de la forma bilineal:
q, q′ →
∫
Ω
∂ϕq
∂xi
·∂ϕq′
∂xi
· dΩ
72
Por ultimo b(·, ·) es P-elıptica dado que:
b (q, q) ≥1
Re
∫
Ω
|q|2 · dΩ ∀q ∈ Q.
Debido a estas propiedades del operador B se deduce que existe el operador inversode B, que se puede notar como S, el cual es auto-adjunto, simetrico y fuertemente elıpticosobre el espacio Q. Se define la forma bilineal s(·, ·) mediante:
s (q, q′) =
∫
Ω
(Sq) q′ · dΩ
que define un producto escalar sobre Q equivalente al canonico. De modo que apartir de ahora, el espacio Q dispondra de la forma bilineal Q como producto escalar;en particular, se va a tratar de transformar el algoritmo del gradiente conjugado descritohasta ahora sustituyendo el producto escalar canonico por el definido a traves de s(·, ·) .
A partir de los ensayos numericos se muestra como el operador discreto en que setransforma S tiene buenas propiedades de precondicionamiento, haciendo que la conver-gencia del gradiente conjugado sea rapida cuando β varıa de 0 a ∞.
Cabrıa preguntar de donde vienen estas buenas propiedades del operador S y por quese puede sospechar de las mismas. Supongase el siguiente problema que por simplicidadse planteara en un dominio Ω = (0, 1)d donde se considera el problema de Stokes:
1
∆t· vi −
1
2 · Re
∂2vi
∂x2j
+∂p
∂xi
= fi. en Ω. (6.69)
∂vi
∂xi
= 0 en Ω.
Con las condiciones de contorno:
vi,∂vi
∂xj
y p periodicos en Γ.
Esta condicion de periodicidad quiere decir por ejemplo que si vi es periodica en Γentonces:
v (x1, ....xi−1, 0, xi+1, ....., xd) = v (x1, ....xi−1, 1, xi+1, ....., xd)
∀i = 1, ..., d ∀j = 1, ..., d j 6= i
73
∀xj ∈ (0, 1)
Si se aplica el operador divergencia a la ecuacion (6.69) se llega a un problema elıpticoen la presion con condiciones de contorno periodicas:
∂2p
∂x2i
=∂fi
∂xi
. en Ω. (6.70)
∂p
∂xi
y p periodicos en Γ.
Se puede demostrar que el problema (6.70) tiene solucion unica en H1 (Ω) /ℜ, siempreque f sea suficientemente suave. A continuacion se resuelve el siguiente problema quetambien tiene solucion unica:
1
∆t· vi −
1
2 · Re
∂2vi
∂x2j
= −∂p
∂xi
+ fi. en Ω. (6.71)
vi,∂vi
∂xj
periodicos en Γ.
Si se realiza el siguiente cambio de notacion ϕ = ∂vi
∂xi,entonces a partir de los problemas
(6.70) y (6.71) se puede escribir:
1
∆tϕ −
1
2 · Re
∂2ϕ
∂x2j
= 0 en Ω.
ϕ,∂ϕ
∂xj
periodicos en Γ.
Este problema tiene una unica solucion que no es otra que ϕ = 0 ⇒ ∂vi
∂xi= 0 en Ω.
Considerese ahora el operador A asociado al problema (6.69) que se define como:
Aq =∂vq
i
∂xj
junto con:
1
∆t· vq
i −1
2 · Re
∂2vqi
∂x2j
= −∂q
∂xi
en Ω. (6.72)
74
Con las condiciones de contorno:
vqi ,
∂vqi
∂xj
y p periodicos en Γ.
es decir el operador A se puede definir como:
Aq = −∂
∂xi
(1
∆tδij −
1
2 · Re
∂2
∂x2k
)−1∂q
∂xi
.
Se define el operador B como:
Bq =1
∆tϕq +
1
2 · Req
donde:
−∂2ϕq
∂x2i
= q. en Ω. (6.73)
∂ϕq
∂xi
y ϕq periodicos en Γ.;
∫
Ω
ϕqdΩ = 0
Si ahora se evaluan conjuntamente A y B,se tiene:
ABq = −∂
∂xi
(1
∆tδij −
1
2 · Re
∂2
∂x2k
)−1 ∂(
1∆t
ϕq + 1
2·Req)
∂xi
(6.75)
Debido a la periodicidad de las condiciones de contorno, los diferentes operadores queaparecen en el lado derecho de la expresion (6.75) conmutan y teniendo en cuenta lo quese cumple en (6.73), se tiene que para todo q:
ABq = −∂
∂xi
(1
∆tδij −
1
2 · Re
∂2
∂x2k
)−1 ∂(
1∆t
δij −1
2·Re∂2
∂x2k
)ϕq
∂xi
=
=
(1
∆tδij −
1
2 · Re
∂2
∂x2k
)−1 (1
∆tδij −
1
2 · Re
∂2
∂x2k
) (−
∂2
∂x2i
)ϕq =
= −∂2ϕq
∂x2i
= q
75
Por lo tanto B=A−1. Luego queda claro que S=B−1=A es el precondicionador optimo.
Hay otras demostraciones del resultado obtenido que se pueden ver en [Cahouet-88].
El algoritmo para resolver el problema de Stokes mediante el metodo del gradienteconjugado precondicionado es :
Dado p0 ∈ Q :
v0i − β ·
∂2v0i
∂x2j
= ∆t · fi −∂p0
∂xi
en Ω (6.76)
v0i = vDirichlet
i en ΓD
1
Re
∂v0i
∂n= p0ni en ΓN
Llamando:
r0 =∂v0
i
∂xi
Ahora se resuelve el siguiente problema elıptico:
−∂2ϕ0
∂x2i
= r0. en Ω.
∂ϕ0
∂xi
= 0 en ΓD
ϕ0 = 0 en ΓN.
Se asigna:
g0 =1
2 · Re· r0 +
1
∆t· ϕ0.
w0 = g0.
Para m≥ 0 y suponiendo pm, vmi , gm, wm son conocidas, se pueden calcular pm+1,
vm+1i ,gm+1, wm+1 de la siguiente manera:
76
vim − β ·
∂2vim
∂x2j
= −∂wm
∂xi
en Ω (6.77)
(6.78)
vim = 0 en ΓD
(6.79)
1
Re
∂vim
∂n= wmni en ΓN
Llamando:
rm =∂vi
m
∂xi
Se calcula ahora:
ρm =
∫Ω
gm · rmdΩ
∫Ω
wm·rmdΩ
pm+1 = pm − ρmwm
vm+1i = vm
i − ρmvim
rm+1 = rm − ρmrm
Se resuelve de nuevo:
−∂2ϕm
∂x2i
= r0. en Ω.
∂ϕm
∂xi
= 0 en ΓD
ϕm = 0 en ΓN.
se renueva gm+1 :
gm+1 = gm − ρm
(1
2 · Re· rm +
1
∆t· ϕm
)
77
Dado este paso se puede hacer una estimacion de la convergencia del algoritmo. Demodo que si:
∫Ω
gm+1·rm+1dΩ
∫Ω
g0·r0dΩ≤ ε =⇒Se acepta como solucion vi = vm+1
i y p = pm+1.
En caso contrario se calcula:
γm =
∫Ω
gm+1 · rm+1dΩ
∫Ω
gm · rmdΩ
y se renueva wm+1 :
wm+1 = gm+1 + γmwm.
Volviendo a (6.77) con m = m + 1.
6.3 Ejemplos numericos bidimensionales.
A continuacion se van a resolver una serie de problemas bidimensionales mediante elesquema que se ha presentado anteriormente, algunos de ellos han sido validados conresultados experimentales y muestran que el codigo reproduce con buena precision lo queen la realidad se mide.
Los problemas que aquı se exponen son:1. Cilindro bidimensional en regimen laminar.2. Obtencion de la variacion del coeficiente de resistencia (Drag) en un cilindro
bidimensional a distintos numeros de Reynolds mediante la adicion de una fuerza quesimula un campo electrico buscando una acelaracion de la capa lımite.
3. Cortes de una orografıa irregular en regimen turbulento (aplicaciones a la opti-mizacion en el diseno de parques eolicos).
Con distintos numeros de Reynolds se han corrido otras geometrıas bidimensionalescuyos videos, junto con los de los ejemplos 1,2,3 se pueden visualizar en un CD adjuntoa esta tesis (se recomienda leer el archivo leame.txt del CD o el Apendice III de estatesis donde se encuentran las instrucciones adecuadas para la visor de videos). Estasgeometrıas son:
a)Placa plana rectangular donde el lado de mayor longitud de opone al flujo.b)Perfil NACA 0012, sin inclinacion y con inclinaciones de 5o y 15o.c)Ensanchamiento brusco.
78
Figura 6.2: Geometrıa del cilindro bidimensional.
6.3.1 Cilindro bidimensional en regimen laminar.
El primer problema se trato de resolver fue el flujo bidimensional alrededor de un cilindrocuyo diametro es mucho menor que su longitud de modo que se puede aceptar la hipotesisde bidimensionalidad. Esta es una prueba clasica para evaluar el comportamiento deun algoritmo en la resolucion de flujos incompresibles. Este problema ha sido resueltoen primer lugar en regimen laminar ya que por un lado se querıa evaluar la bondad delmetodo numerico en sı sin influencias del modelo de turbulencia, y por otro se cuenta conuna gran riqueza de resultados experimentales con los que poder contrastar los resultadosdel codigo.
Se parte de una geometrıa sencilla formada por una entrada de fluido a la que se leasigna una condicion de contorno tipo Dirichlet no homogenea para la velocidad de valor−→v = (1, 0) e independiente del tiempo, dos paredes laterales a las que se les asignara unacondicion de contorno Dirichlet homogenea (no-slip condition) y la salida a la que se leasignara la condicion de salida sin tension. Inicialmente el campo de velocidades es nuloen todo los puntos salvo en la entrada. Se trabajo sobre una geometrıa fundamentalmentedonde el cilindro tiene el diametro=1.0 (unidades adimensionales). La anchura entreparedes es en ambos casos de 9 unidades y la longitud de 20 unidades. El centro delcilindro esta colocado en la mitad de la anchura y a 4.5 unidades de la entrada. VerFigura 6.2.
El mallado de la superficie cilındrica se realizo asignandole un tamano de 0.07. VerFigura 6.3. Las lıneas mas proximas a la entrada se mallaron a un tamano de 0.4 y elresto del dominio a un tamano de 0.5.
79
Figura 6.3: Mallado en el problema del cilindro bidimensional.
El problema se programo adimensionalizando todas las variables: la velocidad seadimensionalizo con su valor en la entrada de modo que la velocidad adimensionalizadase tomo de valor unidad en dicha entrada, las longitudes se adimensionalizaron con elvalor del diametro del cilindro, el tiempo con el cociente entre el diametro y la velocidadcaracterıstica y por ultimo la presion se adimensionalizo con el producto de la densidadpor la velocidad caracterıstica al cuadrado, de modo que las ecuaciones de Navier-Stokesdependen unicamente del numero de Reynolds y este se tomo de valor 100, por otro lado elpaso temporal de las iteraciones fue de 0.1, es decir la decima parte de la unidad de tiempoadimensional. Los resultados en este caso fueron similares a los que predice la teorıa,en cuanto al campo de velocidades: al comienzo de la simulacion se produce una esteladetras del cilindro que se va estirando a medida que pasa el tiempo (ver figuras 6.4 y 6.5),cuando suceden aproximadamente 22 unidades de tiempo dicha estela se vuelve inestable(ver figura 6.6) y se produce un desprendimiento de torbellinos alternativamente (verfigura 6.7) a cada lado del cilindro dando lugar a la calle de torbellinos de Von Karman(ver figura 6.8). Es necesario llamar la atencion sobre el detalle de que debido a laasimetrıa de la malla que permite el metodo de los elementos finitos, el desprendimientode torbellinos se consigue de forma espontanea y no hay que forzar su salto tal y comose hace en multitud de codigos donde la malla es simetrica. El desprendimiento detorbellinos no es mas que una inestabilidad de la estela y el hecho de que el codigo seacapaz de simularlo espontaneamente le otorga una cierta capacidad.
