KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

ALINA STUNDŽIENĖ

EKONOMINĖS STATISTIKOS

LABORATORINIAI DARBAI

Kaunas, 2016

1 LABORATORINIS DARBAS. DUOMENŲ GRUPAVIMAS

Kad pirminiai duomenys būtų tinkami analizei ir išvadoms pateikti, jie turi būti atitinkamai

sutvarkyti (susisteminti). Todėl pirmojo laboratorinio darbo tikslas – susipažinti su duomenų

sisteminimo būdais, plačiau – grupavimu, ir sugrupuoti duomenis, sudarant dažnių lentelę,

nubraižant histogramą bei suformuluojant išvadas apie duomenų pasisikirstymą.

1.1. Teorinės žinios

Gali būti naudojami keli duomenų sisteminimo būdai. Pats paprasčiausias – variacinės

eilutės sudarymas. Variacinė eilutė gaunama pertvarius statistinę eilutę (t.y. duomenis, kurie

pateikti tokia tvarka, kokia jie buvo surinkti), išdėstant duomenis reikšmių didėjančia

(dažniausiai) arba mažėjančia (rečiau) tvarka. Šitaip susisteminti duomenys leidžia nesunkiai

daryti išvadą, kokia yra statistinės eilutės (analizuojamų duomenų) mažiausia ir didžiausia

reikšmė, kokiame intervale pasisikirčiusios reikšmės, kiek ir kokios reikšmės pasikartoja. Tačiau

pastarąją išvadą paprasta pateikti tik tuo atveju, kai variacinė eilutė yra trumpa (pvz. iki 10

stebinių). Kai statsitinė eilutė yra ilga, duomenų apibendrinimui reikalinga kita metodika,

pavyzdžiui, duomenų grupavimas.

Statistinis grupavimas – tai stebinių suskirstymas į grupes pagal esminius požymius.

Grupuoti galima ir pagal kokybinį, ir pagal kiekybinį požymį. Pavyzdžiui, analizuojami vieno

prekybos centro tinklo, veikiančio visoje Lietuvoje, darbuotojų atlyginimai. Duomenis analizuoti

galima juos sisteminant (grupuojant) pagal apskritis (pvz., Vilniaus, Kauno, Klaipėdos ir t.t.), t.y.

kokybinį rodiklį. Taip pat darbuotojų atllyginimus galima grupuoti pagal darbuotojų darbo stažą,

kuris yra kiekybinis rodiklis.

Grupavimas pagal kokybinį rodiklį yra paprastas – kiekviena kokybinio kintamojo reišmė

sudarys atskirą grypę. Tuo tarpu grupuojant pagal kiekybinį požymį reikšmių seka (variacinės

eilutės dalis) pakeičiama viena reikšme (jų intervalu). Kiekybinių duomenų grupavimas

atliekamas tokiais etapais:

grupių skaičiaus nustatymas;

intervalų pločio apskaičiavimas;

intervalų ribų nustatymas.

Grupių skaičiaus nustatymas. Grupių skaičiaus nustatymas yra vienas iš svarbiausių

etapų. Iš esmės, grupių skaičius turi būti optimalus, t.y. nei per didelis, nei per mažas. Kitaip

tariant jis turi būti toks, koks leistų tinkamai įvertinti duomenų pasiskirstymą. Jei grupių skaičius

bus per didelis, duomenys bus nepakankamai susisteminti (per daug išskaidyti) ir bus sunku

nustatyti jų pasiskirstymą. Jei grupių bus per mažai, į tą pačią grupę paklius labai skirtingos

požymio reikšmės ir bus sunku nustatyti svarbiausias statistinės visumos (požymio reikšmių)

savybes. Mokslininkų nuomone, grupių skaičius, priklausomai nuo požymio sklaidos ir tiriamos

visumos dydžio, turėtų būti ne mažesnis nei 4-6 grupės ir ne didesnis nei 15-20 grupių.

Konkrečiu atveju tinkamiausią grupių skaičių siūloma nustatyti remiantis amerikiečių

mokslininko G. Sterdžeso pasiūlyta formule:

m = 1 + 3,322 lgN, (1.1)

čia m – grupių skaičius, N – stebinių skaičius (statistinės eilutės ilgis arba imties tūris).

Skaičiuojant pagal šią formulę, grupių skaičius, priklausomai nuo stebinių skaičiaus, iš

pradžių gana intensyviai didėja (m=4-7, kai N=10-100), po to jo augimas sulėtėja (m=7-11, kai

N=100-1000) ir pagaliau tampa beveik nepastebimas (m=11-14, kai N=1000-10 000).

Grupių skaičių galima nustatyti ir pagal Terelo (Terrel) ir Skoto (Scoti) pasiūlytą formulę:

m = 2n 0,3333

. (1.2)

čia n - tiriamo požymio reikšmių variantų skaičius (kai n=10, m=4; kai n=100, m=9; kai n=1000,

m=20).

Kuri formulė yra tinkamesnė konkrečiu atveju priklauso nuo to, kiek skirtingų reikšmių yra

statitinėje eilutėje (t.y., kiek požymio reikšmių kartojasi). Jei n<<N, t.y. požymio reikšmių

variantų skaičius yra gerokai mažesnis už imties tūrį (yra daug besikartojančių požymio

reikšmių), tada rekomenduojama naudoti Terelo ir Skoto formulę (ji duos mažesnį grupių skaičių

nei Sterdžeso). Ir priešingai, jei yra labai mažai besikartojančių požymio reikšmių, tada

rekomenduojama naudoti Sterdžeso formulę (pagal Terelo ir Skoto formulę apskaičiuotas grupių

skaičius šiuo atveju būtų gerokai didesnis).

Intervalų pločio apskaičiavimas. Nustačius grupių skaičių, toliau reikia apskaičiuoti

kiekvienos grupės intervalo plotį. Grupių intervalai gali būti lygūs ir nelygūs, tačiau visada, jei

tik galima, rekomenduojama sudaryti lygius intervalus. Kai kiekybinio požymio reikšmės kinta

tolygiai, vienareikšmiškai reikia sudaryti lygius intervalus, priešingu atveju galima sudaryti

nelygius intervalus, jei tai leis geriau pasiekti pagrindinį tikslą – išaiškinti esmines tiriamos

visumos vienetų savybės.

Lygių intervalų plotį (d) galima apskaičiuoti kaip maksimalios (xmax) ir minimalios (xmin)

požymio reikšmių skirtumą, padalintą iš grupių skaičiaus (m), t.y.:

d = (xmax – xmin) / m. (1.3)

Intervalų ribų nustatymas. Sudarant grupes svarbu teisingai nustatyti intervalų ribas, t.y.

„nuo... iki“. Intervalas turi dvi ribas – apatinę (nuo) ir viršutinę (iki). Intervalai gali būti atviri ir

uždari. Atviras intervalas neturi viršutinės ir/arba apatinės ribos ir žymimas lenktiniais

skliaustais, pvz. (2, 5). Uždaras intervalas turi viršutinę ir/arba apatinę ribas ir žymimas

laužtiniais skliaustais, pvz. [2, 5].

Kiekybinių požymių grupes galima sudaryti dviem būdais: skiriamuoju ir jungiamuoju.

Jungiamuoju būdu intervalai konstruojami taip, kad vieno intervalo apatinė riba sutaptų su

sekančio intervalo viršutine riba. Jei intervalai sudaryti taip, kad vieno intervalo apatinė riba

nesutapa su sekančio intervalo viršutine riba (paprastai skiriasi vienu vienetu), sakoma, kad

intervalai yra sudaryti skiriamuoju būdu. Pavyzdžiui, jei norima sugrupuoti prekyvietes, pagal

jose dirbančių darbuotojų skaičių, tai darbuotojų skaičiaus grupės skiriamuoju būdu bus

sudaromos taip, kaip parodyta kairėje, o jungiamuoju būdu – dešinėje:

Skiriamasis būdas Jungiamasis būdas

1 – 10 1 – 10

11 – 20 10 – 20

21 – 30 20 – 30

31 – 40 30 – 40

41 – 50 40 – 50

Grupių intervalai, nepriklausomai nuo grupių sudarymo būdo, pradedami formuoti nuo

minimalios statistinės eilutės reikšmės, kuri kartu tampa apatine pirmojo intervalo riba. Prie

minimalios reikšmės pridėjus apskaičiuotąjį intervalo plotį, gaunama pirmojo intervalo viršutinė

riba, jei grupės sudaromos jungiamuoju būdu, ir antrojo intervalo apatinė riba, jei intervalai

sudaromi skiriamuoju būdu. Atitinkamai skiriamuoju būdu sudaryto pirmojo intervalo viršutinė

riba bus vienetu mažesnė nei antrojo intervalo apatinė riba. Visi sekantys intervalai sudaromi

prie jau suformuoto ankstesnio intervalo ribų pridedant intervalo plotį. Intervalai formuojami tol,

kol gaunamas reikiamas (apskaičiuotas) grupių skaičius, o paskutinio intervalo viršutinė riba

pasiekia maksimalią požymio reikšmę. Detalesnis grupių intervalų sudaymas pateiktas paveiksle:

Skiriamasis būdas Jungiamasis būdas

xmin – (xmin + d – 1) xmin – (xmin + d)

(xmin + d) – (xmin + 2d – 1) (xmin + d) – (xmin + 2d)

(xmin + 2d) – (xmin + 3d – 1) (xmin + 2d) – (xmin + 3d)

... ...

(xmin + (m-1)∙d) – xmax (xmin + (m-1)∙d) – xmax

Kai požymio reikšmės yra tolydūs dydžiai, intervalai gali būti sudaromi tik jungiamuoju

būdu. Jei požymio reikšmės yra diskrečios, intervalams sudaryti gali būti naudojamas tiek

skiriamasis, tiek jungiamasis būdas.

Tais atvejais, kai požymio maksimali ir/arba minimali reikšmės yra gerokai atitrūkusios

nuo kitų reikšmių, tikslinga sudaryti atvirus intervalus, pirmajai grupei nenurodant apatinės ribos

ir/arba paskutinei grupei – viršutinės ribos. Pavyzdžiui, jei visose prekybos vietose dirba daugiau

nei 20 darbuotojų, išskyrus vieną, kurioje dirba 8 darbuotojai, tai nėra tikslinga sudaryti pirmųjų

dviejų intervalų aukščiau pateiktu būdu, siekiant išlaikyti vienodą intervalų plotį. Šiuo atveju

pirmasis intervalas galėtų būti „mažiau už 20“ arba „iki 20“, o visi kiti – kaip anksčiau, t.y. 20-

30 ir t.t. Analogiškai, jei yra viena prekyvietė, kurioje dirba, tarkime, 78 darbuotojai, nėra tikslo

pratęsti auksčiau pateiktus intervalus dar trimis intervalais (t.y. 50-60, 60-70, 70-80), o geriau

paskutinį intervalą apibrėžti sekančiai: „40 ir daugiau“. Tokie intervalai vadinami neapibrėžtais.

