Ecuaciones Generales de Deflexiones en Vigas Curvass9000081.ferozo.com/PDFs/ANALISIS_DISENO_Y_CONSTRUCCION_DE… · “Análisis y Diseño de Puentes en Arco”, ... Sección sometida

ANALISIS, DISEÑO Y CONSTRUCCION DE PUENTES EN ARCO

© 2002, 2003 OSCAR MUROY 0

INDICE

1. EFECTOS DE LA CURVATURA EN LAS ECUACIONES DE DEFORMACIÓN-

ESFUERZO EN LA SECCIÓN DE UNA VIGA CURVA

2. ECUACIONES GENERALES DE DEFLEXIONES EN VIGAS CURVAS

3. EJE DIRECTRIZ DEL ARCO

4 . VARIACIÓN DEL PERALTE DEL ARCO

5. CONFIGURACIONES TÍPICAS DE PUENTES EN ARCO

6. PROCEDIMIENTOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES EN ARCO

7. DEFLEXIONES DE SEGUNDO ORDEN EN LOS ARCOS

8. COMPENSACIÓN DE ARCOS

9. ESTABILIDAD DE ARCOS

10. EFECTOS DE VARIACIÓN DE TEMPERATURA, ENCOGIMIENTO DE FRAGUA Y

DESPLAZAMIENTO DE APOYOS

11. CONTROL DE LA GEOMETRÍA DEL ARCO DURANTE LA CONSTRUCCIÓN

12. BIBLIOGRAFÍA

Tema de Conferencias del Instituto de la Construcción y Gerencia:

“Análisis y Diseño de Puentes en Arco”, Junio 2,002

“Concepción Estructural de Puentes en Arco”, Agosto 2,003

Publicado en la Revista de la ICG, N° PT-09 y PT-21, respectivamente


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 1

1. EFECTOS DE LA CURVATURA EN LAS ECUACIONES DE DEFORMACIÓN-

ESFUERZO EN LA SECCIÓN DE UNA VIGA CURVA

Tanto en la viga de eje recto como en una de eje curvo, se ha comprobado, por experimentación,

y verificado mediante una rigurosa solución usando la Teoría de la Elasticidad, que las secciones

rectas inicialmente planas, se mantienen planas, al ser sometidas a fuerzas axiales y momentos

flectores.

Sea un segmento de viga curva de eje AB, con

radio de curvatura R, con un ángulo subtendido

de d (Fig. N° 1.1)

Las deformaciones totales pueden

descomponerse en una deformación axial ds y

una deformación angular d

Entonces, en la fibra a la distancia y del eje, la

deformación total será:

dyds

y la longitud original es de dyR

El esfuerzo será, por consiguiente:

dyR

dydsEE

(1.1)

Fig 1.1

a) Sección sometida a fuerza axial N:

En este caso se tendrá, las ecuaciones

0 MdAyA (1.2)

NdAA

(1.3)

El momento de inercia de la sección recta se define como:

AdAyI

2,

y haciendo:

dA

R

y

yI

A

1

'2

,

siendo el valor de y/R, normalmente muy pequeño, desarrollando en series de (y/R) y

despreciando términos mayores al 3er

grado, obtenemos la siguiente expresión:

2

1

1

R

IAdA

R

yA


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 2

Utilizando estas expresiones y la Ec. (1.1) en el desarrollo de la Ec. (1.2), obtenemos la

relación de deformaciones axial y angular:

R

ds

I

Id

' (1.4)

Reemplazando esta Ec. (1.4) en la Ec.(1.3), y teniendo en cuenta que:

dRds , segmento de la viga curva en el eje

la deformación axial será: dsEA

Nds

(1.5)

y, reemplazando la Ec.(1.5) en la Ec.(1.4), se obtiene la deformación angular:

dsEAR

N

I

Id

'

(1.6)

Reemplazando las Ec. (1.5) y (1.6) en la Ec. (1.1), obtenemos el esfuerzo axial:

A

N

b) Sección sometida a flexión M:

En este caso se tendrá, las ecuaciones:

0 NdAA (1.7)

MdAyA

(1.8)

De la Ec. (1.7), con los mismos supuestos anteriores, se obtiene la relación entre la

deformación angular y deformación axial:

R

ds

AR

I

I

ARd

2

2

1 (1.9)

Reemplazando la Ec. (1.9) en la Ec. (1.8), se obtiene la deformación axial:

dsEAR

M

I

Ids

'

(1.10)

Reemplazando este valor, en Ec (1.9) obtenemos la deformación angular:

dsAR

I

EI

Md

21

'

(1.11)

Finalmente, reemplazando estos dos últimos valores en la Ec(1.1), obtenemos el esfuerzo

por flexión, en la sección:

R

yI

My

I

I

AR

M

I

I

R

y

y

I

M

AR

M

I

I

1

1

''1

'' ,

en los elementos curvos, habrá, por consiguiente, esfuerzos axiales en el eje neutro de la

sección, debido a un momento flector M:


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 3

AR

M

I

I

'

c) Sección sometida a fuerza cortante T:

En este caso habrá una deformación por cizallamiento

igual a :

ds

GA

Tds

AG

Tds

GA

Tdy

1/

Haciendo /1 AA , el área equivalente al corte, siendo

, un factor que depende de la forma de la sección

Fig 1.2

d) Resumen:

Luego para una sección sometida a M, N y T, tendremos las siguientes deformaciones:

Deformación angular:

dsEAR

N

I

I

AR

I

EI

M

I

Ids

EAR

N

I

Ids

AR

I

EI

Md

'1

''1

' 22

(1.12)

Deformación axial:

dsEAR

M

I

I

EA

Nds

' (1.13)

Deformación por cizallamiento:

dsGA

Tyd

1

(1.14)

En las Ec. (1.12) y (1.13), los segundos términos EAR

N

I

I

' y

EAR

M

I

I

', son los efectos de

curvatura de la viga, en las deformaciones de la viga curva

A continuación se tiene una tabla con los valores para las áreas, inercias, y los parámetros: I /

I’, I / I’ ( 1+ I / AR2

), I / I’ ( I / AR2

) y A / A1:

Sección A I I’/I

21

' AR

I

I

I 2

' AR

I

I

I A/A1

Rectangular

bxh bh 3

12

1bh

2

2031

Rh 2

1511

Rh 2

121

Rh 3/2

Cajón

bxh y b1xh1 11hbbh 3

11

3

12

1hbbh

3

11

3

5

11

5

220

31hbbh

hbbh

R *

11

3

11

3

212

1

hbbh

hbbh

R

Circular

h

2

4

1h

4

64

1h

2

811

Rh 2

1611

Rh 2

161

Rh 4/3


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 4

Tubular

h y h1

2

1

2

4

1hh 4

1

4

64

1hh

2

1

2

4

1

2

1

24

28

11hh

hhhh

R

2

1

2

4

1

4

216

11hh

hh

R 2

1

2

216

1 hhR

*

11

3

11

3

23

11

3

5

11

5

212

120

31hbbh

hbbh

Rhbbh

hbbh

R

Tabla 1.1 Parámetros de secciones rectas típicas

A fin de tener una idea de los valores (h/R), nos referimos a la Tablas N° 1.2 y N° 1.3 y

vemos que en los Puentes en arco de concreto, se encuentran entre 1/30 a 1/70 y de 1/50 a

>1/100 en Puentes de Acero. Luego (h/R)2<1/900~1/10,000 y, por consiguiente, son muy

pequeños con respecto a 1

N° Nombre

del Puente Tipo

Luz

l(m)

Flecha

f(m) l/f

Forma

del eje

hs

(m) hs/l

hc

(m) hc/l

Sección

recta

1 Nant Ffrwd empotrado 64.9 7.9 8.2 parab. 0.89 1/72.9 0.61 1/106.4 rectang.

2 Kimitsu empotrado 66 14.9 4.4 1.8 1/36.7 1.2 1/55 hueco

3 Mannen 2 articulac. 79 10.6 7.5 2.1 1/37.6 2.1 1/37.6 rectang.

4 Omokage empotrado 85.0 17.0 5 cos hip 2.1 1/40.5 1.5 1/56.7 cajón

5 Nant Hir empotrado 85.5 11.3 7.6 parab. 0.91 1/93.9 0.61 1/140.2 rectang.

6 Araya empotrado 88 15.0 5.9 2.4 1/36.7 1.5 1/58.7 cajón

7 Yoshimi empotrado 90.0 18.0 5 cos hip 2.7 1/33.3 1.7 1/52.9 cajón

8 Miyakawa empotrado 92 17.0 5.4 cos hip 2.0 1/46 1.5 1/61.3 rect

hueco

9 Taf Fechan empotrado 119.5 11.4 10.5 parab. 1.1 1/108.6 0.76 1/157.2 rectang.

10 Yumeno empotrado 124.0 18.0 6.9 2.5 1/49.6 1.8 1/68.9

11 Taishaku empotrado 145.0 30.0 4.8 cos hip 3.8 1/38.2 2.4 1/60.4 cajón

12 Hokawazu 2 articulac. 170.0 26.5 6.4 paráb 4°g 3.0 1/56.7 2.4 1/70.8 cajón

13 Beppu

Myoban

empotrado 235.0 35.5 6.6 4.5 1/52.2 3.5 1/67.1 cajón

14 Río Paraná empotrado 290.0 53.0 5.5 4.8 1/60.4 3.20 1/90.6 cajón

15 Gladesville empotrado 304.8 40.8 7.5 6.9 1/44.2 4.3 1/70.9 cajón

Tabla 1.2 Puentes en arco de concreto

N° Nombre

del Puente Tipo

Luz

l(m)

Flecha

f(m) l/f

Forma

del eje

hs

(m) hs/l

hc

(m) hc/l

Sección

recta

1 South Street 2 articulac 58.8 8.8 6.7 circular 1.00 1/58.8 1.00 1/58.8 cajón

2 Northfolk 2 articulac 84.1 15.5 5.4 parab. 0.61 1/138.0 0.61 1/138.0 cajón


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 5

3 New

Scotswood

2 articulac 100.0 19.5 5.1 0.76 1/131.6 0.76 1/131.6 cajón

4 Leavenworth 2 articulac 128.0 24.4 5.2 0.85 1/150.6 0.85 1/150.6 cajón

5 Smith Av. 2 articulac 158.5 33.3 4.8 2.44 1/65.0 2.44 1/65.0 cajón

6 Río

Colorado

empotrado 167.6 27.4 6.1 2.13 1/78.7 2.13 1/78.7 cajón

7 Cold Spring 2 articulac 213.4 36.3 5.9 2.74 1/77.9 2.74 1/77.9 cajón

8 Glenfield 2 articulac 228.6 37.9 6.0 1.22 1/187.4 1.22 1/187.4 cajón

9 Fort Pitt 2 articulac 228.6 37.2 6.1 1.64 1/139.4 1.64 1/139.4 cajón

10 Lewiston empotrado 304.8 48.5 6.3 paráb 4°g 4.13 1/73.8 4.13 1/73.8 cajón

11 Roosevelt empotrado 329.2 70.1 4.7 parab. 6.1 1/54 2.44 1/135.2 cajón

12 Vltava

Valley

2 articulac 330.0 42.5 7.8 5.0 1/66 5.0 1/66 cajón

13 Fremont 2 articulac 382.5 103.9 3.7 1.22 1/313.7 1.22 1/313.7 cajón

Tabla 1.3 Puentes en arco de acero


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 6

2. ECUACIONES GENERALES DE DEFLEXIONES EN VIGAS CURVAS

Fig 2.1

Las ecuaciones de Navier-Bresse, para los desplazamientos en vigas curvas están dadas por:

Desplazamiento angular:

dsEI

Mww

s

s

0

0 (2.1)

Desplazamiento horizontal:

dsGA

Tds

EA

Ndsy

EI

Myywuu

s

s

s

s

s

s

sincos

0001

000 (2.2)

Desplazamiento vertical:

dsGA

Tds

EA

Ndsx

EI

Mxxwvv

s

s

s

s

s

s

cossin

0001

000 (2.3)

donde:

dsEI

Md , es la deformación angular en cada segmento ds del arco

dsEA

Nds , deformación axial

dsGA

Tdy

1

, deformación de cizallamiento

En estas ecuaciones no están consideradas los efectos de curvatura del arco

Luego, para considerar estos efectos, debemos sustituir estos valores, por los valores

encontrados en la sección anterior:

dsEAR

N

I

I

AR

I

I

I

EI

Md

'1

' 2 (2.4)


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 7

dsEAR

M

I

I

EA

Nds

' (2.5)

dsGA

Tdy

1

(2.6)

La curvatura del eje, se obtiene de la ecuación:

3

2/322/32

cos"1

"

'1

"1y

tg

y

y

y

R

(2.7)

Desarrollando primero las ecuaciones de Navier-Bresse, tenemos:

dsEI

Mww

s

s

0

0 (2.8)

dsGA

Tds

EA

Nds

EI

Mywywuu

s

s

s

s

s

s

sincos

0001

000 (2.9)

dsGA

Tds

EA

Nds

EI

Mxwxwvv

s

s

s

s

s

s

cossin

0001

000 (2.10)

Reemplazando la Ec. (2.4) en la Ec. (2.8):

dsEAR

N

I

I

AR

I

I

I

EI

Mww

s

s

0'

1'

20

que se puede escribir de la siguiente forma:

dsM

NR

AR

I

I

I

AR

I

I

I

EI

Mww

s

s

0

220'

1'

(2.11)

Reemplazando las Ec. (2.4) y (2.5) en la Ec. (2.9):

dsEAR

N

I

I

AR

I

I

I

EI

Mywywuu

s

s

0'

1'

2000

s

s

s

s

dsGA

Tds

EAR

M

I

I

EA

N

00

sincos' 1


dsR

AR

I

I

I

AR

I

I

I

EI

Mywywuu

s

s

0

cos

'1

'22000

s

s

s

s

dsGA

Tds

RI

I

EA

N

00

sincos'

