Ecuaciones Y Ejercicios

INTRODUCCIN

Las ecuaciones fundamentalmente se utilizan para resolver problemas bien sea matemticos

o bien solventar diferentes cuestionamientos de la vida diaria en cualquier mbito, en este

caso, se puede decir que "el problema se ha resuelto por lgebra". Cuando se soluciona un

problema algebraico, es aconsejable seguir ciertos pasos, dentro de los cuales se pueden

mencionar:

a) Designar la incgnita.

b) Plantear la ecuacin.

c) Resolver la ecuacin.

d) Discutir los resultados.

Un ejemplo de cmo podemos utilizar los conocimientos de la resolucin de ecuaciones se

menciona a continuacin.

Ejemplo: Pedro le comenta a Pablo que se compr una calculadora nueva, Pablo le pregunta

Cunto te costo? a lo que Pedro responde: Un cuarto, ms un quinto, ms un sexto, menos

21 bolvares fue la mitad de todo el costo.

Solucin: Lo respondido por Pedro es 214 5 6 2

x x x x por lo cual al resolver la ecuacin

tenemos a x que es el costo de la calculadora 180x Bolvares.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

Al finalizar el objetivo el estudiante estar en capacidad de:

1. Reconocer expresiones algebraicas.

2. Conocer el lenguaje algebraico para resolver ecuaciones e interpretar

las soluciones.

3. Plantear y resolver ecuaciones, uti l izando en cada caso el mtodo que

mejor convenga

4. Simplificar expresiones mediante las reglas de uso de los parntesis y de la jerarqua

de las operaciones

5. Reconocer un valor dado como solucin de una ecuacin.

6. Despejar la variable apl icando operaciones matemticas.

7. Clasificar las ecuaciones segn el nmero de soluciones.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para abordar este tema el estudiante deber saber:

Agrupacin de trminos semejantes. Las operaciones matemticas (suma, resta, multiplicacin y divisin). Simplificacin de expresiones algebraicas. Procedimientos de ordenacin y representacin de los nmeros en la recta real. Polinomios. Nmeros racionales. Operaciones elementales.

DEFINICIN:

Una ecuacin es una igualdad de dos expresiones matemticas. Una ecuacin de primer

grado en una variable es una ecuacin en la que aparece una variable elevada al

exponente uno, a estas ecuaciones tambin se le conocen como ecuaciones lineales en una

variable. La variable puede aparecer por ms de una ocasin, por ejemplo, la ecuacin

5 3 3 1x x es una ecuacin de primer grado donde la variable aparece en ambos lados

de la igualdad.

ELEMENTOS DE UNA ECUACIN:

Miembros: Los miembros de una ecuacin son cada una de las expresiones que aparecen a

cada lado del signo de igualdad.

Trminos: Los trminos de una ecuacin son los sumandos que forman los miembros de

una ecuacin.

Variables o Incgnitas: Las incgnitas de una ecuacin son las letras que aparecen en la

ecuacin.

Grado: El grado de una ecuacin es el mayor de los grados de los monomios que forman

sus miembros.

Soluciones: Las soluciones de una ecuacin es el valor o los valores que debe(n) tomar las

letras (variables) para que la igualdad sea cierta, a dicho valor o valores se le(s) conoce

tambin como raz o races de la ecuacin.

Las ecuaciones de primer grado [variable elevada a la uno ( 0ax b )] solo tienen

una solucin o raz.

Las ecuaciones de segundo grado [variable elevada al cuadrado (2

0ax bx )] tienen

mximo dos soluciones o races.

Las ecuaciones de tercer grado [variable elevada al cubo 3 2

0ax bx cx d )]

tienen mximo tres soluciones o races.

Las ecuaciones de n grado (variable elevada a la n exponente) tienen mximo

tantas soluciones o races como el mayor exponente de dicha ecuacin lo diga.

4 2 35 3 7 2 1x x x x

ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

1) Ecuaciones lineales en una variable: Como se mencion anteriormente estas

ecuaciones tienen la variable elevada al exponente 1. Puede usarse cualquier letra para

denotar la incgnita y los coeficientes son nmeros reales.

Procedimiento para su solucin:

Ejemplo 1:

5 2 2 1x x

5 2 2 2 2 1 2 2x x x x Se agrupan los trminos semejantes para ello se

suma 2 y se resta 2x en ambos miembros.