Kai objektai yra priskiriami grupėms, kurios sudarytos jungiamuoju būdu, gali iškilti

klausimų, kuriai grupei jis priklauso, jei grupavimo požymio reikšmė sutampa su intervalo riba,

pvz., kuriai grupei – antrai ar trečiai – priklauso prekyvietė, kurioje dirba 20 darbuotojų?

Atsakyti į šį klausimą yra paprasčiau, kai intervalams sudedami skliaustai – atviri arba uždari.

Visiems intervalams skliaustai turėtų būti sudėti remiantis principu: visų grupių intervalų apatinė

riba yra uždaras intervalas, o viršutinė riba – atviras, išskyrus paskutinio intervalo viršutinė riba

taip pat yra uždaras intervalas, jei ji sutampa su maksimalia analizuojamo požymio reikšme

(pvz., [1, 10), [10, 20), [20, 30), [30, 40) ir [40, 50]) arba visų grupių intervalų virštinė riba yra

uždaras intervalas, o apatinė riba – atviras, išskyrus pirmojo intervalo apatinė riba taip pat yra

uždaras intervalas, jei ji sutampa su minimalia analizuojamo požymio reikšme (pvz., [1, 10], (10,

20], (20, 30], (30, 40] ir (40, 50]). Kurį variantą pasirinki priklauso nuo paties tyrėjo

pasirinkimo. Pasirinkus pirmąjį variantą, prekyvietė su 20 darbuotojų priklausys trečiai grupei,

pagal antrąjį variantą – antrai.

Vieno iš minėtų varianto pasirinkimą gali apspręsti pirmasis ir/arba paskutinis intervalas,

jei jie yra neapibrėžti. Pvz, pirmas intervalas „iki 20“ nurodo, kad „20“ į šį intervalą nepriklauso,

vadinasi visų grupių viršutinės ribos bus atviri intervalai (išskyrus paskutinį, jei jo viršutinė riba

sutaps su maksimalia požymio reikšme), o apatinės ribos – uždari intervalai. Analogiškai jei

paskutinis intervalas yra „40 ir daugiau“, vadinasi reikšmė „40“ patenka į šį intervalą ir visų

grupių intervalų apatinės ribos bus uždari intervalai (išskyrus pirmąjį, jei jo apatinė riba sutaps su

minimalia požymio reikšme), o viršutinės – atviri.

Verta atkreipti dėmesį ir į kitą intervalų sudarymo niuansą – paskutinio intervalo viršutinė

riba ne visada sutampa su maksimalia požymio reikšme. Tai susiję su apskaičiuotų grupių

skaičiaus bei intervalo pločio reikšmių apvalinimu. Grupių skaičius ir intervalo plotis paprastai

apvalinamas pagal matematines taisykles, o intervalo plotis visada skaičiuojamas imant iki

sveikojo skaičiaus suapvalintą grupių skaičių (pvz., apskaičiuota m=4,33 reikšmė apvalinama iki

4; m=8,76 apvalinama iki 9). Jei grupuojamos požymio reikšmės yra diskrečios, intervalo plotis

taip pat apvalinamas iki sveikojo skaičiaus, o jei tolydžios, apvalinama iki apsibrėžto skaičiaus

po kableliu.

Būtent dėl minėtų apvalinimų gali susidaryti situacija, kai sudarius atitinkamą skaičių

grupių (apskaičiuotą pagal formulę ir suapvalintą) pagal anksčiau aprašytą grupių intervalų

sudarymo schemą, paskutinio intervalo viršutinė riba yra mažesnė už maksimalią požymio

reikšmę, t.y. sudarytos grupės neapima visų požymio reikšmių. Tokiu atveju grupes reikia

koreguoti didinant arba grupių skaičių, arba intervalo plotį, arba abu juos, apvalinant

apskaičiuotus rodiklius į didesnę pusę. Pasitikrinti, ar apskaičiuotas ir suapvalintas grupių

skaičius bei intervalų plotis leis sudaryti tinkamas grupes, kurios apims visas požymio reikšmes,

galima pasitikrinti iš karto po šių rodiklių paskaičiavimo, t.y. dar nesudarius grupių. Grupių

skaičius ir intervalo plotis yra tinkami, jei tenkinama sąlyga:

ma∙da ≥ xmax – xmin. (1.4)

čia ma ir da yra pagal formules apskaičiuotas ir suapvalintas grupių skaičius ir intervalo plotis.

Pavyzdžiui, reikia sugrupuoti tokius duomenis: 5, 19, 1, 36, 42, 26, 28, 14, 25, 5. Pagal

Sterdžeso formulę apskaičiuotas grupių skaičius lygus 4,32, tad jį apvaliname iki 4. Tada

intervalo plotis d = (42 – 1) / 4 = 10,25 pagal matematines taisykles apvalinamas iki 10. Tačiau

šiuo atveju sudaryti intervalai (1-11, 11-21, 21-31, 31-41, jei pasirenkamas jungiamasis būdas)

nebus geri, nes į juos nepateks reikšmė 42. Tai rodo ir ankstesnė sąlyga, kuri nėra tenkinama, t.y.

4∙10 < (42-1). Vadinasi grupių skaičių ir/arba intervalo plotį reikia didinti. Rekomenduojama

koreguoti tą rodiklį, kuris duoda mažiausią teigiamą kairiosios ir dešiniosios (1.4) formulės pusių

skirtumą. Pavyzdžiui, padidinus grupių skaičių iki 5, o intervalo plotį palikus lygų 10, kairioji

(1.4) formulės pusė bus lygi 5∙10 = 50, kai dešinioji minėtos formulės pusė yra lygi 41. Jei būtų

didinamas intervalo plotis iki 11, o grupių skaičius paliktas tas pats, t.y. 4, kairioji (1.4) formulės

pusė bus lygi 4∙11 = 44, t.y. šis variantas duoda mažesnį nukrypimą nuo formulės dešinėje

pateikto skirtumo. Dėl to būtent tokia korekcija yra tinkamesnė. Tada grupių intervalai

jungiamuoju būdu būtų sudaromi taip: 1-12, 12-23, 23-34, 34-45.

Formuojant grupes susidariusį požymių reikšmių perviršį (44-41=3, t.y. (1.4) formulės

kairiosios ir dešiniosios pusės skirtumas) galima pridėti nebūtinai prie paskutiniojo intervalo

(paskutinio intervalo viršutinė riba yra 3 didesnė už maksimalią požymio reikšmę), jį galima

prijungti prie pirmojo intervalo (pirmojo intervalo apatinė riba gali būti 3 mažesnė už minimalią

požymio reikšmę) arba padalinus pusiau pridėti prie pirmojo ir paskutiniojo intervalo (pirmojo

intervalo apatinė riba gali būti 1,5 mažesnė už minimalią požymio reikšmę, o paskutinio

intervalo viršutinė riba – 1,5 didesnė už maksimalią požymio reikšmę).

Dažnių lentelės. Kai sudaromos požymio reikšmių grupės, toliau kiekvieną objektą galima

priskirti atitinkamai grupei. Objektų, patenkančių į atitinkamą grupuojamo požymio reikšmių

grupę, skaičius yra vadinamas dažniu. Tuo tarpu grupuojamo požymio reikšmių grupės

(intervalai), arba atskiros požymio reikšmės, jei kiekviena jų sudaro atskirą grupę, vadinamos

variantais. Jei grupę sudaro tik viena požymio reikšmė, tai dažnis rodo, kiek kartų atitinkama

požymio reikšmė pasikartoja variacinėje eilutėje.

Variantus ir dažnius pateikus vienoje lentelėje, gaunama dažnių lentelė. Jei grupę sudaro

tik viena požymio reikšmė, gaunama paprasta dažnių lentelė (1.1 lentelė). Paprasta dažnių

lentelė sudaroma tik tuo atveju, kai variantų yra nedaug.

1.1 lentelė. Paprasta dažnių lentelė

Variantai (xi) x1 x2 x3 ... xm

Dažniai (fi) f1 f2 f3 ... fm

Jei grupę sudaro požymio reikšmių intervalas, gaunama intervalinė dažnių lentelė (1.2

lentelė).

1.2 lentelė. Intervalinė dažnių lentelė

Variantai (xi) [xmin; xmin+d) [xmin+d;

xmin+2d)

[xmin+2d;

xmin+3d)

... [xmin+(m-1)∙d;

xmax]

Dažniai (fi) f1 f2 f3 ... fm

Bet kuriuo atveju sudėjus visų grupių dažnius, suma turi būti lygi imties tūriui, t.y.

∑ . (1.5)

Tolesnėje stebinių analizėje paprastai intervaliniai variantai yra pakeičiami juos

atspindinčiu vienu skaičiumi, t.y. intervalo vidurio tašku arba, kitaip tariant, intervalo centru.

Intervalo centras xic, nepriklausomai nuo intervalų sudarymo būdo, apskaičiuojamas pagal

formulę:

xic = (xi

a+ xi

v)/2, (1.6)

čia xia – apatinė i-tos grupės intervalo riba, xi

v – viršutinė i-tos grupės intervalo riba.

Analizuojant požymio reikšmių pasiskirstymą, naudinga apskaičiuoti ne tik dažnius, bet ir

santykinius bei sukauptus dažnius. Santykiniai dažniai (fisa

) parodo kiekvienos grupės dalį

bendrame stebėjimo vienetų skaičiuje. Jie išreiškiami vieneto dalimis arba procentais ir jų suma

visada turi būti lygi 1 arba 100 proc.:

∑

⁄ , ∑

. (1.7)

Tuo tarpu sukaupti dažniai rodo, kiek visumos vienetų arba kuri jų dalis neviršija

konkrečios požymio reikšmės ir apskaičiuojami sudedant analizuojamo varianto ir visų

ankstesnių (dažnių lentelės kairėje esančių) variantų dažnius. Jie gali būti išreiškiami vienetais

arba procentais ir paskutinio varianto sukauptasis dažnis visada yra lygus stebinių skaičiui N

arba 100 proc.

∑

. (1.8)

Grafinis duomenų pasiskirstymo pateikimas. Sugrupuoti duomenys paprastai

vaizduojami braižant histogramą ir kumuliatę. Histograma braižoma horizontalioje ašyje

pateikiant variantus, o vertikalioje – dažnius arba santykinius dažnius, atitinkamas reikšmes

vaizdojant stulpeliais. Histogramos pavyzdys pateiktas 1.1 paveiksle.

1.1 pav. Ūkių skaičiaus pasiskirstymo pagal žemės ūkio naudmenų plotą histograma

Tiek iš dažnių lentelės, tiek iš histogramos nesunku pasakyti, kuris variantas pasikartoja

dažniausiai (tai atitinka didžiausias dažnis dažnių lentelėje ir aukščiausias stulpelis histogramoje)

ir rečiausiai (tai atitinka mažiausias dažnis dažnių lentelėje ir žemiausias stulpelis histogramoje).