1cos1

(2.12)

Reemplazando las Ec. (2.4) y (2.5) en la Ec. (2.10):


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 8

dsEAR

N

I

I

AR

I

I

I

EI

Mxwxwvv

s

s

0'

1'

2000

s

s

s

s

dsGA

Tds

EAR

M

I

I

EA

N

00

cossin' 1


dsR

AR

I

I

I

AR

I

I

I

EI

Mxwxwvv

s

s

0

sin

'1

'22000

s

s

s

s

dsGA

Tds

RI

I

EA

N

00

cossin'

1sin1

(2.13)

Haciendo:

21

' AR

I

I

I

2' AR

I

I

I

cosR

sinR

Finalmente tenemos las ecuaciones:

dsM

NR

EI

Mww

s

s

0

0 (2.14)

dsEI

Mywywuu

s

s

0

000

s

s

s

s

dsGA

Tds

I

I

EA

N

00

sin'

1cos1

(2.15)

dsEI

Mxwxwvv

s

s

0

000

s

s

s

s

dsGA

Tds

I

I

EA

N

00

cos'

1sin1

(2.16)


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 9

Se han examinado los valores que tienen los parámetros , , y , para dos casos típicos:

arco empotrado de 65m de luz y arco biarticulado de 92m de luz, de los cuales se pueden

extraer las siguientes conclusiones para estos parámetros:

00.1

00.0

00.1

00.1

00.2)´

(1 I

I

20.1)´

(1 I

I

Finalmente las ecuaciones de Navier pueden escribirse, considerando los efectos de curvatura,

de la siguiente forma:

dsEI

Mww

s

s

0

0 (2.17)

s

s

s

s

s

s

dsGA

Tds

EA

Nds

EI

Mywywuu

000

sincos20.11

000 (2.18)

s

s

s

s

s

s

dsGA

Tds

EA

Nds

EI

Mxwxwvv

000

cossin0.21

000 (2.19)

Es decir que el efecto de curvatura puede ser incorporado en las ecuaciones normales de

Navier, modificando el valor de las áreas rectas a la fuerza axial, con factores de reducción,

0.8 y 0.5, en las ecuaciones de deflexión horizontal y vertical, respectivamente. En la práctica,

esto puede hacerse, obteniéndose resultados para cada uno de estos valores de área reducida a

la fuerza axial, estando el resultado final entre los resultados para estos dos valores.


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 10

Arco, eje parabólico, 2 articulaciones, variación parabólica de h

x y h cos 0 sin 0 y" R I/I´

-46.000 0.000 1.500 0.8042 0.5944 -0.0161 -119.6694 1.0000 1.0000 0.0000

-41.400 3.230 1.595 0.8326 0.5539 -0.0161 -107.8244 1.0000 1.0000 0.0000

-36.800 6.120 1.680 0.8608 0.5090 -0.0161 -97.5807 1.0000 1.0000 0.0000

-32.200 8.670 1.755 0.8882 0.4595 -0.0161 -88.8297 0.9999 1.0000 0.0000

-27.600 10.880 1.820 0.9141 0.4054 -0.0161 -81.4704 0.9999 1.0000 0.0000

-23.000 12.750 1.875 0.9380 0.3467 -0.0161 -75.4112 0.9999 1.0000 0.0001

-18.400 14.280 1.920 0.9590 0.2835 -0.0161 -70.5711 0.9999 1.0000 0.0001

-13.800 15.470 1.955 0.9763 0.2165 -0.0161 -66.8813 0.9999 0.9999 0.0001

-9.200 16.320 1.980 0.9892 0.1462 -0.0161 -64.2864 0.9999 0.9999 0.0001

-4.600 16.830 1.995 0.9973 0.0737 -0.0161 -62.7460 0.9998 0.9999 0.0001

0.000 17.000 2.000 1.0000 0.0000 -0.0161 -62.2353 0.9998 0.9999 0.0001

4.600 16.830 1.995 0.9973 -0.0737 -0.0161 -62.7460 0.9998 0.9999 0.0001

9.200 16.320 1.980 0.9892 -0.1462 -0.0161 -64.2864 0.9999 0.9999 0.0001

13.800 15.470 1.955 0.9763 -0.2165 -0.0161 -66.8813 0.9999 0.9999 0.0001

18.400 14.280 1.920 0.9590 -0.2835 -0.0161 -70.5711 0.9999 1.0000 0.0001

23.000 12.750 1.875 0.9380 -0.3467 -0.0161 -75.4112 0.9999 1.0000 0.0001

27.600 10.880 1.820 0.9141 -0.4054 -0.0161 -81.4704 0.9999 1.0000 0.0000

32.200 8.670 1.755 0.8882 -0.4595 -0.0161 -88.8297 0.9999 1.0000 0.0000

36.800 6.120 1.680 0.8608 -0.5090 -0.0161 -97.5807 1.0000 1.0000 0.0000

41.400 3.230 1.595 0.8326 -0.5539 -0.0161 -107.8244 1.0000 1.0000 0.0000

46.000 0.000 1.500 0.8042 -0.5944 -0.0161 -119.6694 1.0000 1.0000 0.0000

Luz=92.00m, flecha=17.00m, hc=2.00m, ha=1.50m

+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´)

1-

(I/I´)

-46.000 0.000 -0.0104 0.6467 1.0000 -46.0004 1.0012 0.0000 1.6467 1.0104

-41.400 3.230 -0.0360 0.6932 1.0000 -41.4005 1.0005 3.2316 1.6932 1.0360

-36.800 6.120 -0.0729 0.7409 1.0000 -36.8005 1.0003 6.1220 1.7409 1.0729

-32.200 8.670 -0.1099 0.7888 1.0000 -32.2005 1.0003 8.6723 1.7888 1.1099

-27.600 10.880 -0.1461 0.8357 1.0000 -27.6005 1.0003 10.8827 1.8356 1.1461

-23.000 12.750 -0.1802 0.8798 1.0000 -23.0004 1.0002 12.7531 1.8798 1.1802

-18.400 14.280 -0.2110 0.9196 1.0000 -18.4003 1.0002 14.2835 1.9195 1.2110

-13.800 15.470 -0.2369 0.9531 1.0000 -13.8002 1.0002 15.4738 1.9530 1.2369

-9.200 16.320 -0.2566 0.9786 1.0000 -9.2002 1.0002 16.3240 1.9785 1.2566

-4.600 16.830 -0.2690 0.9946 1.0000 -4.6001 1.0002 16.8341 1.9944 1.2689

0.000 17.000 -0.2732 1.0000 1.0000 0.0000 1.0002 17.0042 1.9998 1.2731

4.600 16.830 -0.2690 0.9946 1.0000 4.6001 1.0002 16.8341 1.9944 1.2689

9.200 16.320 -0.2566 0.9786 1.0000 9.2002 1.0002 16.3240 1.9785 1.2566

13.800 15.470 -0.2369 0.9531 1.0000 13.8002 1.0002 15.4738 1.9530 1.2369

18.400 14.280 -0.2110 0.9196 1.0000 18.4003 1.0002 14.2835 1.9195 1.2110

23.000 12.750 -0.1802 0.8798 1.0000 23.0004 1.0002 12.7531 1.8798 1.1802

27.600 10.880 -0.1461 0.8357 1.0000 27.6005 1.0003 10.8827 1.8356 1.1461

32.200 8.670 -0.1099 0.7888 1.0000 32.2005 1.0003 8.6723 1.7888 1.1099

36.800 6.120 -0.0729 0.7409 1.0000 36.8005 1.0003 6.1220 1.7409 1.0729

41.400 3.230 -0.0360 0.6932 1.0000 41.4005 1.0005 3.2316 1.6932 1.0360

46.000 0.000 -0.0104 0.6467 1.0000 46.0004 1.0012 0.0000 1.6467 1.0104

38.8605 24.3307

1.8505 1.1586


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 11

Arco, eje parabólico 4

o grado, 2 articulaciones, variación parabólica de h


-46.000 0.000 1.500 0.8140 0.5809 -0.0133 -139.4380 1.0000 1.0000 0.0000

-41.400 3.140 1.595 0.8381 0.5456 -0.0139 -121.9665 1.0000 1.0000 0.0000

-36.800 5.985 1.680 0.8629 0.5053 -0.0145 -107.3676 1.0000 1.0000 0.0000

-32.200 8.524 1.755 0.8880 0.4598 -0.0150 -95.2398 0.9999 1.0000 0.0000

-27.600 10.745 1.820 0.9127 0.4087 -0.0154 -85.2713 0.9999 1.0000 0.0000

-23.000 12.640 1.875 0.9360 0.3519 -0.0158 -77.2158 0.9999 1.0000 0.0000

-18.400 14.201 1.920 0.9571 0.2896 -0.0161 -70.8774 0.9999 1.0000 0.0001

-13.800 15.422 1.955 0.9750 0.2223 -0.0163 -66.1026 0.9999 0.9999 0.0001

-9.200 16.297 1.980 0.9886 0.1508 -0.0165 -62.7742 0.9999 0.9999 0.0001

-4.600 16.824 1.995 0.9971 0.0762 -0.0166 -60.8101 0.9998 0.9999 0.0001

0.000 17.000 2.000 1.0000 0.0000 -0.0166 -60.1608 0.9998 0.9999 0.0001

4.600 16.824 1.995 0.9971 -0.0762 -0.0166 -60.8101 0.9998 0.9999 0.0001

9.200 16.297 1.980 0.9886 -0.1508 -0.0165 -62.7742 0.9999 0.9999 0.0001

13.800 15.422 1.955 0.9750 -0.2223 -0.0163 -66.1026 0.9999 0.9999 0.0001

18.400 14.201 1.920 0.9571 -0.2896 -0.0161 -70.8774 0.9999 1.0000 0.0001

23.000 12.640 1.875 0.9360 -0.3519 -0.0158 -77.2158 0.9999 1.0000 0.0000

27.600 10.745 1.820 0.9127 -0.4087 -0.0154 -85.2713 0.9999 1.0000 0.0000

32.200 8.524 1.755 0.8880 -0.4598 -0.0150 -95.2398 0.9999 1.0000 0.0000

36.800 5.985 1.680 0.8629 -0.5053 -0.0145 -107.3676 1.0000 1.0000 0.0000

41.400 3.140 1.595 0.8381 -0.5456 -0.0139 -121.9665 1.0000 1.0000 0.0000

46.000 0.000 1.500 0.8140 -0.5809 -0.0133 -139.4380 1.0000 1.0000 0.0000


+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´) 1-(I/I´)

-46.000 0.000 -0.0088 0.5679 1.0000 -46.0004 1.0011 0.0000 1.5679 1.0088

-41.400 3.140 -0.0307 0.6222 1.0000 -41.4005 1.0005 3.1412 1.6221 1.0307

-36.800 5.985 -0.0646 0.6783 1.0000 -36.8005 1.0003 5.9867 1.6782 1.0646

-32.200 8.524 -0.1008 0.7353 1.0000 -32.2005 1.0003 8.5257 1.7353 1.1008

-27.600 10.745 -0.1381 0.7920 1.0000 -27.6005 1.0002 10.7476 1.7920 1.1381

-23.000 12.640 -0.1749 0.8465 1.0000 -23.0004 1.0002 12.6431 1.8464 1.1749

-18.400 14.201 -0.2093 0.8964 1.0000 -18.4004 1.0002 14.2047 1.8963 1.2093

-13.800 15.422 -0.2393 0.9391 1.0000 -13.8003 1.0002 15.4258 1.9390 1.2393

-9.200 16.297 -0.2626 0.9720 1.0000 -9.2002 1.0002 16.3016 1.9719 1.2626

-4.600 16.824 -0.2775 0.9929 1.0000 -4.6001 1.0003 16.8284 1.9927 1.2774

0.000 17.000 -0.2826 1.0000 1.0000 0.0000 1.0003 17.0043 1.9998 1.2825

4.600 16.824 -0.2775 0.9929 1.0000 4.6001 1.0003 16.8284 1.9927 1.2774

9.200 16.297 -0.2626 0.9720 1.0000 9.2002 1.0002 16.3016 1.9719 1.2626

13.800 15.422 -0.2393 0.9391 1.0000 13.8003 1.0002 15.4258 1.9390 1.2393

18.400 14.201 -0.2093 0.8964 1.0000 18.4004 1.0002 14.2047 1.8963 1.2093

23.000 12.640 -0.1749 0.8465 1.0000 23.0004 1.0002 12.6431 1.8464 1.1749

27.600 10.745 -0.1381 0.7920 1.0000 27.6005 1.0002 10.7476 1.7920 1.1381

32.200 8.524 -0.1008 0.7353 1.0000 32.2005 1.0003 8.5257 1.7353 1.1008

36.800 5.985 -0.0646 0.6783 1.0000 36.8005 1.0003 5.9867 1.6782 1.0646

41.400 3.140 -0.0307 0.6222 1.0000 41.4005 1.0005 3.1412 1.6221 1.0307

46.000 0.000 -0.0088 0.5679 1.0000 46.0004 1.0011 0.0000 1.5679 1.0088

38.0835 24.2953

1.8135 1.1569


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 12

Arco, eje coseno, 2 articulaciones, variación parabólica de h m=qa/qc=0.7


-46.000 0.000 1.500 0.8141 0.5808 -0.0133 -139.2979 1.0000 1.0000 0.0000

-41.400 3.139 1.595 0.8381 0.5455 -0.0139 -122.0012 1.0000 1.0000 0.0000

-36.800 5.983 1.680 0.8630 0.5052 -0.0145 -107.4684 1.0000 1.0000 0.0000

-32.200 8.521 1.755 0.8881 0.4597 -0.0150 -95.3488 0.9999 1.0000 0.0000

-27.600 10.743 1.820 0.9127 0.4087 -0.0154 -85.3601 0.9999 1.0000 0.0000

-23.000 12.638 1.875 0.9360 0.3520 -0.0158 -77.2731 0.9999 1.0000 0.0000

-18.400 14.200 1.920 0.9571 0.2897 -0.0161 -70.9020 0.9999 1.0000 0.0001

-13.800 15.421 1.955 0.9750 0.2224 -0.0163 -66.0985 0.9999 0.9999 0.0001

-9.200 16.297 1.980 0.9886 0.1509 -0.0165 -62.7485 0.9999 0.9999 0.0001

-4.600 16.824 1.995 0.9971 0.0762 -0.0166 -60.7709 0.9998 0.9999 0.0001

0.000 17.000 2.000 1.0000 0.0000 -0.0166 -60.1171 0.9998 0.9999 0.0001

4.600 16.824 1.995 0.9971 -0.0762 -0.0166 -60.7709 0.9998 0.9999 0.0001

9.200 16.297 1.980 0.9886 -0.1509 -0.0165 -62.7485 0.9999 0.9999 0.0001

13.800 15.421 1.955 0.9750 -0.2224 -0.0163 -66.0985 0.9999 0.9999 0.0001

18.400 14.200 1.920 0.9571 -0.2897 -0.0161 -70.9020 0.9999 1.0000 0.0001

23.000 12.638 1.875 0.9360 -0.3520 -0.0158 -77.2731 0.9999 1.0000 0.0000

27.600 10.743 1.820 0.9127 -0.4087 -0.0154 -85.3601 0.9999 1.0000 0.0000

32.200 8.521 1.755 0.8881 -0.4597 -0.0150 -95.3488 0.9999 1.0000 0.0000

36.800 5.983 1.680 0.8630 -0.5052 -0.0145 -107.4684 1.0000 1.0000 0.0000

41.400 3.139 1.595 0.8381 -0.5455 -0.0139 -122.0012 1.0000 1.0000 0.0000

46.000 0.000 1.500 0.8141 -0.5808 -0.0133 -139.2979 1.0000 1.0000 0.0000


+/ (+/) -/ (-/)

