EGYT2011

UES - FCCNNMM - Escuela de MatematicaGEOMETRIA I

Equipo de Diseno:Nahomy Jhopselyn Hernandez Cruz

Gabriel Alexander Chicas ReyesEduardo Arnoldo Aguilar CanasHector Enmanuel Alberti Arroyo

Humberto Alfonso Sermeno VillaltaErnesto Americo Hidalgo Castellanos

Juan Agustın CuadraClaudia Patricia Corcio Lopez de Beltran

Carlos Mauricio Canjura LinaresOscar Armando Hernandez Morales

Aaron Ernesto Ramırez FloresManuel Alejandro Mundo Duenas

Clara Victoria RegaladoFrancisco Asdrubal Hernandez Ramirez

7 de agosto de 2013

Indice

1. Geometrıa 41.1. Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Lıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Segmento de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Punto medio de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6. Operaciones con segmentos colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Angulos entre paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Definicion de Angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Angulos entre rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

INDICE INDICE

1.3. Triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1. Clasificacion de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2. Teoremas Fundamentales del Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4. Rectas Notables de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.5. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Congruencia de Triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1. Criterios de Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2. Teorema de la Base Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.1. Clasificacion de Cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.2. Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.3. Rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.4. Rombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.5. Trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.6. Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.1. Elementos de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.2. Angulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.3. Cuadrilateros Concıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6.4. Rectas y Circunferencias tangentes a una circunferencia . . . . . . . . . . . . 441.6.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.7. Semejanza de Triangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.7.1. Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.7.2. Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.7.3. Criterios de Semejanza de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.7.4. Potencia de Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.8. Puntos y Rectas Notables del Triangulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.8.1. Medianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.8.2. Mediatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.8.3. Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.8.4. Bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.9. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.9.1. Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.9.2. Congruencia de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.9.3. Cuadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.9.4. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961.9.5. Semejanza de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.9.6. Puntos y rectas notables del Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2

INDICE INDICE

2. Trigonometrıa 1192.1. Angulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1.1. Medicion de un angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.1.2. Terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.2. Seno y Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.3. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.3.1. Las identidades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.3.2. Identidades de suma y resta de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3.3. Identidades de duplicacion y linearizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.4. Tabla de Identidades Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.5. Relaciones trigonometricas en un triangulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.6. Una tangente especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.7. Ecuaciones trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.7.1. Ecuaciones de la forma A cos (x) +B sen (x) = C . . . . . . . . . . . . . . . 1312.8. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.9. Problemas aplicados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3

1 Geometrıa

1. Geometrıa

1.1. Segmentos

1.1.1. Introduccion

Una figura geometrica es una combinacion de puntos, lıneas y planos. Los conceptos de punto, lıneay plano son conceptos primitivos, que no se definen, unicamente pueden describirse. Por ejemplo,un punto es un objeto que solo tiene posicion. No tiene longitud, anchura ni espesor. Se trata pues,de una idealizacion matematica.La Geometrıa es la ciencia que estudia la posicion, forma y magnitud de las figuras geometricas.La geometrıa plana estudia las figuras cuyos puntos se encuentran en el mismo plano (triangulos,cuadrados, cırculos, etc.). La geometrıa solida estudia las figuras que pueden estar en distintosplanos (piramides, cubos, esferas, etc.).

1.1.2. Lıneas

Una lınea es una figura geometrica que tiene longitud, pero no tiene anchura ni grosor.

A

B

Figura 1: Una linea recta

Se puede considerar que una lınea se genera con el movimiento de un punto.Con este enfoque, una lınea recta se genera con el movimiento de un punto que se mueve siempreen la misma direccion (ver Figura 1), mientras que una lınea curva se genera con el movimientode un punto que cambia continuamente de direccion (ver Figura 2).

A

B

Figura 2: Una linea curva

Otro punto de vista consiste en considerar una lınea como formada por infinitos puntos. En par-ticular, una lınea recta (llamada por brevedad recta) queda completamente determinada por doscualesquiera de sus puntos y se considera ilimitada en extension.

Notacion: Si A y B son dos puntos que pertenecen a una recta, dicha recta se denota como←→AB.

4

1.1 Segmentos 1 Geometrıa

1.1.3. Rayos

Dada una lınea recta, a una porcion de dicha recta que se origina en un punto O y que se extiendeilimitadamente por el extremo que contiene a un punto A, se le llama rayo OA (ver Figura 3) y se

denota por−→OA.

O

A

Figura 3: rayo OA

1.1.4. Segmento de recta

Dados dos puntos distintos A y B en una recta, se le llama segmento a la figura formada por A,B y todos los puntos que se encuentran entre ellos dos (ver Figura 4).

A B

Figura 4: Segmento AB

Se denota por AB (o simplemente AB) y se lee “segmento AB”. Los puntos A y B se llamanextremos y los otros puntos forman el interior del segmento.La medida de un segmento AB se denota m(AB) o simplemente AB y es un numero positivo quese compara con la longitud de un segmento unitario.

1.1.5. Punto medio de un segmento

Un punto C se llama punto medio de un segmento AB si C esta entre A y B y se verifica queAC = CB (ver Figura 5).

A BC

Figura 5: C punto medio del segmento AB

Todo segmento posee un punto medio el cual lo biseca, es decir, lo divide en dos segmentos deigual longitud.

5


x

ba

A BC

Figura 6

1.1.6. Operaciones con segmentos colineales

Medir es comparar una magnitud con otra de su misma clase que sirve como patron y a la quese llama unidad de medida. Para medir los segmentos se utilizan diversos instrumentos, siendo elmas sencillo una regla graduada. En la Figura 6 se cumplen las siguientes relaciones:

AB = AC + CB ⇒ x = a+ b (1)

AC = AB − CB ⇒ a = x− b

CB = AB − AC ⇒ b = x− a

Observacion:La relacion de adicion (1) se puede generalizar ası: Tomemos “n” puntos consecutivosA1, A2, A3, . . . , Anen una misma recta, entonces se verificara la siguiente relacion:

A1An = A1A2 + A2A3 + A3A4 + · · ·+ An−1An

Este resultado se conoce como el Teorema de Chasles. Debemos notar que los segmentos consid-erados son consecutivos.

Ejemplo 1. Ejemplos de problemas con segmentos

a) Sobre una recta estan ubicados los puntos A, B, C y D. Si AD = 24 cm, AC = 15 cm yBD = 17 cm, ¿cuanto mide BC en cm?

Solucion

Segun los datos del problema (ver Figura 7), se tiene que:

CD = AD − AC = 24− 15 = 9 cm

y puesto que: BC = BD − CD, se tiene que BC = 17− 9 = 8 cm. �

b) Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una recta. Si AC + BD = 16m, y BC = 4m,¿cual es el valor de AD en m?

Solucion

Construimos la figura segun las condiciones del problema y se observa que:

AD = AC + CD, pero CD = BD − 4.

Luego, AD =︷︸︸︷AC +BD−4 = 16− 4 = 12m �

6


A DB C

Figura 7

c) M , A, O y B son puntos consecutivos sobre una recta, siendo O el punto medio de AB. SiMA = 2 y AB = 6, calcular (MO)2.

Solucion

Ya que O es el punto medio de AB, se tiene:

AO = OB =AB

2=

6

2= 3

Luego, MO = MA+ AO = 2 + 3 = 5

Por lo tanto, (MO)2 = 25 �

d) Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y D. Entre los puntos B y D se tomaun punto C tal que AC = CD/4. Determinar BC, sabiendo que BD − 4AB = 20.

Solucion

Sea x = BC. Del dato AC = CD4

y llamando AC = a, se tiene CD = 4a.

Reemplazando los literales x y a en la igualdad BD− 4AB = 20, se tiene (dibujar la figura):

(x+ 4a)− 4(a− x) = 20

x+ 4a− 4a+ 4x = 20

5x = 20

x = 4

Es decir, BC = 4. �

e) Al dividir un segmento en partes cuyas medidas son directamente proporcionales a 1/3, 1/4y 1/2 se obtienen tres segmentos, el segundo de los cuales mide 12 cm. ¿Cual es la suma encm de las medidas del segundo y tercer segmento?

Solucion

Sean los segmentos AB, BC y AC. Segun las condiciones del problema:

AB =k

3, BC =

k

4y CD =

k

2

ya que BC = 12 entonces k4

= 12, de donde k = 48.

Esto nos permite calcular el valor del tercer segmento CD, ası CD = 482

= 24.

Luego, la suma pedida es BC + CD = 36. �

7


1.1.7. Ejercicios

1) Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C. Si AB = 8 cm y BC = 12 cm,hallar AC.

2) Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tales que AB = 7, BC = 8 yAD = 24, calcular CD.

3) En una lınea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C tales que AC = 25 yBC = 15. Calcular AB.

4) A, B, C y D son puntos ubicados en una lınea recta de modo que AB = BC, CD = 20 yAB = 5. Hallar AD.

5) Dado el segmento AB y su punto medio O, si P es un punto interior al segmento OB, OP = 1y PB = 5, calcular AB.

6) En una lınea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AB = 2BCy CD = 3BC. Si BC = 1, calcular AD.

Definicion 1.1. 1. Razon: se llama razon, al cociente de dos cantidades, expresadas en la

misma magnitud, por ejemploa

b.

2. Proporcion: se llama proporcion a la igualdad de dos razones. Por ejemploa

b=c

d, a los

terminos a y d se les llama extremos y los terminos b y c se les llama medios, al termino dse le llama cuarta proporcional entre a, b y c en este orden.

3. Un punto P ∈ AB divide al segmento AB en una razon r siPA

PB= r. Si r = 1 entonces P

es el punto medio de AB. 1

A BP

Figura 8

4. Sean AB y CD y sean X ∈ AB y Y ∈ CD, decimos que X e Y dividen a AB y CD ensegmentos proporcionales si

XA

XB=Y C

Y D

Ejemplo 2.

8 2A BP

P divide AB en la razonPA

PB=

8

2= 4

Consideremos las divisiones siguientes:

1Cuando el puntos P esta entre los puntos A y B decimos que P divide interiormente al segmento AB en larazon r. Si P no esta entre los puntos A y B, decimos que P divide exteriormente a segmento AB.

8


A BX

C DY

Figura 9

x 2 x

3 x3 x

A BP

A BN

PA

PB=

x

2x=

1

2

NA

NB=

3x

6x=

1

2

Dado un segmento AB y una razon k 6= 1, conseguimos encontrar dos puntos que dividen AB enesta razon: una interior y otra exterior. Cuando AB esta dividido por dos punto P y N , en lamisma razon, decimos que el segmento AB esta dividido armonicamente. Y, los puntos P y N sellaman conjugados armonicos con respecto a A y B.

Definicion 1.2. ( Division armonica)Decimos que los puntos P y N dividen armonicamente al segmento AB cuando

PA

PB=NA

NB. A BN P

Esta definicion de division armonica es equivalente a los sigueinte: Se dice que dos puntos dividenun segmento de lınea armonicamente si lo dividen interna y externamente en la misma razon.

1.1.8. Ejercicios

1. Sobre una linea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A,B,C y D; tal queAC = 19 y BD = 23. Encuentre la longitud del segmento que une los puntos medios de ABy CD.

2. Sobre una linea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A,B,C y D; siendoC el puto medio de BD; displaystyleCB

CA= 2

3y AD = 12. Encuentre CD.

3. Sobre una lınea recta se consideran los puntos consecutivos M,N,P,Q tal que: PQ = 3NPy 3MN +MQ = 4. Encuentre la longitud del segmento MP

4. Sobre una lınea recta se consideran los puntos consecutivos A,B y C y luego se ubicanlos puntos medios M y F de AB y MC respectivamente. Encuentre la longitud de AF . SiAB + FC − AM = 2

√5.

5. Sobre una lınea recta se consideran los puntos consecutvos A,B,C,D y luego se toman M yF puntos medios de AB y CD respectivamente. Encuentre MF , si: AC = 18 y BD = 34.

6. Dado el segmento AB y un punto M interior a el. Demuestre que si el producto AM ·MB,es maximo entonces M es el punto medio de AB.

9

1.2 Angulos entre paralelas. 1 Geometrıa

7. A,B,C y D son puntos colineales y consecutivos tal que: AB ·CD = AD ·BC; AB · .BC = x;AD · CD = y. Calcule BD.

8. Sobre una ınea recta se consideran los puntos consecutivos A,B,C,D y D tal que: DC =2 · AB; AB = a y BD = b. Encuentre AC.

9. A,B,C y D son puntos colineales y consecutivos. Si AC es la media proporcional2 entre AD

y BD. Calcular k, si: k = 2AD

AC

(AB

CD− 1

).

1.2. Angulos entre paralelas.

1.2.1. Definicion de Angulo

Definimos como angulo a la figura geometrica formada por dos rayos (o semirrectas) distintas quetienen el mismo origen. Ese origen se llama vertice del angulo. Al angulo de vertice O y rayos OAy OB se le denota ∠AOB.

Dos angulos ∠AOB y ∠BOC son adyacentes si y solo si tienen un lado comun OB y los lados nocomunes OA y OC estan en semiplanos distintos, determinados por el lado comun.

Bisectriz de un angulo es la semirrecta que lo “divide” en dos angulos adyacentes iguales.

Dos angulos son:

Congruentes o Iguales : si tienen igual medida.

Suplementarios : si su suma es 180°.

Complementarios : si su suma es 90°.

Por otra parte, dos rectas en el plano pueden ser secantes o paralelas,3 dependiendo si se cortan ono; ademas, si las rectas son secantes, el punto de corte es unico, y definen cuatro angulos, que seagrupan por parejas en angulos opuestos por el vertice (las parejas de angulos tales que uno estaformado por la prolongacion de los lados del otro).

Los angulos opuestos por el vertice son iguales (Justifique), por lo que dos rectas secantes formancuatro angulos que definen dos parejas de angulos iguales, y si tomamos un miembro de cada pare-ja, se tienen dos angulos suplementarios. En particular, si las rectas son secantes y forman cuatroangulos iguales, seran llamadas rectas perpendiculares,4 y los angulos ası generados son llamadosangulos rectos. Y como es muy conocido, un angulo agudo es aquel cuya medida es menor a la deun angulo recto, y un angulo obtuso es aquel cuya medida es mayor que un angulo recto; en partic-ular, un angulo obtuso sera llamado angulo llano si su medida es el doble que la de un angulo recto.

2Dados dos segmentos de longitudes a y b se llama media proporcional a un segmento de longitud x, talque

verifiquea

x=x

b.

3Si la recta AB es paralela a la recta CD, se denota AB ‖ CD.4Si la recta AB es perpendicular a la recta CD, se denota AB ⊥ CD.

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1.2.2. Angulos entre rectas paralelas

Al intersecar un par de rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante, se forman lossiguientes tipos de angulo:

Angulos Correspondientes : Son dos angulos no adyacentes situados en el mismo lado de lasecante, uno en el interior y otro en el exterior de las paralelas.

Angulos Alternos Internos : Son dos angulos no adyacentes situados en el interior de lasparalelas, y en distintos lado de la secante.

Angulos Alternos Externos : Son dos angulos no adyacentes situados en el exterior de lasparalelas, y en distintos lado de la secante.

Angulos Conjugados : Son dos angulos internos o externos, no adyacentes y situados delmismo lado de la secante.

Las propiedades fundamentales de los angulos entre paralelas son:

1. Los angulos correspondientes son iguales entre sı.

2. Los angulos alternos internos son iguales entre sı.

3. Los angulos alternos externos son iguales entre sı.

4. Los angulos conjugados son suplementarios.

Figura 10: Angulos entre las rectas paralelas L1 y L2.

1.2.3. Problemas

1. Tres angulos adyacentes forman un semiplano y tienen sus medidas proporcionales a losnumeros 5, 7 y 8. Hallar la medida del menor angulo.

2. Demostrar que las bisectrices de dos angulos suplementarios son perpendiculares.

11


3. En la figura adjunta, L1 ‖ L2 yL3 ‖ L4. Calcular x.

12


4. Con ayuda de la figura 11, demuestre que: Si L1 ‖ L2 entonces γ = α + β.

Figura 11

5. En la figura 12, AB ‖ FG. Hallar el angulo x si el ∠AMF = 90° y el ∠MAB = 110°.

Figura 12

6. Calcular el ∠OPQ, si OP es bisectriz del angulo O, L1 ‖ L2 y PQ ⊥ L1. Ver figura 13.

Figura 13

13


7. En la figura 14, L1 ‖ L2 y L3 ‖ L4, calcular α.

Figura 14

8. En la figura 15, calcular x, si L1 ‖ L2.

Figura 15

9. Calcular la medida θ del grafico anexo, si lasrectas L1 y L2 son paralelas.

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1.3 Triangulos. 1 Geometrıa

10. En la figura 16, L1 ‖ L2 y L3 ‖ L4. Hallar el valor del angulo θ.

Figura 16

11. Sea ∠AOB = 24°, en la region exterior a dicho angulo se traza el rayo OC. Hallar la medidadel angulo formado por las bisectrices de los angulos AOC y BOC.

12. Del grafico 17, calcular y, cuando x tome su maximo valor entero.

Figura 17

1.3. Triangulos.

1.3.1. Clasificacion de Triangulos

1. Con relacion a sus lados:

a) Escaleno: si sus tres lados no son congruentes.

b) Isosceles : si por lo menos dos de sus lados son congruentes.

c) Equilatero: si sus tres lados son congruentes (note un triangulo equilatero es tambienisosceles, y que los tres angulos internos son iguales entre sı e iguales a 60)

2. Con relacion a sus angulos internos:

a) Acutangulo: si su angulo mayor es agudo (note que entonces los tres angulos son agudos)

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b) Rectangulo: si su angulo mayor es angulo recto (note que el angulo en cuestion es unicoy que los otros dos angulos son agudos; ası, en un triangulo rectangulo, la hipotenusaes mayor a los catetos)

c) Obtusangulo, si el angulo mayor es angulo obtuso (note que el angulo en cuestion esunico y que los otros son agudos; ası, en un triangulo obtusangulo, el lado que se oponeal angulo obtuso es el lado mayor)

1.3.2. Teoremas Fundamentales del Triangulo

Diremos que tres puntos que pertenecen a una misma recta son puntos colineales ; de maneraanaloga, si tres rectas pasan por un mismo punto, seran llamadas rectas concurrentes. Si tomamos“al azar” tres puntos en el plano, en muy raras ocasiones estos puntos estaran alineados,5 y diremosentonces que son los vertices de un triangulo; analogamente sucede con las rectas, tres rectas porlo general no concurren, y la figura geometrica que estas definen es tambien un triangulo.6 Unadefinicion completa para nuestros intereses es la siguiente:

Definicion de Triangulo. Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales (Ver figura18), entonces la reunion se los segmentos AB, BC y AC se llama triangulo ABC y se denotapor 4ABC. Los puntos A, B y C se llaman vertices y los segmentos AB, BC y AC se llamanlados. Simbolicamente: 4ABC = AB ∪ BC ∪ AC. Todo triangulo ABC determina tres angulosinternos o interiores : ∠ABC, ∠ACB y ∠BAC, y se llamara angulo externo o exterior, al angulodeterminado por un lado y la prolongacion del lado adyacente, en la figura 18, α, β y θ son angulosexteriores.

Figura 18: Elementos del Triangulo

Dado el 4ABC, se tiene que AB + BC + CA = p = 2s, donde p es llamado el perımetro y s elsemiperımetro del triangulo. Para abreviar, suele asociarse a cada vertice un lado opuesto, y vicev-ersa, por ejemplo, el lado opuesto de A es BC, y es frecuente que se denote por a; analogamenteb = CA, c = AB.

5En teorıa de probabilidades, ¡la probabilidad que esto ocurra es cero!6El termino mas riguroso para esta figura es trilatero. En este caso, habrıa que hacer una consideracion: si hay

un par de rectas paralelas, el trilatero definido ya no es “normal” segun nuestro sentido comun, sin embargo, ¡siguesiendo un trilatero!

16


Teorema 1: En todo triangulo, la medida de un angulo exterior es igual a la suma de las medidasde dos angulos interiores del triangulo no adyacentes a el.

La demostracion de este teorema se basa en las relaciones de angulos entre paralelas; se deja allector que haga la demostracion (Sugerencia: por un vertice, trace una recta paralela al lado op-uesto)

Corolario: En todo triangulo, la suma de las medidas de sus tres angulos internos es igual a 180°.

Teorema 2: Desigualdad Triangular. En todo triangulo, la longitud de uno de sus lados estacomprendido entre la suma y la diferencia de los otros dos.

Sin ser muy rigurosos, suponga que dado el segmento AB se traza con centro en A una circunferen-cia de radio r1, y con centro en B una circunferencia de radio r2; si AB < r1+r2, las circunferenciasse cortaran en dos puntos, y cualquiera de ellos puede ser el vertice C, ası AB < BC + CA; encambio, si AB = r1 + r2 o peor aun, si AB > r1 + r2, la construccion del 4ABC no es posible.

La Desigualdad Triangular es un resultado fundamental, a partir de esta y de su modelo de de-mostracion se generan los Criterios de Congruencia de Triangulos ; a groso modo, si dadas ciertascondiciones, la construccion de una figura geometrica (un triangulo en particular) queda deter-minada de manera unica, entonces dos figuras que reunen las mismas condiciones seran llamadasfiguras congruentes.

Ası, si se tienen tres segmentos (cuyas longitudes cumplen la desigualdad triangular), dejandouno fijo y construyendo las circunferencias con centros en los extremos de este segmento y radioslas longitudes de los otros segmentos, por construccion, solo sera posible obtener dos triangulos(uno con cada punto de interseccion de las circunferencias), que son basicamente el mismo perola orientacion de los angulos es contraria; ası, si se sabe que dos triangulos cumplen tener ladosrespectivamente iguales, por construccion, deben de ser iguales. Este es el conocido criterio LLLde congruencia de triangulos; mas adelante se detallaran el resto de criterios, pero a partir de esteprobaremos el siguiente resultado:

Teorema 3: En todo triangulo, se cumple que a lados iguales se oponen angulos iguales, y vicev-ersa.

Suponga que 4ABC es tal que AB = AC, entonces, por criterio LLL, 4ABC es congruente al4ACB (en ese orden, porque AB = AC, BC = CB y CA = BA), entonces, los angulos que seoponen a los angulos iguales son iguales. Para el recıproco necesitamos otro criterio de congruen-cia, por lo que la demostracion se dejara incompleta; retome esto en la seccion de congruencia detriangulos.

Teorema 4: En todo triangulo se cumple que a mayor lado se opone mayor angulo y viceversa.

Este teorema se deja como ejercicio para el lector (Sugerencia: utilice el teorema anterior, tome ellado mayor y defina un punto adecuado que genere un triangulo con dos lados iguales.)

17


1.3.3. Teorema de Pitagoras

Abordamos el estudio de las Relaciones Metricas, del cual solo realizaremos el analisis del famosoTeorema de Pitagoras, cuyo enunciado es el siguiente:

Teorema: Pitagoras. En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de los catetos.

Una demostracion de este teorema es debida a Thabit ibn Qurra (836-901), la cual consiste endiseccionar la figura que se forma al construir dos cuadrados de lados respectivamente iguales alos catetos de un triangulo rectangulo, como se muestra en el grafico 19.

Figura 19

Recıproco del teorema de Pitagoras: Si en un triangulo el cuadrado de un lado es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados, el triangulo es rectangulo.7

1.3.4. Rectas Notables de un triangulo

1. Altura: Se llama altura de un triangulo al segmento que parte de uno de sus vertices y llegaen forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongacion.

2. Mediana: Se llama Mediana al segmento que une un vertice con el punto medio del ladoopuesto.

3. Mediatriz: Se denomina mediatriz de un lado de un triangulo es la recta perpendicular adicho lado en su punto medio.

4. Una Bisectriz: La bisectriz es la recta que “divide” en dos angulos iguales a un angulo dado;en particular, es bisectriz interna si es la bisectriz de un angulo interno de un triangulo, ybisectriz externa si es la bisectriz de un angulo externo de un triangulo.

1.3.5. Distancia de un punto a una recta

En la figura 20, sea P un punto exterior a una recta L, la longitud de la perpendicular PM a larecta L es la distancia del punto P a dicha recta. Esta perpendicular tiene la propiedad de serunica y su longitud es la distancia mınima del punto a la recta (Pruebelo utilizano el hecho quela hipotenusa es mayor que los catetos). Los segmentos PA y PB no son perpendiculares a L y sellaman oblicuas.

7Ver demostracion en la seccion de congruencia de triangulos.

18


Figura 20

1.3.6. Problemas

1. En la figura adjunta ambos triangulos sonequilateros. Encuentre el valor de ϕ.

2. En la figura 21, calcular el ∠x si el ∠AOB = 100° y L1 ‖ L2.

Figura 21

3. (*) En la figura 22, ABDE es un cuadrado y BCD es un triangulo isosceles con BD = DC.Si ∠ABC = 160°, determinar la medida de ∠AEC.

19


Figura 22

4. (*) (XV Competencia de Clubes Cabri Primera Ronda) En la figuraadjunta, ABCD es un rectangulo tal que AB = 2BC. M es el puntomedio de AB y los triangulos AME y MBF son equilateros. Si Pes la interseccion de las rectas DE y CF , encuentre los angulos del4CDP .

5. Probar que una bisectriz exterior de un triangulo es paralela al lado opuesto si y solo si eltriangulo es isosceles.

6. Si AB y FG son rectas paralelas, el ∠ABC = ∠CDE = θ, el ∠DEF = θ2

y el ∠GFH = 150°.Calcule θ. Figura 23

Figura 23

20


7. (*) Hallar la suma de los angulos α + ε+ θ + φ en la figura 24.

Figura 24

8. Determine el valor de la suma ∠A+ ∠B + ∠I + ∠H + ∠F + ∠G. Figura 25.

Figura 25

9. En el 4ABC el ∠BAC = 36° y AC = AB. Probar que la bisectriz interior BD (D en AC)es congruente con el lado BC.

10. Sea ABC un triangulo rectangulo en B con AB = BC, se construye exteriormente eltriangulo equilatero BCD. Encuentre el angulo ∠DAB.

11. En el 4ABC, AB = AC y D un punto sobre la recta AC, tal que BC = BD = DA.Determine la medida del angulo ∠ABD, si:

a) D esta entre A y C.

b) A esta entre D y C.

12. En un4ABC, D es un punto sobre el lado AC tal que AB = AD. Si ∠ABC−∠ACB = 90°,hallar el ∠CBD.

13. Se tiene un triangulo isosceles ABC, AB = BC en el cual se traza al altura AF tal queBF = 6 y FC = 2. Hallar AC.

21


14. En la figura 26, el ∠ABC = ∠ACE, DC = EC, ¿Que lınea notable es AD del 4BCA?

Figura 26

15. ¿Cual es el valor de b− a en la figura 27?

Figura 27

16. (*) Sea ABC un triangulo tal que las medianas respectivas a B y C son perpendiculares.Demuestre que se cumple la relacion.

5BC2 = CA2 + AB2.

17. La hipotenusa BC de un triangulo rectangulo ABC se divide en 4 segmentos congruentespor los puntos G, E y H. Si BC = 20, encuentra la suma de los cuadrados de las longitudesde los segmentos AG, AE y AH. Figura 28.

Figura 28

22


18. (*) Dado un cuadrado ABCD, se construyen los triangulos equilateros ABP (exteriormente)y ADQ (interiormente). Probar que C, P y Q estan alineados.

19. (*) Sea ABC un triangulo rectangulo con ∠CAB = 90°. D es un punto sobre la prolongacionde BC tal que BD = BA. E es un punto en el mismo semiplano que A respecto de BC, talque CE ⊥ BC y ademas CE = CA. Mostrar que A,D y E estan alineados.

20. El cuadrilatero ABCD mostrado en la figura 29 cumple que AB ‖ CD y BC ‖ DA.8 Sobre lasprolongaciones de AB y AD se construyen puntos E y F tales que BC = BE y DC = DF .Demuestre que C, E y F estan alinedos.

Figura 29

21. (*) En la figura adjunta, AB = BC = CD =DE = EF = FG = GA. Calcule la medida del∠DAE.

