EJERCICIOS DE INTERPOLACIÓN POLINÓMICA A …ocw.upm.es/...metodos-numericos/.../Ej_Examenes/Ej_examenes4_I… · Programación y Métodos Numéricos Carlos Conde, Arturo Hidalgo

Programación y Métodos Numéricos Carlos Conde, Arturo Hidalgo y Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

1

EJERCICIOS DE INTERPOLACIÓN POLINÓMICA A TROZOS PROPUESTOS EN EXÁMENES DE LA ASIGNATURA

CURSO 2001-2002 Examen final – Convocatoria de junio de 2002 Se considera una viga doblemente empotrada sobre la que actúa una fuerza constante f. La función que define deformación transversal de La incógnita w(x) representa la deformación transversal de la viga se expresa:

2 22 3 402M - f.L f.L fw(x) = x + x - x

4.b 6.b 24.b

En la expresión anterior L es la longitud de la viga, b es la resistencia a

la flexión (producto del módulo de elasticidad por el momento de inercia) y se supone constante, mientras que M0 es el momento en un extremo de la viga. Tanto L, como b, como M0 se suponen conocidos. En un cierto sistema de unidades y para una viga determinada los valores de los parámetros anteriores son:

M0 = 4, f = 2, b = 1, L = 6

Sea u(x) una función polinómica a trozos de segundo grado que interpola w(x) sobre un soporte de 13 puntos equidistantes { }12

i i 0x

=, tales que

se verifica:

0 = x0 < x1 < x2 < ..... < x12 = L SE PIDE:

a) Evalúa el error que se comete en la interpolación realizada en el punto 11Lx*24

= .

b) ¿Sería posible aplicar el método de diferencias finitas regresivas para interpolar w(x) en el sentido de Lagrange sobre el soporte del apartado anterior? En caso afirmativo, calcula: 5

12w(x )∇ Solución:


2

a) La función w(x) para los datos del enunciado, es:

2 3 41w(x) 16.x 12.x x12

= − + −

La función w(x) se interpola mediante una función polinómica a trozos de segundo grado, u(x), realizando una partición del intervalo [0, L] en los subintervalos:

[ ] ( )i 2i 2 2inI x ,x i 1, , 2−= = . La función así definida estará constituida por tramos

de parábola, como los representados en la figura siguiente

El punto en el cuál se quiere evaluar el error es 11L 11x* 2.75

24 4= = = , que

pertenece al intervalo [2, 3]. Por lo tanto, bastará con considerar la parábola p(x) que se obtiene tomando como soporte los puntos {2, 2.5, 3}, evaluar p(2.75), obtener el valor w(2.75), y calcular el error como:

ε(2.75) = w(2.75) - p(2.75) La parábola p(x) se puede obtener mediante:

0 1 2p(x) L (x).w(2) L (x).w(2.5) L (x).w(3)= + +

I1 I2 Ii

x0 x1 x2 x3 x2i-2 x2i-1 x2i x2i+1 xn-2 xn-1 xn

Ii+1 In/2

x4 x2i+2 ... ...


3

siendo Li(x) (i = 0, 1, 2) son los polinomios de base de Lagrange sobre el soporte {2, 2.5, 3}. Es decir:

( ) ( )( ) ( )0

x 2.5 x 3L (x)

2 2.5 2 3− −

=− −

; ( ) ( )( ) ( )1

x 2 x 3L (x)

2.5 2 2.5 3− −

=− −

; ( ) ( )( ) ( )2

x 2 x 2.5L (x)

3 2 3 2.5− −

=− −

Por lo tanto, la función interpoladora en el punto x* será:

0 1 2p(x*) L (x*).w(2) L (x*).w(2.5) L (x*).w(3)= + +

siendo x* = 2.75. En la expresión anterior se sustituyen los valores:

2 3 41w(2) 16.2 12.2 212

= − + − = 30.6667

( ) ( ) ( )2 3 41w(2.5) 16. 2.5 12. 2.5 2.512

= − + − = 84.2448

2 3 41w(3) 16.3 12.3 312

= − + − = 173.2500

mientras que:

( ) ( )( ) ( )0

2.75 2.5 2.75 3L (2.75)

2 2.5 2 3− −

= = − +− −

22.x 11.x 15

( ) ( )( ) ( )1

2.75 2 2.75 3L (2.75)

2.5 2 2.5 3− −

= = − + −− −

24.x 20.x 24

( ) ( )( ) ( )2

2.75 2 2.75 2.5L (2.75)

3 2 3 2.5− −

= = − +− −

22.x 9.x 10

Con todo lo anterior se obtendrá: p(2.75) 124.3190

Por otra parte, el valor que toma la función w(x) en dicho punto es:

w(2.75) 123.7965

Por lo tanto, el error de interpolación en 2.75, viene dado por:


4

(2.75) 0.5225ε

b) Sí es posible aplicar el método de diferencias finitas por ser el soporte de interpolación equidistante. Dado que la función a interpolar, w(x), es un polinomio de grado 4 se tendrá que:

k12w(x ) 0 (k 5)∇ = ≥

Por lo tanto, en particular, resulta: 5

12w(x ) 0∇ = .


5

CURSO 2002-2003 Examen final – Convocatoria de junio de 2003

Considera la función π⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ·xf(x) 1 ·cos2 2

y el soporte equidistante de 7

puntos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea ∆ la partición del [0, 7] en los subintervalos: ∆ = { [0, 2], [2, 4], [4, 6] }

y denotemos por u(x) a la función interpoladora de Lagrange de f(x) sobre el soporte anterior y que se define sobre cada uno de los subintervalos de la partición ∆ mediante un polinomio de segundo grado (es decir la función interpoladora de Lagrange de f(x) perteneciente a L2(∆) ). Se pide: a) Obtener la expresión de las funciones de la base de Lagrange de L2(∆) que están asociadas a los puntos del soporte x3 = 3 y x4 = 4 (es decir la función de la base de Lagrange ϕ3(x) que en x3 toma el valor 1y la función de la base de Lagrange ϕ4(x) que en x4 toma el valor 1). Representar gráficamente ambas funciones. b) Razonar si las funciones {ϕ0(x), ϕ1(x), ϕ2(x), ϕ3(x), ϕ4(x), ϕ5(x), ϕ6(x)} de la base de Lagrange del espacio L2(∆) con el que se está trabajando en este ejercicio verifican la igualdad:

=

ϕ =∑6

3 3i

i 0i · (x) x

c) Obtener, de forma detallada, el valor de u(x) en el punto x* = 3.5. d) Determinar, de forma razonada, una cota del error de interpolación E(x) = f(x) – u(x) que sea válida en todo el intervalo [0, 6]. Solución: a)

[ ] [ ]− −⎧ ⎫∈ ⎧ ⎫− + − ∈⎪ ⎪ϕ = =− −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

2

3

(x 2)·(x 4) si x 2, 4 x 6·x 8 si x 2, 4(x) (3 2)·(3 4)

0 en caso contrario0 en caso contrario


6

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫∈ − + ∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ = ∈ = − + ∈⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

2

24

(x 2)·(x 3) 1si x 2, 4 ·(x 5·x 6) si x 2, 4(4 2)·(4 3) 2(x 5)·(x 6) 1(x) si x 4,6 ·(x 11·x 30) si x 4,6(4 5)·(4 6) 2

0 en otro caso0 en otro caso

b) La afirmación es falsa. En efecto, sobre el soporte considerado, xi

3 = i3 (i = 0, ..,

6) por lo que u(x) ==

ϕ∑6

3i

i 0i · (x) sería la función de L2(∆) que interpola en el sentido

de Lagrange a la función g(x) = x3 . De esta forma es obvio que la restricción u(x)|i de la función u(x) a cada uno de los intervalos Ii = [2·(i-1), 2·i] (i = 1, 2, 3) que forman la partición ∆ es un polinomio de segundo grado mientras que la restricción de g(x) a cada intervalo es un polinomio de grado 3. Por tanto en ninguno de los intervalos coincidirá u(x)|i con x3|i.