Respecto a los resultados de presion se puede ver como inicialmente debido a la
80
Figura 6.4: Representacion de la componente horizontal de la velocidad en t=2.
condicion inicial de velocidad la presion avanza como una onda dotando a todo el fluidode velocidad, poco despues la presion maxima se crea en la parte delantera del cilindroya que allı se produce una zona de remanso, a medida que se avanza por la periferiadel cilindro la presion desciende hasta las proximidades de la zona de desprendimientodonde vuelve a crecer ligeramente para finalmente permanecer casi constante en la parteposterior del cilindro, salvo por los desequilibrios creados por los desprendimientos devortices (ver figuras Presion en t=2-Presion en t=40).
El valor del campo de presiones alrededor de la periferia del cilindro viene representadoen la siguiente grafica (figura 6.18). Es necesario tener en cuenta que en tal grafica lapresion representada esta adimensionalizada mediante el producto ρU2, y no mediante12ρU2 que es lo habitual. Por lo tanto se debe considerar que el valor de nuestra presion
es excesivamente alto en θ = 0 y excesivamente bajo en su valor mınimo si comparamosestos valores con la mayorıa de las medidas experimentales de este problema. El valortıpico en θ = 0 es aproximadamente 0.53, ver [Zdr-97], y el valor mınimo esta alrededor de-0.47, a numeros de Reynolds proximos a 100. La razon de esta diferencia se encuentraen que se estan comparando problemas que son localmente iguales (flujo alrededor deun cilindro), pero globalmente muy distintos. Las medidas experimentales se llevan acabo en canales que tienen un ancho mucho mayor que 9 veces el diametro del cilindro,mientras que en los experimentos numericos que aquı se han hecho se ha restrigido por elmomento la anchura del canal a nueve veces el diametro. Esta limitacion de la anchura esla responsable de esa diferencia en la medida de presion debido a un fenomeno de bloqueoque se crea en el fluido, esto es algo que sera posible demostrar en breve observando losefectos que producirıa un aumento en la anchura del canal.
81
Figura 6.5: Representacion de la componente horizontal de la velocidad durante el cre-cimiento de la estela (t=14).
Los valores de los coeficientes de resistencia(CD) y sustentacion(CL), y otros valoresglobales como el numero de Strouhal(St) nos permiten ver si el codigo obtiene una buenasemejanza con la experimentacion por lo cual se calcularon los siguientes coeficientes y secontrastaron con trabajos experimentales (ver [Gra-92]). La definicion de dicho coficienteses:
CL =Fy
12ρU2D
=
∫ 2π
0
t2dφ
CD =Fx
12ρU2D
=
∫ 2π
0
t1dφ
St =D
UT
Donde (t1, t2) es el vector de traccion sobre el cilindro expresado en un sistema de re-ferencia cartesiano x, y y T es el perıodo de oscilacion del fenomeno de desprendimientode torbellinos. Las fases de crecimiento de la estela y su posterior inestabilidad para darpaso al desprendimiento de torbellinos quedan perfectamente reflejadas en las graficas de(CD) y (CL) .(Ver figura 6.19)
82
Figura 6.6: Representacion de la componente horizontal de la velocidad al comienzo delas inestabilidades en la estela del cilindro.
Graham Codigo actual.Drag 0.25-1.46 1.29Lift 0.0 3.16·10−14
Strouhal 0.16 0.17
Este problema va mas alla de ser un simple test para la validacion del codigo sinoque se pueden encontrar facilmente ejemplos de aplicacion practica. Leyendo el artıculo[Paulo-00], se puede encontrar que los valores del coeficiente de Drag y de la frecuencia dedesprendimiento de torbellinos son datos fundamentales para el calculo de la estabilidadde las plataformas off-shore, la cuestion es que estos desprendimientos dan lugar a unavibracion inducida que puede llevar a ciertos problemas.
Los vıdeos elaborados a partir de las soluciones de este problema con distintos malla-dos y distintos numeros de Reynolds se pueden encontrar en el CD adjunto a esta tesis(se recomienda leer el archivo leame.txt del CD o el Apendice III de esta tesis donde seencuentran las instrucciones adecuadas para la visor de videos).
En el siguiente apartado dedicado a la validacion de este problema se podra observarcomo teniendo como objetivo llegar a una distribucion de la presion a lo largo del cilin-dro similar a la que se obtiene en los experimentos reales, se eligieron entre la lista deparametros de los que dependıa el problema aquellos que tuviesen un mayor protagonis-mo en cuanto a la curva de presion. Dichos parametros fueron : la anchura del canal, elsalto de tiempo y el numero de nodos en el mallado.
83
Figura 6.7: Representacion de la componente horizontal de la velocidad mientras sedesprenden torbellinos.
Se realizaron un buen numero de experimentos a numeros de Re=174 y 167 debido aque a estos numeros de Reynolds tenemos buena informacion en [Zdr-97] de los resultadosexperimentales. A partir de la graficas obtenidas (ver figuras (6.21) y (6.22)) se puedensacar un buen numero de conclusiones.
6.3.2 Validacion del Codigo para el Problema del Cilindro.
Con el fin de realizar una validacion del codigo mas sistematica para la resolucion de lasecuaciones de Navier-Stokes, se trabajo sobre este mismo problema en unas condicioneslo mas parecidas posibles a los de los experimentos sobre los que se cuenta con buenainformacion.
Con respecto a las condiciones de contorno para la validacion del problema, se asumeno deslizamiento en el cilindro y en las paredes laterales del canal, condicion tipo Dirich-let para la entrada del fluido en el canal (v = (1, 0)), y estado libre de tensiones en ladireccion del movimiento para la salida del fluido.
84
Figura 6.8: Calle de torbellinos de Von Karman.
La figura (6.20) muestra la representacion grafica del sistema estudiado donde sepuede apreciar que la anchura del canal a queda como parametro libre.
El codigo para la resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes depende de un amplionumero de parametros. Estos parametros estan relacionados con:
a)Los metodos matematicos para la resolucion del sistema de ecuaciones diferenciales(Ej: intervalo temporal en la integracion de las ecuaciones diferenciales,tolerancia en loserrores de convergencia, mallado para la resolucion por elementos finitos, etc...).
b) Parametros fısicos (numero de Reynolds).c) Parametros geometricos (distancia entre las paredes laterales del canal y el cilindro).
En la siguiente tabla se presentan estos parametros.
85
Figura 6.9: Presion en t=2.
Parametro Comentariodimpro Dimension del problema (2: bidimensional, 3: tridimensional)cturb Constante de turbulencia del modelo de smagRe Numero de Reynolds∆t Paso en la integracion temporal
numnod Numero de nodosnumel Numero de elementos linealesnumels Numero de elementos en la salida
nodperel Numero de nodos por elementonodperlin Numero de nodos por elemento linealnodperels Numero de nodos por elemento en la salida
mnv Maximo numero de vecinos a uno dadomnvl Maximo numero de vecinos en el mallado linealxintor Grado de las funciones base de velocidadxintorp Grado de las funciones base de presionxitelm Tipo de elemento (1: triangulo, 2: cuadrado)prec Tipo de precondicionador (1: Jacoby, 2: Cholesky)err1 Precision en el calculo de los pies de caracterısticasitfch No de iteraciones para hallar los vectores de desplazamiento −→α
86
Figura 6.10: Presion en t=3.
itergrad No de iteraciones en la busqueda de la divergencia nulanpasos No de pasos de tiempo
iteraciones No de iteraciones para la convergencia de Newton en slalgnuevamalla Parametro de remallado (0: no se remalla, 1: sı se remalla)
err Error en la resolucion de los sistemas de ecuaciones linealestol Tolerancia en el gradiente conjugado diferencial
diametro Diametro del cilindro
El objetivo fue analizar la influencia de entre todos estos parametros de aquellos masnotables en los resultados que da el codigo. Para esto se conto con una serie de datosexperimentales tomados de distintos artıculos y libros (ver [Zdr-97] y [Gra-92]), con loscuales se compararon los resultados obtenidos mediante la resolucion numerica de lasecuaciones de Navier-Stokes.
Resultados y discusion.
De los parametros que figuran en la tabla anterior, se seleccionaron los siguientes paracomenzar el analisis:
-Re.- ∆t .-Mallado.
87
Figura 6.11: Presion en t=5.
-Geometrıa.Por mallado, se entiende modificar el tamano de malla alrededor del cilindro y/o
modificar la transicion de tamano de las zonas de menor tamano de mallado a las zonasde mayor tamano de mallado. Los parametros que se modifican al hacer esto son:
-numnod.-numel.En cuanto a la geometrıa, las modificaciones consistieron en variar la distancia de
las paredes laterales al cilindro, es decir se modifico la distancia a. Esta modificacion serefleja en forma indirecta en otros parametros: este cambio de geometrıa obliga a realizarun mallado diferente, y por lo tanto cambian valores de numnod y numel .
Se valoraron en total 11 situaciones Mi i=1,..11. Los valores que se le asignaron a losparametros para cada una de ellas se muestran en la tabla siguiente.
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Figura 6.12: Presion en t=10.
Caso Re ∆t no nodos (numnod) no elementos (numel) anchura aM0 150 0.05 5624 2742 8.9M1 174 0.05 5624 2742 8.9M2 174 0.05 13967 6843 8.9M3 174 0.1 13967 6843 8.9M4 174 0.1 12601 6173 18.0M5 174 0.1 14792 7256 24.0M6 174 0.05 14792 7256 24.0M7 167 0.05 14792 7256 24.0M8 167 0.1 44306 21908 24.0M9 174 0.1 44306 21908 24.0M10 167 0.05 44306 21908 24.0M11 174 0.05 44306 21908 24.0
En primer lugar, se ejecutaron los casos M0 y M1 a distintos Re.
Los resultados obtenidos del perfil de presion en la superficie del cilindro puedenobservarse en la figura 6.21. En el mismo grafico se muestra el perfil experimental paraRe = 174 (Datos tomados de [Dim-68]). Puede verse que los perfiles M0 y M1 coincidenen la zona frontal del cilindro, donde la presion es positiva, para luego separarse. Ladiferencia de numero de Re que hay entre M0 y M1se hace mas evidente en las zonasde mayor profundidad, donde la curva de mayor numero de Re desciende mas. El perfilcalculado en el caso M1 se aparta del experimental en la zona frontal del cilindro,mientrasque la coincidencia es bastante buena a partir de los 60o. Es decir, con los mallados
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Figura 6.13: Presion en t=20.
probados de pocos nodos hasta ahora no se acaba de captar bien el punto de remanso.Luego se ejecutaron los casos M2 y M3, en las cuales se utilizo un mallado mas grande,
es decir elementos mas pequenos.Evaluandose entre ellos la influencia del ∆t.
