Řešené příklady ze stavební fyzikytzb.fsv.cvut.cz/vyucujici/16/oppa/stavebni-fyzika-resene-priklady-zs... · výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta stavební

Řešené příklady ze stavební fyziky

Šíření tepla konstrukcí, tepelná bilance prostoru a vlhkostní bilance

vzduchu v ustáleném stavu

doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda

Ing. Jiří Novák, Ph.D.

Praha 2014

Evropský sociální fond

Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Obsah

1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu ................................................. 3

1.1 Základní teorie ............................................................................................................. 3

1.1.1 Šíření tepla vedením ............................................................................................................ 3

1.1.2 Šíření tepla prouděním ........................................................................................................ 4

1.1.3 Šíření tepla sáláním ............................................................................................................. 5

1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles ............................................................................... 7

1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze ................................................................................. 9

1.1.6 Sluneční záření .................................................................................................................... 9

1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách ............................................................ 10

1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla ................. 11

1.1.9 Vliv tepelných mostů ......................................................................................................... 13

1.1.10 Teplo procházející konstrukcí ....................................................................................... 13

1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci ...................................................................................... 13

1.1.12 Elektrická analogie ........................................................................................................ 15

1.2 Základní modelové příklady ...................................................................................... 20

1.3 Komplexní modelové příklady .................................................................................. 27

1.3.1 Obvodová stěna 1 .............................................................................................................. 27

1.3.2 Obvodová stěna 2 .............................................................................................................. 32

1.3.3 Obvodová stěna 3 .............................................................................................................. 36

1.3.4 Obvodová stěna 4 .............................................................................................................. 41

2 Tepelná bilance prostoru v ustáleném stavu ........................................... 49

2.1 Základní teorie ........................................................................................................... 50

2.1.1 Měrný tepelný tok prostupem tepla ................................................................................... 50

2.1.2 Měrný tepelný tok větráním .............................................................................................. 51

2.1.3 Průměrný součinitel prostupu tepla budovy ...................................................................... 51

2.1.4 Tepelná bilance prostoru ................................................................................................... 52

2.1.5 Potřeba tepla na vytápění bez vlivu tepelných zisků ......................................................... 53

2.2 Modelové příklady .................................................................................................... 54

3 Vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu ......................................... 61

3.1 Základní teorie ........................................................................................................... 61

3.1.1 Vlastnosti vzduchu nasyceného vodní párou ..................................................................... 61

3.1.2 Vlastnosti běžně vlhkého vzduchu .................................................................................... 61

3.1.3 Vlhkostní bilance vzduchu v uzavřeném prostoru............................................................. 62

3.1.4 Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry .............................................. 62

3.2 Modelové příklady .................................................................................................... 63

Přílohy ................................................................................................................ 71

Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné

záření) ................................................................................................................................... 71

Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrchové úpravy ......... 72

1 Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu

1.1 Základní teorie

1.1.1 Šíření tepla vedením

Hustota tepelného toku vedením je obecně definována Fourierovým zákonem

zyxq zyxcd

,, [W/m

2] (1.1)

kde λ je součinitel tepelné vodivosti ve W/(m.K)

θ teplota ve ˚C.

Pro jednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnice (1.1) na tvar

dx

dqcd

[W/m

2] (1.2)

přičemž samotnou velikost hustoty tepelného toku lze vyjádřit vztahem

dqcd

[W/m

2] (1.3)

kde Δθ je rozdíl teplot na obou površích materiálu (Obr. 1-1) ve ˚C

d tloušťka materiálu ve směru tepelného toku v m.

Obr. 1-1: Tepelný tok materiálem s rozdílnými povrchovými teplotami

Časové a prostorové rozložení teploty je popsáno rovnicí vedení tepla v obecném tvaru

tcQ

zzyyxx

(1.4)

kde Q je velikost vnitřního zdroje tepla (produkce tepla v materiálu) ve W/m3

ρ objemová hmotnost materiálu v kg/m3

c měrná tepelná kapacita materiálu v J/(kg.K)

θ1

θ2

d

směr tepelného

toku pro

θ1 > θ2

t čas v s

x,y,z souřadnice bodu, v němž se určuje teplota θ v m.

Pro nejjednodušší jednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnice (1.4) na tvar

02

2

dx

d (1.5)

který lze vyřešit pro homogenní oblast analyticky a získat rovnici pro lineární průběh teploty

v materiálu

d

xx 211)(

[˚C] (1.6)

kde θj je teplota na j-tém povrchu homogenního materiálu (Obr. 1-2) ve ˚C

d celková tloušťka homogenního materiálu ve směru tepelného toku v m

x vzdálenost od povrchu s teplotou θ1 v m.

Obr. 1-2: Lineární průběh teploty v homogenním materiálu v ustáleném stavu

1.1.2 Šíření tepla prouděním

Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí je významné především šíření tepla prouděním mezi po-

vrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do

okolí lze určit vztahem

ascc hq [W/m2] (1.7)

kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním ve W/(m2K)

θs teplota povrchu konstrukce ve ˚C

θa teplota okolního vzduchu ve ˚C.

Rozlišují se dva případy proudění vzduchu při povrchu konstrukce:

přirozené proudění

vynucené proudění

Přirozené proudění je vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud je např.

teplota vzduchu nižší než teplota povrchu, bude se vzduch při povrchu ohřívat, jeho hustota bude kle-

sat a vzduch začne v tenké vrstvě při povrchu proudit směrem vzhůru. K přirozenému proudění do-

θ2

d x

θ1

θ

chází především na vnitřních površích konstrukcí. Součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním

povrchu hci se v technických výpočtech obvykle uvažuje hodnotami 2,5 W/(m2.K) pro vodorovný

tepelný tok; 5,0 W/(m2.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m

2.K) pro tepelný tok dolů. V případě

potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mezi teplotou povrchu a okolního vzduchu) mů-

žeme pro odhad součinitele přestupu tepla přirozeným prouděním na vnitřním povrchu konstrukcí

použít zjednodušený vztah:

1

42c a sh [W/(m2.K)] (1.8)

Obr. 1-3: Přestup tepla přirozeným prouděním. s je teplota povrchu konstrukce a je teplota vzduchu

Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro

výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění větru na vnějším líci konstrukce. Součinitel

přestupu tepla pro vnější povrch konstrukce hce je možné vypočítat v závislosti na rychlosti větru tak-

to:

4 4ceh v [W/m2] (1.9)

kde v je rychlost větru v m/s.

Obvykle se uvažuje rychlost větru v = 4 m/s a součinitel přestupu tepla hce = 20 W/m2.K. K přiroze-

nému proudění na vnějším líci konstrukce by mohlo dojít při úplném bezvětří, takový předpoklad je

ovšem pro technickou praxi nereálný.

1.1.3 Šíření tepla sáláním

Hustota tepelného toku sáláním emitovaného (vyzářeného) povrchem tělesa se obecně stanoví ze Ste-

fanova-Boltzmannova zákona

4Tqr [W/m2] (1.10)

kde ε je emisivita povrchu tělesa

σ Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.10-8

W/(m2K

4))

T absolutní (termodynamická) teplota povrchu tělesa v K.

Při dopadu na povrch tělesa může být část dopadajícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část

může tělesem procházet (Obr. 1-4):

r ref a tq q q q [W/m2] (1.11)

kde qr je hustota tepelného toku sáláním dopadající na povrch tělesa ve W/m2

směr

tepelného

toku

směr

proudění

a < s s

směr

tepelného

toku

směr

proudění

a > s s

qref odražená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

qa pohlcená složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

qt procházející složka dopadajícího sálavého toku ve W/m2

Velikost jednotlivých složek závisí na pohltivosti, odrazivosti a propustnosti:

ref rq q [W/m2] (1.12)

a rq q [W/m2] (1.13)

t rq q [W/m2] (1.14)

kde je odrazivost (bezrozměrná)

pohltivost (bezrozměrná)

propustnost (bezrozměrná)

Ze vztahu (1.10) vyplývá, že pro odrazivost, pohltivost a propustnost vždy platí:

1 [W/m2] (1.15)

Obr. 1-4: Rozklad tepelného toku sáláním při dopadu na povrch tělesa

Emisivita, odrazivost a pohltivost jsou vlastnostmi povrchu tělesa, propustnost je vlastností materiálu.

Emisivita a odrazivost závisí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emitují zá-

ření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emitují záření s delšími vlnovými délkami.

Ve stavební tepelné technice proto rozlišujeme:

krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přibližně 5 800 K)

dlouhovlnné sálání, které emitují povrchy při běžných teplotách, které jsou o řád nižší než teplota

Slunce (okolo 300 K)

Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné techniky platí:

emisivita povrchu je rovná jeho pohltivosti ( = )

emisivita (tedy i pohltivost) se pro většinu stavebních materiálů uvažuje 0,9 - výjimkou jsou např.

leštěné kovy bez povrchové úpravy, jejichž emisivita může být nižší než 0,1

stavební materiály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0)

Pro krátkovlnné sluneční záření platí:

s emisivitou se nepracuje (jediným zdrojem slunečního záření je Slunce; intenzita slunečního

záření se měří, není potřeba ji počítat pomocí vztahu (1.10)

pohltivost slunečního záření a pohltivost (emisivita) při dlouhovlnném sálání se pro stejný povrch

často liší

pohltivost slunečního záření dobře koreluje s barvou povrchu (emisivita ne) - světlejší povrchy

mají menší pohltivost slunečního záření než tmavší

qr

qa = ·qr

qref = ·qr

qt = ·qr

povrch

materiál těleso

Při výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním je potřeba důsledně dávat pozor na to, jaká

teplota se má dosadit do výpočetních vztahů – zda teplota v Celsiově stupnici (v této publikaci se zna-

čí a udává se ve °C) nebo tzv. absolutní (termodynamická) teplota (v této publikaci se značí a

udává se v K). Pro absolutní teplotu platí:

273,15T [K] (1.16)

1.1.4 Dlouhovlnné sálání mezi povrchy těles

V reálné situaci dochází ke vzájemnému sálání povrchů několika těles. Vzájemná sálavá výměna závi-

sí nejen na teplotě a emisivitě povrchu těles, ale také na jejich prostorovém uspořádání. Výpočet hus-

toty tepelného toku sáláním je v obecných případech komplikovaný. Pro výměnu tepla sáláním mezi

dvěma povrchy platí:

1,2 1 1 2( )rΦ A h T T [W] (1.17)

kde 1,2 je tepelný tok sáláním z povrchu 1 na povrch 2 ve W

A1 plocha povrchu 1 v m2

hr součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)

Tj absolutní teplota j-tého povrchu v K.

Součinitel přestupu tepla sáláním mezi dvěma povrchy se vypočítá takto:

3

1,2

1 2 1

1 1,2 2 2

4

1 11r

Th

A

F A

[W/(m2.K)] (1.18)

kde 1,2T je střední absolutní teplota sálajících povrchů v K

εj emisivita j-tého povrchu

F1,2 poměr sálání z povrchu 1 na povrch 2

Aj plocha j-tého povrchu

Střední absolutní teplota sálajících povrchů se vypočítá takto:

1 21,2

2

T TT

[K] (1.19)

Poměr sálání F1,2 vyjadřuje, jaká část sálavého toku vyzářeného z plochy A1 (povrch 1) dopadá přímo

(bez odrazů) na plochu A2 (povrch 2). Poměr sálání je geometrická veličina, její hodnota může být

nanejvýše rovná 1. Závisí na velikosti, tvaru, vzdálenosti a úhlu, který svírají sálající povrchy. Výpo-

čet poměru sálání pro obecné případy je složitý, v literatuře je však možné nalézt vztahy pro typické

situace, které se v praxi často opakují. Např. pro rovinný povrch 1 na Obr. 1-5, který je zcela obklopen

povrchem 2, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F1,2 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok

vyzářený povrchem 1 dopadá bez odrazu na povrch 2). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovinné po-

vrchy.

Výměna tepla sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy je zvláštním a důležitým případem. Tepel-

ný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se stanoví obecně jako

4

2

4

12,12,1 TTA [W] (1.20)

kde A je plocha povrchů v m2 (platí A = A1 = A2)

Tj teplota j-tého povrchu v K

ε1,2 emisivita vzájemného sálání obou povrchů, která se určí ze vztahu

111

1

21

2,1

[-] (1.21)

kde εj je emisivita j-tého povrchu.

Obr. 1-5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které je poměr sálání F1,2 = 1. Vlevo – dva povrchy, které tvoří

uzavřenou plochu. Vpravo – dva rovnoběžné povrchy.

V technické praxi se místo obecného vztahu (1.20) používá častěji upravený vztah

212,1 Ahr [W] (1.22)

kde hr je součinitel přestupu tepla sáláním ve W/(m2.K)

θj teplota j-tého povrchu ve C.

Součinitel přestupu tepla sáláním hr lze obecně vyjádřit jako

21

4

2

4

12,1

TThr [W/(m

2.K)] (1.23)

ale obvykle se v technických výpočtech uvažuje zjednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m2.K),

která je použitelná pro povrchy s běžnou emisivitou 0,9.

Tepelný tok sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy se můžeme pochopitelně vypočítat také po-

mocí vztahů (1.17) a (1.18). Pro dva rovnoběžné povrchy platí:

1,2 1F [-] (1.24)

1 2A A A [m2] (1.25)

Když dosadíme (1.24) a (1.25) postupně do (1.18) a (1.17), dostáváme po úpravách:

3

1,21,2 1 2 1,2 1 2( ) 4rΦ A h T T A T T T [W] (1.26)

kde ε1,2 je emisivita vzájemného sálání obou povrchů podle (1.21)

1,2T střední absolutní teplota sálajících povrchů v K podle (1.19).

A1

A2

A1

A2

1.1.5 Dlouhovlnné sálání proti jasné obloze

Při jasné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emitovat sálavý tepelný tok proti

vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu si tedy můžeme představit jako fiktivní povrch s velmi

nízkou teplotou. Zdánlivou teplotu jasné oblohy sky je možné odhadnout v závislosti na teplotě ven-

kovního vzduchu a takto:

1,2 14sky a pro vodorovný povrch

[°C] (1.27)

1,1 5sky a pro svislý povrch

[°C] (1.28)

Při zatažené obloze se teplota oblohy uvažuje shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání

sálavé výměně mezi tělesy na zemském povrchu a vrchními vrstvami atmosféry):

sky a

[°C] (1.29)

1.1.6 Sluneční záření

Sluneční záření je rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme

v této publikaci nazývat intenzitou slunečního záření I [W/m2]. Sluneční záření se skládá z přímé a

difuzní složky. Intenzitu obou složek je možné změřit, jejich součet se nazývá celková (globální) in-

tenzita slunečního záření. V této publikaci se pracuje pouze s celkovou intenzitou slunečního záření

jako s okrajovou podmínkou převzatou např. z meteorologických záznamů.

Sluneční záření se po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývající část je na

povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materiály kromě skla a průsvitných plastů).

Absorbované teplo se může dále šířit:

vedením uvnitř tělesa

prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí

Po dopadu slunečního záření na vnější povrch tělesa z propustného materiálu (sklo, průsvitné plasty)

je část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované

teplo se může dále šířit:

prouděním a dlouhovlnným sáláním z vnějšího povrchu tabule do venkovního prostředí

vedením od vnějšího povrchu tabule k vnitřnímu a z vnitřního povrchu dále prouděním a dlouho-

vlnným sáláním do vnitřního prostředí

Energie slunečního záření se tedy skrz skleněnou tabuli šíří (Obr. 1-6):

přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření)

nepřímo, ve formě tepla předaného z vnitřního povrchu tabule

Obr. 1-6: Rozklad slunečního záření při prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)

propustný prvek

sálavý tok

teplo

I [W/m2]

qa = ·qr

qref = ·qr

qt = ·qr

qai

qae

Poměr mezi intenzitou slunečního záření dopadajícího na vnější povrch tabule a hustotou tepelného

toku předanou přímo i nepřímo do vnitřního prostředí se nazývá celková propustnost slunečního záře-

ní g [-]:

t aiq qg

I

[-] (1.30)

kde g je celková propustnost slunečního záření

qt hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupuje přímo

qai hustota tepelného toku, prostupující nepřímo

I intenzita slunečního záření dopadající na vnější povrch

Stejným způsobem se definuje celková propustnost slunečního záření pro zasklívací jednotky (dvoj-

sklo, trojsklo), rozklad slunečního záření je složitější. Celková propustnost slunečního záření je závis-

lá na vlastnostech skla, jeho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlivňují

přestup tepla z vnitřního povrchu do vnitřního prostředí. Výrobci průsvitných prvků uvádějí hodnoty g

stanovené pro standardizované podmínky.

1.1.7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutinách

V nevětraných vzduchových dutinách se teplo šíří vedením, prouděním i sáláním. Celkovou hustotu

tepelného toku z jednoho povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu na druhý lze určit jako součet

dílčích hustot tepelných toků

rccd qqqq [W/m2] (1.31)

kde qcd je hustota tepelného toku vedením ve W/m2

qc hustota tepelného toku prouděním ve W/m2

qr hustota tepelného toku sáláním ve W/m2.

Jednotlivé hustoty tepelných toků jsou definovány jako

21

d

qcd [W/m2] (1.32)

1 2c cq h [W/m2] (1.33)

1 2r rq h [W/m2] (1.34)

takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutinou lze vyjádřit také vztahem

21

rc hh

dq [W/m

2] (1.35)

kde je součinitel tepelné vodivosti nehybného vzduchu (obvykle se uvažuje hodno-

tou 0,025 W/(mK))

d tloušťka vzduchové dutiny ve směru tepelného toku v m

θj teplota j-tého povrchu ohraničujícího vzduchovou dutinu ve C.

1.1.8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součinitel prostupu tepla

Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnuje jednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp.

šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutinách v konstrukci) a jed-

nak dvojí přestup tepla mezi povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. 1-7).

Obr. 1-7: Průběh teploty v jednovrstvé konstrukci s vyznačením přestupu a vedení tepla

Na vnitřním i vnějším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vnitřní

povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyjádřit jako

siisisi hq [W/m2] (1.36)

kde hsi je součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce ve W/(m2.K)

i teplota vnitřního vzduchu ve C

si teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.

Pro hustotu tepelného toku na vnějším povrchu se použije analogický vztah

esesese hq [W/m2] (1.37)

kde hse je součinitel přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce ve W/(m2.K)

e teplota vnějšího vzduchu ve C

se teplota vnějšího povrchu konstrukce ve C.

Hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce lze vyjádřit vztahem

sesicdd

q

[W/m2] (1.38)

který platí v této formě pro jednovrstvou konstrukci. V ustáleném stavu je hustota tepelného toku ve

všech místech konstrukce (tedy i na jejím povrchu) shodná. Platí tedy

sesicd qqq [W/m2] (1.39)

i si

se e

přestup přestup vedení

d x

Do vztahu (1.38) lze proto dosadit vyjádření povrchových teplot ze vztahů (1.36) a (1.37) a získat

vyjádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru

sesi

ei

h

d

h

q11

[W/m

2] (1.40)

Obrácené hodnoty součinitelů přestupu tepla se obvykle nahrazují tepelnými odpory při přestupu tepla

na vnitřním a na vnějším povrchu konstrukce:

si

sih

R1

[m2K/W] (1.41)

se

seh

R1

[m2K/W] (1.42)

a vztah (1.40) pak přechází do tvaru

sesi

ei

Rd

R

q

[W/m

2] (1.43)

Tepelné odpory při přestupu tepla Rsi a Rse se v technické praxi uvažují smluvními hodnotami.

Pro odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi se používají hodnoty 0,13 W/(m2.K) pro vodo-

rovný tepelný tok; 0,10 W/(m2.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,17 W/(m

2.K) pro tepelný tok dolů. Pro

odpor při přestupu tepla na vnějším povrchu Rse se používají hodnoty 0,04 W/(m2.K) pro povrchy

v kontaktu s venkovním vzduchem; 0,13 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťo-

vých stěnách; 0,10 W/(m2.K) pro povrchy uvnitř větrané dutiny ve dvouplášťových střechách a

0,0 W/(m2.K) pro povrchy v kontaktu se zeminou.

Podíl tloušťky a součinitele tepelné vodivosti definuje tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně

vícevrstvou konstrukci vyjádřit jako

dR [m

2K/W] (1.44)

kde d je tloušťka vrstvy konstrukce v m

součinitel tepelné vodivosti vrstvy konstrukce ve W/(m.K).

Součet tepelného odporu a tepelných odporů při přestupu tepla se označuje jako tepelný odpor při

prostupu tepla

sesiT RRRR [m2K/W] (1.45)

Jeho obrácená hodnota vyjadřuje základní tepelně technický parametr stavební konstrukce - součinitel

prostupu tepla, pro který se standardně používá vztah

sesiT RRRRU

11 [W/(m

2.K)] (1.46)

Dosadíme-li odvozené veličiny do vztahu (1.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyjádřit

také jako

ei

T

ei

sesi

ei URRRR

q

[W/m

2] (1.47)

1.1.9 Vliv tepelných mostů

Obsahuje-li konstrukce vrstvy, v nichž se vyskytují pravidelně se opakující (systematické) tepelné

mosty, je nutné jejich vliv zohlednit. Pro ruční výpočet je vhodné orientační zohlednění vlivu tepel-

ných mostů s pomocí váženého průměru, kterým se vypočte součinitel prostupu tepla vrstvy

s tepelnými mosty

j

jj

eqA

A [W/(m.K)] (1.48)

kde Aj je průřezová plocha j-tého materiálu v charakteristickém výseku v m2

j součinitel tepelné vodivosti j-tého materiálu v charakteristickém výseku ve

W/(m.K).

1.1.10 Teplo procházející konstrukcí

Množství tepla procházející konstrukcí (tepelná ztráta či zisk) se stanoví ze vztahu

eiUA [W] (1.49)

kde A je plocha konstrukce v m2.

Množství tepla, které projde konstrukcí za určitý časový úsek, se určí jako

ttUAQ ei [Wh] (1.50)

kde t je délka časového úseku v h.

Zadá-li se délka časového úseku v sekundách, vyjde množství tepla ve Ws, tedy v J.

1.1.11 Rozložení teploty v konstrukci

Průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu lze stanovit buď graficky, nebo výpočtem.

Grafická metoda vyžaduje vytvoření grafu, na jehož svislou osu se vynášejí teploty a na vodorovnou

osu tepelné odpory jednotlivých vrstev konstrukce a tepelné odpory při přestupu tepla. Průběh teploty

je reprezentován přímkou spojující známou teplotu vnitřního vzduchu i a známou teplotu venkovního

vzduchu e. Teplota v libovolném místě konstrukce se odečte přímo z grafu (Obr. 1-8).

Pro analytické řešení se vyjde z již jednou použitého pravidla o shodné hustotě tepelného toku ve

všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stejná jako hustota

tepelného toku přes část konstrukce od interiéru k bodu x:

xqq [W/m2] (1.51)

což lze vyjádřit také ve tvaru

sesi

ei

xsi

xi

RRRRR

[W/m

2] (1.52)

kde Rx je tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x v m2.K/W.

Obr. 1-8: Grafické stanovení průběhu teploty v konstrukci o 3 vrstvách

Úpravou vztahu (1.52) lze získat rovnici pro průběh teploty v konstrukci v ustáleném stavu

xsieiixsi

sesi

eiix RRURR

RRR

[C] (1.53)

z níž lze odvodit i vztah pro přímý výpočet vnitřní povrchové teploty

eisiisi

sesi

eiisi RUR

RRR

[C] (1.54)

a vnější povrchové teploty

RRURRRRR

sieiisi

sesi

eiise

[C] (1.55)

kde R je celkový tepelný odpor konstrukce v m2.K/W.

Na závěr zbývá upozornit, že pro výpočty vnitřní povrchové teploty se v technické praxi používá od-

por při přestupu tepla na vnitřní straně konstrukce Rsi = 0,13 m2.K/W pro výplně otvorů a Rsi = 0,25

m2.K/W pro ostatní konstrukce.

Rsi Rse R1 R2 R3

R

x

i

e

Rx

1.1.12 Elektrická analogie

Všimněme si podobnosti mezi vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sálá-

ním:

1 2

1cdq

R [W/m

2] (1.56)

1 2

1c

c

qR

[W/m2] (1.57)

1 2

1r

r

qR

[W/m2] (1.58)

kde R je tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m2.K/W

Rc tepelný odpor při přestupu prouděním v m2.K/W

Rs tepelný odpor při přestupu sáláním v m2.K/W

Pro tepelné odpory při přestupu platí:

1c

c

Rh

[m2.K/W] (1.59)

1r

r

Rh

[m2.K/W] (1.60)

kde hc je součinitel přestupu tepla prouděním v W/m2.K

hr součinitel přestupu tepla sáláním v W/m2.K

Vztahy (1.56) až (1.58) jsou podobné Ohmovu zákonu pro elektrický obvod (Obr. 1-9):

1 2

1UI G U

R R [A] (1.61)

kde I je intenzita elektrického proudu v A

G elektrická vodivost v S (Siemens, S = m−2

·kg−1

·s3·A

2 = Ω

−1)

U elektrické napětí (rozdíl elektrických potenciálů) ve V

R elektrický odpor v Ω

j elektrický potenciál v uzlu j ve V

Obr. 1-9: Schéma elektrického obvodu, Ohmův zákon

Analogie mezi elektrickým proudem v elektrickém obvodu a šířením tepla je zřejmá. Intenzita elek-

trického proudu mezi dvěma uzly elektrického obvodu závisí na odporu a rozdílu potenciálu mezi

uzly. Čím větší je rozdíl potenciálu (napětí), tím větší je intenzita elektrického proudu. Se zvyšujícím

se odporem intenzita elektrického proudu klesá. To samé platí pro vztah mezi tepelným tokem (nebo

hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. 1-1).

U

I R

Tab. 1-1: Elektrická analogie

Elektrická veličina Tepelná veličina

elektrický potenciál [V] teplota [°C], T [K]

elektrické napětí U = 1 - 2 [V] rozdíl teplot = 1 – 2 [°C], T = T1 – T2 [K]

elektrický odpor R [Ω] tepelný odpor R [m2.K/W] (tepelný odpor vrstvy,

souvrství, konstrukce, odpor při přestupu tepla nebo

odpor při prostupu tepla)

elektrická vodivost 1

GR

[S] obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m

2.K)]:

obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, sou-

vrství nebo konstrukce 1

KR

součinitel přestupu tepla (obrácená hodnota od-

poru při přestupu tepla) 1

K hR

součinitel prostupu tepla (obrácená hodnota od-

poru při prostupu tepla) 1

T

K UR

intenzita elektrického proudu

1 2

1UI G U

R R [A]

hustota tepelného toku

1 2 1 2

1q K

R [W/m

2]

tepelný tok

1 2 1 2

1A A K

R [W]

Elektrická analogie pomáhá při řešení tepelných problémů. Umožňuje přehledné, schématické zobra-

zení problému a zápis matematického modelu pro jeho řešení. Tepelný problém si můžeme představit

jako elektrický obvod sestavený z větví, které se spojují v uzlech. Větve s tepelnými odpory a dalšími

prvky podle Tab. 1-2 se uspořádají tak, že každá reprezentuje určitý způsob šíření tepla nebo „cestu“

pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vnitřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla

oknem v modelu budovy – Obr. 1-10). Uzly reprezentují „místa“ se známou (předepsanou) nebo ne-

známou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mezi vrstvami konstrukce nebo teplotu vzduchu

v místnosti.

Pro uzel v elektrickém obvodu platí, že součet intenzit elektrického proudu, které vstupu jí do uzlu je

rovný součtu intenzit vystupujících v uzlu (první Kirchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu

pro tepelné toky vstupující a vystupující z uzlu – jejich součet je rovný nule a teplota v uzlu se nemě-

ní. V neustáleném stavu1 nemusí být součty vstupujících a vystupujících tepelných toků navzájem

sobě rovné. V uzlu se akumuluje teplo, což se projeví změnou teploty v čase. Změna teploty je úměrná

tepelné kapacitě, kterou je potřeba uzlu přiřadit. Tato pravidla jsou klíčová pro řešení tepelných pro-

blémů, protože umožňují sestavit tepelné bilance v jednotlivých uzlech.

1 Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publikace zařazeno. Informace je zde uvedena pro

úplnost.

Obr. 1-10: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrické analogie. Vlevo – prostup tepla stěnou.

Vpravo – tepelná bilance budovy.

Tab. 1-2 Základní prvky elektrické analogie

Prvek Matematický vztah Grafická značka

uzel 0j

j

Φ

uzel s kapacitou (pro výpočty

v neustáleném stavu) d

dj

j

Φ Ct

odpor/vodivost 1 2 1 2

1Φ A A K

R

předepsaná teplota = 0

předepsaný tepelný tok (do

uzlu) = 0

Složitá schémata tepelných problémů s více odpory zapojenými sériově nebo paralelně je možné po-

stupně zjednodušovat podle pravidel známých z teorie elektrických obvodů (Tab. 1-3). To umožňuje

zjednodušit matematický model složitých problémů.

si se i e

vedení

stěnou

přestup

tepla

přestup

tepla

Rsi R Rse

si se i e

e

RT1

RT2

RT3

RT4

i

Qsol

1

2

3

4

Qsol

C

R,K

0

Tab. 1-3: Pravidla pro úpravy obvodů

Případ Schéma před úpravou Schéma po úpravě

Odpory/vodivosti zapojené

sériově

N

n

n

R R

1 2

1 1 1 1...

NK K K K

Odpory/vodivosti zapojené

paralelně

1 2

1 1 1 1...

NR R R R

N

n

n

K K

Více předepsaných teplot

N

n

n

K K

1 N

ekv n n

n

KK

1R

K

Více předepsaných tepelných

toků do jednoho uzlu

N

ekv n

n

Φ Φ

Předepsaná teplota s vodivostí a

předepsaný tok do jednoho uzlu

00

0

ekv

Φ

K

V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technice je často potřeba vypočítat neznámé

teploty. Při výpočtu v ustáleném stavu je možné postupovat např. takto:

určí se známé veličiny

určí se neznámé teploty

analyzuje se tepelné chování řešeného systému a jeho součástí

pokud je to potřeba, zavedou se zjednodušující předpoklady pro řešení problému

R1,K1

1

R2,K2

2

RN,KN

N 1

R,K

N

R1,K1

1 2

RN,KN

R2,K2 1

R,K

2

1

2

R1,K1

RN,KN

R2,K2

N

ekv

R,K

1

N

ekv

R0,K0

0

0

ekv

R0,K0

sestaví se schéma (model) problému pomocí elektrické analogie – je-li to možné, schéma se zjed-

noduší pomocí známých pravidel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svůj uzel

pro každý uzel s neznámou teplotou se sestaví bilance tepelných toků - rovnice, která říká, že

součet tepelných toků do uzlu se rovná součtu tepelných toků z uzlu

z bilančních rovnic se sestaví soustava rovnic, jejímž řešením jsou neznámé teploty

výsledek řešení se zkontroluje dosazením vypočítaných teplot zpět do bilančních rovnic

Podobným způsobem se může postupovat i v případech, kdy neznámá není teplota, ale jiná veličina,

např. tepelný tok nebo tepelný odpor nějakého prvku. Bilanční rovnice se sestaví pro vhodně zvolené

uzly tak, aby v nich figurovaly všechny neznámé veličiny.

Příklad použití elektrické analogie

Pro obvodovou stěnu z Obr. 1-10 se mají vypočítat povrchové teploty si a se. Známé veličiny:

vnitřní teplota i = 20°C

odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rsi = 0,13 m2.K/W

tepelný odpor stěny R = 3 m2.K/W

odpor při přestupu tepla na vnitřním povrchu Rse = 0,04 m2.K/W

venkovní teplota e = -10°C

Neznámé veličiny:

teplota vnitřního povrchu si

teplota vnějšího povrchu se

Sestavíme bilanci tepelných toků pro uzly, které reprezentují vnitřní a venkovní povrch stěny. Bilance

tepelných toků pro vnitřní povrch – hustota tepelného toku z uzlu i do uzlu si, q1, se musí rovnat

hustotě tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2:

1 2

1 1( ) ( )i si si se

si

q qR R

Bilance tepelných toků pro venkovní povrch – hustota tepelného toku z uzlu si do uzlu se, q2, se musí

rovnat hustotě tepelného toku z uzlu se do uzlu e, q3:

2 3

1 1( ) ( )si se se e

se

q qR R

Soustava rovnic:

1 1( ) ( )i si si se

siR R

1 1( ) ( )si se se e

seR R

Soustava rovnic po úpravě:

si si si se iR R R R

se si se se eR R R R

Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot známých veličin:

3,13 0,13 60si se

3,13 0,13 60si se

Řešení:

si = 18,8 °C, se = -9,6 °C

1.2 Základní modelové příklady

Zadání

Uvažujte dvouvrstvou stěnu ze železobetonu tl. 200 mm a tepelné izolace tl. 150 mm (na vnější stra-

ně). Tepelná vodivost železobetonu je 1,6 W/(m.K) a tepelné izolace 0,05 W/(m.K). Na konstrukci

působí trvale teplota vnitřního vzduchu 30 ºC a teplota venkovního vzduchu 0 C.

Vypočtěte teplotu na rozhraní vrstev konstrukce, hustotu tepelného toku tepelnou izolací a množství

tepla, které projde celou konstrukcí za 10 h.

Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostupu

tepla konstrukce.

Řešení

Jedná se o ustálený stav, takže hustota tepelného toku musí být ve všech místech konstrukce konstant-

ní. Tepelný tok od vnitřního povrchu do místa x musí být tedy stejný jako tok od vnitřního povrchu

k vnějšímu povrchu, tj. qx = q. Tuto rovnici lze rozepsat do tvaru

sesi

ei

xsi

xi

RRRRR

a z něj pak vyjádřit vztah pro výpočet teploty v libovolném bodě konstrukce (viz také vztah (1.53)):

xsieiixsi

sesi

eiix RRURR

RRR

.

Hodnocená konstrukce má tepelný odpor R = 0,2/1,6 + 0,15/0,05 = 0,125 + 3 = 3,125 m2K/W a souči-

nitel prostupu tepla sesi RRRU 1 1/(0,13+3,125+,04) = 0,303 W/(m2K).

Tepelný odpor od vnitřního povrchu k rozhraní vrstev je Rx = 0,2/1,6 = 0,125 m2K/W. Teplota na roz-

hraní vrstev je tedy 125,013,0030303,030 x = 27,7 ºC.

Hustota tepelného toku tepelnou izolací se stanoví ze vztahu

2Rq sex , kde se je teplota vnějšího

povrchu konstrukce, x je teplota na rozhraní vrstev a R2 je tepelný odpor tepelné izolace. Dopočítat je

třeba teplotu venkovního povrchu ze vztahu 125,313,0030303,030 se = 0,41 ºC. Tepel-

ný odpor R2 je již známý (3,0 m2K/W).

Tepelný tok tepelnou izolací je tedy

3

41,07,27q 9,0 W/m

2.

Alternativně lze přímo dosadit do vztahu

125,013,0

7,2730

xsi

xi

RRq

9,0 W/m

2 a nebo dokonce do

vztahu 030303,0eiUq 9,0 W/m2. Ve všech případech musí v daném případě

vyjít hustota tepelného toku shodně (drobné rozdíly nicméně asi vzniknou kvůli zaokrouhlování mezi-

výsledků).