7

c) El punto x* = 3.5 pertenece al intervalo de la partición: I2 = [2, 4]. Por tanto el valor de u(3.5) coincidirá con el valor en x* = 3.5 del polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) sobre el soporte {2, 3, 4}. Dicho polinomio estará dado por:

= = + +2

(2) (2) (2) (2)2 0 1 2I

u(x) p (x) f(2)·L (x) f(3)·L (x) f(4)·L (x)

donde:

− −= = − +

− −(2) 20

(x 3)·(x 4) 1L (x) ·(x 7·x 12)(2 3)·(2 4) 2

− −= = − + −

− −(2) 21

(x 2)·(x 4)L (x) x 6·x 8(3 2)·(3 4)

− −= = − +

− −(2) 22

(x 2)·(x 3) 1L (x) ·(x 5·x 6)(4 2)·(4 3) 2

En resumen:

= − + + − + − + − + =(2) 2 2 22

1 1p (x) f(2)· ·(x 7·x 12) f(3)·( x 6·x 8) f(4)· ·(x 5·x 6)2 2

( ) ( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21 1· f(2) f(4) f(3) ·x 6·f(3) · 7·f(2) 5·f(4) ·x 6·f(2) 8·f(3) 3·f(4)2 2

y puesto que: f(2) = 1+ (½)·cos(π) =1 – ½ = ½ f(3) = 1+ (½)·cos(3·π/2) =1 – 0 = 1 f(4) = 1+ (½)·cos(2·π) =1 + ½ = 3

2

resulta:

= = −2

(2)2I

1u(x) p (x) ·(x 1)2

Por tanto:

= = − =(2)2

1u(3.5) p (3.5) ·(3.5 1) 1.252

d) En un subintervalo genérico Ij (j = 1, 2, 3) se está interpolando con un polinomio de 2º grado. Por tanto en dicho subintervalo:


8

− −

ξ∀ ∈ ∃ξ = − = − − −

jj

*j* ( j)

j j 2 2·( j 1) 2· j 1 2· jII

f '''( )x* I / E(x*) f(x*) p (x*) ·(x* x )·(x * x )·(x * x )

3!

de donde:

( ) ( )− −∈∈∀ ∈ ≤ − − −

j jj

j 2·( j 1) 2· j 1 2· jI x Ix I

1x I : E(x*) ·sup f '''(x) ·max (x x )·(x x )·(x x )6

Analicemos, en cada subintervalo Ij , el polinomio qj(x) = (x – x2·(j-1))·(x-x2·j-1)·(x-x2·J), es decir:

q1(x)= (x-0)·(x-1)·(x-2) = x3 – 3·x2 + 2·x q2(x) = (x-2)·(x-3)·(x-4) = x3 – 9·x2 + 26·x –24

q3(x) = (x-4)·(x-5)·(x-6) = x3 – 15·x2 + 74·x –120 Los extremos de cada uno de estos polinomios en el intervalo Ij correspondiente se alcanzarán en los puntos dados por:

⎧= +⎪⎪= − + = ⇒ ⎨

⎪ = −⎪⎩

1,12

1

2,1

3x 13q '(x) 3·x 6·x 2 03x 1

3

⎧+ = − > −⎪⎪

⎨⎪ − = <⎪⎩

1

1

3q (1 ) 0.3849.... 0.38533q (1 ) 0.3849.... 0.385

3

⎧= +⎪⎪= − + = ⇒ ⎨

⎪ = −⎪⎩

1,22

2

2,2

3x 33q '(x) 3·x 18·x 26 03x 3

3

⎧+ = − > −⎪⎪

⎨⎪ − = <⎪⎩

2

2

3q (3 ) 0.3849.... 0.38533q (3 ) 0.3849.... 0.385

3

⎧= +⎪⎪= − + = ⇒ ⎨

⎪ = −⎪⎩

1,32

3

2,3

3x 53q '(x) 3·x 30·x 74 03x 5

3

⎧+ = − > −⎪⎪

⎨⎪ − = <⎪⎩

3

3

3q (5 ) 0.3849.... 0.38533q (5 ) 0.3849.... 0.385

3

En resumen:

( )∈

∀ ∈ ≤j

j

j I x I

0.385x I : E(x*) ·sup f '''(x)6


9

Analicemos ahora la tercera derivada de f(x): f(x) = 1 + (½)·cos(π·x/2) f’(x) = - (π/4)·sen(π·x/2) f”(x) = - (π2/8)·cos(π·x/2)

f’’’(x) = (π3/16)·sen(π·x/2) En un intervalo Ij = [2·(j-1) , 2·j] la función sen(π·x/2) alcanzará su máximo valor absoluto en el punto medio del intervalo (x* = j) (ya que en dicho intervslo la función seno recorre todos los ángulos comprendidos entre (j-1)·π y j·π, alcanzándose el valor máximo de la función seno en (j – ½ )·π ). Así:

• En el intervalo I1 = [0, 2] la función |f’’’(x)| alcanza su valor máximo en x = 1 dado por:

f’’’(1) = (π3/16)·sen(π/2) = (π3/16)

• En el intervalo I2 = [2, 4] la función |f’’’(x)| alcanza su valor máximo en x = 1

dado por:

f’’’(1) = (π3/16)·sen(π/2) = (π3/16)

• En el intervalo I3 = [4, 6] la función |f’’’(x)| alcanza su valor máximo en x = 1 dado por:

f’’’(1) = (π3/16)·sen(π/2) = (π3/16)

En resumen, en cualquiera de los subintervalos considerados en la partición ∆ se verifica que:

π∀ ∈ ≤ <

j

3

j I

0.385x I : E(x*) · 0.12434..6 16

< 0.125


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Examen final – Convocatoria de septiembre de 2003 Considérese el soporte no equidistante formado por los 9 puntos:

{x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4, x4 = 5’5, x5 = 6’5, x6 = 7, x7 = 8, x8 = 9}

a) Denotemos por ∆ a la partición del intervalo [0, 9] en los subintervalos:

∆ = { [0, 3], [3, 5’5] , [5’5, 7] , [7, 9] } y por L2(∆) al espacio de las funciones a trozos que en cada subintervalo de la partición ∆ pueden definirse mediante un polinomio de grado menor o igual que 2. Se pide que determines las funciones ϕ5(x) y ϕ6(x) que pertenecen a la base de Lagrange de L2(∆) asociada al soporte antes dado y que verifican ϕ5(6’5) = 1 y ϕ6(7) = 1 respectivamente. También se pide que representes la gráfica de ambas funciones de base en el intervalo [0, 9]. b) Siendo {ϕi(x)}0<i<8 las 9 funciones de base de Lagrange del espacio L2(∆) considerado en el apartado a) y que están asociadas al soporte dado {xi}0<i<8, se pide que razones de forma detallada la veracidad o falsedad de la siguiente expresión:

9 8

i ii 00

81x · (x) ·dx2=

⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫

c) Siendo f(x) la función:

f(x) = ⎧ − + <⎨

− ≥⎩

22 10·x 4·x si x 314 2·x si x 3

determina la función u(x) del espacio L2(∆) considerado en el primer apartado que interpola a f(x) en el intervalo [0, 9]. Asimismo se pide que deduzcas de forma razonada una cota del error de interpolación válida para todos los puntos del intervalo [0, 9]. d) De una función g(x) , de clase C5((4, 6’5)) , se conocen sus valores:

g(4) = 6’4 , g(5’5) = 10 y g(6’5) = 343

Determina y aplica la fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio que permite aproximar el valor de su segunda derivada en el punto x* = 6 (es decir de g”(6)), así como la expresión del error de derivación numérica correspondiente.


