ejercicios matematicas 4º de la eso

8/18/2019 ejercicios matematicas 4º de la eso

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18 Unidad 12 | Funciones exponenciales

12 Funciones exponenciales

ACTIVIDADES INICIALES

12.I. La escala Richter es una escala logarítmica. El terremoto de Fukushima fue de magnitud 9,pero al día siguiente hubo una réplica de magnitud 6. ¿Cuántas veces fue más potente elprimer terremoto?

La diferencia entre las magnitudes es 3, por lo que el primer terremoto fue 103 = 1000 veces mayor.

12.II. Un elemento radiactivo se desintegra según la siguiente función: 0,360 · tC t C e−

=

, donde t es el

tiempo transcurrido en miles de años, C0 es la cantidad inicial y C(t) la que queda después de t años. Si la cantidad inicial eran 0,5 kg, ¿qué cantidad quedará dentro de 5000 años?

( ) −= =0,36·50,5· 0,083C t e kg

12.III. Una central nuclear genera residuos que suponen un peligro medioambiental, pero tambiéngenera gran cantidad de energía. Existen fuentes alternativas más limpias, pero menoseficaces. Los partidarios de la energía nuclear sostienen que no se puede renunc iar a ella si semantienen las necesidades energéticas actuales. Busca información sobre el tema, elaborauna lista con argumentos a favor y en cont ra y compártela con tus compañeros.

Respuesta abierta.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

12.1. Actividad resuelta.

12.2. (TIC) Representa en los mismos ejes las funciones f (x) = 4x y g(x) = 6x.

a) ¿Tienen algún punto en común?

b) ¿Cuál crece más rápidamente?

a) El único punto en común es (0, 1).

b) Para valores positivos de x crece más rápidamente la funcióng(x).

12.3. (TIC) Representa las funciones y = 4 –x e y = 7 –x en los mismos ejes.

a) ¿Tienen algún punto en común?

b) ¿Cuál decrece más rápidamente?

a) El único punto en común es (0, 1).

b) Para valores positivos de x decrece más rápidamente la

función y = 7 – x

.



Funciones exponenciales | Unidad 12 19

12.4. Considera las funciones de la forma y = k · ax, con k un número real. Copia y completa en tu

cuaderno el cuadro siguiente marcando la opción correcta.

12.5. A part ir de la gráfi ca de la función y = 10x, representa la gráfica de la func ión y = 10 –x.

La gráfica de y = 10 – x se obtiene a partir de la de y = 10x haciendo una simetría respecto al eje Y.

12.6. En una oficina en la que trabajan 200 personas se extiende un rumor. Un becario les cuenta atres compañeros un chisme sobre su jefe. Al cabo de una hora, cada compañero se lo hacontado a ot ros tres trabajadores, y así sucesivamente.

a) ¿Cuántas personas conocerán el rumor al cabo de 4 horas?

b) ¿Cuál sería la función exponencial que se ajusta a este modelo?

c) ¿Cuáles son su dominio y su recorrido?

a) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81 personas, además del becario

b) Si x es el número de horas e y el número de personas que conocerán el rumor en x horas, setiene y = 3x.

c) Su dominio es R y su recorrido (0, +∞).

12.7. A part ir de la gráfi ca de la función y = 2 –x, representa la gráfica de la función y = 2 –x – 3 + 2.

La gráfica de la función y = 2 – x

se traslada dos unidades hacia arriba y tres a la izquierda.

12.8. Actividad interact iva.


k > 0a > 1

k < 0a > 1

k > 00 < a < 1

k < 00 < a < 1

Creciente

Decreciente

k > 0a > 1

k < 0a > 1

k > 00 < a < 1

k < 00 < a < 1

Creciente X X

Decreciente X X




12.10. Construye una tabla de valores para cada una de estas funciones y represéntalasgráficamente.

a) y = e6x b) y = e

–12x c) y = ex + 2 d) y = – 4

x

e

12.11. Representa gráficamente las funciones y = ex + 1, y = e

x – 3 e y = e|x| a partir de la función y = e

x.

Explica el procedimiento que has seguido.

La gráfica de la función y = ex + 1 se obtiene apartir de la de y = ex

trasladándola una unidada la izquierda.

La gráfica de la función y = ex

– 3 se obtiene apartir de la de y = e

x trasladándola tres

unidades hacia abajo.

La gráfica de la función y = e|x| se obtiene a

partir de la de y = ex tomando la parte en la que

x ≥ 0 y de la de y = e –x, que se obtiene a partir

de y = e

x

mediante una simetría respecto deleje Y, tomando la parte en la que x < 0.


12.13. Representa gráficamente las siguientes funciones.

y = –3x y = –x3 y = 3 –x

Compara el decrecimiento de las tres funciones para valores suficientemente grandes de lavariable x.

La función potencial y = – x3 decrece más rápidamente que lafunción lineal y = –3x.

Por otro lado, la función exponencial y = 3 – x tiende a 0 para x

suficientemente grande.

Por tanto, la función de mayor decrecimiento es la potencial.

x –2 –1 0 1 2

y =

e6x 6,14 · 10 –6 2,48 · 10 –3 1 403,43 162 754,79

y =

e –12x 2,65 · 1010 1,63 · 105 1 6,14 · 10 –6 3,78 · 10 –11

y =

ex + 2 1 2,72 7,39 20,09 54,60

4

x

y e−

–0,61 –0,78 –1 –1,28 –7,39




12.14. Un arrecife tarda, aprox imadamente, 20 años en dup licar la cantidad de coral que crece en él.

Escribe la expresión algebraica que expresa la cantidad de coral que ha crecido en el arrecifeal cabo de t años.

