EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx

7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx

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JOSE LUIS PORRAS CARVAJAL-1650532 ELIUDT

MARTINEZ GOMEZ-1650517

EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PORFACTOR INTEGRANTE

dydx

+ p( x) y= g ( x)

Resolver: y' +4 xy= x

e p ( x)dx

p( x)= 4 x

u( x)= e

4 x dx

u ( x)= e4 x

z

2

u( x)= e2 x

y= 1

u( x) u ( x) p( x)dx

y= 1

e2 x e 2 x x dx

y= e 2 x e2 x x dx

U=2xdx/du=2dx=2du

y= e 2 x eu 2 du

y= e 2 x [2 eu +c ]


2/12

y= e2 x [2 e2 x+c ]

y= 2 +ce 2 x

y' = y x

+2 x+1

y' 1

x y=+ 2 x+1

u( x)= e p( x)dx

p( x)= 1

x

u( x)= e 1

xdx

u( x)=e lnx

u( x)= e ln x1

u( x)= x 1

u( x)=1

x

y= 1


y= 1

1

x

1 x (2 x+1 )dx

y= x ( 2 x x + 1

x)dx

y= x (2 +1

x)dx


3/12

y= x[2 +lnx+c ]

y= 2 x+ xlnx+cx

y= 2 x+ xlnx+c

y' = x2 e 5 x 5 y

Dividimos por x:

y' 5 y= x2 e 5 x

u( x)= e p( x)dx

p( x)= 5

u( x)= e5 dx

u( x)= e5 x

y= 1


y= 1

e5 x e5 x x2 e 5 xdx

y= 1

e5 x x2 dx

y= 1

e5 x [

x3

3 +c ]


4/12

y= x3

3 e5 x+c

xy' +2 y= x3

Dividimos por x:

y' +2 y x

= x 3

x

y' +2 y x

= x 4

u( x)= e p( x)dx

p( x)= 2

x

u( x)=e 2

xdx

u( x)= e2 1

xdx

u( x)= e2 lnx

u( x)= e ln x2

u( x)= x2

y= 1

u( x

) u ( x) p( x)dx


5/12

y= 1

x2 x2 x 4 dx

y= 1

x2 x2 dx

y= 1

x2 [ x

1

1 +c]

y= 1

x2

[ x

1

1

+c

] y=

1

x3 +c

SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PORVARIACION DE PARAMETRO

y' +3 xy= 3 sen 2 x

u( x)= e p( x)dx

u( x)= e3 xdx

u( x)=e 3

2 x

2

v ( x)= g ( x)u( x) dx

v ( x)= 3 sen 2 x 32 x

2dx

v ( x)= 2 x2 sen 2 xdxu= x2 du= 2 x dx

dv= sen 2 x dx

u= 2 x dx= du2


6/12

v= senu du2

v= 1

2 cos2 x

v ( x)= uv vdu

v ( x)= ( x2 )( 12

cos2 x) ( 12 cos2 x)2 xdxv ( x)=

1

2 x

2cos2 x+ (cos2 x) x dx

u= x ;du = dx

dv= cos2 x dx

u= 2 x ; du2

= dx

v=1

2 sen2 x

uv vdu

v ( x)= 12 x2 cos2 x+ 12 xsen2 x 12 (sen 2 x)2 dx

v ( x)= 1

2 x

2 cos2 x+1

2 x sen2 x cos2 x

y= u ( x)v( x)

y=(e 3

2 x2

)( 12 x2 cos2 x+ 1

2 x sen2 x cos 2 x)

y= 1

2 e

32 x

2

x2 cos2 x+

1

2 e

32

x2

x sen2 x e3

2 x

2

cos2 x+C

y' xy= 2 senx

u( x)= e p( x)dx


7/12

u( x)=e x dx

u( x)= e xdx

u( x)=e x

2

2

v ( x)= g ( x)u( x) dx

v ( x)= 2 senxe

x2

2

dx

u= 2 senx; dudx

= 2 cos x

dv= e x

2

2dx

v= e x

2

2dx

u= x2

; dx= 2 du

v= eu2

2 du

v= e x

2

2dx

v=2

e

x2

4

v ( x)= uv vdu

v ( x)= (2 senx)(2 e( x4 )2) (2 e(

x4 )2)2cos xdx

u= 2cos x ;dx= du 2 sen x sen x


8/12

x4

2e

v=

u= x4

; dx= du4

v= eu2 du

4

v= 14

e x

2

8

uv vdu

(2cos x)( 1

4 e

x2

8 )1

4 e x

2

8 2 senxdx

1

2 cos x e

x2

8 1

2 e x

2

8 dx 2 sen x dx

v ( x)= (2 senx )(2 e( x4 )2 )(12 cosx e x2

8 1

2 x

2

8ex 4 ex cos x)