1+(I/I´)

1-

(I/I´)

-46.000 0.000 -0.0088 0.5686 1.0000 -46.0004 1.0011 0.0000 1.5686 1.0088

-41.400 3.139 -0.0307 0.6221 1.0000 -41.4005 1.0005 3.1403 1.6221 1.0307

-36.800 5.983 -0.0645 0.6778 1.0000 -36.8005 1.0003 5.9850 1.6777 1.0645

-32.200 8.521 -0.1006 0.7346 1.0000 -32.2005 1.0003 8.5235 1.7345 1.1006

-27.600 10.743 -0.1379 0.7912 1.0000 -27.6005 1.0002 10.7453 1.7911 1.1379

-23.000 12.638 -0.1747 0.8457 1.0000 -23.0004 1.0002 12.6411 1.8456 1.1747

-18.400 14.200 -0.2092 0.8957 1.0000 -18.4004 1.0002 14.2031 1.8956 1.2092

-13.800 15.421 -0.2393 0.9387 1.0000 -13.8003 1.0002 15.4248 1.9386 1.2393

-9.200 16.297 -0.2627 0.9718 1.0000 -9.2002 1.0002 16.3011 1.9717 1.2627

-4.600 16.824 -0.2777 0.9928 1.0000 -4.6001 1.0003 16.8283 1.9927 1.2776

0.000 17.000 -0.2828 1.0000 1.0000 0.0000 1.0003 17.0043 1.9998 1.2827

4.600 16.824 -0.2777 0.9928 1.0000 4.6001 1.0003 16.8283 1.9927 1.2776

9.200 16.297 -0.2627 0.9718 1.0000 9.2002 1.0002 16.3011 1.9717 1.2627

13.800 15.421 -0.2393 0.9387 1.0000 13.8003 1.0002 15.4248 1.9386 1.2393

18.400 14.200 -0.2092 0.8957 1.0000 18.4004 1.0002 14.2031 1.8956 1.2092

23.000 12.638 -0.1747 0.8457 1.0000 23.0004 1.0002 12.6411 1.8456 1.1747

27.600 10.743 -0.1379 0.7912 1.0000 27.6005 1.0002 10.7453 1.7911 1.1379

32.200 8.521 -0.1006 0.7346 1.0000 32.2005 1.0003 8.5235 1.7345 1.1006

36.800 5.983 -0.0645 0.6778 1.0000 36.8005 1.0003 5.9850 1.6777 1.0645

41.400 3.139 -0.0307 0.6221 1.0000 41.4005 1.0005 3.1403 1.6221 1.0307

46.000 0.000 -0.0088 0.5686 1.0000 46.0004 1.0011 0.0000 1.5686 1.0088

38.0763 24.2948

1.8132 1.1569


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 13

Arco, eje circular, 2 articulaciones, variación parabólica de h


-46.000 0.000 1.500 0.7597 0.6503 -0.0322 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0000

-41.400 3.619 1.595 0.8108 0.5853 -0.0265 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0000

-36.800 6.674 1.680 0.8540 0.5202 -0.0227 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0000

-32.200 9.246 1.755 0.8904 0.4552 -0.0200 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

-27.600 11.393 1.820 0.9207 0.3902 -0.0181 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

-23.000 13.156 1.875 0.9457 0.3252 -0.0167 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

-18.400 14.565 1.920 0.9656 0.2601 -0.0157 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

-13.800 15.641 1.955 0.9808 0.1951 -0.0150 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

-9.200 16.399 1.980 0.9915 0.1301 -0.0145 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

-4.600 16.850 1.995 0.9979 0.0650 -0.0142 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

0.000 17.000 2.000 1.0000 0.0000 -0.0141 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

4.600 16.850 1.995 0.9979 -0.0650 -0.0142 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

9.200 16.399 1.980 0.9915 -0.1301 -0.0145 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

13.800 15.641 1.955 0.9808 -0.1951 -0.0150 -70.7353 0.9999 0.9999 0.0001

18.400 14.565 1.920 0.9656 -0.2601 -0.0157 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

23.000 13.156 1.875 0.9457 -0.3252 -0.0167 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

27.600 11.393 1.820 0.9207 -0.3902 -0.0181 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

32.200 9.246 1.755 0.8904 -0.4552 -0.0200 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0001

36.800 6.674 1.680 0.8540 -0.5202 -0.0227 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0000

41.400 3.619 1.595 0.8108 -0.5853 -0.0265 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0000

46.000 0.000 1.500 0.7597 -0.6503 -0.0322 -70.7353 0.9999 1.0000 0.0000


+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´)

1-

(I/I´)

-46.000 0.000 -0.0186 1.0000 1.0000 -46.0003 1.0020 0.0000 1.9999 1.0186

-41.400 3.619 -0.0631 1.0000 1.0000 -41.4004 1.0006 3.6214 1.9999 1.0631

-36.800 6.674 -0.1105 1.0000 1.0000 -36.8003 1.0004 6.6762 1.9999 1.1105

-32.200 9.246 -0.1468 1.0000 1.0000 -32.2003 1.0003 9.2488 1.9999 1.1468

-27.600 11.393 -0.1749 1.0000 1.0000 -27.6003 1.0003 11.3963 1.9999 1.1749

-23.000 13.156 -0.1967 1.0000 1.0000 -23.0003 1.0003 13.1596 1.9999 1.1967

-18.400 14.565 -0.2132 1.0000 1.0000 -18.4002 1.0002 14.5684 1.9999 1.2132

-13.800 15.641 -0.2254 1.0000 1.0000 -13.8002 1.0002 15.6444 1.9999 1.2254

-9.200 16.399 -0.2338 1.0000 1.0000 -9.2001 1.0002 16.4029 1.9999 1.2338

-4.600 16.850 -0.2387 1.0000 1.0000 -4.6001 1.0002 16.8541 1.9999 1.2387

0.000 17.000 -0.2403 1.0000 1.0000 0.0000 1.0002 17.0038 1.9999 1.2403

4.600 16.850 -0.2387 1.0000 1.0000 4.6001 1.0002 16.8541 1.9999 1.2387

9.200 16.399 -0.2338 1.0000 1.0000 9.2001 1.0002 16.4029 1.9999 1.2338

13.800 15.641 -0.2254 1.0000 1.0000 13.8002 1.0002 15.6444 1.9999 1.2254

18.400 14.565 -0.2132 1.0000 1.0000 18.4002 1.0002 14.5684 1.9999 1.2132

23.000 13.156 -0.1967 1.0000 1.0000 23.0003 1.0003 13.1596 1.9999 1.1967

27.600 11.393 -0.1749 1.0000 1.0000 27.6003 1.0003 11.3963 1.9999 1.1749

32.200 9.246 -0.1468 1.0000 1.0000 32.2003 1.0003 9.2488 1.9999 1.1468

36.800 6.674 -0.1105 1.0000 1.0000 36.8003 1.0004 6.6762 1.9999 1.1105

41.400 3.619 -0.0631 1.0000 1.0000 41.4004 1.0006 3.6214 1.9999 1.0631

46.000 0.000 -0.0186 1.0000 1.0000 46.0003 1.0020 0.0000 1.9999 1.0186

41.9979 24.4836

1.9999 1.1659


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 14

Arco, eje parabólico, empotrado, variación Strassner de h


-32.500 0.000 1.6500 0.7809 0.6247 -0.0246 -85.3216 0.9999 1.0000 0.0000

-29.300 2.434 1.5502 0.8111 0.5850 -0.0246 -76.1436 0.9999 1.0000 0.0000

-25.000 5.308 1.4407 0.8517 0.5241 -0.0246 -65.7654 0.9999 1.0000 0.0000

-20.000 8.077 1.3389 0.8972 0.4417 -0.0246 -56.2559 0.9999 1.0000 0.0000

-15.000 10.231 1.2575 0.9381 0.3464 -0.0246 -49.2097 0.9999 1.0000 0.0001

-10.000 11.769 1.1921 0.9710 0.2390 -0.0246 -44.3727 0.9999 1.0000 0.0001

-5.000 12.692 1.1403 0.9925 0.1222 -0.0246 -41.5516 0.9999 0.9999 0.0001

0.000 13.000 1.1000 1.0000 0.0000 -0.0246 -40.6250 0.9999 1.0000 0.0001

5.000 12.692 1.1403 0.9925 -0.1222 -0.0246 -41.5516 0.9999 0.9999 0.0001

10.000 11.769 1.1921 0.9710 -0.2390 -0.0246 -44.3727 0.9999 1.0000 0.0001

15.000 10.231 1.2575 0.9381 -0.3464 -0.0246 -49.2097 0.9999 1.0000 0.0001

20.000 8.077 1.3389 0.8972 -0.4417 -0.0246 -56.2559 0.9999 1.0000 0.0000

25.000 5.308 1.4407 0.8517 -0.5241 -0.0246 -65.7654 0.9999 1.0000 0.0000

29.300 2.434 1.5502 0.8111 -0.5850 -0.0246 -76.1436 0.9999 1.0000 0.0000

32.500 0.000 1.6500 0.7809 -0.6247 -0.0246 -85.3216 0.9999 1.0000 0.0000

Luz=65.00m, flecha=13.00m, ha=1.65m, hc=1.10m

+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´) 1-(I/I´)

-32.500 0.000 -0.0150 0.6098 1.0000 -32.5009 1.0021 0.0000 1.6097 1.0150

-29.300 2.434 -0.0394 0.6578 1.0000 -29.3007 1.0008 2.4360 1.6578 1.0394

-25.000 5.308 -0.0948 0.7253 1.0000 -25.0006 1.0004 5.3098 1.7253 1.0948

-20.000 8.077 -0.1600 0.8049 1.0000 -20.0004 1.0003 8.0790 1.8048 1.1600

-15.000 10.231 -0.2216 0.8800 1.0000 -15.0003 1.0002 10.2328 1.8799 1.2216

-10.000 11.769 -0.2732 0.9429 1.0000 -10.0002 1.0002 11.7713 1.9428 1.2731

-5.000 12.692 -0.3078 0.9851 1.0000 -5.0001 1.0002 12.6943 1.9850 1.3077

0.000 13.000 -0.3200 1.0000 1.0000 0.0000 1.0001 13.0018 1.9999 1.3200

5.000 12.692 -0.3078 0.9851 1.0000 5.0001 1.0002 12.6943 1.9850 1.3077

10.000 11.769 -0.2732 0.9429 1.0000 10.0002 1.0002 11.7713 1.9428 1.2731

15.000 10.231 -0.2216 0.8800 1.0000 15.0003 1.0002 10.2328 1.8799 1.2216

20.000 8.077 -0.1600 0.8049 1.0000 20.0004 1.0003 8.0790 1.8048 1.1600

25.000 5.308 -0.0948 0.7253 1.0000 25.0006 1.0004 5.3098 1.7253 1.0948

29.300 2.434 -0.0394 0.6578 1.0000 29.3007 1.0008 2.4360 1.6578 1.0394

32.500 0.000 -0.0150 0.6098 1.0000 32.5009 1.0021 0.0000 1.6097 1.0150

27.2105 17.5432

1.8140 1.1695


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 15

Arco, eje parabólico 4o grado, empotrado, variación Strassner de h


-32.500 0.0000 1.6500 0.7576 0.6527 -0.0341 -67.4729 0.9999 1.0000 0.0000

-29.300 2.5861 1.5466 0.7977 0.6030 -0.0320 -61.6449 0.9999 1.0000 0.0001

-25.000 5.5493 1.4344 0.8484 0.5294 -0.0294 -55.6247 0.9999 1.0000 0.0001

-20.000 8.3122 1.3321 0.9004 0.4350 -0.0270 -50.6880 0.9999 1.0000 0.0001

-15.000 10.3984 1.2521 0.9430 0.3328 -0.0251 -47.4323 0.9999 1.0000 0.0001

-10.000 11.8549 1.1890 0.9744 0.2249 -0.0238 -45.4233 0.9999 1.0000 0.0001

-5.000 12.7154 1.1391 0.9936 0.1133 -0.0230 -44.3472 0.9999 1.0000 0.0001

0.000 13.0000 1.1000 1.0000 0.0000 -0.0227 -44.0104 0.9999 1.0000 0.0001

5.000 12.7154 1.1391 0.9936 -0.1133 -0.0230 -44.3472 0.9999 1.0000 0.0001

10.000 11.8549 1.1890 0.9744 -0.2249 -0.0238 -45.4233 0.9999 1.0000 0.0001

15.000 10.3984 1.2521 0.9430 -0.3328 -0.0251 -47.4323 0.9999 1.0000 0.0001

20.000 8.3122 1.3321 0.9004 -0.4350 -0.0270 -50.6880 0.9999 1.0000 0.0001

25.000 5.5493 1.4344 0.8484 -0.5294 -0.0294 -55.6247 0.9999 1.0000 0.0001

29.300 2.5861 1.5466 0.7977 -0.6030 -0.0320 -61.6449 0.9999 1.0000 0.0001

32.500 0.0000 1.6500 0.7576 -0.6527 -0.0341 -67.4729 0.9999 1.0000 0.0000


+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´) 1-(I/I´)