22. (*) (XXVIII Olimpiada Brasilena de Matematica) En la figura 30, AB = AC, AM = AN y∠CAM = 30°, encuentre el valor del ∠BMN .

Figura 30

23. Los lados de un triangulo isosceles son 12 y 5 metros, ¿cual es su perımetro?

24. Muestre que los lados de un triangulo cumplen que |a− b| < c y que c < a+b+c2

.

8El cuadrilatero ABCD es un paralelogramo.

23

1.4 Congruencia de Triangulos. 1 Geometrıa

25. Muestre que es posible construir un triangulo con segmentos de longitudes a, b, c si y soloexisten numeros positivos x, y, z tales que: a = x+ y, b = y + z, c = z + x.

26. (*) (Etapa semifinal Estatal de XXII Olimpiada Mexicana de Matematicas) En la figura31 se muestra un hexagono regular ABCDEF de lado 1. Los arcos del cırculo que estandibujados tienen centro en cada vertice del hexagono y radio igual a la distancia al verticeopuesto. P , Q, R, S, T y U son los puntos de corte de estos arcos. ¿Cuanto mide cada ladodel hexagono PQRSTU?

Figura 31

1.4. Congruencia de Triangulos.

1.4.1. Criterios de Congruencia de triangulos

Definicion de Congruencia de triangulos. El 4ABC es congruente al 4A′B′C ′ si: AB =A′B′, AC = A′C ′, BC = B′C ′, ∠ABC = ∠A′B′C ′, ∠ACB = ∠A′C ′B′ y ∠BAC = ∠B′A′C ′.Simbolicamente: 4ABC = 4A′B′C ′. Vease figura 32.

Figura 32: Definicion de Igualdad de Triangulos.

La definicion anterior establece que dos triangulos son congruentes si tanto los lados como losangulos se presentan en pares respectivos congruentes. Esto, segun la vision de Euclides, significaque un triangulo es posible superponerlo sobre el otro (se puede desplazar, girar o reflejar) y coin-cidira de manera perfecta. Sin embargo, es importante mencionar que en muy raras ocasiones setendra a disposicion tanta informacion, de allı la importancia de los criterios de congruencia, que

24


establecen los requisitos mınimos para garantizar que dos triangulos son congruentes.

El siguiente es el primero de los tres criterios de congruencia de triangulos, y se denomina criteriode LADO-ANGULO-LADO, en sımbolos: L-A-L.

Criterio L-A-L. Si los triangulos ABC y A′B′C ′ presentan las congruencias: AB = A′B′, AC =A′C ′ y ∠BAC = ∠B′A′C ′, entonces 4ABC = 4A′B′C ′.

Figura 33: Criterio LAL

Segun el criterio L-A-L, dos triangulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y elangulo (comprendido entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el angulo(comprendido entre dichos lados), en el otro triangulo.

Criterio A-L-A. Sean ABC y A′B′C ′ dos triangulos tales que: AC = A′C ′, ∠BCA = ∠B′C ′A′

y ∠BAC = ∠B′A′C ′, entonces 4ABC = 4A′B′C ′.

Figura 34: Criterio ALA.

Criterio L-L-L. Si un triangulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres ladosde otro triangulo, entonces estos dos triangulos son congruentes.

Figura 35: Criterio LLL.

25


Ahora demostraremos el Recıproco del Teorema de Pitagoras.

Demostracion: Sea ABC un triangulo talque BC2 = AB2 + AC2, por construccion sea el4A′B′C ′ rectangulo en A′ tal que A′B′ = AB y A′C ′ = AC, entonces por el teorema de PitagorasB′C ′2 = A′B′2+A′C ′2, ası que B′C ′2 = BC2, de donde B′C ′ = BC y por el criterio LLL, se deduceque el 4A′B′C ′ = 4ABC, por lo tanto el ∠BAC = ∠B′A′C ′ = 90°.

1.4.2. Teorema de la Base Media

En todo triangulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado eigual a su mitad.

Figura 36: Teorema de La Base Media.

En la figura 36, MN es el segmento que une los puntos medios de los lados AB y BC del 4ABC,

a este segmento se le llama BASE MEDIA DEL TRIANGULO. Se verifica que MN =AC

2y que

MN ‖ AC.Demostracion:

1. Prolongar el segmento MN hasta el punto P tal que MN = NP .

2. Los triangulos MNB y PNC son congruentes, ya que BN = NC, MN = NP y el ∠CNP =∠MNB, por consiguiente, el ∠NCP = ∠MBN , por lo tanto, CP ‖ MB (Por angulosalternos internos iguales). Ademas, PC = MB = MA; con lo cual se tiene que: MA = PC.

3. Uniendo el punto A con el punto P se forman los triangulos congruentes AMP y ACP (porL A L) ya que MA = PC, AP = AP , ∠MAP = ∠APC (por angulos alternos internosentre las paralelas MA y PC). Luego, MP = AC, entonces NP = 1

2MP = 1

2AC. Ademas,

∠PAC = ∠MPA, de donde MP ‖ AC o que MN ‖ AC.

Corolario: Menor mediana de un triangulo rectangulo. En todo triangulo rectangulo, lamediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la longitud de la hipotenusa y es la menor de lastres medianas del triangulo.

Demostracion: En la figura 37, BM es la mediana relativa a la hipotenusa AC del 4ABC,probaremos que BM = AC

2; (con lo cual se tendra que BM = AM = MC). Si por M se traza

una paralela al lado AB, que corte al lado BC en N , entonces N es el punto medio de BC yel ∠MNC = 90°, los triangulos BNM y CNM son congruentes por el criterio L-A-L, luego

26


MB = MC = AM .Probar que BM es la menor mediana (Ejercicio).

Figura 37: Menor Media en un Triangulo Rectangulo.

1.4.3. Problemas

1. (*) En la figura adjunta, ABC es un triangulo equilateroy CDEF es un cuadrado. Se construye un punto G talque CF = CG y ademas ∠CFG = 15°. Probar que∠AGC = ∠BDC.

2. Dado un triangulo equilatero ABC, se construye un triangulo equilatero DEF cuyos verticesestan sobre los lados del 4ABC, tal como muestra la figura 38. Demuestre que los triangulosADF , BED, CFE son todos congruentes entre si.

Figura 38

3. ABCD es un cuadrado, E, F , G y H son puntos sobre los lados AB, BC, CD, DA, respec-tivamente, tal que EFGH tambien es cuadrado. Demuestre que los triangulos AEH, BFE,CGF , DHG son todos congruentes entre si. Figura 39.

4. ABCDE y FGHIJ son pentagonos regulares (Vease figura 40). Demuestre que los triangulosAFJ , BGF , CHG, DIH, EJI son todos congruentes entre si.

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Figura 39

Figura 40

5. Si AB ‖ CD y AB = CD entonces, AD = BC y AD ‖ BC9.

6. Demuestre que dos triangulos desplazadosson congruentes. Sugencia: Utilice el prob-lema anterior.

9El cuadrilatero ABCD se denomina paralelogramo.

28


7. Demuestre que dos triangulos rotados son congru-entes.

8. Demuestre que dos triangulos reflejados con respecto a un punto 10 son congruentes.

9. Demuestre que dos triangulos reflejados con respecto auna recta son congruentes.

Importante: Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no cambian el tamano ni la forma deun triangulo.

10. (*) En la figura adjunta, ABCD un cuadrado y EF ⊥ GH.Demuestre que que EF = GH.

10La reflexion con respecto a un punto es equivalente a una rotacion de 180°

29


11. Dos cuadrados ABCD y EHGF , ambos de lado l,estan colocados en manera tal que un vertice de unoesta en el centro del otro (como en la figura anexa).

Demuestre que el area del cuadrilatero EJBK esl2

4y por ende no depende de la posicion de J (o K).

12. En un 4ABC el ∠B = 2∠C, la mediatriz del lado AC corta en F al lado BC. Hallar AB,si FC = 9.

13. En la figura 41, AC = 12 AF = 4 y ∠BAF = 30. Hallar BF si AG = GC.

Figura 41

14. En la figura 42, AG = GC, el ∠AFG = 20°. Hallar el ∠FAC, si AC = 2BF .

Figura 42

30


15. (*) (Examen final de XVI Olimpiada Mexicana de Matematica) Los angulos de un trianguloABC estan en progresion aritmetica (∠B−∠A = ∠C −∠B = θ), D, E, y F son los puntosmedios de los lados BC, CA y AB, respectivamente. Llamamos H al pie de la altura trazadadesde C (que cae entre B y F ) y G a la interseccion entre DH y EF . Hallar los angulos del4FGH.

16. (*) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen triangulos equilateros ADP y ABQ como semuestra en la figura 43. Sea M la interseccion de CQ con AD y N la interseccion de CPcon AB. Demuestre que CMN es un triangulo equilatero.

Figura 43

17. En la figura 44, ABC, CDE y EFA son triangulos isosceles, con el ∠ABC = ∠CDE =∠EFA = 120°. Probar que el 4BDF es equilatero.

Figura 44

18. (*) 4ABC es un triangulo isosceles con ∠ABC = ∠ACB = 80°. D es un punto en AC talque ∠ABD = 10°. Demuestre que AD = BC.

31

1.5 Cuadrilateros 1 Geometrıa

1.5. Cuadrilateros

1.5.1. Clasificacion de Cuadrilateros

Los cuadrilateros pueden clasificarse de acuerdo a sus diagonales de la siguiente forma:

Cuadrilatero Convexo: Es un cuadrilatero con las dos diagonales en su interior.

A

BC

D

Cuadrilatero Entrante: Es un cuadrilatero con una diagonal en el interior y otra en el exterior.

A

BC

D

Cuadrilatero Cruzado Es un cuadrilatero con las diagonales en su exterior.

AB

C

D

11

Es muy frecuente que se considere que un cuadrilatero es convexo, a menos que se especifique locontrario. Esto es ası porque muchos resultados son mas claros en un cuadrilatero convexo, sinembargo, es importante darse cuenta que existen teoremas que no se cumplen para cualquier tipode cuadrilateros, por ejemplo:

Teorema: La suma de los angulos internos de un cuadrilatero no cruzado es 360◦.

La demostracion de este resultado se basa en la diseccion del cuadrilatero en dos triangulos cuyosangulos internos conforman los angulos internos del cuadrilatero, sin embargo, estas condicionesno pueden lograrse en un cuadrilatero cruzado; de hecho, la suma de los angulos internos puedehacerse arbitrariamente pequena cuando el cuadrilatero es cruzado.

11Tanto los cuadrilateros convexos como los entrantes son cuadrilateros simples, que son los cuadrilateros cuyoslados no se cortan salvo en los extrenos; en contraposicion, los cuadrilateros cruzados no son simples.

32


Tambien hay otras clasificaciones de cuadrilateros de acuerdo a sus lados y angulos.

Cuadrilatero Equiangulo: un cuadrilatero (convexo) es equiangulo si todos sus angulos internosson iguales; dado el teorema anterior, los angulos son iguales a 90◦, por ello este cuadrilatero esllamado rectangulo.

Cuadrilatero Equilatero: un cuadrilatero (convexo) es equilatero si todos sus lados son iguales.A este cuadiratero tambien se le conoce como rombo.

Cuadrado: es un cuadrilatero que es equiangulo y equilatero.

A

BC

D

Paralelogramo: es un cuadrilatero con los lados opuestos paralelos.

Trapecio: es un cuadrilatero con un par de lados opuestos paralelos.12

1.5.2. Paralelogramos

Es el cuadrilatero que tiene sus lados opuestos paralelos y congruentes. En todo paralelogramo secumple que sus angulos opuestos son congruentes y sus diagonales se bisecan. El paralelogramotambien se conoce como romboide.

AB

CD

E

F

Dado el paralogramo ABCD, por propiedades de angulos entre paralelas es posible probar el sigu-iente resultado:

Teorema: Los angulos opuestos son iguales y los angulos consecutivos son suplementarios: ∠ABC =∠CDA = θ y ∠BCD = ∠DAB = 180− θ.

Por otra parte, por criterio ALA, 4ABC ≡ 4CDA; esto implica que AB = CD y BC = DA, i.e.

12Note que un paralelogramo es tambien un trapecio.

33


Teorema: Los lados opuestos de un paralogramos son iguales.

A partir de esto, si M es la interseccion de AC con BD, por criterio ALA, 4ABM ≡ 4CDM ,por lo que AM = CM y BM = DM , i.e.

Teorema: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Ademas, se cumple un resultado sofisticado y muy importante:

Teorema: Ley del Paralelogramo. Si ABCD es un paralelogramo entonces el doble de la sumade los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, es decir

2(AB2 +BC2

)= AC2 +BD2

.Demostracion: Aplicando la Ley del Coseno a 4ABC y 4ABD se tiene

AC2 = AB2 +BC2 − AB ·BC cos θ

DB2 = AB2 + AD2 − AB · AD cos(180− θ)⇒ AC2 +DB2 = 2

(AB2 +BC2

)− AB ·BC (cos θ + cos(180− θ))

y dado que cos θ = − cos(180− θ) el resultado se sigue inmediatamente.

1.5.3. Rectangulos

Rectangulo: Sus cuatro angulos son igual a 90◦, sus lados opuestos son iguales y paralelos.

A B

CD

En primer lugar, es importante notar que todo rectangulo es paralelogramo (por angulos entre par-alelas), por lo que todos los resultados probados anteriormente son heredados a todo rectangulo;pero los rectangulos tienen propiedades adicionales:

Observe que por criterio LAL, 4ABC ≡ 4ABD, por lo que AC = BD y entoncesTeorema: Las diagonales de un cuadrado son iguales; ademas, el punto de interseccion de estasequidista de los cuatro vertices y por tanto es el centro de una circunferencia que pasa por todoslos vertices.

Por otra parte, observe que si se aplica la ley del paralelogramo a un rectangulo se obtiene elTeorema de Pitagoras.

34


1.5.4. Rombos

Rombo: Sus cuatro lados son iguales.

A

B

C

D

Dado un rombo ABCD, por criterio LLL, 4ABC ≡ 4CDA, y por lo tanto ∠BAC = ∠DAC y∠BCA = ∠DAC, lo cual implica BC ‖ AD y AB ‖ CD, i.e., todo rombo ABCD es un paralelo-gramo. Ademas, por las mismas congruencias se tiene

Teorema: Las diagonales de un rombo cumplen ser una mediatriz de la otra.

Teorema: Las diagonales de un rombo bisecan a los angulos interiores del rombo; esto implicaque el punto de corte de las diagonales equidista de los cuatro lados del rombo y es el centro deuna circunferencia tangente a estos.

1.5.5. Trapezoides

Es un cuadrilatero que no tiene pares de lados paralelos. Los trapezoides se clasifican en:Trapezoide asimetrico: No tiene ningun par de lados paralelos o congruentes.

A

BC

D

Trapezoide simetrico: Dos pares de lados consecutivos son congruentes; ademas una de lasdiagonales es mediatriz de la otra.

35


B

CA

D

1.5.6. Trapecios

Es el cuadrilatero que tiene dos lados paralelos denominados base y los otros dos no son paralelos.La distancia entres sus bases se llama altura, y el segmento que une los puntos medios de los ladosno paralelos se denomina mediana.Sea M y N los puntos medios de AD y BC. AB ‖ DC.

Base Menor

Base MayorA

B

CD

E F

G

Los trapecios se clasifican en: Trapecio escaleno: Es aquel en que sus lados no paralelos sondiferentes.

AB

CD

Trapecio isosceles:Es aquel en sus lados no paralelos son congruentes. AB = CD

AB

CD

Trapecio rectangulo: Cuando uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

36


AB

CD

Dado el trapecio ABCD (con AB ‖ CD), se construyen los puntos medios de BC y DA, M yN , respectivamente. Si el cuadrilatero MNAB se rota con centro en M y angulo 180 se generaun cuadrilatero MN ′A′C; observe que ND = N ′A′ y ND ‖ N ′A′, por lo que DNN ′A′ es unparalelogramo y

NN ′ = DA′

2MN = DC + CA′

2MN = DC + AB

⇒MN =AB + CD

2

El segmento MN es llamado base media del trapecio, y por lo recien demostrado se tiene

Teorema: La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases.

Por otra parte, hay ciertos trapecios que reciben nombres particulares; el trapecio rectangulo esaquel que las bases son perpendiculares a alguno de los otros lados; y por otra parte, el trapecioisosceles es aquel que los lados (distintos de las bases) tienen igual longitud. 13

1.5.7. Problemas

1. Dado el trapecio ABCD con AB ‖ CD, demuestre que la bisectriz interior del ∠A es paralelaa la bisectriz exterior del ∠D.

2. A un rombo ABCD se le construyen exteriormente los cuadrados ABEF y BCGH. De-muestre que 4ABD = 4EBH.

3. (*) Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen triangulos equilateros exteriores 4CDP y4ADQ. Demuestre que el 4BPQ es equilatero.

4. Demuestre que las bisectrices interiores de un paralelogramo forman un rectangulo (¿quesucede si el paralelogramo es ademas rombo?).

5. Demuestre que las bisectrices exteriores de un paralelogramo forman un rectangulo.

6. Sea ABCD un paralelogramo. La bisectriz interna del ∠CDA corta a BA en M , y la bisectrizinterna del ∠BAD corta a CD en N . Demuestre que ADNM es un rombo.

13Los trapecios isosceles son muy importantes cuando se estudian los angulos en la circunferencia; resulta que untrapecio es isosceles si y solo si los cuatro vertices se ubican sobre una misma circunferencia.

37


7. Demuestre que si por el punto de interseccion de las diagonales de un rombo se trazan perpen-diculares a los lados del rombo, entonces los puntos de interseccion de dichas perpendicularescon los lados del rombo forman un rectangulo.

8. Demuestre que las bisectrices de los angulos definidos por las diagonales de un rombo, cortana los lados del rombo en cuatro puntos que forman un cuadrado.

9. En un 4ABC sea G la interseccion de las medianas BB′ y CC ′. Sean B′′, C ′′ las reflexionesde G respectivas a los puntos B′ y C ′.

a) Demuestre que AGCB′′ y AGBC ′′ son paralelogramos.

b) A partir de lo anterior, demuestre que BCB′′C ′′ tambien es paralelogramo.

c) Demuestre que A′ pertenece a la recta AG, y concluya que las tres medianas de untriangulo concurren en el punto G, llamado el centroide del 4ABC.

d) Demuestre que CG = 2GC ′; relaciones similares se cumplen para las otras dos medianas.

10. Teorema de Varignon: Dado un cuadrilatero ABCD (no necesariamente convexo), seconstruyen los puntos medios L, M , N , O, P , Q, de los segmentos de recta AB, BC, CD,DA, BD, AC, respectivamente. Figura 45.

a) Demuestre que LMNO, LPNQ, OPMQ, son paralelogramos.

b) Demuestre que LN , OM , PQ concurren en un punto, llamado el centroide del cuadrilateroABCD.

c) Demuestre que el perımetro de LMNO es igual a AC + BD; resultados similares secumplen para los otros paralelogramos.

Figura 45: Teorema de Varignon

11. Sea ABCD un paralelogramo tal que existe un punto E sobre el lado AB que cumple∠CED = 90. Sean M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde A y B hacia DEy CE, respectivamente. Demuestre que AC, BD y MN concurren.

12. (*) (Hector Alberti) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen los triangulos equilateros BDA′,ACB′, BDC ′ y ACD′. Demuestre que el A′B′C ′D′ es tambien un cuadrado.

38


Figura 46

13. (*) (II Olimpiada Matematica del Cono Sur) En la figura 46 ABCD y AECF son paralelo-gramos. Demuestre que BEDF es paralelogramo.

14. (*) ABCD es un cuadrilatero convexo y O es un punto en su interior. Sean P , Q, R, S, lospuntos medios de los lados AB, BC, CD, DA, respectivamente. Por P se traza una paralelaa OR, por Q se traza una paralela a OS, por R se traza una paralela a OP , y por S se trazauna paralela a OQ. Demuestre que estas cuatro rectas concurren.

15. (*) Un trapecio isosceles tiene diagonales perpendiculares y su area es 2010, determine sualtura.

16. (*) (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea ABCDEF un hexagono regularcuyo centro es O. Se construyen los cuadrados FSOP y ORCQ. Demuestre que APQB ySEDR son rectangulos. Figura 47.

Figura 47

39

1.6 La Circunferencia 1 Geometrıa

17. (*) Sobre los lados del 4ABC se trazan exteriormente los cuadrados ABPQ, CARS yBCTU . Luego se trazan los paralelogramos AQA′R, CSC ′T y BUB′P .

a) Sean A′′, B′′, C ′′ los centros de los cuadrados BCTU , CARS, ABPQ, respectivamente.Demuestre que estos centros estan sobre los lados del 4A′B′C ′.

b) Demuestre que AA′′, BB′′, CC ′′ concurren.

18. (*) Se dibujan cuadrados exteriores a los lados de un paralelogramo, demuestre que:

a) El cuadrilatero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.

b) Las diagonales de ese cuadrado son concurrentes con las del paralelogramo.

19. (*) Dado un 4ABC, se construyen exteriormente los triangulos rectangulo isosceles 4ACPy 4BCQ, con AC y BC como hipotenusas. Si M es el punto medio de AB, demuestre queel 4MPQ tambien es un triangulo rectangulo isosceles.

1.6. La Circunferencia

1.6.1. Elementos de la circunferencia

Una circunferencia es el lugar geometrico de puntos que equidistan de un punto dado, llamado elcentro de la circunferencia; la distancia de cada punto de la circunferencia al centro es el radio.

Por otra parte, todos los puntos que estan a una distancia del centro menor o igual al radio formanel cırculo; estos puntos quedan “al interior” o sobre la circunferencia.

Si A y B son dos puntos de una circunferencia, el segmento de recta AB define una cuerda; enparticular, si el centro de la circunferencia pertenece a la cuerda, esta es llamada diametro. Esimportante mencionar que para cada punto de la circunferencia existe exactamente un punto di-ametralmente opuesto.

En la figura 48, se tiene una circunferencia de centro O y radio r = OA = OB = OA′; AB y AA′

son cuerdas, pero AA′ es tambien diametro, i.e, A′ es diametralmente opuesto a A y viceversa.Observe que por la desigualdad triangular aplicada al triangulo isosceles 4AOB

Figura 48

40


AB < AO +BO

= r + r

= AA′

Si A es un punto fijo, esta desigualdad es valida para cualquier punto B sobre la circunferencia(excepto cuando B = A′ lo cual implica AB = AA′). Esto quiere decir que el diametro es la mayorde todas las cuerdas.

1.6.2. Angulos en la circunferencia

A las porciones de circunferencia que quedan entre dos puntos ubicados en la circunferencia, seles llama arcos de circunferencia; note que dos puntos sobre una circunferencia definen dos ar-cos de circunferencia. Tambien, si un angulo tiene vertice sobre el centro de la circunferencia yesta formado por dos radios, sera llamado angulo central ; de nuevo, ∠AOB hace referencia a dosangulos, cuya suma es 360, y subtienden respectivamente a uno de los arcos AB. Finalmente, si unangulo tiene el vertice sobre la circunferencia y esta formado por dos cuerdas, sera llamado anguloinscrito; en la figura anterior, ∠AA′B es un angulo inscrito que subtiende al arco AB.

Teorema: El angulo central es el doble del angulo inscrito que subtiende el mismo arco.

Demostracion: Considere la figura 49, se demostrara que ∠AOB = 2∠APB en los tres casosmostrados. En la circunferencia de la izquierda, sea P ′ el punto diametralmente opuesto a P ;observe que 4APO y 4BPO son triangulos isosceles, y por el teorema del angulo externo se tiene

∠AOB = ∠AOP ′ + ∠BOP ′

= (∠APO + ∠OAP ) + (∠BPO + ∠OBP )

= 2∠APO + 2∠BPO

= 2 (∠APO + ∠BPO)

= 2∠APB

Figura 49

El caso de la circunferencia del medio es mas sencillo y se deja como ejercicio para el lector. Para la

41


circunferencia de la derecha, el trabajo es analogo y solo cambia en un pequeno arreglo algebraico

∠AOB = ∠BOP ′ − ∠AOP ′

= (∠BPO + ∠OBP )− (∠APO + ∠OAP )

= 2∠BPO − 2∠APO

= 2 (∠BPO − ∠APO)

= 2∠APB

Corolario: Todos los angulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales (Ver figura 50).En particular, los angulos internos son iguales a 90° si subtienden a una semicircunferencia.

Figura 50

Demostracion: Todos los angulos mostrados en la figura 50 son iguales a la mitad del ∠AOB, ypor tanto, son iguales entre sı. En particular, si AB fuera un diametro, ∠AOB = 180° y por tanto∠APB = 90°. 14

Hay un par de angulos mas que son importantes: Si un punto P es interno a la circunferencia, elangulo de vertice P formado por dos cuerdas que pasan por P se llama angulo interior. De formasimilar, si P es exterior y dos cuerdas de la circunferencia (al prolongarse) pasan por P , el angulocon vertice P es llamado angulo exterior.

Dejamos como ejercicio demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Los angulos interior y exterior mostrados en la figura 51 cumplen las formulas siguientes:

∠AQC =∠BOD + ∠AOC

2

∠APC =∠BOD − ∠AOC

2

14Observe que en cualquier triangulo rectangulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vertices.

42


Figura 51

1.6.3. Cuadrilateros Concıclicos

Ahora suponga que sobre una circunferencia se ubican cuatro puntos A, B, C, D, como se muestraen la figura 52. Al cuadrilatero ABCD se le llama cuadrilatero cıclico o concıclico. Observe que

∠ABC + ∠CDA =α

2+β

2= 180◦.

Figura 52

Y analogamente ∠DAB + ∠BCD = 180°. Esto significa que si ABCD es un cuadrilatero cıclicoy convexo, entonces los angulos opuestos son suplementarios. Tambien, es posible demostrar porcontradiccion el recıproco de este resultado: si suponemos que ABCD es tal que ∠B +∠D = 180pero no es cıclico, se define el punto D′ como la otra interseccion de AD con el circuncırculo del4ABC, y como ABCD′ es cıclico (por construccion) entonces ∠B+∠D′ = 180, luego, ∠D = ∠D′,lo cual implica la contradiccion CD ‖ CD′ (rectas paralelas que se cortan en C). Ası, se ha de-mostrado el siguiente teorema:

Teorema: El cuadrilatero convexo ABCD es un cuadrilatero cıclico si y solo si

∠A+ ∠C = 180◦ = ∠B + ∠D

Tambien, otro criterio muy util y cuya demostracion tambien se basa en el corolario anterior es

43


Teorema: El cuadrilatero convexo ABCD es un cuadrilatero cıclico si y solo si se cumple algunade las siguientes igualdades

∠ABD = ∠ACD

∠BCA = ∠BDA

∠BAC = ∠BDC

∠CAD = ∠CBD

Es importante recalcar que NO todo cuadrilatero puede ser inscrito en una circunferencia; porejemplo, un paralelogramo no sera cıclico a menos que sea rectangulo.

1.6.4. Rectas y Circunferencias tangentes a una circunferencia

Dada una circunferencia, una recta puede ser tangente o secante a la circunferencia, dependiendosi la corta en uno o dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso, se dice que la recta nocorta a la circunferencia.15

Sea l una recta secante a la circunferencia que corta a la circunferencia en A y B (A 6= B); comoel 4AOB es isosceles, ∠OAB < 90. Recıprocamente, si por A se traza una recta l tal que unode los angulos que forma con OA es menor que 90, se puede construir un punto B sobre l tal que∠OAB = ∠ABO < 90 y A 6= B (basta proyectar O sobre l y luego reflejar A con respecto a estepunto, el resultante es el punto B); entonces el 4AOB es isosceles, por lo que OA = r = OB,i.e. B pertenece a la circunferencia y por tanto l corta a la circunferencia en dos puntos distintos. Ası

Teorema: Una recta l corta a una circunferencia de centro O en dos puntos distintos A y B si ysolo si un angulo entre l y OA es agudo.

Corolario: Si l es una recta tangente en A a una circunferencia de centro O, ninguno de losangulos entre l y OA puede ser agudo, y por tanto l ⊥ OA.

A partir de este resultado se prueban otros resultados muy conocidos y utiles, que dejamos deejercicios para el lector.