Kumuliatė arba sukauptų dažnių diagrama rodo, kaip didėja požymio reikšmių dažniai

einant iš grupės į grupę. Kumuliatė braižoma horizontalioje ašyje atidedant variantų reikšmes, o

vertikalioje – sukauptus dažnius vienetais arba procentais.

1.2 pav. Ūkių pasiskirstymo pagal žemės ūkio naudmenų plotą kumuliatė

Kumuliatė, kaip ir sukauptų dažnių lentelė, leidžia atsakyti į klausimą, kiek analizuojamų

objektų turi požymio reikšmę (variantą), mažesnę ar didesnę už tam tikrą jo reikšmę. Pavyzdžiui,

iš 1.2 pav. pateikto grafiko galima pasakyti, kad 80% ūkių turi mažiau nei 200 ha žemės

naudmenų ir 20% visų ūkių (100%-80%=20%) turi daugiau nei 200 ha žemės naudmenų.

1.2. Laboratorinio darbo užduotis ir eiga

Šiam laboratoriniam darbui atlikti reikalingi erdviniai duomenys, turintys ne mažiau kaip

10 stebinių, pavyzdžiui, tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje pagal šalis investuotojas (vnt.):

1.3 lentelė. Tiesioginiai investuotojai 2014 metų pabaigoje

Šalis Tiesioginiai investuotojai

metų pabaigoje

Airija 24

Belgija 49

..... ...

Vokietija 45

Pastaba: importuojant duomenis iš Statistikos departamento ar kito šaltinio, nesirinkti

suminių eilučių, pvz. tiesioginių investuotojų metų pabaigoje iš viso (pagal visas šalis)!

Pasirinkti duomenys grupuojami ir analizuojami tokia seka:

1. Nurodomas stebinių skaičius, sudaroma variacinė eilutė, nustatoma minimali ir

maksimali imties reikšmė.

2. Apskaičiuojamas grupių skaičius.

3. Apskaičiuojamas intervalo plotis.

4. Nustatomos kiekvienos grupės intervalų ribos, pasirenkant intervalų sudarymo būdą

(jungiamąjį arba skiriamąjį) ir motyvuojant pasirinkimą.

5. Sudaroma dažnių lentelė.

6. Apskaičiuojamas kiekvienos grupės intervalo centras.

7. Apskaičiuojami santykiniai dažniai vienetais ir procentais, nubraižoma histograma bei

pateikiama rezultatų interpretacija (išvados).

8. Apskaičiuojami sukaupti dažniai vienetais ir procentais, nubraižoma kumuliatė bei

pateikiama rezultatų interpretacija (išvados).

Naudojamos MS Excel funkcijos:

Ne

mažiau

10 šalių

COUNTA(...) – nurodo celių, kurios nėra tuščios (yra tekstas arba skaičius), skaičių.

MIN(...) – surandama mažiausia pasirinktos imties reikšmė.

MAX(...) – surandama didžiausia pasirinktos imties reikšmė.

CUSTOM SORT ... – rikiuojami lentelės duomenys pagal pasirinkto stulpelio (eilutės)

reikšmes didėjimo arba mažėjimo tvarka (sudaroma variacinė eilutė).

1.3. Laboratorinio darbo pavyzdys

Šiam laboratoriniam darbui atlikti bus analizuojami tiesioginių investuotojų skaičius metų

pabaigoje pagal šalis. Iš Statistikos departamento Oficialiosios statistikos portalo eksportuojami

paskutinio skelbiamo laikotarpio, t.y. 2014 m. duomenys. Bus analizuojamos visos šalys, kurios

tais metais investavo į Lietuvą, t.y. tiesioginių investuotojų skaičius yra nelygus 0. Duomenų

lentelė pateikta 1.4 lentelėje.

1.4 lentelė. Tiesioginiai investuotojai 2014 metų pabaigoje

Eilės

nr.

Šalis Tiesioginiai

investuotojai

metų

pabaigoje

Eilės

nr.

Šalis Tiesioginiai

investuotojai

metų

pabaigoje

1 Airija 27 22 Latvija 419

2 Armėnija 3 23 Lenkija 226

3 Austrija 48 24 Lichtenšteinas 6

4 Baltarusija 130 25 Liuksemburgas 51

5 Belgija 50 26 Malta 27

6 Bulgarija 9 27 Nyderlandai 202

7 Čekija 47 28 Norvegija 225

8 Danija 261 29 Panama 5

9

Didžiosios Britanijos

Mergelės salos 16

30

Portugalija 6

10 Estija 396 31 Prancūzija 93

11 Graikija 4 32 Rumunija 10

12 Islandija 10 33 Rusija 197

13 Ispanija 22 34 Slovakija 16

14 Italija 65 35 Suomija 204

15 Izraelis 19 36 Švedija 249

16 Jungtinė Karalystė 173 37 Šveicarija 124

17 Jungtinės Valstijos 118 38 Turkija 5

18 Kanada 13 39 Ukraina 39

19 Kazachstanas 13 40 Vengrija 22

20 Kinija 32 41 Vokietija 442

21 Kipras 107 42 Kitos šalys 85

Taigi analizuojami 42 stebiniai. Stebinių skaičių parodo 1.4 lentelės paskutinio stebinio

eilės numeris arba galima nustatyti naudojant funkciją COUNTA(...). Šios imties mažiausioji

reikšmė, apskaičiuota remiantis MS Excel funkcija MIN(...), yra 3 ir tai yra investuotojų skaičius

Armėnijoje, o didžiausia reikšmė yra 442, kuri atspindi investuotojų skaičių Vokietijoje. 1.5

lentelėje pateikta analizuojamų duomenų variacinė eilutė.

1.5 lentelė. Tiesioginių investuotojų 2014 metų pabaigoje variacinė eilutė

Eilės

nr.

Šalis Tiesioginiai

investuotojai

metų

pabaigoje

Eilės

nr.

Šalis Tiesioginiai

investuotojai

metų

pabaigoje

1 Armėnija 3 22 Austrija 48

2 Graikija 4 23 Belgija 50

3 Panama 5 24 Liuksemburgas 51

4 Turkija 5 25 Italija 65

5 Lichtenšteinas 6 26 Kitos šalys 85

6 Portugalija 6 27 Prancūzija 93

7 Bulgarija 9 28 Kipras 107

8 Islandija 10 29 Jungtinės Valstijos 118

9 Rumunija 10 30 Šveicarija 124

10 Kanada 13 31 Baltarusija 130

11 Kazachstanas 13 32 Jungtinė Karalystė 173

12

Didžiosios Britanijos

Mergelės salos 16

33

Rusija 197

13 Slovakija 16 34 Nyderlandai 202

14 Izraelis 19 35 Suomija 204

15 Ispanija 22 36 Norvegija 225

16 Vengrija 22 37 Lenkija 226

17 Airija 27 38 Švedija 249

18 Malta 27 39 Danija 261

19 Kinija 32 40 Estija 396

20 Ukraina 39 41 Latvija 419

21 Čekija 47 42 Vokietija 442

Toliau šios šalys bus sugrupuotos atsižvelgiant į investuotojų skaičių 2014 metų pabaigoje.

Grupių skaičius apskaičiuojamas pagal Sterdžeso formulę (1.1 formulė):

m = 1 + 3,322 lgN = 1 + 3,322 lg(42) = 6,4

Grupių skaičius, suapvalintas pagal matematikos taisykles, yra 6. Jeigu sudaromos 6

grupės, tada kiekvieno intervalo plotis, apskaičiuotas pagal 1.3 formulę, bus lygus

d = (xmax – xmin) / m = (442 – 3) / 6 = 73,2

Kadangi investuotojų skaičius yra diskretusis skaičius, tai intervalo plotis taip pat turi būti

suapvalintas iki sveikojo skaičiaus. Pagal matematikos taisykles intervalo plotis apvalinamas iki

73.

Kadangi tiek grupių skaičius, tiek intervalo plotis buvo suapvalinti į mažesniąją pusę, gali

susiklostyti situacija, kad paskutinis (šeštas) intervalas neapims visų didžiausią reikšmę turinčių

stebinių. Tai patikrinama pagal 1.4 formulę:

6 ∙ 73 < 442 – 3 → 438 < 439.

Iš čia matyti, kad 1.4 formulėje pateikta sąlyga negalioja ir remiantis tokiu grupių

skaičiumi bei intervalo pločiu, sudarytos grupės neapims maksimalios reikšmės (Vokietijos).

Vadinasi grupių skaičių arba intervalo plotį būtina apvalinti į didesnę pusę. Palikus grupių

skaičių tą patį, o intervalo plotį suapvalinus į didesnę pusę, t.y. iki 74, 1.4 formulės kairioji pusė

bus lygi 6 ∙ 74 = 444.

Tuo tarpu padidinus grupių skaičių iki 7, intervalo plotis bus:

d = (xmax – xmin) / m = (442 – 3) / 7 = 62,7

Suapvalinus pagal matematikos taisykles intervalo plotis bus 63, o 1.4 formulės kairioji

pusė bus lygi 7 ∙ 63 = 441. Kadangi šiuo atveju gautasis skaičiu mažiau skiriasi nuo 1.4 formulės

dešinėje pusėje gauto skaičiaus (439), tikslinga pasirinkti būtent šį variantą.

Taigi bus sudaromos 7 grupės, o kiekvienos grupės intervalo plotis bus lygus 63. Kadangi

turimi duomenys yra diskretūs skaičiai, tai bus pasirenkamas skiriamasis intervalų sudarymo

būdas. Taigi intervalų ribos bus tokios:

3 – 65; 66 – 128; 129 – 191; 192 – 254; 255 – 317; 318 – 380; 381 – 443.

Toliau sudaroma dažnių lentelė ir pagal 1.6 formulę apskaičiuojamas kiekvienos grupės

intervalo centras. Rezultatai pateikti 1.6 lentelėje.

1.6 lentelė. Dažnių lentelė ir grupių intervalų centrai

Variantai 3 – 65 66 – 128 129 – 191 192 – 254 255 – 317 318 – 380 381 – 443

Dažniai 25 5 2 6 1 0 3

Intervalo

centras 34 97 160 223 286 349 412

Pagal 1.7 formulę apskaičiuoti santykiniai dažniai vieneto dalimis bei procentais pateikti

1.7 lentelėje.

1.7 lentelė. Santykiniai dažniai

Variantai 3 – 65 66 – 128 129 – 191 192 – 254 255 – 317 318 – 380 381 – 443

Santykiniai

dažniai

0,60 0,12 0,05 0,14 0,02 0,00 0,07

59,5% 11,9% 4,8% 14,3% 2,4% 0,0% 7,1%

1.3 paveiksle santykiniai dažniai atvaizduojami grafiškai nubraižant histogramą. Iš

rezultatų matyti, kad daugiausiai, t.y. 59,5%, yra šalių, kuriose investuotojų skaičius siekia nuo 3

iki 65. 14,3% šalių investuotojų skaičius siekia nuo 192 iki 254, 11,9% šalių investuotojų

skaičius siekia nuo 66 iki 128, 7,1% šalių investuotojų skaičius siekia nuo 381iki 443, 4,8% šalių

investuotojų skaičius siekia nuo 129 iki 191, 2,4% šalių investuotojų skaičius siekia nuo 255 iki

317, o šalių, kuriose investuotojų skaičius siektų nuo 318 iki 380, nėra.