-32.500 0.0000 -0.0196 0.7380 1.0000 -32.5009 1.0025 0.0000 1.7379 1.0196

-29.300 2.5861 -0.0526 0.7882 1.0000 -29.3007 1.0010 2.5886 1.7881 1.0526

-25.000 5.5493 -0.1176 0.8489 1.0000 -25.0005 1.0004 5.5516 1.8488 1.1176

-20.000 8.3122 -0.1821 0.9070 1.0000 -20.0003 1.0003 8.3145 1.9069 1.1821

-15.000 10.3984 -0.2325 0.9502 1.0000 -15.0002 1.0002 10.4005 1.9501 1.2325

-10.000 11.8549 -0.2678 0.9789 1.0000 -10.0001 1.0002 11.8569 1.9788 1.2678

-5.000 12.7154 -0.2886 0.9949 1.0000 -5.0001 1.0001 12.7173 1.9948 1.2886

0.000 13.0000 -0.2954 1.0000 1.0000 0.0000 1.0001 13.0017 1.9999 1.2954

5.000 12.7154 -0.2886 0.9949 1.0000 5.0001 1.0001 12.7173 1.9948 1.2886

10.000 11.8549 -0.2678 0.9789 1.0000 10.0001 1.0002 11.8569 1.9788 1.2678

15.000 10.3984 -0.2325 0.9502 1.0000 15.0002 1.0002 10.4005 1.9501 1.2325

20.000 8.3122 -0.1821 0.9070 1.0000 20.0003 1.0003 8.3145 1.9069 1.1821

25.000 5.5493 -0.1176 0.8489 1.0000 25.0005 1.0004 5.5516 1.8488 1.1176

29.300 2.5861 -0.0526 0.7882 1.0000 29.3007 1.0010 2.5886 1.7881 1.0526

32.500 0.0000 -0.0196 0.7380 1.0000 32.5009 1.0025 0.0000 1.7379 1.0196

28.4110 17.6168

1.8941 1.1745


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 16

Arco, eje coseno hiperbólico, empotrado, variación Strassner de h


-32.500 0.0000 1.6500 0.7579 0.6524 -0.0342 -67.1693 0.9999 1.0000 0.0001

-29.300 2.5835 1.5465 0.7980 0.6026 -0.0319 -61.6094 0.9999 1.0000 0.0001

-25.000 5.5435 1.4344 0.8486 0.5291 -0.0293 -55.7831 0.9999 1.0000 0.0001

-20.000 8.3051 1.3322 0.9004 0.4350 -0.0269 -50.8902 0.9999 1.0000 0.0001

-15.000 10.3925 1.2522 0.9429 0.3332 -0.0251 -47.5560 0.9999 1.0000 0.0001

-10.000 11.8516 1.1891 0.9743 0.2254 -0.0238 -45.4210 0.9999 1.0000 0.0001

-5.000 12.7145 1.1391 0.9935 0.1137 -0.0231 -44.2375 0.9999 1.0000 0.0001

0.000 13.0000 1.1000 1.0000 0.0000 -0.0228 -43.8593 0.9999 1.0000 0.0001

5.000 12.7145 1.1391 0.9935 -0.1137 -0.0231 -44.2375 0.9999 1.0000 0.0001

10.000 11.8516 1.1891 0.9743 -0.2254 -0.0238 -45.4210 0.9999 1.0000 0.0001

15.000 10.3925 1.2522 0.9429 -0.3332 -0.0251 -47.5560 0.9999 1.0000 0.0001

20.000 8.3051 1.3322 0.9004 -0.4350 -0.0269 -50.8902 0.9999 1.0000 0.0001

25.000 5.5435 1.4344 0.8486 -0.5291 -0.0293 -55.7831 0.9999 1.0000 0.0001

29.300 2.5835 1.5465 0.7980 -0.6026 -0.0319 -61.6094 0.9999 1.0000 0.0001

32.500 0.0000 1.6500 0.7579 -0.6524 -0.0342 -67.1693 0.9999 1.0000 0.0001


+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´) 1-(I/I´)

-32.500 0.0000 -0.0196 0.7417 1.0000 -32.5009 1.0025 0.0000 1.7416 1.0196

-29.300 2.5835 -0.0525 0.7892 1.0000 -29.3007 1.0010 2.5860 1.7891 1.0525

-25.000 5.5435 -0.1171 0.8470 1.0000 -25.0005 1.0004 5.5459 1.8470 1.1171

-20.000 8.3051 -0.1812 0.9034 1.0000 -20.0004 1.0003 8.3073 1.9033 1.1812

-15.000 10.3925 -0.2318 0.9467 1.0000 -15.0002 1.0002 10.3946 1.9466 1.2318

-10.000 11.8516 -0.2678 0.9768 1.0000 -10.0001 1.0002 11.8536 1.9767 1.2678

-5.000 12.7145 -0.2893 0.9943 1.0000 -5.0001 1.0001 12.7163 1.9942 1.2893

0.000 13.0000 -0.2964 1.0000 1.0000 0.0000 1.0001 13.0018 1.9999 1.2964

5.000 12.7145 -0.2893 0.9943 1.0000 5.0001 1.0001 12.7163 1.9942 1.2893

10.000 11.8516 -0.2678 0.9768 1.0000 10.0001 1.0002 11.8536 1.9767 1.2678

15.000 10.3925 -0.2318 0.9467 1.0000 15.0002 1.0002 10.3946 1.9466 1.2318

20.000 8.3051 -0.1812 0.9034 1.0000 20.0004 1.0003 8.3073 1.9033 1.1812

25.000 5.5435 -0.1171 0.8470 1.0000 25.0005 1.0004 5.5459 1.8470 1.1171

29.300 2.5835 -0.0525 0.7892 1.0000 29.3007 1.0010 2.5860 1.7891 1.0525

32.500 0.0000 -0.0196 0.7417 1.0000 32.5009 1.0025 0.0000 1.7416 1.0196

28.3969 17.6149

1.8931 1.1743


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 17

Arco, eje circular, empotrado, variación Strassner de h


-32.500 0.000 1.6500 0.7241 0.6897 -0.0559 -47.1250 0.9998 0.9999 0.0001

-29.300 2.784 1.5377 0.7832 0.6218 -0.0442 -47.1250 0.9998 0.9999 0.0001

-25.000 5.822 1.4225 0.8477 0.5305 -0.0348 -47.1250 0.9999 0.9999 0.0001

-20.000 8.545 1.3219 0.9055 0.4244 -0.0286 -47.1250 0.9999 0.9999 0.0001

-15.000 10.549 1.2451 0.9480 0.3183 -0.0249 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0001

-10.000 11.927 1.1851 0.9772 0.2122 -0.0227 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0001

-5.000 12.734 1.1376 0.9944 0.1061 -0.0216 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0000

0.000 13.000 1.1000 1.0000 0.0000 -0.0212 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0000

5.000 12.734 1.1376 0.9944 -0.1061 -0.0216 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0000

10.000 11.927 1.1851 0.9772 -0.2122 -0.0227 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0001

15.000 10.549 1.2451 0.9480 -0.3183 -0.0249 -47.1250 0.9999 1.0000 0.0001

20.000 8.545 1.3219 0.9055 -0.4244 -0.0286 -47.1250 0.9999 0.9999 0.0001

25.000 5.822 1.4225 0.8477 -0.5305 -0.0348 -47.1250 0.9999 0.9999 0.0001

29.300 2.784 1.5377 0.7832 -0.6218 -0.0442 -47.1250 0.9998 0.9999 0.0001

32.500 0.000 1.6500 0.7241 -0.6897 -0.0559 -47.1250 0.9998 0.9999 0.0001


+/ (+/) -/ (-/) 1+(I/I´) 1-(I/I´)

-32.500 0.000 -0.0293 1.0000 1.0000 -32.5007 1.0034 0.0000 1.9998 1.0293

-29.300 2.784 -0.0754 1.0000 1.0000 -29.3005 1.0011 2.7871 1.9998 1.0754

-25.000 5.822 -0.1457 1.0000 1.0000 -25.0004 1.0005 5.8247 1.9999 1.1457

-20.000 8.545 -0.2003 1.0000 1.0000 -20.0003 1.0003 8.5478 1.9999 1.2002

-15.000 10.549 -0.2361 1.0000 1.0000 -15.0002 1.0002 10.5511 1.9999 1.2361

-10.000 11.927 -0.2590 1.0000 1.0000 -10.0001 1.0002 11.9287 1.9999 1.2590

-5.000 12.734 -0.2718 1.0000 1.0000 -5.0000 1.0001 12.7358 1.9999 1.2717

0.000 13.000 -0.2759 1.0000 1.0000 0.0000 1.0001 13.0017 1.9999 1.2758

5.000 12.734 -0.2718 1.0000 1.0000 5.0000 1.0001 12.7358 1.9999 1.2717

10.000 11.927 -0.2590 1.0000 1.0000 10.0001 1.0002 11.9287 1.9999 1.2590

15.000 10.549 -0.2361 1.0000 1.0000 15.0002 1.0002 10.5511 1.9999 1.2361

20.000 8.545 -0.2003 1.0000 1.0000 20.0003 1.0003 8.5478 1.9999 1.2002

25.000 5.822 -0.1457 1.0000 1.0000 25.0004 1.0005 5.8247 1.9999 1.1457

29.300 2.784 -0.0754 1.0000 1.0000 29.3005 1.0011 2.7871 1.9998 1.0754

32.500 0.000 -0.0293 1.0000 1.0000 32.5007 1.0034 0.0000 1.9998 1.0293

29.9981 17.7108

1.9999 1.1807


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 18

3. EJE DIRECTRIZ DEL ARCO

El eje directriz del arco se selecciona para que sea funicular a la carga aplicada al arco

Como la curva funicular se halla, gráficamente, para una estructura estáticamente

determinada, se determinaría para el arco de tres articulaciones y para las otras

configuraciones se tendría un valor aproximado, ya que tendría que considerarse,

adicionalmente, los esfuerzos producidos por las deformaciones de la estructura

Fig 3.1

Igualmente, también tiene que tenerse en cuenta, que la funicular corresponde a un

determinado estado de cargas, por lo que para un puente en arco, sometido a condiciones

variables de carga viva de tránsito, se tiene que fijar el estado de cargas más representativo ó

crítico para encontrar una funicular, tal que los otros casos de carga, produzcan curvas

funiculares de cargas que se desvíen lo menos posible de la directriz seleccionada

Para hallar el lugar geométrico de la funicular, asumamos el arco de la Fig. N° 3.1

El triángulo de fuerzas que corresponde a las cargas en el segmento del arco x:

OAdx

dyQ

'OAxdx

dy

dx

d

dx

dyQ

La diferencia de estos valores OA’ y OA, da como resultante el estado de cargas qx x

Luego: xqOAOAxdx

dy

dx

dQ x

'

Finalmente, la ecuación de la funicular es:

xqdx

ydQ

2

2

a) Funicular para una carga uniforme q:

Sea qx = q, uniforme a lo largo del arco:


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 19

Luego:

qdx

ydQ

2

2

Resolviendo la ecuación diferencial y de la condición, x = 0, y = 0 é y’ = 0:

Q

qxy

2

2

También tenemos, para x = l/2, y = f:

Q

qlf

8

2

El empuje isostático es: f

qlQ

8

2

,

luego, la ecuación de la funicular es la parábola:

2

2

4x

l

fy ,

b) Funicular para una carga que varía parabólicamente:

Sea la carga de variación parabólica:

2

2/l

xqqqq cacx

2

24 x

l

qqq ca

c

Luego, en la ecuación del lugar

geométrico:

2

22

2

4 xl

qqq

dx

ydQ ca

c

Resolviendo la ecuación diferencial y de

la condición, x = 0, y = 0 é y’ = 0:

22

232

xxQl

qq

Q

qy cac

Fig 3.2

de la condición, x = l/2, y = f:

4432

22

2

ll

Ql

qq

Q

qf cac

el empuje isostático es: ca qq

f

lQ 5

48

2

Reemplazando este valor de Q en la ecuación de la funicular:

22

235

8

l

x

l

xqqq

qq

fy cac

ca

Estas ecuaciones son, igualmente válidas para el caso en que la carga disminuya hacia los

arranques

c) Funicular para una carga de variación similar a la directriz:


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 20

Cuando la carga aumenta hacia los arranques: 1c

a

q

q,

Sea la carga similar a la curva directriz:

f

qqyqq ca

cx

Luego, en la ecuación del lugar geométrico:

f

qqyq

dx

ydQ ca

c2

2

ó: Q

qy

fQ

qq

dx

yd cca

2

2

Fig 3.3

La solución general de esta ecuación diferencial sin segundo miembro es:

xQf

qqCy ca cosh

y una solución particular de la ecuación con segundo miembro es:

1Cy

Luego la solución general de la ecuación diferencial con segundo miembro es:

1cosh CxQf

qqCy ca

de la condición: x = 0, y = 0 é y’ = 0, diferenciando y reemplazando en la ecuación

diferencial, obtenemos:

fqq

qCC

ca

c

1

1cosh x

Qf

qqf

qq

qy ca

ca

c

haciendo:

1c

a

q

qm , y

2

l

Qf

qqk ca

de la condición: x = l/2, y = f, obtenemos:

1cosh1

1

kf

mf , la relación entre m y k es: km cosh

Finalmente, utilizando estas relaciones y: 2/l

x , tenemos:

1cosh1

1

kf

my


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 21

y el empuje isostático:

f

qq

k

lQ ca

2

2

d) Funicular para una carga de variación similar a la directriz:

Cuando la carga disminuye hacia a los arranques: 1c

a

q

q,

Sea la carga similar a la curva directriz:

f

qqyqq ac

cx

Luego, en la ecuación del lugar geométrico:

f

qqyq

dx

ydQ ac

c2

2

ó: Q

qy

fQ

qq

dx

yd cac

2

2

Fig 3.4

La solución general de esta ecuación diferencial sin segundo miembro es:

xQf

qqCy ac cos

y una solución particular de la ecuación con segundo miembro es:

1Cy

Luego la solución general de esta ecuación diferencial con segundo miembro es:

1cos CxQf

qqCy ac

de la condición: x = 0, y = 0 é y’ = 0, diferenciando y reemplazando en la ecuación

diferencial, obtenemos:

fqq

qCC

ac

c

1

1cos x

Qf

qqf

qq

qy ac

ac

c

haciendo:

1c

a

q

qm , y

2

l

Qf

qqk ac

de la condición: x = l/2, y = f, obtenemos:

1cos1

1

kf

mf , la relación entre m y k es: km cos


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 22

Finalmente, utilizando estas relaciones y: 2/l

x , tenemos:

kfm

y cos11

1

y el empuje isostático:

f

qq

k

lQ ac

2

2

e) Funicular circular:

La funicular circular ó segmento circular,

corresponde a un estado de cargas, de

presión radial uniforme q:

Entonces, en este caso, corresponde a un

estado de cargas con cargas verticales: qv

= q sin y cargas horizontales: qh = q sin

Fig 3.5

A continuación se muestran las fig. 3.6 y 3.7, donde se han graficado para ambos puentes

en arco, las curvas correspondientes a los ejes parabólico, circular, parabólico de 4° grado

y el coseno hiperbólico ó coseno trigonométrico según sea el caso

x y (cos hip) y (parab 4° g) y (parab) y (circular)

-32.500 0.000 0.000 0.000 0.000

-29.300 2.584 2.586 2.434 2.784

-25.000 5.544 5.549 5.308 5.822

-20.000 8.305 8.312 8.077 8.545

-15.000 10.393 10.398 10.231 10.549

-10.000 11.852 11.855 11.769 11.927

-5.000 12.714 12.715 12.692 12.734

0.000 13.000 13.000 13.000 13.000

5.000 12.714 12.715 12.692 12.734

10.000 11.852 11.855 11.769 11.927

15.000 10.393 10.398 10.231 10.549

20.000 8.305 8.312 8.077 8.545

25.000 5.544 5.549 5.308 5.822

29.300 2.584 2.586 2.434 2.784

32.500 0.000 0.000 0.000 0.000

Tabla 3.1 Arco empotrado de 65m de luz y 13m de flecha


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 23

Fig. 3.6

x y (parab) y (parab 4° g) y (coseno) y (circular)

-46.000 0.000 0.000 0.000 0.000

-41.400 3.230 3.140 3.139 3.619

-36.800 6.120 5.985 5.983 6.674

-32.200 8.670 8.524 8.521 9.246

-27.600 10.880 10.745 10.743 11.393

-23.000 12.750 12.640 12.638 13.156

-18.400 14.280 14.201 14.200 14.565

-13.800 15.470 15.422 15.421 15.641

-9.200 16.320 16.297 16.297 16.399

-4.600 16.830 16.824 16.824 16.850

0.000 17.000 17.000 17.000 17.000

4.600 16.830 16.824 16.824 16.850

9.200 16.320 16.297 16.297 16.399

13.800 15.470 15.422 15.421 15.641

18.400 14.280 14.201 14.200 14.565

23.000 12.750 12.640 12.638 13.156

27.600 10.880 10.745 10.743 11.393

32.200 8.670 8.524 8.521 9.246

36.800 6.120 5.985 5.983 6.674

41.400 3.230 3.140 3.139 3.619

46.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Tabla 3.2 Arco biarticulado de 92m de luz y 17m de flecha

Arco empotrado de 65m de luz y 13m de flecha

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

-35.0 -25.0 -15.0 -5.0 5.0 15.0 25.0 35.0

X

Y

cos hip

parab 4°g

parab

circular


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 24

Arco biarticulado de 92m de luz y 17m de flecha

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

-50.0 -40.0 -30.0 -20.0 -10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

X

Y

parab

parab 4° g

coseno

circular

Fig. 3.7


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 25

4. VARIACIÓN DEL PERALTE DEL ARCO

La forma y el peralte de la sección recta del arco se determinan con el diseño de las

secciones, de tal modo que los esfuerzos producidos por la combinación más desfavorable de

flexión y fuerza axial que actúan en esa sección, no excedan los esfuerzos permisibles con

cargas de servicio ó se satisfagan los factores de seguridad con cargas últimas. Son las

condiciones de máximo ó mínimo momento flector producidos por las cargas móviles de

tránsito y su correspondiente fuerza axial, las que, en la mayoría de los casos, definen las

dimensiones y otros parámetros de la sección recta

Dos de las secciones más importantes y críticas del arco, resultan ser los arranques y la

clave, por lo que, normalmente, puede empezarse con determinar los parámetros de la

sección recta en estos puntos y, para ésto es muy útil, tener como referencia los datos de

Puentes construidos, como se listan en las Tablas 1.2 y 1.3

Habiéndose definido estas dos secciones, se puede asumir una variación progresiva de la

sección entre estos dos puntos, gráficamente, ó mediante ecuaciones, para completar la

geometría del arco

a) Arco biarticulado:

Entre las diferentes propuestas para definir la variación de espesores h, se pueden

mencionar las siguientes:

Variación parabólica: 2

pxhh cx , siendo ac hhl

p 2

4

Variación según Chalos de la Ecole de Ponts et Chaussées: 5

21

l

xk

II c

x

, siendo

1a

c

I

Ik

Variación proporcional a la curva del arco de la inercia I:

1cos

l

xkII ax

,

siendo 1a

c

I

Ik

Variación proporcional a la curva del arco del peralte h:

1cos

l

xkhh ax

,

siendo 1a

c

h

hk


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 26

x h (parab) h (coseno Ix) h(coseno hx)

h(Chalos,

n=5)

-46.000 1.500 1.500 1.500 1.500

-41.400 1.595 1.600 1.578 1.641

-36.800 1.680 1.687 1.655 1.767

-32.200 1.755 1.762 1.727 1.866

-27.600 1.820 1.827 1.794 1.934

-23.000 1.875 1.880 1.854 1.972

-18.400 1.920 1.924 1.905 1.991

-13.800 1.955 1.957 1.946 1.998

-9.200 1.980 1.981 1.976 2.000

-4.600 1.995 1.995 1.994 2.000

0.000 2.000 2.000 2.000 2.000

4.600 1.995 1.995 1.994 2.000

9.200 1.980 1.981 1.976 2.000

13.800 1.955 1.957 1.946 1.998

18.400 1.920 1.924 1.905 1.991

23.000 1.875 1.880 1.854 1.972

27.600 1.820 1.827 1.794 1.934

32.200 1.755 1.762 1.727 1.866

36.800 1.680 1.687 1.655 1.767

41.400 1.595 1.600 1.578 1.641

46.000 1.500 1.500 1.500 1.500

Tabla 4.1 Arco biarticulado de 92m de luz y 17m de flecha

Fig. 4.1

Variación de h

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.1

-50.0 -40.0 -30.0 -20.0 -10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

X

h

parab

coseno Ix

coseno hx

Chalos, n=5


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 27

b) Arco empotrado:

Entre las diferentes propuestas para definir la variación de espesores h, se pueden

mencionar las siguientes:

Variación parabólica: 2

pxhh cx , siendo ca hhl

p 2

4

Variación según Chalos, familia de ecuaciones n

cx

l

xk

II

21

, siendo a

c

I

Ik 1 y n =

1, 2, 3 ó 4

Variación según Strassner, la inercia I inversamente proporcional al coseno:

l

x

II c

x2

1cos , siendo

cos1

a

c

I

I

Variación según Strassner, el peralte h inversamente proporcional al coseno:

, siendo

3

cos1

a

c

I

I

x h (parab) h (Strassner1) h (Strassner2)

h (Chalos,n=1)

-32.500 1.650 1.650 1.650 1.650

-29.300 1.547 1.547 1.544 1.538

-25.000 1.425 1.434 1.424 1.426

-20.000 1.308 1.332 1.314 1.329

-15.000 1.217 1.252 1.230 1.254

-10.000 1.152 1.189 1.169 1.193

-5.000 1.113 1.139 1.126 1.143

0.000 1.100 1.100 1.100 1.100

5.000 1.113 1.139 1.126 1.143

10.000 1.152 1.189 1.169 1.193

15.000 1.217 1.252 1.230 1.254

20.000 1.308 1.332 1.314 1.329

25.000 1.425 1.434 1.424 1.426

29.300 1.547 1.547 1.544 1.538

32.500 1.650 1.650 1.650 1.650


3/1

21cos

l

x

hh c

x


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 28

Fig. 4.2

Variación según Chalos

x h (parab) h (n=2) h (n=3) h (n=4) h (n=1)

-32.500 1.6500 1.650 1.650 1.650 1.650

-29.300 1.5470 1.460 1.401 1.355 1.538

-25.000 1.4250 1.316 1.251 1.209 1.426

-20.000 1.3080 1.220 1.168 1.140 1.329

-15.000 1.2170 1.161 1.127 1.112 1.254

-10.000 1.1520 1.126 1.108 1.102 1.193

-5.000 1.1130 1.106 1.101 1.100 1.143

0.000 1.1000 1.100 1.100 1.100 1.100

5.000 1.1130 1.106 1.101 1.100 1.143

10.000 1.1520 1.126 1.108 1.102 1.193

15.000 1.2170 1.161 1.127 1.112 1.254

20.000 1.3080 1.220 1.168 1.140 1.329

25.000 1.4250 1.316 1.251 1.209 1.426

29.300 1.5470 1.460 1.401 1.355 1.538

32.500 1.6500 1.650 1.650 1.650 1.650


Variación de h

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-35.0 -25.0 -15.0 -5.0 5.0 15.0 25.0 35.0

X

h

parab

Strassner 1

Strassner 2

Chalos, n=1


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 29

Fig. 4.3

Variación de h

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-35.0 -25.0 -15.0 -5.0 5.0 15.0 25.0 35.0

X

h

parab

Chalos, n=2

Chalos, n=3

Chalos, n= 4

Chalos, n=1


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 30

5. CONFIGURACIONES TÍPICAS DE PUENTES EN ARCO

Los puentes en arco son competitivos, económicamente, a partir de los 50m en arcos de

concreto y mayor para arcos en acero, por el mayor costo de su procedimiento constructivo y

el arco en sí, que ya representa un elemento más por construir, aparte del tablero de tránsito,

por lo que en los límites de estas luces, debe hacerse una comparación económica, con las

soluciones en viga ó aporticadas alternativas

Las configuraciones típicas básicas de los puentes en arco que se construyen en la actualidad

corresponden, en su gran mayoría, por el tipo de estructura, en arcos empotrados ó

doblemente articulados, y por su posición relativa al tablero de tránsito, en tablero superior,

intermedio ó inferior. En la siguiente figura se muestran los croquis de estas configuraciones:

Fig 5.1

Son muy escasos los arcos tri-articulados, aunque uno de los puentes más conocidos y que

figuran en toda reseña antológica de puentes en arco, sea el Puente tri-articulado de

Salginatobel, diseñado por el Ingeniero suizo Robert Maillart, construido en 1930

Fig 5.2

Los arco monoarticulados, no representan ninguna ventaja estructural respecto a las otras

configuraciones y no se tiene conocimiento de algún puente construido con este tipo de

estructuración

Sin embargo, estas 2 últimas configuraciones, se han usado como una etapa de construcción,

previa a la aplicación de una técnica constructiva llamada compensación de arcos y que se

verá más adelante

Respecto a Puentes en arco, se debe hacer una distinción, cuando el arco es una estructura

reticulado o en celosía, que puede considerarse como un seudo-arco, porque aunque su forma

corresponde a un arco, estructuralmente se analiza, más apropiadamente, como un reticulado