Si llamamos x a la cantidad inicial de coral que hay en el arrecife, la expresión que permite calcular la

cantidad de coral, y, al cabo de t años es y = x · 202t

.


12.16. Actividad resuel ta.

12.17. (TIC) Halla x con ayuda de la calculadora si 3 7x=

.

3

log73 7 log 7 1,77

log3

x x= ⇒ = = =

12.18. (TIC) Indica sin representarlas si las siguientes funciones son c recientes o decrecientes.

a) y = log0,3 (x + 10) b) y = log3 (x – 10)

a) Dereciente en su dominio, (–10, +∞) b) Creciente en su dominio, (10, +∞)

12.19. A part ir de la gráfi ca de la función y = ln x, representa las sigu ientes funciones.

a) y = ln (–x) b) lny x

12.20. (TIC) Representa la función y = 1 + log3 (x – 3).

12.21. El pH mide el carácter ácido o básico de una sustancia, y depende de la concentración deiones de hidrógeno, x, que se mide en moles por litro , según la fórmula pH = –log x.

a) Representa la función del pH.

b) El pH de un gel de ducha es 5,5. ¿Qué concentración de iones de hidrógeno tiene?

a) b) 5,5 = – log x ⇒ x = 10 –5,5 moles/litro





12.23. La población de una ciudad está formada por cuatro millones de habitantes y su tasa decrecimiento anual es del 1,5 %.

Si permanece del mismo modo durante los siguientes 10 años, ¿cuántos habitantes se esperaque tenga para entonces?

La función que proporciona el crecimiento de la población es P(t) = 4 000 000 · (1 + 0,015) t, dondeP(t) es el número de habitantes al cabo de t años.

Para t = 10, tenemos P(10) = 4 000 000 · (1 + 0,015)10 = 4 642 163 habitantes.

12.24. Un cubito de hielo de 2 cm3 se introduce en un vaso de agua. Cada minuto que pasa, el 10 %de su volumen se transforma en agua líquida.

¿Qué cantidad de hielo quedará al cabo de 10 minutos?

La función que proporciona la cantidad de hielo que queda en el vaso es H(t) = 2 · (1 – 0,01)t, dondeH(t) es el hielo que queda al cabo de t minutos.

Para t = 10, tenemos H(10) = 2 · (1 – 0,01)10 = 0,697 cm3.

EJERCICIOS

Funciones exponenciales y = ax

12.25. Identifica, de entre las siguientes funciones, las que sean exponenciales.

a) y = 52x d) y = 3x g) y = (–8)x

b) y = 4

–x

e) y = x

6

h) y = –15

2x

c) y = x9 f) y =

5

7

x

i) y =2

5x

Son exponenciales las funciones de los apartados a), b), f) y h).

12.26. (TIC) Representa en los mismos ejes de coordenadas las siguientes funciones.

f (x) = 3x g(x) = 6x h(x) = 9x

12.27. Sin representarlas gráficamente, indica cuáles de las siguientes funciones son crecientes ycuáles decrecientes.

a) y =2

9

x

b) y = 24 – x c) y = 6,8x d) y =4

3

x

Son crecientes la funciones de los apartados c) y d), y decrecientes las de los apartados a) y b).




12.28. Asoc ia a cada gráf ica la expresión algebraica que le corresponde.

a) y = 1,6x c) y = 7 –x

b) y = 0,3x d) y =1

5

x

a) → I, b) → II, c) → III, d) → IV

12.29. Construye una tabla de valores para las funciones f (x) = 5x y g(x) = 10x, y represéntalasgráficamente en los mismos ejes de coordenadas.

a) ¿Son crecientes o decrecientes?

b) ¿Cuál de las dos crece más rápidamente?

c) ¿Se cortan en algún punto?

a) Ambas funciones son crecientes.

b) Para valores positivos de x crece más rápidamente g(x).

c) Se cortan en el punto (0, 1).

12.30. (TIC) Dibuja la gráfica de las funciones f (x) =1

20

x

y g(x) = 9 –x, y contesta a las siguientes

cuestiones.

a) Calcula el recorrido de cada una de ellas.

b) ¿Son crecientes o decrecientes?

c) ¿En cuál de las dos se produce una variación más rápida en su crecimiento?

a) Im(f ) = Im(g) = (0, +∞)

b) Ambas funciones son decrecientes.

c) El crecimiento varía más rápido en la función f (x) para valorespositivos de x.

12.31. (TIC) Dibuja la gráfica de las funciones f (x) = 12x y g(x) =1

12

x

, y responde a las siguientes

preguntas.

a) ¿Tienen el mismo domin io y recorrido?

b) ¿Cómo es su crecimiento?

c) ¿Tienen los mismos puntos de corte con los ejes?

d) Observando la gráfica, ¿qué se puede decir de la simetría de estas funciones?

a) Sí, D(f ) = D(g) = R e Im(f ) = Im(g) = (0, +∞).

b) f (x) es creciente, g(x) es decreciente.

c) Sí, el punto (0, 1).

d) Las gráficas de ambas son simétricas respecto del eje de

ordenadas.

x –2 –1 0 1 2

f (x) 0,04 0,2 1 5 25

g(x) 0,01 0,1 1 10 100




12.32. (TIC) Realiza la representación gráfica de las func iones f (x) = 4 · 3x y g(x) = 32x, y compáralascon h(x) = 3x, estudiando su dominio, su recorrido, los puntos de corte con los ejes, sucrecimiento y su decrecimiento.

¿En cuál de ellas es más rápido el crecimiento?