1.3 pav. Tiesioginių investuotojų 2014 m. pabaigoje histograma

Pagal 1.8 formulę apskaičiuoti sukaupti dažniai vieneto dalimis bei procentais pateikti 1.8

lentelėje.

1.8 lentelė. Sukaupti dažniai

Variantai 3 – 65 66 – 128 129 – 191 192 – 254 255 – 317 318 – 380 381 – 443

Sukaupti

dažniai

25 30 32 38 39 39 42

59,5% 71,4% 76,2% 90,5% 92,9% 92,9% 100,0%

1.4 paveiksle sukaupti dažniai atvaizduojami grafiškai nubraižant kumuliatę. Iš rezultatų

matyti, kad 59,5% visų šalių investuotojų skaičius yra mažesnis nei 66 ir 40,5% visų šalių jis yra

didesnis už 65. Tuo tarpu vos dešimtadalis, t.y. 9,5% šalių investuotojų skaičius viršija 254, t.y.

90,5% visų analizuojamų šalių investuotojų skaičius nesiekia 255.

1.4 pav. Tiesioginių investuotojų 2014 m. pabaigoje kumuliatė

2 LABORATORINIS DARBAS. SANTYKINIAI RODIKLIAI IR VIDURKIAI

Surinkus ir susisteminus pirminius duomenis, juos galima analizuoti, skaičiuojant

įvairiausius santykinius rodiklius, vidurkius, sklaidą ir pan. Antrojo laboratorinio darbo tikslas –

apskaičiuoti santykinius bei vidutinius dydžius ir padaryti atitinkamas išvadas.

2.1. Teorinės žinios

Statistinis rodiklis – skaitinė charakteristika, parodanti analizuojamo reiškinio tam tikrą

savybę konkrečiomis vietos ir laiko sąlygomis. Dėl jų gausos parastai statistiniai rodikliai yra

klasifikuojami pagal tam tikrus kirterijus:

pagal gavimo būdą išskiriami pirminiai ir išvestiniai rodikliai;

pagal statistinę prigimtį išskiriami absoliutinių bei santykinių dydžių rodikliai ir

vidurkiai;

pagal laiko charakteristiką rodikliai skirstomi į momentinius ir intervalinius;

pagal socialinį-ekonominį turinį rodikliai skirstomi į gyventojų skaičiaus, visuomenės

darbo išteklių, visuomeninio produkto gamybos, nacionalinių pajamų, gyvenimo lygio,

gyventojų sveikatos apsaugos ir kt.

Toliau bus detaliau analizuojami statistiniai rodikliai, atsižvelgiant į jų statistinę prigimtį.

Absoliutiniai rodikliai. Absoliutiniai statistiniai dydžiai, dar vadinami ekstensyviais

rodikliais, išreiškia ekonominių, socialinių ar kitokių reiškinių apimtį jų visumos vienetų

skaičiumi arba reiškinius apibūdinančių požymių suma. Absoliutiniai dydžiai skirstomi į:

individualiuosius, kurie išreiškia atskirų vienetų požymių apimtis ir nustatomi tiesiogiai

statistinio stebėjimo metu (pvz. gyventojų skaičius mieste, darbuotojų skaičius įmonėje,

prekių kiekis sandėlyje, parduotuvės plotas ir t.t.);

bendruosius, kurie išreiškia visų visumos vienetų ir jos grupių požymių apimtį. Jie

gaunami susumavus individualiuosius absoliutinius dydžius (pvz. produkcijos vertė,

prekių apyvarta, darbo užmokesčio lėšos, bendrasis derlius).

Absoliutiniams rodikliams paprastai būdingi šie matavimo vienetai:

natūriniai – jie parodo reiškinių ar daiktų fizinį kiekį, kuris išreiškiamas įprastiniais

svorio, tūrio, ilgio, ploto matais.

natūriniai sutartiniai – jie naudojami vienarūšiams, tačiau įvairiavardžiams,

tarpusavyje nesumuojamiems reiškiniams perskaičiuoti į vienavardžius. Pvz.,

spaustuvėje atspausdintų įvairių rūšių (skirtingo formato ir puslapių skaičiaus) knygų

skaičius perskaičiuojamas į sutartinį knygų (atitinkamo formato ir puspalių skaičiaus)

skaičių. Tam yra naudojami perskaičiavimo koeficientai.

vertiniai – jie rodo tiriamų objektų apimtį pinigine išraiška tam tikros rūšies valiuta;

darbo – jie rodo laiko sąnaudas, reikalingas pagaminti produkto vienetui ar suteikti tam

tikrą paslaugą.

Santykiniai rodikliai. Tai intensyvūs statistiniai rodikliai, nusakantys socialinių,

ekonominių ar kitokių reiškinių kiekybinius santykius. Santykiniai rodikliai dažnai yra labiau

informatyvūs, nei absoliutiniai. Jais galima palyginti vieną rodiklį su kitu, nustatyti proporcijas,

pasikeitimus struktūroje ir pan. Santykiniai rodikliai gaunami lyginant du absoliutinius, o kartais

ir santykinius, dydžius, t.y.

skaitiklyje visada rašomas rodiklis, atspindintis nagrinėjamą reiškinį, t.y. dydis, kuris

lyginamas su kitu rodikliu, ir vadinamas lyginamuoju dydžiu;

vardiklyje rašomas rodiklis, su kuriuo lyginamas analizuojamas dydis, ir jis vadinamas

baze.

Vis dėlto, tarpusavyje lyginti galima tik tokius rodiklius, kurių rezultatą (santykį) galima

logiškai paaiškinti, t.y. santykinius dydžius negalima skaičiuoti iš nepalyginamų rodiklių.

Paprastai santykinių rodiklių matavimo vienetai yra:

koeficientai – jie naudojami tada, kai lyginamasis dydis yra ženkliai didesnis už bazinį

dydį ir parodo, kiek kartų lyginamasis dydis skiriasi nuo bazinio dydžio;

procentai – jie naudojami tada, kai skirtumai tarp lyginamojo ir bazinio dydžio nedideli

(paprastai bazinis dydis viršija lyginamąjį dydį, bet ne daugiau kaip 100 kartų); šiuo

atveju lyginamojo dydžio ir bazės santykis yra dauginamas iš 100;

promilės – jos naudojami tada, kai bazinis dydis viršija lyginamąjį dydį daugiau kaip

100 kartų (bet paprastai ne daugiau kaip 1000 kartų); šiuo atveju lyginamojo dydžio ir

bazės santykis yra dauginamas iš 1000;

prodecimilės – jos naudojami tada, kai bazinis dydis viršija lyginamąjį dydį daugiau

kaip 1000 kartų (bet paprastai ne daugiau kaip 10 000 kartų); šiuo atveju lyginamojo

dydžio ir bazės santykis yra dauginamas iš 10 000;

vardiniai dydžiai – tai tokia išraiškos forma, kai santykiniai dydžiai išreiškiami

nagrinėjamos visumos vienetais.

Galima išskirti tokias pagrindines santykinių rodiklių rūšis:

sutarties įsipareigojimų vykdymo;

plano vykdymo;

planinės užduoties vykdymo;

dinamikos;

struktūros;

koordinacijos;

intensyvumo;

ekonominio išsivystymo;

palyginimo.

Šioje dalyje plačiau bus analizuojami struktūros, koordinacijos ir dinamikos santykiniai

rodikliai.

Struktūros santykiniai rodikliai apibūdina nagrinėjamos visumos sudėtį, t.y. tos visumos

dalių lyginamąjį svorį. Jie apskaičiuojami visumos dalių vienetų skaičių (xi) padalijus iš visos

visumos vienetų skaičiaus (Σxi) ir išreiškiami vieneto dalimis (koeficientais) arba procentais:

∑ arba

∑ . (2.1)

Struktūros santykinių dydžių paprastai apskaičiuojama tiek, kiek sudedamųjų dalių

(visumos dalių – i) sudaro nagrinėjamą visumą. Sudėjus atskirų dalių koeficientus arba

procentus, atitinkamai gaunama 1 arba 100 %.

Grafiškai dažniausiai šie rodikliai atvaizduojami stulpelinėmis, juostinėmis arba

skritulinėmis diagramomis (2.1 pav.). Vaizduojant reiškinio struktūrą stulpelinėmis ar

juostinėmis diagramomis, stulpelių ar juostų ilgis prilyginamas 100% ir dalijamas į dalis,

proporcingas to reiškinio struktūrai. Skritulinė diagrama – tai apskritimas, padalytas į sektorius

ir jų plotas atspindi pasirinktos dedamosios dažnį, t.y. apskritimo ilgis prilyginamas 100%, o

struktūros santykiniai dydžiai perskaičiuojami į laipsnius (1%=3,60).

2.1 pav. Stulpelinės (kairėje) ir skritulinės (dešinėje) diagramos pavyzdys

Koordinacijos santykiniai rodikliai apskaičiuojami lyginant to paties objekto

(nagrinėjamos visumos) atskiras dalis (xi ir xj) ir parodo, kiek tos visumos vienos dalies vienetų

kiekis tenka kitai vienetų daliai, skaičiuojant vienetui, šimtui, tūkstančiui ir t.t.:

,

,

ir t.t.

(2.2)

Dinamikos santykiniai rodikliai parodo nagrinėjamo reiškinio kitimą tam tikru laikotarpiu.

Jie gaunami palyginus to paties objekto (rodiklio) einamojo (ataskaitinio) laikotarpio duomenis

(xi) su ankstesnio laikotarpio duomenimis. Dinamikos santykiniai rodikliai skaičiuojami baziniu

ir grandininiu būdu. Baziniai dinamikos rodikliai gaunami einamojo laikotarpio duomenis

lyginant su visada to paties, paprastai anksčiausio, laikotarpio duomenimis. Grandininiai

dinamikos rodikliai gaunami einamojo laikotarpio duomenis lyginant su nuolat kintančiu, prieš

tai buvusio laikotarpio duomenimis.

ir

,

(2.3)

čia x0 – bazinio laikotarpio reikšmė, xi-1 – prieš tai buvusio laikotarpio reikšmė.

Vidutiniai dydžiai. Vidurkiu vadinamas apibendrinantis kiekybinis rodiklis, išreiškiantis

analizuojamo požymio tipinį lygį, tai yra jis nurodo vidutinę reikšmę, aplink kurią išsidėsčiusios

visos požymio reikšmės. Galima išskirti keletą vidurkių rūšių:

aritmetinis,

harmoninis,

kvadratinis,

geometrinis,

chronologinis,

slenkantis,

progresyvinis.