Měrné množství tepla procházející konstrukcí za časovou jednotku se stanoví ze vztahu tqQ , kde

t je čas. Protože v ustáleném stavu je tepelný tok skrz celou konstrukci stejný jako tepelný tok skrz

libovolnou její vrstvu, lze množství tepla přímo vypočítat jako 109 Q = 90 Wh/m2.

Zadání

V laboratorních podmínkách byly v ustáleném stavu uvnitř a v okolí stavební konstrukce naměřeny

teploty podle Obr. 1-11.

Obr. 1-11: Výsledky měření teplot uvnitř a v okolí konstrukce v ustáleném stavu

Tepelná vodivost materiálu stěny byla současně stanovena ve výši 0,35 W/(m.K).

Jaký je součinitel prostupu tepla konstrukce?

Řešení

Ze známých údajů lze určit hustotu tepelného toku vedením uvnitř konstrukce jako

5,05,620,0

35,0sesicd

dq

10,5 W/m

2.

V ustáleném stavu je hustota tepelného toku konstrukcí shodná s hustotou tepelného toku její libovol-

nou částí. Můžeme proto psát cdei qUq . Hledaný součinitel prostupu tepla konstrukce je

tedy

1020

5,10

ei

cdqU

0,35 W/(m

2.K).

Zadání

Uvažujte sendvičovou konstrukci o skladbě (od interiéru):

- železobeton tl. 200 mm a tepelné vodivosti 1,5 W/(m.K)

- tepelná izolace o tepelné vodivosti 0,05 W/(m.K)

- železobeton tl. 50 mm a tepelné vodivosti 1,5 W/(m.K).

Jak velká musí být tloušťka tepelné izolace, aby byla teplota na rozhraní mezi železobetonem tl. 200

mm a tepelnou izolací vyšší než 0 ºC, působí-li na konstrukci teplota vnitřního vzduchu 20 ºC a teplo-

ta venkovního vzduchu -30 ºC?

Uvažujte ustálený stav a použijte hodnoty odporů při přestupu tepla pro výpočet součinitele prostupu

tepla konstrukce.

Řešení

Vyjdeme z rovnice pro průběh teploty v konstrukci xsieiix RRU , přičemž místo x,

pro které se určuje teplota θx, bude rozhraní mezi vnitřní železobetonovou stěnou a tepelnou izolací.

Podle zadání musí platit x 0 ºC.

0,5 ºC

0,2 m

6,5 ºC 20,0 ºC -10,0 ºC

směr tep. toku

Nejprve určíme dílčí potřebné hodnoty. Tepelný odpor od vnitřního povrchu k místu x je Rx = 0,2/1,5

= 0,133 m2K/W. Tepelný odpor při přestupu tepla na vnitřní straně je Rsi = 0,13 m

2K/W a na vnější

straně Rsi = 0,04 m2K/W.

Vyřešíme nerovnici 133,013,03020200 U a dostaneme požadavek pro součinitel pro-

stupu tepla konstrukce ve tvaru 263,050

20

U , a tedy U ≤ 1,52 W/(m

2.K).

Ze základního vztahu pro součinitel prostupu tepla pak můžeme určit nejnižší potřebný tepelný odpor

konstrukce jako sesi RRU

R 1

. Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme další nerovnici

04,013,052,1

1R a posléze výsledek R ≥ 0,488 m

2K/W.

Protože souhrnný tepelný odpor vnitřní a vnější železobetonové stěny je známý (Ržb = 0,25/1,5 =

0,167 m2K/W), můžeme již snadno určit minimální potřebný tepelný odpor tepelné izolace jako

Rizol ≥ 0,321 m2K/W a následně pak i hledanou nejnižší potřebnou tloušťku tepelné izolace ze vztahu

izolizolizol Rd , a tedy d ≥ 0,016 m.

Zadání

Uvažujte stěnu s povrchem o emisivitě 0,9 a teplotě 20 ºC. Rovnoběžně se stěnou je ve vzdálenosti

100 mm natažená hliníková folie o emisivitě 0,1 a teplotě 40 ºC. Jak velký bude tepelný tok sáláním

mezi oběma povrchy?

Řešení

Hustota tep. toku sáláním z povrchu 1 na povrch 2 se stanoví za předpokladu rovnoběžnosti obou

povrchů ze vztahu 4

2

4

12,12,1 TTq , kde σ = 5,67.10-8

W/(m2K

4), T je absolutní teplota po-

vrchu v K a

111

1

21

2,1

, přičemž ε je emisivita povrchu.

Po dosazení získáme

099,0

19,0

1

1,0

1

12,1

a výsledný tepelný tok 448

2,1 15,2732015,27340099,01067,5q 12,5 W/m2.

Zadání

Uvažujte dvouplášťovou stěnu o skladbě (od interiéru):

- železobeton tl. 200 mm (tepelná vodivost 1,5 W/(m.K))

- tepelná izolace tl. 100 mm (tepelná vodivost 0,05 W/(m.K))

- větraná vzduchová vrstva tl. 100 mm

- obklad tl. 10 mm (tepelná vodivost 0,5 W/(m.K)).

Předpokládejte ustálený stav s teplotou vnitřního vzduchu 30 ºC, teplotou ve větrané dutině 2 ºC a

teplotou venkovního vzduchu 0 ºC. Určete hustotu tepelného toku sáláním mezi povrchy větrané duti-

ny. Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu součinitele prostu-

pu tepla konstrukce.

Řešení

Aby bylo možné vypočítat hustotu tepelného toku sáláním ze vztahu 4

2

4

12,12,1 TTq , je

nutné určit teploty povrchů větrané dutiny. Pro teplotu venkovního povrchu tepelné izolace použijeme

vztah RRRRR

si

sesi

eiise

, do kterého dosadíme tepelný odpor vnitřního pláště kon-

strukce R = 0,2/1,5 + 0,1/0,05 = 2,133 m2K/W. Teplota na vnějším povrchu tepelné izolace pak vyjde

133,213,0

13,0133,213,0

23030se 3,52 ºC. Odpor při přestupu tepla na vnější straně Rse

se v tomto případě uvažoval shodně s odporem na vnitřní straně Rsi, protože jde o povrch ve větrané

vzduchové vrstvě a nikoli přímo ve venkovním prostředí.

Teplotu na vnitřním povrchu obkladu určíme ze vztahu si

sesi

eiisi R

RRR

, přičemž tepelný

odpor bude v tomto případě R = 0,01/0,5 = 0,02 m2K/W. V hodnotách odporů při přestupu tepla zo-

hledníme skutečnost, že na jedné straně obkladu je větraná vzduchová vrstva a na druhé straně ven-

kovní prostředí a vypočteme

13,0

04,002,013,0

022si 0,63 ºC.

Zbývá vypočítat hustotu tepelného toku sáláním mezi oběma povrchy (pro které předpokládáme ob-

vyklou emisivitu 0,9 a určíme emisivitu vzájemného sáláním jako 82,019,0

1

9,0

11

2,1

) ze

vztahu 448

2,1 15,27363,015,27352,382,01067,5q 11,2 W/m2.

Zadání

Uvažujte stěnu v dřevostavbě, jejíž skladba je zachycena na vodorovném řezu na Obr. 1-12.

Obr. 1-12: Vodorovný řez stěnou dřevostavby

100 600 100 600 600

100

100

100

20

20

Šrafovaně je vyznačeno dřevo s tepelnou vodivostí 0,20 W/(m.K), zbylý materiál je tepelná izolace

s tepelnou vodivostí 0,04 W/(m.K). Dřevěné sloupky jsou umístěny pouze v první a třetí vrstvě tepel-

né izolace. Určete množství tepla, které projde 1 m2 konstrukce za 1 h při časově ustáleném teplotním

rozdílu 10 C.

Řešení

Množství tepla za časovou jednotku určíme ze vztahu tUAQ , do kterého je třeba dosadit

součinitel prostupu tepla konstrukce. Pro jeho výpočet je nutné nejprve určit charakteristický výsek

konstrukce, což je v daném případě osová vzdálenost sloupků, tj. 0,7 m.

Následně stanovíme ekvivalentní tepelnou vodivost vrstev s tepelnými mosty, tj. první a třetí vrstvy

(druhá vrstva tepelné mosty neobsahuje). Použijeme přibližný výpočet s pomocí váženého průměru

1,01,01,06,0

2,01,01,004,01,06,0

j

jj

A

A 0,063 W/(m.K).

Tepelný odpor konstrukce je tedy R = 0,02/0,2 + 0,1/0,063 + 0,1/0,04 + 0,1/0,063 + 0,02/0,2 =

5,875 m2K/W a součinitel prostupu tepla

04,0875,513,0

1U 0,165 W/(m

2.K).

Hledané množství tepla za 1 h při teplotním rozdílu 30 C tedy činí 130165,0Q 4,96 Wh.

Zadání

Stěna o součiniteli prostupu tepla U=1,5 W/(m2.K) obsahuje uzavřenou (nevětranou) vzduchovou

vrstvu o tloušťce 100 mm. Na stěnu působí z jedné strany teplota vzduchu 20 ºC a z druhé strany tep-

lota vzduchu 0 ºC. Jaká je teplota povrchu vzduchové dutiny blíže k exteriéru, má-li povrch blíže

k interiéru teplotu 18 ºC?

Při výpočtu uvažujte ustálený stav a běžné technické smluvní hodnoty pro všechny potřebné veličiny.

Řešení

Známe-li teplotu jednoho z povrchů uzavřené vzduchové dutiny, můžeme stanovit teplotu zbývajícího

povrchu ze vztahu pro hustotu tepelného toku vzduchovou dutinou 21

rc hh

dq .

Nejprve musíme ovšem určit samotnou hustotu tepelného toku, což je ale pro předpoklad ustáleného

stavu poměrně jednoduché, protože celková hustota tepelného toku konstrukcí musí být shodná s hus-

totou tepelného toku v jejím libovolném místě. Platí tedy 0205,1eiUq 30 W/m2.

Pro součinitel přestupu tepla sáláním ve vzduchové dutině použijeme běžný technický odhad

hr=4,6 W/(m2.K), stejně jako pro součinitel přestupu tepla prouděním (hc=2,5 W/(m

2.K)).

Po dosazení do výchozí rovnice 2186,45,21,0

025,030

získáme již snadno hledanou

teplotu povrchu vzduchové dutiny blíže k exteriéru ve výši θ2 = 13,9 ºC.

Zadání

Uvažujte stropní konstrukci mezi půdou a interiérem o skladbě podle Chyba! Nenalezen zdroj odka-

zů..

Obr. 1-13: Řez stropem pod půdou

Nosným prvkem jsou ocelové profily (tepelná vodivost 50 W/(m.K)) v osových vzdálenostech

900 mm. Na profilech jsou shora i zdola upevněny OSB desky s tepelnou vodivostí 0,2 W/(m.K).

Mezi profily je umístěna tepelná izolace o tepelné vodivosti 0,05 W/(m.K). Stejná tepelná izolace je

umístěna pod spodní OSB deskou a je opatřena omítkou s tepelnou vodivostí 1,0 W/(m.K).

Jaká musí být minimální tloušťka spodní tepelné izolace, aby byl součinitel prostupu tepla stropu nej-

výše 0,15 W/(m2.K)?

Uvažujte pouze vliv zadaných tepelných mostů a použijte pro jeho zohlednění orientační manuální

výpočet.

Řešení

Cílem návrhu je konstrukce splňující podmínku U ≤ 0,15 W/(m2.K). Do této podmínky můžeme dosa-

dit za součinitel prostupu tepla konkrétní hodnoty odporů při přestupu tepla (na obou stranách se

uplatní hodnota 0,10 m2K/W, protože jde o konstrukci v interiéru s tepelným tokem vzhůru) a získat

nerovnici 15,010,010,0

1

R.

Z ní pak už snadno získáme podmínku pro tepelný odpor R ≥ 6,47 m2K/W.

Dílčí tepelné odpory jednotlivých vrstev sice snadno vypočítáme ze standardního vztahu

dR , ale

u hlavní tepelné izolace musíme nejprve zohlednit tepelné mosty s pomocí ekvivalentní tepelné vodi-

vosti této nehomogenní vrstvy.

Výpočet musíme začít určením charakteristického výseku, jehož šířka je v tomto případě 900 mm.

Dále pak vypočteme průřezové plochy jednotlivých materiálů ve výseku a posléze získáme ekviva-

lentní tepelnou vodivost hlavní tepelné izolace ze vztahu

2,09,0

05,02,001,021,001,02,09,0502,001,021,001,0

j

jj

A

A

1,16 W/(m.K). Tepelný odpor konstrukce je tedy

900 900

200

??

5

20

20

100 100

10

10

10

180

05,0377,0

0,1

005,0

05,02,0

02,0

16,1

2,0

2,0

02,0 ddR m

2K/W. A protože je známo, že tepelný

odpor musí být vyšší než 6,47 m2K/W, snadno již odvodíme minimální potřebnou tloušťku spodní

tepelné izolace ze vztahu 47,605,0

377,0 d

jako d ≥ 0,305 m.

Zadání

Uvažujte stropní konstrukci o skladbě (shora):

- dlažba tl. 20 mm s tepelnou vodivostí 1,0 W/(m.K)

- beton tl. 100 mm s tepelnou vodivostí 1,2 W/(m.K)

- pěnový polystyren tl. 100 mm s tepelnou vodivostí 0,05 W/(m.K)

- železobeton tl. 150 mm s tepelnou vodivostí 1,5 W/(m.K),

Na rozhraní mezi betonovou mazaninou tl. 100 mm a pěnovým polystyrenem je udržována teplota

35 C (podlahovým vytápěním). Určete hustotu tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do interié-

ru.

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav s teplotou vzduchu nad podlahou 20 C a s teplotou pod

stropem 10 C. . Použijte přitom hodnoty odporů při přestupu tepla, které se užívají při výpočtu souči-

nitele prostupu tepla konstrukce.

Řešení

Hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do interiéru se určí ze vztahu 4Tqr , do

kterého je třeba dosadit absolutní teplotu povrchu podlahy. Při jejím výpočtu je třeba zohlednit zná-

mou teplotu uvnitř konstrukce v místě podlahového vytápění. Celková situace je nejlépe zřejmá na

grafu průběhu teploty v konstrukci Obr. 1-14.

Obr. 1-14: Grafické stanovení průběhu teploty v podlaze s vytápěním

0,10

0,02

0,08 2,00

R

x

20

10

0,10 0,17

35

Na vodorovné ose grafu jsou vyneseny tepelné odpory jednotlivých vrstev podlahy počínaje zleva

dlažbou. První hodnotou je ovšem odpor při přestupu tepla na povrchu dlažby Rsi = 0,10 m2K/W (te-

pelný tok je orientován v daném případě nahoru). Poslední hodnotou je analogicky odpor při přestupu

tepla na spodním líci stropu Rse, který v tomto případě činí 0,17 m2K/W (tepelný tok je orientován

dolů). Z grafu na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. je patrná nejen hledaná teplota na horním líci

dlažby (označeno kroužkem), ale také skutečnost, že pro její stanovení není vůbec podstatná spodní

část stropní konstrukce. Ve skutečnosti se uplatní jen roznášecí betonová deska a dlažba a okrajové

podmínky přímo na ně působící (tj. teploty 20 ºC a 35 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy může-

me tedy spočítat ze vztahu

10,0

08,002,010,0

352020xsi

sesi

eiix RR

RRR

27,5

ºC.

Hledaná hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahu do interiéru je tudíž

48 15,2735,271067,59,0rq 417 W/m2.

1.3 Komplexní modelové příklady

1.3.1 Obvodová stěna 1

Zadání

Uvažujt obvodovou stěnu s touto skladbou (od interiéru):

železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K

tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K

pohledové zdivo z plných cihel tl. 150 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K

Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je noc, obloha je zatažená.

Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.

Vypočítejte teploty na vnitřním povrchu, vnějším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete

průběh teploty, vypočítejte tepelnou ztrátu.

Řešení

Známé veličiny:

tloušťky jednotlivých materiálových vrstev d3 až d3

součinitele tepelné vodivosti pro materiál každé vrstvy 1 až 3

teplota vnitřního vzduchu i = 20°C

teplota venkovního vzduchu e = -5 °C

rychlost větru v = 4 m/s


teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si, se a teploty na rozhraní materiálových

vrstev 1,2 a 2,3

tepelná ztráta obvodové stěny – vyjádříme jí hustotou tepelného toku q [W/m2]

Další potřebné informace:

nejsou

Analýza problému:

Teplo se šíří skrz stěnu z vnitřního prostředí do vnějšího. Z vnitřního prostředí se teplo šíří na povrch

konstrukce prouděním a sáláním. Uvnitř konstrukce, mezi vnitřním a vnějším povrchem, se teplo šíří

vedením. Z vnějšího povrchu se teplo může do vnějšího prostředí šířit těmito způsoby:

prouděním (vítr)

sáláním proti obloze (oblohu si představujeme jako fiktivní povrch, jehož teplota závisí na oblač-

nosti)

sáláním proti povrchu země (terénu)

sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)

Kromě toho může výměnu tepla na vnějším povrchu ovlivnit také sluneční záření. Protože uvažujeme

noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říci, že se slunečním zářením počítat nebudeme.

Hustota tepelného toku prouděním z vnějšího povrchu stěny závisí na rychlosti větru. Pro výpočet

hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním je potřeba dopředu odhadnout teploty sála-

jících povrchů (včetně teploty vnějšího povrchu řešené stěny) a jejich vzájemné poměry sálání. Poměr

sálání Fi,j dvou povrchů přitom závisí na jejich vzájemném prostorovém uspořádání.