Los dominios y recorridos coinciden, D(f ) = D(g) = D(h) = R e Im(f ) = Im(g) = Im(h) = (0, +∞).

Ninguna corta al eje X, el punto de corte con el eje Y es:Función f (x): Punto (0, 4).

Función g(x): Punto (0, 1).

Función h(x): Punto (0, 1).

Las tres funciones son crecientes.El crecimiento más rápido se da en la función g(x) para valores positivos de x.

12.33. A part ir de la gráfi ca de la función y = 2x, representa, mediante traslaciones, las funciones:

a) y = 2x + 3 c) y = 2x + 1

b) y = 2x – 5 d) y = 2x – 2

a) Se traslada y = 2x tres unidades hacia arriba.

b) Se traslada y = 2x cinco unidades hacia abajo.

c) Se traslada y = 2x una unidad a la izquierda.

d) Se traslada y = 2x dos unidades a la derecha.

12.34. Explica si es posible que las gráficas de las funciones f (x) = ax y g(x) = –a

x se corten en algúnpunto.

No, ya que Im(f ) = (0, +∞) e Im(g) = (– ∞, 0)

12.35. Para cada uno de los casos siguientes, escribe la expresión algebraica de una funciónexponencial.

a) No corta el eje de ordenadas en (0, 1).

b) Es decreciente, siendo la base y el exponente posi tivos .

a) y = 3 · 2x

b) Vale cualquier función ( )f xy a= con 0 < a < 1 y f (x) positiva y creciente, por ejemplo, y = 20,5 x

.

Funciones exponenciales y = ex

12.36. (TIC) Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.

a) y =5

8

xe b) y = –7e –x c) y = –9e

x d) y =3

4

xe




12.37. Construye una tabla de valores para las siguientes funciones y represéntalas gráficamente enlos mismos ejes de coordenadas.

f (x) = 4ex g(x) = –3e

x h(x) = ex

a) Calcula su domin io y su recorrido. b) ¿Se cortan en algún punto?

a) D(f ) = D(g) = D(h) = R, Im(f ) = (3, +∞), Im(g) = (– ∞,–2) e Im(h) = (0, +∞)

b) No se cortan en ningún punto.

12.38. (TIC) ¿En qué puntos corta la func ión y = k · ex a los ejes de coordenadas?

¿Y la función y = k · e –x?

Ambas funciones cortan al eje Y en el mismo punto, A(0, k).

Ninguna corta al eje X.

12.39. Indica cuál o cuáles de las siguientes funciones son c recientes y cuáles decrecientes.

a) y = e9x c) y =

1 x

e

e) y = e –5x

b) y = 2

x

e d) y = e –8x

f) y =7

5x

e

Son crecientes las funciones de los apartados a y f, y decrecientes las de los apartados b, c, d y e.

12.40. Calcula los puntos de corte con el eje de ordenadas de las funciones siguientes.

a) y = ex + 3 c) y = 4e

–x

b) y = –2ex – 1 d) y =

2 3

4

x

e

a) x = 0 ⇒ y = e3 ⇒ A(0, e3) c) x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A(0, 4)

b) x = 0 ⇒ y = 2e –1 ⇒ A(0,

2

e) d) x = 0 ⇒ y =

3

4e ⇒ A(0,3

4e )

12.41. (TIC) Representa, en los mismos ejes de coordenadas, las funciones f (x) = ex

, g(x) = e –x

yh(x) = –e

x.

¿Qué tipo de simetría existe entre las gráficas de f (x) y g(x)? ¿Y entre las gráficas de f (x) yh(x)?

a) Las gráficas de f (x) y g(x) son simétricas respectoal eje Y.

b) Las gráficas de f (x) y h(x) son simétricas respectoal eje X.

x –2 –1 0 1 2f (x) 0.541 1,472 4 10,873 29,556

g(x) –0,406 –1,104 –3 –8,155 –22,167

h(x) 0,135 0,368 1 2,718 7,389




12.42. Mediante traslaciones de la función y = ex, representa gráfica de las siguientes funciones.

a) y = ex + 5 c) y = e

x + 6

b) y = ex – 4 d) y = e

x – 2

a) Se traslada la función y = ex cinco unidades hacia la izquierda.

b) Se traslada la función y = ex cuatro unidades hacia la derecha.

c) Se traslada la función y = ex seis unidades hacia arriba.

d) Se traslada la función y = ex dos unidades hacia abajo.

12.43. Apli ca a la función y = e –x las siguientes traslaciones y escribe la expresión algebraica de la

función representada.

a) Cinco unidades hacia arriba

b) Dos unidades a la izquierda

c) Una unidad hacia abajo

d) Seis unidades a la derecha

a) y = e – x + 5 b) y = e – x – 2 c) y = e – x – 1 d) y = e – x + 6

12.44. ¿Por qué al estudiar las funciones exponenciales no se considera el caso en el que la base seanegativa? Explícalo ut ilizando ejemplos para ello.

Teniendo en cuenta el resultado anterior, ¿sería objeto de estudio f (x) = (1 – e)x?

Si la base fuese negativa, por ejemplo y = (–2)x

, la función no estaría definida para valores racionalesde denominador par. Por ejemplo,

12( 2) 2− = − no es un número real.

Como 1 < e, tenemos 1 – e < 0, por lo que la función f (x) = (1 – e)x no es objeto de estudio.