Teorema: Dado un punto P externo a una circunferencia de centro O, si PA y PB son segmentostangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente, entonces el cuadrilatero PAOB es cıclicoy bisosceles.

Corolario: Dado un punto P externo a una circunferencia de centro O, la circunferencia dediametro PO corta a la circunferencia dada en dos puntos A y B tales que PA y PB son rectastangentes.

15Cuando la recta es tangente a la circunferencia puede considerarse como un caso muy peculiar en el cual los“dos” puntos de corte coinciden.

44


Definicion: El angulo semi-inscrito en una circunferencia es aquel que se forma con una cuerday la recta tangente en alguno de los extremos de la cuerda.

Teorema: La media del angulo semi-inscrito definido por la cuerda AB es igual a la medida deun angulo inscrito que subtiende al arco AB.

Demostracion: Considere la figura 53. Como APBO es cıclico, entonces ∠PAB = ∠POB;ademas, como PO es la mediatiz de AB, ∠POB = ∠POA, por lo que

∠PAB =∠AOB

2= ∠AQB

Figura 53

Por otra parte, dada una circunferencia, otra circunferencia puede ser secante o tangente a laprimera, dependiendo si la corta en uno o dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso sedice que las circunferencias no se cortan.16

Ademas, dos circunferencias pueden posicionarse una dentro de la otra, y claramente, la circunfer-encia de radio mayor es la externa mientras que otra es la interna; particularmente, si las circun-ferencias tienen el mismo centro se llaman concentricas. Finalmente, combinando estas defincionesse tienen las circunferencias tangentes exteriormente y las tangentes interiormente.

Teorema: Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2 que se cortan en dos puntos distintos Ay B, se cumple que O1O2 ⊥ AB.

Teorema: Si dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes en A, se cumple que O1, A yO2 estan alineados.

Teorema:

a) Dos circunferencias, una dentro de la otra, no tienen rectas tangentes en comun.

b) Dos circunferencias tangentes interiormente tienen una recta tangente comun.

c) Dos circunferencias secantes (en dos puntos distintos) tienen dos rectas tangentes en comun.

16Tambien aca puede considerarse a las circunferencias tangentes como un caso especial de circunferencias secantesen el cual los puntos de corte coinciden.

45


d) Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen tres rectas tangentes en comun.

e) Dos circunferencias no secantes y tal que ninguna contiene a la otra, tienen cuatro rectastangentes en comun.

1.6.5. Problemas

1. Si el ∠MPQ = 20, determine el valor del ∠QON en la figuraadjunta.

2. Dado un angulo inscrito BAC, y su angulo central BOC, se sabe que ∠BAC+∠BOC = 180°.Calcular el ∠OBC.

3. En la figura 54, BCDO es un rombo. Determine el valor del angulo θ y la medida de lasdiagonales de BCDO si el radio de la circunferencia mide 6.

Figura 54

4. Un cuadrilatero cıclico ABCD satisface ∠ABC = 2∠CDA = θ. Calcule θ.

46


5. En la figura 55. Calcule el valor del ∠PQR.

Figura 55

6. En la figura adjunta, el ∠AFE = 100° y el ∠BCD =150°. Calcule el ∠AGB.

7. Dado un angulo ∠AOB, se trazan dos rectas l y m perpendiculares a los lados del anguloen A y B respectivamente. Si P es el punto de corte de l y m, demuestre que A, B, O, P seubican sobre una misma circunferencia.

8. En la figura 56 se ha tomado un punto C sobre la circunferencia de centro O; AC y BCcortan a la segunda circunferencia en D y E respectivamente. Probar que OC ⊥ DE.

Figura 56

47


9. (*) Dada la figura 57, demuestre que AB ‖ A′B′.

Figura 57

10. En la figura 58 CR es una recta tangente en C, demuestre que AB ‖ CR.

Figura 58

11. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 son tangentes (interior o exteriormente) en P (Ver figura 59). Dosrectas que pasan por P cortan a Γ1 y Γ2 en A y C, y en B y D, respectivamente. Demuestreque AB ‖ CD.

Figura 59

48


12. (*) Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en unpunto P ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en Ay B, respectivamente. Demuestre que AO1 ‖ BO2.

13. Dos circunferencias son tangentes externamente en el punto A. Una tangente exterior comuntoca a una circunferencia en B y a la otra en C. Demostrar que ∠BAC = 90°.

14. En la figura 60, DE es tangente en D, y C es el punto medio del arco AD. Encuentre elvalor del angulo seminscrito ADE.

Figura 60

15. Determine el valor del ∠DCF , sabiendo BE es tangente en el punto D a la circunferenciade centro O. Ver Figura 61.

Figura 61

49


Figura 62

16. Si el ∠AEB = 30, ∠ADE = 20 y ∠ACE = 35, calcule el ∠AFB. Vease figura 62.

17. Dada una circunferencia de diametro BC, se toma un punto P en la prolongacion de BC, yse traza la tangente AP . Si AP = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre queel 4AOC es equilatero.

18. (*) Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunesexternas forman segmentos iguales; analogamente, las tangentes comunes internas formansegmentos iguales.

19. (*) Teorema de Pithot. Demuestre que en todo cuadrilatero inscribible, la suma de ladosopuestos es igual.

20. (*) Teorema de Steiner. En todo cuadrilatero exinscrito a una circunferencia, la diferenciade las longitudes de lados opuestos es igual.

21. En la figura 63, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferenciaparalela a AB. Demuestre que CD es bisectriz del ∠ACB.

Figura 63

22. (X OMCC - P2, Aaron) Sea ABCD un cuadrilatero concıclico con diametro AC, y sea O elcentro de su circunferencia. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF . Demuestreque si E y F estan sobre la circunferencia entonces ABCD es rectangulo.

50


23. Cuatro cilindros de diametro 1 estan pegados apretadamente poruna cuerda muy fina, como en la figura adjunta. Demostrar que lacuerda tine longitud 4 + π. Demostrar tambien que el area som-breada entre los cilindros es 1− π

4.

24. En la figura 64, ABCD es un trapecio isosceles con AB ‖ CD y DA = BC = 2; tomando DAy BC como diametros, se construyen dos circunferencias tangentes. Si DC = 3AB, calculeel area del trapecio.

Figura 64

25. La figura 65 esta formada por un paralelogramo y dos circunferencia tangentes entre sı ytangentes a tres lados del paralelogramo. Sabiendo que el radio de las mismas mide la cuartaparte del lado menor del paralelogramo, calcule la razon entre el lado mayor del paralelogramoy el radio de las circunferencias.

Figura 65

26. (*) Teorema de Miquel: Dado un 4ABC, sean X, Y , Z puntos sobre AB, BC, CA,respectivamente. Demuestre que los circuncırculos de 4AXZ, 4BYX, 4CZY tienen unpunto en comun M .

27. (*) Sea ABC un triangulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del angulo A conel lado BC y el circuncırculo de ABC respectivamente. Construimos la interseccion M delcircuncırculo de ABL con el segmento AC. Prueba que los triangulos BMN y BMC tienenla misma area.

28. (*) Sea AB el diametro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre lasemicircunferencia y sobre AB, respectivamente.17 Sea P el centro de la circunferencia que

17M y K son distintos de A y B.

51


pasa por A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B, K y M . Demuestreque MPKQ es concıclico.

29. En la figura 66, ABCDEF es un hexagono regular y las circunferencias de centro en losvertices son tangentes dos a dos. Si las circunferencias sobre los vertices B, D, F son iguales,demuestre que las circunferencias restantes son iguales.

Figura 66

30. (*) Las circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en los puntos A y B. Por el punto A se traza una rectaque corta nuevamente a las circunferencias Γ1 y Γ2 en los puntos C y D, respectivamente.Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortan en elpunto M . Demuestra que MCBD es cıclico.

31. (*) El 4ABC cumple que ∠A = 90° y AB = AC. Se toma un punto E del segmento AB,se construye interiormente un triangulo equilatero AEF . EF corta BC en I, y se construyeexteriormente un triangulo equilatero BIJ . Encuentre ∠EJB.

32. (*) En la figura 67, se sabe que ∠AO1B −∠AO2B = 70◦ y ademas la tangente EB forma eltriangulo isosceles ABE, con AB = AE. Encuentre ∠EBC.

Figura 67

52


33. (*) Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en A y B. Una recta por A corta a Γ1 y Γ2 en Cy D, respectivamente, y la paralela a CD por B corta Γ1 y Γ2 en E y F , respectivamente.Demuestre que 4CDB ≡ 4EAF .

34. (*) La Recta de Simson-Wallace. Sean X, Y y Z los pies de las alturas trazadas desdeun punto P en el circuncırculo del 4ABC hacia AB, BC y CA, respectivamente. Demuestreque X, Y y Z estan alineados.

35. (*) Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que ∠APC = 90◦, Q es la interseccionde AB y PC, y R el pie de la perpendicular por Q a CA. Demuestre que P , R y D estanalineados.

36. En la figura 68, ABCD es un trapecio rectangulo tal que la circunferencia de diametro AB(y centro O) es tangente a CD. Demostrar que O pertenece a la circunferencia de diametroCD y que esta circunferencia es tangente a BA.

Figura 68

37. El 4ABC es rectangulo en C, la circunferencia de centro O es tangente a cada uno de loslados del 4ABC en los puntos P , Q y R (como se muestra en la figura 69), y se cumple queAP = 20 y BP = 6. Calcule OP .

Figura 69

38. Los vertices A y B de un triangulo equilatero 4ABC estan sobre una circunferencia deradio 1 y el vertice C esta en el interior de la circunferencia. Un punto D (distinto de B)que esta en la circunferencia es tal que AD = AB. La recta DC corta por segunda vez a lacircunferencia en E. Encuentre la longitud del segmento CE. Ver figura 70.

53


Figura 70

39. En la figura 71 se muestran tres semicircunferencias, una de diametro AB (de centro O yradio r), otra de diametro AO y la ultima de diametro OB. Determine la razon entre el radiode la circunferencia tangente a estas tres semicircunferencias y r.

Figura 71

40. El segmento AB es diametro de un semicırculo con centro en O. Un cırculo con centro en Pes tangente a AB en O y tambien al semicırculo. Otro cırculo con centro en Q es tangente aAB, al semicırculo y al cırculo de centro en P . Si AB = 2, ¿cual es el radio del cırculo concentro en Q?

Figura 72

41. (*) (OIM 2002, P-4) En un triangulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con Dsobre AC. Sean E y F puntos sobre la recta BD tales que (AE ‖ CF ) ⊥ BD, y sea M elpunto sobre el lado BC tal que DM ⊥ BC. Demuestre que ∠EMD = ∠DMF .

42. (*) (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diametro de ella. Sea t la rectatangente a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean E

54

1.7 Semejanza de Triangulos. 1 Geometrıa

y F las intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con CF yDE. Demuestre que AH = AG.

43. (*) (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadradoABCD y un punto E sobre el lado AB. La diagonal AC corta al segmento DE en el puntoP . La perpendicular por P a DE corta al lado BC en F . Probar que EF = AE + CF .

44. (*) Teorema de Arquımedes: En la figura 73, la region delimitada por tres semicircunfer-encias mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o arbelos. Demostrarque las circunferencias sombreadas son congruentes.

Figura 73: Teorema de Arquımedes.

1.7. Semejanza de Triangulos.

1.7.1. Proporcionalidad

Definicion

1. Razon: se llama razon, al cociente de dos cantidades, expresadas en la misma magnitud, porejemplo a

b.

2. Proporcion: se llama proporcion a la igualdad de dos razones. Por ejemplo ab

= cd, 18 a los

terminos a y d se les llama extremos y los terminos b y c se les llama medios, al termino d sele llama cuarta proporcional entre a, b y c en este orden.

Propiedades de las proporciones:

1.a

b=c

dsi y solo si a· c = b· d.

2.a

b=c

dsi y solo si

b

a=d

coa

c=b

d.

3.a

b=c

dsi y solo si

a± bb

=c± dd

.

4.a

b=c

dsi y solo si

a+ b

a− b=c+ d

c− d.

18En algunos textos de geometrıa se utiliza la notacion de proporcion ası a : b :: c : d que se lee “a es a b como ces a d”.

55


1.7.2. Teorema de Thales

Definicion

1. Un punto P ∈ AB divide al segmento AB en una razon dada r, si PAPB

= r.

2. Sean AB y CD dos segmentos, y sean P ∈ AB y Q ∈ CD, decimos que P y Q dividen aAB y CD en segementos proporcionales si AP

PB= CQ

QD.

Figura 74

Teorema de Thales. Si tres paralelas cortan a dos secantes entonces los segmentos que determi-nan en ellas son proporcionales. 19

Antes de demostrar el Teorema de Thales, se enunciaran dos teoremas que a pesar de su aparentesencillez es de mucha utilidad en problemas que involucran Areas y Proporcionalidad.

Lema 1. Sea AB ‖ CD. Demuestre que: (ABC) = (ABD).

Lema 2. Sea P un punto sobre el lado AB (o su prolongacion) del 4ABC. Pruebe que:

AP

PB=

(APC)

(PBC)

A continuacion se enuncian los pasos a seguir en la demostracion del teorema de Thales.

Demostracion. Sean AA′, BB′ y CC ′ rectas paralelas que cortan a dos secantes en los puntos A,A′, B, B′, C, C ′ respectivamente (ver figura 75).Pruebe que:

1.AB

BC=

(ABB′)

(BCB′)

2.A′B′

B′C ′=

(A′B′B)

(B′C ′B).

3. (ABB′) = (A′B′B) y (BCB′) = (B′C ′B).

19El teorema de Thales puede enunciarse de manera general como sigue: Si tres o mas paralelas cortan a dos omas secantes entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

56


Figura 75: Teorema de Thales

Con ayuda de las igualdades demostradas concluya que:

AB

BC=A′B′

B′C ′.

Observacion Importante: Utilice las propiedades de las proporciones para demostrar las equiv-alencias siguientes (interpretelas geometricamente):

AB

BC=A′B′

B′C ′⇔ AC

AB=A′C ′

A′B′⇔ AC

BC=A′C ′

B′C ′

Sea4ABC un triangulo, sabemos que su area puede calcularse al multiplicar la longitud de unode sus lados por la longitud de la altura correspondiente a ese lado. Si denotamos por a la longitudde un lado del 4ABC y ha la longitud de la altura correspondiente, el area del 4ABC se denotapor (ABC) y es igual a:

a · ha2

Ahora estamos en condiciones de probar el siguiente lema:Lema:Si dos triangulos tienen una misma altura entonces la razon entre sus areas es igual a larazon de las bases donde se levanta la altura comun.Demostracion:Sean 4ABC y 4A′B′C ′ triangulos con alturas iguales h. Sean D y D′ los pies delas alturas trazadas de los vertices A y A′ a los lados BC y B′C ′respectivamente. Entonces:

(ABC) =BC · h

2(A′B′C ′) =

B′C ′ · h2

La razon entre las areas es:(ABC)

(A′B′C ′)=

BC·h2

B′C′·h2

=BC

B′C ′

Como queriamos demostrar.El siguiente lema se puede probar de manera analoga al anterior:Lema:Si dos triangulos tienen una base igual entonces la razon de sus areas es igual a la razonentre las alturas que se levantan sobre la base igual.Corolario (Teorema de Thales en el triangulo). Toda recta paralela a un lado de un triangulo yque corte a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

57


Recıproco del Teorema de Thales. Si tres rectas cortan a dos secantes en segmentos propor-cionales y dos de estas rectas son paralelas entonces las tres rectas son paralelas.

Demostracion. Sean AA′, BB′ y CC ′ rectas que cortan a dos secantes en los puntos A, A′, B,

B′, C, C ′ respectivamente, tales que AA′ ‖ CC ′ yAB

BC=

A′B′

B′C ′. Por el punto B tracemos una

recta paralela a AA′, la cual interseca a A′C ′ en el punto D (ver figura 76). Entonces, por el

Teorema de Thales se tiene que:AB

BC=A′D

DC ′. De donde,

A′B′

B′C ′=A′D

DC ′, ası por las propiedades

de las proporcionesA′C ′

B′C ′=A′C ′

DC ′, por lo que B′C ′ = B′D + DC ′ = DC ′ y por tanto B′D = 0, o

equivalentemente B′ = D y por lo tanto, BB′ ‖ AA′.

Figura 76: Recıproco del Teorema de Thales

Corolario (Recıproco del Teorema de Thales en el triangulo.) Si una recta intercepta doslados de un triangulo en segmentos proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado deltriangulo.Teorema:Sea 4ABC un triangulo y sean D y E puntos en los lados AB y AC respectivamente.Si se cumple que:

AB

AD=AC

AE

entonces DE es paralela a BC.Supongamos que, por el contrario DE no es paralela a BC. Sea C ′ un punto en AC, distinto deC, tal que BC ′ es paralela a DE, entonces por el teorema de Thales, AB

AD= AC′

AE. Pero ademas, se

cumple por hipotesis del problema, que ABAD

= ACAE

. Podemos entonces decir que

AC =AB · AEAD

= AC ′

AC = AC ′

Por tanto, los puntos C y C ′ deben ser iguales y DE es paralela a BC.Teorema: Consideremos tres rectas paralelas y dos rectas transversales a estas como se muestraen la figura. Tenemos que si AD, BE y CF son paralelas entonces AB

BC= DE

EF. Reciprocamente, si

ABBC

= DEEF

y dos de las rectas AD, BE o CF son paralelas entonces las rectas son paralelas.Demostracion. Diremos que G es el punto de interseccion de AF con BE. Si aplicamos el teoremade Thales y su reciproco en los triangulos 4ACF y 4FDA, vemos que las rectas AD, BE, CFson paralelas si y solo si

ABBC

= AGGF

y FGGA

= FEED

58


Luego, son paralelas si y solo si ABBC

= AGFG

= DEEF

.Ahora, supongamos que BE y CF son paralelas y que la otra recta AD cumple que AB

BC= DE

EF.

Definimos G como el punto de interseccion de AF con BE. Como BE y CF son paralelas, secumple queAB

BC= AG

GF. Ahora bien, como AB

BC= DE

EFtenemos que, AG

GF= DE

EF. Luego, el primer

teorema de Thales, GE es paralela a AD y de ahi que BE es tambien paralela AD.

1.7.3. Criterios de Semejanza de Triangulos

Triangulos semejantes. Decimos que el 4ABC es semejante al 4A′B′C ′ (Ver figura 77), lo cualdenotamos ası ABC ∼ A′B′C ′, si:

AB

A′B′=

AC

A′C ′=

BC

B′C ′

y∠BAC = ∠B′A′C ′,∠ABC = ∠A′B′C ′,∠ACB = ∠A′C ′B′.

Figura 77: Definicion de Semajanza de Triangulos.

En los tres teoremas que se muestran a continuacion (los cuales son una consecuencia directa delTeorema de Thales) se establecen las condiciones mınimas para demostrar que dos triangulos sonsemejantes, a los cuales denominaremos: Criterios de Semejanza de Triangulos.

Primer criterio de semejanza de triangulos: Angulo-Angulo A-A. Si dos angulos de untriangulo son congruentes con dos angulos de otro triangulo, entonces los dos triangulos son seme-jantes.Demostracion. Supongamos que en el 4ABC y 4A′B′C ′ se tiene que ∠ABC = ∠A′B′C ′ y∠ACB = ∠A′C ′B′, entonces ∠BAC = ∠B′A′C ′ (Por la suma de angulos internos en un triangulo).Sea D ∈ AB y E ∈ AC tales que AD = A′B′ y AE = A′C ′, dado que ∠DAE = ∠BAC =∠B′A′C ′, se sigue por L-A-L que 4ADE = 4A′B′C ′, por consiguiente ∠ADE = ∠A′B′C ′ =∠ABC, de donde DE ‖ BC (por ser iguales los angulos correspondientes) y por el teorema deThales

AB

AD=AC

AE

y por consiguienteAB

A′B′=

AC

A′C ′(2)

59


Sea F ∈ BC tal que DF ‖ AC, entonces FC = DE = B′C ′ (porque DECF es paralelogramo ypor ser 4ADE = 4A′B′C ′) y por el teorema de Thales

BA

DA=BC

FC

o lo que es lo mismoAB

A′B′=

BC

B′C ′(3)

Luego, de (1) y (2) se tiene que:AB

A′B′=

AC

A′C ′=

BC

B′C ′.

Ası, se ha demostrado que los tres pares de angulos son congruentes y los tres pares de lados sonproporcionales, por lo tanto, 4ABC ∼ 4A′B′C ′.

Segundo criterio de semejanza de triangulos: L-A-L. Si un angulo de un triangulo es congru-ente con otro angulo de otro triangulo y los lados que comprenden al angulo en el primer trianguloson respectivamente proporcionales a los lados que comprende al angulo en el segundo triangulo,entonces los dos triangulos son semejantes.

Demostracion. Suponga que el ∠BAC = ∠B′A′C ′ y queAB

A′B′=

AC

A′C ′. Considere los puntos

D y E, como en la demostracion del teorema anterior. Entonces por el criterio L-A-L, 4ADE =

4A′B′C ′, de lo cual se deduce que ∠ADE = ∠A′B′C ′. Por otra parte tenemos que:AB

AD=AC

AE, y

al aplicar el recıproco del teorema de Thales, se puede afirmar que DE ‖ BC, de lo cual a su vez sededuce que ∠ADE = ∠ABC, por angulos correspondientes entre paralelas. Finalmente por transi-tividad se concluye que ∠ABC = ∠A′B′C ′. Por lo tanto,4ABC ∼ 4A′B′C ′ (Por el criterio A-A.)

Tercer criterio de semejanza de triangulos: L-L-L. Si los tres lados de un triangulo sonrespectivamente proporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.

Demostracion. Por hipotesis se tiene que:AB

A′B′=

AC

A′C ′=

BC

B′C ′y como antes sean D y E

puntos sobre AB y AC respectivamente tales que AD = A′B′ y AE = A′C ′. Entonces por elrecıproco del teorema de Thales se tiene que DE ‖ BC y por consiguiente el ∠ABC = ∠ADE

y el ∠ACB = ∠AED, de donde 4ABC ∼ 4ADE (por el criterio A-A). Por endeAB

AD=BC

DE,

luego por transitividadBC

DE=

BC

B′C ′, de donde DE = B′C ′. En consecuencia 4ADE = 4A′B′C ′

(por el criterio L-L-L), de lo cual se sigue que ∠A′B′C ′ = ∠ADE y ∠A′C ′B′ = ∠AED, y portransitividad ∠A′B′C ′ = ∠ABC y ∠A′C ′B′ = ∠ACB =. Por lo tanto, 4A′B′C ′ ∼ 4ABC (Porel criterio A-A.)

1.7.4. Potencia de Punto

Proposicion.Si dos cuerdas AB y CD de una circunferencia se intersectan en un punto P , entonces PA ·PB =PC · PD.

60


Demostracion. Si P es un punto sobre la circunferencia esta claro que ambos productos son0 y por tanto iguales. Si P es un punto dentro de la circunferencia entonces el cuadrilateroADBC es cıclico con los angulos ∠BAD = ∠BCD y ∠ADC = ∠ABC y por tanto los triangulos4APD y 4BPC y por tanto se cumple las proporciones PA

PC= PD

PBy despejando obtenemos que

PA · PB = PC · PD.

Si P es un punto fuera de la circunferencia el cuadrilatero ABDC es ciclico y los angulos ∠CAPy ∠BDP son iguales y los triangulos 4PAC y 4PBD son triangulos semejantes con lo que secumple de nuevo en este caso que PA

PC= PD

PBy por tanto, PA · PB = PC · PD.

Proposicion 2. Si A, B y C son puntos sobre una circunferencia y si la tangente en C, intersectaen un punto P a la prolongacion de la cuerda AB, entonces PC2 = PA · PB.

Demostracion. Sabemos que un angulo seminscrito es igual a un angulo inscrito que sostengael mismo arco asi pues, el angulo ∠PCA = ∠CBP y dado que, ∠CPA = ∠CPB los triangulos4PCA y 4BCP son semejantes y se cumple la razon PA

PC= PC

PBy por tanto, PC2 = PA · PB.

Ahora veremos los inversos de las proposiciones anteriores.

Proposicion 3. a. Si AB,CD son dos segmentos que se intersectan en P de manera que, como seg-mentos dirigidos, PA·PB = PC ·PD entonces A,B, C y D se encuentran sobre una circunferencia.

b. Si A, B, C, y P son puntos tales que P, A y B estan alineados y PC2 = PA.PB, entonces PCes tangente en C al circuncırculo del triangulos 4ABC.

Demostracion. Denotemos por Γ la circunferencia que inscribe al triangulo ABC.

a. Supongamos que D no esta sobre la circunferencia y sea D′ la interseccion de PC con Γ. Por laproposicion 1 PA ·PB = PC ·PD′ y dado que la hipotesis dice que PA ·PB = PC ·PD, tenemosque PD = PD′, por lo que D y D′ son iguales. Contradiccion. Por tanto, D debe estar sobre lacircunferencia.

b. Sea C ′ la otra interseccion de PC con Γ. Por la primera proposicion, PA · PB = PC · PC ′ ycomo por hipotesis PA · PB = PC2, obtenemos que PC ′ = PC y entonces C coincide con C ′.Podemos concliur que PC es tangente a Γ en C.

Para cualquier punto P , una circunferencia C y cualquier recta trazada por P que corte a C enpuntos A y B (A y B pueden ser iguales) que: el producto PA · PB es constante y se denominala potencia de punto del punto P con respecto a C.

Otra forma de calcular la potencia de un punto se comentara a continuacion. Si P es exterior a Cy PC es tangente a C por P , la potencia es PC2. Si O es el centro de la circunferencia C y radior, tenemos que, por el teorema de Pitagoras: PC2 = PO2 − r2.

Ahora bien, si P es un punto dentro de la circunferencia y que esta sobre un diametro AB, pode-mos calcular la potencia como PA · PB. Pero vemos que PA lo podemos escribir como r − PO

61


y PB como r + PO, o viceversa, dependiendo de si P esta mas cerca de A o de B. De ahı quePA · PB = (r − PO)(r + PO) = r2 − PO2. Si un punto esta sobre la circunferencia sabemos quesu potencia es cero, lo cual tambien es descrito por r2 − PO2 .

Para teminar podemos decir que la potencia de punto de P con respecto a la circunferenciaC = (O, r) es PO2 − r2. Ademas, la potencia es positiva, cero o negativa, dependiendo si Pse encuentra fuera, sobre o dentro de la circunferencia.

Eje RadicalProblema. ¿Cual es el lugar geometrico de los puntos cuya potencia de punto con respecto a doscircunferencias no concentricas?

1.7.5. Problemas

1. Sean AB y CD las bases del trapecio ABCD, cuyas diagonales se intersecan en E perpen-dicularmente. Si AD = 13, AE = 12 y CE = 4 encuentre las longitudes de CD y AB.

2. En la figura 78, el 4ABC es equilatero, sus lados tienen longitud 3 y PA es paralela a BC.Si PQ = QR = RS, encontrar la longitud de CS.

Figura 78

3. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD, sus diagonales se cortan en E. Si BE = 3,ED = 4 y CE = 2, determine la medida de AE.

4. Las bases de un trapecio miden 3 y 5, y si su altura mide 4. Encontrar la distancia desde elpunto de corte de las diagonales hasta la base mayor.

5. En la figura adjunta, el4ABC es rectangulo en A y el4ADBes rectangulo en D. El punto E es el punto de interseccion delos segmentos AD y BC. Si AC = 15, AD = 16 y BD = 12,calcule el area del 4ABE.

62


6. El 4ABC es rectangulo en B. Se dibuja un rectangulo BEDF con D sobre la hipotenusa,E y F sobre BC y AB, respectivamente. Si AB = 1, demuestre que BC

BE= 1

1−DE .

7. Considerese los puntos A, B, C y D tales que A y B estan sobre el segmento OC y OD respec-tivamente, donde O es el centro de la circunferencia de radio r (Ver figura 79). Si OA·OC =

r2 = OB·OD, demuestre que el 4AOB ' 4DOC y que CD =

(r2

OA·OB

)AB.20

Figura 79

8. Sobre la circunferencia de centro O, se trazan los diametros AB y CD tales que AB ⊥ CD.Sea P un punto sobre el arco CBD y Q el punto de interseccion de las cuerdas AP y CD.Si DO = 1, demuestre que AP ·AQ = 2.