Los resultados se muestran tambien la figura 6.21. La presion en la zona de remansoes la misma, aunque en estos casos desciende mas rapidamente hacia valores negativos.Ademas, el perfil de presiones en la zona de presiones negativas se encuentra por deba-jo de los calculados anteriormente. Este efecto es menor cuando ∆t es 0.1. Por otraparte, el perfil experimental seguıa estando lejos del calculado, sobre todo en la zonade remanso. Es decir, un aumento del numero de nodos o disminucion del tamano demallado exclusivamente, no ha acercado el perfil calculado al perfil experimental sino alcontrario. Si ademas ∆t → 0, todavıa nos alejamos mas en las zonas de presion mınima.Por otro lado, la disminucion del ∆t para un mismo mallado tiene como unica influenciauna disminucion de la presion en las zonas donde esta tiene valor negativo a medida que∆t tiende a 0.
Este error en la presion se debe a la influencia de las paredes del canal. Como seobserva en la figura 6.21, al alejar las paredes laterales hasta una distancia de 18 en elcaso M4, el perfil de presion se acerca al experimental.
Ademas, cuando ∆t = 0.05, la coincidencia con el perfil experimental es mayor (casosM4, M5 y M6). Los casos M5 y M6 son casos ejecutados con una nueva anchura de 24 ypor tanto distinto mallado. La diferencia entre ellos es el ∆t. Tal y como sucedio antescon M2 y M3 hay un mayor descenso en la curva cuando ∆t disminuye. Hay que notarque en la zona de remanso las presiones se van igualando con las experimentales a pesarde mantenerse una pequena diferencia tanto allı como n la zona de maxima depresion.
90
Figura 6.14: Presion en t=25.
Para ver la influencia del mallado manteniendo la geometrıa, se realizaron los ensayosM9 y M11 , y observando la figura 6.22 se puede concluir que:
a) M9 consigue presiones muy ajustadas a la experimental en la zona de remansoa pesar de que no consigue descender suficiente para alcanzar el mınimo de presionexperimental.
b)M11 capta perfectamente el mınimo de la curva experimental, esto se consigue portanto con grandes mallados y pequenos ∆t. A pesar de que con un ∆t mas pequeno sepierde algo de precision en la presion de remanso.
c) el hecho de mallar mas fino siempre favorece el acercamiento a las medidas expe-rimentales.
La figura 6.23 muestra el perfil del gradiente de la velocidad normal al cilindro, en lasuperficie. Como puede observarse, hay una gran concordancia entre el perfil calculado yel experimental. Los datos experimentales fueron tomados de [Dim-68]. En este caso, elReynolds fue de 167 (M7). La ordenada del grafico de esta figura corresponde al gradienteadimensionalizado de la siguiente manera:
Grad.Adimensional =∂V∂r
2Re1/2
donde V y r son la velocidad y el radio adimensionales, respectivamente.Las figuras 6.24,6.25 y 6.26 muestran los valores calculados de los coeficientes de
resistencia (Drag) y sustentacion (Lift) para los casos M5 (Re = 174), M6 (Re = 174) yM7 (Re = 167), respectivamente.
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Figura 6.15: Presion en t=30.
Otros resultados comparados con datos experimentales fueron el numero de Strouhal,el angulo de desprendimiento y los coeficientes resistencia (Drag) y sustentacion (Lift).Como se observa en las tablas expuestas a continuacion, y en las figuras 6.24,6.25 y 6.26,los calculos del codigo concuerdan con los resultados experimentales [Dim-68],[Gra-92].
Como los resultados de los casos M5, M6, M7, si bien aceptables, no eran del todosatisfactorios para algunos parametros de validacion, se realizaron cuatro nuevos casos,utilizando mallados mucho mas grandes (casos M8, M9, M10 y M11). En estos casos, seobtienen resultados que mejoran notablementelos anteriores cuando el ∆t es de 0.05 estopuede verse en las figuras 6.27, 6.28. Un salto de tiempo mayor (∆t=0.1) genera errorescon un mallado tan grande,esto se nota especialmente en los calculos de los coeficientesde Drag y Lift ver las figuras: ”Coficientes drag y lift para el caso M8”, ”Coficientes dragy lift para el caso M9” y la figura 6.32.
Comparando el gradiente de velocidades de las figuras M7 y M8 se ve la gran influenciaque tiene el mallado para este calculo, y comparando a su vez M8 con M10,M11 vemosla gran influencia del paso de tiempo ∆t.
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Figura 6.16: Presion en t=35.
Caso St calculado St experimentalM5 0.20 0.182M6 0.20 0.182M7 0.20 0.180M8 0.13 0.180M9 0.13 0.182M10 0.183 0.180M11 0.152 0.182
Caso θd calculado θd experimentalM0 126.45 122M1 139.52 118.25M2 122.51 118.25M3 119.52 118.25M4 121.21 118.25M5 116.09 118.25M6 116.02 118.25M7 123.18 119.125M8 115.19 119.125M9 113.05 118.25M10 120.12 119.125M11 118.08 118.25
93
Figura 6.17: Presion en t=40.
Figura 6.18:
94
Figura 6.19:
a
Figura 6.20:
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Perfil de presión en la superficie del cilindro
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
q
CP
'
M1 M2
M3 M0
Experimental M4
Figura 6.21: Perfil de presion en la superficie del cilindro.
Figura 6.22: Perfil de presion en la superficie del cilindro.
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Figura 6.23: Gradiente de la velocidad normal. Caso M7.
Coeficientes Drag y Lift para la corrida M5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200
Drag
Lift
Figura 6.24: Coeficientes drag y lift para la caso M5.
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Figura 6.25: Coeficientes drag y lift para la caso M6.
Figura 6.26: Coeficientes drag y lift para la caso M7.
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Figura 6.27: Gradiente de la velocidad tangente para el caso M8.
Figura 6.28: Gradiente de la velocidad tangente para el caso M10.
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Figura 6.29: Gradiente de la velocidad tangente para el caso M11.
Figura 6.30: Coeficientes drag y lift para el caso M8.
100
Figura 6.31: Coeficientes drag y lift para el caso M9.
Figura 6.32: Coeficientes drag y lift para el caso M10.
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6.3.3 Variacion del Drag en un cilindro bidimensional mediante
interaccion electrica.
Con una geometrıa similar se ha contrastado un caso como el descrito anteriormente conuno al que se anade una fuerza electrica que actua sobre la piel del cilindro. Esta fuerzase consigue mediante la presencia de un actuador electrohidrodinamico puede modificarlas caracterısticas del flujo sobre un cilindro. Dicha fuerza como se puede ver en lostrabajos experimentales de G.Artana, ver [Art-99], se consigue mediante la colocacionde dos electrodos con una gran diferencia de potencial (del orden de 33 kV) entre sı, demodo que se tiende a crear una pelıcula de plasma de un modo similar a la manera en quese crea una corriente. Los experimentos muestran como esta descarga puede inducir unaimportante aceleracion del flujo proximo a la superficie. El proceso de ionizacion quedaconfinado a las regiones proximas a los electrodos, donde la fısica de estas zonas no hasido ampliamente estudiada o bien siempre se ha realizado sin la presencia de cuerposextranos en las proximidades de la descarga. La descarga conlleva el movimiento de ionespero tambien de una gran cantidad de partıculas neutras.
El movimiento inducido en el fluido es clasicamente conocido como electroconvec-cion o bien como viento electrico. El mecanismo gracias al cual las fuerzas electricasactuan sobre las partıculas fluidas puede ser explicado considerando que los iones en sumovimiento forzado de un electrodo al otro, intercambian cantidad de movimiento conlas partıculas neutras del fluido y les inducen un cierto movimiento. Si la descarga tienelugar muy proxima a la superficie el campo de velocidades en esta region puede sufririmportantes cambios. Por lo tanto en fronteras solidas o en estelas, la electroconvecciones una posibilidad para controlar la transicion de la capa lımite de laminar a turbulenta,cambiar la posicion del punto de desprendimiento o modificar la estabilidad del flujo.Por lo tanto esta situacion tiene un especial interes en aerodinamica y en el control deinestabilidades.
Las aplicaciones mas claras de este tipo de experimentos se hallan en los problemasde transmision de calor, en la disminucion del drag para ciertos objetos y en el controlde la estela que se produce tras los objetos recorridos por un fluido. Desde un puntode vista tecnologico este tipo de configuraciones son sencillas y tienen una alta tasa deconversion de la energıa electrica en energıa mecanica.
Nuestro objetivo observar y analizar las variaciones que se producen en la mecanicadel flujo mediante la introduccion de dos electrodos colocados sobre la superficie de uncilindro, estos electrodos crearan una fuerza electrica que inducira una cierta aceleracionsobre el fluido.
El valor del vector que representa esta fuerza y su distribucion espacio-temporal esdesconocida y objeto de investigacion, en primera aproximacion al problema, se va atratar de hacer una simulacion en el caso de que tuviera modulo unidad y actuara condireccion tangencial sobre las dos filas de nodos mas proximas al cilindro. Esta es unahipotesis razonable sobre para lo que se sabe sobre la fısica de la fuerza.
Este caso en este apartado se ha resuelto a Re=100, y se pueden sacar las primeras
102
conclusiones en cuanto a los efectos que produce una fuerza electrica sobre la periferia delcilindro. Como se puede apreciar en la grafica de la figura 6.33 a este numero de Reynoldshay una significativa variacion entre el resultado obtenido al calcular el coeficiente deresistencia al avance (Drag) cuando al problema le superponemos la fuerza electrica acuando no lo hacemos. Ello significa que la presencia de la fuerza le confiere al cilindrouna mayor aerodinamica y penetrabilidad.
Se adjuntan videos en el CD adjunto a esta tesis (se recomienda leer el archivoleame.txt del CD o el Apendice III de esta tesis donde se encuentran las instruccionesadecuadas para la visor de videos) donde se puede ver la variacion cualitativa y cuantita-tiva de los campos de velocidad con y sin fuerza. En la seccion siguiente se ha continuadoel estudio para mayores numeros de Reynolds, tratando de buscar un Reynolds suficien-temente elevado como para poder contrastar las medidas experimentales.
Figura 6.33:
Para ver un estudio mas detallado de variacion del coeficiente de Resistencia (Drag)en funcion de la intensidad del modulo de la fuerza electrica , ver [Gonz-Bej-01]. En esteestudio una de las conclusiones mas importantes es la grafica 6.34 que aquı se presenta.
6.3.4 Otros casos bidimensionales en regimen turbulento.
Para tratar de optimizar la colocacion de aerogeneradores en una cierta geografıa yaprovechar los lugares donde se dan particulares condiciones en el campo de velocidad
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Figura 6.34: Variacion del coeficiente de resistencia (Drag) con el modulo de la fuerzaelectrica.
se utilizo tambien el codigo que aquı se ha desarrollado. Los cortes que se han calculadopertenecen a una zona de estudio situada en Ayoluengo(Burgos) , donde se considerabala posibilidad de construir un parque eolico.
Debido a los numeros de Reynolds tan grandes que se manejaban en este problema,entre 106 y 109, parece necesaria la implementacion de un modelo de turbulencia queacompane a las ecuaciones de Navier-Stokes. El modelo de turbulencia que se ha aplicadoen este problema no es otro que el modelo de Smagorinsky (ver apendice I ) por susencillez y facil adaptabilidad al codigo. Como tambien se podra suponer con numerosde Reynolds tan elevados la capa lımite se estrecha muchısimo y alcanza unos espesoresinabordables para un mallado, de modo que es uno de los casos donde las condiciones decontorno en la frontera delimitada por el suelo deben ser tipo slip (ver 2.12).