Šiame laboratoriniame darbe plačiau bus analizuojamas aritmetinis, geometrinis, slankusis

ir chronologinis vidurkis.

Aritmetinis vidurkis taikomas siekiant įvertinti vidutinę požymio reikšmę, kai duomenys

yra erdviniai arba intervalinės laiko eilutės (t.y. reikšmės išmatuotos per tam tikrą laikotarpį,

pvz., per metus, per ketvirtį, mėnesį ar pan.), ir apskaičiuojamas pagal formulę:

∑

, (2.4)

čia n – požymio reikšmių skaičius.

Geometrinis vidurkis naudojamas analizuojant laiko eilutes ir apibūdina vidutinį reiškinio

kitimo greitį (tempą) per analizuojamą laikotarpį. Geometrinio vidurkio skaičiavimas priklauso

nuo duomenų pobūdžio, t.y. turimi absoliutiniai ar santykiniai duomenys. Turint absoliutines

laiko eilutės reikšmes geometrinis vidurkis skaičiuojamas pagal formulę:

√

, (2.5)

čia n – laiko eilutės ilgis (duomenų skaičius), x1 – pirmoji (anksčiausio laikotarpio) laiko eilutės

reikšmė, xn – paskutinė (vėliausio laikotarpio) laiko eilutės reikšmė.

Kai turimi grandininiai dinamikos santykiniai rodikliai, geometrinis vidurkis

skaičiuojamas pagal formulę:

√

, (2.6)

čia S1, S2, ..., Sn – pirmoji, antroji, ..., n-toji laiko eilutės (grandininio dinamikos rodiklio)

reikšmė.

Slenkantys vidurkiai paprastai skaičiuojami laiko eilutės reikšmių kitimo tendencijai

nustatyti bei sezoniniams svyravimams tirti. Slenkantys vidurkiai skaičiuojami kaip aritmetiniai

vidurkiai, tačiau ne iš visų, o tik iš kelių gretimų laiko eilutės narių, kiekvieną kartą atmetant po

vieną ankstesnįjį ir įtraukiant naują eilutės narį. Laiko eilutės narių, iš kurių skaičiuojamas

slankusis vidurkis, skaičius vadinamas glodinimo pločiu ir žymimas r. Pavyzdžiui, jei glodinimo

plotis yra 3, tai laiko eilutės slankieji vidurkiai apskaičiuojami taip:

,

,

, ... (2.7)

Rekomenduojama glodinimo pločiu rinktis nelyginį skaičių, nes apkaičiuotas slankusis

vidurkis gerai pakeičia vidurinį į skaičiavimus įtrauktą laiko eilutės narį. Jei glodinimo plotis yra

lyginis skaičius, tada slankiuosieji vidurkiai paprastai skaičiuojami dviem etapais tam, kad

apskaičiuotas vidurkis pakeistų vidurinįjį narį. Pvz., jei glodinimo plotis yra 4, tai:

,

,

,

, ...

(2.8)

,

,

, ...

Visais atvejais apskaičiuotų slankiųjų vidurkių bus mažiau nei turima realių laiko eilutės

narių, t.y. realias laiko eilutės reikšmes pakeičiant slankiaisiais vidurkiais yra prarandama dalis

pirmųjų ir paskutinių laiko eilutės reikšmių, ir kuo glodinimo plotis yra didesni, tuo praradimai

yra didesni.

Chronologinis vidurkis skaičiuojamas momentinėms laiko eilutėms, t.y. kai analizuojamo

požymio (ar reiškinio) reikšmės išmatuotos tam tikrai datai (pvz., gyventojų skaičius sausio 1 d.,

įmonės skola liepos 31 d. ir pan.). Chronologinio vidurkio skaičiavimo formulė taip pat priklauso

nuo momentinės laiko eilutės pobūdžio, t.y.:

kai laiko tarpai tarp atskirų momentinės laiko eilutės reikšmių vienodi, chronologinis

vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę:

, (2.9)

kai laiko tarpai tarp atskirų momentinės laiko eilutės reikšmių nevienodi, chronologinis

vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę:

, (2.10)

čia t1, t2, ..., tn-1 – laiko momentai tarp x1 ir x2, x2 ir x3, ..., xn-1 ir xn.

Struktūriniai vidurkiai. Visumos struktūrai apibūdinti yra skaičiuojami struktūriniai

vidurkiai – moda, mediana, kartiliai.

Moda - tai dažniausiai pasikartojanti požymio reikšmė visumoje (populiacijoje ar imtyje).

Jei dažniausiai pasikartoja vienas kuris nors variantas, pasiskirstymą vadiname vienmodaliu,

jeigu du ar daugiau eilutės variantai turi vienodus dažnius, toks skirstinys vadinamas

bimodaliniu. Jei visi variantai pasitaiko vienodai dažnai – pasiskirstymo eilutėje modos nėra.

Modą galima nustatyti ir iš grafiko – histogramos. Modą atitiks histogramos aukščiausias

stulpelis. Kai aritmetinis vidurkis artimas modai, laikoma, kad šis vidurkis yra tipiškas.

Mediana – požymio reikšmė, esanti variacinės eilutės viduryje, t. y. Moda variacinę eilutę

dalija į dvi lygias dalis. Jei variacinėje eilutėje narių skaičius nelyginis, mediana yra vidurinioji

konkreti požymio reikšmė ir ji lygi

variacinės eilutės reikšmei. O jei variacinėje eilutėje

narių skaičius yra lyginis, ji apskaičiuojama kaip dviejų viduriniųjų požymio reikšmių

aritmetinis vidurkis, t.y.

.

Medianą galima nustatyti ir grafiškai, nubraižius kumuliatę. Iš ordinačių (y) ašies taško,

kuris atitinka 50% sukauptą dažnį, brėžiama lygiagretė abscisių (x) ašiai iki susikirtimo su

kumuliate, o iš čia leidžiamas statmuo į abscisių ašį. Atitinkamas abscisių ašies sankirtos taškas

ir bus mediana (2.2 pav.).

2.2 pav. Medianos radimas pagal kumuliatę

Variacinę eilutę padalinus į keturias lygias dalis, gaunami kvartiliai, į dešimt lygių dalių –

deciliai. Antrasis kvartilis ir penktasis decilis visada yra lygus medianai.

2.2. Laboratorinio darbo užduotis ir eiga

Šiam laboratoriniam darbui atlikti pasirenkamos dvi eilutės iš 1 laboratoriniame darbe

sudaryto 1.3 lentelės, pvz. tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje Belgijoje ir Vokietijoje, ją

papildant tokius būdu:

pridedamas suminis rodiklis, pvz. tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje pagal

visas šalis;

šiems trims rodikliams surenkami ne mažiau kaip 7 laikotarpių duomenys, pvz.

tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje pagal visas šalis, Belgijoje ir Vokietijoje

už 2000 – 2015 m.

Šiame laboratoriniame darbe analizuojamos lentelės pavyzdys pateikiamas 2.1 lentelėje.

2.1 lentelė. Tiesioginiai investuotojai 2000 - 2015 m.

Šalis 2000 2001 ... 2014 2015

Iš viso pagal

valstybes

3150 3412 4152 4092

Belgija 30 23 50 49

Vokietija 10 20 50 45

Pasirinkti duomenys analizuojami tokia seka:

9. Apskaičiuojami struktūros ir koordinacijos santykiniai rodikliai kiekvieniems metams

bei suformuluojamos išvados.

10. Apskaičiuojamas viso analizuojamo laikotarpio (pvz. 2000-2015 m.) aritmetinis arba

chronologinis (priklausomai nuo turimų duomenų, pagrindžiant pasirinkimą) ir

geometrinis vidurkis visoms trims eilutėms (pvz. Vokietijai, Belgijai ir iš viso pagal

valstybes). Suformuluojamos išvados.

11. Apskaičiuojami viso analizuojamo laikotarpio (pvz. 2000-2015 m.) moda, mediana bei

visi kvartiliai visoms trims eilutėms (pvz. Vokietijai, Belgijai ir iš viso pagal

valstybes). Suformuluojamos išvados.

Naudojamos MS Excel funkcijos:

AVERAGE(...) – skaičiuojamas aritmetinis vidurkis.

SUM(...) – sumuojamos pažymėtos reikšmės.

MODE(...) – skaičiuojama moda.

MEDIAN(...) – skaičiuojama mediana.

QUARTILE(...) – skaičiuojami kvartiliai.

2.3. Laboratorinio darbo pavyzdys

Šiame laboratoriniame darbe bus analizuojami tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje

bendrai visose šalyse bei atskirai Belgijoje ir Vokietijoje, kurios atstovauja skirtingas pagal

investuotojų skaičių grupes (pagal 1 laboratorinio darbo rezultatus, Vokietijos investuotojų

skaičius yra didžiausias, lyginant su kitomis šalimis, kai tuo tarpu Belgijos – vienas iš mažesnių).

Analizė bus atliekama 2005 – 2014 metų laikotarpiu. Šie duomenys pateikti 2.2 lentelėje.

Ne mažiau 7 metų

2.2 lentelė. Tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje Belgijoje, Vokietijoje ir visose šalyse

kartu 2005 – 2014 metų laikotarpiu

Metai Iš viso pagal valstybes Belgija Vokietija

2005 3150 30 467

2006 3151 32 440

2007 3396 33 425

2008 3615 39 443

2009 3876 41 437

2010 3799 40 430

2011 4042 51 443

2012 3887 49 428

2013 4092 49 440

2014 4267 50 442

Toliau skaičiuojami struktūros ir koordinacijos santykiniai rodikliai procentais

kiekvieniems metams atskirai naudojant atitinkamai 2.1 ir 2.2 formules. Kadangi investuotojų

skaičius Belgijoje ir Vokietijoje gerokai skiriasi, tai koordinacijos rodikliai bus skaičiuojami

skirtingam investuotojų skaičiui, t.y. kiek šimtui Vokietijos investuotojų teko Belgijos

investuotojų ir kiek vienam Belgijos investuotojui teko Vokietijos investuotojų. Rezultatai

pateikti 2.3 lentelėje.

2.2 lentelė. Struktūros ir koordinacijos santykiniai rodikliai

Metai

Struktūros santykiniai rodikliai Koordinacijos santykiniai rodikliai

Belgija Vokietija

100 Vokietijos

investuotojų

teko Belgijos

investuotojų

1 Belgijos

investuotojui teko

Vokietijos

investuotojų

2005 1,0%

(=30/3150∙100%)

14,8%

(=467/3150∙100%)

6,4

(=30/467∙100)

15,6

(=467/30)

2006 1,0% 14,0% 7,3 13,8

2007 1,0% 12,5% 7,8 12,9

2008 1,1% 12,3% 8,8 11,4

2009 1,1% 11,3% 9,4 10,7

2010 1,1% 11,3% 9,3 10,8

2011 1,3% 11,0% 11,5 8,7

2012 1,3% 11,0% 11,4 8,7

2013 1,2% 10,8% 11,1 9,0

2014 1,2% 10,4% 11,3 8,8

Belgijos investuotojų skaičius, lyginant su bendru visų šalių investuotojų skaičiumi, sudaro

apie 1% visų investuotojų. Be to, ši procentinė dalis per dešimtmetį išaugo, t.y. 2005 m. ji sudarė

lygiai 1%, kai 2014 m. ji jau siekė 1,2%. Tiesa, pastaraisiais metais ji kiek sumenko lyginant su

2011-2012 m., kai Belgijos investuotojai sudarė 1,3% visų investuotojų. Tuo tarpu Vokietijos

investuotojai 2014 m. sudarė 10,4% visų investuotojų į Lietuvą, tačiau ši dalis kasmet mažėjo.