Schéma problému:

Obr. 1-15: Schéma problému

Předpoklady řešení:

ustálený stav

předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodivosti tepelné izolace 2 = 0,05 W/m·K je již zahrnutý

vliv tepelných mostů (kotvení přizdívky k železobetonové stěně)

protože pro vnitřní prostředí nejsou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyjádříme přestup tepla

z vnitřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu při přestupu tepla Rsi =

0,13 m2·K/W

přestup tepla z vnějšího povrchu by bylo možné, při zadaných podmínkách, přibližně započítat

pomocí běžné hodnoty odporu při přestupu tepla Rse = 0,04 m2·K/W (tato hodnota byla stanovena

pro podobné podmínky jako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla sestavíme po-

drobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup

tepla prouděním a sáláním

pro odhad součinitele přestupu tepla prouděním použijeme vztah hce = 4 + 4·v (kap. 1.1.2) a bu-

deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s

3 2 1

qsi q1 q2 q3

i

povrch země r = e

r = e

okolní povrchy

qre

si 1,2 2,3 se

e qce

qre

qre

zatažená

obloha

r = e

Rsi R1 R2 R3

si 1,2 2,3 se i

hre

hce

e

budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy je stejná, jako teplota venkovního

vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy)

teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles při zatažené obloze budeme zjednodušeně

uvažovat stejnou jako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mezi tělesy na

zemském povrchu a jasnou oblohou – viz následující příklad). Všechna tělesa, vůči kterým může

vnější povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat jako jediný povrch s jedinou (sálavou)

povrchovou teplotou r = e. Problém se zjednodušuje na případ sálání dvou povrchů se vzájem-

ným poměrem sálání F12 = 1 (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu 1 (vnější stěna) dopadá přímo,

bez odrazů na povrch 2 („náhradní“ povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A1

je zanedbatelně malá oproti ploše tohoto „náhradního“ povrchu A2 a jejich vzájemný poměr A1/ A2

můžeme považovat za rovný nule.

tento předpoklad nám podstatně zjednoduší výpočet – především proto, že nebudeme muset sta-

novovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálajícího povrchu. Takový výpočet je

obecně komplikovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme informace o poloze okolních

těles a povrchu země.

pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu stěny musíme dopředu odhad-

nout jeho teplotu – budeme zjednodušeně předpokládat, že teplota vnějšího povrchu je rovná tep-

lotě vnějšího vzduchu se = e

Postup řešení:

sestavíme bilanci tepelných toků pro všechna místa v konstrukci, kde chceme zjistit teplotu – pro

vnitřní povrch, vnější povrch a obě rozhraní materiálových vrstev

předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k libovolnému místu v konstrukci a

směrem z tohoto místa musí být rovný nule

získáme čtyři rovnice, kde neznámými jsou teploty na vnitřním a vnějším povrchu stěny a na

rozhraní vrstev

řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3

správnost výsledku zkontrolujeme

vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce

vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev,

bude průběh teploty v každé vrstvě lineární

Bilance tepelných toků:

vnitřní povrch: 1siq q →

1 0siq q

rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q →

1 2 0q q


2 3 0q q

vnější povrch: 3 ce req q q →

3 0ce req q q

Hustoty tepelných toků:

1( ) ( )si i si si i si

si

q hR

1 1.2 1 1,2

1

1( ) ( )si siq K

R

2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

2

1( ) ( )q K

R

3 2,3 3 2,3

3

1( ) ( )se seq K

R

( )ce ce se eq h

( )re re se eq h

Soustava rovnic (neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se do-

počítají):

1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K

3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se eK h h

Po roznásobení:

1 1 1,2 0si i si si sih h K K

1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K

3 2,3 3 0se ce se ce e re se re eK K h h h h

Po úpravách:

1 1 1,2( )si si si ih K K h

1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K

2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K

3 2,3 3( ) ( )ce re se se re eK K h h h h

Vyčíslení:

Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí jednotlivých vrstev je uspořádán do tabulky:

Tab. 1-4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodivostí

Vrstva

i [ - ]

Materiál Tloušťka

di

[m]

Tepelná vodivost

i

[W/m·K]

Tepelný odpor

Ri = di /i

[m2·K/W]

Tepelná vodivost

Ki = 1/ Ri

[W/m2·K]

1 železobeton 0,2 1,6 0,125 8

2 tepelná izolace 0,15 0,05 3 0,333

3 zdivo z plných cihel 0,15 1 0,15 0,667

Tepelný odpor konstrukce R = ΣRi 3,275 0,305

21 17,692 W/(m K)

0,13si

si

hR

Součinitel přestupu tepla prouděním na vnějším povrchu vypočítáme z rychlosti větru v = 4 m/s (viz

Předpoklady řešení):

24 4 4 4 4 20 W/(m K)ceh v

Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mezi

dvěma povrchy:

3

1,2

1 2 1

1 1,2 2 2

4

1 11re

Th

A

F A

Protože uvažujeme F1,2 = 1 a A1/A2 = 0, zjednoduší vztah takto (indexem 1 se značí vnější povrch stě-

ny, indexem 2 souhrnně všechny ostatní sálající povrchy s teplotou r = e – viz Předpoklady výpo-

čtu):

3 3

1,2 1,2 3

1 1,21 2 1 1

1 2 1 1

4 44

1 1 110 0

1

re

T Th T

Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e (viz Předpoklady řešení) a r = e:

1 21,2

( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 5 273,15)268,15 K

2 2 2

se rT TT

Po dosazení do vztahu pro hre:

3 8 3 2

1 1,24 4 5,67 10 0,9 268,15 3,94 W/(m K)reh T

Soustava rovnic po dosazení číselných hodnot:

1,215,692 8 153,846si

1,2 2,38 8,333 0,333 0si

1,2 2,30,333 7 6,667 0se

2,30,667 30,602 119,678se

Návody na řešení soustavy lineárních rovnic v tabulkovém procesoru lze najít na internetu.

Výsledky:

Teploty (po zaokrouhlení):

si = 19,1 °C

1,2 = 18,2 °C

2,3 = -3,6 °C

se = -4,7 °C

Kontrola – výpočet hustot tepelných toků:

Do výpočtu je potřeba dosadit teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zao-

krouhlení (např. při výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápisu uvedeného níže jsou pro přehlednost

dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na jedno desetinné místo (což je pro kontrolu správnosti málo!).

21( ) ( ) 7,692 (20 19,1) 7,253 W/msi i si si i si

si

q hR

2

1 1.2 1 1,2

1

1( ) ( ) 8 (19,1 18,2) 7,253 W/msi siq K

R

2

2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

2

1( ) ( ) 0,333 (18,2 3,6) 7,253 W/mq K

R

2

3 2,3 3 2,3

3

1( ) ( ) 6,667 ( 3,6 4,7) 7,253 W/mse seq K

R

21( ) ( ) 25 ( 4,7 5) 7,257 W/mse se e se se e

se

q hR

Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme

dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce q:

2

1 2 3

1 1( ) (19,1 4,7) 7,253 W/m

3,275si seq

R R R

Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny je 7,3 W/m2.

Průběh teploty je vynesen do grafu:

Obr. 1-16: Výsledný průběh teploty


Zadání

Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a

teplota venkovního vzduchu -5°C. Uvažujte jasnou noc a vítr o rychlosti 4 m/s.



Řešení

Známé veličiny:

tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-

ti K1 až K3 (z předchozího příkladu)






vrstev 1,2 a 2,3



emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny

Pro povrch zdiva z červených cihel můžeme použít hodnotu emisivity = 0,9 (viz Přílohu 1).

Analýza problému:

Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozím

příkladu. Na vnějším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vnějšího prostředí těmito způso-

by:

prouděním (vítr)

sáláním proti jasné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu je

teplota jasné oblohy výrazně nižší než teplota vnějšího vzduchu)

sáláním proti povrchu země (terénu)

sáláním proti povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov)

Schéma problému:



ustálený stav





0,13 m2·K/W

přestup tepla z vnějšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu při přestu-

pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze

pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobnější bilanci tepelných toků pro vnější povrch, ve

které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním

součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejným způsobem jako v předchozím příkla-

du

Rsi R1 R2 R3

si 1,2 2,3 se i

e

hre

hce

sky

3 2 1

qsi q1 q2 q3

i

povrch země r = sky

r = sky okolní

povrchy

qre

si 1,2 2,3 se

e qce

qre

qre

jasná

obloha

r = sky

teplotu jasné oblohy sky [°C] odhadneme v závislosti na teplotě vnějšího vzduchu e [°C] takto

(platí pro případ svislého povrchu stěny, kap. 0):

1,1 5 1,1 ( 5) 5 10,5 Csky e

součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme podobně jako

v předchozím příkladu. Teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles budeme opět

zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy (tentokrát jako teplotu jasné oblohy sky).

Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnější-

ho vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.

Postup řešení:

sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny

předpokládáme ustálený stav – součet tepelných toků směrem k vnějšímu povrchu a směrem

z vnějšího povrchu musí být rovný nule

bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme

z předchozího příkladu – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad


rozhraní vrstev

řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se


z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného

toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí

vykreslíme průběh teploty – protože konstrukce je složena z homogenních materiálových vrstev,

bude průběh teploty v každé vrstvě lineární



1 0siq q


1 2 0q q


2 3 0q q

vnější povrch: 3 ce req q q →

3 0ce req q q


Pro výpočet hustot tepelných toků qsi a q1 až q3 platí vztahy uvedené v předchozím příkladu. Pro hus-

toty tepelných toků z vnějšího povrchu stěny platí:

( )ce ce se eq h

( )re re se skyq h

V hustotě tepelného toku qre je souhrnně započítáno sálání vnějšího povrchu stěny proti obloze, okol-

ním povrchům i povrchu země (viz Předpoklady řešení)


počítají):

1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K

3 2,3( ) ( ) ( ) 0se ce se e re se skyK h h

Po roznásobení:


1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K

3 2,3 3 0se ce se ce e re se re skyK K h h h h

Po úpravách:


1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K

2 1,2 2 3 2,3 3( ) 0seK K K K

3 2,3 3( )ce re se ce e re skyK K h h h h

Vyčíslení:

Tepelné odpory a tepelné propustnosti vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a pro

tento příklad zůstávají stejné. Stejná zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla hsi a hce.

Součinitel přestupu tepla sáláním na vnějším povrchu vypočítáme z upraveného vztahu (odvození z

obecného vztahu pro sálání mezi dvěma povrchy – viz předchozí příklad):

3

1 1,24reh T

Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e a sky = -10,5 °C (viz Předpoklady

řešení):

3 31 21,2

( 273,15) ( 273,15) ( 5 273,15) ( 10,5 273,15)265,4 K

2 2 2

se skyT TT

Po dosazení do vztahu pro hre:

3 8 3 2

1 1,24 4 5,67 10 0,9 265,4 3,82 W/(m K)reh T


1,215,692 8 153,846si

1,2 2,38 8,333 0,333 0si

1,2 2,30,333 7 6,667 0se

2,30,667 30,482 140,066se


Výsledky:


si = 19 °C

1,2 = 18,1 °C

2,3 = -4,4 °C

se = -5,6 °C





21( ) ( ) 7,692 (20 19) 7,508 W/msi i si si i si

si

q hR

2

1 1.2 1 1,2

1

1( ) ( ) 8 (19 18,1) 7,508 W/msi siq K

R

2

2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

2

1( ) ( ) 0,333 (18,1 4,4) 7,508 W/mq K

R

2

3 2,3 3 2,3

3

1( ) ( ) 6,667 (4,4 5,6) 7,508 W/mse seq K

R

2( ) ( ) 20 ( 5,6 5) 3,816 ( 5,6 10,5) 7,508 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h

Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme

dopočítat i hustotu tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

2

1 2 3

1 1( ) (19 5,6) 7,508 W/m

3,275si seq

R R R





Zadání

Uvažujte stejnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a

teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na stěnu dopadá sluneční záření s celkovou

intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m

2 povrchu stěny). Fouká vítr o rychlosti 4 m/s.



Řešení

Známé veličiny:

tepelné vlastnosti jednotlivých materiálových vrstev: tepelné odpory R1 až R3, tepelné propustnos-

ti K1 až K3 (z předchozích příkladů)



emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)

teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C, sky = -10,5 °C (z předcho-

zího příkladu)

celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W


teploty na vnitřním a venkovním povrchu konstrukce si a se, a teploty na rozhraní materiálových

vrstev 1,2 a2,3



pohltivost slunečního záření pro vnější povrch sol [ - ]

Pro povrch přizdívky z plných cihel můžeme použít hodnotu sol = 0,75 (viz Přílohu 2)

Analýza problému:

Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu stěny je stejný jako v předchozích

dvou příkladech. V tomto příkladu je ovšem tepelná bilance vnějšího povrchu navíc ovlivněna sluneč-

ním zářením. Část energie slunečního záření dopadajícího na vnější povrch stěny je pohlcena – pře-

mění se na teplo. Povrch stěny se ohřeje, jeho teplota bude vyšší než teplota vnějšího vzduchu. Do-

chází k šíření (přestupu) tepla z vnějšího povrchu do vnějšího prostředí:

prouděním (vítr)

dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu

dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou obloha si představujeme jako povrch s velmi

nízkou teplotou)

Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme

postupovat obdobně.

Teplota vnějšího povrchu bude záviset na vzájemném poměru tepelných zisků (tepelný tok stěnou

z vnitřního prostředí a pohlcená energie slunečního záření) a ztrát (tepelný tok prouděním a sáláním

do vnějšího prostředí). Pokud bude výsledná teplota vnějšího povrchu vyšší, než teplota vnitřního

povrchu (se > si), bude se teplo z vnějšího povrchu šířit také směrem k vnitřnímu povrchu. Pokud

bude (se < si), bude se teplo šířit konstrukcí z vnitřního povrchu směrem k vnějšímu – podobně jako

v případě bez slunečního záření, který jsme zvyklí uvažovat v běžných výpočtech. Zatím budeme

předpokládat, že se < si.

Schéma problému:

Schéma problému je uvedeno na Obr. 1-19


ustálený stav





0,13 m2·K/W


pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-

ního záření


které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního

záření

součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme stejně jako v předchozím příkladu (opět bu-

deme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s)

součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako


zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět

zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou

podrobněji vysvětleny v předchozím příkladu.

Předpoklad, že teplota povrchu země a ostatních okolních povrchů se shoduje s teplotou jasné oblohy

je konzervativní. V případě jasné oblohy s poměrně intenzivním slunečním zářením bude skutečná

povrchová teplota terénu a těles na zemském povrchu pravděpodobně vyšší, možná bližší teplotě ven-

kovního vzduchu. Naší volbou pravděpodobně opět nadhodnotíme tepelnou ztrátu stěny, tentokrát

významněji, než v předchozím příkladu.


Postup řešení:

sestavíme bilanci tepelných toků pro vnější povrch stěny



bilance tepelných toků pro vnitřní povrch a pro rozhraní mezi vrstvami konstrukce převezmeme

z předchozích příkladů – jejich obecná formulace zůstává platná i pro tento příklad


rozhraní vrstev

řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, 1,2, 2,3 a se


3 2 1

qsi q1 q2 q3

i


r = sky

okolní povrchy

qre

si 1,2 2,3 se

e qce

qre

qre

jasná

obloha

rsky

qsol

sluneční

záření

Rsi R1 R2 R3

si 1,2 2,3 se i e

hce

hre

sky

qsol

z hodnot si a se vypočítáme hustotu tepelného toku skrz konstrukci q, určíme směr tepelného

toku a určíme, zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo o tepelný zisk pro vnitřní prostředí

vykreslíme průběh teploty



1 0siq q


1 2 0q q


2 3 0q q

vnější povrch: 3 sol ce req q q q →

3 0sol ce req q q q


Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi , q1 až q3, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako

v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Hustota tepelného toku ze slunečního záření se vypočítá

takto:

sol sol solq I


počítají):

1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

2 1,2 2,3 3 2,3( ) ( ) 0seK K

3 2,3( ) ( ) ( ) 0se sol ce se e re se skyK I h h

Po roznásobení:


1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 0seK K K K

3 2,3 3 0sol se ce se ce e re se re skyK I K h h h h

Po úpravách:

isisisi hKKh 2,111)(

0)( 3,222,1211 KKKK si

0)( 33,2322,12 seKKKK

skyreecesolserece hhIhhKK )( 33,23

Vyčíslení:

Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a

pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním

povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.


1,215,692 8 153,846si

1,2 2,38 8,333 0,333 0si

1,2 2,30,333 7 6,667 0se

2,30,667 30,482 159,934se


Výsledky:


si = 19,5 °C

1,2 = 19,0 °C

2,3 = 7,5 °C

se = 6,9 °C







21( ) ( ) 7,692 (20 19,5) 3,854 W/msi i si si i si

si

q hR

2

1 1.2 1 1,2

1

1( ) ( ) 8 (19,5 19) 3,854 W/msi siq K

R

2

2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

2

1( ) ( ) 0,333 (19 7,5) 3,854 W/mq K

R

2

3 2,3 3 2,3

3

1( ) ( ) 6,667 (7,5 6,9) 3,854 W/mse seq K

R

Hustota tepelného toku mezi povrchy konstrukce:

2

1 2 3

1 1( ) (19,5 6,9) 3,854 W/m

3,275si seq

R R R

Hustoty tepelných toků se shodují, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Liší se ovšem hodnota

hustoty tepelného toku z vnějšího povrchu stěny do vnějšího prostředí:

2( ) ( ) 20 (6,9 5) 3,816 (6,9 10,5) 303,854 W/mse ce re ce se e re se skyq q q h h

Rozdíl hustoty tepelného toku qse a hustoty tepelného toku v jiných místech konstrukce je přesně 300

W/m2 = qsol = sol · Isol. Rovnováha tepelných toků na vnějším povrchu je tedy zachována:

3 3 3,854 300 303,854 0sol ce re sol seq q q q q q q



Zadání

Uvažujte podobnou obvodovou stěnu jako v předchozím příkladu. Vnější přizdívka z pohledových

cihel se však nahradí stejně tlustou neprovětrávanou vzduchovou mezerou. Ta je z vnitřní strany vy-

mezena povrchem tepelné izolace a z vnější strany skleněnou tabulí. Na povrchu tepelné izolace (smě-

rem do vzduchové dutiny) je z výroby nanesena tenká difuzní fólie černé barvy. Skladba konstrukce

(od interiéru):

železobetonová stěna tl. 200 mm, tepelná vodivost 1,6 W/m·K

tepelná izolace tl. 150 mm, tepelná vodivost 0,05 W/m·K

difuzní fólie, černá barva, tl. 0,3 mm, tepelná vodivost 0,2 W/m·K

neprovětrávaná vzduchová mezera, tl. 150 mm

čiré sklo, tl. 4 mm, tepelná vodivost 1 W/m·K

Teplota vnitřního vzduchu je 20 °C a teplota venkovního vzduchu -5°C. Je den, bez oblačnosti, na

stěnu dopadá sluneční záření s celkovou intenzitou 400 W/m2 (vztaženo na 1 m

2 povrchu stěny). Fou-

ká vítr o rychlosti 4 m/s.