Los mallados que se utilizan para este tipo de aplicaciones conllevan un mallado muyfino sobre el perfil terrestre situado en la parte inferior de la geometrıa, el hecho de queesto sea ası se debe: por un lado a que es en esa parte donde la geometrıa presenta mayorirregularidad y por lo tanto es necesario un tamano de elemento mas fino para poderreproducirla bien y por otro que las alturas de los aerogeneradores son relativamentepequenas comparadas con las cotas de los perfiles de modo que nos interesa que sea enestos lugares donde los resultados se calculen con mayor precision.
Para ver los resultados de estos experimentos en distintos cortes de terreno y visualizarası los campos de presion y velocidad se puede consultar el CD adjunto a esta tesis (serecomienda leer el archivo leame.txt del CD o el Apendice III de esta tesis donde se
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Figura 6.35: Componente X de la velocidad en uno de los cortes.
encuentran las instrucciones adecuadas para la visor de videos).
6.4 Ejemplos numericos tridimensionales.
En esta parte se mostraran los ensayos tridimensionales realizados sin superficie libreque consisten fundamentalmente en la visualizacion del flujo alrededor de una esfera enregimen laminar y el flujo alrededor de un doble modelo de un Serie 60 tambien enregimen laminar. En el primer caso debido a la abundancia de trabajos similares y demedidas empıricas fue sencillo hacer un contraste de resultados con otras investigaciones.
6.4.1 Flujo laminar alrededor de una esfera.
El problema trata de resolver el flujo tridimensional alrededor de una esfera de diametrounidad. A este problema ha sido resuelto en regimen laminar ya que es en ese caso dondese cuenta con una gran riqueza de resultados experimentales con los que poder contrastarlos resultados del codigo(ver [Patel-99]) .
Se parte de una geometrıa sencilla formada por una entrada de fluido a la que sele asigna una condicion de contorno tipo Dirichlet no homogenea para la velocidad devalor −→v = (1, 0) e independiente del tiempo, una pared cilındrica lateral a las que se le
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asignara una condicion de contorno Dirichlet homogenea (no-slip condition) y la salida ala que se le asignara la condicion de traccion nula tipo Neuman. El diametro del cilindroque define el dominio es de 30 unidades y la longitud de 20 unidades. El centro de laesfera esta colocado sobre el eje del cilindro y a 4.5 unidades de la entrada.
El mallado de la superficie esferica se realizo asignandole un tamano de 0.07 y laentrada se mallo a un tamano de 0.5. El numero de nodos empleados para este problemafue de 157127 y el numero de elementos de 104597. Ver Figura 6.36.
Se adimensionalizo el problema de forma analoga a como se hizo en el caso anteriorcon el cilindro bidimensional.
Figura 6.36: Mallado utilizado en el problema de la esfera.
Respecto a los resultados obtenidos a Re=100 dan lugar a un problema que alcan-za el regimen estacionario tal y como confirman los experimentos, vease [Patel-99]. Eneste problema se encuentra que hasta numeros de Re proximos a 200 el flujo es esta-cionario y axisimetrico, entre 200 y 270 aproximadamente el problema es estacionariopero no-axisimetrico y a partir de 270 el problema es no estacionario con el previsibledesprendimiento de un tipo muy particular de vortices (hairpin vortices). Este tipo deproblemas al igual que el del cilindro bidimensional pueden llegar a mostrar flujos ines-tables a pesar de la simetrıa del cuerpo. En los casos tridimensionales son capaces dedar lugar a una cinematica mucho mas compleja de la que surjan interacciones entre losvortices poco faciles de entender.
106
Figura 6.37: Torbellinos estables tras la esfera.
Los resultados han sido comparados con Patel & Jhonson(1999)[Patel-99] para Re=150y con los resultados experimentales obtenidos por Taneda (1956) a Re=150 donde se com-paran, donde los parametros de comparacion son:
a)el angulo de desprendimiento θS.b)punto final de la estela xs.c)centro del vortice toroidal (xc, yc).
Re=120 Taneda (experimental) Esta tesisθS 123o 127,17o
xc 0.8 0.73yc 0.28 0.26xs 1.0 0.93
Re=150 Patel & Jhonson Esta tesisθS 121o 121,15o
xc 0.84 0.79yc 0.33 0.29xs 1.15 1.07
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Figura 6.38: Componente horizontal de la velocidad.
6.4.2 Flujo alrededor del doble modelo de un Serie 60.
En el mundo de la ingenierıa naval se utiliza con frecuencia lo que se conoce como undoble modelo de un buque, esto es realizar una simetrıa del modelo simple respecto alplano superior del barco, ver figura 6.40. En los metodos de flujo potencial o metodos depaneles es muy normal utilizar este tipo de configuraciones para conseguir que la superficielibre no deformada sea una linea de corriente y una vez se deforma la superficie libre lamision que tiene es la de estabilizar la solucion. Es comun ensayar estos modelos asıconstituidos, sin superficie libre de modo que serıa facil obtener la resistencia viscosa a laque dan lugar dichas formas a partir de los campos de presion y velocidad obtenidos. Esteexperimento concreto se llevo a cabo con el codigo estudiado y se obtuvieron interesantesresultados.
Este problema ha sido resuelto en regimen laminar Re=100 y la longitud caracterısticamediante la cual se adimensionalizo el problema es la eslora del barco, de tal modo queen la geometrıa computacional esta pasara a valer la unidad.
Se parte de una geometrıa sencilla formada por una entrada de fluido a la que sele asigna una condicion de contorno tipo Dirichlet no homogenea para la velocidad devalor −→v = (1, 0) e independiente del tiempo,el resto de los lımites del dominio son planoscolocados arriba, abajo, a derecha y a izquierda del modelo a los que se le asignara unacondicion de contorno Dirichlet homogenea (no-slip condition) y por ultimo la salida a
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Figura 6.39: Vortices tridimensionales en la esfera.
la que se le asignara la condicion de traccion nula tipo Neuman. El paralelepıpedo quedefine el dominio es de 3x3 esloras de lado en su seccion perpendicular al flujo y unalongitud de 6 esloras en la direccion del flujo. La proa del doble modelo esta colocadasobre un eje paralelo a la direccion de entrada del flujo comenzando a una distancia de1.28 a partir de la entrada.
El mallado de la superficie del modelo se realizo asignandole un tamano de 0.01 y laentrada se mallo a un tamano de 0.2. El numero de nodos empleados para este problemafue de 152218 y el numero de elementos de 103656. Ver Figura 6.41.
Algunos resultados obtenidos en este problema se representan a continuacion:
109
Figura 6.40: Geometrıa del doble modelo.
Figura 6.41: Mallado del doble modelo de un Serie 60.
110
Figura 6.42: Vista tridimensional del modulo de la velocidad.
Figura 6.43: Perfil de velocidades del modelo.
111
Capıtulo 7
Tratamiento de superficie libre
mediante el metodo de la funcion de
nivel ”Level set method”.
7.1 Introduccion.
Ahora se va a plantear un problema derivado de los los anteriores y que no consisteen otra cosa que en suponer que el flujo esta formado por dos fluidos inmiscibles cadauno de ellos con su propia densidad y viscosidad, que son bien distintas de un fluidoa otro. Concretamente van a utilizar aire y agua, es decir fluidos cuyas densidades yviscosidades se diferencian en varios ordenes de magnitud. El motivo de tratar de resolverestos problemas no es otro que la observacion de que la mayorıa de los problemas deldiseno naval se dan en este contexto. La interfase agua-aire da una gran complejidad alproblema hidrodinamico que se habıa planteado hasta ahora.
Los algoritmos numericos para la integracion de las ecuaciones de Navier-Stokes coninterfase movil se pueden dividir de muchas maneras. Un modo es dividirlos de acuerdo altipo de malla que se utiliza, es decir,la malla puede ser fija,o bien una malla adaptada alcontorno movil, o incluso metodos sin malla. Otra forma de clasificacion es respecto a laforma de movimiento del fluido repecto a la malla, de aquı surgen los metodos Eulerianos,Lagrangianos o mixtos Eulerianos-Lagrangianos. Por ultimo hay dos formas de seguir elestudio de la interfase aire-agua que son la busqueda de la interfase(interface tracking) ola captura de la interfase (interfase capturing). Estas clasificaciones no son absolutas yes facil encontrar hıbridos de todo tipo.
Hablando estrictamente, el concepto de medio continuo no se sostiene a traves deuna superficie libre ya que no es cierto que las propiedades fısicas del fluido varien demodo continuo a traves de la interfase. Suponiendo que los fluidos no se mezclen, lasecuaciones de Navier-Stokes serıan validas para cada fluido particular. Una solucionrazonable es dividir el dominio total en tantos subdominios como fluidos haya, y tener en
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cuenta que las interfases entre ellos no permaneceran estaticas sino que varıan en formay posicion. Los metodos de busqueda de interfase(interfase tracking) toman la superficielibre como un contorno del fluido y allı imponen las condiciones cinematica (obligar aque la superficie libe sea superficie de corriente) y dinamica (equilibrio de fuerzas sobrela superficie libre). A veces se imponen correcciones adicionales sobre el movimiento dela superficie libre que controla la condicion cinematica, con ello se busca que la superficielibre permanezca en contacto con contornos solidos y mantener al mismo tiempo unabuena calidad en el mallado. En los metodos de captura en vez de definir una superficielibre, uno puede trabajar con todas las regiones ocupadas por fluido.
El primer intento de tratamiento de superficie libre fue desarrollado a partir delmetodo MAC(marker-and-cell method). Marcadores lagrangianos que definen a los flu-idos y su interfase son utilizados para trazar el movimiento de las partıculas de la su-perficie libre. Este metodo es costoso computacionalmente debido a la presencia de losmarcadores, ya que se necesita un tiempo extra para mover todos los marcadores en cadapaso de tiempo, tambien es difıcil imponer condiciones de contorno sobre superficies cur-vas. Por contra puede manejar cualquier numero de fluidos y interfases sujetas a grandesdeformaciones. En los metodos SUMMAC y TUMMAC marcadores Eulerianos han sidoutilizados para indicar donde se encontraba la superficie libre. En el metodo SLIC lasuperficie interfase es representada por lineas rectas que se propagan con la velocidadlocal del fluido y estas lineas deben estar en direccion normal a la direccion de propa-gacion. En cualquier caso al orientacion de la interfase es incognita. Otro metodo esllamado metodo del volumen de fluido VOF, donde el valor medio de una funcion definela cantidad de cada fluido en un elemento. La pendiente de la interfase esta determinadapor el gradiente de dicha funcion. El gran inconveniente de esta ultima propuesta es quela cantidad que se transporta al mover la superficie libre no es una funcion continua demodo que su transporte debe ser realizado con gran cuidado.
Todos los metodos propuestos anteriormente estan formulados en una malla fija y elflujo esta resuelto con al menos dos fluidos. En los casos en los que se desea calcular elperfil de ola que genera un barco, nos bastarıa con conocer lo que le ocurre al agua y ala superficie libre, por lo tanto los metodos de movimiento de malla son los mas comuneshasta la fecha para los calculos de flujo viscoso alrededor de barcos. En estos metodos lamalla se adapta al contorno que se mueve acompanando a la superficie libre. El sistema deecuaciones resultante puede ser resuelto en el dominio fısico mediante una formulacionde elementos finitos o bien se puede transformar dicho dominio a otro rectangular yuniforme. El problema de este tipo de tecnicas es que si el fenomeno que se quiereestudiar exige una gran deformacion de la malla como puede ser una ola rompiente o quesumerja a algun objeto, es difıcil lograr una malla que sea capaz de continuar resolviendoel problema estando muy deformada respecto a la original.