12.45. Halla el dominio de las siguientes func iones exponenciales.

a) y =1

2 x b) y = 2 6xe + c) y =

1

34

9

x

x

−

d) y =4

15 x −

a) D(f ) = R – {0} b) D(f ) = [–3, +∞) c) D(f ) = R – {3} d) D(f ) = (1, +∞)

Crecimiento exponencial

12.46. Sin hacer una tabla de valores ni su gráfica, indica cuáles de las siguientes funcionespresentan un crecimiento exponencial.

a) y = 5 –x c) y =10

3x e) y = 1,3x

b) y =2

9

x

d) y = x15 f) y = –x

28

Las funciones de los apartados a), b) y e) son exponenciales, de ellas solo la e) presenta crecimientoexponencial. Las otras dos funciones presentan decrecimiento exponencial.




12.47. Señala, de entre las siguientes funciones, cuál tiene un crecimiento más rápido para valorespositivos de x.

a) f (x) = 11x b) g(x) = 2x c) h(x) = ex

El crecimiento mayor es el de la función f (x).

12.48. (TIC) Representa las siguientes funciones en los mismos ejes de coordenadas y compara sucrecimiento para valores suficientemente grandes de la variable x.

f (x) = 4x g(x) = x4 h(x) = 4x

La función que más rápido crece para valores suficientementegrandes de x es h(x) = 4x.

12.49. (TIC) Dibuja la gráfica de las siguientes funciones y compara su decrecimiento para valoressuficientemente grandes de la variable x.

f (x) = –7x g(x) = –x7 h(x) =

1

7

x

La función que más rápido decrece para valores suficientementegrandes de x es g(x) = – x7.

12.50. Para cada uno de los casos siguientes, escribe la expresión algebraica de una funciónexponencial.

a) La función es decreciente.

b) La función es creciente.

c) Crece más rápidamente que y = 4,3x para valores posi tivos de x.

d) Decrece más rápidamente que y = 0,5x para valores negativos de x.

a) y = 0,5x b) y = 4x c) y = 5x d) y = 0,25x

12.51. Dadas las funciones f (x) = e10x y g(x) = 74x, ¿cuál de ellas crece más rápidamente para valores

positivos de x?

Crece más rápido f (x), ya que e

10

> 74

.




12.52. Dadas las func iones f (x) = 3,6x y g(x) = –8,5x, contesta a las cuestiones siguientes.

a) ¿Son crecientes o decrecientes?

b) ¿Cuál de las dos presenta una variación más rápida en el crecimiento?

a) f (x) es creciente y g(x) es decreciente.

b) Como el crecimiento de – g(x) = 8,5x es más rápido que el de f (x) para valores positivos de x, el

decrecimiento de g(x) es más rápido que el crecimiento de f (x).

12.53. Ordena las siguientes funciones según la rapidez con que decrecen para valores posit ivos de x.

f (x) = –6ex g(x) = e

–6x h(x) = 6e –6x

La función que más rápido decrece es f (x), seguida de h(x) y, finalmente, g(x).

12.54. Compara el crecimiento exponencial de las funciones f (x) = 15x, g(x) = 152x y h(x) =2

15x elaborando una tabla de valores y realizando sus g ráficas.

La función que más rápido crece es h(x), seguida de g(x) y,finalmente, f (x).

Funciones logarítmicas

12.55. Encuentra el valor de x.

a) logx 125 = 3 c)1

log 816

x = −

b) 3 log 2x=

d) 27

1log

3x=

a) logx 125 = 3 ⇒ x3 = 125 ⇒ x = 5

b) 3 3 31 1

3 log 2 22 2

x x x x−− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

c) ( ) 48 2 4 21 1

log 8 2 2 216 16

x x x x x−− −= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

d)1

327

1 1log 27

3 3x x x

−

− = ⇒ = ⇒ =

x 0 1 10 100f (x) 1 15 5,77 · 10 7,89 · 10

g(x) 1 225 3,33 · 1023 1,65 · 10235 h(x) 1 15 7,89 · 1069 8,18 · 101760

x 0 1 10 100

f (x) –6 –16,31 –1,32 · 105 –1,61 · 1044

g(x) 1 2,48 · 10 –3 8,76 · 10 –27 2,65 · 10 –261

h(x) 6 1,49 · 10 –2 5,25 · 10 –26 1,59 · 10 –260




12.56. Completa los huecos mentalmente usando la definic ión de logaritmo.

a) log2 8 = b) log 3 = 4 c) log

125 = 3

a) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3

b) log3 x = 4 ⇒ x = 34 = 81

c) logx 125 = 3 ⇒ x3 = 125 ⇒ x = 5

12.57. (TIC) Aplicando un cambio de base y usando la calculadora, halla los siguientes logaritmo s.

a) log2 14 b) log 3 32 c) 1

2

log 12 d) log5 10

a) log2 14 = log14

3,81log2

= c) 1

2

log12log 12 3,58

1log

2

= = −

b) log3 32 = log32

3,15log3

= d) log5 10 = log10

1,43log5

=

12.58. Construye una tabla de valores para las siguientes funciones y represéntalas en los mismosejes.

f (x) = log (x + 3) g(x) = ln (2x) h(x) = log x + 1

a) Calcula su domin io y su recorrido.

b) ¿Se cortan en algún punto?

c) ¿Son crecientes o decrecientes?

a) D(f ) = (–3, +∞) y D(g) = D(h) = (0, +∞)

Im(f ) = Im(g) = Im(h) = R

b) Las tres gráficas se cortan dos a dos.

c) Las tres funciones son crecientes.

12.59. (TIC) Representa las s iguientes funciones logarítmicas.

a) y = log2 x b) 1

2

logy x

Observando la gráfica, ¿qué se puede decir de la simetría de estas funciones?