9. Un segmento de recta AB es divido por los puntos interiores K y L de manera que AL2 =AK·AB. Sea P un punto exterior al segmento AB tal que AP = AL. Pruebe que ∠KPL =∠LPB. Figura 80.

Figura 80

10. En la figura 81, AB y AC son tangentes a la circunferencia, y CE ⊥ BD, siendo BD undiametro. Probar que BE·BO = AB·CE.

11. Demostrar que1

AX+

1

BY=

1

CZsi se cumple que AX ‖ BY ‖ CZ. (Ver figura 82.)

12. En la figura 83, el 4ABC es rectangulo. Se construyen exteriormente los cuadrados ABEFy BCPQ. Demostrar que BM = BN .

13. Sean O, P y R los centros de las tres circunferencias. Si OR = r y Q es la interseccion dePO con la circunferencia de centro R, demuestre que OP ·OQ = r2. Ver figura 84.

20La medida del segmento CD se denomina Distancia Inversa.

63


Figura 81

Figura 82

Figura 83: .

14. Si en un triangulo rectangulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces:

a) Los dos nuevos triangulos que resultan, son semejantes entre si y semejantes al triangulooriginal.

b) La altura es media proporcional 21 entre los segmentos que ella determina sobre lahipotenusa.

c) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccion del cateto sobre

21Si b es una magnitud tal que ab = b

c , entonces decimos que b es media proporcional entre a y c,o de maneraequivalente: b es media proporcional entre a y c si y solo si b2 = a· c.

64


Figura 84

la hipotenusa.

d) Demuestre el teorema de Pitagoras.

15. Si dos triangulos tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendicu-lares, entonces los dos triangulos son semejantes.

16. Las alturas, las bisectrices y las medianas homologas de dos triangulos semejantes estan enla misma razon que sus lados homologos.

17. Sean ABC y A′B′C ′ dos triangulos semejantes con ABA′B′

= BCB′C′

= CAC′A′

= k. Demuestre que:la razon entre los perımetros de los triangulos es k y que la razon entre sus areas es k2.

18. Teorema de Menelao. Dado el 4ABC, sea P un punto sobre la recta AB, Q un puntosobre la recta BC, R un punto sobre la recta CA. Si los puntos P , Q, R estan alineados

entoncesAP

PB

BQ

QC

CR

RA= 1.

Figura 85: Teorema de Menelao.

Para demostrar este teorema, sea W un punto sobre la recta PQR tal que BW ‖ AC:

a) Demuestre que los triangulos APR y BPW son semejantes.

b) Demuestre que los triangulos CQR y BQW son semejantes.

c) De los literales a) y b) deduzca queAP

PB

BQ

QC

CR

RA= 1.

65


19. Teorema de Ceva. Dado el 4ABC, sea Pun punto sobre el recta AB, Q un punto so-bre la recta BC y R un punto sobre la rectaCA. Si las rectas AQ, CP , BR concurren,

entoncesAP

PB

BQ

QC

CR

RA= 1.

Para demostrar este teorema, sean W y V los puntos de interseccion de la recta que pasapor B paralela a AC, con las rectas CP y AQ, respectivamente.

a) Demuestre que 4APC ∼ 4BPW y que 4AQC ∼ 4V QB.

b) Demuestre que 4BWO ∼ 4RCO y que 4BV O ∼ 4RAO.

c) Utilice los literales a) y b) para probar queAP

PB

BQ

QC

CR

RA= 1.

20. Sea ABC un triangulo, con D sobre AB, E sobre AC y F sobre BC, tal que DE es paraleloa BC, Demuestre que BF = FC

21. Sea ABC un triangulo, con D sobre AB, con E sobre BC y F sobre AC, tal que AD = 2BDy FA = 2CF . Demuestre que E es punto medio de B.

22. Sea Γ una circunferencia y dado un triangulo ABC, sean L,L′,M,M ′, N,N ′ los puntos decorte de la circunferencia con el triangulo , sobre los lados BC,AC,AB respectivamente.Demostrar que si AL,BM,CN concurren, entonces AL′, BM ′, CN ′ concurren.

23. En el triangulo ABC, rectangulo en A , se consideran las circunferencias inscritas y circun-scritas. La recta AM es tangente a la circunferencia circunscrita en el punto A (M es puntode BC). S y R son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos AC yAB, respectivamente. La recta RS corta a la recta BC en N . Las rectas AM y SR se cortanen U . Demostrar que el triangulo UMN es isosceles.

24. Demuestre que si ABC es un triangulo y AA′ es su bisectriz externa (con A′ sobre BC)entonces BA′

A′C= AB

AC

25. Demuestre que si ABC es un triangulo y suponga que las bisectrices internas de B y Ccortan a CA y AB en b′ y C ′ respectivamente y que la bisectriz externa de A corta a BC en

66


A′. Demuestre que A′, B′, C ′ son colineales.

26. Demuestre que si ABC es un triangulo. Demuestre que los puntos en los que las bisectricesexternas cortan a su lado opuesto correspondientes son colineales.

27. Sea ABC un triangulo, se definen los puntos A′, B′, C ′ tales que los segmentos AA′, BB′, CC ′

son las bisectrices de ABC. Sean A′′, B′′, C ′′ tales que si las rectas l,m, n son las mediatricesde AA′, BB′, CC ′ y ademas A′ es la interseccion de l con BC, B′ es la interseccion de m conAC y C ′ es la interseccion de n con BA. Demuestre que A′′, B′′, C ′′ son colineales.

28. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia entonces el producto de lasmedidas de los segmentos determinados por el punto de interseccion en una de las cuerdases igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra cuerda.

29. Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos segmentosy el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de interseccionen el primer segmento es igual al producto de las medidas de los segmentos determinadospor el punto en el segundo segmento,entonces los extremos de los segmentos estan sobre unacircunferencia.

30. Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas secantes quecortan a la circunferencia en los puntos A, B y C, D respectivamente, entonces PA·PB =PC·PD.

31. Si desde un punto P se trazan dos semirrectas con los puntos A, B sobre una y los puntos C,D sobre la otra, tales que PA·PB = PC·PD, entonces los puntos A, B, C, D estan sobreuna circunferencia.

32. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas, una tangente y laotra secante, entonces el segmento entre el punto y el punto de tangencia es media propor-cional entre los segmentos determinados entre el punto exterior y los puntos de interseccionde la secante con la circunferencia. 22

33. Si P es un punto sobre el mismo plano que una circunferencia de centro O y radio r, y d esla distancia del punto P al centro O de la circunferencia, demuestre que:

a) Si P esta en el interior de la circunferencia, entonces la potencia de P es r2 − d2.b) Si P esta en el exterior de la circunferencia, entonces la potencia de P es d2 − r2.c) Si P esta sobre de la circunferencia, entonces la potencia de P es cero.

34. En un triangulo ABC los puntos D y E estan en los lados AC y AB de forma tal que losangulos ∠ADE = ∠ABD. Si AE = 2 y BE = 3 encuentre AD.

22Los problemas anteriores nos permite establecer la siguiente definicion de Potencia de un punto con respectoa una circunferencia: La potencia de un punto P con respecto a una circunferencia de centro O y radio r es elproducto PA·PB, donde A y B son los puntos de interseccion de la circunferencia con una recta que pasa por P .

67


35. El cuadrilatero ABCD es cıclico y la interseccion de los lados AC y BD es P . Halle BP siPC = 4, DP = 2 y AP = 8.

36. En un cuadrilatero ABCD los angulos en ∠A y en ∠C son rectos. Si P es el punto de inter-seccion de AC con BD y los lados AB = 3, AD = 4 y DP = 2, hallar AP · PC.

37. Por un punto P sobre la cuerda comun AB de dos circunferencias que se intersectan setrazan las cuerdas KM sobre el primer cırculo y LN sobre el segundo cırculo. Pruebe que elcuadrilatero KLMN es concıclico.

38. En el triangulo ABC con circuncentro O, las alturas BE y CF se cortan en H. Las rectasOB y HC se cortan en P . Si HP = 3, OP = 2 y PC = 5, ¿cuanto vale OB?

39. La recta OA es tangente a una circunferencia en el punto A y la cuerda BC es paralela aOA. Las rectas OB y OC intersectan a la circunferencia por segunda vez en los puntos K yL, respectivamente. Pruebe que la recta KL divide al segmento OA por la mitad.

40. En el paralelogramo ABCD la diagonal AC es mas larga que la diagonal BD. Sea M unpunto en la diagonal AC tal que el cuadrilatero BCDM es cıclico. Pruebe que la linea BDes una tangente comun a los triangulos 4ABM y 4ADM .

41. Dada la circunferencia S y los puntos A y B fuera de esta. Por cada linea L que pasa por elpunto A e intersecta a la circunfenrencia S en los puntos M y N considere la circuncırculodel 4BMN . Pruebe que todas las circunferencias tienen un punto en comun distinto de B.

42. Dada una circunferencia S, los puntos A y B sobre esta y C en la cuerda AB. Para cualquiercircunfenrencia S ′ tangente a la cuerda AB en el punto C y que intersecta a S en P y Q,considere el punto de interseccion M de las rectas AB y PQ. Pruebe que la posicion de Mno depende de la elecccion de S ′

43. Desde A se trazan una recta tangente a la circunferencia S en C y una recta que corta a Sen los puntos ByD. Sea E otro punto en la circunferencia tal que CE es tangente a AD. SiCA = 6, AB = 12 y CE = 4BD hallar CE y BD. Si P es el punto de interseccion de CDcon BE cual es la potencia de punto de P con respecto a S.

44. Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B y sea MN su tangente comun. Pruebeque la recta AB divide a MN por la mitad.

68


45. Pruebe que el eje radical de dos circunferencias es el lugar geometrico de los puntos P talesque al trazar las tangentes a las circunferencias la distancia de P a ambos puntos de tangen-cia es la misma.

46. A partir de un punto P exterior a una circunferencia de centro O se trazan las tangentesPQ y la secante PBA, tal que PQ = AB = 2, si el radio de la circunferencia mide 1 +

√5 ,

hallar ∠BOP .

47. (*) (IV OMCC, P-4) Sea ABC un triangulo, D el punto medio de BC, E un punto sobreel segmento AC tal que BE = 2AD y F el punto de interseccion de AD con BE. Si∠CAD = 60°, encuentre la medida de los angulos del 4FEA.

48. (*) Sea ABCD es un trapecio con AD ‖ BC. M y N son los puntos medios de CD y BC,respectivamente, y P el punto comun de las rectas AM y DN . Si PM

AP= 1

4, demuestre que

ABCD es paralelogramo.

49. Dado el 4ABC se construye un cuadrado PQRS con P en AB, Q en AC, R y S en BC.Sea H el pie de la altura desde A hacia BC. Demuestre que:

a)1

PQ=

1

AH+

1

BC

b) (ABC) = 2(PQRS) si y solo si AH = BC.

50. Sea P un punto en el interior del 4ABC. Se trazan por P las paralelas a los lados deltriangulo, que queda dividido en tres triangulos y tres paralelogramos. Si las areas de los trestriangulos de la subdivision son, en algun orden, 9, 16 y 25, hallar el area del 4ABC.

51. (*) En la figura anexa, BC = CD = DE =EA = x y ∠AEB = 90°. Demuestre que∠ABC + ∠ACD + ∠ADE = 90°.

52. Las tres circunferencias de la figura 86 tienen el mismo radio r, sus centros son colineales yla circunferencia de centro O2 es tangente a las otras dos. Por A se traza una tangente a lacircunferencia de centro O3. Obtenga el valor del segmento BC en funcion de r.

53. Sea ABCD un rombo, con AC = 6 y BD = 8. Se construyen exteriormente los cuadradosADEF y CDHG, cuyos centros son O1 y O2, respectivamente (Vea figura 87). Calcular lamedida del segmento O1O2.

54. Sea ABCD un cuadrado con P y Q sobre AB y BC tales que BP = BQ. Sea H el pie dela perpendicular de B a PC. Demuestre que DHQ = 90°.

55. Dado un paralelogramo ABCD, se trazan dos circunferencias tangentes externamente en P ,y tales que la primera es tangente internamente al ∠ABC y la otra es tangente internamenteal ∠CDA, como en la figura 88. Demuestre que B, P y D estan alineados.

69


Figura 86

Figura 87

Figura 88

56. Alrededor de una circunferencia se construyen diez circunferencias tangentes a la originaly tangentes entre sı (Vease figura 89). Demuestre que la suma de las areas de las diezcircunferencias es el doble del area de la circunferencia mayor.

70

1.8 Puntos y Rectas Notables del Triangulo. 1 Geometrıa

Figura 89

57. En un 4ABC el ∠CAB = 120. Encuentre la medida de la bisectriz interna del ∠CAB enfuncion de los lados adyacentes.

58. El 4ABC tiene lados de 13, 14 y 15 unidades. El 4A′B′C ′ esta dentro del 4ABC conlados paralelos a los de este y a 2 unidades de distancia de los lados del mismo. Calcule(ABC)− (A′B′C ′).

59. (*) (Asiatico Pacıfica) Sea ABC un triangulo y D el pie de la altura con respecto a A. SeanE y F puntos en una recta que pasa por D (distintos de D) tales que AE ⊥ CE y AF ⊥ BF .Sean M y N los puntos medios de BC y EF , respectivamente. Demuestre que AN ⊥ NM .

1.8. Puntos y Rectas Notables del Triangulo.

1.8.1. Medianas

Definicion: En un triangulo, una mediana es el segmento de recta que une un vertice con el puntomedio del lado opuesto.

Teorema: Las tres medianas de un triangulo concurren en un punto llamado el Centroide23 deltriangulo y usualmente es denotado por G. Ademas, las medianas se cortan mutuamente en razon2:1.

Demostracion: Dado el 4ABC sean A′, B′, C ′, los puntos medios de BC, CA, AB, respectiva-mente. Defina G como la interseccion de BB′ con CC ′. Por el teorema de la base media, B′C ′ ‖ BCy 2B′C ′ = BC; observe que 4BCG ' B′C ′G, con razon de semejanza 2, por lo que

GB

GB′=GC

GC ′= 2

Analogamente, si G∗ = AA′ ∩BB′ se cumple

G∗B

G∗B′=G∗A

G∗A′= 2

23Tambien conocido como Geocentro, Centro de Gravedad, Baricentro, o mas formalmente Equibaricentro.

71


Ası, G y G∗ dividen al segmento BB′ en dos segmentos cuya razon es 2:1, por lo que G = G∗, locual implica que AA′, BB′, CC ′ concurren y

GA

GA′=GB

GB′=GC

GC ′= 2

1.8.2. Mediatrices

Definicion: Dado un segmento AB, la mediatriz del segmento es el lugar geometrico de puntosque equidistan de A y B, i.e., un punto P esta sobre la mediatriz de AB si y solo si PA = PB.

Teorema: La mediatriz de AB es una recta l perpendicular a AB y que pasa por su punto medio.

Demostracion: Sea M el punto medio de AB, y l pasa por M y l ⊥ AB. En primer lugar se pro-bara que todos los puntos de l satisfacen la definicion de mediatriz: Por definicion de punto medioMA = MB. por lo que claramente M pertenece a la mediatriz de AB; sea P un punto de l distintode M , por criterio LAL, 4PMA ≡ 4PMB por lo que PA = PB. Ahora, cabe preguntarse siexiste algun punto fuera de l que tambien cumpla la definicion: suponga P ′ tal que P ′A = P ′B,esto implica que 4P ′AB es isosceles, y entonces ∠P ′AB = ∠P ′BA; si M ′ es la proyeccion de P ′

sobre AB, por criterio ALA 4P ′AM ′ ≡ 4P ′BM ′, lo cual implica que M ′A = M ′B, es decir queM ′ = M , y esto obliga a que P ′ este sobre l (ya que P ′M ′ = l).

Teorema: Las mediatrices de un 4ABC concurren en un punto que equidista de los vertices deltriangulo, llamado el Circuncentro del 4ABC

Figura 90: Concurrencia de Mediatrices, Circuncentro y Circuncırculo.

Usualmente, el circuncentro es denotado por O, y R representa la distancia del circuncentro a losvertices

R = OA = OB = OC

A esta distancia se le llama Circunradio del 4ABC. Ası, O es el centro de una circunferencia quepasa por A, B, C, cuyo radio es R, llamada el Circuncırculo del 4ABC.24

24En ocasiones, denotaremos a esta circunferencia por Γ(ABC).

72


Demostracion: Sea O la interseccion de las mediatrices de AB y BC, por el teorema anterior,como O pertenece a la mediatriz de AB se cumple OA = OB, y como tambien pertenece a lamediatriz de BC, OB = OC; entonces OC = OA, y utilizando de nuevo el teorema anterior,O debe pertenecer a la mediatriz de CA. Ası, las tres mediatrices concurren en O, y este puntoequidista de los vertices del 4ABC.

Corolario: Dado un triangulo, existe una circunferencia que pasa por los tres vertices (el cir-cuncırculo); ademas, esta circunferencia es unica.

Una observacion importante es que la mediatriz del lado de un triangulo NO siempre pasa por elvertice opuesto; de hecho, esto solo se da si el triangulo es isosceles.

1.8.3. Alturas

La altura es un concepto que esta intrınsecamente relacionado con la distancia de un punto a unarecta; la altura es la recta que debe trazarse para determinar esta distancia, i.e., es una rectaque pasa por el punto y es perpendicular a la recta. A la interseccion entre la altura y la rectageneralmente se le llama pie de la altura, o tambien (mas formal) proyeccion del punto sobre larecta. En particular, para triangulos, definiremos la altura de la siguiente forma:

Definicion: Dado un triangulo, una altura es una recta que pasa por un vertice y es perpendicularal lado opuesto.

Es importante observar que el pie de la altura NO siempre pertenece a un lado; de hecho, unaaltura puede estar “al interior” de un triangulo, coincidir con un lado, o estar completamenteafuera de un triangulo.

Teorema: Las alturas de un triangulo concurren en un punto, llamado el Ortocentro del triangulo,usualmente denotado por H.25

Demostracion: Dado el4ABC, se construyen los puntos A1, B1, C1, tales que ABA1C, BCB1A,CAC1B son paralelogramos. Observe que el 4ABC es el triangulo medial del 4A1B1C1, y quelas alturas del 4ABC son las mediatrices del 4A1B1C1; como las mediatrices de un trianguloconcurren (en este caso, las del 4A1B1C1), las alturas del 4ABC concurren.

La altura tambien puede escribirse en terminos de lugar geometrico:

Teorema: La recta l es perpendicular a AB si y solo si AL2−LB2 es constante. Es decir, que unarecta perpendicular a AB es el lugar geometrico de los puntos L que satisfacen la condicion anterior.

Demostracion: sea P la interseccion de l con AB, y L un punto arbitrario sobre l; por Pitagorasse tiene AL2 − LB2 = AP 2 − PB2, y el termino derecho de la igualdad es constante. La otradireccion de la implicacion se prueba por contradiccion.

25El triangulo formado por los pies de las alturas de un 4ABC es llamado el triangulo ortico del 4ABC.

73


De esa definicion tambien puede fabricarsele una demostracion del teorema anterior, sin embargo,no se aborda porque la prueba se basa en un resultado sofisticado llamadado Teorema de Steiner.26

1.8.4. Bisectrices

Definicion: La bisectriz de un angulo es una recta que “divide” al angulo en dos angulos de igualmagnitud.

Teorema: El lugar geometrico de puntos que equidistan de dos rectas dadas, generan un par derectas perpendiculares llamadas bisectriz interna y bisectriz externa del angulo formado por lasrectas.

Demostracion: Suponga que las rectas se cortan en un punto O; sean a, b las rectas dadas, yP un punto que equidista de ellas; si A y B son las proyecciones de P sobre a y b, respectiva-mente, entonces PA = PB. Observe que por criterio LLL (utilizando Pitagoras previamente),4OAP ≡ 4OBP , por lo que ∠POA = ∠POB, i.e., P pertenece a la bisectriz del ∠AOB. Clara-mente aquı se dan dos casos, recuerde que para definir el angulo entre a y b se utilizan unicamentesemi-rectas, por lo que las rectas a y b definen cuatro angulos, que por parejas pueden ser opuestospor el vertice o suplementarios; de estos se escoge cualquiera de ellos como referencia, entonces, si∠AOB coincide con este o con el opuesto por el vertice, la recta PO es llamada bisectriz interna, yen caso contrario, bisectriz externa. Ası, el lugar geometrico son dos rectas, y su perpendicularidadse basa en los pares de angulos que son suplementarios. Finalmente, si a ‖ b, el lugar geometricoes una recta paralela a a y b que se ubica entre ellas a igual distancia de ambas (este es un casoextrano de bisectriz interna, sin embargo, en ocasiones es util tener esta convencion en mente; peoraun, la bisectriz externa es una recta ideal llamada recta al infinito).

Teorema: Las bisectrices internas de un 4ABC concurren en un punto, llamado el Incentro del4ABC, usualmente denotado por I. La distancia de I a los tres lados del triangulo es igual a unnumero r, llamado el Inradio del 4ABC, y de aquı que la circunferencia de centro I y radio r seatangente a los lados del triangulo; dicha circunferencia es llamada el Incırculo del 4ABC.27

Demostracion Sea I la interseccion de las bisectrices internas de ∠A y ∠B (obviamente, I estaen el interior del 4ABC); como I pertenece a la bisectriz interna del ∠A, por el teorema ante-rior dist(I, AB) = dist(I, AC), y analogamente, como I pertenece a la bisectriz interna del ∠B,dist(I, AB) = dist(I, CB); entonces dist(I, AC) = dist(I, CB), y de nuevo por el teorema anteriory dado que I esta al interior del triangulo, I pertenece a la bisectriz interna del ∠C. Ası, las tresbisectrices internas concurren en un punto que equidista de los lados del triangulo.

Es importante notar que las interseccion de una bisectrices interna con el lado opueto del trianguloNO siempre coincide con el puntos de tangencia del incırculo;28 de hecho, esto ocurre solamente siel triangulo es isosceles.

26Sean l, m, n, tres rectas perpendiculares a los lados del AB, BC, CA del 4ABC, respectivamente. SeanL, M , N , puntos arbitrarios sobre l, m, n, respectivamente. Entonces las rectas l, m, n concurren si y solo siAL2 +BM2 + CN2 = NA2 + LB2 +MC2.

27En algunas ocasiones denotaremos al incırculo por Λ(ABC).28En la figura, el 4ABC es llamado triangulo tangencial del 4DEF .

74


Figura 91: Concurrencia de Bisectrices Internas, Incentro e Incırculo.

Corolario: Dado un triangulo, existe una circunferencia que es tangente interiormente a los treslados (el incırculo); ademas, esta circunferencia es unica.29

1.8.5. Problemas

1. Sea I el incentro del triangulo ABC. Si el ∠AIB = 130◦, determine la medida del ∠ACB ydel ∠ACI.

2. Las areas de los seis triangulos AGB′, AGC ′, BGA′, BGC ′, CGA′, CGB′ son iguales eiguales a un 1

6del area del triangulo ABC.

Figura 92

3. Los cuatro triangulos AB′C ′, BC ′A′, CA′B′, A′B′C ′,30 son congruentes entre si y semejantesal 4ABC con razon de semejanza 1

2.

4. El centroide del 4ABC coincide con el centroide del triangulo medial 4A′B′C ′. Ademas,estos dos triangulos tienen lados correspondientes paralelos (triangulos homoteticos).

5. En la figura 93, G es el centroide. Si GD = 2 y el area sombreada vale 5, calcule AD y el(ABC).

29Existen 3 circunferencias mas que son tangentes a los tres lados del triangulo, llamados excırculos; estas cir-cunferencias se ubican en el exterior del triangulo.

30El 4A′B′C ′ es llamado el triangulo medial del 4ABC.

75


Figura 93

6. Demostrar que las paralelas a los lados de un 4ABC, trazadas por el centroide G dividencada lado en tres partes iguales.

7. ABCD es un paralelogramo de centroide (baricentro) E, M es el punto medio de AD, y Fes la interseccion de AC con BM . Si el area de ABCD es 1, calcule el area del cuadrilateroDEFM .

8. En el 4ABC, se traza la mediana AM . Demostrar que si BM = AM , entonces el trianguloes rectangulo en A.

9. La suma de las distancias del centroide a los puntos medios de los lados de un triangulo es20. Calcule la suma de las medianas del triangulo.

10. La mediana tiene longitud menor que la semisuma de los lados adyacentes, es decir AA′ <b+ c

2, BB′ <

c+ a

2, CC ′ <

a+ b

2.

11. Dado el 4ABC, sean D y E puntos variables sobre los lados AB y AC respectivamente talesque BC ‖ DE. Entonces, la mediana AA′ puede definirse como el lugar geometrico de lospuntos P tales que P ∈ CD ∩BE.31

12. Siempre es posible construir un triangulo XY Z con las medianas AA′, BB′, CC ′ de un4ABC dado. Ademas, los segmentos que unen el centroide del 4XY Z con sus vertices soniguales a la mitad de los lados del 4ABC.

13. En el4ABC, AB = BC y la mediatriz de BC interseca a la mediana BM en L. Si ∠LCB =25, determine la medida del ∠LAC.

14. Ley del Seno. Dado un 4ABC, se cumple que

sen∠Aa

=sen∠B

b=sen∠C

c=

1

2R

15. Las reflexiones de H con respecto a los lados del 4ABC caen sobre el circuncırculo delmismo, es decir HHa = HaX y analogo para los otros lados.

16. Las reflexiones de H con respecto a los puntos medios de los lados del triangulo, caen sobreel circuncırculo del mismo.

31Si D = A se define P = A, y cuando D = B entonces P es punto medio de BC.

76


Figura 94

17. Si O y H son el circuncentro y el ortocentro de un 4ABC, respectivamente, entonces∠BAH = ∠CAO.

18. La altura AHa es bisectriz del ∠HbHaHc.

19. Los circuncırculos de 4ABC, 4ABH, 4BCH, 4CAH tienen igual radio.

20. La perpendicular trazada desde A al lado HbHc del triangulo ortico, pasa por el circuncentrodel 4ABC.

21. A, B, C y H forman un cuadrilatero ortocentrico, es decir que cada punto es el ortocentrodel triangulo formado por los otros tres.

22. El ortocentro de un triangulo esta al interior, sobre un vertice, o afuera del triangulo, si eltriangulo es acutangulo, rectangulo, u obtusangulo, respectivamente.

23. El circuncentro del 4ABC es el ortocentro del triangulo medial 4A′B′C ′.

24. Sea O el circuncentro del 4ABC. Si ∠AOC = 100 y ∠OCB = 30, determine la medida delos angulos del 4ABC.

25. Hallar los angulos de un triangulo cuyo triangulo ortico tiene angulos de 20, 50 y 110.

26. Sea ABC un triangulo obtusangulo de circuncentro O y altura AD. Si ∠OAB = 25 y∠OCB = 15, calcule el ∠DAB.

27. El 4ABC de circuncentro O y altura BD. Si ∠DAB = 35 y ∠OBD = 10 encontrar losangulos del triangulo ABC.

77


Figura 95

28. En la figura 95, AB es diametro de la circunferencia. Si X es la interseccion de CG con AB,calcular el ∠CXB.

29. En el 4ABC, se trazan la altura AH y la mediana BM . Demuestre que el 4MHC esisosceles.

30. Un 4ABC es rectangulo en C, ∠A = 75 y CH es altura. Demuestre que CH =AB

4.

31. Sea O el circuncentro del 4ABC con ∠C = 45 y sea D el pie de la altura desde A. Calculela medida del ∠ODC.

32. Dado el 4ABC isosceles con ∠A = 90, sean P y Q son puntos dentro del triangulo tales queBP = AQ y AP = CQ. Si BP y CQ se cortan en R, demostrar que AR ⊥ PQ.

33. Se ubican los puntos M y K sobre los lados BC y CD del cuadrado ABCD, respectivamente,de modo que MC = KD. Sea P la interseccion de MD y BK, demuestre que AP ⊥MK.