Řešení

Známé veličiny:

tepelné vlastnosti materiálových vrstev 1 a 2: tepelné odpory R1 a R2, tepelné propustnosti K1 a K2

(z předchozích příkladů)

tloušťka vzduchové mezery (vrstva 4): d4

tloušťky materiálových vrstev 3 a 5: d3 a d5

součinitele tepelné vodivosti pro materiál vrstev 3 a 5: 3 a 5

barva vnějšího povrchu vrstvy 3: černá

emisivita vnějšího povrchu obvodové stěny = 0,9 (z předchozího příkladu)




teplota jasné oblohy pro stěnu při teplotě venkovního vzduchu -5 °C sky = -10,5 °C (z předchozí-

ho příkladu)

celková intenzita slunečního záření vztažená na 1 m2 povrchu stěny Isol = 400 W



vrstev 1,2, 2,3, 3,4 a 4,5



emisivita vnějšího povrchu stěny – povrchu skleněné tabule vymezující vzduchovou vrstvu

pohltivost slunečního záření pro vnější povrch stěny – pro povrch skleněné tabule

propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli

emisivita vnějšího povrchu difuzní fólie

pohltivost slunečního záření pro vnější povrch difuzní fólie

Emisivita skla je velmi podobná jako emisivita ostatních stavebních materiálů. Použijeme hodnotu =

0,92 podle Přílohy 1. Sklo je propustné pro sluneční záření, proto je pohltivost slunečního záření po-

vrchu čirého skla nízká. Použijeme hodnotu sol = 0,05. Propustnost slunečního záření pro sklo tl. 4

mm je při kolmém dopadu slunečních paprsků přibližně 0,85. Propustnost slunečního záření je sice

závislá na úhlu dopadu slunečních paprsků, ale v rozmezí 0° (kolmo na povrch) a 45° se příliš nemění.

Propustnost slunečního záření pro skleněnou tabuli budeme tedy uvažovat konzervativně = 0,8.

Emisivitu povrchu difuzní fólie odhadneme – použijeme hodnotu pro střešní lepenku = 0,93. Pro

povrch difuzní folie můžeme použít hodnotu pohltivosti slunečního záření sol = 0,92 (černý, nekovo-

vý povrch, Příloha 2).

Analýza problému:

Způsob šíření tepla z vnitřního prostředí až k vnějšímu povrchu difuzní fólie je stejný jako

v předchozích dvou příkladech. Vnější povrch difuzní fólie vymezuje vzduchovou mezeru. Z vnějšího

povrchu difuzní fólie se teplo šíří skrz vzduchovou mezeru na vnitřní povrch skleněné tabule všemi

třemi způsoby:

vedením

prouděním

sáláním.

Z vnitřního povrchu skleněné tabule (směrem do vzduchové mezery) se teplo šíří vedením k vnějšímu

povrchu tabule (směrem do venkovního prostředí). Na vnějším povrchu skleněné tabule (vnější po-

vrch konstrukce) dochází k přestupu tepla do venkovního prostředí:

prouděním (vítr)

dlouhovlnným sáláním proti povrchům okolních těles a proti zemskému povrchu

dlouhovlnným sáláním proti jasné obloze (jasnou oblohu si představujeme jako povrch s velmi

nízkou teplotou)

Tyto procesy jsou podrobněji popsány v předchozích dvou příkladech a při jejich výpočtu budeme

postupovat obdobně.

Tepelné chování stěny je jako v předchozím příkladu ovlivněno slunečním zářením, ovšem tentokrát

je situace složitější. Sluneční záření dopadá na vnější povrch skleněné tabule:

část dopadajícího slunečního záření se odráží zpět do venkovního prostředí

malá část je pohlcena skleněnou tabulí a šíří se dále ve formě tepla

největší část prochází skleněnou tabulí

Část slunečního záření, která prošla skleněnou tabulí, dopadá na vnější povrch difuzní fólie. Většina

tohoto sálavého toku je na povrchu fólie pohlcena a dá se předpokládat, že zvýší jeho teplotu. Uvolně-

né teplo se šíří z povrchu fólie dále (předpokládejme, že směrem do vzduchové mezery). Zbývající

část slunečního záření se od povrchu fólie odrazí (propustnost = 0) zpět směrem ke skleněné tabuli,

na jejímž vnitřním povrchu se opět malá část odrazí zpět, malá část pohltí a většina projde skrz tabuli

do venkovního prostředí. Hustota sálavého toku odraženého od difuzní fólie bude velmi malá a její

vliv na tepelné chování stěny zanedbáme.

Vraťme se ještě k šíření tepla skrz skleněnou tabuli a difuzní fólii. Skleněná tabule je tenká a má vy-

sokou tepelnou vodivost. To znamená, že rozdíl teploty na vnitřním a vnějším povrchu tabule bude

zanedbatelný. Skleněnou tabuli budeme proto uvažovat jako nekonečně tenkou vrstvu s jedinou teplo-

tou. Vlastnosti, které ovlivňují šíření tepla sáláním, zůstanou beze změn (emisivita, propustnost a

pohltivost slunečního záření). Podobně budeme uvažovat i v případě difuzní fólie. Její vliv na šíření

tepla vedením zanedbáme, to znamená, že s ní ve výpočtu nebudeme vůbec uvažovat a pohltivost

slunečního záření vnějšího povrchu fólie budeme chápat jako vlastnost povrchu tepelné izolace.

Samostatným problémem je výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním mezi po-

vrchy vzduchové mezery (kap. 1.1.7,). Klíčová je správná volba součinitele přestupu tepla prouděním,

a sáláním. Jejich hodnota ve výpočtu ovlivní mimo jiné ztráty tepla ze slunečního záření pohlceného

na povrchu difuzní fólie. Chyba v hodnotách těchto veličin proto může mít relativně významný vliv na

výsledné rozložení teploty v konstrukci. Součinitel přestupu tepla prouděním závisí na tloušťce meze-

ry a na teplotě povrchů, které dopředu neznáme. Přesný výpočet je příliš složitý, použití obvyklé hod-

noty 2,5 W(m2·K) pro součinitel přestupu tepla prouděním na vnitřním povrchu svislých konstrukcí

také není příliš vhodné řešení (platí pro relativně malý rozdíl teploty povrchu a teploty vzduchu), pro-

to použijeme zjednodušený vztah z kap. 1.1.2. Pro výpočet potřebujeme znát teplotu povrchů mezery

a teplotu vzduchu v mezeře – tyto neznámé teploty odhadneme takto:

vnitřní povrch mezery (povrch difuzní fólie): teplota o 15 °C vyšší než teplota vzduchu (odhad na

základě výsledků předchozího příkladu – venkovní povrch stěny vystavený větru se vlivem slu-

nečního záření ohřál o 10°C nad teplotu venkovního vzduchu, povrch chráněný proti větru vzdu-

chovou mezerou a skleněnou tabulí by se měl ohřát o něco více)

vnější povrch mezery (vnitřní povrch skleněné tabule): teplota stejná, jako teplota venkovního

vzduchu

teplota vzduchu v mezeře: průměr teplot na vnitřním a vnějším povrchu mezery

Takto odhadnuté teploty použijeme i pro výpočet součinitele přestupu tepla sáláním mezi povrchy

mezery.

Schéma řešení:

Schéma řešení je uvedeno až za oddíly Předpoklady řešení a Postup řešení


ustálený stav


vliv tepelných mostů (kotvení nosné konstrukce skleněné stěny k železobetonové stěně)

zanedbáme vliv nosné konstrukce (rámu), do které by ve skutečnosti byla zasazena skleněná tabu-

le (rám nepropouští sluneční záření a má jiné tepelné vlastnosti než tabule skla)

difuzní fólii jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu a pohltivost

slunečního záření) přiřadíme povrchu tepelné izolace – rozhraní vrstev 2,3

skleněnou tabuli jako materiálovou vrstvu zanedbáme, její sálavé vlastnosti (emisivitu, pohltivost

a propustnost slunečního záření) přiřadíme fiktivnímu vnějšímu povrchu vzduchové mezery, kte-

rý bude současně vnějším povrchem konstrukce

v neprovětrávané vzduchové mezeře budeme uvažovat šíření tepla prouděním, sáláním a vedením

tepelnou vodivost nehybného vzduchu budeme uvažovat hodnotou 3 = 0,025 W/m·K

součinitel přestupu tepla prouděním mezi povrchy mezery stanovíme orientačně z odhadnuté

teploty povrchu a teploty vzduchu v mezeře

teploty povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla

sáláním budeme uvažovat takto: 2,3 = e +15 = 10 °C, se = e = -5 °C

teplotu vzduchu v mezeře odhadneme jako průměr povrchových teplot: a,3 = (2,3 + se)/2 = (15 –

5)/2 = 5 °C

emisivity povrchů vymezujících vzduchovou mezeru pro účely výpočtu součinitele přestupu tepla

sáláním budeme uvažovat hodnotami 2,3 = 0,93 (…) a se = 0,92 (skleněná tabule)

pro vnější povrch konstrukce reprezentující skleněnou tabuli požijeme hodnoty sálavých vlastnos-

tí pro čiré sklo (se = 0,92, sol,se = 0,05, sol,se = 0,8)

zanedbáme vliv zašpinění povrchu skleněné tabule na jeho sálavé vlastnosti

pohltivost slunečního záření pro rozhraní vrstev 2,3 (reprezentuje difuzní fólii) budeme uvažovat

hodnotou sol,2,3 = 0,92 (černý nekovový povrch)

vliv části slunečního záření odraženého na rozhraní vrstev 2,3 zpět do vzduchové mezery zane-

dbáme



0,13 m2·K/W


pu tepla Rse = 0,04 m2·K/W, neboť v ní není zohledněno sálání proti jasné obloze ani vliv sluneč-

ního záření


které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním, přestup tepla sáláním a vliv slunečního

záření

součinitel přestupu tepla prouděním hce odhadneme z rychlosti větru stejně jako v předchozích

příkladech

součinitel přestupu tepla sáláním hre s vlivem sálání proti jasné obloze vypočteme stejně jako


zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu oblohy. Teplotu vnějšího povrchu stěny budeme opět

zjednodušeně uvažovat stejnou jako teplotu vnějšího vzduchu. Celý postup a jeho výhody jsou

podrobněji vysvětleny v příkladu 1.3.2.

Postup řešení

sestavíme bilanci tepelných toků pro vnitřní povrch stěny, pro jednotlivá rozhraní mezi vrstvami

konstrukce a pro vnější povrch (bilanční rovnice pro vnitřní povrch a rozhraní vrstev 1 a 2 může-

me převzít z předchozích příkladů)




rozhraní vrstev

řešením soustavy rovnic získáme hodnoty si, se, 1,2 a 2,3


vypočítáme hustotu tepelného toku na vnitřním povrchu konstrukce, určíme jeho směr a určíme,

zda se jedná o tepelnou ztrátu nebo zisk pro vnitřní prostředí

vykreslíme průběh teploty

Schéma problému

Obr. 1-21: Skladba stěny a její zjednodušení

žele

zob

eto

n

tep

eln

á iz

ola

ce

dif

uzn

í fó

lie

vzd

uch

ov

á m

ezer

a

skle

něn

á ta

bule

3

3

2

2

1

1

si 1,2 2,3 se 2,3

sol,2,3

se

sol,se

sol,se

žele

zob

eto

n

tep

eln

á iz

ola

ce

vzd

uch

ov

á m

ezer

a

Obr. 1-22:Tepelné chování neprovětrávané vzduchové mezery a jeho zjednodušení (model)

Obr. 1-23: Celkové schéma problému

Isol

sol·Isol

so

l· s

ol·I

sol

so

l·Iso

l

sálání

vedení

proudění

vedení

proudění

sálání

vedení

q2 qc,3

qcd,3

qr,3

qsol,2,3

qce

qre

qsol,se

se

R2

2,3

qsol,se

e

hce

hre

sky

qsol,2,3

hc,3

hr,3

hcd,3

se

R2

2,3

qsol,se

e

hce

hre

sky

qsol,2,3

h3

3 2 1

qsi q1 q2 q3

i


r = sky

okolní povrchy

qre si 1,2 2,3 se

e qce

qre

qre

jasná

obloha

rsky qsol,se

sluneční

záření

qsol,2,3

Rsi R1 R2 h3

si 1,2 2,3 se i e

hce

hre

sky

qsol,se qsol,2,3


vnitřní povrch: 1siq q → 1 0siq q

rozhraní vrstev 1, 2: 1 2q q → 1 2 0q q

rozhraní vrstev 2, 3: 2 ,2,3 3solq q q →

2 3 ,2,3 0solq q q

vnější povrch: 3 ,sol se ce req q q q →

3 , 0sol se ce req q q q


Vztahy pro výpočet hustot tepelných toků qsi, q1, q2, qce a qre a jejich hodnoty jsou shodné jako

v předchozím příkladu, proto je vynecháme. Ostatní hustoty tepelného toku se vypočítá takto:

3 3, 3, 3, 3, 2,3 3, 2,3 3, 2,3cd c r cd se c se c seq q q q h h h

3 3, 3, 3, 2,3 3 2,3cd c r se seq h h h h

, ,sol se sol se solq I

,2,3 ,2,3 ,sol sol sol se solq I

Soustava rovnic:

Neznámé jsou si, 1,2, 2,3 a se, hodnoty ostatních veličin jsou zadané nebo se dopočítají

1 1,2( ) ( ) 0si i si sih K

1 1,2 2 1,2 2,3( ) ( ) 0siK K

2 1,2 2,3 3 2,3 ,2,3( ) ( ) 0se solK h q

3 2,3 ,( ) ( ) ( ) 0se sol se ce se e re se skyh q h h

Po roznásobení:


1 1 1,2 2 1,2 2 2,3 0siK K K K

2 1,2 2 2,3 3 2,3 3 ,2,3 0se solK K h h q

3 2,3 3 , 0se sol se ce se ce e re se re skyh h q h h h h

Po úpravách:


1 1 2 1,2 2 2,3( ) 0siK K K K

2 1,2 2 3 2,3 3 ,2,3( ) se solK K h h q

3 2,3 3 ,( )ce re se sol se ce e re skyh h h h q h h

Vyčíslení:

Tepelné odpory R a tepelné vodivosti K vrstev konstrukce byly vypočítány v předchozím příkladu a

pro tento příklad zůstávají stejné. Stejné zůstávají i hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnitřním

povrchu hsi a na vnějším povrchu hce a hre.


1,215,692 8 153,846si

1,2 2,38 8,333 0,333 0si

1,2 2,30,333 7,897 7,564 294,4se

2,37,564 31,379 120,066se


Výsledky:


si = 21 °C

1,2 = 22 °C

2,3 = 44,9 °C

se = 7 °C





21( ) ( ) 7,692 (20 21) 7,653 W/msi i si si i si

si

q hR

2

1 1.2 1 1,2

1

1( ) ( ) 8 (21 22) 7,653 W/msi siq K

R

2

2 1,2 2,3 2 1,2 2,3

2

1( ) ( ) 0,333 (22 44,9) 7,653 W/mq K

R

2

3 3 2,3( ) 7,564 (44,9 7) 286,747 W/mseq h

2

, , 0,05 400 20 W/msol se sol se solq I

2

,2,3 ,2,3 , 0,92 0,8 400 294,4 W/msol sol sol se solq I

2( ) 20 (7 5) 239,975 W/mce ce se eq h

2( ) 3,816 (7 10,5) 66,772 W/mre re se skyq h

Kontrola – bilance tepelných toků

vnitřní povrch: 1 7,653 7,653 0siq q

rozhraní vrstev 1, 2: 1 2 7,653 7,653 0q q

rozhraní vrstev 2, 3: 2 3 ,2,3 7,653 286,747 294,4 0solq q q

vnější povrch: 3 , 286,747 20 239,975 66,772 0sol se ce req q q q

Součty tepelných toků na površích konstrukce i na rozhraních mezi vrstvami vycházejí nulové, což

odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Teploty tedy byly vypočítány správně.

Průběh teploty je vykreslen do grafu:


Průběh teploty ve vzduchové mezeře ve skutečnosti nebude lineární, proto je v grafu pouze naznačen

čárkovanou čarou. Použitý způsob výpočtu neumožňuje průběh teploty ve vzduchové mezeře upřesnit.

Tepelná ztráta stěny:

Za tepelnou ztrátu stěny můžeme považovat hustotu tepelného toku z vnitřního prostředí na vnitřní

povrch stěny qsi. Hustota tepelného toku má záporné znaménko, tepelný tok tedy směřuje z povrchu

stěny do vnitřního prostředí. Tepelná ztráta stěny je nulová, tepelný zisk obvodové stěny je 7,7 W/m2.