11

Solución:

a) ( ) [ ]

[ ]

2

5

x 5 '5 ·(x 7)2·x 25·x 77 si x 5'5, 7

(x) (6 '5 5'5)·(6 '5 7)0 si x 5'5, 7

⎧ − −= − + − ∈⎪ϕ = − −⎨

⎪ ∉⎩

[ ]

[ ]

[ ]

2

2

6

(x 5 '5)·(x 6 '5) 2·x 24·x 71'5 si x 5 '5, 7(7 5'5)·(7 6 '5) 3

(x 8)·(x 9) x 17·x 72(x) si x 7, 9(7 8)·(7 9) 2

0 si x 5'5, 9

⎧ − − − += ∈⎪ − −⎪

⎪ − − − +⎪ϕ = = ∈⎨ − −⎪⎪ ∉⎪⎪⎩

ϕ5(x)


12

b) La expresión 8

i ii 0

x · (x)=

ϕ∑ corresponde a la interpolación de la función x, que obviamente

es una función que en cada intervalo de la partición se corresponde con un polinomio de grado 1. Por tanto la función que la interpola es ella misma. En otros términos:

8

i ii 0

x · (x) x=

ϕ =∑

y por tanto: 9 98 92

i i 0i 00 0

1 81x · (x) ·dx x·dx ·x2 2=

⎛ ⎞ ⎤ϕ = = =⎜ ⎟ ⎦⎝ ⎠∑∫ ∫

por lo que la igualdad dada en este apartado es correcta. c) La función f(x) dada en este apartado es una función continua ya que:

2

x 3 x 3lim f (x) 2 10·3 4·3 8 f (3) lim f (x) 14 2·3

− +→ →= − + = = = = −

Además en los subintervalos de la partición ∆, f(x) se define con tramos polinómicos: el polinomio de segundo grado (6 – 10·x + 4·x2) sobre el subintervalos [0, 3] y el polinomio de primer grado (14 – 2·x) sobre [3, 5’5], [5’5, 7] y [7, 9]. Por tanto f(x) pertenece a L2(∆) y, habida cuenta de la unicidad de la función interpoladora de Lagrange, puede concluirse que su función interpoladora es ella misma. Ello, a su vez, implica que el error de interpolación es nulo.

ϕ6(x)


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d) El polinomio interpolador de Lagrange de la función g(x) en el soporte {4, 5’5, 6’5} es, (usando la fórmula de Newton):

= + − + − −2p (x) g(4) g[4,5'5]·(x 4) g[4,5'5,6 '5]·(x 4)·(x 5'5)

por lo que la segunda derivada en cualquier punto x* puede aproximarse por la fórmula de tipo interpolatorio:

g”(x*) ≈p”2(x*) = 2·g[4, 5’5, 6’5] = 2·

− −−

=

g(6 '5) g(5'5) g(5'5) g(4)1 1'5

2 '5

= − +3·g(6 '5) 5·g(5'5) 2·g(4)3'75

Para los valores dados en el enunciado se tiene que:

g”(6) − +

≈ = − =

343· 5·10 2·6 '4 3'233'75 3'75

- 0.853333…

La expresión del error de esta fórmula se puede obtener mediante la combinación de los desarrollos en serie de Taylor:

g(6’5) = g(6 + 0’5) = g(6) + 0’5·g’(6) + + + +2 3 4

(iv0 '5 0 '5 0 '5·g"(6) ·g '''(6) ·g (6) ...2 6 24

(I)

g(5’5) = g(6-0’5) = g(6) - 0’5·g’(6) + − + −2 3 4

(iv0 '5 0 '5 0 '5·g"(6) ·g '''(6) ·g (6) ...2 6 24

(II)

g(4) = g(6 - 2) = g(6) - 2·g’(6) + − + −(iv4 8 16·g"(6) ·g '''(6) ·g (6) ...2 6 24

(III)

Sumando 3 veces (I) más 2 veces (III) y restando 5 veces (II) se obtiene:

3·g(6’5) – 5·g(5’5) + 2·g(4) = 3’75·g”(6) - +15·g '''(6)6

…..

de donde: − +

= + +3·g(6 '5) 5·g(5'5) 2·g(4) 15g"(6) ·g '''(6) ...

3'75 6


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En resumen el error está dado por:

[ ]= + = ξ ξ∈g15 5R ·g '''(6) .... ·g '''( ) 4, 6 '56 2


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CURSO 2003-2004 Examen final – Convocatoria de diciembre de 2003 Considérese el soporte equidistante formado por los 7 puntos:

S = {x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6}

a) Denotando por ∆ a la partición del intervalo [0, 6] en los 3 subintervalos:

∆ = { [0, 2], [2, 4] , [4, 6] } y por L2(∆) al espacio de las funciones continuas definidas por tramos en cada subintervalo de la partición ∆ mediante un polinomio de grado menor o igual que 2, se pide que determines las funciones ϕ2(x) y ϕ5(x) que pertenecen a la base de Lagrange de L2(∆) asociada al soporte S y que verifican ϕ2(2) = 1 y ϕ5(5) = 1 respectivamente. También se pide que representes la gráfica de ambas funciones de base en el intervalo [0, 6]. b) Siendo {ϕi(x)}0<i<6 las 7 funciones de base de Lagrange del espacio L2(∆) considerado en el apartado a) y que están asociadas al soporte S, se pide que razones de forma detallada la veracidad o falsedad de la siguiente expresión:

=

⎛ ⎞ϕ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫

6 62

ii 00

i · (x) dx 72

c) Siendo f(x) la función:

f(x) = ⎧ − + ≤⎨

− >⎩

22 10·x 4·x si x 214 2·x si x 2

determina la función u(x) del espacio L2(∆) considerado en el primer apartado que interpola a f(x) sobre el soporte S. Asimismo se pide que deduzcas de forma razonada una cota del error de interpolación válida para todos los puntos del intervalo [0, 6].


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Solución:

a)

[ ]

[ ][ ]

2

x(x 1) si x 0, 22

(x 3)(x 4)(x) si x 2, 420 si x 0, 4

−⎧ ∈⎪⎪

− −⎪ϕ = ∈⎨⎪

∉⎪⎪⎩

[ ][ ]5

(x 4)(6 x) x 4,6(x)

0 x 4,6⎧ − − ∈⎪ϕ = ⎨ ∉⎪⎩

b) En primer lugar observemos que:

6 62 2

i i ii 0 i 0

v(x) i · (x) x · (x)= =

= ϕ = ϕ∑ ∑

se corresponde con la función de L2(∆) que interpola sobre el soporte S a la función f(x) = x2. Pero la propia función f(x) = x2 pertenece al espacio L2(∆) (ya que evidentemente es una función continua y en cada uno de los tramos de ∆ es un polinomio de segundo grado). Por tanto [ ]v(x) f (x) x 0,6≡ ∀ ∈ lo que implica

que: 6 66

2 2 3i

i 00 0

1i · (x) dx x dx 6 723=

⎛ ⎞ϕ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ ∫

ϕ2(x) ϕ5(x)

Gráficas de las funciones de base


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En resumen la expresión dada es correcta. c) La función f(x) es una función cuya restricción al intervalo [0, 6] puede definirse en cada uno de los subintervalos de ∆ por un polinomio de grado menor o igual que 2. No obstante, la función f(x) no es una función del espacio L2(∆) ya que no es una función continua en [0, 6] pues:

2

x 2 x 2 x 2 x 2lim f (x) lim (2 10x 4x ) 2 lim f (x) lim (14 2x) 10

− − + +→ → → →= − + = − ≠ = − =

La función interpoladora u(x) coincidirá con la expresión de f(x) en el intervalo [0,2] y en el intervalo [4, 6]. Por tanto en dichos intervalos el error de interpolación será nulo. En el intervalo [2, 4], con el soporte {2, 3, 4} se tiene que:

f(2) = -2, f(3) = 8, f(4) = 6 por lo que la tabla de diferencias divididas correspondiente es:

i ix f f[, ] f[ , , ]2 2 10 63 8 24 6

→ − → → −→ → −→

siendo el polinomio interpolador en este tramo:

-2 +10(x-2) –6(x-2)(x-3) = -58 + 40x – 6x2 por lo que la función interpoladora es:

[ ]

2

2

2 10x 4x x [0,2]u(x) 58 40x 6x x [2,4]

14 2x x 4,6

⎧ − + ∈⎪= − + − ∈⎨⎪ − ∈⎩

En el subintervalo ]2, 4[ el error de interpolación está dado por: E(x) = (14 – 2x) – (-58 + 40x – 6x2) = 6x2 – 42x + 72


18

Obsérvese que el error de interpolación es nulo en los nodos {2, 3, 4} pero que, al ser el error discontinuo en 2 habrá que analizar qué valores toma en un entorno de 2. Así cuando x 2+→ se tiene que:

( )2

x 2 x 2lim E(x) lim 6x 42x 72 12

+ +→ →= − + =

Por otra parte el error de interpolación alcanza un extremo en el punto en el que se anula E’(x) es decir en x* = 42 / 12 = 3.5. En dicho punto E(x) = -1.5. Comparando el valor supremo del error con su valor mínimo, podemos concluir que la cota de error de interpolación buscada es:

|E(x)| < 12 [ ]x 0,6∀ ∈

Examen final – Convocatoria de junio de 2004 Considérese el soporte no equidistante formado por los 7 puntos:

{x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6}

a) Denotando por ∆ a la partición del intervalo [0, 6] en los subintervalos:

∆ = { [0, 1], [1, 2] , [2, 3] , [3, 4], [4, 5], [5, 6] } y por L1(∆) al espacio de las funciones a trozos que en cada subintervalo de la partición ∆ pueden definirse mediante un polinomio de grado menor o igual que 1, se pide que determines las funciones ϕ5(x) y ϕ6(x) que pertenecen a la base de Lagrange de L2(∆) asociada al soporte antes dado y que verifican ϕ5(5) = 1 y ϕ6(6) = 1 respectivamente. También se pide que representes la gráfica de ambas funciones de base en el intervalo [0, 6]. b) Siendo {ϕi(x)}0<i<6 las 7 funciones de base de Lagrange del espacio L1(∆) considerado en el apartado a) y que están asociadas al soporte dado {xi}0<i<6, se pide que razones de forma detallada la veracidad o falsedad de la siguiente expresión:


19

6

ii 0

x : (i 1)· ' (x) 1=

∀ + ϕ =∑

c) Sea g(x) la función:

g(x) = 6 x si x 3x 1 si x 3− <⎧

⎨ − ≥⎩

y denotemos por v(x) a la función interpoladora de Lagrange de g(x) sobre el soporte dado perteneciente al espacio L1(∆) considerado en el primer apartado. Se pide que, sin calcular la función u(x), indiques de forma razonada si se verifica que v(x) = g(x) [ ]x 0,6∀ ∈ .

d) Sea f(x) la función f(x) = 2 + 3·x – x2. Se pide que determines la expresión, en los intervalos [2, 3], [3, 4] y [4, 5], de la función u(x) del espacio L1(∆) que es función interpoladora de Lagrange de f(x). Asimismo determina de forma razonada una cota del error de interpolación que sea válida en todo punto del intervalo [2, 5]. Solución:

a) [ ][ ][ ]

5

x 4 si x 4,5(x) 6 x si x 5,6

0 si x 4,6

⎧ − ∈⎪ϕ = − ∈⎨⎪ ∉⎩

[ ][ ]6

0 si x 5,6(x)

6 x si x 5,6⎧ ∉⎪ϕ = ⎨ − ∈⎪⎩

b) En primer lugar observemos que:

6

ii 0

(i 1)· ' (x)=

+ ϕ∑ = '6

ii 0

(i 1)· (x)=

⎛ ⎞+ ϕ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

0 1 2 3 4 5 6

1 ϕ5(x)

0 1 2 3 4 5 6

1 ϕ6(x)


20

lo que equivale a la primera derivada de la función 6

ii 0

(i 1)· (x)=

+ ϕ∑ que, en este

caso, se corresponderá con la función de L1(∆) que, sobre el soporte dado, es función interpoladora de Lagrange de la función (x+1). Puesto que la función (x+1) es un polinomio de primer grado sobre toda la recta real también lo es en cada uno de los subintervalos de la partición ∆. Por tanto (x+1) es una función de L1(∆) lo cual garantiza, debido a la unicidad de función interpoladora, que:

6

ii 0

x : (i 1)· (x) 1 x=

∀ + ϕ = +∑

y por tanto: '6 6

i ii 0 i 0

x : (i 1)· (x) (i 1)· ' (x) 1= =

⎛ ⎞∀ + ϕ = + ϕ =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

En resumen la expresión dada es correcta. c) La función g(x) es una función cuya restricción al intervalo [0, 6] puede definirse en cada uno de los subintervalos de ∆ por un polinomio de grado menor o igual que 1. No obstante, la función g(x) no es una función del espacio L1(∆) ya que no es una función continua en [0, 6] pues:

x 3 x 3 x 3 x 3lim g(x) lim(6 x) 3 lim g(x) lim(x 1) 2

− − + +→ → → →= − = ≠ = − =

Puesto que la función interpoladora v(x) sí que pertenecerá a L1(∆) (y por tanto será continua en todo [0, 6]) no podrá coincidir con g(x). En resumen la igualdad que se pedía analizar en el apartado c) es falsa. NOTA: Aunque el enunciado pide que se razone lo anterior sin calcular la función v(x) (tal cual se ha hecho más arriba), es fácil ver que la función v(x) coincidirá con g(x) en todos los puntos de [0, 6] salvo en los pertenecientes al intervalo [2, 3] en el que v(x) tiene la expresión de la recta que pasa por (2, 4) y (3, 2). Más concretamente:


21

[ ]

g(x) x [0, 2] [3,6]v(x) 8 2·x x [2,3]

0 x 0,6

⎧ ∈⎪= − ∈⎨⎪ ∉⎩

∪

d) En cada subintervalo considerado interpolaremos f(x) con un polinomio de grado menor o igual que 1. Concretamente: * En [2, 3], siendo f(x) = 2 + 3·x – x2 , se verifica:

f(2) = 4 , f(3) = 2, (3)0L 3 x= − , (3)

1L x 2= −

x [2,3] : u(x) 4·(3 x) 2·(x 2) 8 2·x∀ ∈ = − + − = −

cometiéndose un error de interpolación en este intervalo dado por:

E3 (x) = f(x) – u(x) = 2 + 3·x – x2 – (8 - 2·x) = -6 +5·x – x2 que alcanza su máximo valor en los puntos x* en que se anule E3’(x) , es decir:

5 - 2·x* = 0 x* = 2.5 por lo que la cota del error en el intervalo [2, 3] es:

[ ]x 2,3 :∀ ∈ |E3(x) | < |E3(2’5)| = 0’25

* En [3, 4], siendo f(x) = 2 + 3·x – x2 , se verifica:

f(3) = 2 , f(4) = -2, (4)0L 4 x= − , (4)

1L x 3= −

x [3, 4] : u(x) 2·(4 x) 2·(x 3) 14 4·x∀ ∈ = − − − = −


E4(x) = f(x) – u(x) = 2 + 3·x – x2 – (14 - 4·x) = -12 +7·x – x2 que alcanza su máximo valor en los puntos x* en que se anule E4’(x) , es decir:


22

7 - 2·x* = 0 x* = 3.5

por lo que la cota del error en el intervalo [3, 4] es:

[ ]x 3, 4 :∀ ∈ |E4(x) | < |E4(3’5)| = 0’25

* En [4, 5], siendo f(x) = 2 + 3·x – x2 , se verifica:

f(4) = -2 , f(5) = -8, (5)0L 5 x= − , (5)

1L x 4= −

x [4,5] : u(x) 2·(5 x) 8·(x 4) 22 6·x∀ ∈ = − − − − = −


E5(x) = f(x) – u(x) = 2 + 3·x – x2 – (22 - 6·x) = -20 +9·x – x2 que alcanza su máximo valor en los puntos x* en que se anule E5’(x) , es decir:

9 - 2·x* = 0 x* = 4.5 por lo que la cota del error en el intervalo [4, 5] es:

[ ]x 4,5 :∀ ∈ |E5(x) | < |E5(4’5)| = 0’25

En resumen los tramos de la función interpoladora que se piden son:

[ ][ ][ ]

8 2·x si x 2,3u(x) 14 4·x si x 3, 4

22 6·x si x 4,5

⎧ − ∈⎪= − ∈⎨⎪ − ∈⎩

y la cota del error en [2, 5] es 0’25.