Los trminos son: 45x , 37x , 23x , 2x , 1

La variable es x

El grado es 4

1er miembro 2do miembro

5 2 1 2x x Se operan los trminos semejantes

3 3x

3 3

3 3

x Se divide entre 3 ambos miembros

3x Solucin

Para comprobar el resultado basta con sustituir el valor de x en la ecuacin original y se

debe cumplir la igualdad, esto es: 5 1 2 2 1 1 5 2 2 1 3 3

Ejemplo 2:

2 5 3 3 12 4

3 2 4 5 2

x x

2 5 9 12 3

3 2 20 2

x x

Se elimina el parntesis (propiedad distributiva)

2 5 9 72

3 2 20 2

x x

Se restan (suma de negativos) en el corchete

2 5 97

3 2 10

x x Se elimina el corchete (propiedad distributiva)

2 5 9 5 9 9 57

3 2 10 2 10 10 2

x x x x Se agrupan los trminos semejantes para ello se

suma 9

10

x y se resta

5

2 en ambos miembros

2 9 57

3 10 2

x x Se operan los trminos semejantes

47 19

30 2

x Se multiplica por 2 y por 30 ambos miembros

47 19

2 30 2 3030 2

x Se simplifican los trminos iguales

94 570x Se divide entre 94 en ambos miembros

94 570

94 94

x Se simplifica

285

47x Solucin:

285:

47x x

EJERCICIOS:

1) 5 4 13 2x x

2) 3 2 5 2 4 4 7x x

3) 2 2 3 5ax b ax b x a b

4) 3 4 1 12x m mx

5) 2 4a x a a x

6) 23 4 5 9 2a x a b b b x ax

7) 2 23 9 9ax b a bx

8) 1 6 6 1x x m m

9) 3 2 4 1 1 5 2

5 10 4 8

x x x x

10) 3 9 2

4 26 3

x x

11) 2 3 3 5 2 1 24 7 6x x x x

12) 2 2

3 1 1 3 2 5 3y y y y

13) 2 2 24 2 4 3 4 8y b y b b

14) 4 6 2 3 2 3 7 2y y y y y y

15) 2

2 5 1 2 6 75

xx x x x

16) 3 3

6 5 1 1y y y y

17) 1

1n m

xx

18) 2vy v c cy v

2) Ecuaciones de primer grado con valor absoluto: El valor absoluto de un nmero

real x se denota por x y se define como sigue:

x a

Dicho de otra forma, cualquier nmero x se puede representar en la recta real y la

distancia desde ese nmero al origen es su valor.

Ejemplo: Sea 6x entonces 6x 6x

Propiedades del valor absoluto de un nmero real:

1.- a a a 4.- 0cona b a b a

2.- a b a b

a b a b

5.- a b

b a b a

3.- 0conaa

bb b


Ejemplo 1:

5 12x

El significado del ejercicio es que 5x se encuentra a 12 unidades del origen en la recta

real.

-12 0 12

x a si 0x

x a si 0x

5x

5x

5 12x Se plantean las dos posibilidades

5 12x Se suma 5 en ambos miembros

5 5 12 5x Se operan la resta y suma

17x

5 12x Se suma 5 en ambos miembros

5 5 12 5x Se operan las restas

7x

Ambos valores son solucin y se pueden comprobar sustituyendo cada uno en la ecuacin original.

Si 17x 17 5 12 12 12

Si 7x 7 5 12 12 12

Ejemplo 2:

3 7 5x Se plantean las dos posibilidades

3 7 5x Se resta 7 en ambos miembros

3 7 7 5 7x Se operan las restas

3 2x

3 2

3 3


3 7 5x Sumamos 5 ambos en miembros

3 7 7 5 7x Se operan las restas

3 12x

3 12

3 3


2

3x 4x

Solucin: 2

; 43

x x

Ejemplo 3:

2 32

4

x

Se plantean las dos posibilidades

2 32

4

x

Se multiplica por 4

2 32

4

x

Se multiplica por 4

2 3 8x 2 3 8x

2 3 3 8 3x Se suma 3 en ambos miembros


2 11x Se operan la resta y suma 2 5x Se operan las restas

2 11

2 2


2 5

2 2


11

2x

5

2x

EJERCICIOS:

1) 2 3 5x 2) 3 2 2 7x x

3) 3 1 5 1 2 1 6x x x 4) 2 6 3 5x x

5) 5 2 3x 6) 7 4 2 0x

7) 3 2 32x 8) 2 25 5x x x

9) 3 4

9 52

xx

10)

34

2 10

x

x

11) 3 5 4 9x 12) 6 6

13

x

13) 3 5 2x

14) 4

32 6

x

x

15) 22 7 3 10x x x x

16) 2 5 6 7x x

17) 1 3 1

3 5 2

x x

18)

2 31

7 5

x x

3) Ecuaciones de primer grado con radicales: Son ecuaciones que poseen al menos

una raz, donde la variable se encuentra bajo el signo radical, y tambin puede estar fuera

de l.


1. Se asla el radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los

trminos. Si la ecuacin tiene dos radicales se deja cada radical en cada miembro de la

igualdad.

2. Se eleva al ndice de la raz cada uno de los miembros de la igualdad.

3. Se reducen los trminos semejantes.

4. Si en algn miembro queda un radical, este se asla, si es el caso, en el lado izquierdo de

la igualdad. Se eleva al ndice de la raz cada uno de los miembros de la ecuacin y se

reducen los trminos semejantes.

Ejemplo 1:

2 3 1 4x

2 3 1 1 4 1x Se deja sola la raz en el primer miembro

para ello se suma 1 en cada miembro

2 3 5x Se operan la resta y la suma

2 2

2 3 5x Se eleva al cuadrado ambos miembros

2 3 25x Se resuelven los cuadrados


2 3 3 25 3x Se operan la resta y la suma

2 28x

2 28

2 2

x Se divide entre dos ambos miembro

14x Solucin

Ejemplo 2:

4 2x x

4 2x x x x Se resta en ambos miembros

4 2x x Se operan las restas

2 2

4 2x x Se eleva al cuadrado ambos miembros

4 4 4x x x Se resuelven los cuadrados

4 4 4 x Se simplifican los trminos semejantes

4 8x Se acomoda la ecuacin

4 8

4 4

x Se divide entre 4

2

22x Se eleva al cuadrado

4x Solucin

EJERCICIOS:

1) 5 2 4x 2) 22 1x x

3) 24 15 2 1x x 4) 38 12x

5) 4 11 7 2 29x x 6) 7 7x x

7) 3 5 3 14 9x x 8) 4 1 5x x

9) 9 14 3 10 4x x 10) 9 7 16 7 0x x x

11) 3

14 1111

x xx

12) 29 5 3 1x x

13) 23 6 13 1x x x 14) 7 1 2 2 0x x x

15) 315 7 1 12x 16) 6 5 3 4 5 17x x

17) 13 13 4 2x x 18) 37 5 2 9x

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuacin de segundo grado con una incgnita es una igualdad algebraica que se puede

expresar en la forma: 2 0ax bx c , siendo a , b y c nmeros reales y 0a .

Los coeficientes de la ecuacin son a y b . El trmino independiente es c .

Si 0b y 0c , se dice que la ecuacin es completa.

Si 0b 0c , la ecuacin es incompleta.

Nota: el coeficiente a nunca puede ser cero pues si lo fuera, la ecuacin no sera de

segundo grado.

Existen diferentes procedimientos para resolver una ecuacin de segundo grado, la tcnica

usada para resolver depende de cmo se presenta la ecuacin. Dentro de los procedimientos

tenemos:

1. Formula de la Resolvente.

2. Por factorizacin.

3. Por completacin de cuadrados.

1) Ecuaciones de segundo grado por la Resolvente: La resolvente es una

frmula que se obtiene de un polinomio de grado 2. A continuacin se muestra como se

defini la frmula:

Forma general de la ecuacin de 2do

grado.

2 0ax bx c

Se pasa el trmino independiente al

segundo miembro:

2ax bx c

Se multiplica toda la igualdad por el

nmero 4a convenientemente elegido: 2 4 4ax bx a c a

Se suma el nmero 2b a ambos miembros

de la igualdad:

2 2 2 24 4 4a x abx b ac b Trinomio cuadrado perfecto

Se factoriza el primer miembro de esa

igualdad:

2 22 4ax b b ac

Se despeja la incgnita x : 2

1,2

4

2

b b acx

a

La expresin 2 4b ac se llama discriminante y se tiene que:

Si 2 4 0b ac Se obtendrn dos races reales distintas.