34. Sean D, E, F los puntos de tangencia del incırculo sobre los lados BC, CA, AB del 4ABC.Demuestre que se cumplen las siguientes relaciones, donde s denota el semiperımetro deltriangulo:

AE = AF = s− aBD = BF = s− bCD = CE = s− c

35. El ortocentro del 4ABC es el incentro de su triangulo ortico.

36. Dado un 4ABC, su triangulo ortico y su triangulo tangencial tienen lados correspondientesparalelos (triangulos homoteticos).

37. Las bisectrices exteriores de ∠B y ∠C, junto con la bisectriz interior de ∠A, concurren en unpunto, llamado el Excentro con respecto al vertice A (Vease figura 96), usualmente denotadopor Ia. Este punto es equidistante a los lados del 4ABC, dicha distancia es el Exradiorespecto a A, usualmente denotado por ra. Ası, la circunferencia de centro Ia y radio ra estangente exteriormente a los lados del 4ABC, y es llamada el Excırculo respecto a A.32

32Analogamente se definene los excırculos con respecto a los otros vertices.

78


Figura 96

38. I es ortocentro del 4IaIbIc (Vease figura 96). Ademas se cumple:

AX = AZ = sBX = BY = s− cCY = CZ = s− b

39. En un 4ABC, la bisectriz exterior del ∠ABC y la bisectriz exterior del ∠BCA se cortan enD. La paralela a BC por D corta a AC en L y a AB en M . Si LC = 5 y MB = 7, hallarLM .

40. El 4ABC es rectangulo en A. Si I es el incentro, calcular ∠BIC.

41. En un 4ABC, el ∠ABC − ∠CAB = 90. Sean D y E los pies de las bisectrices interior yexterior del ∠BCA respectivamente. Demuestre que CD = CE.

42. En el 4ABC, AB < AC, AD es bisectriz, y E es un punto en AB tal que el ∠EDB = 90.El punto F sobre AC es tal que el ∠BED = ∠DEF . Demuestre que el ∠BAD = ∠FDC.

43. En el 4ABC se trazan las bisectrices interiores BD y CE tales que D es el punto sobre AC,E es el punto sobre AB, 2∠BDE = 3∠B y ∠CED = 2∠B. Calcular los angulos del 4ABC.

44. Dado el 4ABC con ∠A = 90, sea D el pie de la perpendicular desde A. Sean ademas I yJ los incentros respectivos de 4ABD y 4ACD. Demostrar que la bisectriz del ∠BAC esperpendicular a IJ .

45. Un triangulo es isosceles si cumple alguna de las siguientes condiciones:

a) Dos medianas son iguales.

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b) Dos alturas son iguales.

c) Dos bisectrices son iguales.33

46. Teorema de la Bisectriz: Dado el 4ABC, sean P y P ′ sobre BC. Se cumple que AP yAP ′ son la bisectriz interna y la bisectriz externa del ∠A si y solo si

BP

PC=BA

AC=BP ′

P ′C

Sugerencia: Para demostrar la primera igualdad, trace CD ‖ AP con D sobre la prolongacionde AB.

47. (*) De acuerdo con los datos de la grafica 97, calcular el valor de AB.

Figura 97

48. Dos circunferencias son tangentes internamente en P , y una cuerda AB de la circunferenciade radio mayor es tangente en Q a la otra circunferencia. Ver figura 98.

a) Demuestre que PQ es bisectriz del ∠APB.

b) Llame A′ y B′ a las otras intersecciones de PA y PB con la circunferencia de radio menory suponga que AB = 15, PA′ = 3 y PB′ = 2; calcule AQ y BQ.

49. (*) Teorema de Poncelet: Demuestre si 4ABC es un triangulo rectangulo con ∠A = 90°,entonces 2(r +R) = b+ c.

50. Demuestre que las mediatrices de un cuadrilatero son concurrentes si y solo si es cıclico.

51. Las bisectrices BP y CQ del 4ABC se cortan en I. Demuestre que si ∠BAC = 60◦ entonces4PQI es isosceles.

52. Demuestre que el cuadrilatero convexo ABCD es inscribible si y solo si los incırculos respec-tivos del 4ABC y 4CDA son tangentes.

53. Demuestre que las bisectrices internas de un cuadrilatero son concurrentes si y solo si esinscribible.

33Este caso es aparentemente tan sencillo como los anteriores, pero realmente es un resultado muy complicado yrecibe el nombre de Teorema de Steiner-Lehmus.

80


Figura 98

54. Demuestre que todo rombo es inscribible.

55. (*) Sea ABCD un paralelogramo. Q es el punto medio de AD,F el pie de la perpendicularpor B sobre QC. Probar que AF = AB.

56. Dado el rombo ABCD, se trazan las bisectrices internas de ∠DAC, ∠CAB, ∠BCA, ∠ACD,y cortan a DC, CB, BA, AD en P , Q, R, S, respectivamente. Demuestre que PQRS es unrectangulo.

57. (*) Sea ABCD un cuadrilatero tal que AB = CD. Las mediatrices de AC y BD se cortanen P . Probar que ∠PAC = ∠PCA = ∠PBD = ∠PDB.

58. (*) ABC es un triangulo y P un punto en su interior. Sean A′, B′ y C ′ las reflexiones de P so-bre BC, CA y AB, respectivamente. D, E y F son los pies de las perpendiculares respectivosdesde A, B y C hacia B′C ′, C ′A′ y A′B′. Probar que AD, BE y CF son concurrentes.

59. (*) (Arnoldo Aguilar) En la figura 99, ABGH, BCFG y CDEF son cuadrados. Si I es elcentro de ABGH y J = DH ∩BG, demuestre que I, J y F estan alineados.

Figura 99

60. (*) (Arnoldo Aguilar) Sea ABC un triangulo equilatero. M y N son los puntos medios deAB y BC, respectivamente. Exteriormente al 4ABC se construye un triangulo rectanguloisosceles 4APC, con ∠APC = 90◦. Si I es la interseccion de AN y MP , demuestre que CIes la bisectriz de ∠ACM .

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61. (*) En la figura adjunta, el 4ABC es tal que ∠A = 90° y∠B = 60°. ¿Cual es el radio de la circunferencia, si CB = 2?

62. (*) Dado el paralelogramo ABCD, sea M el punto medio de AB, y N la interseccion de CDcon la bisectriz interna del ∠ABC. Demuestre que MC ⊥ BN si y solo si AN es bisectrizdel ∠DAB.

63. (*) En el 4ABC, se sabe que los vertices B, C, el circuncentro O y el ortocentro H del4ABC estan todos sobre una misma circunferencia.

a) Calcule el valor del ∠A.

b) Demuestre que el incentro tambien pertenece al circuncırculo de BCOH.

64. (*) Sea ABC un triangulo de ortocentro H. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desdeH a las bisectrices interior y exterior de A, respectivamente. Si M es el punto medio de BC,mostrar que P , Q y M estan alineados.

65. (*) En un triangulo ABC, sea M el punto medio de BC. Si se cumple que AB 6= AC yademas ∠MAC + ∠ABC = 90◦, hallar ∠BAC.

66. (*) Sea ABC un triangulo y U un punto de su circuncırculo tal que AU es bisectriz. Lasmediatrices en AB y AC cortan a AU en X y Y . Sea T la interseccion de BX con CY .Demostrar que AU = TB + TC.

67. (*) (The 59th Romanian Mathematical Olympiad Final Round) Sea ABCD un rectangulode centro O con AB 6= BC. La perpendicular en O a BD corta a las lıneas AB y BC en lospuntos E y F , respectivamente. Sean M y N los puntos medios de los segmentos CD y DA,respectivamente. Probar que las lıneas rectas FM ⊥ EN .

68. (*) Sea ABC un triangulo rectangulo, con A = 90◦. Sea D un punto en su interior tal que∠DAC = ∠DCA = ∠DBC = α, y AC = BD. Determine el valor de α.

69. (*) Sea ABC un triangulo y M un punto tal que ∠MAB = 10, ∠MBA = 20, ∠MAC = 40y ∠MCA = 30. Probar que el 4ABC es isosceles.

70. (*) En la figura 100, ABCD y PQRS son cuadrados,4ABP ≡ 4BCQ ≡ 4CDR ≡ 4DASy los los radios de las cinco circunferencias son iguales a r. Si a es el lado del cuadrado ABCD,determine r en funcion de a.

71. (*) Recta de Euler. El centroide G, el ortocentro H y el circuncentro O de un trianguloestan alineados, y ademas GH = 2GO.

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Figura 100

72. Circunferencia de los 9 puntos:34 Dado un 4ABC de ortocentro H, se cumple que lospuntos medios de los lados, los pies de las alturas, y los puntos medios de HA, HB, HC, seubican sobre una misma circunferencia. Ademas, el centro de esta circunferencia es el puntomedio de HO y su radio es R

2, donde O y R son el circuncentro y el circunradio del triangulo.

Para demostrar este resultado se sugiere seguir los siguientes pasos:

a) Si Ha es el pie de la altura trazada desde A, demuestre que la reflexion de H con respectoa Ha pertenece a circuncırculo del 4ABC. Resultados similares se cumplen para Hb yHc.

b) Si A′ es el punto medio de BC, demuestre que la reflexion de H con respecto a A′ perteneceal circuncırculo del 4ABC.

c) De los resultados anteriores, observe que hay 9 puntos sobre el circuncırculo del 4ABC:los vertices, las reflexiones de H con respecto a los pies de las alturas, y las reflexiones deH con respecto a los puntos medios de los lados; a partir de esto, concluya que los puntosmedios de los segmentos que van de H a estos 9 puntos, tambien deben pertenecer en unamisma circunferencia.

d) Concluya ademas que el centro de esta nueva circunferencia es el punto medio de HO.

Otro camino de solucion es el siguiente:

a) Sea4A′B′C ′ el triangulo medial del4ABC. Pruebe que ∠A′B′C ′ = ∠BHaC′ y concluya

que HaA′B′C ′ es un cuadrilatero cıclico; los mismo debe cumplirse para Hb y Hc.

b) Sea X el punto medio de HA. Demuestre que ∠B′A′C ′ +∠B′XC ′ = 180 y concluya queXC ′B′A′ es un cuadrilatero cıclico; lo mismo debe cumplirse para los puntos medios deHB y HC.

c) De lo anterior, concluya que los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos quevan desde H hasta los vertices del 4ABC, se ubican sobre el circuncırculo del 4A′B′C ′.

d) Si N es el circuncentro del 4A′B′C ′, demuestre que N , O, G forman la recta de Eulerdel 4A′B′C ′ y utilice sus propiedades para probar que N es el punto medio de HO.

34Tambien conocida como Circunferencia de Feuerbach.

83

1.9 Problemas resueltos. 1 Geometrıa

73. El area del 4ABC, denotada por [ABC], cumple:

[ABC] =base× altura

2

[ABC] =ab sen∠C

2=bc sen∠A

2=ca sen∠B

2=abc

4R[ABC] = sr

[ABC] =√s(s− a)(s− b)(s− c). (Formula de Heron).

74. El circunradio, el inradio y los exradios de un triangulo cumplen:

4R = ra + rb + rc − r[ABC] = ra(s− a) = rb(s− b) = rc(s− c)

r =

√(s− a)(s− b)(s− c)

s

ra =

√s(s− b)(s− c)

s− a

rb =

√s(s− a)(s− c)

s− b

rc =

√s(s− a)(s− b)

(s− c)

75. Dado el 4ABC, sea I el incentro e Ia el excentro respecto a A.

a) Demuestre que BICIa es un cuadrilatero cıclico.

b) Si M es la interseccion de IIa con el circuncırculo del triangulo (M 6= A), demuestre quedicho punto es el circuncentro de BICIa.

c) Sea M ′ el punto diametralmente opuesto a M en el circuncırculo, y sea P la proyeccionde I sobre AB. Demuestre que 4M ′CM ' 4AIP .

d) Sea O el circuncentro del triangulo Calcule la potencia de punto de I con respecto alcircuncırculo, y utilizando los resultados anteriores deduzca la Formula de Euler : OI2 =R2 − 2Rr.

e) A partir de la formula de Euler demuestre que R ≥ 2r.

1.9. Problemas resueltos.

1.9.1. Triangulos

1. En la figura 101, ABDE es un cuadrado y BCD es un triangulo isosceles con BD = DC. Si∠ABC = 160, determinar la medida de ∠AEC.

Solucion: ∠DBC = ∠DCB = 160− ∠ABD = 70, de donde se obtiene que ∠BDC = 40 y∠EDC = ∠EDB+∠BDC = 130. Como 4EDC es isosceles, entonces ∠DEC = ∠DCE =25. Por lo tanto ∠AEC = 90− ∠DEC = 65.

84


Figura 101

Figura 102

2. Hallar la suma de los angulos α + ε+ θ + φ en la figura 102.

Solucion: ∠CAB = θ, ∠EDC = α por ser opuestos por el vertice. Como el ∠AFD externoen el 4BDF , se tiene ∠AFD = α + ε. Sumando los angulos internos del 4AEF se tieneα + φ+ θ + ε = 180°.

3. (XV Competencia de Clubes Cabri Primera Ronda) En la figura 103, ABCD es un rectangulotal que AB = 2BC. M es el punto medio de AB y los triangulos AME y MBF sonequilateros. Si P es la interseccion de las rectas DE y CF , encuentre los angulos del 4CDP .

Solucion: Note que AD = AE = FB = BC por lo que 4DAE y 4BCF son ambosisosceles. Luego ∠DAE = ∠CBF = 90 + 60 = 150 lo que implica que ∠PDC = ∠PCD =90− 15 = 75 y luego ∠CPD = 30.

4. Sea ABC un triangulo rectangulo con ∠CAB = 90 (Ver figura 104). D es un punto sobre laprolongacion de BC tal que BD = BA. E es un punto en el mismo semiplano que A respectode BC, tal que CE ⊥ BC y ademas CE = CA. Mostrar que A,D y E estan alineados.

Solucion: Sea ∠CBA = 2θ; el 4ABD es isosceles y ∠BAD + ∠BDA = 2θ, por lo que∠BAD = ∠BDA = θ. Como ∠CAB = 90 entonces ∠ACB + ∠ABC = 90 y como CE esperpendicular a BC entonces ∠ECA + ∠ACB = 90; por lo tanto, ∠ABC = ∠ECA = 2θ.Con esto, como 4ECA es isosceles, ∠CEA = ∠CAE = 90− θ. Luego, ∠EAC + ∠CAB +∠BAD = 180 y ası E, A y D estan alineados.

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Figura 103

Figura 104

5. Dado un cuadrado ABCD, se construyen los triangulos equilateros ABP (exteriormente) yADQ (interiormente). Probar que C, P y Q estan alineados. Figura 105.Solucion: Observe que ∠PAQ = ∠BAD = 90 y PA = BA = DA = DQ, por lo que4PAQes triangulo rectangulo isosceles, y por tanto, ∠PQA = 45. Por otra parte, ∠QDC = 90 −∠ADQ = 30 y QD = AD = CD, es decir, el 4CDQ es isosceles con el angulo comprendidoentre lados iguales de 30, por lo que ∠DQC = 75. Ası, ∠PQA + ∠AQD + ∠DQC = 180 ypor lo tanto, C, P y Q estan alineados.

6. En la figura 106, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GA. Calcule la medida del ∠DAE.Referenciasfig20

Solucion: Sea ∠DAE = θ. Como los triangulos ABC y AGF son isosceles, ∠ACB =∠AFG = θ. Calculando los angulos externos de 4ABC y 4AFG se tiene ∠FBC =∠CGF = 2θ. Como 4GFE y 4BCD son isosceles, ∠GEF = ∠BDC = 2θ. Calculan-do angulos externos de 4ADC y 4AEF se obtiene ∠ECD = ∠DFE = 3θ. Como 4CDEy 4FED son isosceles, ∠CED = ∠FDE = 3θ. Entonces, la suma de los angulos internosdel 4AED da θ + 3θ + 3θ = 180, de donde θ = 180

7.

86


Figura 105

Figura 106

7. (XXVIII Olimpiada Brasilena de Matematica) En la figura 107, AB = AC, AM = AN y∠CAM = 30°, encuentre el valor del ∠BMN .

Figura 107

Solucion: Como 4ABC y 4AMN son isosceles, sean ∠ABC = ∠ACB = α y ∠AMN =∠ANM . Por la formula del angulo externo se tiene

∠ACM + ∠MAC = ∠AMB = ∠AMN + ∠BMNα + 30 = ∠ANM + ∠BMN

= (∠NBM + ∠BMN) + ∠BMN= α + 2∠BMN

Esto implica que ∠BMN = 15°.

8. (Etapa semifinal Estatal de XXII Olimpiada Mexicana de Matematicas) En la figura 108 semuestra un hexagono regular ABCDEF de lado 1. Los arcos del cırculo que estan dibujados

87


tienen centro en cada vertice del hexagono y radio igual a la distancia al vertice opuesto. P ,Q, R, S, T y U son los puntos de corte de estos arcos. ¿Cuanto mide cada lado del hexagonoPQRSTU?

Figura 108

Solucion: El hexagono PQRSTU es regular y con el mismo centro que ABCDEF . SeaO el centro de ambos (Vease Figura 72). El lado buscado es igual a OP . Tenemos queCF = FP = PC = 2 por ser radios de los arcos dibujados; entonces CFP es equilatero delado 2 y OP es una altura de este triangulo que, por Pitagoras, es igual a

√3.

1.9.2. Congruencia de Triangulos

1. En la figura 109, ABC es un triangulo equilatero y CDEF es un cuadrado. Se construye unpunto G tal que CF = CG y ademas ∠CFG = 15°. Probar que ∠AGC = ∠BDC.

Figura 109

Solucion: ∠BCD = 180 − ∠ACB − ∠DCF = 30. Como 4GCF es isosceles, ∠CGF =∠CFG = 15 y ∠ACG = ∠CGF + ∠CFG = 30. Por criterio LAL, 4BCD ≡ 4ACG, porlo tanto ∠BDC = ∠AGC.

88


2. (Cuaderno de Olimpiadas Mexicanas - Geometrıa) En la figura 110, ABCD un cuadrado yEF ⊥ GH. Demuestre que que EF = GH.

Figura 110

Solucion: Se construyen EK y GM con K sobre CD y M sobre AD tales que EK ‖ AD yGM ‖ CD. Luego se demuestra que 4EFK ≡ 4GHM , con EF = GH.

3. (Examen final de XVI Olimpiada mexicana de Matematica) Los angulos de un trianguloABC estan en progresion aritmetica (∠B−∠A = ∠C −∠B = θ), D, E, y F son los puntosmedios de los lados BC, CA y AB, respectivamente. Llamamos H al pie de la altura traza-da desde C (que cae entre B y F ) y G a la interseccion entre DH y EF . ¿Cuanto vale ∠FGH?

Solucion: Note que ∠A+∠B+∠C = 3∠A+3θ = 180, lo cual implica que ∠A+θ = 60 = ∠B.Entonces 4BCH es un triangulo 30, 60, 90, y dado que D es punto medio de BC, el 4BDHes equilatero. Luego, como BC ‖ EG, ∠FGH = ∠BDH = 60. Ver figura 111.

Figura 111

4. Sea ABCD un cuadrado. Se construyen triangulos equilateros ADP y ABQ como se muestraen la figura 112. Sea M la interseccion de CQ con AD y N la interseccion de CP con AB.Demuestre que CMN es un triangulo equilatero.

Solucion: Note que PD = AD, porque 4APD es equilatero, y AD = CD porque ABCDes cuadrado, por lo que PD = CD, es decir, el 4CDP es isosceles, con ∠CDP = ∠CDA−∠PDA = 30, entonces ∠DPC = ∠DCP = 75, y ∠BCN = ∠BCD − ∠DCP = 15.

89


Figura 112

Analogamente, 4BCQ es isosceles con angulos 30, 75, 75, por lo que ∠MCN = ∠BCQ −∠BCN = 60. Finalmente, como la figura es simetrica con respecto a AC, CM = CN ,entonces, el triangulo CMN es equilatero porque tiene dos lados iguales y un angulo internoigual a 60.

5. 4ABC es un triangulo isosceles con ∠ABC = ∠ACB = 80°. D es un punto en AC tal que∠ABD = 10°. Demuestre que AD = BC. Figura 113.Solucion: Se traza un punto D′ sobre AC tal que AD′ = BC. Se construye exteriormenteel triangulo equilatero AEB. Luego, AE = AB, D′A = CB y ∠EAD′ = ∠ABC lo cualimplica que 4EAD′ ≡ 4ABC, de donde se deduce que el 4D′EB es isosceles y ∠BED′ =∠BEA−∠D′EA = 40. Se sigue que ∠EBD′ = 70 y como ∠D′BA = ∠EBD′−∠ABE = 10,resulta que D′ = D y por lo tanto BC = AD′ = AD.

Figura 113

90


1.9.3. Cuadrilateros

1. Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen triangulos equilateros exteriores 4CDP y4ADQ, como se muestra en la figura 114. Demuestre que el 4BPQ es equilatero.

Figura 114

Solucion: Observe que al hacer una rotacion de centro P y angulo 60, el triangulo PBC setransforma en el triangulo PQD (observe los segmentos PC y CB tras esta transformacion),mientras que al hacer una rotacion de centro Q y angulo 60, el triangulo PQD se transformaen triangulo BQA. Como la rotacion mantiene las distancias, PB = PQ = BQ, por lo queel trıangulo BPQ es equilatero.35

2. (II Olimpiada Matematica del Cono Sur) En la figura 115 ABCD y AECF son paralelo-gramos. Demuestre que BEDF es paralelogramo.

Figura 115

35Una demostracion mas rigurosa se basa en el calculo de los angulos ∠PCB = ∠PDQ = ∠BAQ = 120 +∠ABCy en la utilizacion del criterio LAL para justificar 4PCB ≡ 4PDQ ≡ 4BAQ.

91


Solucion 1: Sea M el punto medio de AC. Las diagonales AC y BD se bisecan en M ,mientras que las diagonales AC y EF tambien se bisecan en M , entonces BD y EF sebisecan en M por lo que BEDF es un paralelogramo.Solucion 2: Como AD ‖ CB y AE ‖ CF entonces ∠DAE = ∠BCF . Entonces, porpropiedades de paralelogramos ∠BAE = ∠BAD − ∠EAD = ∠BCD − ∠BCF = ∠FCD;ademas, AB = CD y AE = CF . Por criterio LAL,4BAE ≡ 4DCF , y entonces BE = DF .Analogamente se demuestre que4ABF ≡ 4CDE, lo cual implica BF = DE. Como BEDFes un cuadrilatero con lados opuestos iguales, es un paralelogramo.

3. ABCD es un cuadrilatero convexo y O es un punto en su interior. Sean P , Q, R, S, lospuntos medios de los lados AB, BC, CD, DA, respectivamente. Por P se traza una paralelaa OR, por Q se traza una paralela a OS, por R se traza una paralela a OP , y por S se trazauna paralela a OQ. Demuestre que estas cuatro rectas concurren.

Solucion: Al tomar las rectas OP y OR y sus paralelas se forma el paralelogramo PORM ,y al tomar las rectas OQ y OS y sus paralelas se forma el paralelogramo OQNS. Por elteorema de Varignon, sabemos que PQRS es un paralelogramo, y llamaremos T al puntode corte de sus diagonales. Observe que el punto de corte de las diagonales de PORM es elpunto medio de PR, i.e., T ; analogamente, el punto de corte de las digonales de OQNS esel punto medio de SQ, i.e., T nuevamente. Ası, M es la reflexion de O con respecto a T , yde igual forma queda definido N , por lo que M = N y las cuatro rectas concurren.

4. (Hector Alberti) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen los triangulos equilateros BDA′,ACB′, BDC ′ y ACD′ (Vease figura 116). Demuestre que el A′B′C ′D′ es tambien un cuadra-do.

Figura 116

Solucion: Como A′B = A′D, AB = AD, CB = CD, C ′B = C ′D, los puntos A′, A, C, C ′

pertenecen a la mediatriz de BD, y por tanto, estan alineados. Analogamente, B′, B, D, D′

estan alineados; por lo tanto A′C ′ ⊥ B′D′. Por otra parte, si O es el centro de ABCD, comolos triangulos equilateros construidos son todos iguales (tienen lados iguales a la diagonal deABCD) de altura h, OA′ = OB′ = OC ′ = OD′ = h. Entonces, A′B′C ′D′ es un cuadrilaterocon diagones que se bisecan en O (es paralelogramo), son iguales A′C ′ = B′D′ = 2h (esrectangulo) y son perpendiculares (es rombo), lo cual implica que es cuadrado.

92


5. Un trapecio isosceles tiene diagonales perpendiculares y su area es 2010, determine su altura.

Solucion: Considere la figura 117. Sea ABCD el trapecio del problema (AB = CD), comoes trapecio isosceles, es simetrico con respecto a la mediatriz de las bases, en particular,AC = BD. Sean P y Q los pies de las perpendiculares a AD trazadas desde B y C, respecti-vamente. Por LAL, 4ABD ≡ 4DCA lo cual implica ∠CAD = ∠BDA = 45 (debido a queAC ⊥ BD) luego en el triangulo rectangulo 4ACQ, ∠ACQ = 45 por lo que AQ = CQ y esfacil ver que BC = PQ. Luego

2010 = (ABCD) =(CQ)(BC + AD)

2

=(CQ)(PQ+ AP + PQ+QD)

2= (CQ)(AP + PQ)

= CQ2

Luego CQ =√

2010.

Figura 117

6. (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea ABCDEF un hexagono regularcuyo centro es O. Se construyen los cuadrados FSOP y ORCQ. Demuestre que APQB ySEDR son rectangulos. Figura 118.

Solucion: Por construccion PF = PO = SF = SO, y por propiedades de hexagonoregular36 AF = AO = EF = EO, entonces P , S A, E, pertenecen a la mediatriz deFO y por tanto, estan alineados sobre una recta perpendicular a FO. Analogamente, Q,R, B, D estan alineados sobre una recta perpendicular a CO; ademas, es facil demostrarque AP = BQ = DR = ES. Observe ademas que AB ‖ CF ‖ DE, lo cual implica(AB ‖ CF ) ⊥ (AP ‖ BQ), es decir, APQB es rectangulo, y analogamente para SEDR.

7. Sobre los lados del 4ABC se trazan exteriormente los cuadrados ABPQ, CARS y BCTU .Luego se trazan los paralelogramos AQA′R, CSC ′T y BUB′P , como en la figura 119.

36Los triangulos OAB, OBC, OCD, ODE, OEF , OFA son equilateros.

93


Figura 118

a) Sean A′′, B′′, C ′′ los centros de los cuadrados BCTU , CARS, ABPQ, respectivamente.Demuestre que estos centros estan sobre los lados del 4A′B′C ′.

b) Demuestre que AA′′, BB′′, CC ′′ concurren.

Solucion:

a) Observe que al hacer una rotacion de centro A′′ y angulo igual a 90, el 4A′′UB′ setransforma en el 4A′′BA, y a la vez este ultimo se transforma en el 4A′′CC ′ (esto esporque A′′U 7→ A′′B 7→ A′′C y UB′ 7→ BA 7→ CC ′); esto significa que A′′B′ ⊥ A′′Ay A′′A ⊥ A′′C ′, por lo que B′, A′′, C ′ estan alineados, es decir, A′′ pertenece a B′C ′.Analogamente se prueban los otros casos.

b) De lo anterior, observe que AA′′ es mediatriz de B′C ′, por lo que AA′′, BB′′, CC ′′ con-curren en el circuncentro del 4A′B′C ′.

8. Se dibujan cuadrados exteriores a los lados de un paralelogramo (Vea figura 120), demuestreque:

a) El cuadrilatero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.

b) Las diagonales de ese cuadrado son concurrentes con las del paralelogramo.

Solucion:

a) Observe que al hacer una rotacion de centro O2 y angulo igual a 90, el 4O2BO1 setransforma en el 4O2CO3 (observe que los segmentos O2B y BO1 se transforman enO2C y CO3, respectivamente), por lo queO2O1 = O2O3 yO2O1 ⊥ O2O3. Repitiendo esterazonamiento, O1O2 = O2O3 = O3O4 = O4O1 y estos segmentos son perpendiculares sison consecutivos, por lo que O1O2O3O4 es un cuadrado.