23

Por una tubería horizontal de longitud 12 m y espesor despreciable se hace circular un flujo de agua caliente.

Con el fin de controlar la temperatura del agua, se dispone de sensores térmicos colocados en los puntos de abscisas: {1,3,5,8,11} (ver figura), lo que permite conocer el valor de la temperatura del agua en esos puntos. Un primer registro de las temperaturas ha dado como resultado los valores {50º,45º,60º,80º,85º} respectivamente. Se pide:

a) Construir una función F(x) que interpole, en el sentido de Lagrange, la función de temperatura tomando como soporte los puntos donde se encuentran los sensores térmicos y que verifique las siguientes condiciones: sea un polinomio de grado menor o igual que 1 en el intervalo [ ]1,3 , sea un polinomio de grado menor o igual que 2 en el intervalo [ ]3,8 , sea un polinomio de grado menor o igual que 1 en el intervalo [ ]8,11 .

b) Representa gráficamente las funciones de base de Lagrange que se

emplean en la interpolación anterior. c) Sabiendo que la velocidad del flujo de agua viene dada por la

expresión v(x)=x, mientras que el coeficiente de conducción de calor viene dado por K(x)=x2 y empleando la función F(x) obtenida en el apartado a), se quiere obtener el flujo de calor en los puntos de abscisas 2 y 4. Para ello se sabe que el flujo de calor, en la abscisa xi, viene dado por la expresión:

=

⎛ ⎞⎟⎜Φ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠i

i i i ix x

dT(x ) v .T K .dx

0 2 4 6 10 12

1 3 5 8 11


24

siendo vi la velocidad del flujo de agua en el punto xi, Ki el coeficiente

de conducción de calor y =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ix x

dTdx

la derivada de la temperatura

particularizada en el punto xi.

Solución: Apartado a) La función polinómica a trozos buscada será:

• En el intervalo [1, 3] se define un polinomio de primer grado, empleando como soporte los puntos {1, 3}. De acuerdo con el enunciado, los valores que toma la función a interpolar en dichos puntos son: {50, 45}, por lo que el polinomio interpolador en ese intervalo será:

1

x 3 x 1 5 105F (x) 50. 45. x1 3 3 1 2 2− −

= + =− +− −

• En el intervalo [3, 8] se define un polinomio de segundo grado, empleando

como soporte los puntos {3, 5, 8}. De acuerdo con el enunciado, los valores que toma la función a interpolar en dichos puntos son: {45, 60, 80}, por lo que el polinomio interpolador en ese intervalo será:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )2

2

x 5 x 8 x 3 x 8 x 3 x 5F (x) 45. 60. 80.

3 5 3 8 5 3 5 8 8 3 8 51 53x x 206 6

− − − − − −= + + =

− − − − − −

=− + +

• En el intervalo [8, 11] se define un polinomio de primer grado, empleando

como soporte los puntos {8, 11}. De acuerdo con el enunciado, los valores que toma la función a interpolar en dichos puntos son: {80, 85}, por lo que el polinomio interpolador en ese intervalo será:

3

x 11 x 8 5 200F (x) 80. 85. x8 11 11 8 3 3− −

= + = +− −


25

Por lo tanto, la solución buscada será:

2

5 105x si x [1,3]2 21 53F(x) x x 20 si x [3,8]6 6

5 200x si x [8,11]3 3

⎧⎪⎪− + ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪= − + + ∈⎨⎪⎪⎪⎪⎪ + ∈⎪⎪⎪⎩

Apartado b) Representación gráfica de las funciones de base de Lagrange:

Apartado c) Flujo de calor en el punto x=2:

1 3 5 11


26

( ) ( )i

21 1 1 1

x 1

dT(x ) v .T K . 2.F 2 2 .F (2)dx =

⎛ ⎞⎟⎜ ′Φ = − ≈ −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Como el punto x=2 pertenece al intervalo [1,3], cogeremos la restricción de la función F(x) a dicho intervalo:

1 15 105 5F (x) x F (x)2 2 2

′=− + ⇒ =−

El flujo de calor, según la fórmula dada en el enunciado será:

( ) ( ) ( )2 21 1 1

x 2

dT 5 105 5(2) v .T K . 2.F 2 2 .F (2) 2 2. 2 .dx 2 2 2=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜′Φ = − ≈ − = − + −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

resultando:

(2)Φ ≈ 105

Flujo de calor en el punto x=4:

( )i

21 1 1

x 1

dT(4) v .T K . 4.F 4 4 .F (4)dx =

⎛ ⎞⎟⎜ ′Φ = − ≈ −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Como el punto x=4 pertenece al intervalo [3,8], cogeremos la restricción de la función F(x) a dicho intervalo:

21 1

1 53 1 53F (x) x x 20 F (x) x6 6 3 6

′=− + + ⇒ =− +

El flujo de calor, según la fórmula dada en el enunciado será:

( ) ( )22 21 1 1

x 4

dT 1 53 1 53(4) v .T K . 4.F 4 4 .F (4) 4 4 4 20 4 4dx 6 6 3 6=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜′Φ = − ≈ − = − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

resultando:

(4)Φ ≈272

3


27

CURSO 2004-2005

Examen final – Convocatoria de septiembre de 2005 Se considera la función f(x) = ln(1+x). Sobre el soporte formado por los 15 primeros números naturales: {0,1,2,…,15} se construye la función Q(x), como una función polinómica a trozos de tercer grado en el sentido de Lagrange, empleando la partición constituida por los intervalos: {[0,3],[3,6],…,[12,15]}. Se pide:

a) Obtén las expresiones de las funciones de base correspondientes a los puntos del soporte: 6, 7, 8 y 9, y represéntalas gráficamente.

b) Se desea realizar un análisis del error de interpolación en el punto

x=6’5. Si se considera que la interpolación es adecuada si se verifica que el error de interpolación en el punto 6’5 es menor que 0’005% del valor real en dicho punto. ¿Podrías afirmar que la interpolación que has aplicado es adecuada?.