Si 2 4 0b ac Se dice que se obtienen dos races reales iguales.

Si 2 4 0b ac Se obtendrn dos races complejas conjugadas.

Ejemplo:

22 3 1 0x x Los coeficientes son:

2

3

1

a

b

c

2

1,2

3 3 4 2 1

2 2x

1,23 9 8 3 1

4 4x

Se aplica la frmula

13 1 4

14 4

x

1 1x

23 1 2 1

4 4 2x

2

1

2x

Se obtienen las dos soluciones o races

2) Ecuaciones de segundo grado por factorizacin: Cuando una ecuacin de

segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirla en un producto de dos binomios,

para esto se deben buscar dos nmeros que al multiplicarse entre s resulte el trmino

independiente y estos mismos nmeros sumados o restados entre s resulte el coeficiente de

la variable con exponente uno.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo

igualamos a cero cada factor y se despeja la variable.

Nota: Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus

multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplo:

2 3 2 0x x

2

3

e d

e d

2

1

e

d

Buscamos los dos nmeros

2 1 0x x Se aplica el producto de los dos binomios

2 0x 1 2x

1 0x 2 1x

Se despeja la variable

3) Ecuaciones de segundo grado por completacin de cuadrados: El propsito

del mtodo de completar los cuadrados es reescribir un expresin cuadrtica de tal forma

que esta contenga un trinomio cuadrado perfecto que pueda ser factorizado como el

cuadrado de un binomio. El procedimientp a seguir es:

1. Reescribe la expresin cuadrtica 2 0ax bx c en la forma

2ax bx c

moviendo el trmino independiente c a la derecha de la ecuacin.

2. Si 1a se divide toda la ecuacin entre dicho valor a

3. Se toma el coeficiente de la variable que tiene exponente 1 y se divide entre dos (2)

e inmediatamente se eleva al cuadrado, este ser un nuevo sumando.

4. El sumando del paso (3) se ubica en cada miembro de la ecuacin con signo positivo

en ambos lados.

5. En el primer miembro quedar un trinomio cuadrado perfecto el cual se factoriza para

obtener un binomio al cuadrado.

6. Se despeja la variable obtenindose los dos valores buscados.

Ejemplo:

22 20 18 0x x

2 10 9 0x x Se divide toda la ecuacin entre 2

2 10 9 9 9x x Se resta 9 en ambos miembros

2 10 9x x

2

210 52

Se divide el coeficiente de la variable xentre dos y se eleva al cuadrado para obtener el nuevo sumando

2 2 210 5 9 5x x

Se ubica el nuevo sumando en ambos

miembros de la ecuacin

2 210 5 16x x Se opera la resta del segundo miembro

2 210 5 16x x

trinomio cuadrado perfecto

2

5 16x Se factoriza el trinomio

2

5 16x Se extrae la raz cuadrada en ambos

miembros

5 4x

15 4 1x x

25 4 9x x Se obtienen las dos soluciones

4) Caso especial ecuaciones de segundo grado incompletas: Existen dos tipos

de ecuaciones de segundo grado incompletas estas son:

a. Del tipo 2 0ax bx en este caso se resuelve sacando factor comn a la x

e igualando los dos factores a cero. 0x ax b se obtienen dos

soluciones.

b. Del tipo 2 0ax c se despeja la variable

cx

a

en este caso la

ecuacin puede no tener solucin o tener dos soluciones distintas.

EJERCICIOS:

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la formula de la resolvente.

1) 24 6 1 0x x 2) 23 5 1 0x x

3) 29 8x x 4) 22 6 4x x

5) 24 6 1 0x x 6) 2

2 1 3x x x

7)

21 2

6 2 3

x x 8) 2 5 2 5 119 0x x

9) 2 25 3 3 3 2 6x x x x x 10) 2 2

3 2 5 16x x

11)

2

2 04 2

x x 12)

22 10

4 3 8

x x

13) 4 1 2 3 3 1x x x x 14) 22 8 10x x

15) 22 4 6 0x x 16) 22 2 1 0x x

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando factorizacin.