Los metodos de captura se han puesto de moda durante estos ultimos anos y una delas tecnicas mas famosas es el ”level set method”. La funcion level set, es una funcionde distancia que se define en la totalidad del dominio y la interfase es por lo tanto unsubconjunto del dominio de esta funcion. La funcion level set se transporta con el fluido
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como una cantidad mas y la superficie libre se encuentra a traves de los puntos que tenıanigual valor que tenıa dicha superficie libre al principio. Las propiedades del fluido estandescritas mediante la funcion level set. La naturaleza del metodo es similar tanto en doscomo en tres dimensiones.
El tratamiento de la superficie libre es una de las mayores dificultades que aparecencuando se desarrolla un metodo de calculo de flujo viscoso alrededor de un barco. Lacomponente de la resistencia del barco asociada a la formacion de olas es importante porlo tanto puede ser importante el estudio de la formacion de olas mediante un metodonumerico.
La tecnica de la funcion level set tiene utilidad tanto en el caso de que el solido quegenera la ola este sumergido como si esta semisumergido. Este metodo ademas tienepotencia suficiente como para simular casos donde la ola rebase al objeto por encima uolas rompientes.
En este capıtulo se restrigira al estudio de casos bidimensionales, para no comenzarenfrentando a las complejidades geometricas del 3D y a mallados bastante mas grandesy lentos de computar. Un obstaculo sumergido en el fondo y un hidrofoil sumergido hansido los ejemplos bidimensionales elegidos. Ambos ejemplos han sido contrastado condatos experimentales y con otros codigos, ver [Vogt-98].
La densidad y la viscosidad del fluido son transportadas por el campo de velocidadesdel fluido, de modo que se puede escribir una ecuacion de transporte para cada una deestas magnitudes:
Dρ
Dt= 0
Dµ
Dt= 0
A cada lado de la interfase la densidad y la viscosidad son constantes. Sin embargoen la interfase tanto la densidad como la viscosidad son discontinuas y esto da lugar auna gran dificultad numerica. Muchos esquemas de diferencias finitas sufren de difusionnumerica cuando se resuelven tales ecuaciones.
7.2 Tecnica de la funcion de nivel ”level set”.
7.2.1 Formulacion de la funcion de nivel ”level set”
La funcion level-set es una funcion escalar suave definida en ambos fluidos con signoopuesto en cada uno. Cada nivel es un subconjunto de la funcion level set y la superficielibre es un subconjunto de valor nulo. Inicialmente la funcion se inicializa de acuerdo auna distancia, con signo, desde la interfase y para tiempos distintos del inicial el valor
114
se obtiene de la resolucion de la ecuacion del transporte homogeneo, es decir, igualandola derivada sustancial a cero. A medida que se van transportando dichas magnitudes,el agua y el aire se van acoplando en las distintas zonas del dominio. Para suavizarel salto en la interfase de las propiedades fısicas estas se suavizan en una cierta bandaalrededor del nivel cero de la level-set. Una ventaja interesante de la tecnica del level setes que la interfase no tiene porque ser encontrada explıcitamente sino que se encuentaguardada dentro de toda la informacion que aporta la level-set. Es necesario comentarque la extension del calculo de la funcion level set a tres dimensiones es algo bien sencillo.
Retomando las ecuaciones de Navier-Stokes presentadas en el capıtulo 2. Sea Ω ⊂Rd (d = 2, 3) un dominio abierto con una frontera Γ suficientemente suave. Se supondraque en la frontera se comparten condiciones de contorno de dos tipos de modo quese considerara el contorno dividido en dos partes ΓD y ΓN tal que Γ = ΓD ∪ ΓN y quetambien satisfacen que ΓD∩ΓN = ∅. Las ecuaciones adimensionalizadas por una longitudcaracterıstica L, una velocidad caracterıstica U, la densidad y viscosidad del agua quedescriben el movimiento de un fluido newtoniano incompresible son:
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (7.1)
Dvi
Dt=
−1
Fn2·
∂z
∂xi
−1
ς1
∂p
∂xi
+∂
∂xj
(1
Re
ς2ς1
∂vi
∂xj
)en Ω × (0, t) (7.2)
Estas ecuaciones se resuelven de acuerdo a las siguientes condiciones iniciales y decontorno:
vi = vDirichleti en ΓD × (0, t) (7.3)
τijnj = −pni + µ∂vi
∂n= −ρg(−z)ni en ΓN × (0, t) (7.4)
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω × (t = 0) (7.5)
Donde ni es el vector unitario normal saliente al contorno Γ.
A estas ecuaciones hay que anadirle la ecuacion de transporte del level-set φ que noes otra que una ecuacion de transporte homogenea:
115
Dφ
Dt= 0 (7.6)
donde (ver figura 7.1 ):
ςi =
1 si φ > αλi si φ < −α
ςi + ∆ςi · sin(
πφ2α
)otros casos
ςi = 0.5 ∗ (1 + λi)
∆ςi = 0.5 ∗ (1 − λi)
Fn2 =U
gLRe =
LU
ν
La funcion level-set esta definida como positiva en el agua y como negativa en el aire.Los parametros λ1 y λ2 son los ratios entre las propiedades del aire y el agua para ladensidad y la viscosidad respectivamente, α es la mitad del espesor de la banda finita enla cual la densidad y viscosidad varıan del agua al aire.
La ecuacion (7.6) se resuelve mediante el Metodo de las Caracterısticas para ecua-ciones de transporte homogeneas tal y como se realizo en el capıtulo 4 cuando se resolvioel problema del cono, con la condicion inicial de que:
φ (xi, 0) = distancia vertical(nodo i,superficie libre inicial)
La discetizacion temporal de estas ecuaciones se realiza suponiendo un intervalo tem-poral [0, T ] dividido en N subintervalos [tn, tn+1] de longitud ∆t, de modo que N∆t =T. Para cada intervalo se van a integrar las ecuaciones (7.1)− (7.5) a lo largo de lastrayectorias de las partıculas fluidas tal y como se explica a continuacion.
Tal y como se realizo en el capıtulo 4 se comienzan hallando los pies de las carac-terısticas mediante un proceso analogo al que allı se realizo, y se interpolan los valores dela velocidad en dichos pies de las caracterısticas. Para cualquier (xi, t) ∈ Ω× [tn, tn+1] ,seintegra la ecuacion (7.2) a lo largo de las caracterısticas para obtener:
tn+1∫
tn
dui (xj, t) =
tn+1∫
tn
−1
Fn2·
∂z
∂xi
· dt −
tn+1∫
tn
1
ς1
∂p
∂xi
· dt +
tn+1∫
tn
∂
∂xj
(1
Re
ς2ς1
∂vi
∂xj
)· dt
116
Figura 7.1: Coeficiente ς1 para α = 0.5
ui (xj, tn+1) = ui (Xj (x, tn+1; tn) , tn) +
tn+1∫
tn
−1
Fn2· δiz · dt −
tn+1∫
tn
1
ς1
∂p
∂xi
· dt+ (7.7)
+
tn+1∫
tn
∂
∂xj
(1
Re
ς2ς1
∂vi
∂xj
)· dt
Utilizando reglas de cuadratura analogas a las que se utilizaron en el capıtulo anteriorse llega al problema:
un+1i = u∗n
i +∆t
2
−1
Fn2· δn+1
iz −1
ς1
∂pn+1
∂xi
· ∆t +
+∆t
2 · Re[
∂
∂xj
(ς2ς1
∂vn+1i
∂xj
)+
∂
∂xj
(ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
)]
∂vn+1i
∂xi
= 0
con las condiciones
117
vi = vDirichleti en ΓD
τijnj = −pni + µ∂vi
∂n= −ρg(−z)ni en ΓN
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω
La resolucion de este problema es semejante a resolver el problema de Stokes pero
ahora con un fluido cuyas propiedades varıan en funcion del espacio. La busqueda de lasolucion de este problema se desarrollara en el apartado siguiente y quiza sea la aportacionmas original de esta tesis, es decir a continuacion, se va a realizar una adaptacion com-probada mediante codigo del algoritmo de Glowiski para la resolucion de las ecuacionesde Navier-Stokes y descrito en el capıtulo anterior para un solo medio fısico al caso quenos ocupa donde se tienen dos medios, o dicho de otro modo se adaptara el algoritmo deGlowinski al sistema de ecuaciones diferenciales propuesto por Vogt en [Vogt-98].
7.2.2 Reinicializacion.
A la funcion level-set se le pide en cada paso de tiempo en el que avanza la integracionel hecho de que conserve su definicion de distancia a la superficie libre, como en suinicializacion de hecho cumple. Gracias a esta propiedad que se desea, el ancho de bandaen el cual las propiedades como la viscosidad o la densidad varıan de un fluido a otropuede tener un espesor constante y no variar a medida que el tiempo pasa. Si se realizala integracion evolutiva de dicha ecuacion sencillamente con el esquema que se proponeen el capıtulo 4 de integracion de ecuaciones de transporte homogeneas se llega a laconclusion que si bien la funcion level-set evoluciona en el tiempo, rapidamente deja deser una distancia a diferencia de lo que se desea. Con el objeto de que no pierda estapropiedad se esta obligado a transformar el resultado de dicha integracion a traves de unproceso conocido como reinicializacion que nos pemitira restablecer dicha propiedad.
Para conseguir que una funcion escalar como la level set sea una distancia se debeconseguir que su gradiente sea igual a la unidad. De hecho los valores de las propiedadesfısicas en la banda de (−α, α) sufren grandes distorsiones si |∇φ| es muy distinto de uno.De modo que se seguira una ecuacion de reinicializacion propuesta por [Sussman-98]capaz de conseguir tal fin cuando alcanza el estado estacionario.
Sea φ el resultado de la integracion de la ecuacion (7.6) en el instante tn+1, el objetivo
de la reinicializacion es conseguir una funcion φ tal que en cada punto represente de
118
nuevo una distancia a la interfase y se comporte mejor que φ. Debido a que en todoslos puntos de la interfase la distancia a la misma es cero, dicha interfase permaneceinalterada mediante la reinicializacion, es decir las isosuperficies φ = 0 y φ = 0 coinciden.
Teoricamente la reinicializacion podrıa llevarse a cabo desde un punto de vista ge-ometrico, pero ello darıa lugar a un gran consumo de CPU y ademas podrıa ser pocofavorable desde un punto de vista numerico debido a la poca regularidad de la funcionresultante. La ecuacion iterativa de reinicializacion es la siguiente:
∂φ
∂τ= S (φ)
(1 −
∣∣∣∣∣∂φ
∂xi
∣∣∣∣∣
)(7.8)
donde S es una funcion signo suavizada del tipo:
S (φ) =φ√
φ2 + ε2
El valor de ε se estima alrededor de α siguiendo las investigaciones de Sussman et al.,tal y como se indica en [Sussman-98].
La ecuacion (7.8) puede escribirse en la forma:
∂φ
∂τ+ wi ·
∂φ
∂xi
= S (φ) (7.9)
donde:
wi = S (φ)
(∂φ
∂xi
/
∣∣∣∣∣∂φ
∂xi
∣∣∣∣∣
)
Este algoritmo debe converger a un estado estacionario, cuando este estado se consigueel primer termino de la ecuacion (7.8) desaparece y por lo tanto se llega a igualar el
modulo del gradiente a la unidad, consiguiendo ası que φ sea una funcion distancia.Hablando de modo estricto el proceso de reinicializacion no tiene nada que ver con elproblema del flujo. La integracion de la ecuacion (7.9) se realiza a traves del Metodo delas Caracterısticas ya visto el capıtulos anteriores.