94


Figura 119

b) Basta demostrar que AC y O1O3 se bisecan,37 y esto es equivalente a demostrar queAO1CO3 es un paralelogramo. Esto es cierto porque AO1 = CO3 y AO1 ‖ CO3 (ambossegmentos son perpendiculares a O1B)

Figura 120

9. Dado un 4ABC, se construyen exteriormente los triangulos rectangulo isosceles 4ACP y4BCQ, con AC y BC como hipotenusas. Si M es el punto medio de AB, demuestre que el4MPQ tambien es un triangulo rectangulo isosceles.

Solucion: Construya los cuadrados exteriores ACDE y BCFG, como muestra la figura 121.Observe que P y Q son los puntos medios de AD y BF , respectivamente. Al rotar el 4BCD

37Porque ası los puntos de corte de las diagonales de ABCD y O1O2O3O4 coincidirıan.

95


con centro C y angulo de 90, se genera el 4FCA, entonces dichos triangulos son congruentesy en por tanto BD = AF y BD ⊥ AF . Por otra parte, observe que MP es base media del4BAD, por lo que 2MP = BD y MP ‖ BD; analogamente, MQ es base media del 4ABF ,por lo que 2MQ = AF y MQ ‖ AF . Por lo tanto MP = MQ y MP ⊥MQ.

Figura 121

1.9.4. La Circunferencia

1. Dada la figura 122, demuestre que AB ‖ A′B′.

Figura 122

Solucion: Observe que los cuadrilateros ABQP y A′B′QP son cıclicos, por lo que ∠PAB =∠PQB′ = 180°−∠PA′B′, por lo tanto AB ‖ A′B′.

2. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en un puntoP ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en A y B,respectivamente. Demuestre que AO1 ‖ BO2.

Solucion: En la figura 123 se ha considerado que las circunferencias son tangentes exterior-mente, sin embargo, el otro caso es analogo. Se sabe que O1, P , O2 estan alineados, y que

96


4APO1 y BPO2 son triangulos isosceles (dos de sus lados son radios de una circunferencia),entonces ∠O1AP = ∠APO1 = ∠BPO2 = ∠O2BP , por lo que AO1 ‖ BO2.

Figura 123

3. Dadas dos circunferencias una fuera de la otra como en la figura 124, demuestre que lastangentes comunes externas forman segmentos iguales; analogamente, las tangentes comunesinternas forman segmentos iguales.

Solucion:38 Sea P la interseccion de las tangentes comunes externas AA′ y BB′. EntoncesAA′ = PA′ − PA = PB′ − PB = BB′. Analogamente se resuelve el caso de las tangentescomunes internas.

Figura 124

4. Teorema de Pithot. Demuestre que en todo cuadrilatero inscribible, la suma de lados op-uestos es igual.39

Solucion: Considere la figura 125, ABCD es el cuadrilatero inscribible, con P , Q, R, S, lospuntos de tangencia sobre AB, BC, CD, DA, respectivamente. Entonces

AB + CD = AP + PB + CR +RD

= AS +BQ+ CQ+DS

= BC +DA

38Suponemos que las circunferencias tienen radios distintos; cuando los radios son iguales, el problema se justificapor la simetrıa de la figura.

39El recıproco de este teorema y del siguiente son tambien es ciertos.

97


Figura 125: Teorema de Pithot.

5. Teorema de Steiner. En todo cuadrilatero exinscrito a una circunferencia, la diferencia delas longitudes de lados opuestos es igual.

Solucion: El cuadrilatero puede quedar en posiciones como las de la figura ??; en amboscasos, la demostracion es muy similar, y analoga a la de Pithot. Para la figura de la izquierdase tiene que

AB − CD = (AP −BP )− (CR−RD)

= (AS −BQ)− (CQ−DS)

= AD −BC

Figura 126: Teorema de Steiner.

6. Teorema de Miquel: Dado un 4ABC, sean X, Y , Z puntos sobre AB, BC, CA, respec-tivamente . Demuestre que los circuncırculos de 4AXZ, 4BYX, 4CZY tienen un puntoen comun M .

Solucion: Sea M el otro punto de corte de los circuncırculos de 4AXZ y 4BYX. Comolos cuadrilateros AXMZ y BYMX son cıclicos, se tiene

∠YMZ = 360− ∠XMZ − ∠YMX

= 360− (180− ∠A)− (180− ∠B)

= 180− ∠C

Entonces, CYMZ es cuadrilatero cıclico, por lo que M esta sobre el circuncırculo del4CZY .

98


Figura 127: Teorema de Miquel.

7. Sea ABC un triangulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del angulo A con el ladoBC y el circuncırculo de ABC respectivamente (Ver figura 128). Construimos la interseccionM del circuncırculo de ABL con el segmento AC. Prueba que los triangulos BMN y BMCtienen la misma area.

Solucion: Observe que ABNC y ABLM son cuadrilateros cıclicos, por lo que ∠NCB =∠NAB = ∠LAM = ∠LBM , por lo que CN ‖ BM . Entonces, las distancias de N y C a larecta BM son iguales, y por tanto, el area del 4BMN es igual al area del 4BMC.

Figura 128

8. Sea AB el diametro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre la semi-circunferencia y sobre AB, respectivamente.40 Sea P el centro de la circunferencia que pasapor A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B, K y M . Demuestre queMPKQ es concıclico.

40M y K son distintos de A y B.

99


Solucion: Como AB es diametro, ∠AMB = 90, entonces ∠MAB + ∠MBA = 90. Ası

∠MPK + ∠MQK = 2∠MAK + 2∠MBK

2 = 2 (∠MAB + ∠MBA)

= 180

Por lo tanto, MPKQ es concıclico.

9. Las circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en los puntos A y B. Por el punto A se traza una rectaque corta nuevamente a las circunferencias Γ1 y Γ2 en los puntos C y D, respectivamente.Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortan en elpunto M . Demuestra que MCBD es cıclico. Figura 129.

Solucion: Es suficiente probar que MCBD es un cuadrilatero con un par de angulos opuestossuplementarios. Por angulos seminscritos y suma de angulos internos de un triangulo, se tiene

∠CMD + ∠CBD = ∠CMD + ∠CBA+ ∠DBA

= ∠CMD + ∠MCA+ ∠MDA

= 180

Figura 129

10. El 4ABC cumple que ∠A = 90° y AB = AC. Se toma un punto E del segmento AB, seconstruye interiormente un triangulo equilatero AEF . EF corta BC en I, y se construyeexteriormente un triangulo equilatero BIJ . Encuentre ∠EJB.

100


Solucion: Como el ∠BJI = 60◦ = ∠AEI,el cuadrilatero BEIJ es cıclico, por lo que el∠EJB = ∠EIB = ∠AEI − ∠EBI = 15°.

11. En la figura 130, se sabe que ∠AO1B − ∠AO2B = 70◦ y ademas la tangente EB forma eltriangulo isosceles ABE, con AB = AE. Encuentre ∠EBC.

Figura 130

Solucion: Sea ∠AO2B = 2θ, entonces ∠ACB = θ y por hipoteis ∠AO1B = 2θ + 70. Porangulo seminscrito, ∠ABE = θ + 35, y como el 4ABE es isosceles, ∠AEB = θ + 35.Finalmente, por la formula del angulo externo aplicada al 4BCE, ∠EBC = ∠AEB −∠ECB = 35

12. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en A y B. Una recta por A corta a Γ1 y Γ2 en C y D,respectivamente, y la paralela a CD por B corta Γ1 y Γ2 en E y F , respectivamente. (Verfigura 131). Demuestre que 4CDB ≡ 4EAF .

Solucion: Sean G = AE ∩ BC y H = AF ∩ BD. Como AC ‖ BE y ACEB es cıclico,41

∠CAG = ∠GEB = ∠ACG = ∠GBE = α; analogamente, ∠DAH = ∠HFB = ∠ADH =

41ACEB es un trapecio isosceles.

101


∠FBH = β. Observe que 4GAC y 4GBE son triangulos isosceles y por tanto AE =AG+GE = CG+GB = CB; de forma similar se obtiene AF = DB. Finalmente, ∠EAF =180− α− β = ∠CBD, por lo que, por el criterio LAL, 4CBD ≡ 4EAF .

Figura 131

13. La Recta de Simson-Wallace. Sean X, Y y Z los pies de las alturas trazadas desde unpunto P en el circuncırculo del 4ABC hacia AB, BC y CA, respectivamente. Demuestreque X, Y y Z estan alineados.42

Solucion: Como BPY X es cıclico, ∠Y XP = Y BP = θ. Como ABPC es cıclico, ∠CBP =∠CAP = θ. Como AXPZ es cıclico, ∠ZAP = ∠ZXP = θ. Por lo tanto, dado que ∠Y XP =ZXP , los puntos X, Y y Z estan alineados.

Figura 132: Recta de Simson-Wallace

42El recıproco tambien es cierto, si X, Y y Z estan alineados, entonces P debe estar sobre el circuncırculo del4ABC; en cualquier otro caso, el 4XY Z se llama el triangulo pedal con respecto al punto P .

102


14. Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que ∠APC = 90◦, Q es la interseccionde AB y PC, y R el pie de la perpendicular por Q a CA. Demuestre que P , R y D estanalineados.

Solucion: Como ∠APC+∠ADC = 180°, el cuadrilatero PADC es cıclico, entonces ∠APD =∠ACD = 45°. Analogamente, como ∠APQ+∠ARQ = 180°, el cuadrilatero PARQ es cıclico,entonces ∠APR = ∠AQR = 90°−∠QAR = 45°. Por lo tanto, como ∠APD = ∠APR, lospuntos P , R, D estan alineados. Figura 133.

Figura 133

15. (OIM 2002, P-4) En un triangulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con Dsobre AC. Sean E y F puntos sobre la recta BD tales que (AE ‖ CF ) ⊥ BD, y sea M elpunto sobre el lado BC tal que DM ⊥ BC. Demuestre que ∠EMD = ∠DMF . Figura 134.

Solucion: Como DM ⊥ MC y DF ⊥ FC, DFCM es cıclico, por lo tanto ∠DMF =∠DCF = θ, y como AE ‖ FC, entonces ∠EAD = ∠DCF = θ. Sea G la interseccionde AE con BC. Como AG ⊥ BE, BE es altura y bisectriz del 4ABG, por lo que estetriangulo es isosceles y ademas BE es mediatriz de AG; entonces ∠EGD = ∠EAD = θ.Y finalmente, podemos ver que DEMG es cıclico, pues ∠DEG = ∠DMG = 90◦, ası que∠EMD = ∠EGD = θ. De aquı, el resultado es inmediato.

16. (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diametro de ella. Sea t la recta tan-gente a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean E y Flas intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con CF y DE.Demuestre que AH = AG.

Solucion: Como AEBF es cıclico (Ver figura 135), ∠AEF = ABF . Luego, como AB ⊥ CDy BF ⊥ AD, se cumple tambien ∠ABF = ∠FDB, por lo que ∠AEF = ∠FDC, es decir,el cuadrilatero CDFE es cıclico. Utilizando este resultado y el hecho que EGHF tambienes cıclico, se tiene ∠EDC = ∠EFG = ∠EHG, por lo que CD ‖ GH. Esto implica queAB ⊥ GH, y como AB pasa por el centro de la circunferencia, debe ser mediatriz de GH,por lo tanto AG = AH.

17. (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadrado ABCDy un punto E sobre el lado AB. La diagonal AC corta al segmento DE en el punto P . La

103


Figura 134

Figura 135

perpendicular por P a DE corta al lado BC en F . Probar que EF = AE + CF .

Solucion: Se construye E ′ sobre BC de tal manera que CE ′ = AE (como se muestraen la figura 136) y que C quede entre F y E ′, ası por LAL se tiene que los triangulosrectangulos 4DAE ≡ 4DCE ′ por lo tanto ∠ADE = ∠CDE ′ luego ∠EDE ′ = 90. Porotra parte, el cuadrilatero DCFP es cıclico, por lo que ∠PDF = ∠PCF = 45 entonces∠FDE ′ = ∠EDE ′−∠EDF = 45. Ahora por LAL los triangulos 4DEF ≡ 4DE ′F , por loque EF = E ′F = E ′C + CF = AE + CF .

18. Teorema de Arquımedes: En la figura 137, la region delimitada por tres semicircunferen-

104


Figura 136

cias mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o arbelos. Demostrar quelas circunferencias sombreadas son congruentes.

Figura 137: Teorema de Arquımedes.

Solucion: Sean AB, AC, BC los diametros de las semicircunferencias que forman el arbelos,de radios r, r1, r2 y centros O, O1, O2, respectivamente. De momento nos concentramos enel lado izquiero de la figura Referenciasfigura58; sea C1 el centro de la circunferencia dela izquierda y R1 su radio; D, E y F son los puntos de tangencia de esta circunferenciacon dos semicircunferencias del arbelos y con la recta perpendicular a los diametros por C;finalmente, G es la proyeccion de C1 sobre AB. En primer lugar, OO1 = OA−O1A = r− r1.Por otra parte, observe que O, C1, D estan alineados y O1, C1, E tambien estan alineados,entonces OC1 = OD − C1D = r − R1 y O1C1 = O1E + EC1 = r1 + R1. Ademas, comoCFC1G es un rectangulo, GC = FC1 = R1, entonces O1G = O1C − GC = r1 − R1 yOG = O1G− O1O = (r1 − R1)− (r − r1) = 2r1 − (r + R1). Ahora, aplicando el teorema dePitagoras a 4GO1C1 y 4GOC1 se tiene

O1C21 −O1G

2 − C1G2 = OC2

1 −OG2 − C1G2

(r1 +R1)2 − (r1 −R1)

2 = (r −R1)2 − (2r1 − (r +R1))

2

4r1R1 = −4rR1 − 4r21 + 4r1r + 4r1R1

⇒ R1 =r1(r − r1)

r

Analogamente, si r2 y R2 son los radios del semicırculo y del cırculo de la derecha, respecti-vamente, entonces

R2 =r2(r − r2)

r

105


Figura 138

Pero 2r = AB = AC +BC = 2r1 + 2r2, entonces r2 = r − r1, y sustituyendo en la ecuacionanterior se tiene

R2 =(r − r1) (r − (r − r1))

r=

(r − r1)r1r

= R1

1.9.5. Semejanza de Triangulos

1. (IV OMCC, P-4) Sea ABC un triangulo, D el punto medio de BC, E un punto sobre el seg-mento AC tal que BE = 2AD y F el punto de interseccion de AD con BE. Si ∠CAD = 60°,encuentre la medida de los angulos del 4FEA. Figura 139.

Solucion: Se traza por D una paralela a BE y sea G el punto por el que esta paralela cortaal lado AC. Como DG es base media del 4BCE se tiene que DG = BE

2= AD; entonces

4ADG es isosceles y tiene un agulo de 60, por lo que debe ser equilatero. Finalmente4AEFtambien es equilatero, por tanto sus angulos son iguales a 60.

Figura 139

2. Sea ABCD es un trapecio con AD ‖ BC. M y N son los puntos medios de CD y BC,respectivamente, y P el punto comun de las rectas AM y DN . Si PM

AP= 1

4, demuestre que

ABCD es paralelogramo.

Solucion: Sea Q el punto medio de DN , entonces QM ‖ BC ‖ DA. Como MQ es base mediadel 4CDN , MQ = CN

2= CB

4. Por otra parte, como 4PMQ ' 4PAD, MQ

AD= PM

AP= 1

4,

entonces MQ = AD4

. Finalmente, como BC ‖ DA y BC = DA, ABCD es paralelogramo.

106


3. En la figura 140, BC = CD = DE = EA = x y ∠AEB = 90°. Demuestre que ∠ABC +∠ACD + ∠ADE = 90°.

Figura 140

Solucion 1: Por Pitagoras, AD =√

2x. Observe que DA2 = 2x2 = DB · DC, por lo que4ABD ' 4CAD; entonces ∠ABD = ∠CAD y por tanto ∠ABC + ∠ACD + ∠ADE =∠CAD + ∠ACD + ∠ADE = 2∠ADE = 90.

Solucion 2: Considere la siguiente cuadrıcula (Figura 141). Observe que al hacer unarotacion de centro A y angulo igual a 90, el segmento AC se transforma en AF , por lo que el4ACF es triangulo rectangulo isosceles, y ∠ADE = ∠ACF . Se cumple ∠ABC = ∠CFD,porque se forman con la diagonal de tres cuadrados; analogamente, ∠ACD = ∠AFD, porquese forman con la diagonal de dos cuadrados. Sumando los angulos internos del 4ACF seobtiene el resultado buscado.

Figura 141

4. (Asiatico Pacıfica) Sea ABC un triangulo y D el pie de la altura con respecto a A. Sean Ey F puntos en una recta que pasa por D (distintos de D) tales que AE ⊥ CE y AF ⊥ BF .

107


Sean M y N los puntos medios de BC y EF , respectivamente. Demuestre que AN ⊥ NM .

Solucion: En la figura 142, AE ⊥ CE y AD ⊥ DC entonces, ADEC es cıclico, ası que∠DEA = ∠DCA. Del mismo modo, como AF ⊥ BF y AD ⊥ DB, AFBD es cıclico yentonces ∠AFD = ∠ABD. Esto implica que 4ABC ' 4AFE y a partir de esta semejanza,4ABM ' 4AFN . Luego, ∠AMB = ∠ANF , por lo que el cuadrilatero ANDM es cıclico,y por lo tanto ∠ANM = ∠ADM = 90.

Figura 142

1.9.6. Puntos y rectas notables del Triangulo

1. De acuerdo con los datos de la grafica 143, calcular el valor de AB.

Figura 143

Solucion 1: Por el teorema de la bisectrız ACAB

= CDDB

, de donde AC = 54x, luego, aplicando

el teorema de pitagoras al 4ABC, se tiene que x2 + 182 =(54x)2

, que despues de resolver setiene que x = 24.

Solucion 2: Dado que D es un punto de la bisectrız del ∠BAC, entonces D equidista delos lados de dicho angulo, sea pues H ∈ AC talque DH⊥AC y DH = DB = 8 entonces,

108


aplicando el teorema de pitagoras en el4CDH se deduce que HC = 6, por lo que AC = x+6,y por el teorema de pitagoras en el 4ABC, x2 + 182 = (x+ 6)2, por lo tanto, x = 24.

2. Sea ABCD un paralelogramo. Q es el punto medio de AD,F el pie de la perpendicular porB sobre QC. Probar que AF = AB.Solucion: Sea E el punto medio de BC y G la interseccion de AE con BF . Como AE ‖ CQ,se tiene que AG ⊥ BF . Pero tambien, como AE ‖ CQ, entonces EG ‖ CF por lo que en el4BCF , EG es base media. Entonces BG = GF de donde se sigue que 4ABF es isoscelesporque BG es altura y mediana.

3. Sea ABCD un cuadrilatero tal que AB = CD. Las mediatrices de AC y BD se cortan enP . Probar que ∠PAC = ∠PCA = ∠PBD = ∠PDB. Figura 144.Solucion: Como P esta sobre las mediatrices de AC y BD, PA = PC y PB = PD, ypor hipotesis, AB = CD, entonces por criterio LLL, 4ABP ≡ 4CDP . De aquı, ∠APB =∠CPD, entonces ∠BPD = ∠APD + ∠APB = ∠APD + ∠CDP = ∠APC; por lo tanto,4BPD ' 4CPA, dada la igualdad anterior y el hecho que son triangulos isosceles. De estasemejanza se obtiene ∠PAC = ∠PCA = ∠PBD = ∠PDB.

Figura 144

4. ABC es un triangulo y P un punto en su interior. Sean A′, B′ y C ′ las reflexiones de P sobreBC, CA y AB, respectivamente. D, E y F son los pies de las perpendiculares respectivosdesde A, B y C hacia B′C ′, C ′A′ y A′B′. Probar que AD, BE y CF son concurrentes. Figura145.

Solucion: Por propiedades de reflexion axial AC ′ = AP = AB′, por lo que el 4AB′C ′ esisosceles, y entonces AD es mediatriz de B′C ′. Analogamente, BE es mediatriz de C ′A′,mientras que CF es mediatriz de A′B′. Por lo tanto, las rectas AD, BE, CF concurren enel circuncentro del 4A′B′C ′.

5. (Arnoldo Aguilar) En la figura 146, ABGH, BCFG y CDEF son cuadrados. Si I es elcentro de ABGH y J = DH ∩BG, demuestre que I, J y F estan alineados.

109


Figura 145

Figura 146

Solucion: ComoG es punto medio deHF , BG es una mediana del4BFH. Ademas, BDFHes un paralelogramo, luego sus diagonales BF y DH se cortan en su punto medio, digamosK. Se sigue que HK es tambien una mediana del 4BFH, y en consecuencia el punto decorte de J = KH ∩BG es el centroide del 4BFH. Pero I es el punto medio de BH, ası queFI es la tercera mediana del 4BFH, por lo tanto J esta sobre el segmento FI.

6. (Arnoldo Aguilar) Sea ABC un triangulo equilatero. M y N son los puntos medios de AB yBC, respectivamente. Exteriormente al4ABC se construye un triangulo rectangulo isosceles4APC, con ∠APC = 90◦. Si I es la interseccion de AN y MP , demuestre que CI es labisectriz de ∠ACM .

Solucion: Observe que AN es bisectriz del ∠BAC.Como ∠APC = ∠BMC = 90, el cuadrilateroAPCM es cıclico, por lo que ∠PMC = ∠PAC =∠PCA = ∠PMA = 45, entonces MP es bisectrizdel ∠AMC. De aquı se concluye que I = MP ∩ ANes el incentro del 4ACM , por lo que CI es bisectrizdel ∠ACM .

110


7. En la figura 147, el 4ABC es tal que ∠A = 90 y ∠B = 60. ¿Cual es el radio de la circun-ferencia?

Figura 147

Solucion: Por relaciones de triangulos notables, BC = 2 y CA =√

3. Sean P y Q las proyec-ciones de O sobre AB y AC respectivamente; por construccion, APOQ es un rectangulo, perocomo OP = r = OQ, es tambien cuadrado, por lo que AP = r. Observe que la circunferenciaes el excırculo del 4ABC, por lo que AP = s y entonces

r = s

=1 + 2 +

√3

2

=3 +√

3

2

8. Dado el paralelogramo ABCD, sea M el punto medio de AB, y N la interseccion de CDcon la bisectriz interna del ∠ABC. Demuestre que MC ⊥ BN si y solo si AN es bisectrizdel ∠DAB.

Solucion:(⇒) Si suponemos que MC ⊥ BN entonces BN es mediatriz de MC, y como BM ‖ CNentonces ∠CBN = ∠MBN = ∠CNB = ∠MNB, esto implica que BC ‖ MN , y por tantoN es punto medio de CD; ası, AMND es un rombo y AN es bisectriz del ∠DAM .(⇐) Si suponemos que AN es bisectriz del ∠DAB, es propiedad conocida que AN ⊥ BN ,por lo que M es el circuncentro del 4ABN y por la relacion entre angulo central y anguloinscrito se tiene ∠AMN = 2∠ABN = ∠ABC, por lo tanto MN ‖ BC y BCNM es unrombo, de donde se obtiene MC ⊥ BN .

9. En el 4ABC, se sabe que los vertices B, C, el circuncentro O y el ortocentro H del 4ABCestan todos sobre una misma circunferencia. Figura 148.

a) Calcule el valor de ∠A.

b) Demuestre que el incentro tambien pertenece al circuncırculo de BCOH.

111


Solucion:

a) Sea ∠BAC = α. Como O es el circuncentro del 4ABC, tenemos que ∠BOC = 2α. Porotra parte, sabemos que al ser H ortocentro, se cumple que ∠BHC = 180◦ − α. Ahorabien, la condicion de que B, C, H y O son concıclicos implica que ∠BOC = ∠BHC, dedonde 2α = 180◦ − α, y por tanto α = 60◦.

Figura 148

b) Este problema se basa en el siguiente resultado: si I es el incentro del 4ABC entonces∠BIC = 90 + ∠A

2. Como en este caso ∠A = 60, entonces ∠BIC = 120 = ∠BOC =

∠BHC, por lo que B, C, O, H, I, se ubican sobre una misma circunferencia.

10. Sea ABC un triangulo tal que las medianas respectivas a B y C son perpendiculares. De-muestre que se cumple la relacion (Ver figura 149).

5BC2 = CA2 + AB2.

Figura 149

Solucion: Sean BB′ y CC ′ las medianas que son perpendiculares, y sea G el centroide.Observe que el cuadrilatero BCB′C ′ tiene diagonales perpendiculares; por el teorema de

112


Pitagoras se cumple

BC2 +B′C ′2 = C ′B2 +B′C2

BC2 +

(BC

2

)2

=

(AB

2

)2

+

(AC

2

)2

5BC2 = AB2 + AC2

11. Sea ABC un triangulo de ortocentro H. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desdeH a las bisectrices interior y exterior de A, respectivamente. Si M es el punto medio de BC,mostrar que P , Q y M estan alineados. Figura 150.

Solucion: Sean E y F los pies de las alturas trazadas desde a B y C, respectivamente.Se sabe que AP ⊥ AQ, por lo que APHQ es un rectangulo. Como ∠APH = ∠AQH =∠AEH = ∠AFH = 90, los puntos P , Q, E, F , pertenecen a una circunferencia de diametroAH. Ademas, en esta circunferencia, como AP y AQ son bisectrices (interior y exterior,respectivamente) del ∠EAF , P y Q son los puntos medios del arcos EF , por lo que PQ esla mediatriz de EF . Por otra parte, como ∠BEC = ∠BFC = 90, el cuadrilatero BCEF escıclico, y el circuncentro es M , por lo que ME = MF ; entones M esta en la mediatriz deEF , la cual es PQ.

Figura 150

12. En un triangulo ABC, sea M el punto medio de BC. Si se cumple que AB 6= AC y ademas∠MAC + ∠ABC = 90◦, hallar ∠BAC. Figura 151.

Solucion: Sin perdida de generalidad, suponga que AB > AC. Sea N la interseccion deAB con la mediatriz de BC. Se forma el 4BCN que es isosceles, entonces ∠CNM =90 − ∠MCN = 90 − ∠MBN = ∠CAN , lo cual implica que el cuadrilatero ACMN escıclico. Por lo tanto, ∠BAC = ∠BMN = 90.

113


Figura 151

13. Sea ABC un triangulo y U un punto de su circuncırculo tal que AU es bisectriz. Las medi-atrices en AB y AC cortan a AU en X y Y . Sea T la interseccion de BX con CY . Demostrarque AU = TB + TC. Figura 152.Solucion:43 Como X y Y pertenecen a las mediatrices de AB y AC, respectivamente, y a labisectriz AU , entonces 4ABX y 4ACY cumplen ser isosceles y semejantes entre si, porque∠XBA = ∠XAB = ∠Y AC = ∠Y CA = α. Esto implica ∠TXY = ∠XBA + ∠XAB =2α = ∠Y AC + ∠Y CA = ∠TY X, es decir, el 4TXY es isosceles con TX = TY . Porotra parte, como ABUC es cıclico, ∠UBC = ∠UAC = ∠UAB = ∠UCB = α. De aquı seconcluye que 4UBC es isosceles, con UB = UC. Ademas, ∠XUB = ∠ACB = ∠Y CU y∠XBU = ∠ABC = Y UC; por criterio ALA, 4UXB ≡ 4CY U , por lo que BX = Y U .Finalmente, TB + TC = (BX − TX) + (CY + TY ) = Y U + AY = AU .

Figura 152

14. (The 59th Romanian Mathematical Olympiad Final Round) Sea ABCD un rectangulo decentro O con AB 6= BC. La perpendicular en O a BD corta a las lıneas AB y BC en lospuntos E y F , respectivamente. Sean M y N los puntos medios de los segmentos CD y DA,respectivamente. Probar que las lıneas rectas FM ⊥ EN .

43El caso cuando AB = AC es trivial, porque X, Y y T colapsan en el circuncentro del 4ABC.