1) 2 4 285 0x x 2) 2 12 35 0x x

3) 2 3 2x x 4) 25 24x x

5) 21 2 0x x 6) 2 15 56x x

7) 2 5 84 0x x 8) 2 28 147x x

9) 2 55 750 0x x 10) 242 135x x

11) 2 2 288 0x x 12) 2 6x x

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el mtodo de completacin de cuadrados.

1) 2 9 16 0x x 2) 2 2 5 0x x

3) 22 3 8x x 4) 22 12 10 0x x

5) 22 7 15 0x x 6) 2 10 24 0x x

7) 23 18 24 0x x 8) 24 32 36 0x x

9) 210 8 6 0x x 10) 26 10 10 0x x

11) 22 16 32 0x x 12) 210 8 6 0x x

13) 218 108 38 0x x 14) 23 21 24 0x x

15) 23 6 0x x 16) 2 6 40 0x x

Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

1) 2 81x 2) 214 28 0x

3) 2 7x x 4) 22 6 0x

5)

2 2

6 2 3

x x x 6) 2 5x x

7) 2 22 x x x x 8) 2 24 6 2x x x

9) 22 8 0x 10) 5 4 0x x

11) 22 18 0x 12) 2 28 0x b

ECUACIONES RACIONALES:

Las ecuaciones racionales son aquellas en las que aparecen fracciones polinmicas, es decir,

aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios.

Al resolver estas ecuaciones se debe tomar en consideracin el valor excluido de la variable,

este valor es el que hace que el denominador sea cero, es decir, el valor que hace que la

raz o solucin no sea real.

Ejemplo 1:

5 2

3x

x

5 2

3x

x xx

Se multiplica por x ambos miembros

5 2 3x x Se opera en ambos miembros de este modo se simplifica la x en el primer miembro

5 2 2 3 3 2 3x x x x Se suma 2 y se resta 3x en ambos miembros

5 3 2x x Se opera en ambos miembros

2 2x Se despeja la variable

2

12

x x Se obtiene la solucin

Ejemplo 2:

2 2

5 40

4 4 4

x x

x x x

2

5 40

2 2 2

x x

x x x

Se factorizan los trminos

2

5 2 4 20

2 2

x x x x

x x

Se efecta la resta hallando el mnimo comn

mltiplo de los denominadores

5 2 4 2 0x x x x Se multiplica en ambos miembros por

2

2 2x x

2 22 5 10 2 4 8 0x x x x x x

Se realiza el producto de los binomios aplicando

propiedad distributiva

13 2 0x Se operan las sumas y restas correspondientes

13 2 2 0 2x Se resta 2 en ambos miembros

13 2

13 13


2

13x Solucin

EJERCICIOS:

1) 3

11 1

x

x x

2)

5 2

7x x

3) 3 5

5 3

x x

x x

4) 1

1 2

x x

x x

5) 2 2

12 2

x x

x

6)

3 2

8 4

x x

x x

7)

3

2

16 126 8

2 4

xx

x

8)

2

2

2 4 2 1

4 1

x x

x x

9) 1 1 2 1

2 2 1

x x x

x x x

10)

5 5 10

5 5 3

x x

x x

11) 1 2 9

1 2 2x x

12)

2

2 3 2 2

1 1 1

x x x

x x x

13) 2

2 3 3 2 7

1 1 1 1

x

x x x x

14)

2

15 12 6 18

2 4 2

x

x x x

15) 2 2

1 1 1

x a x a x a

16)

2

3 1 1 7

7 12 2 6 6 24

x

x x x x

17)

25 27 16

5 3

x xx

x x

18)

1 32

1 1

x x

x x

19)

215 27 18

5 9

x xx

x x

20)

2

2

1 x x a

x a a ax a

21) 3 13

16

x

x

22)

2

1 10

1x x x

23) 2

1 1 1

2 2 4x x x

24)

4 3 3 81

2 5 3 7

x x

x x

ECUACIONES DE UNA VARIABLE DE ORDEN SUPERIOR:

Las ecuaciones que tienen grado mayor a 2 se les conoce como ecuaciones de orden

superior y para resolverlas se pueden descomponer en factores de primer y segundo grado,

luego basta con igualar a cero cada uno de los factores y resolverlos por separado.

Para poder realizar lo anteriormente sealado es conveniente aplicar la regla de Ruffini para

obtener los factores de la ecuacin de orden superior.