Mediante la notacion empleada anteriormente sobre el operador derivada sustancialse puede notar como Dwφ
Dτa la derivada sustancial de la funcion level set a traves del
campo de velocidades dado por wi. Luego se puede escribir la ecuacion (7.9) de la forma:
Dwφ
Dτ= S (φ)
e integrando a traves de las lineas caracterısticas:
119
φ (xi, tn+1) = φ (Xi, tn) +
∫ tn+1
tn
S (φ) dt
aproximando la integral por su valor en el lımite superior tenemos que:
φ (xi, tn+1) = φ (Xi, tn) + S (φ) ∆τ
Tal y como senala en [Cura-99], no es necesario en la practica la solucion exacta
de la ecuacion (7.9) , de hecho unos cuantos pasos son suficientes dado que φ debe serreinicializada en las proximidades de la interfase solamente, y cuando se resuelve (7.9) lasolucion primeramente afecta a los puntos proximos a la interfase y posteriormente a lospuntos mas y mas alejados. Por lo tanto en la practica tres iteraciones son suficientes paramantener el espesor de la interfase constante. El tiempo τ que se elige para la integracionde la ecuacion (7.9) es un mero tiempo computacional y se discretiza tomando saltos detiempo del orden de ∆τ = α/10. El proceso de reinicializacion no aumenta mucho eltiempo de computo general del problema.
No se debe confundir el proceso de reinicializacion con un proceso de conservacion dela funcion level set. Por conservacion se entiende que la integral de la funcion level settiene un valor constante a medida que el tiempo evoluciona, es decir:
∫
Ω
φ·dΩ = cte.
Esta condicion no queda garantizada con el proceso de reinicializacion. A pesar deello si se quisiera hacer este proceso conservativo habrıa que hacer uso del algoritmopropuesto por Bermejo en [Ber-Con-00].
7.3 Solucion iterativa del problema de Stokes.
7.3.1 Generalidades.
La discretizacion temporal del problema de Navier-Stokes mediante el metodo de lascaracterısticas nos lleva a la solucion del siguiente problema tipo Stokes.
vn+1i − β ·
∂
∂xj
(ς2ς1
∂vn+1i
∂xj
)= v∗n
i + ∆t∂
∂xi
(−z
Fn2
)− (7.10)
120
−∂
∂xi
(pn+1
ς1
)∆t − pn+1 ·
∂
∂xi
(1
ς1
)∆t + β
∂
∂xj
(ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
)en Ω
∂vn+1i
∂xi
= 0 en Ω (7.11)
vi = vDirichleti en ΓD
τijnj =
[−
p
ς1+
z
Fn2
]ni +
1
Reagua
ς2ς1
∂vi
∂n= 0 en ΓN
vi (xi, 0) = v0 (xi) en Ω
donde se ha llamado β = 1
2·Re∆t.
Si multiplico escalarmente a la ecuacion (7.10) por un vector w ∈ V0 y la ecuacion(7.11) por un vector q ∈ Q se integra en Ω se tiene que:
∫
Ω
vn+1i ·widΩ− β ·
∫
Ω
∂
∂xj
(ς2ς1
∂vn+1i
∂xj
)widΩ =
∫
Ω
v∗ni ·widΩ +
∫
Ω
pn+1∂
(1ς1
)
∂xi
· ∆t · widΩ−
−
∫
Ω
∂
∂xi
(pn+1
ς1+
−z
Fn2
)∆twi · dΩ + β
∫
Ω
∂
∂xj
(ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
)· widΩ
∫
Ω
∂vn+1i
∂xi
· q · dΩ = 0 (7.12)
Llamando:
pn+1
ς1+
−z
Fn2= P n+1
121
Conocida P n+1como presion generalizada o presion motriz.Segun esta nueva presion la condicion de contorno Neumann quedarıa:
P n+1ni +1
Reagua
ς2ς1
∂vi
∂n= 0 en ΓN (7.13)
Aplicando derivacion por partes a las derivadas segundas y al gradiente de presion :
∂
∂xj
(ς2ς1
∂vn+1i
∂xj
)· wi =
∂
∂xj
(ς2ς1
·∂vn+1
i
∂xj
· wi
)−
ς2ς1
·∂vn+1
i
∂xj
·∂wi
∂xj
∂
∂xj
(ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
)· wi =
∂
∂xj
(ς2ς1
·∂v∗n
i
∂xj
· wi
)−
ς2ς1
·∂v∗n
i
∂xj
·∂wi
∂xj
∂P n+1
∂xi
· wi =∂
∂xi
(P n+1 · wi
)−
∂wi
∂xi
· P n+1
Sustituyendo y aplicando el teorema de Gauss en las derivadas totales :
∫
Ω
vn+1i widΩ − β
∫
Γ
ς2ς1
·∂vn+1
i
∂xj
· winj · dΓ + β
∫
Ω
ς2ς1
∂vn+1i
∂xj
∂wi
∂xj
· widΩ =
∫
Ω
v∗ni · widΩ+
−
∫
Γ
(P n+1 · wi
)· ni · ∆t · dΓ +
∫
Ω
P n+1 ·∂wi
∂xi
· ∆tdΩ + β
∫
Γ
ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
· wi · nj · dΓ−
−β
∫
Ω
ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
· widΩ +
∫
Ω
pn+1 ∂
∂xi
(1
ς1
)· ∆t · widΩ
Observando la definicion de V0 del capıtulo anterior y teniendo en cuenta que w ∈ V0,por lo que w = 0 en ΓD.
∫
Ω
vn+1i · widΩ + β
∫
Ω
ς2ς1
∂vn+1i
∂xj
·∂wi
∂xj
dΩ − β
∫
ΓN
ς2ς1
(∂vn+1
i
∂xj
+∂v∗n
i
∂xj
)
︸ ︷︷ ︸[1]
nj · wi · dΓN+
+β
∫
ΓN
P n+1 · ni · 2Re · wi · dΓN =
∫
Ω
v∗ni · widΩ + ∆t
∫
Ω
P n+1 ·∂wi
∂xi
dΩ−
122
−β
∫
Ω
ς2ς1
∂v∗ni
∂xj
·∂wi
∂xj
dΩ +
∫
Ω
pn+1 ∂
∂xi
(1
ς1
)· ∆t · widΩ
Desarrollando en serie a lo largo de las curvas caracterısticas tal y como se hizo en elcapıtulo anterior el termino [1] queda:
∂vn+1i
∂xj
+∂v∗n
i
∂xj
= 2 ·∂vn+1
i
∂xj
−∂
∂xj
(∂v∗n
i
∂xk
· tk
)· ∆t + O
(∆t2
)
Teniendo en cuenta la condicion de contorno (7.14) se sabe que:
∫
ΓN
∆t
(ς2ς1
1
Re
∂vn+1i
∂n− P n+1 · ni
)· wi · dΓN = 0
Una vez se ha obtenido una formulacion debil del problema, este planteamiento semi-discreto(se ha discretizado en el tiempo pero aun no en el espacio) puede ser reescritoen un contexto de elementos finitos. Para aproximar la solucion (vi, p) ,se continuanutilizando elementos finitos del tipo Taylor-Hood (elementos cuadraticos en la velocidady lineales en la presion P2/P1). Para este tipo de elementos, tanto la velocidad como lapresion son continuas sobre el contorno de cada elemento.
Aproximando la solucion en los nodos tal y como se hizo antes. La solucion en unpunto cualquiera xi ∈ Ω a partir de lo obtenido en el calculo por elementos finitos es:
vnih (xi) = Un
j φj (xi)
pnih (xi) = P n
k wk (xi)
Siendo φj , wk los conjuntos de funciones base de Vh y Qh respectivamente, y Unj
y P nk los correspondientes valores en los nodos de la malla obtenidos en el instante tn a
partir del metodo de los elementos finitos.
7.3.2 Ecuacion funcional de la presion.
El problema de Stokes resultante una vez se ha implementado el metodo de las carac-terısticas en las ecuaciones de Navier-Stokes, no es exactamente igual al que se presentabaen el capıtulo anterior. La diferencia fundamental se halla en el termino [1] de la ecuacion(7.14).
∫
Ω
vn+1i · widΩ − β ·
∫ς2ς1
Ω
∂2vn+1i
∂x2j
· widΩ =
∫
Ω
v∗ni · widΩ −
∫
Ω
∂P n+1
∂xi
· ∆t · widΩ+ (7.14)
123
+β
∫
Ω
ς2ς1
∂2v∗ni
∂x2j
· widΩ +
∫
Ω
pn+1 ∂
∂xi
(1
ς1
)· ∆t · widΩ
︸ ︷︷ ︸[1]
∫
Ω
∂vn+1i
∂xi
· q · dΩ = 0
De nuevo la presion P n+1 y la velocidad vn+1i estan claramente acopladas, se utilizara
por tanto el mismo metodo iterativo del Gadiente Conjugado que antes.Sea P 0 ∈ L2 (Ω) dato y m el ındice del algoritmo de gradiente conjugado que llevara
la iteratividad del proceso:
Para m≥ 0,suponiendo Pm conocido, el calculo desacoplado de la presion Pm+1 y lavelocidad vm+1
i se realiza mediante las ecuaciones:
vm+1i ∈ Vg; ∀wi ∈ V0 se tiene:
∫
Ω
vm+1i · widΩ − β ·
∫
Ω
ς2ς1
∂2vm+1i
∂x2j
· widΩ =
∫
Ω
v∗ni · widΩ −
∫
Ω
∂Pm
∂xi
· ∆t · widΩ+ (7.15)
+β
∫ς2ς1
Ω
∂2v∗ni
∂x2j
· widΩ +
∫
Ω
pn+1 ∂
∂xi
(1
ς1
)· ∆t · widΩ
Pm+1 = Pm − ρ∂vm+1
i
∂xi
(7.16)
El cambio interesante es hacer que en la ecuacion (7.15) la presion deja de ser incognitay pasa a ser dato, por otro lado la ecuacion de incompresibilidad del fluido (∇ · −→v = 0)deja de aparecer explıcitamente y pasa a formar parte de la ecuacion (7.16) de modoque a medida que el campo de velocidades se va haciendo mas adivergente la presion vaconvergiendo y Pm+1 = Pm.
Si∂vm+1
i
∂xi
→ 0 =⇒ Pm+1 ∼= Pm.
124
Es decir la presion se va corrigiendo y se va aproximando a la correcta a medida quela divergencia de la velocidad va tendiendo a cero. El cambio va mucho mas alla, dadoque se ha conseguido que el sistema este por fin desacoplado en velocidad-presion auncuando sea necesario iterar para poder resolverlo.
7.4 Implementacion numerica del metodo.
Para resolver las ecuaciones que gobiernan todo el proceso que se ha tratado de describirlos pasos ordenados deben ser los siguientes:
Conocer la solucion en el instante n+1 a partir de la solucion en n, requiere de:1o-Resolver mediante el algoritmo del Gradiente Conjugado las ecuaciones (7.15) y
(7.16) hasta que en un paso m+1 se cumpla la condicion de Pm+1 ∼= Pm. Cuando estose logre:
vn+1i = vm+1
i
P n+1 = Pm+1
pn+1 = ς1 ·( z
Fn2+ P n+1
)
2o-Resolver la ecuacion (7.6) para la funcion level set.3o-Reinicializar la funcion level set mediante la ecuacion (7.9).4o-Repetir los pasos 1-3 hasta que se alcance el estado estacionario.