2005 m. Vokietijos investuotojai sudarė 14,8% visų investuotojų.

Koordinacijos santykiniai rodikliai leidžia palyginti Belgijos ir Vokietijos investuotojų

skaičių tarpusavyje. Iš rezultatų matyti, kad Belgijos investuotojų dalis Vokietijos investutojų

atžvilgiu didėjo, nors ir Belgijos investuotojų skaičius gerokai yra mažesnis nei Vokietijos. Jei

2005 m. šimtui Vokietijos investuotojų teko 6,4 Belgijos investuotojų, tai 2014 m. jų jau

atitenka 11,3. Atitinkamai 2005 m. vienam Belgijos investuotojui teko 15,6 Vokietijos

investuotojų, o 2014 m. jų skaičius sumenko iki 8,8.

Apibendrintą vaizdą apie investuotojų skaičių per analizuojamą laikotarpį suteikia

vidurkis. Kadangi turimi duomenys yra momentinė laiko eilutė (investuotojų skaičius pateiktas

kiekvienų metų pabaigai), tai vidutiniam investuotojų skaičiui apskaičiuoti turi būti naudojama,

ne aritmetinio, bet chronologinio vidurkio formulė. Kadangi laiko tarpai tarp laiko eilutės

reikšmių yra vienodi (turimi kiekvienų metų iš eilės duomenys), tai naudojama 2.9 formulė.

Chronologinio vidurkio reikšmės pateikiamos 2.3 lentelėje. Jos rodo, kad vidutinis užsienio

tiesioginių investuotojų skaičius 2005 – 2014 metų laikotarpiu buvo 3357, vidutinis Belgijos

investuotojų skaičius siekė 37, o Vokietijos – 394.

2.3 lentelė. Investuotojų skaičiaus 2005-2014 m. chronologinis ir geometrinis vidurkis

Vidurkis Iš viso pagal valstybes Belgija Vokietija

Chronologinis 3357 37 394

Geometrinis 1,03 1,06 0,99

Geometrinis vidurkis leidžia įvertinti kaip kito investuotojų skaičius per analizuojamą

laikotarpį, t.y. jis didėjo ar mažėjo, ir kokiu greičiu. Geometrinio vidurkio reikšmės,

paskaičiuotos pagal 2.5 formulę, pateiktos 2.3 lentelėje. Iš čia matyti, kad 2005-2014 metų

laikotarpiu bendras visų investuotojų skaičius augo kasmet vidutiniškai po 3%, Belgijos

investuotojų skaičius didėjo šiek tiek daugiau – kasmet vidutiniškai po 6%, tuo tarpu Vokietijos

investuotojų skaičius kasmet menko vidutiniškai po 1%.

Dar daugiau informacijos suteikia struktūriniai vidurkiai – moda, mediana bei kvartiliai. Jų

apskaičiuotos reikšmės pateiktos 2.4 lentelėje. Per analizuojamą 10 metų laikotarpį dažniausiai

buvo 440 Vokietijos ir 49 Belgijos investuotojai. Tokios jų reikšmės kartojosi dvejus metus. Tuo

tarpu analizuojant bendrą investuotojų skaičių pagal visas šalis, jis kasmet keitėsi, dėl to modos

šiuo atveju nėra, o šio rodiklio medianos reikšmė siekia 3838. Tai reiškia, kad penkerius metus

bendras investuotojų į Lietuvą skaičius buvo ne didesnis už 3838 ir kitus penkerius metus

(nebūtinai iš eilės) jis šį skaičių viršijo ar buvo jam lygus. Penkerius metus buvo ne mažiau kaip

41 Belgijos ir ne mažiau kaip 440 Vokietijos investuotojų, lygiai tiek pat, t.y. kitus penkerius

metus (nebūtinai iš eilės) Belgijos ir Vokietijos investuotojų skaičius šių skaičių neviršijo.

2.4 lentelė. Investuotojų skaičiaus 2005-2014 m. struktūriniai vidurkiai

Skaitinė

charakteristika

Iš viso pagal valstybes Belgija Vokietija

Moda - 49 440

Mediana 3838 41 440

Pirmasis kvartilis 3451 35 432

Antrasis kvartilis 3838 41 440

Trečiasis kvartilis 4003 49 443

Ketvirtasis kvartilis 4267 51 467

Ketvirtadalį viso analizuojamo laikotarpio (nebūtinai iš eilės) bendras investuotojų

skaičius šalyje neviršijo 3451, o Belgijos ir Vokietijos investuotojų skaičius neviršijo atitinkamai

35 ir 432. Kitą ketvirtadalį laiko (nebūtinai iš eilės) bendras investuotojų skaičius šalyje nebuvo

mažesnis už 4003, o Belgijos ir Vokietijos investuotojų buvo ne mažiau kaip atitinkamai 49 ir

443.

3 LABORATORINIS DARBAS. DUOMENŲ SKLAIDOS IR PASISKIRSTYMO

ĮVERTINIMAS

Trečiojo laboratorinio darbo tikslas – apskaičiuoti sklaidos matus, įvertinti duomenų

pasiskirstymą bei suformuluoti atitinkamas išvadas.

3.1. Teorinės žinios

Sklaidos matai. Tiriant skirstinį, neužtenka žinoti vien tik jo padėties charakteristikų:

vidurkio, modos, medianos. Galimi atvejai, kai keliose imtyse (ar lyginamose populiacijose)

aritmetiniai vidurkiai sutampa, tačiau jos skiriasi požymio reikšmių išsibarstymu, t.y. sklaidos

laipsniu. Visumos vienetų požymio reikšmių svyravimas vadinamas sklaida (variacija).

Dažniausiai skaičiuojami šie sklaidos matai:

sklaidos plotis,

kvartilinis plotis,

vidutinis tiesinis nuokrypis,

dispersija,

vidutinis standartinis nuokrypis,

variacijos koeficientas.

Sklaidos plotis – pats paprasčiausias absoliutus sklaidos rodiklis, kuris skaičiuojamas kaip

maksimalios ir minimalios požymio reikšmių skirtumas:

R = xmax – xmin. (3.1)

Sklaidos plotis yra pats grubiausias sklaidos įvertinimas, nes visiškai priklauso tik nuo

kraštinių (neretai ir atsitiktinių) variacinės eilutės reikšmių.

Kvartilinis plotis skaičiuojamas kaip trečiojo ir pirmojo kvartilių skirtumas:

IQR = Q3 – Q1. (3.2)

Jis apibūdina 50% viduriniųjų variacinės eilutės reikšmių išsibarstymą.

Vidutinis tiesinis nuokrypis – absoliutus sklaidos matas, kuris apskaičiuojamas kaip

požymio reikšmių absoliutinių nuokrypių nuo vidurkio aritmetinis vidurkis:

∑

. (3.3)

Dispersija – tai taip pat absoliutus sklaidos rodiklis, skaičiuojamas kaip požymio reikšmių

nuokrypių nuo vidurkio kvadratų vidurkis:

∑

. (3.4)

Vienas iš dispersijos trūkumų – matavimo vienetai pakelti kvadratu, kas apsunkina šio

rodiklio interpretaciją. Todėl praktikoje daniau yra naudojamas kitas sklaidos rodiklis –

standartinis (vidutinis kvadratinis) nuokrypis, kuris apskaičiuojamas kaip šaknis iš dispersijos:

√∑

. (3.5)

Standartinis nuokrypis išreiškiamas tais pačiais mato vienetais, kaip ir požymio reikšmės,

ir parodo tų reikšmių nuokrypio nuo vidurkio vidutinį lygį. Turint vidurkį ir vidutinį kvadratinį

nuokrypį, galima nustatyti, kokiai visumos daliai atstovauja apskaičiuotas vidurkis. Standartinio

nuokrypio trūkumas: standartinio nuokrypio skaitinę reikšmę gali iškreipti kelios santykinai

ekstremalios reikšmės, todėl jis, kaip ir aritmetinis vidurkis, gali prarasti savo atspindimąją

savybę labai asimetriškuose skirstiniuose.

Jei vidutinio tiesinio nuokrypio, dispersijos ar vidutinio standartinio nuokrypio skaitinė

reikšmė yra didelė, tai rodo, jog požymio reikšmės labai išsisklaidžiusios apie vidurkį ir

pastarasis nėra tipiškas dydis.

Absoliutiniai sklaidos rodikliai dažnai netinka lyginant kelias visumas tarpusavyje. Tokiais

atvejais geriau remtis santykiniais požymio reikšmių sklaidos rodikliais. Jie išreiškiami

procentais ir apskaičiuojami absoliutinius sklaidos matus lyginant su aritmetiniu vidurkiu.

Labiausiai paplitęs santykinis sklaidos rodiklis yra variacijos koeficientas, kuris

apskaičiuojamas kaip standartinio nuokrypio ir aritmetinio vidurkio santykis, išreikštas

procentais:

. (3.6)

Kuo variacijos koeficientas mažesnis, tuo visuma vienarūšiškesnė ir apskaičiuotas vidurkis

labiau apibūdina tiriamą visumą. Kai variacijos koeficientas yra iki 10 proc. laikoma, kad sklaida

maža, 10-20 proc. – sklaida vidutinė, 20-30 proc. – sklaida didelė ir 30-50 proc. – sklaida labai

didelė. Kai V > 50 proc., manoma, kad variacijos koeficientas realios prasmės jau neturi.

Koeficiento trūkumas – jo negalima naudoti sklaidai įvertinti, kai požymis turi neigiamų

reikšmių. Tokiu atveju vidurkis gali būti labai mažas, palyginti su standartiniu nuokrypiu, arba

net artimas 0, kas nulems nepagrįstai aukštą variacijos koeficiento reikšmę, o jei vidurkis bus

neigiamas – neigiamą variacijos koeficiento reikšmę.

Duomenų pasiskirstymas. Statistinės eilutės narių pasiskirstymas gali turėti įvairias

formas. Tai priklauso nuo to, kaip pasiskirstę statistinės eilutės nariai apie aritmetinį vidurkį,

medianą ir modą. Simetriškai statistinės eilutės nariai pasiskirstę tuomet, kai įvairių variantų

dažnumai mažėja nuo modos, aritmetinio vidurkio ar medianos į abi puses vienodai. Tai

simetrinis arba vadinamasis normalusis pasiskirstymas.