Procedimiento para obtener los factores por la regla de Ruffini

1. Se ordena la ecuacin en forma decreciente luego se colocan los coeficientes de cada

trmino, incluyendo el trmino independiente, en una fila completando con cero el

trmino que haga falta.

2. Se ubican los divisores del trmino independiente, estos valores positivos y negativos se

ubicarn en una segunda fila del lado izquierdo probando uno a uno.

3. Se baja el primer coeficiente de la ecuacin ste ser el primer trmino de la tercera fila

a la derecha y se multiplica por el valor del divisible del trmino independiente, el

resultado de la multiplicacin se coloca a la derecha de la segunda fila debajo del

segundo coeficiente de la ecuacin.

4. Se efecta la suma o resta (dependiendo de los signos) entre el coeficiente de la

ecuacin y el resultado de la multiplicacin, este resultado se colocara en la tercera fila.

5. Se repite el procedimiento con el nuevo valor de la tercera fila y el valor del divisible del

trmino independiente hasta llegar al ltimo coeficiente de la primera fila.

6. Al realizar la suma o resta de los ltimos valores entre la primera y segunda fila, ste

resultado debe dar cero.

6.1. Si el resultado es cero, el valor del divisible formar parte del primer factor de la

ecuacin. Se comienza todo el procedimiento tomando la tercera fila como la fila

principal y se ubican los valores divisibles del ltimo trmino de esta fila para probar

con ellos colocndolos en la cuarta fila del lado derecho.

6.2. Si el resultado no es cero, se realiza el procedimiento nuevamente con otro valor de

los divisibles del trmino independiente de la ecuacin.

7. Se continuar efectuando todo el procedimiento hasta encontrar todos los factores de la

ecuacin de orden superior.

8. Una vez encontrados estos factores se igualan a cero.

9. Al igualar cada factor a cero se conseguirn las races o soluciones de la ecuacin de

orden superior.

10. Para comprobar, se prueban los resultados en la ecuacin original.

Ejemplo:

4 2

10 9 0x x

Se ordena el polinomio completando con cero los trminos que falten y se comienza con el

algoritmo.

1 0 -10 0 9 Divisibles de 9 = (1),(3),(9)

1 1 1 -9 -9

1 1 -9 -9 0 Divisibles de -9 = (1),(3),(9)

-1 -1 0 9

1 0 -9 0 Divisibles de -9 = (1),(3),(9)

3 3 9

1 3 0 Divisibles de 3 = (1),(3),(9)

-3 -3

1 0

4 210 9 0x x 1 1 3 3 0x x x x

Soluciones o races: 1 0 1x x

1 0 1x x

3 0 3x x

3 0 3x x

Divisin sinttica de Ruffini: Cuando tenemos dos polinomios que se estn dividiendo y el

polinomio divisor es de la forma ax b podemos aplicar la regla de ruffini para hallar el

cociente y el resto de manera directa aplicando el siguiente procedimiento.

Ejemplo:

Dividir x xP Q siendo 3 22 3 5

xP x x x y 1xQ x

2 1 -3 5

1

2

Se ordena el polinomio xP de mayor a menor grado y

se colocan los coeficientes de cada trmino. Si no

apareciese algn trmino entre el de mayor grado y el de

menor se completa con 0. A la izquierda se pone el

nmero que se resta a x en xQ , en este caso 1 y se

baja el coeficiente del trmino de mayor grado.

2 1 -3 5

1 2

2 3

Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el

que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del

producto se coloca debajo del coeficiente del trmino

siguiente y se suman.

2 1 -3 5

1 2 3 0

2 3 0 5

El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el

nmero situado a la izquierda y se repite el proceso. El

ltimo nmero (el 5 que esta subrayado) se corresponde

con el resto de la divisin mientras que el resto de

nmeros de la fila inferior son los coeficientes del

cociente.