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 31

Fig 5.3

Con el extraordinario avance en el Análisis de Estructuras, que han ampliado el espectro de

formas estructurales analizables, la disposición y tipos de apoyos y nuevos procedimientos y

equipos de construcción han surgido un sinnúmero de variantes de estas configuraciones

básicas

Generalmente, la estructura del Puente está conformada de dos arcos paralelos en el ancho del

tablero ó un solo arco, tipo losa, del ancho del tablero

Una variante, en este aspecto, son configuraciones con los dos arcos en planos inclinados, que

se aproximan ó convergen en la zona de la clave

Fig 5.4


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 32

Cuando por razones de mal terreno ó ser un tramo intermedio sobre pilares elevados, que no

tienen capacidad para resistir grandes empujes laterales del arco de tablero superior, es

conveniente adoptar el esquema estructural de arco atirantado

Variantes del arco atirantado son la adopción de semiarcos laterales ó bielas en compresión,

que reducen los empujes ó lo transfieren a zonas más alejadas

c

Fig 5.5

Finalmente, las péndolas ó columnas del arco son en la mayoría de casos, verticales Variantes

en este aspecto, son las péndolas inclinadas, que pueden ser aún entrecruzadas y de columnas

con disposición triangulada

Fig 5.6


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 33

Para luces menores a 40m, se han proyectado puentes en arco de tímpano relleno, de concreto

armado, aunque sería conveniente en estos casos hacer una comparación económica con

soluciones aporticadas ó de vigas

Fig 5.7


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 34

6. PROCEDIMIENTOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES EN ARCO

En un gran porcentaje de casos los puentes en arco se construyen sobre quebradas profundas,

cursos de agua permanentes, con la dificultad adicional de ser navegables, que harían muy

costosos ó aún inviables la construcción convencional sobre un falso puente apoyado sobre el

suelo

Fig 6.1

De esto, surge naturalmente construir la obra desde arriba. Este tipo de procedimiento

constructivo, ya ha ganado aceptación general desde hace muchos años, y los métodos más

difundidos que pueden adaptarse a la realidad nacional podrían mencionarse, el uso de cables

para soportar la estructura ó el falso puente durante el proceso constructivo, y el empleo de

carritos de construcción en voladizo, que avancen conforme progresa la construcción de la

obra

a


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 35

Fig 6.2

El empleo de estos procedimientos constructivos implica un estrecho involucramiento de

éstos, con el análisis y el diseño la estructura, ya que la estructura hay que diseñarlo para las

diferentes etapas constructivas y a su vez, el procedimiento constructivo debe ejecutarse para

que éste sea conforme al comportamiento previsto para la estructura, en sus diferentes etapas

de construcción

Fig 6.3


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 36

7. DEFLEXIÓNES DE SEGUNDO ORDEN EN LOS ARCOS

En las ecuaciones de Navier-Bresse 7.1 al 7.3, las deflexiones w, u y v se obtienen a partir de

la geometría no deformada del arco, por asumirse que las deflexiones son muy pequeñas y

pueden despreciarse y no conocerse aún la deformada del arco.

Con luces que sobrepasan los 100m, (en la actualidad ya se han construido Puentes en arco

superiores a los 500m de luz), se hace necesario calcular las deformaciones reales a partir de

la geometría deformada del arco, al aplicarse las cargas. Esto es particularmente importante en

los arcos, puesto que al deformarse se reducen las flechas y, por consiguiente, los momentos

compensatorios debido al empuje horizontal, resultando en momentos flectores mayores

Desplazamiento angular:

dsEI

Mww

s

s

0

0 (7.1)

Desplazamiento horizontal:

s

s

s

s

s

s

dsGA

Tds

EA

Nds

EI

Mywywuu

000

sincos20.11

000 (7.2)

Desplazamiento vertical:

s

s

s

s

s

s

dsGA

Tds

EA

Nds

EI

Mxwxwvv

000

cossin0.21

000 (7.3)

La determinación de las deformaciones reales, se puede hacer por aproximaciones sucesivas

de la siguiente manera:

A la geometría inicial del arco, lo llamaremos x0(x), y0(x), 0(x) de la que obtenemos las

fuerzas N0, T0 y M0

Aplicando las ecuaciones 7.1 al 7.3, obtenemos las deformaciones elásticas, que vamos a

llamar w1(x), u1(x) y v1(x)

Una primera aproximación de la deformada sería:

)()()( 101 xvxyxy

)()()( 101 xuxxxx

)()()( 101 xwxx

Las deformaciones en la dirección x puede considerarse despreciables, en comparación con

las dimensiones de los elementos del arco y no se tendrá en cuenta de aquí en adelante

Con la geometría deformada del arco, obtendríamos los valores corregidos de N1, T1 y M1

Con esta nueva geometría y de las fuerzas aplicadas, tendríamos un segundo conjunto de

deformaciones para la estructura w2(x), u2(x) y v2(x)

La segunda aproximación de la deformada sería:

)()()( 202 xvxyxy

)()()( 202 xwxx


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 37

Con esta nueva geometría deformada del arco, corregimos nuevamente los valores de N2, T2 y

M2

Procediendo de esta manera, tendríamos luego de n iteraciones wn(x), un(x) y vn(x):

La enésima aproximación de la deformada sería:

)()()( 0 xvxyxy nn

)()()( 0 xwxx nn

y así tendríamos una serie de valores de y1(x), y2(x), y3(x),........., yn-1(x), yn(x) y de 1(x),

2(x), 3(x),........., n-1(x), n(x)

En una estructura estable, para el caso de carga a la que está sometido, esta serie de valores es

convergente hacia los valores finales de la curva deformada

Y finalmente las fuerzas, considerando la geometría deformada de la estructura sería Nn, Tn y

Mn

Como ejemplo vamos a examinar el caso de un arco de 60m de luz, de acero de 60cm de

peralte, sometido a cargas concentradas por carga muerta, según la Fig. N° 7.1:

Fig 7.1

Para el caso del arco biarticulado, las deformaciones sucesivas obtenidas son como se

muestran en la Tabla N° 7.1 y Fig.N° 7.2

Los cálculos para las deflexiones finales, se han repetido hasta alcanzar un error relativo de

0.001, que se ha obtenido con tres iteraciones

Las deflexiones finales son en este caso, por consiguiente, mayores:

en la máxima deflexión positiva a 7.5m del apoyo:

5.099/3.338=1.53

en la máxima deflexión negativa en el centro:

15.956/10.911=1.46


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 38

DEFLEXIONES VERTICALES POR PESO MUERTO

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

X (m)

v (

cm

)

'v1'

'v2'

'v3'

'v4'

Fig 7.2

MOMENTOS FLECTORES POR PESO MUERTO

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

X (m)

Mf (

T.m

)

'MF1'

'MF2'

'MF3'

'MF4'

Fig 7.3

Los momentos flectores resultantes sucesivos son como se muestran en la Tabla N° 7.1 y

Fig.N° 7.3

Los momentos flectores finales son en este caso, por consiguiente, mayores:

en el máximo momento flector negativo a 9.0m del apoyo:

48.85/34.81=1.40

en el máximo momento positivo en el centro:

39.53/28.13=1.41


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 39

X v1 v2 v3 v4 X Mz1 Mz2 Mz3 Mz4

(m) (cm) (cm) (cm) (cm) (m) (T.m) (T.m) (T.m) (T.m)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.5 1.25 1.593 1.701 1.738 1.5 -24.25 -27.09 -27.85 -28.11

3 2.188 2.836 3.042 3.113 3 -35.21 -40.36 -41.81 -42.29

4.5 2.847 3.753 4.044 4.145 4.5 -33.79 -40.74 -42.79 -43.49

6 3.195 4.296 4.652 4.776 6 -20.88 -29.11 -31.65 -32.51

7.5 3.338 4.56 4.96 5.099 7.5 -32.92 -42.06 -44.96 -45.96

9 3.126 4.375 4.787 4.932 9 -34.81 -44.28 -47.38 -48.45

10.5 2.611 3.801 4.199 4.338 10.5 -27.3 -36.59 -39.75 -40.85

12 1.797 2.825 3.172 3.294 12 -10.54 -19.14 -22.19 -23.27

13.5 0.857 1.637 1.904 1.998 13.5 -18.28 -25.95 -28.75 -29.75

15 -0.312 0.135 0.29 0.345 15 -17.65 -24.01 -26.42 -27.29

16.5 -1.654 -1.608 -1.591 -1.584 16.5 -8.82 -13.55 -15.46 -16.16

18 -3.107 -3.526 -3.672 -3.723 18 7.92 5.02 3.73 3.24

19.5 -4.492 -5.411 -5.736 -5.851 19.5 0.47 -0.66 -1.27 -1.51

21 -5.892 -7.32 -7.83 -8.011 21 0.48 1.2 1.29 1.29

22.5 -7.265 -9.196 -9.89 -10.137 22.5 7.96 10.51 11.31 11.57

24 -8.502 -10.897 -11.763 -12.073 24 22.74 26.98 28.43 28.93

25.5 -9.44 -12.239 -13.258 -13.623 25.5 13.49 19 21.02 21.74

27 -10.179 -13.281 -14.414 -14.822 27 11.41 17.92 20.38 21.26

28.5 -10.705 -14.006 -15.215 -15.651 28.5 16.19 23.43 26.17 27.17

30 -10.911 -14.277 -15.511 -15.956 30 28.13 35.66 38.5 39.53

31.5 -10.661 -13.959 -15.169 -15.605 31.5 16.19 23.36 26.1 27.1

33 -10.183 -13.288 -14.425 -14.835 33 11.41 17.93 20.39 21.28

34.5 -9.47 -12.273 -13.296 -13.665 34.5 13.49 19.04 21.07 21.8

36 -8.513 -10.915 -11.788 -12.103 36 22.74 26.99 28.45 28.97

37.5 -7.237 -9.173 -9.873 -10.126 37.5 7.96 10.47 11.27 11.54

39 -5.907 -7.347 -7.866 -8.053 39 0.48 1.22 1.33 1.35

40.5 -4.526 -5.457 -5.791 -5.913 40.5 0.47 -0.6 -1.2 -1.43

42 -3.128 -3.562 -3.719 -3.777 42 7.92 5.05 3.78 3.31

43.5 -1.649 -1.618 -1.613 -1.614 43.5 -8.82 -13.56 -15.44 -16.13

45 -0.338 0.093 0.235 0.283 45 -17.65 -23.97 -26.35 -27.21

46.5 0.82 1.585 1.841 1.928 46.5 -18.28 -25.89 -28.67 -29.66

48 1.766 2.776 3.112 3.227 48 -10.54 -19.09 -22.12 -23.18

49.5 2.595 3.766 4.152 4.284 49.5 -27.3 -36.56 -39.69 -40.78

51 3.09 4.322 4.725 4.863 51 -34.81 -44.23 -47.3 -48.36

52.5 3.291 4.498 4.89 5.023 52.5 -32.92 -41.99 -44.87 -45.85

54 3.153 4.241 4.59 4.709 54 -20.88 -29.05 -31.56 -32.42

55.5 2.819 3.713 3.997 4.094 55.5 -33.79 -40.7 -42.73 -43.42

57 2.14 2.779 2.981 3.05 57 -35.21 -40.28 -41.72 -42.2

58.5 1.156 1.489 1.594 1.629 58.5 -24.25 -26.95 -27.7 -27.95

60 -0.049 -0.049 -0.049 -0.049 60 0 0.07 0.07 0.07

Tabla 7.1 Deflexiones verticales y momentos flectores en arco biarticulado

Para el caso del arco empotrado, las deformaciones sucesivas obtenidas son como se muestran

en la Tabla N° 7.2 y Fig.N° 7.4

Los cálculos para las deflexiones finales, se han repetido hasta alcanzar un error relativo de

0.001, que se ha obtenido con dos iteraciones


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 40

DEFLEXIONES VERTICALES POR PESO MUERTO

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

X (m)

v (

cm

)

'v1'

'v2'

'v3'

Fig 7.4

MOMENTOS FLECTORES POR PESO MUERTO

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

X (m)

Mf (

T.m

)

'MF1'

'MF2'

'MF3'

Fig 7.5

Las deflexiones finales son en este caso, por consiguiente, mayores:

en la máxima deflexión positiva a 9.0m del apoyo:

1.265/0.807=1.57

en la máxima deflexión negativa en el centro:

8.061/6.678=1.21

Los momentos flectores resultantes sucesivos son como se muestra en la Tabla N° 7.2 y

Fig.N° 7.5

Los momentos flectores finales son en este caso, por consiguiente, mayores:

en el máximo momento flector negativo a 9.0m del apoyo:

23.32/20.01=1.17


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 41

en el máximo momento positivo en el centro:

24.83/20.75=1.20

en el máximo momento positivo en el empotramiento:

47.04/40.87=1.15

X v1 v2 v3 X Mz1 Mz2 Mz3

(m) (cm) (cm) (cm) (m) (T.m) (T.m) (T.m)