Nustatyta, kad turint dideles imtis (populiacijas) daugeliui rodiklių yra būdingas

normalusis pasiskirstymas. Vis dėlto ekonominiuose reiškiniuose idealiai simetriškas statistinės

eilutės narių pasiskirstymas yra labai retas dalykas.

Ar duomenų pasiskirstymas yra normalusis, galima nustatyti keliais būdais:

grafiškai,

skaičiuojant požymio reikšmių priklausomumą atitinkamiems intervalams,

lyginant vidurkį, modą ir medianą,

skaičiuojant asimetrijos bei eksceso koeficientus.

Vertinant pasiskirstymą grafiškai, skirstinys bus normalusis, jei histograma atrodys

taisyklingos varpo formos (3.1 pav.).

3.1 pav. Normaliojo skirstinio pavyzdys

Normalųjį skirstinį korektiška vaizduoti tik tada, kai požymis matuojamas kiekybiškai –

intervalų arba santykių skalėje.

Apie turimų duomenų skirstinio artumą normaliajam skirstiniui su tam tikra tikimybe

leidžia spręsti standartinis nuokrypis. Jei duomenys pasiskirstę pagal normalųjį skirstinį, tai

apytiksliai 68% visų požymio reikšmių patenka į intervalą , o beveik visos

reikšmės patenka į intervalą . Daugiau variantų pateikiama 3.1 lentelėje.

3.1 lentelė. Požymio reikšmių priklausomumas atitinkamiems intervalams

Intervalas Procentinė dalis reikšmių, patenkanti į

intervalą

68,27%

95,45%

99,73%

99,99%

Pvz., jei ribose telpa ne mažiau kaip 95,4% visų turimų požymio

reikšmių, tai su tikimybe 0,954 galima tvirtinti, kad tai yra normalusis skirstinys.

Pasiskirstymas taip pat yra simetrinis (normalusis), jei požymio reikšmių vidurkis yra

lygus modai (Mo) ir medianai (Me). Neigiama (kairiašonė, kairioji) asimetrija yra kai skirstinyje

vyrauja variantai su didesnėmis negu aritmetinis vidurkis reikšmėmis, t.y. . Tada

skirstinio kreivės viršūnė pasislinkusi į dešinę, o kreivės kairioji dalis yra ilgesnė. Teigiama

(dešiniašonė, dešinioji) asimetrija egzistuoja, jei skirstinyje vyrauja variantai su mažesnėmis

reikšmėmis nei aritmetinis vidurkis, t.y. , tai skirstinio kreivės viršūnė

pasislinkusi į kairę ir kreivės dešinioji dalis yra ilgesnė (3.2 pav.).

3.2 pav. Kairioji ir dešinioji asimerija

Empiriškai nustatyta, kad pasiskirstymo eilutės asimetrija yra vidutinė, kai

. (3.7)

Paprasčiausias rodiklis, kuris leidžia palyginti tam tikrų pasiskirstymų asimetrijos laipsnį,

yra asimetrijos koeficientas, kuris apibūdina pasiskirstymo pagal horizontalę ypatumus. Jis

apskaičiuojamas pagal formulę:

∑

. (3.8)

Pasiskirstymas yra simetrinis, kai As = 0. Jei As > 0, vyrauja dešiniašonė asimetrija, o jei

As < 0, egzistuoja kairiašonė asimetrija. Asimetrija esminė, kai As yra didesnis už 1 arba

mažesnis už -1.

Eksceso koeficientas parodo statistinės eilutės variantų susitelkimo apie pasiskirstymo

centrą laipsnį, t.y. jis apibūdina šio pasiskirstymo pagal vertikalę ypatumus. Jis apskaičiuojamas:

∑

. (3.9)

Kai E = 0, tai pasiskirstymas pagal šį parametrą atitinka normalųjį. Kai Ex > 0, tai ekscesas

yra teigiamas, o statistinės eilutės variantai susitelkę apie vidurį, tai yra skirstinio kreivė yra

statesnė (viršūnė aštresnė) nei normaliojo skirstinio. Kai Ex < 0, tai ekscesas yra neigiamas, o

statistinės eilutės variantai labiau išsisklaidę, tai yra skirstinio kreivė yra plokštesnė (viršūnė

bukesnė) nei normaliojo skirstinio.

3.2. Laboratorinio darbo užduotis ir eiga

Šiam laboratoriniam darbui bus naudojama 2.1 duomenų lentelė. Toliau išvardinti

skaičiavimai atliekami visam pasirinktam laikotarpiui (pvz. 2000-2015 m.) kiekvienai eilutei

(pvz., Vokietijai, Belgijai ir iš viso pagal valstybes) atskirai:

12. Apskaičiuojamas sklaidos plotis, kvartilinis plotis, dispersija, standartinis nuokrypis ir

variacijos koeficientas. Suformuluojamos išvados.

13. Įvertinamas duomenų pasiskirstymas palyginant vidurkį, modą bei medianą.

Suformuluojamos išvados.

14. Įvertinamas duomenų pasiskirstymas apskaičiuojant asimetrijos bei eksceso

koeficientus. Suformuluojamos išvados.

Naudojamos MS Excel funkcijos:

VAR(...) – skaičiuojama dispersija.

STDEV(...) – skaičiuojamas standartinis nuokrypis.

SKEW(...) – skaičiuojamas asimetrijos koeficientas.

KURT(...) – skaičiuojamas eksceso koeficientas.

3.3. Laboratorinio darbo pavyzdys

Šiame laboratoriniame darbe bus toliau analizuojami tiesioginiai investuotojai metų

pabaigoje bendrai visose šalyse bei atskirai Belgijoje ir Vokietijoje 2005 – 2014 metų

laikotarpiu, t.y. naudojami 2.2 lentelės duomenys.

Siekiant tiksliau įvertinti investuotojų skaičiaus pasiskirstymą analizuojamu laikotarpiu bus

apskaičiuojami sklaidos matai: sklaidos plotis, kvartilinis plotis, dispersija, standartinis

nuokrypis ir variacijos koeficientas. Visi šie rodikliai bus apskaičiuoti remiantis atitinkamai 3.1,

3.2, 3.4, 3.5 ir 3.6 formulėmis, o gautos skaitinės reikšmės pateiktos 3.2 lentelėje.

3.2 lentelė. Investuotojų skaičiaus 2005-2014 m. sklaidos rodikliai

Sklaidos matas Iš viso pagal valstybes Belgija Vokietija

Sklaidos plotis 1117 21 42

Kvartilinis plotis 553 15 11

Dispersija 151538 64 136

Standartinis nuokrypis 389 8 12

Variacijos

koeficientas 10,4% 19,4% 2,7%

Bendras investuotojų skaičius 2005-2014 metų laikotarpiu svyravo 1117-os intervale,

Belgijos investuotojų skaičius – 21-o, o Vokietijos investuotojų skaičius – 42-jų intervale. Nors

Vokietijos investuotojų skaičius svyravo dvigubai didesniame intervale nei Belgijos investuotojų

skaičius, vis dėlto 50% viduriniųjų Vokietijos investuotojų variacinės eilutės narių svyravo jau

mažesniame, t.y. tik 11-os intervale, kai 50% viduriniųjų Belgijos investuotojų variacinės eilutės

narių svyravo 15-os intervale, t.y. pusės laikotarpių Vokietijos investuotojų skaičius mažiau

reikšmingai kito medianos atžvilgiu. Visų užsienio investuotojų bendrai skaičiaus kvartilinis

plotis, kaip ir Belgijos, sudarė apie pusę viso sklaidos pločio, kas reiškia, kad reikšmių sklaida

tarp kvartilių yra panaši. Bendras investuotojų skaičius vidutiniškai nuo vidurkio nukrypo 389

vienetais, Belgijos investuotojų skaičius – 8 vienetais, o Vokietijos – 12 vienetų.

Dauguma absoliučių sklaidos matų indikuoja, kad reikšmių sklaida Vokietijoje yra didesnė

nei Belgijoje, tik kvartilinis plotis rodo, kad Vokietijos atveju pusės visų reikšmių sklaida

medianos atžvilgiu yra mažesnė nei Belgijos atveju. Vis dėlto tiksliau, kurios šalies investuotojų

skaičius svyruoja labiau, parodo variacijos koeficientas. Jis rodo, kad mažiausiai per

analizuojamą laikotarpį svyravo Vokietijos investuotojų skaičius. Tuo tarpu Belgijos

investuotojų skaičius svyravo netgi daug labiau nei bendras visų šalių investuotojų skaičius.

Palyginus kiekvienos šalies medianą, modą ir aritmetinį vidurkį, galima nustatyti, ar šių

statistinių rodiklių reikšmės yra pasiskirsčiusios pagal normalųjį skirstinį. Moda ir mediana buvo

apskaičiuotos 2 laboratoriniame darbe, papildomai randamas aritmetinis vidurkis. Visos šios trys

skaitinės charakteristikos pateiktos 3.3 lentelėje.

3.3 lentelė. Investuotojų skaičiaus 2005-2014 m. aritmetinis vidurkis, moda ir mediana

Skaitinė

charakteristika

Iš viso pagal valstybes Belgija Vokietija

Moda - 49 440

Mediana 3838 41 440

Aritmetinis vidurkis 3728 41 440

Kaip rodo rezultatai, Vokietijos investuotojų skaičiaus moda, mediana ir aritmetinis

vidurkis visiškai sutampa, kas reiškia, kad duomenų pasiskirstymas yra simetrinis, t.y.

normalusis. Nors Belgijos investuotojų skaičiaus aritmetinis vidurkis ir mediana sutampa, tačiau

moda yra didesnė. Tai rodo, kad vyrauja kairioji asimetrija. Bendro visų šalių investuotojų

skaičiaus modos nėra, tačiau didesnė už vidurkį mediana rodo, kad ir čia vyrauja kairioji

asimetrija.

Duomenų pasiskirstymą galima įvertinti ir apskaičiuojant asimetrijos bei eksceso

koeficientus. Jų reikšmės pateiktos 3.4 lentelėje.

3.4 lentelė. Investuotojų skaičiaus 2005-2014 m. asimetrijos bei eksceso koeficientai

Koeficientai Iš viso pagal valstybes Belgija Vokietija

Asimetrijos -0,42 -0,14 1,35

Eksceso -1,04 -1,68 3,21

Nors aritmetinio vidurkio, medianos ir modos palyginimas rodo, kad Vokietijos

investuotojų skaičius yra simetriškai pasiskirstęs, vis dėlto tikslesni matai – asimetrijos ir

eksceso koeficientai – rodo nukrypimus nuo normaliojo skirstinio, t.y. vyrauja nedidelė dešinioji

asimetrija ir skirstinio kreivė yra statesnė nei normaliojo skirstinio. Gauti rezultatai patvirtina

bendro visų investuotojų skaičiaus ir Belgijos investutojų skaičiaus kairiąją asimetriją, o

neigiama eksceso koeficiento reikšmė rodo, kad skirstinio kreivė yra plokštesnė nei normaliojo

skirstinio.