Cociente

22 3x

C x x y el resto 5xR

Por tanto 3 2 22 3 5 1 2 3 5x x x x x x

EJERCICIOS:

Simplificar las siguientes expresiones:

1)

3 2

3 2

6 11 6

2 2

x x x

x x x

2)

3 2

3 2

6 11 6

4 6

x x x

x x x

3)

4 3 2

4 2

4 3 4 4

11 18 8

x x x x

x x x

4)

3

4

1

1

x

x

5)

3 2

2

3 3 1

2 1

x x x

x x

6)

2

3

5 3

5 45

x x

x x

7)

2

3

7 7

7 7

x

x

8)

3 2

3 2

2 5 6

4 6

x x x

x x x

9)

32 8h

h

10)

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2

3 3

x ax a x a

x ax a x a

11)

4 2

4

2 4

8 10

x x

x x

12)

2

3 2

25

25 25

x

x x x

13)

3 2 2 33 3x ax a x a

x ax a

x a

14)

4 2 2

2 2

3 2 6 9

2 1 2

x x x x x

x x x x

15)

4 3 2

4 3 2

2 3

2 2 10 15

x x x

x x x x

16)

3 2

4 3 2

3 4 12

6 39 4 60

x x x

x x x x

17)

4 3

4 3 2

3

6 9

x x

x x x

18)

4 3 2

3 2

2 11 12

7 14 8

x x x x

x x x

19)

3 2

2

3 4 7

4 1

a a a

a a

20)

2

2

4

3 4

a a

a a

Hallar el verdadero valor de la fraccin para el valor de x indicado

1)

3

4

1

1

x

x

1para x 2)

2

2

3 2

2 8

x x

x x

2para x

3)

2 2 3

1

x x

x

1para x 4)

3 2

3 2

12 10 3

9 6 4

x x x

x x x

1para x

5)

2 3 4

3 2

x x

x

1para x 6)

2

3

2 3

27

x x

x

3para x

7) 2

2

16 4x

x

0para x 8) 3 2x x x

x

0para x

9)

4

3

16

8

x

x

2para x 10)

2

2

2

1

x x

x

1para x

11) 13 10 2

19 2 5

x x

x

3para x 12)

9 3x

x

0para x

13)

2

3

2 4

8

x x

x

2para x 14)

2

2

14 51

4 21

x x

x x

3para x

SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es la reunin de dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas.

Si se tiene un sistema de ecuaciones, su solucin es un grupo de valores de las incgnitas

que favorecen o satisfacen todas las ecuaciones del sistema simultneamente.

Si el sistema de ecuaciones es de dos ecuaciones con dos incgnitas o variables y ambas

ecuaciones son lineales, encontrar la solucin representa encontrar un punto de interseccin

de dos rectas ,P x y . Adems se pueden presentar opciones.

1) Si el sistema de ecuaciones tiene una nica

solucin representa el punto de interseccin de

dos rectas.

2) Si el sistema de ecuaciones no tiene un punto de

interseccin significa que las rectas son paralelas

y por lo tanto el sistema de ecuaciones NO tiene

solucin y se dice que las ecuaciones son

incompatibles.

3) Si el sistema de ecuaciones tiene ecuaciones

equivalentes significa que las rectas son

coincidentes y por lo tanto el sistema de

ecuaciones tiene mltiples soluciones.

1) Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas: Existen varios mtodos para

resolver estos sistemas. Entre ellos tenemos:

1.1 Mtodo de Igualacin:

1. Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una

incgnita.

3. Se resuelve la ecuacin.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que

apareca despejada la otra incgnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo:

3 4 6

2 4 16

x y

x y

6 43 4 6 3 6 4

3

yx y x y x

16 4

2 4 16 2 16 4 8 22

yx y x y x x y

6 4

8 2 6 4 3 8 2 6 4 24 63

yy y y y y

6 4 24 6 10 30 3y y y y

8 2 8 2 3 2x y x x

2x ; 3y Son las dos soluciones del sistema

1.2 Mtodo de Sustitucin:

1. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo una

ecuacin con una sola incgnita.

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

3. Se resuelve la ecuacin.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita

despejada.


Ejemplo:

2 3

3 5 2

x y

x y

3

2 3 2 32

yx y x y x

3 9 3

3 5 2 3 5 2 5 22 2

y yx y y y

13

9 3 10 4 13 13 113

y y y y y

2 3 2 1 3 2 1 3 2 3 1x y x x x

2

2 2 12

x x x


1.3 Mtodo de Reduccin:

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que

convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incgnitas.

