16) Por un cao horizontal de seccin variable fluye un lquido de
viscosidad insignificante. Calcular la diferencia de presin entre
los extremos del cao en funcin de la velocidad de entrada, v, y la
densidad del lquido, , si:a) la seccin a la salida del cao es el
triple que la de entrada,b) el dimetro a la salida del cao es el
triple que el de la entrada
Ac otro problema tpico de conservacin de energa en un fluido
(Bernoulli). Vamos con la primera parte en la que la seccin de
salida triplica la de entrada.
Escrita como ecuacin, la condicin del ejercicio dice:SS= 3 SEEso
tiene su consecuencia en la velocidad, y en la velocidad al
cuadrado, ya que:QS=QESS. vS= SE. vE3 SE. vS= SE. vE3vS=
vE9vS=vEvS= vE/ 9Ahora podemos plantear la ecuacin de Bernoulli
(sin los trminos de energa potencial ya que todo ocurre a la misma
altura).P= (vEvS)P= (vEvE/ 9)= (8/9)vE P=(4/9) vE a)La nueva
condicin del ejercicio relaciona los dimetros de los tubos, no sus
secciones:dS= 3 dEdS= 9 dEPero a partir de ello podemos relacionar
las secciones (acordate que una seccin circular es igual aS = (/4)
d(/4) dS= 9 (/4) dESS= 9 SEY esto tiene su consecuencia en la
velocidad, y en la velocidad al cuadrado, ya que:QS= QESS. vS=SE.
vE9 SE. vS=SE. vE9vS= vE81vS= vEvS= vE/ 81Ahora planteamos la
ecuacin de Bernoulli:P= (vEvS)P= (vEvE/ 81)= (80/81)vEP=(40/81) vE
b)En ambos casos se trata de un aumento de presin ya que en la
salida siempre tenemos menor velocidad que en la entrada y, estando
a la misma altura, a menor velocidad mayor debe ser la presin.17)
Se llena una manguera con nafta y se cierra por sus dos extremos.
Se introduce un extremo en un depsito de nafta a0,3mpor debajo de
la superficie y el otro a0,2mpor debajo del primer extremo y se
abren ambos extremos. El tubo tiene una seccin transversal interior
de rea4 x 10-4m. La densidad de la nafta es 680kg m-3.
a) Cul es la velocidad inicial de la nafta?b) Cul es el caudal
inicial del flujo?
Ah tens el esquema correcto del dispositivo enunciado. Los que
no lo pueden dibujar bien de entrada es -sencillamente- porque no
tuvieron infancia. Se llama sifn, y es divertidsimo: es el sistema
con el que se evacan aquellos recipientes que no tienen agujero de
desagote y que no se pueden volcar. Si uno sigue el procedimiento
descripto en el enunciado, ver que por el extremo de afuera de la
manguera sale el chorro que desagota al recipiente y contina
vacindolo mientras se cumpla que ese extremo est ms bajo que la
superficie libre del lquido. Slo pensar que el lquido avanza por el
tramo ascendente hace que parezca mgico. Pero es Bernoulli puro.De
todos modos el problemita este presenta dos o tres dificultades
interesantesLa primera es saber elegir los puntos de la corriente
que vamos a comparar con la ecuacin de Bernoulli. Est claro que el
puntoCdebe aparecer, ya que nos piden hallar la velocidad del
chorro de salida por la manguera. Pero con cul lo comparo, conB(ese
es el primer impulso) o conA?La respuesta es que slo comparando
conAhallaremos la solucin. Pero en principio no hay cmo saberlo:
slo la experiencia te lo ir enseando. Si probamos la otra
comparacin el problema no sale y listo; no es grave, porque
inmediatamente probamos el otro par... y ah s.PA+ g hA+ vA=PC+ g
hC+ vC
hA= 0,5 m,hB= 0,2 m,hC= 0 m
Las presiones en ambos puntos son iguales: en ambas se trata de
la presin atmosfrica, porque el lquido est en contacto con el aire;
de modo que se cancelan. Si tomamos el nivel cero en la posicin del
puntoC, su energa potencial se anula. Y la altura deAeshA= 0,5m, la
suma de las dos diferencias de altura del enunciado. Miremos lo que
queda: g hA+ vA= vCg hA+ vA= vCAc aparece la segunda dificultad: no
tenemos el valor de la velocidad del fluido enA, que no es otra
cosa que la velocidad con que desciende el nivel de nafta del
tanque. Por suerte hiciste este ejercicio, porque en varios otros
vas a poder razonar de la misma manera: la velocidad enAes
despreciable respecto de la velocidad enC, de modo que pods tirar
todo ese trmino. Como ya s que te parece un recurso mentiroso,
despus de hacer el problema te voy a demostrar por qu es correcto
proceder as. Vamos de nuevo:g hA= vCahora despejamosvCy
calculamosvC= (2 g hA)vC= (2 . 10m/s2. 0,5m)vC=3,16m/sConocida la
velocidad y la seccin, el caudal es sencillo:QC= SC. vC= 4 x
10-4m.3,16m/sQC=1,26 x 10-3m3/sTe voy a justificar que nuestro
recurso de despreciar la velocidad enArespecto de la velocidad
enCera vlido. Supongamos que el depsito tena0,2mde seccin (lo
imagino lo ms chico posible para no favorecer mi postura). En ese
caso, por aplicacin de la misma propiedad de continuidad,QC= QA=
SA. vA, obtenemosvA=6,3x 10-3m/sla resolucin por Bernoulli habra
quedado as:vC= (2 g hA+vA)Y eso da...exactamente lo mismo que
antes!Recin aparece una diferencia en la 5ta. cifra decimal. La
razn es que cuando un nmero es mucho mayor que otro, al elevarlos
al cuadrado (como nos pide Bernoulli) la diferencia es muchsimo
mayor y eso justifica despreciar al ms chico.Todava nos queda
discutir la tercera dificultad, que consiste en lo siguiente: las
preguntas del enunciado dicenvelocidad inicialycaudal inicial. Por
qu diceninicial? Los inexpertos suelen asociar la palabrainiciala
la entrada de la corriente, y la palabrafinala la salida. Pero eso
no tiene nada que ver con nuestro problema. El asunto es que cuando
la nafta empiece a salir la altura del nivel superior se va a
modificar, y eso hace que la velocidad de salida se modifique
tambin (disminuyendo).