0 0 0 0 0 40.87 46.01 47.04

1.5 0.172 0.198 0.203 1.5 11.35 14.87 15.66

3 0.358 0.439 0.456 3 -4.49 -2.49 -1.98

4.5 0.566 0.724 0.759 4.5 -7.56 -7.02 -6.81

6 0.707 0.947 1 6 1.22 0.49 0.42

7.5 0.849 1.166 1.239 7.5 -14.62 -16.55 -16.89

9 0.807 1.178 1.265 9 -20.01 -22.75 -23.32

10.5 0.606 1.008 1.105 10.5 -15.71 -18.95 -19.69

12 0.238 0.635 0.733 12 -1.86 -5.28 -6.12

13.5 -0.168 0.19 0.282 13.5 -12.24 -15.71 -16.59

15 -0.742 -0.463 -0.388 15 -14.01 -17.19 -18.04

16.5 -1.446 -1.279 -1.23 16.5 -7.32 -9.95 -10.71

18 -2.238 -2.219 -2.205 18 7.53 5.64 5.04

19.5 -2.965 -3.117 -3.146 19.5 -1.58 -2.77 -3.16

21 -3.743 -4.078 -4.155 21 -2.99 -3.34 -3.51

22.5 -4.536 -5.061 -5.188 22.5 3.28 3.86 3.94

24 -5.266 -5.973 -6.149 24 17.09 18.55 18.88

25.5 -5.778 -6.647 -6.867 25.5 7.09 9.14 9.7

27 -6.208 -7.199 -7.453 27 4.46 7.05 7.77

28.5 -6.534 -7.607 -7.884 28.5 8.92 11.92 12.76

30 -6.678 -7.777 -8.061 30 20.75 23.95 24.83

31.5 -6.494 -7.563 -7.839 31.5 8.92 11.85 12.69

33 -6.211 -7.2 -7.453 33 4.46 7.04 7.76

34.5 -5.809 -6.673 -6.891 34.5 7.09 9.18 9.73

36 -5.277 -5.979 -6.153 36 17.09 18.55 18.88

37.5 -4.512 -5.03 -5.153 37.5 3.28 3.8 3.87

39 -3.757 -4.088 -4.162 39 -2.99 -3.35 -3.52

40.5 -3 -3.145 -3.171 40.5 -1.58 -2.74 -3.15

42 -2.258 -2.233 -2.217 42 7.53 5.63 5.03

43.5 -1.442 -1.27 -1.217 43.5 -7.32 -10 -10.76

45 -0.767 -0.482 -0.404 45 -14.01 -17.2 -18.05

46.5 -0.21 0.155 0.249 46.5 -12.24 -15.69 -16.58

48 0.207 0.609 0.71 48 -1.86 -5.29 -6.13

49.5 0.591 0.997 1.095 49.5 -15.71 -18.99 -19.72

51 0.772 1.147 1.236 51 -20.01 -22.76 -23.33

52.5 0.794 1.113 1.186 52.5 -14.62 -16.53 -16.87

54 0.665 0.908 0.962 54 1.22 0.48 0.41

55.5 0.532 0.69 0.724 55.5 -7.56 -7.04 -6.82

57 0.31 0.392 0.409 57 -4.49 -2.49 -1.98

58.5 0.067 0.091 0.095 58.5 11.35 14.95 15.74

60 -0.049 -0.049 -0.049 60 40.87 45.99 47.03

Tabla 7.2 Deflexiones verticales y momentos flectores en arco empotrado


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 42

8. COMPENSACIÓN DE ARCOS

Este es un procedimiento constructivo cuyo objetivo es incorporar un estado de esfuerzos

favorables para el comportamiento de la estructura. En el pasado se utilizó para separar ó

descentrar el falso puente de la estructura para su desmontaje

Para un arco que finalmente será empotrado, se puede introducir, temporalmente, uno ó dos

juntas. En un arco, que finalmente será bi-articulado, se puede introducir una junta en la clave

Hay a su vez, dos formas de realizar estas juntas temporales: una es efectivamente construir

una articulación, en una etapa de la construcción y luego restituirle su monolitismo a la

articulación y así poder resistir momentos flectores en una etapa posterior

La segunda forma es insertar gatas chatas (flat jacks) en la junta, y gateando, incorporar

fuerzas de magnitudes controladas, para producir un estado de fuerzas favorables para el

comportamiento de la estructura

Fig. 8.1

Aplicando estos conceptos para el Puente en arco empotrado de 65m de luz, vamos a

examinar la variación de los momentos y la excentricidad de las fuerzas axiales por cargas

permanentes (peso propio + peso muerto)

a) Cuando se construyen articulaciones temporales en los arranques y se tiene, por

consiguiente, arcos biarticulados temporales para cargas permanentes:

MOMENTOS FLECTORES FUERZAS AXIALES

X PP PM PP+PM X PP PM PP+PM exc

(m) (T.m) (T.m) (T.m) (m) (T) (T) (T) (cm)

0 0 0 0 0 166.25 316.77 483.02 0.0

1.25 9.94 -13.38 -3.44 1.25 162.17 316.95 479.12 -0.7

2.5 17.65 -15.69 1.96 2.5 158.38 316.98 475.36 0.4

3.75 23.47 -34.16 -10.69 3.75 154.87 304.11 458.98 -2.3

5 27.45 -41.8 -14.35 5 151.62 304.23 455.85 -3.1

6.25 30.01 -38.62 -8.61 6.25 148.62 304.18 452.8 -1.9

7.5 31.11 -25.12 5.99 7.5 145.85 303.96 449.81 1.3

8.75 31.16 -36.5 -5.34 8.75 143.3 289.23 432.53 -1.2

10 30.16 -37.55 -7.39 10 140.96 289.24 430.2 -1.7

11.25 28.42 -28.28 0.14 11.25 138.82 289.08 427.9 0.0

12.5 26.11 -8.7 17.41 12.5 136.86 288.72 425.58 4.1

13.75 23.2 -20.49 2.71 13.75 135.08 274.48 409.56 0.7


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 43

15 19.9 -22.22 -2.32 15 133.46 274.51 407.97 -0.6

16.25 16.44 -13.89 2.55 16.25 132 274.35 406.35 0.6

17.5 12.7 4.02 16.72 17.5 130.68 273.98 404.66 4.1

18.75 8.95 -5.74 3.21 18.75 129.51 263.96 393.47 0.8

20 5.26 -5.67 -0.41 20 128.46 263.96 392.42 -0.1

21.25 1.66 3.95 5.61 21.25 127.53 263.75 391.28 1.4

22.5 -1.76 23.15 21.39 22.5 126.72 263.33 390.05 5.5

23.75 -4.78 10.86 6.08 23.75 126.02 255.9 381.92 1.6

25 -7.61 7.9 0.29 25 125.42 255.97 381.39 0.1

26.25 -10.16 14.24 4.08 26.25 124.92 255.82 380.74 1.1

27.5 -12.25 30.15 17.9 27.5 124.52 255.45 379.97 4.7

28.75 -13.83 18.09 4.26 28.75 124.21 252.18 376.39 1.1

30 -15.01 15.34 0.33 30 123.99 252.24 376.23 0.1

31.25 -15.75 21.91 6.16 31.25 123.86 252.09 375.95 1.6

32.5 -16.04 37.79 21.75 32.5 123.82 251.71 375.53 5.8

33.75 -15.75 21.91 6.16 33.75 123.86 252.09 375.95 1.6

35 -15.01 15.34 0.33 35 123.99 252.24 376.23 0.1

36.25 -13.83 18.09 4.26 36.25 124.21 252.18 376.39 1.1

37.5 -12.25 30.15 17.9 37.5 124.52 251.89 376.41 4.8

38.75 -10.17 14.24 4.07 38.75 124.92 255.82 380.74 1.1

40 -7.61 7.9 0.29 40 125.42 255.97 381.39 0.1

41.25 -4.79 10.86 6.07 41.25 126.02 255.9 381.92 1.6

42.5 -1.76 23.15 21.39 42.5 126.72 255.62 382.34 5.6

43.75 1.65 3.95 5.6 43.75 127.53 263.75 391.28 1.4

45 5.26 -5.67 -0.41 45 128.46 263.96 392.42 -0.1

46.25 8.93 -5.74 3.19 46.25 129.51 263.96 393.47 0.8

47.5 12.7 4.02 16.72 47.5 130.68 263.76 394.44 4.2

48.75 16.42 -13.89 2.53 48.75 132 274.35 406.35 0.6

50 19.9 -22.22 -2.32 50 133.46 274.51 407.97 -0.6

51.25 23.17 -20.49 2.68 51.25 135.08 274.48 409.56 0.7

52.5 26.11 -8.7 17.41 52.5 136.86 274.26 411.12 4.2

53.75 28.39 -28.28 0.11 53.75 138.82 289.08 427.9 0.0

55 30.16 -37.55 -7.39 55 140.96 289.24 430.2 -1.7

56.25 31.13 -36.5 -5.37 56.25 143.3 289.23 432.53 -1.2

57.5 31.11 -25.12 5.99 57.5 145.85 289.04 434.89 1.4

58.75 29.97 -38.62 -8.65 58.75 148.62 304.18 452.8 -1.9

60 27.45 -41.8 -14.35 60 151.62 304.23 455.85 -3.1

61.25 23.43 -34.16 -10.73 61.25 154.87 304.11 458.98 -2.3

62.5 17.65 -15.69 1.96 62.5 158.38 303.85 462.23 0.4

63.75 9.89 -13.38 -3.49 63.75 162.17 316.95 479.12 -0.7

65 0 0 0 65 166.25 316.77 483.02 0.0

Tabla 8.1 Momentos flectores y excentricidad de la fuerza axial en arco biarticulado


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 44

Fig. 8.2

b) Cuando se construyen juntas: una en la clave ó dos en los cuartos de luz, donde se

introducirán gata hidráulicas para producir un desplazamiento horizontal total de 0.6cm

MOMENTOS FLECTORES FUERZAS AXIALES

X PP PM TEMP (*) CALIB X PP PM TEMP (*) CALIB exc

(m) (T.m) (T.m) (T.m) (T.m) (m) (T) (T) (T) (T) (cm)

0 -55.11 24.6 94.9 -0.5 0 162.39 318.5 7.5 483.26 -0.1

1.25 -40.1 8.96 85.08 -4.3 1.25 158.24 318.71 7.63 479.36 -0.9

2.5 -27.55 4.49 75.69 0.9 2.5 154.38 318.77 7.76 475.60 0.2

3.75 -17.09 -16.05 66.72 -12.1 3.75 150.8 305.93 7.89 459.22 -2.6

5 -8.7 -25.66 58.17 -16.0 5 147.48 306.08 8.01 456.09 -3.5

6.25 -1.95 -24.36 50.03 -10.5 6.25 144.42 306.06 8.14 453.05 -2.3

7.5 3.14 -12.64 42.29 3.9 7.5 141.58 305.87 8.26 450.06 0.9

8.75 6.97 -25.7 34.96 -7.7 8.75 138.97 291.16 8.38 432.78 -1.8

10 9.54 -28.35 28.03 -10.0 10 136.57 291.21 8.5 430.47 -2.3

11.25 11.17 -20.59 21.49 -2.6 11.25 134.37 291.07 8.62 428.16 -0.6

12.5 12.02 -2.41 15.36 14.5 12.5 132.36 290.74 8.73 425.86 3.4

13.75 12.08 -15.53 9.6 -0.4 13.75 130.52 276.52 8.84 409.83 -0.1

15 11.54 -18.5 4.23 -5.6 15 128.85 276.57 8.94 408.25 -1.4

16.25 10.65 -11.3 -0.76 -0.9 16.25 127.33 276.43 9.04 406.62 -0.2

17.5 9.28 5.54 -5.37 13.1 17.5 125.97 276.09 9.14 404.95 3.2

18.75 7.71 -5.19 -9.6 -0.5 18.75 124.74 266.09 9.23 393.75 -0.1

20 6 -6.01 -13.45 -4.3 20 123.65 266.11 9.31 392.70 -1.1

21.25 4.2 2.82 -16.94 1.7 21.25 122.68 265.92 9.38 391.56 0.4

22.5 2.38 21.3 -20.05 17.3 22.5 121.84 265.51 9.45 390.34 4.4

23.75 0.76 8.39 -22.78 2.0 23.75 121.1 258.1 9.51 382.21 0.5

25 -0.85 4.87 -25.15 -3.9 25 120.48 258.18 9.57 381.68 -1.0

26.25 -2.36 10.76 -27.17 -0.2 26.25 119.96 258.04 9.61 381.04 0.0

27.5 -3.61 26.29 -28.81 13.6 27.5 119.54 257.68 9.65 380.27 3.6

28.75 -4.54 13.94 -30.08 -0.1 28.75 119.21 254.41 9.68 376.68 0.0

30 -5.25 10.98 -30.98 -4.1 30 118.98 254.48 9.71 376.53 -1.1

31.25 -5.71 17.42 -31.53 1.7 31.25 118.85 254.33 9.72 376.25 0.5

32.5 -5.9 33.26 -31.72 17.3 32.5 118.8 253.95 9.72 375.82 4.6

MOMENTOS FLECTORES DE CALIBRACION

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

X (m)

Mf (T

.m

)

PP

PM

CAL


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 45

33.75 -5.71 17.42 -31.53 1.7 33.75 118.85 254.33 9.72 376.25 0.5

35 -5.25 10.98 -30.98 -4.1 35 118.98 254.48 9.71 376.53 -1.1

36.25 -4.54 13.94 -30.08 -0.1 36.25 119.21 254.41 9.68 376.68 0.0

37.5 -3.6 26.29 -28.81 13.6 37.5 119.54 254.12 9.65 376.71 3.6

38.75 -2.36 10.76 -27.17 -0.2 38.75 119.96 258.04 9.61 381.04 0.0

40 -0.84 4.87 -25.15 -3.9 40 120.48 258.18 9.57 381.68 -1.0

41.25 0.76 8.39 -22.78 2.0 41.25 121.1 258.1 9.51 382.21 0.5

42.5 2.39 21.3 -20.05 17.4 42.5 121.84 257.8 9.45 382.63 4.5

43.75 4.2 2.82 -16.94 1.7 43.75 122.68 265.92 9.38 391.56 0.4

45 6.02 -6.01 -13.45 -4.2 45 123.65 266.11 9.31 392.70 -1.1

46.25 7.71 -5.19 -9.6 -0.5 46.25 124.74 266.09 9.23 393.75 -0.1

47.5 9.3 5.54 -5.37 13.1 47.5 125.97 265.87 9.14 394.73 3.3

48.75 10.64 -11.3 -0.76 -0.9 48.75 127.33 276.43 9.04 406.62 -0.2

50 11.56 -18.5 4.23 -5.6 50 128.85 276.57 8.94 408.25 -1.4

51.25 12.07 -15.53 9.6 -0.4 51.25 130.52 276.52 8.84 409.83 -0.1

52.5 12.05 -2.41 15.36 14.5 52.5 132.36 276.27 8.73 411.39 3.5

53.75 11.16 -20.59 21.49 -2.6 53.75 134.37 291.07 8.62 428.16 -0.6

55 9.56 -28.35 28.03 -9.9 55 136.57 291.21 8.5 430.47 -2.3

56.25 6.96 -25.7 34.96 -7.7 56.25 138.97 291.16 8.38 432.78 -1.8

57.5 3.17 -12.64 42.29 3.9 57.5 141.58 290.94 8.26 435.13 0.9

58.75 -1.96 -24.36 50.03 -10.5 58.75 144.41 306.06 8.14 453.04 -2.3

60 -8.67 -25.66 58.17 -15.9 60 147.48 306.08 8.01 456.09 -3.5

61.25 -17.11 -16.05 66.72 -12.1 61.25 150.8 305.93 7.89 459.22 -2.6

62.5 -27.51 4.49 75.69 0.9 62.5 154.38 305.64 7.76 462.47 0.2

63.75 -40.12 8.96 85.08 -4.3 63.75 158.23 318.71 7.63 479.35 -0.9

65 -55.07 24.6 94.9 -0.5 65 162.39 318.5 7.5 483.26 -0.1

Tabla 8.2 Momentos flectores y excentricidad de la fuerza axial en arco biarticulado

(*) Los efectos de temperatura corresponden a una dilatación restringida de lx = .t.lx=

0.0117x10-3

x25x6500 = 1.9 cm para una variación de temperatura de 25°C. Al estar hablando

de 0.6 cm, para el desplazamiento forzado por las gatas, debemos multiplicar estos efectos por

0.6/1.9 = 0.316

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

M

f (T.m

)

X (m)

MOMENTOS FLECTORES DE CALIBRACION

PP

PM

TEMP

CAL

Fig. 8.3


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 46

9. ESTABILIDAD DE ARCOS

No existe un procedimiento analítico, que conduzca a formulaciones generales, aplicables a

un arco cualquiera, con cualquier sistema de sustentación

a)Arco Biarticulado b) Arco Empotrado

Fig. 9.1

Por la complejidad del problema, este análisis se ha efectuado caso por caso, asumiendo una

sucesión de hipótesis simplificatorias, empleando el método de Engesser-Vianello de

aproximaciones sucesivas, con el que se obtienen valores acotados para las cargas ó empujes

críticos que propician el pandeo de la estructura, y que luego han sido verificados mediante

experimentación

Así para obtener la carga critica qcr:

3l

EIqcr

Para arcos circulares, de sección constante y presión radial constante, el valor está dado por:

f/l Empot. 1 artic. 2 artic. 3 artic.