Poznámka:

Kontrola prokázala, že výsledky výpočtu jsou matematicky správné. Vypočítané teploty 2,3 a se se

však významně liší od počátečních odhadů. To znamená, že hodnoty součinitelů přestupu tepla prou-

děním a sáláním ve vzduchové mezeře ani součinitel přestupu tepla sáláním z vnějšího povrchu nejsou

vypočítány správně. Výsledky výpočtu neznámých teplot můžeme zpřesnit tak, že celý výpočet znovu

zopakujeme ale místo odhadu teplot 2,3 a se použijeme výsledné hodnoty z předchozího výpočtu.

Když budeme tento postup iteračně opakovat, bude se rozdíl mezi „odhadnutými a výslednými hodno-

tami teplot 2,3 a se postupně zmenšovat, až dosáhneme dobré shody. Výsledky několika prvních ite-

račních cyklů jsou uvedeny v Tab. 1-5 . Průběhy teplot z původního výpočtu a čtvrtého iteračního

cyklu jsou porovnány na Obr. 1-25.

Obr. 1-25: Vliv odhadu 2,3 a se na výsledek výpočtu

Tab. 1-5: Vliv odhadu 2,3 a se na výsledek výpočtu

původní výpočet 1. iterace 2. iterace 4. iterace

počáteč-

ní odhad

výsledek

výpočtu

počáteč-

ní odhad

výsledek

výpočtu

počáteč-

ní odhad

výsledek

výpočtu

počáteč-

ní odhad

výsledek

výpočtu

2,3 [°C] 10 44,9 44,9 37,1 37,1 38,5 38,3 38,3

se [°C] -5 7,0 7,0 6,9 6,9 6,9 6,9 6,9

hc,3

[W/m2.K]

3,310 --- 4,173 --- 3,944 --- 3,98 ---

hr,3

[W/m2.K]

4,087 --- 5,222 --- 5,019 --- 5,047 ---

hr,e

[W/m2.K]

3,816 --- 4,08 --- 4,078 --- 4,078 ---

qsi [W/m2] --- -7,7 --- -5,267 --- -5,7 --- -5,6

2 Tepelná bilance prostoru v ustáleném stavu


2.1.1 Měrný tepelný tok prostupem tepla

Měrný tepelný tok prostupem tepla budovy nebo její části se stanoví obecně ze vztahu

ugdT HHHH [W/K] (2.1)

kde Hd je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi vnitřním a venkovním

vzduchem ve W/K

Hg měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi v kontaktu se zeminou ve

W/K

Hu měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi v kontaktu s nevytápěnými

prostory ve W/K.

Hodnota HT vyjadřuje vlastně tepelnou ztrátu prostupem tepla přes konstrukce při jednotkovém tep-

lotním rozdílu mezi vnitřním a venkovním vzduchem.

Pro ruční výpočty je vhodnější použít alternativní vyjádření vztahu (2.1) ve tvaru

jemjjjT AUbUAH [W/K] (2.2)

nebo případně (při detailnější znalosti vlastností tepelných vazeb mezi konstrukcemi) ve tvaru

jjjjjjjjT bblbUAH [W/K] (2.3)

kde Aj je plocha j-té obalové konstrukce hodnoceného prostoru v m2

Uj součinitel prostupu tepla j-té konstrukce (stanovený včetně vlivu tepelných

mostů) ve W/(m2.K)

bj činitel teplotní redukce pro j-tou konstrukci

ΔUem přirážka na vliv tepelných vazeb ve W/(m2.K)

lj délka lineární tepelné vazby v m

ψj lineární činitel prostupu tepla lineární tepelné vazby ve W/(m.K)

χj bodový činitel prostupu tepla bodové tepelné vazby ve W/K.

Plochy obalových konstrukcí se standardně stanovují s pomocí vnějších rozměrů (resp. skladebných

rozměrů u výplní otvorů). Přirážka na vliv tepelných vazeb ΔUem se obvykle odhaduje v rozmezí 0,02

až 0,1 W/(m2.K) podle předpokládané kvality řešení tepelných vazeb. Bodové činitele prostupu tepla χ

se obvykle zanedbávají.

Činitel teplotní redukce se pro konstrukce v kontaktu s venkovním vzduchem určí ze vztahu

eim

eib

[-] (2.4)

kde θi je vnitřní teplota působící na danou konstrukci ve ºC

θe venkovní teplota ve ºC

θim převažující vnitřní teplota (vnitřní teplota většiny prostorů v hodnocené budo-

vě či její části) ve ºC.

Obvyklou hodnotou činitele teplotní redukce pro konstrukce v kontaktu s venkovním vzduchem je

b=1, protože teploty θi a θim jsou většinou shodné (typicky 20 ºC).

Činitel teplotní redukce se pro konstrukce v kontaktu se zeminou nebo s nevytápěným prostorem určí

ze vztahu

eim

xib

[-] (2.5)

kde θx je odhadnutá teplota v zemině nebo v nevytápěném prostoru ve ºC.

Činitel teplotní redukce pro konstrukce v kontaktu se zeminou nebo s nevytápěným prostorem je ob-

vykle nižší než 1, protože teplota θx je většinou vyšší než teplota θe.

2.1.2 Měrný tepelný tok větráním

Měrný tepelný tok větráním budovy nebo její části se stanoví ze vztahu

vv VcH [W/K] (2.6)

kde ρ je hustota vzduchu v kg/m3 (běžně se uvažuje 1,3 kg/m

3)

c měrná tepelná kapacita vzduchu v J/(kg.K) (běžně se uvažuje 1000 J/(kg.K))

Vv objemový tok větracího vzduchu v m3/s.

Objemový tok větracího vzduchu může být buď přímo známý a nebo ho lze pro přirozeně větrané

prostory určit jako

3600

av

VnV

[m

3/s] (2.7)

kde n je intenzita větrání prostoru v 1/h

Va objem vzduchu v prostoru v m3 (obvykle se uvažuje odhadem jako 0,8 až 0,9

násobek objemu prostoru stanoveného z vnějších rozměrů).

2.1.3 Průměrný součinitel prostupu tepla budovy

Průměrný součinitel prostupu tepla budovy nebo její části se určí ze vztahu

A

HU T

em [W/(m2.K)] (2.8)

kde HT je měrný tepelný tok prostupem tepla budovy nebo její části ve W/K

A celková plocha všech obalových konstrukcí hodnocené budovy nebo její části

v m2.

Při výpočtu průměrného součinitele prostupu tepla se zohledňují pouze tzv. teplosměnné konstrukce,

tj. konstrukce, přes které dochází k výměně tepla mezi budovou a okolím (resp. přesněji: přes které

uniká teplo z budovy do okolí).

2.1.4 Tepelná bilance prostoru

V ustáleném stavu platí v jakémkoli prostoru tepelná rovnováha mezi zisky a ztrátami:

gl [W] (2.9)

kde Φl je celková tepelná ztráta prostoru ve W

Φg celkový tepelný zisk prostoru ve W.

Celkovou tepelnou ztrátu lze vyjádřit jako

eiVTl HH [W] (2.10)

kde HT je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi hodnoceným prosto-

rem a venkovním prostředím ve W/K

HV měrný tepelný tok větráním hodnoceného prostoru (do venkovního prostředí)

ve W/K

θi teplota v hodnoceném prostoru ve ºC

θe teplota v exteriéru ve ºC

Do měrného tepelného toku prostupem tepla HT ve vztahu (2.10) se zahrnou všechny konstrukce mezi

vnitřním a venkovním prostředím (včetně konstrukcí v kontaktu se zeminou a nevytápěnými prosto-

ry). Měrný tepelný tok větráním HT ve vztahu (2.10) vyjadřuje analogicky vliv výměny vzduchu vě-

tráním mezi vnitřním a venkovním prostředím.

Mezi tepelné zisky patří obecně vnitřní zisky (spotřebiče, osoby, zdroje tepla) a vnější zisky (sluneční

záření a zisky z okolních teplejších prostorů):

wshsig [W] (2.11)

kde Φi je vnitřní zisk od osob a zařízení ve W

Φhs vnitřní zisk od zdroje tepla (kotel) ve W

Φs vnější zisk od slunečního záření ve W

Φw vnější zisk z okolních teplejších prostorů ve W.

Vnitřní zisky od osob a zařízení mohou být buď zadány nebo je lze stanovit ze vztahu

podlipodlnii An ,, [W] (2.12)

kde n je počet osob či spotřebičů

Φi,n jednotkový tepelný zisk vztažený na 1 osobu či na 1 spotřebič ve W

Apodl podlahová plocha hodnoceného prostoru stanovená z vnitřních rozměrů v m2

Φi,podl jednotkový tepelný zisk vztažený na 1 m2 podlahové plochy ve W/m

2.

Zisky od slunečního záření lze určit jako

jcjsjjjfjs FFIgFA ,,,1 [W] (2.13)

kde Aj je skladebná plocha j-tého okna v m2

Ff,j korekční činitel rámu j-tého okna (tj. podíl rámu z celkové plochy Aj)

gj propustnost slunečního záření j-tého okna

Ij intenzita slunečního záření dopadajícího na j-té okno ve W/m2

Fs,j korekční činitel stínění okna (vliv pevných stínících prostředků)

Fc,j korekční činitel clonění okna (vliv pohyblivých stínících prostředků).

Korekční činitele stínění a clonění jsou rovny 1, pokud není okno stíněno a cloněno. V opačném pří-

padě se mohou pohybovat v rozmezí od 0 do 1 (např. pro venkovní žaluzie se korekční činitel clonění

obvykle uvažuje 0,10 až 0,20).

Zisky z okolních teplejších prostorů lze stanovit ze vztahu

iwVwTww HH [W] (2.14)

kde HTw je měrný tepelný tok prostupem tepla konstrukcemi mezi hodnoceným prosto-

rem a sousedícím teplejším prostorem ve W/K

HVw měrný tepelný tok větráním mezi hodnoceným prostorem a sousedícím teplej-

ším prostorem ve W/K

w teplota v sousedícím teplejším prostoru ve C

i teplota v hodnoceném prostoru ve C.

Vztah (2.14) lze použít i pro případy, kdy má sousedící prostor nižší teplotu než prostor hodnocený.

Výsledkem výpočtu bude jen tepelná ztráta místo zisku (tj. vyjde záporná hodnota).

Po dosazení všech vztahů do výchozí rovnice tepelné bilance prostoru dostáváme rovnici

wshsieiVT HH [W] (2.15)

ze které lze pak vyjádřit např. hledanou vnitřní teplotu nebo potřebný výkon zdroje tepla.

2.1.5 Potřeba tepla na vytápění bez vlivu tepelných zisků

Je-li znám výkon zdroje tepla pro určité okrajové podmínky (tj. pro venkovní a vnitřní teplotu), lze

určit teoretickou potřebu tepla na vytápění (bez vlivu účinnosti otopného systému a bez vlivu tepel-

ných zisků) za zvolený časový úsek ze vztahu

tQei

memi

hshs

,,

[Wh] (2.16)

kde Φhs je výkon zdroje tepla ve W

θi,m průměrná teplota v interiéru během časového úseku, pro který se stanovuje

potřeba tepla na vytápění, ve ºC

θe,m průměrná teplota v exteriéru během časového úseku, pro který se stanovuje

potřeba tepla na vytápění, ve ºC

θi teplota v interiéru, pro kterou byl stanoven výkon zdroje tepla, ve ºC

θe teplota v exteriéru, pro kterou byl stanoven výkon zdroje tepla, ve ºC

t délka časového úseku, pro který se stanovuje potřeba tepla na vytápění, v h.

2.2 Modelové příklady

Zadání

Uvažujte samostatně stojící serverovnu o půdorysných rozměrech 10 x 5 m a výšce 4 m (vše vnější

rozměry). Tloušťka všech konstrukcí je 0,5 m. Průměrný součinitel prostupu tepla budovy je Uem=0,50

W/(m2.K). Zisk od serverů je 5 kW.

Jaká musí být intenzita větrání venkovním vzduchem, aby se v interiéru udržela teplota 20 ºC při ven-

kovní teplotě 10 ºC?

Při výpočtu uvažujte ustálený stav.

Řešení

Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru ieiVT HH , přičemž prvotní neznámou

hodnotou je měrný tepelný tok větráním.

Měrný tepelný tok prostupem tepla určíme z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu

tepla, tj. 50,0220emT UAH 110,0 W/K. Měrný tepelný tok větráním můžeme částečně vy-

jádřit jako vvv VVcH 1300 W/K.

Po dosazení do bilanční rovnice získáváme rovnici o jedné neznámé ve tvaru

5000102013000,110 vV , ze které určíme objemový tok větracího vzduchu jako Vv=0,3

m3/s = 1080 m

3/h.

Potřebná intenzita větrání se vypočte ze vztahu 349

1080

a

v

V

Vn (ve jmenovateli je součin vnitřních

rozměrů budovy) a činí n = 10/h.

Zadání

Teoretická potřeba tepla na vytápění rodinného domu za leden činí - bez vlivu tepelných zisků - cel-

kem 1150 kWh. Jaký je výkon kotle při venkovní teplotě -17 ºC?

Při výpočtu uvažujte vnitřní teplotu 20 ºC a průměrnou venkovní teplotu během ledna -2,8 ºC.

Řešení

Vyjdeme ze vztahu pro potřebu tepla na vytápění bez vlivu zisků a účinností tQei

memi

hshs

,,

,

dosadíme a získáme rovnici 24311720

8,2201150000

hs . Z ní pak vyjádříme hledaný výkon zdro-

je tepla jako Φhs = 2508 W.

Zadání

Terárium o půdorysných rozměrech 1,0 x 0,5 m a výšce 0,6 m (vše vnější rozměry) má stěny a dno ze

skla tl. 5 mm (tepelná vodivost je 1,0 W/(m.K)) a víko z plastu tl. 3 mm (tepelná vodivost

0,15 W/(m.K)). Lineární činitel prostupu tepla je pro styk skel = 0,1 W/(m.K) a pro styk sklo-víko

= 0,2 W/(m.K). Intenzitu větrání uvažujte 1/h.

Jaká bude potřeba tepla na vytápění za týden, je-li v teráriu teplota 28 C a v jeho okolí teplota 15 C?

Při výpočtu uvažujte ustálený stav a předpokládejte, že je terárium podloženo tak, aby bylo i jeho dno

v kontaktu s okolním vzduchem. Vliv zařízení terária zanedbejte.

Řešení

Prvním krokem výpočtu potřeby tepla na vytápění musí být určení výkonu topného zdroje. Pro tento

účel vyjdeme z tepelné bilance ve tvaru hseiVT HH .

Výpočet začneme stanovením tepelného odporu a součinitele prostupu tepla jednotlivých stran terária.

Pro víko je tepelný odpor R = 0,003/0,15 = 0,02 m2K/W a součinitel prostupu tepla U =

1/(0,10+0,02+0,10) = 4,55 W/(m2.K). Pro stěny je tepelný odpor R = 0,005/1,0 = 0,005 m

2K/W a sou-

činitel prostupu tepla U = 1/(0,13+0,005+0,13) = 3,77 W/(m2.K) a pro dno je tepelný odpor R = 0,005

m2K/W a součinitel prostupu tepla U = 1/(0,17+0,005+0,17) = 2,90 W/(m

2.K).

Dále určíme měrný tepelný tok prostupem tepla jako jjjjjjT blbUAH , což po

dosazení dává 1,046,077,36,05,06,00,1255,45,00,190,25,00,1TH

2,025,02,020,11,025,01,020,1 11,65 W/K. Měrný tepelný tok větráním vychá-

zí

3600

6,05,00,10,110003,1

3600

av

VncH 0,11 W/K.

Po dosazení do tepelné bilance získáváme rovnici pro neznámý výkon topného zdroje

hs 152811,065,11 , z níž vychází hs = 153 W.

Hledanou potřebu tepla na vytápění za týden pak určíme ze vztahu

247

1528

1528153

,,tQ

ei

memi

hshs

25,7 kWh.

Zadání

Uvažujte jednoduchou jednopodlažní budovu podle Obr. 2-1. V obvodových stěnách budovy jsou

umístěna francouzská okna o skladebných rozměrech 1 x 2 m. Vnitřní dělící konstrukce budova nemá.

Střecha má součinitel prostupu tepla U = 0,10 W/(m2.K), podlaha U = 0,30 W/(m

2.K) a stěna U = 0,15

W/(m2.K).

Jaký musí být součinitel prostupu tepla oken, aby byl průměrný součinitel prostupu tepla budovy nej-

výše Uem = 0,20 W/(m2.K)?

Obr. 2-1: Schéma jednoduché jednopodlažní budovy

Při výpočtu uvažujte venkovní teplotu -15 ºC, přirážku na vliv tepelných vazeb Uem = 0,03 W/(m2.K)

a teplotu v zemině pod podlahou +5 ºC.

Řešení

Průměrný součinitel prostupu tepla je definován jako AHU Tem , přičemž

jemjjjT AUbUAH . Nejprve je tedy potřebné určit plochy jednotlivých konstrukcí a

poté dosadit do nerovnice 20,0emU a stanovit nejvyšší přípustný součinitel prostupu tepla oken.

Plochy a měrné toky prostupem jednotlivými konstrukcemi lze zapsat do tabulky:

5 m

10 m

4 m

Sever

spodní líc tepelné

izolace v podlaze

horní líc tepelné

izolace ve střeše

Konstrukce Plocha Aj Součinitel prostupu

tepla Uj

Činitel teplotní

redukce bj

Součin

Aj·Uj·bj

Střecha 50 0,10 1 5,00

Podlaha 50 0,30

1520

5200,43 6,45

Okna 12 Uw 1 12Uw

Stěny 108 0,15 1 16,2

Součet 220 --- --- 27,65+12Uw

Z výsledné nerovnice 20,0220

03,02201265,27

wU pak již snadno získáme hledaný nejvyšší

možný součinitel prostupu tepla oken Uw ≤ 0,81 W/(m2.K).