3. Se resuelve la ecuacin resultante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.


Ejemplo:

5 2 1

3 5

x y

x y

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

5 2 1

3 5

x y

x y

5 2 1

5 15 25

x y

x y

5 2 1

5 15 25

13 26

x y

x y

y

26

13 26 213

y y y

5

5 2 1 5 2 2 1 5 1 4 15

x y x x x x


1.4 Mtodo de Cramer:

El mtodo de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica

a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

a. El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.

b. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Sea:

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

xx

;

yy

1 1

1 2 1 2

2 2

a b b aa b

a b

1 1

1 2 1 2

2 2

c b b cc b

xc b

1 1

1 2 1 2

2 2

a c c aa c

ya c

Se multiplica por 5

la segunda ecuacin Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

Paso 5:

Ejemplo:

9 11 14

5 346

x y

x y

9 11

9 5 11 6 45 66 1116 5

14 11

14 5 11 34 70 374 44434 5

x x

9 14

9 34 14 6 306 84 2226 34

y y

444

4111

xx x

;

2222

111

yy y

EJERCICIOS:

1) 3 7

5 2 16

x y

x y

2)

2 5

4 13

x y

x y

3) 2 5 12

7 2 11

x y

x y

4)

4 3

6 5 11

x y

x y

5)

2 10 52

82

x y

yx

6)

5 5 10

32 2

x y

x y

7) 4

2 3

10

x y

x y

8)

2

3 5 7

23 4

x y

x y

9)

1 2 2

3 2 5

3 22

4

x y

xy

10)

6 20

3 1 5

2 2 2

x y

x y

11)

1 33

2 3

4 41

3 2

x y

x y

12)

2 35

3 4

53

3 2

x y

x y

13)

56

1818 5

2

x y

xy

14)

2

2

3a b x a b y b ab

a b x a b y ab b

15)

2 5 4 8 3 7

2 13 7 3 5

x y x y x y

x y x y y x

16)

2 10 3 4 7 0

3 5 3 112 0

x y x y

x y x y

17)

3 1 2

2 5 3

7 5 7

3 4 2

x y

x y

18)

9 3 1

5

2 47

x y

x y

19)

1 3 3

2 4

1 5 4

2 3

x y

x y

20) 2 5 3

3 10 5

x y

x y

21)

2 0

6 4 2

x y

x y

22)

2 2

2

ax by a b

bx ay ab

23)

2 2

2 3

25 4

ax bya b

bx aya b

24)

2

3

1

2

yx

yx

2) Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas: Para estos sistemas de

ecuaciones tambin existen varios mtodos de solucin. Aqu se expone el mtodo de

Cramer para este tipo de sistemas.

Sea:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d

xx

;

yy

;

zz

1 1 1

2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3 3

a b c

a b c a b c bc a c a b cb a ba c a c b

a b c

1 1 1

2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3 3

d b c

x d b c d b c bc d c d b cb d bd c d c b

d b c

1 1 1

2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3 3

a d c

y a d c a d c d c a c a d c d a d a c a c d

a d c

1 1 1

2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3 3

a b d

z a b d a b d bd a d a b d b a ba d a d b

a b d

Ejemplo:

2 3

2 1

1

x y z

y z

x y

2 1 1

0 2 1 0 1 0 2 0 2 3

1 1 0

3 1 1

1 2 1 0 1 1 2 0 3 3

1 1 0

x x

2 3 1

0 1 1 0 3 0 1 0 2 6

1 1 0

y y

2 1 3

0 2 1 4 1 0 6 0 2 9

1 1 1

z z

31

3

xx x

;

62

3

yy y

;

93

3

zz z

EJERCICIOS:

1)

2 11

3 20

4 2 5 8

x y z

x y

x y z

2)

2 6

3 5

4 2 2 1

x y z

x y z

x y z

3)

8

7 6 7

7 1

x y z

x y z

x y z

4)

2 8

2 3 1

3 2 5

x y z

x y z

x y z

5)

3 4

2

2 6

x y z

x y z

x y z

6)

2 3 16

3 2 10

2 3 4

x y z

x y z

x y z

7)

2 3 0

3 7

4 2 4

x z

x y z

x y

8)

2

3 2 4

2 2 2

x y z

x y z

x y z

9)

2

1

x y az a

x ay z a

ax y z

10)

3 2 1

1 2

1

x y z a

a x y z a

ax y z a

11)

1 4 26

3 2 43

6 5 631

x y z

x y z

x y z

12)

2 3 7 6

5

4 5 1 2

3

1 3 9 1

3

x y z

x y z

x y z

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Ecuaciones Y Ejercicios