Ein lokaler Grenzwertsatz für Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen

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  • Math. Neohr. 128 (1986) 43-55

    Ein lokaler Grenzwertsatz fur Wahrscheinlichkeiten groBer Abweichungen

    Von WOLFGANQ MAUHT in Dresden

    (Eingegangen am 11.10.1984)

    1. Einleitung

    Wir betrachten eine Folge unabhangiger ZufallsgroBen (ZGn.) (Xn),,=,,,,,... mit E X , = 0, u; = EX! < 00 (j = 1,2, ...) und benutzen folgende Bezeichnungen:

    V,(X) = P ( X , < x ) , S n = XI + X , + + Xn, B; = u: + u; + + u;,

    d PZn(X) = - ax P(2, < z),

    fsn(t) = EeitSn, fzn(t) = EeifZn, M&) = EeLX1, Ki(z) = In l M f ( z ) . Unter In verstehen wir stets den Hauptwert des Logarithmus.

    Ein klassischer Gegenstand der Summationstheorie ist die Untersuchung der Wahr- scheinlichkeiten P(Zn 2 x ) bzw. P(2, < -x), wenn x in Abhangigkeit von n unbe- schriinkt wachst. Aussagen daruber werden als integrale Grenzwertsiitze fur Wahr- scheinlichkeiten grol3er Abweichungen bezeichnet, im Gegensatz zu lokalen Grenzwert- siitzen fur Wahrscheinlichkeiten groDer Abweichungen, die sich mit dem asymptotischen Verhalten von pz,(x) - falls diese Dichte existiert - oder mit Aussagen uber gitter- formige ZGn. beschaftigen.

    Im weiteren beschriinken wir uns auf den absolutstetigen Fall. Als klassisches Er- gebnis gilt der folgende lokale Grenzwertsatz fur Wahrscheinlichkeiten groBer Ab- weichungen von W. RICHTER :

    Satz 1 [14]. Sei (X,,),,=,,-,., eine Folge unabhangiger, identisch verteilter ZQn. mit EX , = 0, EX; > 0. Es mogen eine positive Konstante A und ein no E N existieren, so dap M,(x) < 00 fur 1x1 < A ist und Sflo eine beschrankte Dichte besitzt. Dann giZt fur x 2 1, x = o ( 6 ) :

    Dabei ist A(t) eine Potenxreihe, die sog. CRAMERsche Reihe (vgl. [6], s. 220ff.), die fur hinreichend kleine It I konvergiert.

    Die LANDAuschen 0- und o-Symbole und alle Limites sind immer fur n -+ rn zu verstehen. c, c,, c2, . .. bezeichnen positive Iconstanten, die ilicht von n abhangen.

  • 44 Math. Nachr. 188 (1986)

    Es sei nun (X")n,=l,a,a., eine Folge unabhiingiger, nicht notwendig identisch ver-

    Typische Voraussetzungen zum Beweis von Aussagen uber Wahrscheinlichkeiten

    Es mogen Konstanten cl und c, existieren, so daI3 fur j = 1,2 , . . . gilt:

    teilter ZGn.

    groOer Abweichungen (vgl. u. a.: [l], [2], [4], [9], [ll]) sind Bedingungen der Art:

    m c, < E exp {g(Xf)} = J' eu(*) dV,(z) < c,.

    -m (1.2)

    Dabei konnen unter Beriicksichtigung bestimmter Bedingungen an die Punktion g(z) verschiedene Falle klassifiziert werden. In der folgenden Diskussion wollen wir uns jedoch auf zwei FBle konzentrieren :

    Setzt man g(z) = hz, so erhiilt man die sog. CRaMfiRsche Bedingung:

    und j = 1,2, ... gilt: (C) Es mogen positive, reelle Konstanten A , c1 und existieren, 80 daO fi i r lhl < A

    8

    ct < ~ e x p {hxj) = j ehZdVI(z) < c,. -a

    Die folgende Bedingung ist eine Abschwlichung von (C) und wurde von J. V. LINNIE [2] eingefuhrt :

    (L) Es mogen Konstanten cl, c, und E 0, - existieren, so daO (1.2) mit g(z) = jz]Gy

    ZGn., die (L) erfullen, besitzen zwar Momente beliebiger Ordnung, die momenten- erzeugenden Funktionen (MEFii.) Mi@) sind jedoch nicht notwendig analytisch wie im Fall (C).