v ( x)= 4 e( x4 )2

senx(12 cosx e x2

8 1

2 x

2

8 ex 4 ex cos x)

v ( x)= 4 e( x4 )2

sen x1

2 cosxe

x2

8 + 1

16 x

2ex+4 ex+cos x

y= u ( x)v( x)

y= (2 senx) ( 4 e( x4 )2

senx1

2 cosxe

x2

8 + 1

16 x

2ex+4 ex+cos x )


9/12

y= 4 e( x4 )2

sen2 x e

x2

8 cos x sen x+1

8 e x

3senx+8 exsenx+2 senx cos x + c

y' +1

x y= 3cos 2 x

u( x)= e p( x)dx

u ( x)= e 1

xdx

u( x)= e ln x1

u( x)= x 1

v ( x)= g ( x)u( x) dx

v ( x)= 3cos 2 x1 x

dx= 3 xcos2 xdx

u= x ;dx= du

dv= cos2 x dx

u= 2 x ; 2 dx= du

v=1

2 sen2 x

v ( x)= uv vdu

v ( x)=1

2 x sen2 x 12 sen2 x dx

v ( x)=1

2 x sen2 x

1

2 ( 12 cos2 x)v ( x)=

1

2 x sen2 x+

1

4 cos 2 x

v ( x)=3

2 x sen2 x+3

4 cos 2 x


10/12

y= u ( x)v( x)

y=(1 x )(32 x sen2 x+ 34 cos2 x) y=(1 x )(32 x sen2 x+ 34 cos2 x) y=

3

2 sen2 x+

3

4 x cos2 x+c

x

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

(e x sen y 2 y sen x)+(e x cos y+cos x) y ' = 0

Determinamos si es exacta la ED

M = e x sen y 2 y sen x; N = e xcos y+cos x

My= e xcos y 2 senx;Nx= e x cos y 2 sen x

My= Ny

Es una ecuacin exacta

x

= e x sen y 2 y sen x

=( e x sen y 2 y sen x)dx

= (e x sen y 2 y sen x)dx= e xsen y 2 y cosx+h( y)

y= N

e x cos y 2 cosx+h' ( x)= e xcos y+cos x

h' ( x)= 0

e x sen y 2 y c os x+k


11/12

( x , y)= C

e x sen y 2 y c os x+k = C

e x sen y 2 y c os x= C

( ycos x+2 x e4 )+(sen x+ x2 e4 +2 ) y ' = 0

y

= cosx+2 x e4 ;

x= cosx+2 x e4

Ux= ycosx+2 x e4

u ( x , y)= ycos x+exe4

u ( x , y)= y sen x+ x2 e2 +h ( y)

Uy= senx+ x2 e4 +h' ( y)= senx+ x2 e 4 +2

h' ( y)= 2 ;h ( y)= 2 y

u ( x , y)= y sen x+ x2 e 4+2 y+C

(5 x+4 y)+(4 x 8 y3 ) y ' = 0 M ( x , y)dx = 5 x+4 y ; N ( x , y)= 4 x 8 y3

My= 4 ; Nx= 4

De donde concluimosque la ecuaci nsi esexac!a ya que :

My= Nx

" M ( x , y)dx+g ( y)= " (5 x+4 y)dx+g ( y)

5 " xdx+4 y " dx+g ( y)

5

2 x2 +4 xy+g ( y)

g ( y)= " N ( x , y)dy " y " M ( x , y)dxdy

g ( y)= 8 " y3 dy

# 8

4 y

4


12/12

2 y4

" M ( x , y)dx+g ( y)= c5

2 x2 +4 xy 2 y4 = c

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