Las gráficas son simétricas respecto del eje X.

x 1 10 100 1000

f (x) 0,602 1,114 2,012 3,001

g(x) 0,693 2,996 5,298 7,601

h(x) 1 2 3 4




12.60. Representa la función y = ln x y, utilizando su gráfica, dibuja la de estas otras funciones:

a) y = ln (x + 3) b) y = 6 + ln x c) y = 1 – ln x

a) Se traslada y = ln x tres unidades a la izquierda.

b) Se traslada y = ln x seis unidades hacia arriba.

c) Se hace una simetría de y = ln x respecto del eje

X y se traslada una unidad hacia arriba.

12.61. La siguiente gráfica, ¿corresponde a la función y = 3 –x o a 1

3

logy x ?

La gráfica dada corresponde a la función y = 3 – x.

PROBLEMAS

12.62. El economista y demógrafo inglés Thomas Malthus (1766-1834) estudió la pob lación humana ysu relación con los recursos alimentarios. Concluyó que el número de individuos a lo largo deltiempo, t (en años), viene dado, en su forma más simple, por P(t) = P0 · 1,0281t, siendo P0 lapoblación en el instante inicial. De la misma manera, la ley que expresa la cantidad dealimentos es de la forma A(t) = A0t, donde A0 es el total de alimentos que existen en el instanteinicial.

a) ¿Qué tipo de crecimiento presenta el número de habitantes?

b) ¿Y la cantidad de alimentos?

c) ¿Cuál de las dos funciones crece más rápidamente?

d) ¿Qué cabe esperar que ocurra con el paso del tiempo?

a) El número de habitantes crece exponencialmente.

b) La cantidad de alimentos crece linealmente.

c) Crece más rápido el número de habitantes.

d) Con el paso del tiempo habrá más habitantes que alimentos y, por tanto, estos no bastarán paraalimentar a toda la población.




12.63. Con el fin de ahorrar, Julia ha abierto una cuenta en un banco que le ofrece un interés del2,5 % anual. Si inicialmente ingresa 500 €, calcula:

a) Cuánto dinero tendrá al finalizar el primero, el segundo, el tercero, el cuarto y el quintoaños si no ingresa ni retira dinero en ese tiempo.

b) La fórmula que permite obtener el dinero que tendrá en la cuenta con el paso de los añossi se mantiene el interés.

c) ¿Cuántos años tendrían que pasar para que se dupl icara el ingreso inicial?

d) Si en lugar de abrir la cuenta con 500 € lo hubiera hecho con 1000, ¿se habría reducido ala mitad el tiempo que hub iese tardado en duplicar el importe inicial?

a)

b) Si llamamos t al tiempo (en años) e y al capital final trascurridos t años, tenemos: y = 500 · 1,025t

c) 1000 = 500 · 1,025t ⇒ 2 = 1,025t ⇒ t = log1,025 2 = 28,07 años.

d) 2000 = 1000 · 1,025t ⇒ 2 = 1,025t ⇒ t = log1,025 2 = 28,07 años, por tanto, el tiempo no se reduce,se tarda exactamente el mismo número de años.

12.64. De un material radiactivo se sabe que un kilogramo se reduce a la mitad cada año.

a) Escribe la expresión algebraica de la función que indica la pérdida de material a lo largode los años.

b) Calcula el domin io y el recorrido de dicha func ión.

c) ¿Es creciente o decreciente?

d) Haz la representación gráfica de la función.

e) ¿Cuántos años han de pasar para que no quede material radiactivo?

a) Si t es el número de años trascurridos e y lacantidad de material que queda, tenemos:

y = 1

2

t

b) D(f ) = [0, +∞) e Im(f ) = (0, 1]

c) Es decreciente.

d)

e) La función nunca se anula, siempre quedaráalgo de material radiactivo.

12.65. Cada persona produce al año unos 300 kg de basura, de los que un 90 % pueden reciclarse.

a) Halla la función que exprese la cantidad de basura que se puede reciclar en función de losaños transcurridos.

b) Construye una tabla de valores que indique los kilogramos de basura que se puedenreciclar durante los 5 primeros años.

c) ¿Es una función creciente o decreciente?

a) Llamando t a los años trascurridos e y a la cantidad de basura reciclada, tenemos:

y = 300 · 0,9 · 0,1t – 1 = 270 · 0,1t – 1

b)

c) Es una función decreciente.

Años 1 2 3 4 5Dinero 512,50 525,31 538,45 551,91 565,70

t 1 2 3 4 5

y 270 27 2,7 0,27 0,027




12.66. Javier y Laura se encuentran a una distancia de 10 m. Javier avanza la mitad de esa distancia yLaura retrocede la cuarta parte. Después, Javier avanza de nuevo la mitad de la dis tancia quelo separa de Laura y esta vuelve a retroceder la cuarta parte.

a) Calcula la expresión algebraica que indica la distancia que los separa en función delnúmero de movimientos realizados.

b) Realiza la representación gráfica aproximada de la función.

c) ¿Cuántos movimientos han de realizar ambos amigos para juntarse?

a) Si llamamos x al número de movimientos realizados, la distancia que los separa (en metros) es

y = 10 ·3

4

x

b)

c) En teoría la distancia nunca se hace 0, obviamente, en la práctica, en algún momento se harátan pequeña que puede considerarse que los amigos se han juntado. Por ejemplo, los amigosestarán separados por menos de 1 mm tras 33 movimientos.

12.67. Una cafetería incrementa cada año el precio de un café en un 4 % (sea cual sea el IPC). Siactualmente cuesta 1,10 €, ¿podrías encontrar la fórmula que relaciona el precio del café conlos años transcu rridos? ¿Cuánto cos tará el café dentro de 5 años?