Solución: a) La restricción de la función Q(x) será un polinomio de grado 3. Las funciones de base pedidas son:

[ ]( )( )( )( ) ( ) ( ) [ ]

( )( )( )( ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

32

(3)0 3

2

0 si x 0,3

x 3 x 4 x 5 x 472x x 10 si x 3,66 3 6 4 6 5 6 6

Lx 7 x 8 x 9 x 1914x x 84 si x 6,96 7 6 8 6 9 6 6

0 si x 9,15

⎧ ⎫∈⎪ ⎪

− − −⎪ ⎪= − + − ∈⎪ ⎪− − −⎪ ⎪= ⎨ ⎬− − −⎪ ⎪= − + − + ∈⎪ ⎪− − −

⎪ ⎪⎪ ⎪∈⎩ ⎭


28

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

3(3) 21

0 si x 0,3x 6 x 8 x 9 x 23L x 87x 216 si x 6,97 6 7 8 7 9 2 2

0 si x 9,15

⎧ ⎫∈⎪ ⎪

− − −⎪ ⎪= = − − + − ∈⎨ ⎬− − −⎪ ⎪⎪ ⎪∈⎩ ⎭

[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

3(3) 22

0 si x 0,3x 6 x 7 x 8 x 159L 11x x 189 si x 6,98 6 8 7 8 9 2 2

0 si x 9,15

⎧ ⎫∈⎪ ⎪

− − −⎪ ⎪= = − + − + ∈⎨ ⎬− − −⎪ ⎪⎪ ⎪∈⎩ ⎭


29

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

32

(3)0 3

2

0 si x 0,6x 6 x 7 x 8 x 7 73x x 56 si x 6,99 6 9 7 9 8 6 2 3

Lx 10 x 11 x 12 x 1914x x 84 si x 9,12

9 6 9 7 9 8 6 6

0 si x 12,15

⎧ ⎫∈⎪ ⎪

− − −⎪ ⎪= − − + − ∈⎪ ⎪− − −⎪ ⎪= ⎨ ⎬− − −⎪ ⎪= − + − + ∈⎪ ⎪− − −

⎪ ⎪⎪ ∈ ⎪⎩ ⎭

La figura siguiente recige la representación gráfica de todas ellas juntas.


30

b) El polinomio interpolador de Hermite (p(x)) tiene que ser de tercer grado para que su grado coincida con el de (3)Q (x) . Para ello, necesitaríamos imponer 4 condiciones. Dado

que tenemos 4 puntos, las condiciones que deben imponerse son:

f (6) p(6)f (7) p(7)f (8) p(8)f (9) p(9)

=⎧ ⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎨ ⎬=⎪ ⎪⎪ ⎪=⎩ ⎭

que son las mismas condiciones que en interpolación de Lagrange. Por ello, el polinomio p(x) buscado tendrá que coincidir con (3)Q (x) :

(3) (3) (3) (3) (3)

0 1 2 3p(x) Q (x) L (x).f (6) L (x).f (7) L (x).f (8) L (x).f (9)≡ = + + +

de donde, sustituyendo los valores de las funciones de base calculadas en el apartado a), pero considerando sólo el intervalo [6,9]:


31

3(3) 20

3(3) 21

3(3) 22

3(3) 23

x 191L (x) 4x x 846 6

x 23L (x) x 87x 2162 2

x 159L (x) 11x x 1892 2x 191L (x) 4x x 846 6

= − + − +

= − − + −

= − + − +

= − + − +

y los valores de la función serán:

f (6) ln(7) 1,946f (7) ln(8) 2,079f (8) ln(9) 2,197f (9) ln(10) 2,303

= == == == =

y con lo que el polinomio interpolador buscado será:

3 3(3) 2 2

3 32 2

x 191 x 23p(x) Q (x) 1,946 4x x 84 2,079 x 87x 2166 6 2 2

x 159 x 1912,197 11x x 189 2,303 4x x 842 2 6 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ = − + − + + − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + − + + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El error que resulta es E(6’5)=f(6’5) – p(6’5)=0’000050766.

El porcentaje pedido será: p(x) f (x)error(%) 100 0 '002519%f (x)−

= = que es menor

que el 0’005% admisible, por lo que la interpolación sí es adecuada.


32

CURSO 2005-06 Examen final – Convocatoria de junio 2006 La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos soporte:

x 0 0.5 1 2 4 f(x) 0 0.4 0.5 0.4 0.25

Dicha función se interpola en el sentido de Lagrange mediante una función u(x) polinómica a trozos de primer grado. Se pide:

a) Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte.

b) Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se

dibujará cada una de ellas en un gráfico distinto.

c) Obtener la función u(x)

d) Sabiendo que

( )( )( )( )

1.5 0 0.5

0.5 0.5 1

0.5 1 2

0.05 2 4

f x x

f x x

f x x

f x x

′′ < ≤ <

′′ < ≤ ≤

′′ < ≤ ≤

′′ < ≤ ≤

obtener una cota del error de interpolación lo más pequeña posible.

Solución:

a) y b)

0 0 1 2 4

φ0(x( ) [ [[ ]

0

0.5 1 2 0,0.50 0.5

0 0.5,4

x x xx

xϕ

−⎧ = − ∈⎪= −⎨⎪ ∈⎩


33

c)

( )

( ) [ [( ) ( ) [ [( ) ( ) [ [

( ) ( ) [ ]

0 1 2 0.4 2 0.8 0,0.50.4 2 1 0.5 2 1 0.3 0.2 0.5,1

0.5 2 0.4 1 0.6 0.1 1,20.4 2 0.5 0.25 0.5 1 0.55 0.075 2, 4

x x x xx x x x

u xx x x x

x x x x

⎧ ⋅ − + ⋅ = ∈⎪ ⋅ − + ⋅ − = + ∈⎪= ⎨ ⋅ − + ⋅ − = − ∈⎪⎪ ⋅ − + ⋅ − = − ∈⎩

( )

[ [

( ) [ [[ ]

1

0 2 0,0.50.5 0

1 2 1 0.5,10.5 1

0 1, 4

x x x

xx x x

x

ϕ

−⎧ = ∈⎪ −⎪−⎪= = − ∈⎨ −⎪

∈⎪⎪⎩

0 0 1 2 4

φ1(x

( )

[ [

[ [

[ [[ ]

2

0 0,0.50.5 2 1 0.5,1

1 0.52 2 1,2

1 20 2,4

xx x x

xx x x

x

ϕ

⎧ ∈⎪ −⎪ = − ∈⎪ −= ⎨ −⎪ = − ∈⎪ −⎪ ∈⎩

0 0 1 2 4

φ2(x

( )

[ [

[ [

[ ]

3

0 0,11 1 1,2

2 14 1 2 2,4

2 4 2

xxx x x

x x x

ϕ

⎧⎪ ∈⎪ −⎪= = − ∈⎨ −⎪

−⎪ = − + ∈⎪⎩ −0 0.5 1 2 4

φ3(x

( )[ [

[ ]4

0 0, 22 1 1 2,4

4 2 2

xx x x x

ϕ⎧ ∈⎪= ⎨ −

= − ∈⎪⎩ −0 0. 1 2 4

φ4(x


34

e) El error de interpolación en el intervalo [xi, xi+1] , i = 0,1,2,3, viene dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1, ,2

ii i i i i i

fx x x x x x x

ξε ξ+ +

′′= − − ∈

Calculemos los valores extremos de ( ) ( )( )1i i ix x x x xπ += − − en [ ]1,i ix x + :

( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1i i i i i i ix x x x x x x x x x xπ + + += − − = − + +

( ) ( ) 112 0

2i i i

i i extd x xx x x x xdxπ +

+

+= − + = ⇒ =

Si llamamos ci al máximo valor (en valor absoluto) que puede tomar

( )i xπ en [ ]1,i ix x + :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1

1 14 2 4i i i i i i

i i ext i i i i

x x x x x xc x x x x xπ + + +

+ +

+ + += = − + = −

Luego:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 20 1

0 0 1

2 21 2

1 1 2

2 22 3

2 2 3

2 23 4

3 3 4

0 0.50 0.5 0.0625

4 4

0.5 10.5 1 0.0625

4 4

1 21 2 0.25

4 4

2 42 4 1

4 4

x xc x x

x xc x x

x xc x x

x xc x x

+ += − = ⋅ − =

+ += − = ⋅ − =

+ += − = ⋅ − =

+ += − = ⋅ − =

Por tanto:


35

( ) ( ) [ ]

( )

( )

( )

( )

1

2

1

3

4

1.5 0.0625 0.04687520.5 0.0625 0.0156252, ,

0.52 0.25 0.06252

0.051 0.0252

ii i i i i

x

xfx c x x

x

x

ε

εξε ξ

ε

ε

+

⎧ < =⎪⎪⎪ < =′′ ⎪

< ∈ ⇒ ⎨⎪ < =⎪⎪⎪ < =⎩

En definitiva, podemos asegurar que u(x) interpola f(x) en el intervalo [0, 4] con un error inferior a 0.0625. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos soporte:

x 0 0.5 1 2 3 4 f(x) 0 1 1.5 1 1.25 2

Se desea encontrar una función polinomial a trozos que interpole la función dada en el sentido de Lagrange de tal forma que la función interpoladora debe ser un polinomio de segundo grado en los intervalos [0, 1] y [2, 4] y un polinomio de primer grado en el intervalo [1, 2]. Se pide:

a) Obtener los polinomios interpoladores correspondientes a los intervalos [0, 1] y [1, 2] mediante el método de diferencias divididas de Newton.

b) Obtener el polinomio interpolador correspondiente al intervalo [2,

4] mediante el método de diferencias finitas progresivas de Newton-Gregory.

c) Obtener una fórmula de derivación numérica de tipo interpolatorio

que, usando como soporte los puntos {1, 3, 4}, permita aproximar ( )3f ′ .