114


Solucion: Considere la figura 153, sin perdida de generalidad, se ha supuesto AB < BC.44

Sea L el punto medio de AB, y H es la interseccion de EF con AD. Se tiene que LN ‖ BD,y como BD ⊥ EF entonces LN ⊥ EF ; ademas, como ABCD es un rectangulo, DA ⊥ AB,por lo tanto, H es el ortocentro del 4ELN , y ası, LH ⊥ EN . Por otra parte, las reflexionesde L y H con respecto a O son respectivamente M y F , por lo que LH ‖MF , lo cual implicaque FM ⊥ EN .

Figura 153

15. Sea ABC un triangulo rectangulo, con A = 90◦. Sea D un punto en su interior tal que∠DAC = ∠DCA = ∠DBC = α, y AC = BD. Determine el valor de α. Figura 154.

Solucion: Sean P y Q los pies de las perpendiculares trazadas desde D hacia CA y AB,respectivamente, R es un punto sobre BC tal que DB ⊥ DR, y E es la interseccion de CDcon AB. Como el 4ACD es isosceles, P es punto medio de AC, entonces AC = 2PA =2DQ = BD, por lo que el 4BDQ es un triangulo notable y ∠DBQ = 30. Por otra parte,por criterio ALA, 4ACE ≡ 4DBR, por lo que CE = BR; como PD ‖ AE, D es puntomedio de CE; ası, si M es el punto medio de BR (y circuncentro del 4BDR) se cumple queDC = RM = DM , por lo que el 4CDM es isosceles. Por la relacion entre el angulo inscritoy el angulo central ∠DMR = 2∠DBR, por lo tanto ∠DCR = 2α. Sumando los angulosinternos del 4ABC se tiene ∠A + ∠B + ∠C = 90 + 30 + α + 3α = 180, lo cual implicaα = 15.

16. Sea ABC un triangulo y M un punto tal que ∠MAB = 10, ∠MBA = 20, ∠MAC = 40 y∠MCA = 30. Probar que el 4ABC es isosceles. Figura 155.Solucion: Sea D la reflexion del punto A con respecto a la recta BM . Entonces el 4AMDes isosceles con ∠AMD = 2 (∠MAB + ∠ABM) = 60 y por lo tanto es equilatero. Tambien∠DBA = 2∠MBA = 40 y como ∠BAC = 50, implica que DB ⊥ AC. Sea E la interseccionde BD con CM , se cumple que ∠CED = 90 − ∠ACE = 60 = ∠MAD, por lo que elcuadrilatero AMED es cıclico. De aquı, ∠DEA = ∠DMA = 60. Como ∠DEC = ∠DEA yED ⊥ AC, se tiene que ED es bisectriz y altura en el 4AEC, por lo tanto ED es mediatrizde AC, lo cual implica que BA = BC.

44El otro caso es completamente analogo.

115


Figura 154

Figura 155

17. Teorema de Poncelet: Demuestre si 4ABC es un triangulo rectangulo con ∠A = 90°,entonces 2(r +R) = b+ c.

Figura 156: Teorema de Poncelet

Solucion: Sean O e I el circuncentro y el incentro del 4ABC. Como ∠A = 90°, O es elpunto medio de BC, por lo que a = 2R. Por otra parte, si P y Q son las proyecciones de Isobre AB y AC, claramente APIQ es rectangulo, pero como I es incentro IP = r = IQ,

116


por lo que APIQ es cuadrado. Se sabe que para un triangulo cualquiera AP = s− a, por lotanto

r = s− a

r =b+ c− a

22r + a = b+ c

2(r +R) = b+ c

18. En la figura 157, ABCD y PQRS son cuadrados, 4ABP ≡ 4BCQ ≡ 4CDR ≡ 4DAS ylos los radios de las cinco circunferencias son iguales a r. Si a es el lado del cuadrado ABCD,determine r en funcion de a.

Figura 157

Solucion: Se tiene AB = a y se definen b = AP y c = BP ; observe que por las congruenciasBQ = b, por lo que PQ = c − b = 2r. Por otra parte (analogamente a la demostracion delteorema de Poncelet), al calcular el inradio del 4ABP se tiene que 2r = b+ c− a, entoncesc− b = b+ c− a, lo cual implica que a = 2b. Por lo tanto, el 4ABP es un triangulo notablede 30, 60, 90, y ası

r =c− b

2

=

√32a− 1

2a

2

=

(√3− 1

4

)a

19. Recta de Euler. El centroide G, el ortocentro H y el circuncentro O de un triangulo estanalineados, y ademas GH = 2GO.

Solucion: Considere la siguiente figura. Sean AHa y BHb alturas, OA′ y OB′ mediatrices.Observe que HA ⊥ BC y OA′ ⊥ BC, por lo que HA ‖ OA′; analogamente HB ‖ OB′;tambien, por el teorema de la base media AB ‖ A′B′ y AB = 2A′B′. Esto implica que4ABH ' A′B′O y la razon de semejanza es 2; en particular AH = 2A′O. Si definimos G

117


Figura 158: Recta de Euler

como la interseccion de la mediana AA′ con HO, claramente 4AHG ' 4A′OG y la razonde semejanza es la misma que la anterior, por lo que GA = 2GA′, i.e., G es el centroide del4ABC. Esto implica que el ortocentro, el centroide y el circuncentro de un triangulo estanalineados, y por la semejanza GH = 2GO.

118

2 Trigonometrıa

2. Trigonometrıa

La trigonometrıa es el estudio de las relaciones entre los lados y los angulos de los triangulos. La pal-abra “trigonometrıa’ se deriva de las palabras griegas trigono (τριγωνo), que significa “triangulo”,y metro (µετρω), que significa “medicion”. Aunque los griegos antiguos, como Hiparco y Ptolomeo,usaban trigonometrıa en su estudio de astronomıa entre el 150 A.C. y el 200 D.C., su historia esmucho mas antigua. Por ejemplo, el escriba egipcio Ahmes registro algunos calculos trigonometricosrudimentarios (acerca de las proporciones de los lados de las piramides) en el famoso Papiro deRhind cerca del 1650 A.C. Incluso Ahmes dijo haber copiado el papiro de un trabajo aun masantiguo que posiblemente data de alrededor del 3000 A.C.Iniciaremos nuestro estudio de la trigonometrıa con el concepto de angulo como rotacion de unsegmento de recta alrededor de un punto, y como esto lleva naturalmente a estudiar las relacionestrigonometricas dentro de un cırculo. Note que aunque se comienza la discusion con el conceptoelemental de angulo, se asume que el lector esta familiarizado con el trabajo con triangulos (clasi-ficacion, terminologıa, rectas notables, angulos dentro de un triangulo, area, perımetro, teoremade Pitagoras) y que tiene nociones basicas de trigonometrıa en triangulos rectangulos.

2.1. Angulos.

Imagınese una lınea recta, comenzando de una posicion fija OA (Fig. 159a) y rotando alrededor deun punto O en la direccion opuesta al movimiento de las agujas del reloj hasta llegar a la posicionindicada por OB.Al rotar de OA a OB, se describe el angulo AOB. De esta manera, tenemos el concepto de unangulo como formado por la rotacion de un segmento de recta alrededor de un punto fijo, quellamaremos el vertice del angulo.Como se puede observar en la figura 159a, si se toma cualquier punto C del segmento de recta OA,este punto marcara con su movimiento el arco CD de un cırculo.No existe lımite en la rotacion de OA y, por consiguiente, se pueden formar angulos de cualquiermagnitud al rotar un segmento de recta de esta manera.Suponga, por ejemplo, que la rotacion de OA se continua hasta la posicion OA′ (Fig. 159b), en losque A′, O y A son colineales. El punto C habra delineado un semicırculo y el angulo A′OA se lellama angulo llano.Si dejamos que OA continue su rotacion hasta que llegue a su posicion original, habra realizadouna rotacion completa y el punto C habra marcado la circunferencia de un cırculo.

A

B

OC

D

(a)

AA′O CD

(b) Angulo Llano

Figura 159

119

2.1 Angulos. 2 Trigonometrıa

AA′O CD

(a) Rotacion completa

III

III IV

AA′O CD

E

F

(b) Angulo recto

Figura 160

2.1.1. Medicion de un angulo

Por convencion, los angulos se miden en sentido antihorario. Cualquier angulo formado a partir dela rotacion de un segmento sobre un punto en el sentido de las agujas del reloj tendra una medicionnegativa.El concepto de la formacion de un angulo por rotacion nos lleva a un metodo conveniente de medirangulos. Si imaginamos que la rotacion completa se divide en 360 divisiones iguales, tendremos360 pequenos angulos iguales, cada uno de los cuales sera llamado un grado45.Note que esta medicion de angulos, aunque comunmente utilizada, no es la unica existente. Losgradianes, por ejemplo, dividen al cırculo en 400 partes iguales. Esta medicion fue adoptada enFrancia para que el sistema de medida de angulos fuese consistente con otros sistemas de medicionmetricos.

OA

B

α = 1 rad

Figura 161

Un tercer metodo para medir angulos es absoluto, en el sentidoque no depende de una division arbitraria del cırculo formadopor una revolucion completa. Para obtener la medicion, tomeseun cırculo con centro O (ver figura 161). Rote el radio OA hastala posicion OB, tal que la longitud del arco AB es igual a la delradio. A la medida del angulo AOB le llamaremos un radian.Note que la descripcion anterior nos dice que la medicion en ra-dianes de un angulo esta definida como la razon de la longituddel arco definido por la rotacion que describe al angulo y la lon-gitud del radio del cırculo. Dado que la cirfunferencia se obtienecon 2πr, donde r es el radio del cırculo, una revolucion completaequivale a un angulo de 2π radianes.

45Puede que se este preguntando el porque el 360 como el numero de divisiones de una rotacion completa paraobtener un grado. La seleccion de este numero fue hecha de forma muy temprana en la historia de la civilizacionhumana y sabemos, por ejemplo, a partir de las inscripciones en templos que el numero fue empleado por losantiguos Babilonios. El numero probablemente surgio de la division de los cielos por astronomos antiguos en 360partes, correspondientes a lo que se tomaba como el numero de dias en el ano.

120

2.2 Seno y Coseno 2 Trigonometrıa

2.1.2. Terminologıa

La figura 160b representa una rotacion completa, como la mostrada en la figura 160a. Sea E y Flos puntos medios de los arcos entre C y D en cada semicırculo. Si trazamos el segmento de rectaEF , este pasa a traves de O y la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales. Cada unode los angulos COE, EOD, DOF y FOC representa a un cuarto de la rotacion completa y sonllamados angulos rectos, conteniendo cada uno 90 grados. El cırculo, ademas es dividido en cuatropartes iguales llamadas cuadrantes que se numeran en el orden de formacion.Cualquier angulo menor que 90 grados es llamado agudo y cualquiera que se encuentre entre 90y 180 grados es llamado obtuso. Dos angulos cuyas medidas suman 180 y 90 grados son llamadosangulos suplementarios y complementarios, respectivamente. Dos angulos que tienen la mismamedida son llamados congruentes.

2.2. Seno y Coseno

Como en nuestra discusion de la seccion anterior, estamos acostumbrados a definir las relacionesdel seno y coseno dentro de un triangulo rectangulo. Ası, tenemos que:

cosα = OAOP

senα = APOP

O A

P

α

Aunque estas definiciones son importantes en sı mismas y seran utilizadas ampliamente en lassiguientes secciones, estan limitadas por 0 < α < π

2. Esto se debe a que dentro de un triangulo

cualquiera, la suma de los angulos internos debe ser 180◦ o π radianes, lo que obliga a que la sumade los angulos que se utilizan para la definicion del seno y coseno en un triangulo rectangulo debeser π

2radianes.

Para la discusion subsecuente, se considerara a los angulos dentro del cırculo unitario (es decir,aquel formado por una rotacion completa de un punto a una distancia de 1 unidad del punto derotacion). Asumiremos que el centro del cırculo (es decir, el punto de rotacion) esta en el orıgenO del plano cartesiano, por lo que la ecuacion de la circunferencia es a2 + b2 = 1.Sea P un punto dentro de la circunferencia, α el angulo IOP , con 0 < α < π

2, A y B las proyecciones

de P sobre los ejes x e y, respectivamente, como se muestra en la figura 162a. Utilizando lasdefiniciones antes mencionadas para el seno y el coseno, dado que OP = 1 (es el radio del cırculo),tenemos que cosα = OA y senα = OB. Es decir, la coordenada en x del punto P corresponde alcoseno de α, mientras que su coordenada en y corresponde al seno de α.Si ahora suponemos que P es un punto cualquiera de la circunferencia, α toma cualquier valor entre0 y 2π; a partir de lo discutido en el parrafo anterior, se generalizaran las razones trigonometricasde forma que, para cualquier angulo α descrito por la rotacion de algun punto P (x, y) en el cırculounitario, dado que la posicion inicial de P es (0,1), tendremos que x = cosα y y = senα (ver figura162b).

121

2.2 Seno y Coseno 2 Trigonometrıa

O I

J

P(cosα, sinα)

A

B

α

(a)

O I

J

P (cosα, sinα)

A

B

α

(b)

Figura 162

De esta observacion ya podemos extraer algunos resultados basicos importantes:

Dado que la ecuacion de la circunferencia es x2 + y2 = 1, tenemos que

cos2 α + sen2 α = 1

Dado que los valores de x e y para los puntos en esta circunferencia pueden tomar valoresentre -1 y 1, inclusive, tenemos que para cualquier angulo α,

−1 ≤ cosα ≤ 1 y − 1 ≤ senα ≤ 1

Si se realiza una rotacion completa a partir de P , se llega al mismo punto y notamos quelos valores del seno y coseno del nuevo angulo descrito por la rotacion son los mismos queel angulo original. Esto sigue siendo cierto sin importar cuantas rotaciones completas serealicen. De aquı tenemos que, para cualquier entero k:

cos(α + 2πk) = cos(α) y sen(α + 2πk) = sen(α)

La siguiente tabla resume algunos valores del seno y coseno de angulos agudos calculados a partirde figuras geometricas conocidas:

α 0π

6

π

4

π

3

π

2

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20

senα 01

2

√2

2

√3

21

π

6

π

4

π

3

0

π

2

122

2.3 Identidades Trigonometricas 2 Trigonometrıa

a

O A

P

1

π4

π4

a

a

(a) Para π4

O IH

P

1 1

h

π3

π3

π6

π6

H ′1H ′

(b) Para π3 y π

6

Figura 163: Calculo de seno y coseno para angulos basicos

Es importante saber como se obtienen los valores de estos angulos. Para 0 y π2, los valores son

obtenidos directamente de los valores de las coordenadas x e y de los puntos sobre la circunferenciaque los describen.Para π

4(fig. 163a), notamos que el triangulo rectangulo es isosceles (ambos angulos agudos deben

sumar π2) y por el teorema de pitagoras, a = 1√

2o, equivalentemente, a =

√22

. Ya que a corresponde

a las coordenadas x e y del punto P (asumiendo que O se encuentra en el origen), tambiencorresponde al seno y coseno de π

4.

Para encontrar el seno y coseno de π3

y π6

notamos que los angulos son complementarios y que eltriangulo rectangulo que los contiene es la mitad de un triangulo equilatero (ver fig. 163b). Porgeometrıa sabemos que la altura en un triangulo equilatero corresponde tambien a la bisectriz ymediatriz. Por lo tanto, ya que OP = 1, sabemos que OH = 1

2(por ser PH mediatriz), de donde

el cos π3

= sen π6

= 12. Luego, por pitagoras, la altura PH =

√32

, de donde sen π3

= cos π6

=√32

.

2.3. Identidades Trigonometricas

Una Identidad es una igualdad que es valida para todos los valores que pueda tomar la variable(o las variables, si hay mas de una).46 En Trigonometrıa hay muchas identidades y en esta seccionobtendremos algunas de las mas conocidas.

2.3.1. Las identidades basicas sinα

cosα0π

π2

−π2

α

−α

π − α

π + α

Figura 164

Para obtener identidades trigonometricas a partir denuestra definicion de seno y coseno de un angulo dentrodel cırculo unitario, primero observamos que los puntosde dicho cırculo asociados a α, π − α, π + α y −α sonlos vertices de un rectangulo, suponiendo que los ejes decoordenadas son los ejes de simetrıa, como se muestra enla figura 164. De esta observacion, podemos hacer una

46En cambio, una Ecuacion es una igualdad que solo es valida para ciertos valores de la variable, llamadosSoluciones de la ecuacion, y la variable toma el nombre de incognita.

123


lectura directa de la figura para obtener las siguientesidentidades:

sinα

cosα0π

π2

απ − α

π2− απ

2+ α

Figura 165

cos(−α) = cosα sen(−α) = − senα

cos(π − α) = − cosα sen(π − α) = senα

cos(π + α) = − cosα sen(π + α) = − senα

Si ahora se realiza la construccion para obtener anguloscomplementarios dentro de la circunferencia, como se mues-tra en la figura 165, por congruencia de triangulos obten-emos las siguientes identidades:

cos(π

2− α

)= senα cos

(π2

+ α)

= − senα

sen(π

2− α

)= cosα sen

(π2

+ α)

= cosα

2.3.2. Identidades de suma y resta de angulos

Las siguientes identidades a obtener seran aquellas quenos permitan obtener el valor del seno y coseno de lasuma α+β y de la diferencia α−β en funcion del seno ycoseno de α y de β. Encontraremos primero una identidadpara sen(α + β).

O

P

A

α

Q

β

C

B D

E

I

Figura 166

Sea P el punto sobre el cırculo unitario que describe al anguloα a partir del eje de coordenadas x, y Q el que describe alangulo β a partir del punto P , como se muestra en la figura166. Sea C el punto donde cae la perpendicular a OP quepasa por Q. Sean B, D y A los puntos en OI donde caenlas perpendiculares a OI que pasan por los puntos Q, C yP , respectivamente. Finalmente, sea EC paralela a OI. Lossiguiente datos pueden ser extraidos de esta construccion:

OQ = 1.

QC = sen β y OC = cos β.

Ya que DCEB es un palalelogramo, EB = CD.

senα = CDOC

= CDcosβ

, de donde CD = senα cos β = EB.

Note que para obtener el valor del sen(α + β), es necesario conocer el valor de QB. De los datosanteriores obtuvimos el valor de EB, por lo que resta unicamente el valor de QE. Para esto,note que por angulos alternos internos entre paralelas ∠ECO = α. Pero ∠QCE + ∠ECO = π

2

y tambien ∠EQC + ∠QCE = π2, de donde ∠CQE = ∠ECO = α. Sabiendo esto, tenemos que

cosα = QEQC

= QEsenβ

, de donde QE = cosα sen β. Ası,

sen(α + β) = QB = EB +QE = senα cos β + cosα sen β

124


A partir de esta identidad pueden deducirse las mencionadas en el siguiente teorema, cuyas de-mostraciones se dejan al lector en forma de ejercicios.

Teorema 2.1. Para cualquier pareja de angulos α y β se cumple que

sen(α + β) = senα cos β + cosα sen βsen(α− β) = senα cos β − cosα sen βcos(α + β) = cosα cos β − senα sen βcos(α− β) = cosα cos β + senα sen β

El siguiente ejemplo muestra una aplicacion de las identidades anteriores.

EJEMPLO 2.1Calcule el valor del seno y el coseno para el angulo π

12.

Solucion: Note que π3− π

4= π

12, por lo que podemos aplicar las identidades para la diferencia de

dos angulos y los valores ya conocidos para el seno y coseno de π4

y π3. Para el valor del coseno:

cosπ

12= cos

(π3− π

4

)= cos

π

3cos

π

4+ sen

π

3sen

π

4

=1

2·√

2

2+

√3

2·√

2

2

=

√2

4(√

3 + 1)

De manera similar obtenemos que sen π12

= sen(π3− π

4

)=√24

(√3− 1

).

2.3.3. Identidades de duplicacion y linearizacion

De las formulas obtenidas en la seccion anterior, tenemos el caso especial cuando α = β, de donde:

cos(2α) = cos2 α− sen2 α y sen(2α) = 2 senα cosα

Si utilizamos la relacion cos2 α + sen2 α = 1 obtenemos:

cos(2α) = 2 cos2 α− 1 y cos(2α) = 1− 2 sen2 α

De donde es posible expresar al cos2 α y al sen2 α en funcion de cos(2α):

cos2 α =1 + cos(2α)

2y sen2 α =

1− cos(2α)

2

EJEMPLO 2.2Calcule el seno y coseno de π

8.

125

2.4 Tabla de Identidades Trigonometricas. 2 Trigonometrıa

Solucion. Ya que conocemos el valor del coseno de 2 × π

8=π

4, podemos utilizar las identidades

de linearizacion con α = π8. Ya que cos π

4=√22

:

cos2π

8=

1 +√22

2=

2 +√

2

4y sen2 π

8=

1−√22

2=

2−√

2

4

La posicion en el cırculo unitario del punto asociada con π8

muestra que cos π8

y sen π8

son numerospositivos. En consecuencia,

cosπ

8=

√2 +√

2

2y sen

π

8=

√2−√

2

2

2.4. Tabla de Identidades Trigonometricas.

sen2 α + cos2 α = 1 Identidad Pitagorica1 + tan2 α = sec2 α ”1 + cot2 α = csc2 α ”

sen(α + β) = senα cos β + cosα sen β Identidad del Seno de una Sumasen(α− β) = senα cos β − cosα sen β ”cos(α + β) = cosα cos β − senα sen β Identidad del Coseno de una Sumacos(α− β) = cosα cos β + senα sen β ”

tan (α + β) =tanα + tan β

1− tanα tan βIdentidad de la Tangente de una Suma

tan (α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β”

senα sen β =cos (α− β)− cos (α + β)

2Identidad del Producto de Senos

cosα cos β =cos (α + β) + cos (α− β)

2Identidad del Producto de Cosenos

senα cos β =sen (α + β) + sen (α− β)

2Identidad del Producto Seno-Coseno

sen(2α) = 2 senα cosα Identidad de Angulo Doblecos(2α) = cos2 α− sen2 α = 1− 2 sen2 α = 2 cos2 α− 1 ”

sen2(γ

2

)=

1− cos γ

2Identidad del Angulo Mitad

cos2(γ

2

)=

1 + cos γ

2”

senA+ senB = 2 sen

(A+B

2

)cos

(A−B

2

)Identidad de la Suma de Senos

senA− senB = 2 cos

(A+B

2

)sen

(A−B

2

)Identidad de la Resta de Senos

cosA+ cosB = 2 cos

(A+B

2

)cos

(A−B

2

)Identidad de la Suma de Cosenos

cosA− cosB = −2 sen

(A+B

2

)sen

(A−B

2

)Identidad de la Resta de Cosenos

126

2.5 Relaciones trigonometricas en un triangulo. 2 Trigonometrıa

2.5. Relaciones trigonometricas en un triangulo.

Para la discusion de esta seccion, usaremos las siguientes notaciones y convenciones para untriangulo ABC dado:

a, b, c: las longitudes de los lados opuestos a losvertices A, B y C, respectivamente.

S: el area del triangulo

cos A y sen A: el cosα y senα, donde α es la medidaentre 0 y π de ∠BAC. A

C

b

AB

a

c

C

B

El siguiente teorema, que el lector demostrara en su totalidad en los problemas 2.2 y 2.3, muestralas relaciones trigonometricas mas importantes dentro de un triangulo:

Teorema 2.2. En un triangulo ABC cualquiera, se cumple:

La generalizacion del teorema de Pitagoras (ley de cosenos):

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

El area del triangulo:

S =1

2bc sen A

Ley de senos:a

sen A=

b

sen B=

c

sen C=abc

2S

2.6. Una tangente especial.

Otra de las razones importantes estudiadas por la trigonometrıa es la tangente, la cual es definidadentro de un triangulo rectangulo como:

tanα = PAOA

O A

P

α

Como mencionamos en el caso del seno y el coseno, esto se cumple para todo angulo 0 < α < π2.

A partir de esta relacion y tomando en cuenta la definicion del seno y coseno de α, es posibledemostrar que para todo angulo α 6= π

2+ kπ (k ∈ Z):

tanα =senα

cosα

La siguiente tabla muestra los valores de la tangente para algunos angulos comunes:

127

2.7 Ecuaciones trigonometricas. 2 Trigonometrıa

O

A

α

I

T (1, tanα)

(a)

OI

T (1, tanα)

A

α

(b)

OI

T (1, tanα)

A

α

(c)

Figura 167

α 0π

6

π

4

π

3

π

2

tanα 0

√3

31

√3 no definido

Los valores de esta tabla pueden obtenerse a partir de los valores correspondientes del seno ycoseno.Una interpretacion interesante de la tangente se obtiene al representarla dentro del cırculo unitario.Sea A un punto cualquiera de la circunferencia que describa al angulo α y l la recta tangente alcırculo unitario que pasa por el punto (1, 0), entonces el punto T de la interseccion de la rectadeterminada por AO y l tendra coordenadas (1, tanα). La figura 167 muestra lo aquı descrito paraalgunos valores de α.Note que esta interpretacion de la tangente nos da una razon intuitiva por la que tan π

2no existe:

cuando A define al angulo π2, l y la recta definida por OA son paralelas, por lo que nunca se

intersectan. De la figura 167 tambien es posible extraer una explicacion intuitiva para las siguientesidentidades:

tan(α + kπ) = tanα y tan(−α) = − tanα

donde k ∈ Z. Ası mismo, de las identidades del seno y coseno vistas en las secciones anteriores esposible obtener las identidades:

1 + tan2 α =1

cos2 αy tan

(π2− α

)=

1

tanα

2.7. Ecuaciones trigonometricas.

Como se menciono anteriormente, a diferencia de las identidades, que se cumplen para cualquiervalor de las variables en cuestion, las igualdades en las ecuaciones se cumplen solo para algunos val-ores de las variables y resolverlas implica encontrar dichos valores. En ecuaciones trigonometricas,la principal estrategia es utilizar las identidades antes vistas para simplificar lo mas posible laigualdad. Por ejemplo, para la siguiente ecuacion:

2 sen(x)− 1 = 0

128


Al sumar 1 a ambos lados de la ecuacion y luego dividir por 2 obtenemos:

sen(x) =1

2

O

π6

π6

Figura 168

De los valores obtenidos para sen(x) en la seccion 2.2sabemos que x = π

6. Sin embargo, al resolver una ecuacion

deben obtenerse todos los valores de la variable que hacenque la igualdad sea verdadera. Para el caso del seno, queen el cırculo trigonometrico equivale a la coordenada ydel punto sobre el cırculo que describe al angulo, podemosobservar en la figura 168 que x = π − π

6= 5π

6tambien

cumple con la igualdad47. Es decir, tenemos que

x =π

6o x =

5π

6

Pero hay que recordar, ademas, lo discutido en la seccion 1.2: si desde cualquier punto del cırculotrigonometrico se realiza una rotacion completa, se regresa al mismo punto de partida, por lo queel seno del angulo descrito originalmente y el del angulo que se forma luego de la rotacion sonexactamente los mismos. Ası, para la primera de nuestras soluciones, sen(π

6) = sen(π

6+ 2π), de

donde x = π6

+ 2π = 13π6

es otra solucion a nuestra ecuacion. Ya que podemos repetir este mismoproceso de manera indefinida (es decir, podemos dar tantas rotaciones completas como nos plazcay siempre llegaremos al mismo punto de partida), podemos decir que a partir de la solucion x = π

6

se pueden obtener infinitas soluciones de la forma x = π6

+ 2πk, donde k es un numero enterocualquiera. Aplicando esta misma idea a la segunda de las soluciones obtenidas anteriormente,podemos decir ahora que las soluciones de la ecuacion son:

x =π

6+ 2πk o x =

5π

6+ 2πk

donde k es un numero entero.Note que el metodo utilizado en el ejemplo anterior es similar al que se utilizarıa para resolverecuaciones con coseno o tangente y puede ser descrito en los siguientes pasos:

1. Llevar la ecuacion a la forma sen(x) = a, cos(x) = a, o tan(x) = a.

2. Encontrar las soluciones entre 0 y 2π de estas ecuaciones simples. Para esto puede utilizarlas igualdades:

sen(x) = sen(π − x)

cos(x) = cos(−x)

tan(x) = tan(π + x)

3. Utilizar la propiedad periodica de las funciones para que, a partir de una solucion especıficax0, se pueda obtener la solucion general x = x0 + 2πk, con k entero.