    Fur die Formulierung von lokalen Grenzwertsiitzen fur Summen verschieden ver- teilter ZGn. ist es notwendig, hinreichende Bedingungen aufzustellen, die die Existenz der Dichte von Zn ab einem Eestimmten no sichern und Konvergenzaussagen ermog- lichen. Dies geschieht entweder durch Bedingungen an die MEFn. bzw. charakteristi- schen Funktionen (CFn.) oder es wird fur alle ZGn. die Existenz einer Dichte mit be- stimmten Eigenschaften gefordert. Auf den letzten Fall werden wir in diesem Rahmen nicht eingehen. Im weiteren sol1 stets

    (1.3)

    erfullt sein. In [14] gelang es W. RICHTER im ChAaaIhschen Fall (C), eine zu (1.1) analoge Be- ziehung fiir verschieden verteilte ZGn. im Gebiet z -- o(f) n herzuleiten, indem er Forderungen an das Verhalten der MEFn. M i @ ) stellte:

    Es mogen eine Unterfolge (Xn,)k=l,B,.., von (Xn)n=l,a ,... und positive Konstanten L, R und /3 existieren, so daB

    (a

    gilt. ( 1)

    - lim B:/n > 0

    I.&$ + h)l 5 - fur Ihl < A und It1 ;1 R l t lb

    (1.4)

  • Mscht, Ein lokaler Crenzwertsatz 45

    gilt. Weiter genuge die Anzahl n* der Glieder der Unterfolge unter den ZGn. X,, X, , . . ., X,, der Bedingung :

    (1 5)

    Demgegenuber wurde von V. PETROV [7] bei Erfullung der Bedingung (L) gefordert, daO fur alle E > 0 ein 6 > 0 existiere mit :

    (1.6)

    Dam gilt eine asymptotische Beziehung fur pz,(x) im Gebiet x = o(nu). Es entsteht nun beim Vergleich der von W. RIUHTER bzw. V. PETROV an die ZGn.

    gestellten Bedingungen (1.4)/(1.6) bzw. (1.6) sofort die Frage nach der Herleitung eines lokalen Grenzwertsatzes fur den Fall (C) unter einer Bedingung der Form (1.6). Die Voraussetzung (1.6) erscheint natiirlicher als (1.4), da aie an die CFn. der ZGn. X,, . . ., X , gestellt ist, wiihrend man (1.4) als Bedingung an die CFn. der sog. kon- jugierten ZGn. interpretieren kann (vgl. [4], [12]). AuDerdem folgt (1.6) in1 Spezialfall h = 0, y = 4~ aus (1.3)-(1.5). Es gilt niimlicli mit r > 1/p, daD

    l& n*lBi > 0 fur ein gewisses y > 0.

    J 4 IMj(it)I dt = O(e-d"*a). I f l > 1=

    2. Lokale Glrenzwertslitze fiir Summen verschieden verteilter ZufallsgrfiSen

    Eine Antwort auf die oben formulierte Frage liefert :

    Satz 2. S e i (Xn)n=l,2 ,... eine Poke unubhangiger ZGn. mit E X , = 0 ( j = 1,2, . . .), die der Bedingung (1.3.) geniigt. Weiter existiere z u jedeni E > 0 ein 6 > 0, so dap gilt

    (2.1)

    und es existiere eine positive Konshnte A mit

    J ,fi IM,iit)I dt = o(e-6") I t l>e

    sup Eehxj < 00 fur Ihl < A . j

    (2.2)

    Dann besitzt die ZG. 2, f i ir alle hinreichend gropen n eine stetige Dichte pzn(x) und es gilt :

    fur 2 2 1, x = o ( 6 ) . An(t) bezeichnet die veralbemeinerte bAM6Rsche Reihe (vgl. [6],

    Der Sstz 2 und das Ergebnis von V. PETROV [7] ermoglichen nun eine einheitliche s. 220).