7.5 Ejemplos numericos.
1.Perfil adherido al fondo.
Se consideran dos casos distintos para evaluar numericamente la superficie libre aire-agua y el perfil de ola generado en ellos. Uno de ellos es un caso donde el objeto sumergi-do permanece adherido, el objeto no es mas que un perfil experimental introducido porCahouet en [Cah-84] al fondo mientras que el otro se trata de un cilindro completa-mente sumergido a una cierta profundidad. Los resultados obtenidos se comparan conlos mostrados en el estudio de Vogt [Vogt-98], resultados experimentales y resultadosobtenidos por otras tecnicas como el movimiento de malla.
125
Figura 7.2: Perfil adherido al fondo
El perfil del objeto adherido esta descrito por la ecuacion:
y =27
4
E
l3x (x − l)2
donde y es la altura y x la distancia a partir del comienzo. Los parametros E (maximaaltura del perfil) y l (longitud del perfil) han sido tomados segun la siguiente tabla :
E 0.042l 0.42
El perfil se ha trazado a partir de cuatro puntos que cumplen la ecuacion de dichoperfil y haciendo que el entorno grafico trace una NURBS a traves de ellos. Los puntosde definicion son :
Pto x y1 0 02 l 03 l/3 E4 l/2 27E
32
El perfil se ha colocado en el fondo de un canal de ensayos. A partir de los resultadosde Vogt se ha visto como no hay una gran diferencia en el problema si se implementa unmodelo de turbulencia o no, ver [Vogt-98], se han hecho pruebas sin el y con un modelode turbulencia tipo Smagorinsky.
La propiedades fısicas de los fluidos que se han considerado son:
ρagua = 998.1 Kg/m3
ρaire = 1.20 Kg/m3
126
Figura 7.3: Perfiles de ola para el perfil adherido al fondo.
µagua = 1.00 · 10−3 Kg/ms
µaire = 1.81 · 10−5 Kg/ms
No se han tenido en cuenta los fenomenos de tension superficial. Inicialmente, ya secomento, la superficie libre coincide con la recta horizontal de φ = 0.
Por otro lado teniendo en cuenta que la convergencia de los flujos supercrıticos eses sensiblemente mayor que los casos de baja velocidad, se tomo un flujo supercrıticode Fr=2.05. El problema se adimensionalizo con la velocidad de entrada al mallado, laaltura del objeto E, y la presion se adimensionalizo mediante el producto ρagua ·U
2, siendoU la velocidad de entrada al mallado.
La geometrıa del problema queda definida por (ver figura 7.2 ):Altura total del dominio (agua+aire)=4.5452.Profundidad inicial del fondo=0.09545/E=2.2726.Distancia horizontal del comienzo del dominio al comienzo del perfil=1/E=23.8Distancia horizontal del final del dominio al comienzo del perfil=1/E=23.8Comienzo del perfil situado en la abcisa=0.0.
Tanto en el caso en el que se considero modelo de turbulencia tipo Smagorinsky comoen el caso donde no se empleo modelo alguno (debido a la escasa diferencia vista en[Vogt-98], la condicion de contorno que se empleo en el fondo fue del tipo no-slip. Verfigura 7.3
127
Figura 7.4: Geometrıa del problema del hidrofoil.
2. Hidrofoil sumergido.Gracias a las medidas realizadas por Duncan en [Duncan-83] basadas en el perfil
de ola que se obtiene tras un perfil NACA 0012, se trato de simular esta situacion ycomparar con las medidas experimentales citadas y otras simulaciones realizadas porVogt en [Vogt-98]. Las medidas experimentales se llevaron a cabo con un hydrofoil delongitud de cuerda de 20.3 cm sumergido y empujado a lo largo de un canal de 24 m delongitud a una altura fija de 17.5 cm sobre el fondo del canal. La velocidad a la que serealizo el experimento fue de 0.8 m/s y un numero de Froude de 0.567. Por otro ladola profundidad de inmersion del hydrofoil fue de s=21 cm, o lo que es lo mismo 1.03unidades adimensionales. La geometrıa del hydrofoil, ver figura 7.4 se adimensionalizarade modo que su cuerda pase a tener valor unidad, y dicho valor pasara a ser la longitudcaracterıstica necesaria para el calculo del numero de Froude.
En el primer ejemplo el flujo que se estudio sobre el perfil adherido fue supercrıtico.En ese caso la ola que se generaba era local en la zona donde el fondo de la topografıacambiaba, en un ejemplo ası muchos de los posibles errores de disipacion y dispersionpodıan quedar disimulados, esto no ocurre tan exageradamente cuando el perfil generaun tren de olas de tipo subcrıtico. Por lo tanto el estudio de un perfil NACA 0012 conun angulo de ataque de 5o es un buen ejemplo para la validacion.
Para mallar este caso se utilizo una geometrıa rectangular donde la entrada estabacolocada a siete veces la longitud de la cuerda del hydrofoil y la salida a quince vecesdicha distancia medida desde el comienzo del perfil. El numero de nodos 77432 y elnumero de elementos cuadraticos es de 38334. Ver figura 7.5.
Hay que tener un cierto cuidado con el tamano de mallado alrededor del perfil NACAy mallar de modo que el tamano de los elementos alrededor de la salida sea algo menorque el radio de curvatura de la salida del perfil.
El numero de nodos que se utilizo en el interior de la banda de transicion de las
128
Figura 7.5: Mallado del hidrofoil
propiedades del fluido fue de 6, de modo que se consideran un elemento a cada lado de lasemibanda. Tal y como indica Vogt el hecho de meter mas elementos, y por lo tanto masnodos ,en la banda de transicion hace que el problema sea mas dispersivo y los resultadospeores.
Las condiciones en las que se esta realizando este experimento numerico son muyproximas a la situacion de ola rompiente, que segun los experimentos comentados en[Duncan-83] se produce para s=19.3 cm.
A la vista de la geometrıa podrıa parecer necesario que la parte del dominio ocupadapor agua tuviese la misma cantidad de volumen que la parte de aire, esto no es comple-tamente necesario y se podrıan agilizar los calculos minimizando el tamano de la partede aire siempre que al menos se mantenga un mınimo de 4 nodos entre el lımite superiorde la banda de transicion y el lımite superior del dominio. En esta tesis se utilizo unnumero muy superior a cuatro conscientes de que esta habıa sido causa de conflicto enotras investigaciones sobre el tema. Por otro lado se esta utilizando una condicion decontorno en la parte superior (salida con tension nula) que invita a pensar que la regionde aire debe de tener una cierta amplitud para poder cumplir dicha condicion.
Es bueno notar que en la banda de transicion la densidad da un salto de 1 a 1000 enuna region del espacio muy estrecha, y esta variacion no es simetrica, es decir, miradopor el lado del agua la densidad varıa de 1000 a 500 (valor que toma la densidad a mitadde camino en la banda de transicion) pero mirando por el lado del aire la variacion esde 1 a 500. De modo que mientras que en el lado del agua la densidad se divide por 2,en el caso del aire se multiplica por 500, es por ello que los cambios mas bruscos que seproducen en la interfase se dan por el lado del aire.
129
Figura 7.6: Instante del proceso de formaci on de la ola.
Los resultados obtenidos con este primer mallado se presentan a continuacion en lafigura 7.7:
Tras observar otros trabajos experimentales, ver [Vogt-98], la ola se aproxima a laexperimental a medidad que el numero de nodos aumenta en el mallado, por ello seaumento el mallado hasta 124748 nodos consiguiendo una mejora sustancial respecto almallado anterior. Los resultados se pueden apreciar en la figura 7.8.
130
Figura 7.7: Perfiles de ola del problema del hidrofoil.
Figura 7.8: Ola creada por el hydrofoil con un mallado mas fino.
131
Capıtulo 8
Conclusiones y lineas futuras de
investigacion.
Ya se comento en la introduccion a esta tesis que lo que se pretendıa en ella no es otra cosaque el desarrollo de un metodo de calculo capaz de resolver problemas de la Mecanicade Fluidos. Se pretende con ello que el ingeniero tenga una herramienta eficaz paraenfrentarse a algunos problemas y por lo tanto mejorar los procedimientos actuales deanalisis y diseno en el ambito hidrodinamico. Esto da al ingeniero una alternativa eficazpara acometer problemas, que hasta ahora se resolvıan de modo experimental medianteun metodo computacional rapido y robusto. El paso siguiente serıa el desarrollo deejemplos con superficie libre en casos tridimensionales, algo que mediante la tecnica dela funcion de nivel exige un elevado numero de nodos en la superficie libre y que por lotanto aumenta sustancialmente la memoria y el tiempo necesarios para la ejecuccion delcodigo. Hay partes del codigo que sin duda podran ser mejoradas en cuanto a tiempode calculo computacional en un futuro proximo, actualmente la duracion de un casobidimensional de unos 100.000 nodos esta proximo a las 35 horas y serıa deseable reduciresta duracion. Por otro lado serıa interesante la implementacion de un mallado adaptativoque fuese capaz de hacer la malla mas tupida allı donde los gradientes de las magnitudesde estudio son mas grandes. Es necesario decir que la variedad de posibilidades queplantea la hidrodinamica no estan completamente contenidas en estos desarrollos, haydificultades que se pregunta la ingenierıa moderna que aquı no se contemplan, pero quesin lugar a dudas la actual tesis abre vıas para el posterior desarrollo de estas cuestiones.
A lo largo de esta tesis se han presentado una serie de metodos basados en tres pilaresteoricos fundamentales: el metodo de los elementos finitos, el metodo de las caracterısticasy el metodo de la funcion de nivel, con todo este fundamento teorico se ha sido capaz decrear una herramienta aplicable a un buen numero de casos donde un flujo incompresiblecircula alrededor con una cierta geometrıa. Esta combinacion de tecnicas constituye unaalternativa a otros metodos de resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Por otro lado se desarrollo un metodo de turbulencia para el esquema de resolucionempleado, de forma que entre todos lo metodos capaces de ser aplicados a las ecuaciones
132
estabilizadas de Reynolds, se aplicaron modelos basicos y se deja para un futuro laimplementacion de otros mas complejos.
La parte mas novedosa de la tesis podrıa encontrarse en la combinacion del metododel gradiente conjugado para la resolucion de las ecuaciones de Navier-Stokes junto conel metodo de la funcion de nivel (level set method), esto da lugar a la eliminacion de lacondicion de contorno que clasicamente aparece en la superficie libre cuando se utilizanmetodos de movimiento de malla. Estos desarrollos han dejado sin duda temas abiertoscomo la evaluacion y analisis del termino del gradiente de la funcion de nivel que hastacierto punto algunos investigadores desprecian y las consecuencias que podrıa acarrearello. Tambien serıa bueno el hacer un analisis sistematico de la influencia de la densidaddel mallado en el metodo de la funcion de nivel.
La forma en que se imponen las condiciones de contorno tipo slip, si bien no esoriginal, ya que es una traslacion de otros metodos de calculo, es sin lugar a dudas unahabil adaptacion al algoritmo de calculo utilizado, y difıcil de ver con tanto detalle en labibliografıa.
El conjunto formado por el codigo de calculo y el software de pre y postproceso GiD,es adecuado para la resolucion de ciertos problemas practicos en el ambito de la Mecanicade Fluidos, presentando en este trabajo algunos de ellos. Esta variedad de aplicacioneshace amplio el horizonte de las lineas futuras de trabajo.