Llamando t a los años trascurridos e y al precio del café, tenemos y = 1,10 · 1,04t.

Por tanto, dentro de 5 años el café costará y = 1,10 · 1,045 = 1,34 €.

12.68. La evolución prevista con los años del número de individuos de una determinada especieanimal en peligro de extinción viene dada por la func ión:

200 100 log 10 1y t

a) ¿Cuántos indiv iduos hay inicialmente?

b) Representa la función en la escala adecuada.

c) ¿Cuántos años tienen que pasar para que la especie supere los 700 ejemplares?

a) t = 0 ⇒ y = 200 individuos

b)

c) 700 = 200 + 100 log (10t + 1) ⇒ log (10t + 1) = 5 ⇒ 10t + 1 = 105 ⇒ t = 99999

10 = 9999,9, es

decir, tienen que pasar aproximadamente 10 000 años.




12.69. La cantidad de unidades vendidas de un producto de limpieza viene dada, en función delnúmero de veces que ha aparecido su public idad en televisión, n, según la expresión:

E(n) = 3000 – 500 · 21 – n

a) ¿Cuántas unidades se habrían vendido si el producto no hubiera aparecido ninguna vezen televisión?

b) ¿Existe algún valor de n para el cual el número de unidades vendidas sea nulo?

a) E(n) = 3000 – 500 · 21 – 0

= 3000 – 1000 = 2000 unidades.b) Si el número de unidades fuera nulo tendríamos: 0 = E(n) = 3000 – 500 · 21 – n ⇒ 6 = 21 – n.

Ahora bien, como t ≥ 0, se tiene 1 – t ≤ 1 y por tanto 21 – n ≤ 2 < 6. Es decir, no existe ningún valor

de n para el cual el número de unidades vendidas sea nulo.

12.70. La sensación auditiva de un sonido,β

, se mide en decibelios (dB) y se relaciona con laintensidad de la onda sonora, I, que se mide en vatios por metro cuadrado.

β

= 120 + 10 log I

a) La intensidad de las ondas sonoras que son audibles sin produci r dolor está entre 10 –12 y1 vatio por metro cuadrado (W/m2). ¿Entre qué valores se halla comprendida la sensaciónauditiva?

b) Si estás escuchando mús ica en un reproductor MP4 con 20 dB, ¿cuál es la intensidad delas ondas al salir de los auricu lares?

a) I = 10 –12 ⇒ β = 120 + 10 · log 10 –12 = 120 – 120 = 0

I = 1 ⇒ β = 120 + 10 · log 1 = 120 – 0 = 120

La sensación auditiva se sitúa entre 0 y 120 dB.

b) 20 = 120 + 10 log I ⇒ log I = – 10 ⇒ I = 10 –10 W/m2

AMPLIACIÓN

12.71. Si f (x)=

2x, el valor de k para el que f (2014)−

f (2013)−

f (2012) + f (2011)=

k · f (2011) es:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Nos dicen que 22014 − 22013− 22012 + 22011 = k · 22011, es decir, 22011(8 − 4 − 2 + 1) = k · 22011, por lo que

k = 3, respuesta c).

12.72. Si a y b son números positivos tales que ab =

ba y b =

9a, ¿cuál es el valor de a?

a)1

9 b) 9 9 c) 3 9 d) 4 3

Sabemos que a9a

= ( )9 a

a con a > 0.

Así pues, ( )9 a

a = ( )9 a

a , es decir, a9 = 9a, y, por tanto, a = 8 9 = = 4 3 , respuesta d).

12.73. El único número real x tal que1

1

64

4

x

x

−

−

es igual a 2562x es igual a:

a)1

3 b) 0 c)

1

4 d)

3

8

Si1

1

64

4

x

x

−

− = 2562x, tenemos que 16x−1 = ( )

2216 x

.

De este modo, x − 1 = 4x y así x = 1

3− , la respuesta a).




12.74. Si |x −

log y|=

x + log y, entonces:

a) x = 0 b) y = 1 c) x = 0 e y = 1 d) x = 0 o y = 1

Si |x − log y| = x + log y, resulta que, o bien x − log y = x + log y, o bien x − log y = −x − log y.

De la primera ecuación, tenemos que 2 log y = 0, o sea, y = 1.

De la segunda ecuación tenemos 2x = 0, es decir, x = 0.

Por tanto, la respuesta es d), x = 0 o y = 1.

AUTOEVALUACIÓN

12.1. Identifica, de entre las siguientes func iones, las que son exponenciales.

a)y = 5 + x + 2x2 c) y = e –10x

b) y =61

3

x

−

d) y =2

7x

Solo es exponencial la función del apartado c). La función del apartado b) es la opuesta de unaexponencial, pero no es exponencial en si misma.

12.2. Representa gráficamente las siguientes funciones.

a) y = 1,4x c) y = e –12x

b) y = 8 –2x d) y =9

5

x

a) c)

b) d)

12.3. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explica por qué.

a) El domin io de y = 3x es (0, +∞

)

b) El recorrido de la función y = e –x es (–

∞

, +0).

c) Todas las funciones exponenciales pasan por el punto (1, 0).

d) La función y = 10 –x es decreciente.

a) Falso, el dominio de la función es R.

b) Falso, el recorrido de la función es (0, +∞).

c) Falso, ninguna función exponencial corta al eje X.

d) Verdadero, 110

x

y =

es una función exponencial con base 0 < 110

< 1, y estas funciones son

decrecientes.