    Formulierung fur dle (Y E 0, - : ( :I

  • 46 Math. Naehr. 188 (1986)

    Satz 3. Sei (Xn),a=l,2 ,... eine Folge unabhangiger ZGn. mit E X , = 0 ( j = 1, 2, ...), die der Bedingung (1.3) geniigt. Es m6ge eine positive Konstante a E so dap gilt:

    sup E exp { ] X i ] & } < 00 i

    und es existiere zu jedem E > 0 e i n 6 > 0 mit

    J 1: IMi(it)I dt = O(exp (-6n2u)). l t l>a j = 1

    Dann besitzt 2, fur alle hinreichend gropen n eine stetige Dichte pam(x) und es gilt:

    fiir x 2 1, x = o(n'). Dabei ist s eine nichtnegative, ganze Zahl, die durch folgende Un-

    gleichung bestimmt wird, falls dc < -: 1 2

    l k t l * ( t ) ist der Teil der verallgemeinerten CRAM6Rschen Reihe l ,( t) , der aus den ersten

    8 + 1 Gliedern besteht. Fur dc = - sei s = m, 2F'I1(t) ist dann durch l,(t) zu ersetzen. 1 2

    Satz 4 stellt das lokale Analogon zu einem Ergebnis von V. PET~OV [7], S. 219 fiir verschieden vertcilte, unabhangige ZGn. dar.

    Batz 4. Sei (X,,)n31,2,.., eine Folge umbhangiger, zentrierter ZGn., die den Bedinpngen (1.3) und (2.1) geniigt. Es *en positive Konstanten A, E,, E,, ... existieren, so dap die kumuhntenerzeugenden Funktionen K&) fur lz( < A ( j = 1, 2, . . .) analytisch sind und auperdem (2.4) lKj(z)( 5 E, fur (zI < A und j = 1, 2, ... erfiillt ist. Die Folge (Ei),--1,2,... geniige der Bedingung

    Dann besitzt 2, far alle hinreichend gropen n eine stetige Dichte pz,(x), fiir die die asymp- otische Beziehung (2.3) im Gebiet x 2 1, x = o(fG) gilt.

    3. Beweis der Aussagen

    Beweis von Satz 2. Wir zeigen zunachst, daB aus der gleichmiGdigen Beschdnkt- heit der MEFn. nach oben auch die gleichmLBige Beschranktheit nach unten folgt.

  • Macht, Ein lokaler Grenzwertsatz 47

    Aus der Voraussetzung (2.2) folgt die Existenz einer Konstanten c,, so da13 fur j = 1, 2, ... und Ihl < A gilt:

    EehXj 5 cl. Es gilt fur x E R, lhl < A und 8 = 8(x, h ) , 181 5 1:

    ehX = 1 + hz + - h2z2eenz. 1 2

    Somit ist

    z2eekdV,(x) , (j = 1 , 2 , ,..). - W

    W s A - und j = 1 , 2 , . . . das Integral 2 Wir untersuchen nun fur Ihl x2eehr d V j ( z ) : -m

    m m 0 do

    zzelehzl d ~ j ( z ) 5 J z2elhz1 d v f ( z ) + J z2elhol d ~ , ( x ) . -m 0

    Fiir das zweite Integral erhalten wir unter Benutzung der fur alle reellen x giiltigen Ungleichung - 5 el2/ folgende Abschiitzung : 5 2

    2 -

    Das Integral iiber die negative Halbachse lal3t sich analog abschlitzen. Also gilt :

    h2 ~1 = I - 32c1 -

    A2' h2 64 IEehxj1 2 1 - - - 2 A2

    Nach Vorgabe einer positiven Konstanten cz < 1 ergibt sich, wenn

    gewLhlt wird, daB fur j = 1 , 2 , . . . (3.2)

    erfullt ist.

    Beziehung

    c, 5 E e h X j 5 c,

    Von nun an sei stets lhl 5 Az und x 2 1, 2 = o ( i G ) , was durch die Lquivalente

    ersetzt werden soll. e(n) sei eine Funktion, deren Werte fiir n 3 bo unbeschrlinkt wachsen.

  • 48 Math. Nctchr. lB8 (1986)

    Aus (2.1) folgt, daD die CF. von Sn fur hinreichend groBe n absolut integrierbar ist. Somit besitzt P(S, < x) eine stetige Ableitung ps,(x), es gilt die Umkehrformel fur Dichten und wir erhalten fur alle E > 0 und 6 = B ( E ) > 0 :

    ce c

    -m - t

    Die dritten absoluten Momente Iassen sich wegen (2.2) und unter Verwendung der Ungleichung x3/6 5 ez fur x 2 0 in folgender Weise abschatzen:

    m Q) 0

    E ~ x p = J' 1x13 dvj(x) = 1 23 dvi(x) + J ( - 4 3 dvj(z). --m 0 -00

    Wir betrachten z. B.

    -00 -0a

    fur das zweite Integral ergibt sich die gleiche Aussag