Zadání

Uvažujte jednopodlažní rodinný dům podle Obr. 2-1. Dům má průměrný součinitel prostupu tepla

Uem=0,21 W/(m2.K) a je větrán s intenzitou n = 0,5/h.

Okna, která mají propustnost slunečního záření g = 0,5, nejsou nijak stíněna. Plocha jejich rámu činí

20 % z celkové plochy okna.

Vypočtěte, jaká bude teplota v interiéru domu, bude-li na jižně orientovaná okna dopadat intenzita

slunečního záření I = 500 W/m2.

Při výpočtu uvažujte ustálený stav s venkovní teplotou -15 ºC a předpokládejte, že solární zisky pro-

cházejí do interiéru jen přes okna orientovaná na jih a lze je v interiéru plně využít. Objem vzduchu v

budově uvažujte jako 90 % z objemu budovy stanoveného z vnějších rozměrů.

Řešení

Vyjdeme z bilanční rovnice prostoru, která bude pro danou situaci formulována jako

seiVT HH . Dosadit musíme jednotlivé měrné tepelné toky, teplotu v exteriéru a zisk

od slunečního záření. Neznámou je teplota v interiéru.

Měrný tepelný tok prostupem tepla se určí z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu

tepla, tj. 21,0220emT UAH 46,2 W/K. Měrný tepelný tok větráním se stanoví ze vztahu

3600

45109,05,010003,1

3600

av

VncH 32,5 W/K.

Zbývající zisk od slunečního záření vypočteme jako

115005,02,01221 ,,, jcjsjjjfjs FFIgFA 800 W.


800155,322,46 i , ze které určíme neznámou teplotu v interiéru jako θi = -4,8 ºC.

Zadání

Uvažujte jednopodlažní rodinný dům podle Obr. 2-1. Dům má průměrný součinitel prostupu tepla

Uem=0,30 W/(m2.K) a je větrán s intenzitou n = 0,5/h.

Vypočtěte, jaký musí být výkon zdroje tepla, aby byla vnitřní teplota 20 ºC za předpokladu, že v inte-

riéru jsou trvalé vnitřní zisky 400 W.

Při výpočtu uvažujte ustálený stav s venkovní teplotou -15 ºC. Objem vzduchu v budově uvažujte jako

90 % z objemu budovy stanoveného z vnějších rozměrů. Vliv slunečního záření zanedbejte.

Řešení

Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru hsieiVT HH , přičemž neznámou

hodnotou je výkon zdroje tepla.

Měrný tepelný tok prostupem tepla se určí z definičního vztahu pro průměrný součinitel prostupu

tepla, tj. 30,0220emT UAH 66,0 W/K. Měrný tepelný tok větráním se stanoví ze vztahu

3600

45109,05,010003,1

3600

av

VncH 32,5 W/K.


hs 40015205,320,66 , ze které určíme potřebný výkon zdroje tepla jako (po zaokrouh-

lení) Φhs = 3050 W.

Zadání

Uvažujte samostatně stojící budovu o půdorysných rozměrech 10 x 5 m a výšce 4 m (vše vnější roz-

měry). Tloušťka všech konstrukcí je 0,5 m. Potřebný výkon zdroje tepla pro udržení vnitřní teploty

20 ºC při venkovní teplotě -10 ºC je 4 kW pøi zapoèítání tepelného zisku od poèítaèù ve výši 1000 W.

Jaký má budova prùmìrný souèinitel prostupu tepla Uem, je-li intenzita větrání 0,1/h?


Řešení

Vyjdeme z rovnice tepelné bilance ve tvaru hsieiVT HH , přičemž prvotní ne-

známou hodnotou bude měrný tepelný tok prostupem tepla.

Měrný tepelný tok větráním vyjádříme jako

3600

3491,010003,1

3600

av

VncH 3,9 W/K

(v čitateli zlomku je součin vnitřních rozměrů budovy).


4000100010209,3 TH , ze které určíme měrný tepelný tok prostupem tepla jako

HT = 162,77 W/K. Hledaný průměrný součinitel prostupu tepla se následně určí z definičního vztahu

220

77,162

A

HU T

em 0,74 W/(m2.K).

Zadání

Uvažujte nevytápěnou půdu podle Obr. 2-2. Pod půdou je vytápěný prostor s teplotou 20 C. Teplota

venkovního vzduchu je -10 C.

Součinitel prostupu tepla stropu pod půdou je U=0,5 W/(m2K), součinitel prostupu tepla střechy je

U=5 W/(m2.K) a štítových stěn U=1 W/(m

2K). Půda je větraná objemovým tokem větracího vzduchu

100 m3/h přes ventilační okénko do exteriéru. Výměna vzduchu do interiéru je nulová.

Určete výslednou teplotu na půdě v daných podmínkách.

Obr. 2-2: Schéma sedlové střechy

Při výpočtu uvažujte ustálený stav a vliv tepelných vazeb zanedbejte.

Řešení

Hledanou teplotu na půdě určíme z tepelné bilance weiVT HH .

Měrný tepelný tok prostupem tepla do exteriéru stanovíme z obecného vztahu

jemjjjT AUbUAH , který ovšem můžeme výrazně zjednodušit na tvar

jjT UAH , protože vliv tepelných vazeb lze podle zadání zanedbat a všechny činitele teplotní

redukce jsou rovny 1. Po dosazení konkrétních hodnot získáme

0,532620,12

342 22

TH 228,3 W/K. Měrný tepelný tok větráním do exteriéru při-

tom činí 3600

10010003,1vv VcH 36,1 W/K (zadaný objemový tok v m

3/h je třeba převést

na m3/s).

Tepelný zisk ze sousedícího vytápěného interiéru získáme ve vztahu iwVwTww HH ,

kde bUAHTw (zohledníme přitom jen konstrukce mezi půdou a sousedícím vytápěným

interiérem a b budeme uvažovat 1) a 0VwH (podle zadání). Po dosazení vychází

iiw 20122005,064 .

Po dosazení všech vypočtených hodnot do výchozí tepelné bilance získáváme rovnici o jedné nezná-

mé ve tvaru ii 2012101,363,228 , z níž už snadno zjistíme hledanou teplotu na

půdě jako i = -8,7 C.

Zadání

Uvažujte mrazírenskou buňku o vnějších rozměrech 5,0 x 5,0 x 3,0 m, v níž je trvale teplota -30 ºC.

Na všechny obalové konstrukce buňky působí z vnější strany teplota 20 ºC (buňka je umístěna v inte-

riéru). Součinitel prostupu tepla panelů, kterými je buňka oplášťována ze všech stran, je

U=0,2 W/(m2.K). Styk panelů má lineární činitel prostupu tepla = 0,05 W/(m.K).

Jaká bude potřeba energie na chlazení za rok, nebude-li buňka větrána a nebude-li do ní zaváženo

nové zboží?

6 m

4 m

3 m


Řešení

Nejprve je třeba určit výkon zdroje chladu a následně vypočítat potřebu energie na chlazení. Vzhle-

dem k tomu, že buňka není větrána, bude měrný tepelný tok větráním nulový a výchozí tepelná bilan-

ce bude mít tvar hseiTH , přičemž neznámou hodnotou bude výkon zdroje chlazení hs.

Měrný tepelný tok prostupem tepla určíme jako jjjjjjT blbUAH , což po dosazení

konkrétních hodnot dává 0,105,0432450,12,0435255TH 24,6 W/K. Po-

třebný výkon zdroje chlazení je 506,24hs 1230 W.

Hledanou potřebu energie na chlazení za rok lze pak již snadno určit ze vztahu

24365

2030

20301230

,,tQ

ei

memi

hshs

10,77 MWh.

Zadání

Jakou tloušťku tepelné izolace z EPS (tepelná vodivost 0,04 W/(m.K)) je třeba umístit do stěn boudy o

půdorysných rozměrech 0,7 x 1,0 m a výšce 0,7 m, aby vnitřní teplota v boudě neklesla pod 5 C při

venkovní teplotě -10 C, produkuje-li pes 50 W tepla?

Při výpočtu uvažujte ustálený stav, intenzitu větrání 0,22 m3/h a součinitel prostupu tepla střechy i

podlahy 1,5 W/(m2.K). Vliv tepelných vazeb a dřevěného obkladu stěn zanedbejte.

Řešení

Pro výpočet použijeme tepelnou bilanci psí boudy ieiVT HH , z níž vyjádříme nejpr-

ve nejvyšší přípustný měrný tepelný tok prostupem tepla HT. Poté určíme potřebnou tloušťku tepelné

izolace ve stěnách.

Měrný tepelný tok větráním stanovíme jako 3600

22,010003,1vv VcH 0,08 W/K a dosadí-

me do tepelné bilance 5010508,0 TH . Nejvyšší možný měrný tepelný tok prostupem tepla

bude tedy HT = 3,25 W/K.

Pro daný případ můžeme vyjádřit měrný tok prostupem tepla jednoduše jako jjT UAH (vliv

tepelných vazeb lze zanedbat a činitele teplotní redukce jsou rovny 1). Postačí tedy dosadit plochy a

známé součinitele prostupu tepla, získat rovnici o jedné neznámé

U 20,17,027,07,05,17,00,1225,3 a z ní stanovit hledaný nejvyšší přípustný souči-

nitel prostupu tepla stěny jako U 0,483 W/(m2.K).

Z definičního vztahu pro součinitel prostupu tepla pak už snadno získáme potřebnou minimální

tloušťku tepelné izolace coby

sesi RR

Ud

1 . Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme

04,013,0

483,0

104,0d , takže hledaná minimální tloušťka činí 76 mm.

3 Vlhkostní bilance vzduchu v ustáleném stavu


3.1.1 Vlastnosti vzduchu nasyceného vodní párou

Koncentrace vodní páry ve vzduchu plně nasyceném vodní párou se stanoví ze vztahu

15,273462

100

n

sat

ba

v [kg/m3] (3.1)

kde je teplota vzduchu ve C

a = 288,68 Pa, b = 1,098 a n = 8,02 pro teplotu θ od 0 do 30 C

a = 4,689 Pa, b = 1,486 a n = 12,3 pro teplotu θ od -20 do 0 C.

Vztah (3.1) vyjadřuje maximální množství vodní páry v kg, které může při určité teplotě obsahovat

1 m3 vzduchu.

Částečný tlak nasycené vodní páry ve vzduchu se pro stejnou situaci stanoví jako

3,237

269,17

5,610 epsat pro ≥ 0 C, [Pa] (3.2)

5,265

875,21

5,610 epsat pro < 0 C, [Pa] (3.3)

kde je teplota vzduchu ve C.

3.1.2 Vlastnosti běžně vlhkého vzduchu

Relativní vlhkost vzduchu se určí ze vztahu

satsat v

v

p

p100100 [%] (3.4)

kde p je částečný tlak vodní páry ve vzduchu v Pa

psat částečný tlak nasycené vodní páry ve vzduchu v Pa

v koncentrace vodní páry ve vzduchu v kg/m3

vsat koncentrace vodní páry ve vzduchu plně nasyceném vodní párou v kg/m3.

Vztah mezi koncentrací vodní páry a částečným tlakem vodní páry ve vzduchu vyjadřuje stavová rov-

nice

15,273462 vTRvp [Pa] (3.5)

kde R je plynová konstanta pro vodní páru (462 J/(kgK))

T absolutní teplota vzduchu v K.

Částečný tlak vodní páry ve vzduchu lze samozřejmě vyjádřit i rovnicí

100

satpp

. [Pa] (3.6)

3.1.3 Vlhkostní bilance vzduchu v uzavřeném prostoru

Koncentraci vodní páry ve vzduchu v uzavřeném prostoru, který je určitým způsobem větraný a který

je zatížen určitými zdroji vlhkosti, lze stanovit obecně jako

iei vvv [kg/m3] (3.7)

kde ve je koncentrace vodní páry ve vzduchu, kterým je prostor větrán (obvykle jde te-

dy o koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu) v kg/m3

vi přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti v kg/m3.

Potřebný přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů lze určit ze vztahu

a

iVn

Gv

[kg/m

3] (3.8)

kde G je produkce vodní páry v hodnoceném prostoru v kg/h

n intenzita větrání hodnoceného prostoru (vzduchem o koncentraci vodní páry

ve) v 1/h

Va objem vzduchu v hodnoceném prostoru v m3.

3.1.4 Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry

Teplotu rosného bodu vzduchu lze určit

p

pw

ln59,23

867,1513ln236

pro p vyšší než 610,75 Pa [C] (3.9)

p

pw

ln9205,28

21055,1751ln273

pro p nižší než 610,75 Pa [C] (3.10)

kde p je částečný tlak vodní páry ve vzduchu v Pa.

Na vnitřním povrchu konstrukce dochází ke kondenzaci vodní páry tehdy, když je splněna podmínka

wsi (3.11)

kde si je (nejnižší) teplota vnitřního povrchu konstrukce ve C.

3.2 Modelové příklady

Zadání

V interiéru budovy je trvale teplota vzduchu 25 C a relativní vlhkost 70 %.

Jaký musí mít součinitel prostupu tepla obvodová stěna, aby na ní nedocházelo k povrchové konden-

zaci při venkovní teplotě -15 C?

Uvažujte ustálený stav a odpor při přestupu tepla na vnitřní straně pro výpočet povrchové teploty.

Řešení

Nejprve je třeba stanovit teplotu rosného bodu, protože na vnitřním povrchu konstrukce dochází ke

kondenzaci vodní páry tehdy, když je teplota povrchu konstrukce nižší než teplota rosného bodu okol-

ního vzduchu.

Použije se empirický vztah

i

iw

p

p

ln59,23

867,1513ln236

pro pi vyšší než 610,75 Pa

i

iw

p

p

ln9205,28

21055,1751ln273

pro pi nižší než 610,75 Pa,

přičemž pi je částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu, který lze stanovit ze stavové rovnice ply-

nu 15,273462 iiii vTRvp .

Chybějící koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu vi se určí ze vztahu satiii vv , , kde vi,sat je

koncentrace vodní páry ve vzduchu pro stav nasycení. Tu lze stanovit z dalšího empirického vztahu

15,273462

100

n

sat

ba

v , přičemž použijeme a = 288,68 Pa, b = 1,098 a n = 8,02 (teplota θi je

v rozmezí od 0 do 30 C).

Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme koncentraci vodní páry pro stav nasycení

15,27325462

100

25098,168,288

02,8

,sativ 0,023 kg/m3 a koncentraci pro skutečný stav 023,07,0iv

0,016 kg/m3. Částečný tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu je 15,27325462016,0ip

2204 Pa.

A z toho již můžeme určit teplotu rosného bodu jako

)2204ln(59,23

867,1513)2204ln(236w 19,1 ˚C.

Aby na povrchu konstrukce nedocházelo ke kondenzaci, musí být povrchová teplota vyšší než teplota

rosného bodu, tj. musí platit: wsi .

Teplota vnitřního povrchu se vypočte se vztahu eisiisi RU , odpor při přestupu tepla

na vnitřní straně Rsi se přitom musí podle zadání uvažovat jako Rsi = 0,25 m2K/W.

Dosazením dostáváme tedy nerovnici weisii RU , kterou lze upravit na tvar

eisi

wi

RU

. Po dosazení

)15(2525,0

1,1925

U získáváme výsledek U ≤ 0,59 W/(m

2K).

Zadání

Zjistěte, zda bude docházet ke kondenzaci vodní páry na horním líci podlahy o skladbě (shora):

- beton tl. 100 mm (tepelná vodivost 1,0 W/(m.K))

- polystyren tl. 100 mm (tepelná vodivost 0,04 W/(m.K))

- železobeton tl. 200 mm (tepelná vodivost 1,5 W/(m.K)).

V úrovni rozhraní mezi tepelnou izolací a roznášecí deskou (horní betonová vrstva) je chladícím sys-

témem udržována trvale teplota 10 C. V prostoru nad podlahou je současně teplota vzduchu 25 C a

relativní vlhkost 60 %, zatímco v prostoru pod stropem je teplota vzduchu 15 C a relativní vlhkost

60 %.

Pokud dojde k povrchové kondenzaci, určete nejnižší možnou teplotu v úrovni chladících trubek, při

které k povrchové kondenzaci ještě docházet nebude.

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav a odpor při přestupu tepla na vnitřní straně uvažujte hodno-

tou pro výpočet povrchové teploty.

Řešení

Abychom mohli ověřit riziko povrchové kondenzace, musíme nejprve stanovit vnitřní povrchovou

teplotu (tedy teplotu na horním líci podlahy). Při jejím výpočtu je třeba zohlednit známou teplotu uv-

nitř konstrukce v místě systému chlazení. Celková situace je nejlépe zřejmá na grafu průběhu teploty

v konstrukci Obr. 3-1.

Obr. 3-1: Grafické stanovení průběhu teploty v podlaze s chlazením

Na vodorovné ose grafu jsou vyneseny tepelné odpory jednotlivých vrstev podlahy počínaje odporem

při přestupu tepla na povrchu roznášecí desky Rsi = 0,25 m2K/W (podle zadání). Následují jednotlivé

vrstvy podlahy (roznášecí deska, EPS a železobeton) a odpor při přestupu tepla na spodním líci stropu

Rse, který v tomto případě činí 0,10 m2K/W (tepelný tok je orientován nahoru).

0,25

0,10

2,50

R

15

10

0,13

0,10

25

V grafu na Obr. 3-1 je patrná jak hledaná teplota na horním líci podlahy (označeno kroužkem), tak

skutečnost, že pro její stanovení je důležitá jen roznášecí deska a bezprostředně na ni působící okrajo-

vé podmínky (tj. teploty 25 ºC a 10 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy můžeme tedy spočítat ze

vztahu

25,0

1,025,0

102525xsi

sesi

eiix RR

RRR

14,3 ºC.