12.4. Calcula el dominio y el recorrido de las funciones siguientes.

a) y = 54x c) y = –16x

b) y = 2,6x d) y = 3 –x

a) D(f ) = R, Im(f ) = (0, +∞) c) D(f ) = R, Im(f ) = (– ∞ , 0)

b) D(f ) = R, Im(f ) = (0, +∞) d) D(f ) = R, Im(f ) = (0, +∞)

12.5. Sin hacer la gráfica, indica si es creciente o decreciente cada una de las sigu ientes funciones.

a) f (x) = e –12x b) g(x) = 0,6x c) h(x) =

8

7

x

a) Decreciente b) Decreciente c) Creciente

12.6. Representa gráficamente las siguientes funciones y compara su crecimiento para valoressuficientemente grandes de la variable x.

f (x) = 9x g(x) = x9 h(x) = 9x

Para valores suficientemente grades de x, la función que crecemás deprisa es h(x), seguida de g(x) y, finalmente, f (x).

12.7. A part ir de la gráfi ca de y = ex, representa las siguientes funciones.

a) y = ex + 3 b) y = e

x + 5

a) Se traslada y = ex tres unidades hacia arriba.

b) Se traslada y = ex cinco unidades hacia la izquierda.

12.8. Identifica cada gráfica con la expresión algebraica que le corresponde.

f (x) = 7xh(x) = 3x

g(x) =1

6

x

i(x) = e

–x

I es la gráfica de f (x).

II es la gráfica de h(x).

III es la gráfica de g(x).

IV es la gráfica de i(x).




12.9. Representa las funciones y = log x e y = ln x, y a partir de ellas, dibuja las gráficas de lasfunciones siguientes.

a) f (x) = log (x – 2) c) h(x) = log (–x) + 1

b) g(x) = 1 + ln x d) i(x) = –ln (x + 2)

a) Se traslada y = log x dos unidades hacia la derecha.

b) Se traslada y = ln x una unidad hacia arriba.c) Se hace una simetría de y = log x respecto del eje Y y se traslada una unidad hacia arriba.

d) Se hace una simetría de y = ln x respecto del eje X y se traslada dos unidades hacia la izquierda.

12.10. Un banco ofrece elegir entre un 6 % de interés compuesto con período de capitalización anual,trimestral o mensual. Si Marcos decide hacer un ingreso de 10 000 € a 20 años, ¿cuántorecibiría en cada caso?

Anual: C = 10 000 · (1 + 0,06)20 = 32 071,35 €

Trimestral: C = 10 000 ·4·20

61

400

+

= 32 906,63 €

Mensual: C = 10 000 ·

12·20

611200 +

= 33 102,04 €




PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Comprende la arquitectura > Los arcos matemáticos

Parece ser que las primeras construcciones en las que se utilizael arco proceden de Mesopotamia, aunque también se tieneconstancia de construcciones con arcos en el antiguo Egipto.

A lo largo de la histor ia ha sido ut il izado con gran profus ión yvariedad de formas: arcos románicos, árabes, visigóticos,ojivales, de tres centros, etc. En el último siglo,fundamentalmente dos grandes arquitectos españoles, AntoniGaudí y Santiago Calatrava, han utilizado el arco en catenaria.

Cada tipo de arco tiene una forma que se ajusta a una función demayor o menor complejidad. Para trabajar con los arcosnecesitamos conocer estos términos:

• Flecha: altura del arco desde su base.

• Luz: Anchura del arco.

• Esbeltez: relación entre la flecha y la luz.

12.1. En una construcción románica, la puerta de entrada tiene un arco de medio punto que se

ajusta a la función 24 4y x

, donde las variables x e y se miden en metros. Determina:

a) ¿Para qué valores de x tiene sentido l a expresión?

b) ¿A qué altura comienza el arco?

c) ¿Cuáles son la flecha, la luz y la esbeltez del arco?

d) ¿Cuáles son la altura máxima y la anchura de la puerta?

a) Para valores de x tales que 24 0x− ≥ , es decir, para el intervalo [–2, 2].

b) Para x = –2, y = 4 metros, que es la altura desde la que arranca el arco.

c) La flecha es la altura máxima: 6 metros.

La luz es la anchura máxima: 4 metros.

La esbeltez es el cociente flecha/luz: flecha 61,5

luz 4= = .

d) La altura máxima se alcanza para x = 0, y = 4 + 2 = 6 metros.

La anchura máxima es 2 – (–2) = 4 metros.

12.2. Un arquitecto está diseñando un arco parabólico que sirva de soporte para un puente sobre un

riachuelo de 12 m de anchura y quiere que tenga una esbeltez de 1,5.a) Si el arco arranca desde la misma orill a del río, ¿cuál será su flecha?

b) Efectúa un croqu is a escala 1:200 del arco.

c) Sitúa unos ejes de coordenadas de modo que el eje X sea la horizontal de la base delpuente, y el eje Y, su eje de simetría. ¿Qué ecuación tiene la parábola que determinará elarco del puente?

a)flecha

Esbeltez 1,5luz

= =

3 flechaflecha 18

2 12= ⇒ = metros

b) A escala 1:200, la base del arco ha de medir 6 cm, y la altura, 9 cm.c)

( )2

236 1

182 2

xy x

−= = − +




12.3. Santiago Calatrava posiblemente habría diseñado el arco del puente con una forma parecida auna catenaria invertida, de acuerdo a la siguiente expresión matemática:

1,65 1,65119 ; 6 6

2

x x

y e e x−

= − + − ≤ ≤

a) Ayudándote de una calculadora o utilizando un programa de matemáticas en tu ordenador

(por ejemplo, WIRIS o GeoGebra), representa esta función junto con la parábola de tucroquis.

b) Comprueba que la flecha y la luz de los arcos coinciden, aunque la forma no sea igual.

c) ¿Cuál de las dos formas te parece más bonita? ¿Cuál de las dos crees que será másresistente?

a) Una tabla de valores nos ayuda a representar el arcode catenaria.

b) En el gráfico se observa claramente que la flecha y laluz coinciden.

c) Si se emplean los mismos materiales, la catenariaconstituye un arco más resistente que la parábola.