47Note que lo que aquı descrito es una aplicacion de la igualdad senα = sen(π − α). Si la discusion se hubiesebasado en el coseno, nos hubiese sido util la identidad cosα = cos(−α).

129


A continuacion se presentan mas ejemplos que utilizan esta estrategia para su solucion.

EJEMPLO 2.3Resuelva en R la ecuacion senx = −

√32

.Solucion. Conocemos una solucion particular de esta ecuacion: x0 = −π

3. La ecuacion se convierte

ası en senx = sen(−π

3

), que tiene como soluciones:

x = −π3

+ 2kπ y x =4π

3+ 2kπ

donde k ∈ Z. Note que el segundo conjunto de soluciones se obtiene tomando en cuenta la identidadsenα = sen (π − α).

EJEMPLO 2.4Resuelva en R la ecuacion cosx = sen π

5.

Solucion. Llevaremos esta ecuacion a la forma cosx = cosx0 gracias a la relacion:

senπ

5= cos

(π2− π

5

)= cos

3π

10

Por consiguiente, resolvemos la ecuacion cosx = cos 3π10

, de donde tenemos la solucion

x =3π

10+ 2kπ (k ∈ Z)

Note que dado que cosα = cos(−α), tambien tenemos como soluciones

x = −3π

10+ 2kπ (k ∈ Z)

EJEMPLO 2.5Resuelva en [0, 2π] la ecuacion cos 3x = senx.Solucion. Tenemos que senx = cos

(π2− x), de donde la ecuacion propuesta es equivalente a

cos 3x = cos(π2− x). Obtenemos por lo tanto:

3x =π

2− x+ 2kπ o 3x = x− π

2+ 2kπ

o equivalentemente:

x =π

8+ k

π

2o x = −π

4+ kπ

con k ∈ Z. De estos valores, aquellos que pertenecen al intervalo [0, 2π] son:

De la primera relacion: π8, π

8+ π

2, π

8+ π, π

8+ 3π

2. Es decir: π

8, 5π

8, 9π

8, 9π13

.

De la segunda relacion: π − π4, 2π − π

4; es decir, 3π

4, 7π

4.

130


EJEMPLO 2.6Resuelva en [0, 2π] la ecuacion 2 senx cosx =

√3 cos(x).

Solucion. Podemos transformar la ecuacion dada a 2 senx cosx−√

3cos(x) = 0, de donde

cosx(2 senx−√

3) = 0

Esto es cierto cuando cualquiera de los dos terminos que se estan multiplicando son iguales a 0, porlo que analizamos estos casos por separado. Para cosx = 0, podemos observar que en intervalo dadolos valores que cumplen con la ecuacion son x = π

2o x = 3π

2. Para 2 sen x−

√3 = 0, transformamos

la ecuacion para tener sen(x) =√32

o sen(x) = sen π3. Dentro del intervalo dado, el unico otro valor

que cumple con esta condicion es x = π − π3

= 2π3

.Combinando los dos casos anteriores, tenemos que las soluciones de la ecuacion son π

3, π

2, 2π

3, 3π

2.

2.7.1. Ecuaciones de la forma A cos (x) +B sen (x) = C

Note que en todos los ejemplos anteriores se han resuelto ecuaciones de la forma

A cos (x) +B sen (x) = C

Por lo que ahora describiremos un metodo general para la solucion de dichas ecuaciones. Para esto,suponga que un triangulo rectangulo tiene por catetos A y B, los coeficientes de sen (x) y cos (x)en la ecuacion dada; su hipotenusa sera entonces

√A2 +B2. Dividimos toda la ecuacion por este

valor, resultandonos

A√A2 +B2

cos (x) +B√

A2 +B2sen (x) =

C√A2 +B2

.

Los coeficientes en esta nueva ecuacion son coordenadas de un punto en la circunferencia unitariay por lo tanto se pueden identificar con el seno y coseno del angulo φ asociado a dicho punto.Existen dos posibilidades, de acuerdo a que coeficiente sera considerado abcisa y cual de elloscomo la ordenada.Por ejemplo, si hacemos

cosφ =A√

A2 +B2

senφ =B√

A2 +B2

la ecuacion puede ser escrita en la forma:

cos (φ) cos (x) + sen (φ) sen (x) =C√

A2 +B2

De donde las soluciones de la ecuacion original se reducen a las soluciones de la ecuacion

cos (φ− x) =C√

A2 +B2

131

2.8 Problemas. 2 Trigonometrıa

Note que esto nos dice que para que la ecuacion original tenga solucion debe cumplirse

−1 ≤ C√A2 +B2

≤ 1

Note que la seleccion del senφ y cosφ fue completamente arbitraria. Tambien pudo haberse es-tablecido que

senφ =A√

A2 +B2

cosφ =B√

A2 +B2

En cuyo caso la ecuacion original se transforma en

sen (φ) cos (x) + cos (φ) sen (x) = sen(φ+ x) =C√

A2 +B2

EJEMPLO 2.7Resuelva en [0, 2π] la ecuacion − cos (x) + sen (x) = 1√

2.

Solucion. Note que en esta ecuacion, A = −1, B = 1 y C = 1√2. De aquı que

cosφ =−1√

(−1)2 + (1)2=−1√

2=−√

2

2

senφ =1√

(−1)2 + (1)2=

1√2

=

√2

2

Dentro de [0, 2π] se tienen dos opciones para φ en la segunda ecuacion: π4

y 3π4

. De estas, solo 3π4

cumple con la primera ecuacion, por lo que la ecuacion original se convierte en:

cos

(3π

4− x)

=1

2

de donde 3π4− x = π

3o 3π

4− x = −π

3; es decir, x = 5π

12o 13π

12.

2.8. Problemas.

Cırculo trigonometrico.

1. Complete la siguiente tabla en terminos de senα y cosα

α α +π

2α + π α +

3π

2π − α −α π

2− α

senα sen(α +

π

2

)= cosα sen (α + π) = − senα sen

(α +

3π

2

)= − cosα sen (π − α) = senα sen (−α) = − senα sen

(π2− α

)= cosα

cosα cos(α +

π

2

)= cos (α + π) = cos

(α +

3π

2

)= cos (π − α) = cos (−α) = cos

(π2− α

)=

tanα tan(α +

π

2

)= tan (α + π) = tan

(α +

3π

2

)= tan (π − α) = tan (−α) = tan

(π2− α

)=

cotα cot(α +

π

2

)= cot (α + π) = cot

(α +

3π

2

)= cot (π − α) = cot (−α) = cot

(π2− α

)=

secα sec(α +

π

2

)= sec (α + π) = sec

(α +

3π

2

)= sec (π − α) = sec (−α) = sec

(π2− α

)=

cscα csc(α +

π

2

)= csc (α + π) = csc

(α +

3π

2

)= csc (π − α) = csc (−α) = csc

(π2− α

)=

132


2. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)√

2 senx− 1 = 0 b) 4 cosx− 2√

3 = 0 c)√

2 cos(x+ π2) = 1 d) 2 sen(3x+ π) = 1

3. Represente en el cırculo trigonometrico los valores del angulo θ ∈ [0, 2π] que satisfacen cadauna de las siguientes inecuaciones:

a)√

2 senx− 1 ≤ 0 b) 4 cosx− 2√

3 > 0 c)√

2 cos(x+ π2) ≤ 1 d) 2 sen(3x+ π) ≥ 1

4. (Verdadero o Falso.) Los siguientes expresiones son todas nulas, para cualquier x.

a) cos(π − x) + cos(−x)

b) cos(π − x) + sen(x+ π2)

c) sen(π + x) + cos(π2− x)

d) sen(x− π2)− cos(x+ π)

e) sen(π − x) + cos(x+ π2)

f) cos(x− π2) + sen(x− π)

5. Determine cual de las siguientes expresiones es distinta de sen(−α).

a) cos(−α− π2) b) cos(5π

2+ α) c) sen(α− π) d) cos(−α + π

2) e) sen(α + 3π)

6. Emplee el cırculo trigonometrico para escribir cada una de las expresiones siguientes enterminos de cosα o senα.

a) sen(α + π2

+ π) + cos(α− π2− π) b) sen(α− π

2− 3π)− cos(−π

2− π − α)

Identidades basicas.

7. Determine cosx sabiendo que:

a) senx =√33

y x ∈]π2, π[. b) senx = −1

4y x ∈]− π

2, 0[.

8. Determine senx sabiendo que:

a) cos x = −34

y x ∈]− π, 0[. b) cos x = 25

y x ∈]0, π[.

9. Utilizando identidades trigonometricas, calcule los valores exactos del seno y coseno de lossiguientes angulos:

a)π

8

b)3π

8

c)5π

8

d)7π

8

e)9π

8

f) −3π

8

g) −5π

8

h)π

12

i)5π

12

j)7π

12

k)13π

12

l) −11π

12

10. Muestre que para todo numero real x:

a) (cos x+ senx)2 + (cosx− senx)2 = 2.

b) (1 + senx+ cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cos x).

133


Formula de la Adicion.

11. Pruebe que, para todo numero real x:

a) senx = sen(π3

+ x)− sen(π3− x).

b) cos x+ cos(x+ 2π3

) + cos(x+ 4π3

) = 0.

c) senx+ sen(x+ 2π3

) + sen(x+ 4π3

) = 0.

12. Demuestre las siguiente identidades:

a) cos(x+ y) cos(x− y) = cos2 x− sen2 y = cos2 y − sen2 x.

b) sen(x+ y) sen(x− y) = sen2 x− sen2 y = cos2 y − cos2 x.

c) cos(x+ y) sen(x− y) = senx cosx− sen y cos y.

d) cos(x− y) sen(x+ y) = sen x cosx+ sen y cos y.

Formula de duplicacion y linealizacion.

13. Calcule cos(2x) en cada uno de los siguientes casos.

a) cos x = −13

b) senx = −√33

c) cosx = 45

d) senx = 34

14. Calcule sen(2x) en cada uno de los siguientes casos.

a) senx = 35

y x ∈ [−π2, π2]

b) senx = −35

y x ∈ [π2, 3π

2]

c) cosx = 1√3

y x ∈ [π, 2π]

d) cos x = 1√2

y x ∈ [−π, 0]

15. Exprese en terminos de cos 2x y sen 2x:

a) cos4 x− sen4 x b) cos4 x+ sen4 x c) cos4 x d) sen4 x

16. Si x no es un multiplo entero deπ

2, demuestre que

sen 3x

senx− cos 3x

cosx= 2.

Leyes del Coseno y del Seno.

17. Construir un triangulo cuyos lados miden 11 cm., 15.5 cm., 19 cm. ¿Es un triangulo rectangulo?De no ser ası, determine la medida del angulo opuesto al lado mas grande.

18. Suponga que a = BC, b = AC y c = AB, representan los lados del 4ABC, y que α, β y γ,las medidas de los angulos ∠CAB, ∠ABC y ∠BCA, respectivamente. En cada uno de loscasos siguientes, aclare cuantos triangulos satisfacen las condiciones dadas, y luego determinelas medidas de los elementos que faltan de los triangulos solucion:

134


a) b = 3, c = 4, α = 60◦

b) b =√

2, c = 6, α = 45◦

c) b = 5, c = 12, α = 90◦

d) a = 11, b = 9, c = 5

e) a = 15, b = 4, c = 13

f) a = 8, b = 7, c = 8

19. Un triangulo ABC es tal que BC = 4. Los angulos ∠ABC y ∠ACB miden respectivamenteπ4

y π3. Determine los valores exactos de los otros dos lados.

20. En el triangulo ABC calcule AB y AC, sabiendo que BC =3.5 cm., el ∠ABC = 55◦ y el∠CAB = 80◦.

21. Teorema de la Bisectriz: El punto I es el pie de la bisectriz interior del angulo ∠CAB.Aplique la Ley de Senos sobre cada uno de los triangulos 4AIB y 4AIC para demostrarque

IB

IC=AB

AC

Demuestre ademas que si I ′ es el pie de la bisectriz externa del angulo ∠CAB se cumple

IB

IC= −AB

AC

22. En el triangulo ABC, sea I el punto medio del lado BC, α = ∠BAI y β = ∠CAI. Demuestreque

senα

sen β=AC

AB

23. Muestre que el triangulo ABC es rectangulo en A si y solamente si sen2A = sen2B+sen2C.

Formula del Area.

24. Calcule el area del cuadrilatero ABCD.

A

B

3

45◦

C

60◦

D

42

25. Calcule el area del triangulo ABC, sabiendo que AB = AC = 4 y que el ∠ABC = 50◦.

Empleo de Identidades Trigonometricas.

26. Verdadero o Falso.

a) cos2 x+ cos2(x+ π2) + cos2(x+ 2π

6) + cos2(x+ 3π

6) + cos2(x+ 4π

2) + cos2(x+ 5π

6) no depende

del valor de x.

b) La ecuacion sen 2x = 2 sen x es equivalente a cosx = 1.

135


c) La ecuacion 12

cos 2x = cos2 x no tiene solucion.

d) En el triangulo ABC, la longitud de la mediana trazada desde A es: 12

√a2 + 4bc cosA.

e) En el triangulo ABC, si senA ≤ senB ≤ senC entonces a ≤ b ≤ c.

27. Muestre que:cos π

12+ sen π

12

cos π12− sen π

12

=√

3.

28. Demuestre que 16 sen π24

sen 5π24

sen 7π24

sen 11π24

= 1. Sugerencia: 7π24

= π2− 5π

24y π

24= π

2− 11π

24.

29. Verifique que: 2 sen π7(cos π

7+ cos 3π

7+ cos 5π

7) = sen 6π

7, y deduzca el valor de cos π

7− cos 2π

7+

cos 3π7

.

30. Sea x un numero real diferente de kπ (k ∈ Z).

a) Muestre que cosx cos 2x cos 4x =sen 8x

8 senx.

b) Calcule cosπ

7cos

2π

7cos

4π

7.

c) Calcule cosπ

9cos

2π

9cos

4π

9.

Trigonometrıa del triangulo rectangulo.

31. En la figura adjunta BH = 1, CH = 3 y ∠ACB = π6. ¿Cual es el valor exacto de perımetro

del triangulo ABC?

B H C

A

32. De acuerdo con la figura siguiente. ¿Cual es el valor exacto del sen θ?

2

1

1

2

θ

33. En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado, I y J son puntos medios. ¿Cual es el valorexacto de senα?

136


A B

CD

J

I

α

34. En la figura anexa, OA = OB = OI = 1 y el ∠BOI = π4.

π4

OA B

I

H

a) Calcule OH y AH. Deduzca que cos∠BAI =2 +√

2

2 · AI.

b) ¿Que puede decir del triangulo AIB? Deduzca que cos∠BAI =AI

2.

c) Calcule el valor del ∠AIB y utilice los resultados de los literales anteriores para probar

que: cos(π

8

)=

√2 +√

2

2. Determine el valor de sen

(π8

).

35. En la figura adjunta, ACDE es un cuadrado de lado 1 y ABC es un triangulo equilatero:

a) Muestre que: ∠BED = π12

.

b) Calcule BH y deduzca que: tan π12

= 2−√

3.

c) Utilice identidades trigonometricas para calcular cos π12

y sen π12

.

C D

EA

BH

137


36. Con la informacion que se muestra en la figura adjunta, se propone calcular tanα.

Metodo 1: Calcule el valor exacto de AB, AI, despues utilice la Ley de Cosenos sobre eltriangulo ACI y determine el valor de cosα y senα.

Metodo 2: Sean x e y las medidas de ∠BAC y ∠BAI respectivamente. Calcule tan(x− y).

CI = 3

IB = 3

AC = 12

C

A B

I

α

37. 1° Exprese el area del triangulo isosceles y del cuadrado en funcion de a = OA y del anguloα = ∠AOB. (Ver figura).

2° Demuestre que estas areas son iguales si, y solamente si, cosα = 1517

. Sugerencia: Pruebeque la igualdad de areas se traduce en: senα = 4(1− cosα).

A B

CD

O α

Ecuaciones Trigonometricas.

38. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) cos(θ) =1

2 b) cos(4θ) =

√3

2c) sen(−2θ) =

1

2d) tan(2θ) = 1.

39. Resuelva las ecuaciones propuestas y represente las soluciones sobre el cırculo trigonometrico.

a) sen(3x+ π3) = sen(2π

3− x)

b) sen 3x = cos(x− π6).

c) 2 cos2 x− cosx = 0.

d) cos2 x− sen2 x = cos(4x− π4).

e) 2 sen2 x+ 3 senx+ 1 = 0.Sugerencia: Haga un cambio de variable.

f ) cos2012 x− sen2012 x = 1.Sugerencia: Pruebe que, cos2012 x ≥ 1.

g) senx+ sen 2x+ sen 3x = 0.

h) senx+ 2 cosx+ sen 3x = 0.

i) cos x+ cos 3x = senx+ sen 3x

138

2.9 Problemas aplicados. 2 Trigonometrıa

40. Si θ ∈ ]0, 2π[, ¿el numero de soluciones de la ecuacion (2 sen θ − 1)(sen 2θ +√32

) = 0 es 2, 3,4, 5 o 6?

41. Si f(x) = cosx, g(x) = senx y x ∈ [0, 1000π], ¿cual es el numero de puntos de interseccionde las curvas que representan a f y g?

42. 1° Sean x y y numeros reales, demuestre que: tanx = tan y es equivalente a:“Existe un numero entero k tal que x = y + kπ”.

2° Resuelva cada una de las ecuaciones siguientes:

a) tan x =√

3 b) tan 2x = −1 c) 3 tan2 x = 1

43. Utilizando el metodo descrito en la seccion 2.7.1, resuelva las ecuaciones trigonometricassiguientes:

a)√

3 cos (x)− sen (x) = 1. b) 2 cos (x) + sen (x) = 3√2. c)

√3 cos (x) + sen (x) =√2.

44. Determine los valores del angulo θ que satisface la siguiente inecuacion: cos(2θ) < 0.

45. ¿Para que valores de θ se satisface que sen(3θ) >

√3

2?

2.9. Problemas aplicados.

PROBLEMA 2.1Considere las definiciones de secante y cosecante en un triangulo rectangulo:

secα = OPAP

= 1senα

cscα = OPOA

= 1cosα

cotα = OAOP

= 1tanα

O A

P

α

En la siguiente figura, la recta que pasa por D y C es tangente al cırculo unitario en el punto P .

O

P

D

Cα

α

139


1. Demuestre que C y D tiene coordenadas (secα, 0) y (0, cscα), respectivamente.

2. Demuestre que para todo α:

a) −1 ≥ secα, o bien secα ≥ 1.

b) −1 ≥ cscα, o bien cscα ≥ 1.

3. Aplicando el teorema de Pitagoras, demuestre que para todo α se cumple que48:

a) 1 + tan2 α = sec2 α.

b) 1 + cot2 α = csc2 α.

PROBLEMA 2.2Las Relaciones Metricas en un Triangulo: Ley de Senos.

Sea 4ABC un triangulo; a, b, c sus lados opuestos a los vertices A, B, C, respectivamente. SeaCH su altura desde el vertice C. Sean O y R el circuncentro y circunradio del 4ABC.

1. Verifique que el punto H se encuentra:

a) Sobre la semirecta de origen A que contiene al vertice B, si el angulo A es agudo.

b) Sobre la semirecta de origen A opuesta al vertice B, si el angulo A es obtuso.

c) En el vertice A si el angulo A es recto.

2. Demuestre que en todos los casos anteriores, el area del triangulo S, viene dada por:

S =1

2bc sen A

3. Analogamente, considerando las otras alturas del triangulo verifique que:

S =1

2ac sen B S =

1

2ab sen C

Deduzca de las relaciones encontradas que: El area de un triangulo es igual al semiproductode dos de sus lados y del seno del angulo que estos forman.

4. A partir de los resultados anteriores, deduzca la Ley de los Senos:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C=abc

2S

5. Sea D el otro punto que determina el diametro con origen B. Argumente por que el angulo

BDC tiene la misma medida que el angulo A. En el triangulo 4BDC verifique que

sen A =a

2R

48Siempre que α permita que la funcion trigonometrica que se esta evaluando este bien definida.

140


6. Deduzca de los ejercicios anteriores que:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C=abc

2S= 2R

7. Demuestre que S tambien puede ser escrita como:

S =abc

4R

PROBLEMA 2.3Las Relaciones Metricas en un Triangulo: Ley de Cosenos.

Considere un triangulo 4ABC cuyos angulos son A, B y C, y sus lados opuestos a, b, c. Supongaque el angulo A es obtuso.

1. Sea H el pie de la altura que sale de B. Utilice el teorema de Pitagoras en el triangulorectangulo 4CHB para demostrar que:

a2 = (BH)2 + (b+ AH)2

2. En el triangulo rectangulo 4AHB, calcule AH y BH en funcion de cos A y sen A.

3. En los resultados del numeral 1 sustituya los resultados obtenidos en el numeral 2 paraconcluir que

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

4. Analice el resultado en el caso que el angulo A es recto o en el caso que sea agudo. Verifiqueque en ambos casos el resultado es el mismo:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

PROBLEMA 2.4Primer Teorema de Ptolomeo: Un cuadrilatero convexo ABCD es concıclico si y solo si

AC ·BD = AB · CD +BC ·DA

Una demostracion de este teorema de basa en la Ley del Coseno; para simplificar la notacion,establezca AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n y ∠ADB = θ; ademas, ABCDes concıclico si y solo si ∠ABC = 180◦ − θ, si y solo si

m2 = a2 + b2 − 2ab cos(180◦ − θ)m2 = c2 + d2 − 2cd cos θ

141


D C

A

d

B

a

b

c

n

m

θ

180◦ − θ

1. Multiplique la primera ecuacion por cd y la segunda ecuacion por ab. Sume estas nuevasexpresiones y utilizando el resultado cos θ = − cos(180◦ − θ), demuestre que

m2 =ad+ bc

ab+ cd(ac+ bd)

2. Analogamente, demuestre que

n2 =ab+ cd

ad+ bc(ac+ bd)

3. Demuestre el Primer Teorema de Ptolomeo

mn = ac+ bd

4. Demuestre el Segundo Teorema de Ptolomeo

m

n=ad+ bc

ab+ cd

PROBLEMA 2.5Una demostracion alternativa de la identidad del seno de la suma de dos angulos se basa en la Leyde Senos y el Teorema de Ptolomeo, que establece lo siguiente: Un cuadrilatero es concıclico yconvexo si y solo si se cumple que el producto de las diagonales es igual a la suma de los productosde lados opuestos.

Considere en particular un cuadrilatero concıclico convexo ABCD tal que AC es diametro y esigual a 1, ∠BAC = α, ∠CAD = β.

142


O

A

C

D

B

α

β

β

α

1. Demuestre que AB = cosα, BC = senα, CD = sen β, DA = cos β.

2. Aplique el Teorema de Ptolomeo al cuadrilateroABCD para demostrar queBD = senα cos β+cosα sen β.

3. Aplique la Ley de Senos al 4BCD para demostrar que BD = sen(α + β).

4. Concluya que sen(α + β) = senα cos β + cosα sen β.

PROBLEMA 2.6En la discusion previa demostramos que sen(α + β) = senα cos β + cosα sen β.

1. Dado que sen(α−β) = sen(α+(−β)), deduzca la formula sen(α−β) = senα cos β−cosα sen β.

2. Demuestre cos(α + β) = cosα cos β − senα sen β y cos(α − β) = cosα cos β + senα sen β,

usando la identidad cosα = sen(π

2− α

).

PROBLEMA 2.7Sea 4ABC un triangulo isosceles con AB = AC = a y A = 2α agudo.

B C

A

H

α α

143


1. Calcule BC en terminos de a y senα.

2. Sea BH una altura. Calcule BH de dos maneras diferentes y demuestre a partir de estasrelaciones que sen(2α) = 2 senα cosα.

3. Calcule AH y CH y deduzca la relacion: cos(2α) = 1− 2 sen2 α.

PROBLEMA 2.8Sea 4ABC un triangulo rectangulo en A, O el punto medio de BC y H la proyeccion ortogonal

de A sobre BC. Se supone AB > AC, BC = 2a y ABC = θ.

B C

A

O Hθ

1. Calcule AB, AC, BH, CH y AH en funcion de a y θ.

2. Demuestre que: AOC = 2θ y calcule BH y CH en funcion de a y 2θ.

3. Deduzca cos(2θ), sen(2θ) y tan 2θ en funcion de cos θ, sen θ y tan θ.

4. Los resultados del ejercicio anterior ¿siguen siendo validos cuando AB < AC?

PROBLEMA 2.9Las Relaciones Metricas en un triangulo: Formula de Heron.

Sea 4ABC un triangulo cuyos angulos son A, B y C y sus lados opuestos a, b, c.

1. Utilice la formula a2 = b2 + c2 − 2bc cos A para demostrar el teorema de Pitagoras y surecıproco.

2. Haciendo uso de la formula a2 = b2+c2−2bc cos A y tomando en cuenta que en todo triangulono degenerado se tiene que: −1 < cos A < 1 demuestre que |b− c| < a < b+ c.

3. Demuestre que en todo triangulo 4ABC se tiene: b2− c2 = a(b cos C − c cos B). Deduzca de

lo anterior que b = c si y solo si cos B = cos C. Recuerde que (b+ c− a cos B) > 0.

4. A partir de la ley de cosenos a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, deduzca que

cos A =(b+ c− a)(b+ c+ a)

2bc− 1

144


5. Utilice la identidad sen2 θ + cos2 θ = 1 y el resultado anterior para deducir deduzca que:

sen2 A =(a+ b+ c)(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b)

4b2c2

6. Se denota por s el semiperımetro del triangulo, es decir a + b + c = 2s. Verifique que elresultado del ejercicio anterior puede expresarse en la forma

sen2 A =(2s)(2s− 2c)(2s− 2a)(2s− 2b)

4b2c2=

4s(s− a)(s− b)(s− c)b2c2

.

7. A partir del resultado del ejercicio anterior y usando la formula para calcular el area deltriangulo S = 1

2bc sen A, deduzca la conocida como Formula de Heron:

S =√s(s− a)(s− b)(s− c)

8. Suponga conocidas las longitudes de los tres lados a, b, c de un triangulo. Calcule en terminosde a, b y c:

a) Su area.

b) Sus tres angulos.

c) El radio de su circunferencia circunscrita.

9. Demuestre las formulas de area de un triangulo

S = sr = (s− a)ra = (s− b)rb = (s− c)rc

donde r es el inradio del triangulo, y ra, rb, rc, los exradios respecto a A, B, C.

10. Calcule las longitudes del inradio y los exradios en funcion de a, b y c.

PROBLEMA 2.10

Considere un triangulo isosceles 4ABC, con AB = AC, BC = a y B =2π

5. La bisectriz del

angulo en B corta al lado AC en el punto D.

2π5

B

C

a A

D

145


1. Demuestre que los triangulos 4ABD y 4BCD son triangulos isosceles.

2. Deduzca que DA = DB = a.

3. Demuestre que AB = 2a cos(π5

)y que CD = 2a cos

(2π5

).

4. Deduzca que cos(π5

)− cos

(2π5

)= 1

2y cos

(π5

)cos(2π5

)= 1

4.

5. Sea x = cos(π5

)y y = cos

(2π5

). Sabiendo que x− y = 1

2y xy = 1

4, encuentre los valores de x

y de y.

PROBLEMA 2.11Se considera un triangulo 4ABC rectangulo en A, tal que BC = 2a y B = π

8. Sea O el punto

medio del lado BC y H la proyeccion ortogonal de A sobre BC.

π8

B C

A

O H

1. Demuestre que OH = HA =√22a. Deducir que AB = a

√2 +√

2.

2. En el triangulo rectangulo 4AHB, calcule cos(π8

), sen

(π8

).

PROBLEMA 2.12Se considera un triangulo 4ABC rectangulo en A, tal que BC = 4a y B = π

12.

π12

B CO

A

D

1. Sea O el punto medio del lado BC y D la proyeccion ortogonal de A sobre BC. Demuestreque AD = a y OD =

√3a.

2. Encuentre en terminos de a los segmentos AC y CD.

3. Calcule el seno, coseno y tangente de los angulos π12

y 5π12

.

146

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