0.1 58.9 33.0 28.4 22.2

0.2 90.4 50.0 39.3 33.5

0.3 93.4 52.0 40.9 34.9

0.4 80.7 46.0 32.8 30.2

0.5 64.0 37.0 24.0 24.0

Tabla 9.1

Para arcos parabólicos, de sección constante y carga uniforme, el valor está dado por:


0.1 60.7 33.8 28.5 22.5

0.2 101.0 59.0 45.4 39.6

0.3 115.0 ---- 46.5 46.5

0.4 111.0 96.0 43.9 43.9

0.5 97.4 ---- 38.4 38.4

Tabla 9.2

Para arcos parabólicos, de sección hx=hc/cos y carga uniforme, el valor está dado por:


0.1 65.5 36.5 30.7 24.0

0.2 134.0 75.8 59.8 51.2

0.3 204.0 ---- 81.1 81.1


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 47

0.4 277.0 187.0 101.0 101.0

0.5 ---- ---- ---- ----

Tabla 9.3

Para arcos coseno hiperbólico, sección constante y carga uniforme, el valor está dado por:

f/l Empot. 1

artic.

2

artic.

3

artic.

0.1 59.4 28.4

0.2 96.4 43.2

0.3 112.0 41.9

0.4 92.3 35.4

0.5 80.7 27.4

Tabla 9.4

Cuando se desea obtener el empuje crítico Hcr:

2l

EIH c

cr

Para arcos parabólicos, de sección constante y carga uniforme, el valor está dado por:


0.1 75.8

----

---- 35.6

36.2

28.5

---

0.2 63.1

58.5

---- 28.4

28.2

24.9

22.7

0.3 47.9

43.8

---- 19.4

19.8

20.2

18.8

0.4 34.8

34.2

---- 13.7

13.6

15.4

13.6

0.5 ----

30.4

---- 9.6

---

----

11.2

Tabla 9.5

Para arcos parabólicos, de sección I=Ic/cos y carga uniforme, el valor está dado por:


0.1 78.2

78.4

---- 37.2 29.4

0.2 71.0

70.8

---- 31.6 27.7

0.3 61.3

61.1

---- 25.1 25.3

25.1

0.4 51.1

51.1

---- 19.4 22.6

19.4

0.5 41.9

41.8

---- 15.0 19.8

15.0

Tabla 9.6


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 48

Con el desarrollo de los métodos matriciales para el análisis de estructuras se ha podido

efectuar un planteamiento más general sobre el fenómeno de pandeo de elementos sometidos

a una carga axial N, introduciendo el concepto de la rigidez geométrica KG

El planteamiento consiste en representar a un miembro estructural conectado a una estructura

auxiliar de barras rígidas articuladas, donde actúan las fuerzas axiales, tal como se muestra en

el siguiente dibujo

Fig. 9.2

Cuando se deforma la estructura real, lo mismo hará la estructura auxiliar sometida a fuerzas

axiales y se producirán reacciones fG en cada una de las barras de conexión entre ambas, que

son las fuerzas requeridas para estabilizar el sistema auxiliar

En un elemento de la estructura se tendrá:

Fig. 9.3

que puede escribirse matricialmente como


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 49

Extendiendo este planteamiento a la estructura completa

=

…

…

………………………………………………………

………………………………………………………

Simbólicamente se puede escribir como fG = KG.ν, donde KG es una matriz simétrica, llamada

de rigidez geométrica

Esta es la primera aproximación de la matriz de rigidez. Con una aproximación de mayor

orden o más refinado, se puede tener la matriz de rigidez geométrica consistente

La ecuación de equilibrio estático es: K.ν - KG .ν = P

Para la estabilidad estática ó consideración de pandeo tenemos: K.ν - KG.ν = 0, que

constituye un problema de valores verdaderos: K – KG = 0

Obtendremos los valores: l1, l2, l3, ………, lN, que satisfacen esta ecuación y representan:

K – l KG = 0, los factores de seguridad al pandeo para los diferentes modos de pandeo. Solo

interesa el menor valor de l


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 50

10. EFECTOS DE VARIACIÓN DE TEMPERATURA, ENCOGIMIENTO

DE FRAGUA Y DESPLAZAMIENTO DE APOYOS

Aparte de la acción del peso propio, pesos muertos y las sobrecargas de tránsito, se debe de

estudiar el efecto de variación de temperatura, con respecto a la temperatura durante la

construcción; en el caso de arcos de concreto: el encogimiento de fragua y flujo plástico; y el

desplazamiento de apoyos producido por el cedimiento del suelo de soporte

a) Con la variación de temperatura, se tiene una dilatación ó contracción restringida en el

arco, porque los apoyos impiden su libre dilatación ó contracción, produciéndose, por lo

tanto, la compresión ó tracción del arco, respectivamente, con momentos flectores que

varían según la geometría del eje

Fig. 10.1

Así en el arco con una luz entre apoyos de l, para una variación de temperatura de t, se

tendría una dilatación libre de: l = .t.l, ó en sus componentes ortogonales

lx = .t.lx

ly = .t.h

y el momento flector :

M = Ma – H.y – V.x

Siendo Ma, H y V, momento flector, empuje horizontal y reacción vertical en el arranque.

Ma y Mb son nulos para el arco biarticulado y las reacciones verticales V son nulas para

arcos con apoyos al mismo nivel

b) Para el encogimiento de fragua en los arcos de concreto, se tiene una contracción

restringida, produciéndose, por lo tanto, la tracción del arco

contracción libre de: l = sh.l, ó en sus componentes ortogonales

lx = sh.lx

ly = sh.h


M = Ma – H.y – V.x

c) En el caso de desplazamiento de apoyos, se tendrían los posibles desplazamientos:

x, y y


M = Ma – H.y – V.x


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 51

d) Para el flujo plástico en arcos de concreto, se produce un incremento gradual de los

desplazamientos del eje del arco, sin variación en los esfuerzos. La deflexión al final del

flujo plástico se calcula con el valor final de

1

of

EE , siendo Eo, el módulo de

elasticidad inicial y Ef, el módulo de elasticidad final. Para condiciones normales de clima

y fabricación de concreto, =2.0. El flujo plástico se desarrolla en un periodo de uno a 2

años.

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Mz (T

.m

)

X (m)

MOMENTOS FLECTORES POR TEMP, DX Y DY

Mz-temp

Mz-dx

Mz-dy

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Fa (T

)

X (m)

FUERZAS AXIALES POR TEMP, DX Y DY

Fa-temp

Fa-dx

Fa-dy

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

Fc (T

)

X (m)

FUERZAS CORTANTES POR TEMP, DX Y DY

Fc-temp

Fc-dx

Fc-dy

Fig. 10.2 Arco empotrado


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 52

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2 36.8 41.4 46 50.6 55.2 59.8 64.4 69 73.6 78.2 82.8 87.4 92

Fa (T

)

X (m)

FUERZAS AXIALES POR TEMP, DX Y DY

Fa-temp

Fa-dx

Fa-dy

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 3 2.2 36.8 41.4 46 50.6 55.2 59.8 64.4 69 73.6 78.2 82.8 87.4 92

M

z (T.m

)

X (m)

MOMENTOS FLECTORES POR TEMP, DX Y DY

Mz-temp

Mz-dx

Mz-dy

+

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 4.6 9.2 13.8 18.4 23 27.6 32.2 36.8 41.4 46 50.6 55.2 59.8 64.4 69 73.6 78.2 82.8 87.4 92

Fc (T)

X (m)

FUERZAS CORTANTES POR TEMP, DX Y DY

Fc-temp

Fc-dx

Fc-dy

Fig. 10.3 Arco biarticulado


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 53

11. CONTROL DE LA GEOMETRÍA DEL ARCO DURANTE LA CONSTRUCCIÓN

Tanto para el correcto replanteo de la geometría del arco como para verificar el

comportamiento estructural del arco, se debe hacer el control preciso de su geometría

durante las etapas principales de su construcción:

a-1) Durante la construcción del arco, inmediatamente al término del vaciado del arco,

cuando se construye con falso puente completo; ó en cada etapa cuando se construye

por etapas:

Fig. 11.1

yp = yc + vp

siendo :

yc,la geometría del falso puente del arco

vp, deflexión elástica por peso propio del arco

yp, la geometría del arco, actuando el peso del arco ó deformada por

peso propio

a-2) En la construcción por volados sucesivos, el ciclo de operaciones que se repetirán serán:

1. Tensado de cables para resistir el carro en su nueva posición

2. Desplazamiento del carro a su nueva posición

3. Encofrado, colocación de armaduras y vaciado de concreto en su nueva posición

4. Tensado de cables, después de construcción de nueva etapa

5. Desaflojar carro para trasladarlo a su nueva posición

En etapa i En etapa i+1

Tensión en

el cable

Deflexión

del arco

Tensión en

el cable

Deflexión

del arco

Ti1 v

i1 T

i+11 v

i+11

Ti2 v

i2 T

i+12 v

i+12

Ti3 v

i3 T

i+13 v

i+13

.... .... .... ....

Tin-1 v

in-1 T

i+1n-1 v

i+1n-1

Ti+1

n vi+1

n

siendo :


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 54

vij, deflexión elástica en la abscisa j, con el arco y el carro hasta la

etapa i

vi+1

j, deflexión elástica en la abscisa j, con el arco y el carro hasta la

etapa i + 1

Tij, tensión del cable j, hasta la etapa i

b) Después de la construcción del puente, ó sea luego de construirse el tablero de rodadura

y las columnas ó péndolas:

Fig. 11.2

ym = yp + vm + i.vp

siendo :

vm,deflexión elástica por peso muerto

i ,coeficiente de flujo plástico por peso propio, en esta etapa

ym, la geometría del arco, actuando el peso propio y peso muerto ó

deformada por peso propio más peso muerto

c) Después de la construcción del puente y concluir el proceso de flujo plástico del

concreto:

ym, = yp + (1+).vm + .vp

siendo :

, coeficiente de flujo plástico final (=2.0)

ym,, la geometría del arco, actuando el peso propio y peso muerto al

concluir el flujo plástico

d) Durante la prueba de carga ó con sobrecarga:

Fig. 11.3

yf = ym, + vt

siendo :


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 55

vt,deflexión elástica por sobrecarga

yf, la geometría del arco, bajo el camión de prueba ó sobrecarga ó

deformada por sobrecarga


© 2002, 2003 OSCAR MUROY 56

12. BIBLIOGRAFÍA

1) Theory of Structures, S. Timoshenko, Mc Graw Hill, 1945

2) Resistencia de Materiales, J. Courbon, Aguilar, 1968

3) Análisis de Estructuras Indeterminadas, J. S. Kinney, CECSA, 1963

4) Specifications of Highway Bridges, Japan Road Association, 1984

5) The Heads of the Valley Road, A. S. Coombs y L.W. Hinch, Proceedings of The

Institution of Civil Engineers, Oct. 1969

6) Concrete Bridges, A. C. Liebenberg, Longman Scientific and Technical, 1992

7) Theorie und Berechnung der Stahlbrücken, A. Hawranek y O. Steinhardt, Springer

Verlag, 1958

8) Estructuras de Hormigón Armado, Tomo VI, Bases para la construcción de puentes

monolíticos, F. Leonhardt, El Ateneo, 1992 (orig. 1979)

9) Theory of Elastic Stability, S. Timoshenko, Mc Graw Hill, 1961

10) Structural Steel Designer’s Handbook, R. Brockenbrough y F. Merritt, Mc Graw Hill,

1999

11) Bridges/Brücken, F. Leonhardt, Deutsche Verlags-Anstalt, 1994

12) Bridges in Japan, Dobuku Gakkai, varios años

Documents

Ecuaciones Generales de Deflexiones en Vigas Curvass9000081.ferozo.com/PDFs/ANALISIS_DISENO_Y_CONSTRUCCION_DE… · “Análisis y Diseño de Puentes en Arco”, ... Sección sometida