Respuesta abierta.

Aprende a pensar > Marie Curie y la radiactividad

¿Quién fue la primera persona que recibió dos premios Nobel y una de las mujeres científicas máscélebres de todos los tiempos?

Se trata de Maria Sklodowska-Curie, conocida como Marie Curie, de origen polaco y nacionalizadafrancesa. Entre otros muchos méritos, fue la segunda mujer en obtener un doctorado y la primera en

impartir clase en la Sorbona.Su trabajo más conocido es sobre la radiactividad: la emisión de energía causada por ladesintegración de los átomos de ciertos elementos.

La actividad de estos elementos radiactivos decrece con el tiempo de forma exponencial, muyrápidamente en algunos casos, y en otros muy lentamente. La función que determina el número de

núcleos radiactivos que quedan al cabo de un tiempo t es de la forma 0( ) · tN t N e − λ

= , donde N0 es el

número de núc leos radiactivos que hay en el instante inicial (t = 0) yλ

es una cons tante que dependede cada elemento.

Las radiaciones pueden ser muy peligrosas para la salud; la misma Marie Curie sufrió un aborto, sequedó ciega y murió por sus efectos. Sin embargo, algunos elementos radiactivos, como el yodo131, se utilizan en pequeñas cantidades con fines curativos o para observaciones de órganos en

medicina.

x y

–6 0

–4 13,3

–2 17,10 18

2 17,1

4 13,3

6 0




Estos elementos tienen una vida muy corta y en poco tiempo se eliminan y desaparecen del cuerpohumano. Otros elementos, como el carbono 14, tienen una vida muy larga y se utilizan para ladatación de materiales. En la tabla tienes las funciones de desintegración de tres elementos.

ElementoFunción de

desintegraciónUnidades de t

Yodo 131 0,0864 ·0( ) · tN t N e −= Días

Carbono 14 0,121 ·0( ) · tN t N e −= Miles de años

Radio 226 0,43290( ) · tN t N e − ⋅= Miles de años

12.1. Para una observación de la retina, a un paciente se le han introducido por vía intravenosa 2 mgde yodo 131. Determina la cantidad de este elemento que quedará en el cuerpo de esa personaa los 20 días.

La cantidad de Yodo 131 al cabo de 20 días será:0,0864 ·

0( ) · tN t N e−= ⇒ 0,0864 · 20

0(20) ·N N e−=

Como N0 = 2 mg, entonces:

0,0864 · 20

(20) 2· 0,355N e

−= =mg de Yodo 131

12.2. El tiempo que tardan los núcleos radiactivos (y, por tanto, la actividad radiactiva) en reducirsea la mitad se llama “período de semidesintegración” . Calcula el período de semidesintegracióndel carbono 14.

0,121·

0 0

1·

2

tN N e−= ⇒ 0,121·1

2

te−= ⇒ 1

0,121· ln2

t

− =

⇒ ln2

5,7280,121

t = =

El período de semidesintegración es t = 5728 años.

12.3. Si en los restos fósiles de una excavación se ha observado que el contenido de carbono 14 esla cuarta parte del que deberían contener, ¿cuántos años t ienen los restos?

t tN N e e t0,000121· 0,000121·

0 0

1 1 1· 0,000121· ln

4 4 4

− − = ⇒ = ⇒ − = ⇒

ln4

0,000121t = = 11 456 años

12.4. Marie Curie estuvo expuesta sin protección a varios elementos radiactivos, fundamentalmenteal radio 226. Por ello está enterrada en una tumba de plomo en París. ¿Cuánto t iempo pasaráhasta que su radiactividad se reduzca a una décima parte de la actual? ¿Y hasta desaparecerpor completo?

0,0004329 · 0,0004329·

0 0

1 1 1· 0,0004329· ln

10 10 10

t tN N e e t− − = ⇒ = ⇒ − = ⇒

5319

0004329,0

10ln==t años

La función exponencial nunca alcanza el cero, pero cuando la actividad radiactiva es muy pequeña,inferior a unos límites prefijados, se dice que ya no tiene actividad.

12.5. Lee la biografía de Marie Curie en www.e-sm.net/4esoz43 y resume con tus propias palabrascómo llegó a obtener dos veces el Premio Nobel.

Respuesta abierta.

12.6. Hasta 2010, el Premio Nobel se ha concedido 776 veces a hombres y 41 veces a mujeres. ¿Aqué crees que se debe esta evidente desproporción? ¿Crees que hoy día sigue habiendodiferencias en el reconocimiento de méritos a las mujeres? Si es así, ¿a qué las atribuyes?Entra en ht tp://matematicas20.aprenderapensar.net y expresa tu opinión.

Respuesta abierta.



Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM

Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, JuanCarlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo , Cris tóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos,Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate

Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bell ido

Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire

Corrección: Javier López

Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “ Haciendo el león” , Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,José Santos, José Manuel Pedrosa

Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano

Maquetación: SAFEKAT S. L.

Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez

Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en suenunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.

Gestión de las direcciones electrónicas:Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o lasmodificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro.

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