36

d) Determinar el error de derivación numérica de la fórmula obtenida en el apartado c).

Solución:

a) Las tablas de diferencias divididas de f(x) correspondientes a los

soportes {0, 0.5, 1} y {1, 2} son:

xi f[xi] f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2]

0 0 1 0 2

0.5 0−

=−

1 2 11 0−

= −−

0.5 1 1.5 1 11 0.5

−=

−

1 1.5

xi f[xi] f[xi , xi+1]

1 1.51 1.5 0.52 1−

= −−

2 1 Por tanto, los dos polinomios interpoladores pedidos son:

( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]( ) ( )

1

2

2

0 0,0.5 0 0,0.5,1 0 0.5

0 2 0 0 0.5 2.5

1 1, 2 1 1.5 0.5 1 2 0.5

u x f f x f x x

x x x x x

u x f f x x x

= + − + − − =

+ − − − − = −

= + − = − − = −

b) La tabla de diferencias finitas progresivas de f(x) correspondiente al

soporte {2, 3, 4} es:

xi ∆0fi = f(xi) ∆1fi ∆2fi 2 1 1.25-1=0.25 0.75-

0.25=0.5 3 1.25 2-1.25=0.75 4 2


37

( ) ( )20 1 2 2

3 0 0 0 1 0.25 0.5 1 0.250 1 2 2

t tt t tu t f f f t t

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∆ + ∆ + ∆ = + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y como 0x x th= + , resulta que 2t x= − , luego:

( ) ( )2 2

3 1 0.25 2 2 0.25u x x x x= + − = − +

Por tanto, la función polinomial a trozos, u(x), pedida es:

( )[ [[ [[ ]

2

2

2.5 0,12 0.5 1, 22 0.25 2, 4

x x xu x x x

x x x

⎧ − ∈⎪= − ∈⎨⎪ − + ∈⎩

c) La tabla de diferencias divididas de f(x) correspondiente al soporte {1,

3, 4} es:

xi f[xi] f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2]

1 f0 1 0

3 1f f−−

( )1 0

2 1

2 1 012 2 3

4 1 6

f ff ff f f

−− −

= − +−

3 f1 2 1

4 3f f−−

4 f2

Por tanto:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )1 00 2 1 0

11 2 3 1 32 6

f x p x xf ff x f f f x x x

ε

ε

= + =

−= + − + − + − − +

de donde:


38

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 02 1 0

0 1 2 0 1 2

1 2 3 1 32 6

1 17 15 8 3 26 3

f x p x R ff f f f f x x R f

f f f f f f x R f

′ ′= + =

−= + − + − + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦

= − + − + − + +

y, particularizando en x=3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 013 3 4 3 0.4583333326

f p R f f f f R f R f′ ′= + = − − + = +

d) Desarrollamos en serie de Taylor alrededor del punto x=3:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 8 161 3 2 3 2 3 3 3 32 6 24

1 1 14 3 1 3 3 3 3 32 6 24

iv

iv

f f f f f f f

f f f f f f f

′ ′′ ′′′= − = − + − + +

′ ′′ ′′′= + = + + + + +

…

…

Por tanto:

( ) ( ) ( )2 1 01 14 3 3 36 9

f f f f f′ ′′′− − = + +…

Luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 1 01 1 13 4 3 3 , 1, 46 9 9

R f f f f f f f ξ ξ′ ′′′ ′′′= − − − = + = ∈…

Examen final – convocatoria de septiembre de 2006 La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos soporte:

x 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 f(x) 2.5 0 -0.5 -0.5 0 1.6


39

Dicha función se interpola en el sentido de Lagrange mediante una función u(x) polinómica a trozos de primer grado. Se pide:

f) Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte.

g) Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se

dibujará cada una de ellas en un gráfico distinto.

h) Obtener la función u(x) i) Sabiendo que f(1.25) = –0.35 y que ( ) ( ) [ ]1 , 1,1.5

2f x f x x′′′ ′′≤ ∀ ∈ ,

¿cuál es la mejora relativa de la cota del error de interpolación al emplear como soporte de interpolación {1, 1.25, 1.5} en lugar de {1, 1.5} para aproximar f(x) en el intervalo [1, 1.5]?

Solución:

a) y b)

( )[ [

[ ]0

1 2 2 0.5,10,5 1

0 1, 5

x x xx

xϕ

−⎧ = − ∈⎪ −= ⎨⎪ ∈⎩

( )

[ [

[ [[ ]

1

0.5 2 1 0.5,1.01 0.5

1.5 2 3 1,1.51 1.5

0 1.5,5

x x x

xx x x

x

ϕ

−⎧ = − ∈⎪ −⎪−⎪= = − + ∈⎨ −⎪

∈⎪⎪⎩

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )0 xϕ


40

( )

[ [

[ [

[ [[ ]

2

0 0.5,1.01 2 2 1,1.5

1.5 12 2 4 1.5,2

1.5 20 2,5

xx x x

xx x x

x

ϕ

⎧ ∈⎪ −⎪ = − ∈⎪ −= ⎨ −⎪ = − + ∈⎪ −⎪ ∈⎩

( )

[ [

[ [

[ [[ ]

3

0 0.5,1.51.5 2 3 1.5,2

2 1.53 3 2,3

2 30 3,5

xx x x

xx x x

x

ϕ

⎧ ∈⎪ −⎪ = − ∈⎪ −= ⎨ −⎪ = − + ∈⎪ −⎪ ∈⎩

( )

[ [

[ [

[ ]

4

0 0.5,22 2 2,3

3 25 1 5 3,5

3 5 2 2

xxx x x

x x x

ϕ

⎧⎪ ∈⎪ −⎪= = − ∈⎨ −⎪

−⎪ = − + ∈⎪ −⎩

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )1 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )2 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )3 xϕ


41

( )[ [

[ ]5

0 0.5,33 1 3 3,5

5 3 2 2

xx x x x

ϕ⎧ ∈⎪= ⎨ −

= − ∈⎪ −⎩

c)

( )

( )( ) ( ) ( ) [ [( )( ) ( ) ( ) [ [( ) ( ) ( ) ( ) [ [( ) ( ) ( )( ) [ [( ) ( ) ( )( ) [ ]

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

2 2 2 1 5 5 0.5,12 3 2 2 1 1,1.52 4 2 3 0.5 1.5,2

3 2 0.5 1.5 2,30.5 2.5 0.5 1.5 0.8 2.4 3,5

f x x f x x x xf x x f x x x x

u x f x x f x x xf x x f x x xf x x f x x x x

⎧ − + − = − + ∈⎪ − + + − = − + ∈⎪⎪= − + + − = − ∈⎨⎪ − + + − = − ∈⎪

− + + − = + ∈⎪⎩

d) Llamemos p1(x) al polinomio interpolador en el intervalo [1, 1.5] que

acabamos de obtener, es decir:

( )1 1p x x= − +

Podemos acotar el error cometido mediante:

( )( ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1 1 1.5 1 1.51 ! 2

nf fx x x x x

nξ ξ

ε+ ′′

= − − = − −+

El polinomio π1 = (x-1)(x-1.5) alcanza su valor extremo en el punto:

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )4 xϕ

0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0

( )5 xϕ


42

( ) ( ) ( )1 1 1.5 0 1.25 1.25 0.0625x x xπ π′ = − + − = ⇒ = ⇒ = −

y, llamando M al mayor valor que puede alcanzar ( )f x′′ en [1, 1.5]:

( )1 0.06252Mxε ≤

Por otra parte, el polinomio interpolador relativo al soporte {1, 1.25, 1.5} es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

1.25 1 1.5 2 1.25 11 1 1 1.25

0.25 2 0.259.6 23 13.4

f f f f fp x f x x x

x x

− − += + − + − − =

⋅= − +

siendo el error cometido:

( )( ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1

2 1 1.25 1.5 1 1.25 1.51 ! 6

nf fx x x x x x x

nξ ξ

ε+ ′′′

= − − − = − − −+

El polinomio π2 = (x-1)(x-1.25)(x-1.5) alcanza sus valores extremos en los puntos:

( )( )

222

2

1.1057 1.1057 0.006013 7.5 4.625 0

1.3943 1.3943 0.00601x

x xx

ππ

π= ⇒ =⎧⎪′ = − + = ⇒ ⎨ = ⇒ = −⎪⎩

y como ( ) ( ) [ ]1 , 1,1.52

f x f x x′′′ ′′≤ ∀ ∈ :

( )2 0.006012 6Mxε ≤⋅

Así pues, la nueva cota de error es 62,4 veces menor.


43

Curso 2006-07 Examen final – Convocatoria de diciembre de 2006 Se desea interpolar la función

( ) 2

11

f xx

=+

en el sentido de Lagrange mediante una función polinómica a trozos de primer grado, u(x), en el intervalo [-2, 2]. Para ello se considera el soporte {-2, -1, 0, 1, 2}. Se pide:

a) Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del

soporte.

b) Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de ellas en un gráfico distinto.

c) Obtener la función u(x)

d) Obtener una cota lo más pequeña posible del error cometido al

aproximar f(x) mediante u(x) en el intervalo [-2, 2].

Solución:

a) y b)

( ) [ ]] ]

0

1 1 2, 12 1

0 1,2

x x si xx

si xϕ

+⎧ = − − ∈ − −⎪= − +⎨⎪ ∈ −⎩

( )

[ ]

] ]] ]

1

2 2 2, 11 2

0 1,01 0

0 0,2

x x si x

xx x si x

si x

ϕ

+⎧ = + ∈ − −⎪− +⎪−⎪= = − ∈ −⎨− −⎪

∈⎪⎪⎩

- - 0 1 2

φ0(x

- - 0 1 2

φ1(x


44

( )

[ ]

] ]

] ]] ]

2

0 2, 11 1 1,0

0 11 1 0,1

0 10 1, 2

si xx x si x

xx x si x

si x

ϕ

⎧ ∈ − −⎪ +⎪ = + ∈ −⎪ += ⎨ −⎪ = − + ∈⎪ −⎪ ∈⎩

( )

[ ]

] ]

] ]

3

0 2,00 0,1

1 02 2 1, 2

1 2

si xxx x si x

x x si x

ϕ

⎧⎪ ∈ −⎪ −⎪= = ∈⎨ −⎪

−⎪ = − + ∈⎪⎩ −

( )[ ]

] ]4

0 2,11 1 1, 2

2 1

si xx x x si x

ϕ⎧ ∈ −⎪= ⎨ −

= − ∈⎪⎩ −

c)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ]

0 0 1 1

1 1 2 2

2 2 3 3

3 3 4 4

1 1 3 4( 1) 2 2, 15 2 10 5

1 11 1 1 1,02 2

1 11 1 1 0,12 2

1 1 3 4( 2) 1 1, 22 5 10 5

x f x x f x x x x si x

x f x x f x x x x si xu x



ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

⎧ + = − + + + = + ∈ − −⎪⎪⎪ + = − + + = + ∈ −⎪

= ⎨⎪ + = − + + = − + ∈⎪⎪⎪ + = − + + − = − + ∈⎩

d) El error de interpolación es:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( 1

0 0

max1 ! 1 !

n n n

i ii i

f Mx x x x xn n

ξε

+

= =

= − ≤ −+ +∏ ∏

siendo M una cota de ( )( 1nf x+ en el intervalo considerado.

Calculemos M teniendo en cuenta que, en nuestro caso, n=1:

- - 0 1 2

φ2(x

- - 0 1 2

φ3(x

- - 0 1 2

φ4(x


45

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

22

2

3 22 2

3

4 32 2

11

2

1

8 2

1 1

048 24 011 1

f xx

xf xx

xf xx x

xx xf xxx x

=+

′ = −+

′′ = −+ +

=⎧′′′ = − − = ⇒ ⎨ = ±⎩+ +

Intervalo [-2, -1]: Sólo hay un extremo relativo de ( )f x′′ (en x = -1) cuyo valor es:

( )1 1/ 2f ′′ − = . Veamos el valor de ( )f x′′ en el otro extremo de [-2,-1]:

( ) 222125

f ′′ − = . Por tanto, podemos asegurar que, [ ]2, 1x∀ ∈ − − , ( ) 12

f x′′ ≤ .

Por otra parte:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( )

2 132 1 02

3 1 12, 1 ,2 4 4

x x x

x x x x

x x

π

π

π π

= + +

′ = + + + = ⇒ = −

⎛ ⎞− = − ⇒ ∀ ∈ − − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

En definitiva:

[ ] ( )1

1 122, 1 , 0.06252! 4 16

x xε∀ ∈ − − ≤ ⋅ = =

Intervalo [-1, 0]: Los extremos relativos están en los extremos del intervalo por lo que son, además, absolutos. Como ( )1 1/ 2f ′′ − = y ( )0 2f ′′ = − , podemos asegurar

que [ ]1,0x∀ ∈ − , ( ) 2f x′′ ≤ . Por otra parte:


46

( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( )

111 02

1 1 11,0 ,2 4 4

x x x

x x x x

x x

π

π

π π

= +

′ = + + = ⇒ = −

⎛ ⎞− = − ⇒ ∀ ∈ − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

En definitiva:

[ ] ( ) 2 1 11,0 , 0.252! 4 4

x xε∀ ∈ − ≤ ⋅ = =

Intervalo [0, 1]: Los extremos relativos están en los extremos del intervalo por lo que son,

además, absolutos. Como ( )0 2f ′′ = − y ( ) 112

f ′′ = , podemos asegurar que

[ ]0,1x∀ ∈ , ( ) 2f x′′ ≤ . Por otra parte:

( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( )

111 02

1 1 10,1 ,2 4 4

x x x

x x x x x

x x

π

π

π π

= −

′ = + − + = ⇒ =

⎛ ⎞ = ⇒ ∀ ∈ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

En definitiva:

[ ] ( ) 2 1 10,1 , 0.252! 4 4

x xε∀ ∈ ≤ ⋅ = =


47

Intervalo [1, 2]: Sólo hay un extremo relativo de ( )f x′′ (en x = 1) cuyo valor es:

( )1 1/ 2f ′′ = . Veamos el valor de ( )f x′′ en el otro extremo de [1, 2]:

( ) 222125

f ′′ = . Por tanto, podemos asegurar que, [ ]1, 2x∀ ∈ , ( ) 12

f x′′ ≤ . Por

otra parte:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( )

1 231 2 02

3 1 11, 2 ,2 4 4

x x x

x x x x

x x

π

π

π π

= − −

′ = − + − = ⇒ =

⎛ ⎞ = − ⇒ ∀ ∈ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

En definitiva:

[ ] ( )1

1 121, 2 , 0.06252! 4 16

x xε∀ ∈ ≤ ⋅ = =

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