133
Capıtulo 9
Apendice I : modelo de turbulencia.
Tal y como se ha avanzado en muchas situaciones de las vistas hasta ahora los calculosse han llevado a cabo a bajos numeros de Reynolds debido a que se ha prescindido de unmodelo concreto de turbulencia. En esta seccion se va a describir brevemente lo que seva a entender por turbulencia y se presentara algun modelo que junto con lo ya mostradonos llevarıa a generalizar los problemas anteriores a cualquier numero de Reynolds.
Como ya se comento en el capıtulo 2, el hecho de que el numero de Reynolds seamoderado es quiza la restriccion mas importante que tienen las ecuaciones de Navier-Stokes para poder hablar de existencia y unicidad de solucion. ¿Que ocurre a altosnumeros de Reynolds?
Los metodos numericos son capaces de darnos soluciones a altos numeros de Reynolds,pero a pesar de ello se duda de cuanto de cerca estan estas soluciones de la realidad fısica.La respuesta a todas estas interrogantes se halla en el hecho de que a elevados numeros deReynolds el flujo se convierte en caotico y se describe en un diagrama de fases medianteatractores extranos, este tipo de flujo se conoce como turbulento. Mirando el problemade este modo es evidente que el numero de Reynolds no es otra cosa que el parametro debifurcacion del sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
El flujo turbulento se puede entender como una fluctacion de las magnitudes fluidasque se superpone al flujo medio, las escalas espaciales de este tipo de movimiento sonbastante mayores que las escalas moleculares de modo que las hipotesis de medio continuoy las ecuaciones de Navier-Stokes son aun validas en esta escala. Lo que tambien escierto es que las escalas del movimiento turbulento son mucho menores que el menorde los tamanos de los elementos que es posible resolver en la simulacion (salvo en losejemplos particulares de DNS) y como se senala en [GaEsp-99] el numero de nodos queserıan necesarios para resolver un a simulacion tridimensional llegando hasta las escalasturbulentas serıa de 1014, es bien sabido que todo lo que pasa de 106 nodos entra dentrode la ciencia ficcion computacional de modo que la simulacion directa es una tecnica queno se puede aplicar a este tipo de problemas.
El ingeniero cuando quiere resolver las ecuaciones de Navier-Stokes esta concreta-mente interesado en los valores medios espaciales y temporales de las magnitudes fluidas,
134
que son precisamente aquellos que podra comparar con los valores experimentales, esdecir que el hecho de que se introduzca un modelo de turbulencia no implica que se esteinteresado en conocer los valores de las fluctuaciones de las magnitudes fluidas sino quese reconoce que esta escala turbulenta tiene una gran influencia en algunas zonas deldominio de nuestras ecuaciones. Es por todo esto que cuando el numero de Reynolds esmoderadamente alto hay que promediar las ecuaciones de Navier-Stokes y convertir lasincognitas clasicas en valores estadısticamente promediados.
Si se consideran las variables incognitas de las ecuaciones de Navier-Stokes comovariables estadısticas que se pueden descomponer, tal como hizo Reynolds en suma deun valor medio mas una fluctuacion:
vi = vi + v′i (9.1)
p = p + p′
Donde vi y p son los valores medios de la velocidad vi y la presion p respectivamente,y v′
i y p′ sus fluctuaciones. Sustituyendo las ecuaciones (9.1) en las ecuaciones de Navier-Stokes y tomando el valor medio en estas ultimas, se llega a las conocidas como ecuacionesRANS (Reynolds Averaged Navier Stokes):
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (9.2)
Dvi
Dt=
−1
Fn2· δiz −
∂p
∂xi
+1
Re
∂2vi
∂x2j
−∂τR
ij
∂xj
en Ω × (0, t)
Donde ya se han eliminado las rayas ”-” de valor medio τRij es conocido como el tensor
de tensiones turbulentas de Reynolds y su valor es de:
τRij = −v′
iv′j
A simple vista se puede apreciar que estas ecuaciones son como las anteriores salvo
la presencia del termino∂τR
ij
∂xj.
La presencia de este tensor a anadido gran cantidad de incognitas a nuestro problemade nuevo que se debe ser capaz de modelar este tensor de algun modo que se obtengaun sistema cerrado de ecuaciones e incognitas. La modelizacion mas tıpica (hipotesis deBoussinesq) es la siguiente:
135
τRij = 2µT ξij −
2
3Kδij
Donde: ξij =(
∂vi
∂xj+
∂vj
∂xi
), ya adimensionalizado
K = 12v′
iv′i, tambien adimensionalizado.
Sustituyendo en (9.2) se llega a las ecuaciones definitivas que no son otras que:
∂vi
∂xi
= 0 en Ω × (0, t) (9.3)
Dvi
Dt=
−1
Fn2· δiz −
∂p
∂xi
+
(1
Re+ µT
)∂2vi
∂x2j
en Ω × (0, t)
Es bueno senalar que a diferencia de µ,viscosidad fısica y constante en todos los puntosde un mismo fluido, la µT es una variable local que refleja el estado turbulento y tomadistintos valores en distintos lugares del mallado a pesar de que sea un mismo fluido.
A la vista de las ecuaciones (9.3), el problema se reduce a encontrar el valor de µT
en cada nodo del mallado. Para evaluar dicha magnitud se puede hacer la analogıade Prandtl en la cual se asemeja el movimiento de los vortices turbulentos con el de lapartıculas de fluido, de modo que la viscosidad turbulenta es proporcional a una velocidadcaracterıstica del movimiento fluctuante y a una escala de longitud tıpica de este(longitudde mezcla).
µT ∝ vmlm
Donde vm es la velocidad caracterıstica del movimiento fluctuante y lm la longitud demezcla.
Se entiende por modelo de turbulencia un metodo para calcular vm y lm. La comple-jidad para el calculo de estas variables puede ser mayor o menor en funcion del modeloelegido, de modo que se puede trabajar con modelos de cero ecuaciones donde no haytransporte de las cantidades turbulentas o bien ir a modelos mas complejos de una odos ecuaciones donde es necesario completar el modelo con complicadas ecuaciones detransporte para las principales magnitudes turbulentas. La discusion sobre cual es elmodelo de turbulencia ideal, o al menos cual es el que mejor funciona para un proble-ma concreto es un problema bastante abierto y que genera bastante discusion entre los
136
investigadores. Algunos investigadores, ver [GaEsp-99],llegan a afirmar que los modelosmas simples obtienen de modo facil buenas y consistentes predicciones del flujo.
Uno de los modelos mas sencillos es el que se ha utilizado en esta tesis y no es otroque el modelo de Smagorinsky.
9.1 Modelo de Smagorinsky.
Este modelo propone que la viscosidad turbulenta depende del tamano de la malla de lasiguiente manera:
µT = Ch2e
√2ξijξij
Donde C es una constante que debe ser del orden de C=0.01, y he el tamano delelemento en cuestion. Se debe notar que µT es un valor local que varıa de nodo a nodo.
137
Capıtulo 10
Apendice II: Subrutina para el
calculo de la velocidad tangente y
del gradiente de la velocidad
tangente.
Debido a que el gradiente de la velocidad en una superficie solida es un dato de granimportancia y por lo tanto necesario en toda validacion, se incorporo una subrutina quepermite calcular, partiendo de las velocidades y gradientes en coordenadas cartesianas,la velocidad tangente al cilindro y su gradiente con respecto a la direccion normal. Estopermite comparar resultados del codigo con datos de la literatura reportados en coorde-nadas cilındricas. El desarrollo matematico que permite obtener, a partir de los datos develocidades y gradientes en coordenadas cartesianas, la velocidad tangente y su gradientecon respecto a la normal, es el siguiente:
SeaVθ = Vt = Vxnx − Vyny (10.1)
Se definio el vector tangente como
~t = (ny,−nx) (10.2)
Como Vθ es funcion de x y de y, y estos a su vez funciones de r, se puede decir
∂Vθ
∂r=
∂Vθ
∂x
∂x
∂r+
∂Vθ
∂y
∂y
∂r(10.3)
en donde∂x
∂r= cos(θ) (10.4)
138
∂y
∂r= sen(θ) (10.5)
Para obtener los gradientes ∂Vθ
∂xy ∂Vθ
∂yse deriva la ecuacion (10.1) con respecto a x e
y respectivamente. De este modo se obtiene
∂Vθ
∂x=
∂Vx
∂xnx + Vx
∂nx
∂x−
∂Vy
∂xny − Vy
∂ny
∂x(10.6)
∂Vθ
∂y=
∂Vx
∂ynx + Vx
∂nx
∂y−
∂Vy
∂yny − Vy
∂ny
∂y(10.7)
Las derivadas de Vx y Vy vienen calculadas por el codigo. Para calcular nx, ny, y suscorrespondientes derivadas, se procede de la siguiente manera:
Considerese que la circunferencia que representa al cilindro viene dada por la siguientefuncion
φ = (x − xc)2 + (y − yc)
2 − R2 (10.8)
El vector normal a la circunferencia sera entonces
~n =∇φ
‖∇φ‖(10.9)
donde∇φ = (2(x − xc), 2(y − yc)) (10.10)
y‖∇φ‖ = 2
√(x − xc)2 + (y − yc)2 (10.11)
Por lo tanto
~n =
(x − yc√
(x − xc)2 + (y − yc)2,
y − yc√(x − xc)2 + (y − yc)2
)(10.12)
Derivando la ecuacion (10.12), se obtienen todas las derivadas parciales necesarias
∂nx
∂x=
(y − yc)2
[(x − xc)2 + (y − yc)2]3/2(10.13)
∂ny
∂y=
(x − xc)2
[(x − xc)2 + (y − yc)2]3/2(10.14)
139
∂ny
∂x=
∂nx
∂y=
−(x − xc)(y − yc)
[(x − xc)2 + (y − yc)2]3/2(10.15)
Por consiguiente, con las ecuaciones (10.1), (10.3), (10.4), (10.5), (10.6), (10.7),(10.12), (10.13), (10.14) y (10.15), pueden obtenerse Vθ y ∂Vθ
∂ra partir de los datos en
coordenadas cartesianas.
140
Capıtulo 11
Apendice III: Manejo del CD ROM
adjunto a esta tesis.
Tal y como se abra observado cada ejemplar de esta tesis lleva un CD Rom adjuntodonde se pueden visualizar algunos videos de los ejemplos resueltos. Para que el manejode dicho CD sea sencillo y la visualizacion no tenga dificultad se recomienda seguir lossiguientes pasos:
1-Abrase el archivo ejecutable VMPEGNWG.EXE que esta contenido en este CD.2-En la barra superior haga click en File y luego en Open y le aparecera una ventana
de apertura de ficheros.3-En la opcion Buscar en seleccione la unidad de su lector de CD y se desplegara en
la parte inferior los contenidos de este CD.4-Seleccionar las carpetas y subcarpetas deseadas hasta llegar a una lista de archivos
con la extension *.mpg.5-Hacer doble click en el archivo de video deseado.6-En la barra superior hacer click en Control y luego en Play y esperar a que comience
la visualizacion.Para ver otro video distinto tras el anterior :Ir directamente al paso 2 y continuar el proceso desde allı.El programa VMPEGNWG.EXE se cierra de forma habitual haciendo click en la X
situada en la parte superior derecha de la ventana y aceptando dicha accion en la ventanade confirmacion que lanza el programa.
Si lo prefiere estos mismos pasos estan recogidos en un archivo denominado leame.txtincluido en el propio CD.
141
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