Vzhledem k tomu, že teplota rosného bodu pro vzduch nad podlahou je w = 16,7 C (postup viz první

příklad v této sekci), je zřejmé, že v daných podmínkách ke kondenzaci vodní páry na povrchu

podlahy dochází.

Nejnižší možnou teplotu v úrovni chladícího systému stanovíme z nerovnice

xsi

sesi

eiiw RR

RRR

, do níž dosadíme konkrétní požadavek a ostatní známé hodnoty a

získáme tvar 25,01,025,0

25257,16

e . Z něj už snadno odvodíme nejnižší přípustnou teplotu

v úrovni chladícího systému jako e 13,4 C.

Zadání

Uvažujte sendvičovou stěnu o skladbě (od interiéru): železobeton tl. 200 mm, EPS neznámé tloušťky,

železobeton tl. 100 mm.

Tepelná vodivost železobetonu je 1,5 W/(m.K), tepelná vodivost polystyrenu je 0,04 W/(m.K). Stěna

je odděluje interiér s teplotou vzduchu 28 C a relativní vlhkostí 70% a exteriér s teplotou -17 C.

Jak velká musí být tloušťka tepelné izolace, aby nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na vnitřním

povrchu konstrukce?

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav. Pro odpor při přestupu tepla na vnitřní straně použijte hod-

notu pro výpočet povrchové teploty.

Řešení

Aby nedocházelo k povrchové kondenzaci, musí být teplota vnitřního povrchu konstrukce vyšší než

teplota rosného bodu vnitřního vzduchu. Tu stanovíme postupem podrobně popsaným v prvním pří-

kladu této sekce jako w = 22,0 C.

Pro určení maximálního přípustného součinitele prostupu tepla použijeme opět postup z prvního pří-

kladu a získáme podmínku U 0,533 W/(m2.K).

Minimální potřebný tepelný odpor je tedy sesi RRU

R 1

, což dává výsledek R 1,706 m2K/W.

Vzhledem k tomu, že tepelný odpor obou železobetonových stěn je dohromady Ržb = 0,2 m2K/W, je

potřebné, aby měla tepelná izolace tepelný odpor Rizol 1,506 m2K/W.

Potřebná minimální tloušťka tepelné izolace je tedy d 60 mm.

Zadání

V kanceláři o vnitřním objemu 36 m3 pracují 3 úředníci. Teplota vzduchu v kanceláři je 20 C, teplota

venkovního vzduchu je 5 C. Určete relativní vlhkost vnitřního vzduchu, je-li intenzita větrání kance-

láře 1/h.

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, produkci vodní páry 1 osobou 50 g/h a relativní vlhkost

venkovního vzduchu 80 %.

Řešení

Relativní vlhkost vnitřního vzduchu určíme ze vztahu sati

ii

v

v

,

100 , do kterého dosadíme za koncen-

traci vodní páry ve vnitřním vzduchu ve stavu nasycení hodnotu stanovenou ze vztahu

15,27320462

100

20098,168,288

15,273462

100

02,8

,

n

sati

ba

v 0,0172 kg/m3.

Chybějící koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu určíme jako iei vvv .

Potřebujeme tedy stanovit koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, pro což použijeme vztah

100

,satee

e

vv

. Relativní vlhkost venkovního vzduchu známe, takže chybí pouze koncentrace vodní

páry ve venkovním vzduchu ve stavu nasycení, která se zjistí ze vztahu

15,2735462

100

5098,168,288

02,8

,satev 0,0068 kg/m3. Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu je

tedy

100

0068,080

100

,satee

e

vv

0,0054 kg/m

3 (jinými slovy: 1 m

3 venkovního vzduchu obsahuje

v uvažovaných podmínkách 5,4 g vodní páry).

Pro další výpočet potřebujeme ještě přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkos-

ti, který se stanoví ze vztahu a

iVn

Gv

. Protože celková produkce vodní páry v interiéru je

G = 350 = 150 g/h, vychází přírůstek koncentrace vodní páry jako

360,1

15,0iv 0,0042 kg/m

3.

Výsledná koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu pak bude 0042,00054,0iei vvv

0,0096 kg/m3 (jinými slovy: 1 m

3 vnitřního vzduchu bude obsahovat v uvažovaných podmínkách

9,6 g vodní páry). Této koncentraci bude pak odpovídat relativní vlhkost 0172,0

0096,0100i 55,8 %.

Zadání

Na vnitřním povrchu železobetonové stěny tl. 200 mm s vnějším zateplením tl. 100 mm (opatřeném

tenkovrstvou omítkou tl. 10 mm) dochází v ustálených teplotních podmínkách (vnitřní teplota 27 C,

venkovní teplota -10 C) ke kondenzaci vodní páry. Jakou tepelnou vodivost má tepelná izolace?

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, relativní vlhkost vnitřního vzduchu 70 %, tepelnou vodivost

železobetonu 1,5 W/(m.K) a tepelnou vodivost omítky 0,5 W/(m.K). Pro odpor při přestupu tepla na

vnitřní straně použijte hodnotu pro výpočet povrchové teploty.

Řešení

K povrchové kondenzaci dochází tehdy, pokud je teplota vnitřního povrchu nižší nebo rovná teplotě

rosného bodu vnitřního vzduchu, což můžeme vyjádřit nerovnicí eisiiw UR .

Teplotu rosného bodu určíme postupem detailně popsaným v prvním příkladu této sekce jako

w = 21,1 C. Dosadíme do nerovnice 21,1 27 0,25 27 10U a získáme podmínku pro souči-

nitel prostupu tepla konstrukce U 0,637 W/(m2.K).

Známe-li nejnižší možný součinitel prostupu tepla konstrukce a tepelné odpory železobetonu

(R=0,133 m2K/W) a omítky (R=0,020 m

2K/W), lze již určit nejvyšší možný tepelný odpor tepelné

izolace z nerovnice 637,01

sesi RRR

.

Po dosazení dostáváme 637,0

04,01,0

153,013,0

1

, z čehož lze odvodit podmínku pro hleda-

nou tepelnou vodivost tepelné izolace 0,080 W/(m.K). Použitý tepelný izolant je tedy buď po-

měrně nekvalitní a/nebo obsahuje velké množství tepelných mostů.

Zadání

Určete intenzitu větrání, která zajistí, že v místnosti o vnitřním objemu 58 m3 nepřesáhne relativní

vlhkost vnitřního vzduchu 50 % . Teplotu vnitřního vzduchu uvažujte 23 C, teplotu venkovního

vzduchu -13 C, a relativní vlhkost venkovního vzduchu 80 %. V místnosti je několik akvárií

s celkovou plochou volné vodní hladiny 7 m2, z nichž se odpařuje vodní pára v množství

0,01 g/(m2.s). Při výpočtu předpokládejte ustálený stav.

Řešení

Nejprve určíme nejvyšší možnou koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu ze vztahu

100

,satii

i

vv

. Potřebnou koncentraci vodní páry ve vnitřním vzduchu ve stavu nasycení získáme

z rovnice 15,27323462

100

23098,168,288

15,273462

100

02,8

,

n

sati

ba

v jako 0,0205 kg/m3, což znamená,

že koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu musí splňovat podmínku 100

0205,050 iv , neboli

vi 0,0103 kg/m3 (koncentrace tedy nesmí být vyšší než 10,3 g vodní páry v 1 m

3 vzduchu).

Vzhledem k tomu, že koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je definována rovnicí

iei vvv , lze dále snadno odvodit, jaký může být nejvyšší přírůstek koncentrace vodní páry vli-

vem vnitřních zdrojů vlhkosti. V našem případě musíme splnit podmínku eii vvv max, .

Potřebujeme tedy ještě koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, kterou určíme jako

100

,satee

e

vv

. Vypočteme koncentraci vodní páry ve stavu nasycení pro venkovní vzduch ze vztahu

15,27313462

100

13486,1689,4

3,12


tedy

100

0017,080

100

,satee

e

vv

0,0014 kg/m

3 (1 m

3 venkovního vzduchu obsahuje tedy

v uvažovaných podmínkách 1,4 g vodní páry).

Nyní se můžeme vrátit k podmínce pro přírůstek koncentrace vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlh-

kosti eii vvv max, . Dosadíme do ní ( 0014,00103,0 iv ) a určíme, že přírůstek koncentrace

vodní páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti nesmí být vyšší než 0,0089 kg/m3.

Hledanou intenzitu větrání získáme z definičního vztahu pro diskutovaný přírůstek koncentrace vodní

páry vlivem vnitřních zdrojů vlhkosti, tj. z rovnice a

iVn

Gv

.

Určíme celkovou produkci vodní páry v interiéru jako G = 70,013600/1000 = 0,252 kg/h... a protože

objem vzduchu v místnosti známe, můžeme již přímo vyjádřit hledanou intenzitu větrání z nerovnice

580089,0

252,0

n . Aby relativní vlhkost vnitřního vzduchu nepřekročila 50 %, musíme tedy v daných

podmínkách místnost větrat s intenzitou n ≥ 0,49/h.

Zadání

Uvažujte místnost o vnitřním objemu 100 m3, která je větraná s intenzitou 0,4/h. Okna této místnosti

mají zasklení o součiniteli prostupu tepla Ug = 1,6 W/(m2.K).

Určete nejvyšší možnou relativní vlhkost vnitřního vzduchu, při které nebude na vnitřním povrchu

zasklení docházet ke kondenzaci vodní páry.

Při výpočtu předpokládejte ustálený stav, teplotu vnitřního vzduchu 25 ºC, teplotu venkovního vzdu-

chu -20 ºC a relativní vlhkost venkovního vzduchu 85 %. Odpor při přestupu tepla na vnitřní straně

uvažujte hodnotou pro výpočet povrchové teploty.

Jaká koncentrace vodní páry ve vzduchu odpovídá vypočtené maximální vnitřní relativní vlhkosti?

Kolik osob by mohlo být v interiéru, pokud jedna osoba produkuje 80 g vodní páry za hodinu?

Řešení

Ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrchu zasklení nebude docházet, pokud bude splněna pod-

mínka wsi . Vnitřní povrchová teplota si bude v daných podmínkách

202513,06,125eisiisi RU 15,6 C (odpor při přestupu tepla Rsi se uva-

žuje 0,13 m2K/W, protože se jedná o výplň otvoru). Teplota rosného bodu w musí být tedy nižší než

15,6 C.

Z definičního vztahu pro teplotu rosného bodu p

pw

ln59,23

867,1513ln236

(budeme předpokládat,

že částečný tlak vodní páry ve vzduchu bude vyšší než 610,75 Pa) můžeme odvodit vztah pro částečný

tlak vodní páry ve vnitřním vzduchu x

i ep , kde w

wx

236

867,151359,23. Po dosazení dostává-

me hodnotu 48,7epi 1772,2 Pa (předpoklad o velikosti částečného tlaku vodní páry se tím potvr-

dil).

Známe-li nejvyšší přípustný částečný tlak vodní páry ve vzduchu (pi,max = 1772,2 Pa), můžeme již

snadno určit nejvyšší přípustnou relativní vlhkost vnitřního vzduchu ze vztahu sati

ii

p

p

,

100 . Schází

pouze částečný tlak vodní páry ve stavu nasycení, který určíme jako

253,237

25269,17

3,237

269,17

, 5,6105,610 eep i

i

sati

3165,9 Pa.

Dosadíme do podmínky pro relativní vlhkost 9,3165

2,1772100i a získáme hledanou nejvyšší přípust-

nou relativní vlhkost vnitřního vzduchu i,max = 56 %.

Abychom určili, jaká koncentrace vodní páry ve vzduchu odpovídá této relativní vlhkosti, použijeme

vztah 100

,max,

max,

satii

i

vv

, do kterého musíme dosadit ještě koncentraci vodní páry ve stavu nasyce-

ní. Tu určíme ze vztahu 15,27325462

100

25098,168,288

15,273462

100098,168,288

02,802,8

,

i

i

sativ

jako

0,0230 kg/m3. Výsledná nejvyšší přípustná koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je

100

0230,056max,iv 0,0129 kg/m

3. V 1 m

3 vnitřního vzduchu může být tedy jen maximálně 12,9 g

vodní páry, aby na zasklení nedocházelo v uvažovaných podmínkách k povrchové kondenzaci.

Zbývá určit maximální přípustný počet osob. Vyjdeme ze známé nejvyšší přípustné koncentrace vodní

páry a ze vztahu iei vvv určíme nejvyšší přípustný přírůstek koncentrace vodní páry ve vnitřním

vzduchu jako eii vvv max,max, .

Nejprve ale musíme určit koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu, k čemuž použijeme vztah

100

,satee

e

vv

. Vypočteme koncentraci vodní páry ve venkovním vzduchu ve stavu nasycení jako

15,27320462

100

20486,1689,4

3,12


tedy

100

0009,085ev 0,0008 kg/m

3.

Nejvyšší přípustný přírůstek koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu je tudíž

0008,00129,0max,iv 0,0121 kg/m3. Protože je přírůstek koncentrace definován jako

a

iVn

Gv

a protože známe vnitřní objem místnosti a intenzitu větrání, můžeme rovnou vypočítat

maximální přípustnou produkci vodní páry vnitřními zdroji jako ai VnvG max, . Po dosazení do-

stáváme 1004,00121,0 G , a tedy G 0,484 kg/h.

Jedna osoba produkuje podle zadání 80 g vodní páry za hodinu, takže v místnosti může být

v uvažovaných podmínkách maximálně 6 osob, aby byla vyloučena kondenzace vodní páry na vnitř-

ním povrchu zasklení (6 x 80 = 480 g vodní páry za hodinu).

Přílohy

Příloha 1 – Emisivita vybraných materiálů a povrchových úprav (dlouho-

vlnné tepelné záření)

povrch emisivita zdroj

povrch

emisivita zdroj

[ - ]

[ - ]

zlato leštěné 0.02 [1]

hliník leštěný 0.05 [2]

stříbro leštěné 0.02 [1]

hliník drsný 0.07 [2]

měď leštěná 0.02 [1]

hliník oxidovaný 0.2 - 0.3 [2]

měď oxidovaná 0.78 [1]

litina opracovaná 0.6 - 0.7 [2]

hliník leštěný 0.05 [1]

litina oxidovaná 0.93 [2]

hliník oxidovaný 0.3 [1]

chrom - lesklý povrch 0.10 [2]

ocel válcovaná 0.77 [1]

zlato - pozlacený povrch 0.03 [2]

ocel zkorodovaná 0.61 [1]

plech pocínovaný 0.09 [2]

ocel pozinkovaná 0.26 [1]

plech pozinkovaný 0.23 [2]

ocel leštěná 0.27 [1]

plech oxidovaný 0.82 [2]

olovo oxidované 0.28 [1]

ocel jemně opracovaná 0.24 [2]

sklo 0.92 [1]

ocel válcovaná 0.77 [2]

porcelán 0.92 [1]

ocel oxidovaná 0.80 [2]

cihla, omítka 0.93 [1]

ocel zkorodovaná 0.85 [2]

dřevo 0.9 [1]

azbestocementové desky 0.96 [2]

nátěr - černý lak 0.97 [1]

beton 0.89 [2]

nátěr - olejová barva 0.94 [1]

břidlice 0.66 [2]

nátěr - bílá barva 0.85 [1]

čedič 0.68 [2]

mramor leštěný 0.55 [1]

pálené cihly 0.93 [2]

papír 0.93 [1]

šamotové cihly 0.85 [2]

voda 0.95 [1]

vápenec 0.58 [2]

led, 0 °C 0.97 [1]

dřevo 0.9 [2]

guma měkká 0.86 [2]

guma tvrdá 0.93 [2]

střešní lepenka 0.93 [2]

mramor 0.93 [2]

žula 0.42 [2]

vápenná omítka 0.93 [2]

papír 0.9 [2]

textilní tapety 0.8 - 0.9 [2]

sklo 0.92 [2]

Literatura

[1] Hagentoft, C.-E. Introduction to building physics Studentlitteratur 2001

[2] Halahyja, m. a kol. Stavebná tepelná technika Jaga 1998

Příloha 2 – Pohltivost slunečního záření pro vybrané materiály a povrcho-

vé úpravy

materiál

pohltivost

sl. záření zdroj

materiál

pohltivost

sl. záření zdroj

sol[ - ]

sol[ - ]

sníh 0.15 [1]

černé nekovové povrchy 0.92 [2]

bílý nátěr 0.25 [1] červená cihla, střešní taška,

kámen

0.73 [2]

nabílený povrch 0.3 [1]

žlutá a leštěná cihla, kámen 0.60 [2]

světlé barvy 0.3 - 0.5 [1]

okenní sklo 0.05 [2]

leštěný hliník 0.3 - 0.6 [1]

matné sklo 0.50 [2]

cihla žlutá 0.55 [1]

leštěný hliník 0.20 [2]

cihla červená 0.75 [1]

ocel 0.50 [2]

beton 0.6 - 0.7 [1]

bílá barva 0.20 [2]

listy, tráva 0.75 [1]

světlé povrchy podlah 0.6 - 0.7 [1]

tmavé povrchy podlah, koberce 0.8 - 0.9 [1]

vlhká zemina 0.9 [1]

břidlice tmavě šedá 0.9 [1]

bitumen 0.93 [1]

Literatura

[1] Hagentoft, C.-E. Introduction to building physics Studentlitteratur 2001

[2] Halahyja, m. a kol. Stavebná tepelná technika Jaga 1998

Documents

Řešené příklady ze stavební fyzikytzb.fsv.cvut.cz/vyucujici/16/oppa/stavebni-fyzika-resene-priklady-zs... · výpočty ve stavební tepelné technice je důležité proudění