4 LABORATORINIS DARBAS. PIRMINĖ LAIKO EILUČIŲ ANALIZĖ

Ketvirto laboratorinio darbo tikslas – atlikti pirminę laiko eilučių analizę, apskaičiuojant

įvairius analitinius rodiklius, nustatyti laiko eilutės kitimo tendenciją, parenkant tinkamiausią

būdą, bei prognozuoti būsimas laiko eilutės reikšmes.

4.1. Teorinės žinios

Laiko eilutės – tai tokios statistinės eilutės, kurios apibūdina reikšmių kitimą laike. Laiko

eilutės nariai yra žymimi yt, t.y. y1 yra pirmasis (anksčiausio laikotarpio), yn – paskutinis

(vėliausio laikotarpio) laiko eilutės narys.

Laiko eilutė gali būti analizuojama apskaičiuojant analitinius rodiklius:

absoliutų pokytį,

kitimo (didėjimo) tempą,

pokyčio (padidėjimo) tempą.

Priklausomai nuo palyginimo bazės, analitiniai rodikliai gali būti baziniai ir grandininiai.

Baziniai laiko eilutės rodikliai gaunami, kai palyginimo bazė pastovi (dažniausiai lyginama su

pirmuoju laiko eilutės nariu), grandininiai – kai palyginimo bazė kinta (lyginama su prieš tai

buvusiu laiko eilutės nariu).

Absoliutus pokytis – tai dviejų laiko eilutės narių skirtumas. Jis rodo, keliais vienetais

absoliučia išraiška padidėjo ar sumažėjo laiko eilutės vėlesnio laikotarpio reikšmė, lyginant su

ankstesnio laikotarpio reikšme. Turint daugiau nei dviejų laikotarpių duomenis, galima

apskaičiuoti ir bazinius, ir grandininius absoliučius pokyčius:

,

, (4.1)

čia y0 yra bazinio laikotarpio laiko eilutės reikšmė, dažniausiai y0 = y1.

Kitimo tempas arba didėjimo tempas yra dinamikos santykiniai dydžiai (Sd), skirti parodyti

tiriamo reiškinio kitimą laiko atžvilgiu. Jie išreiškiami koeficientu arba procentais. Jei santykis

yra didesnis už 2, rekomenduojama vertinti koeficientu (kartais), kitais atvejais – procentais.

Kitimo tempo koeficientas rodo, kiek kartų laiko eilutės vėlesnio laikotarpio reikšmė skiriasi nuo

ankstesnio laikotarpio reikšmės, o kitimo tempo procentas rodo, kokią ankstesnio (bazinio)

laikotarpio laiko eilutės reikšmės dalį sudaro vėlesnio (lyginamojo) laikotarpio laiko eilutės

reikšmė.

Šie santykiniai dydžiai gali būti apskaičiuojami baziniu ir grandininiu būdu:

arba

, (4.2)

arba

. (4.3)

Padidėjimo (pokyčio) tempų rodikliai skirti parodyti tiriamo reiškinio pakitimo greičiui.

Tai absoliutaus pokyčio ir baze pasirinktos laiko eilutės reikšmės santykis. Jis rodo, kiek

procentų (arba kartų) požymio reikšmė padidėjo ar sumažėjo vėlesniu laikotarpiu, palyginus su

baziniu. Pokyčio tempas skaičiuojamas:

arba

(4.4)

arba

(4.5)

Apibendrintai viso laikotarpio kitimui apibūdinti skaičiuojami apibendrinamieji

(vidutiniai) laiko eilučių kitimo rodikliai:

vidutinis lygis,

vidutinis absoliutus pokytis,

vidutinis kitimo tempas,

vidutinis pokyčio tempas.

Vidutinis lygis naudojamas reiškinio bendram lygiui apibūdinti per visą analizuojamą laiko

eilutės laikotarpį. Jo skaičiavimas priklauso nuo laiko eilutės tipo. Intervalinės laiko eilutės

vidutinis lygis apskaičiuojamas kaip paprastas aritmetinis vidurkis, momentinės laiko eilutės –

pagal chronologinio vidurkio formulę.

Vidutinis absoliutinis pokytis rodo, keliais vidutiniškai vienetais pasikeičia reiškinio

(požymio) reikšmė per laiko vienetą:

. (4.6)

Vidutinis didėjimo tempas ( ) bei vidutinis padidėjimo tempas ( ) atspindi bendrą

kitimo kryptingumą ir pokyčio intensyvumą. Rodiklio reikšmės virš vieneto (šimto proc.) rodo,

jog stebėtas rodiklio augimas, žemiau vieneto (šimto proc.) – jo mažėjimas. Jie apskaičiuojami

pagal formulę:

√

, √

. (4.7)

Tendencijos nustatymas. Socialiniai, ekonominiai ar kiti reiškiniai laikui bėgant kinta

netolygiai, todėl juos analizuojant svarbu nustatyti ne tik įvairius kitimo rodiklius, bet ir žinoti

bendrą reiškinio kitimo kryptį ir gauti jos modelį, kuris leistų įvertinti reiškinio reikšmę ateityje.

Reiškinio kitimo krypčiai bei tendencijai nustatyti praktikoje dažniausiai taikomi šie būdai:

slankiųjų vidurkių,

išlyginimas pagal absoliutinių pokyčių vidurkį,

išlyginimas pagal kitimo tempų vidurkį,

pagal trendą.

Slankiųjų vidurkių skaičavimo principai buvo aptarti 2 laboratoriniame darbe.

Išlyginimas pagal absoliutinių pokyčių vidurkį vykdomas pagal formulę:

. (4.8)

Išlyginimas pagal kitimo tempų vidurkį vykdomas pagal formulę:

. (4.9)

Aukščiau išvardinti būdai nustato tik bendrąją nagrinėjamo reiškinio kitimo kryptį, kuri iš

dalies dar priklauso ir nuo pasirinktos laiko eilučių vidurkių skaičiavimo metodikos. Analitinio

dinamikos eilutės išlyginimo būdo esmė ta, kad faktinės laiko eilutės reikšmės pakeičiamos

apskaičiuotais pagal lygtį tokios kreivės, kuri geriausiai atspindi tiriamo reiškinio vystymosi

tendenciją. Lygtis, išreiškianti reiškinio kitimą laike, vadinama trendu.

Pasirinkti tinkamą matematinę funkciją padeda grafinė laiko eilutės analizė, grandininių

absoliutinių pokyčių ir kitimo tempų apskaičiavimas. Praktikoje dažniausiai pasitaiko tokie

trendų tipai:

tiesinis trendas, kuris tinkamas, kai tiriamo reiškinio grandininiai absoliutiniai pokyčiai

per visą nagrinėjamą laikotarpį lieka beveik pastovūs:

, (4.10)

čia a, b – nežinomi parametrai, kurie paprastai įvertinami mažiausių kvadratų metodu.

hiperbolinis trendas, kuris tinkamas, kai grandininiai absoliutiniai pokyčiai yra

neigiami ir artėja prie nulio:

; (4.11)

antro laipsnio polinomas, naudojamas kai beveik pastovūs absoliutinių pokyčių

kvadratai arba pastovūs grandininiai pokyčio tempai:

, (4.12)

čia a, b, c – nežinomi parametrai.

rodiklinis trendas, naudojamas tada, kai beveik pastovūs grandininiai kitimo tempai:

; (4.13)

logaritminis trendas, naudojamas kai laiko eilutės rodiklių kitimo greitis mažėja:

. (4.14)

Labiausiai realiems duomenims tinkanti trendo funkcija, kaip ir išlyginimo pagal

absoliutinių pokyčių vidurkį ar išlyginimo pagal kitimo tempų vidurkį formulė, gali būti

naudojama prognozavimui. Patikimesnės yra trumpalaikės prognozės. Paprastai prognozuojamo

laikotarpio trukmė neturi viršyti 1/3 laiko eilutės ilgio.

Prognozuojamos reikšmės apskaičiuojamos pagal pasirinktą formulę vietoj t įstačius

prognozuojamo laikotarpio numerį. Pvz., jei turimi penkių metų, t.y. 2011-2015 m. eksporto

duomenys, tai eksportas 2016 m. prognozuojamas į pasirinktą formulę vietoj t įstačius 6.

Norint nustatyti, kaip apskaičiuotos pagal funkciją reikšmės atitinka realias reikšmes,

skaičiuojamos paklaidos. Bendram modelio tikslumui įvertinti gali būti skaičiuojamos:

absoliutinės paklaidos et:

, (4.15)

vidutinė aproksimacijos paklaida (MAPE):

∑ |

| . (4.16)

Laikoma, kad funkcija pakankamai tiksliai atspindi realių reikšmių kitimą, jei vidutinė

aproksimacijos paklaida neviršija 10%.

vidutinė absoliutinė paklaida (MAE):

∑ ; (4.17)

vidutinė kvadratinė paklaida (MSE):

∑

; (4.18)

vidutinis kvadratinės paklaidos nuokrypis (RMSE):

√ . (4.19)

Kuo šių rodiklių reikšmės didesnės, tuo blogesnė prognozavimo kokybė.

Modelio tikslumą taip pat parodo determinacijos koeficientas R2, kuris gali įgyti reikšmes

imtinai nuo 0 iki 1, ir parodo, kokia dalimi pagal trendo modelį apskaičiuotos reikšmės atitinka

realias laiko eilutės reikšmes. Modelis tuo tikslesni, kuo didesnė determinacijos koeficiento

reikšmė. Pvz. jei R2=0,8, tai reiškia, kad pagal trendo modelį apskaičiuotos reikšmės 80%

sutampa su realiomis laiko eilutės reikšmėmis, t.y. modelio tikslumas 80%.

4.2. Laboratorinio darbo užduotis ir eiga

Šiam laboratoriniam darbui bus naudojama 2.1 duomenų lentelė. Toliau išvardinti

skaičiavimai atliekami visam pasirinktam laikotarpiui (pvz. 2000-2015 m.) vienai pasirinktai (ne

suminei) eilutei (pvz., Vokietijai arba Belgijai):

15. Apskaičiuojami analitiniai rodikliai baziniu ir grandininiu būdu: absoliutiniai pokyčiai,

kitimo tempai ir pokyčio tempai. Suformuluojamos išvados.

16. Apskaičiuojami vidutiniai kitimo rodikliai: vidutinis absoliutinis pokytis, vidutinis

kitimo tempas ir vidutinis pokyčio tempas. Suformuluojamos išvados.

17. Apskaičiuoti slankiuosius vidurkius, kai glodinimo plotis yra 3. Atlikti prognozę

dviems periodams į priekį slankiųjų vidurkių metodu su prielaida, kad prognozei turi

įtakos trijų paskutinių laikotarpių rodiklio reikšmės.

18. Išlyginti laiko eilutę pagal absoliutinių pokyčių vidurkį ir šiuo būdu apskaičiuoti

prognozę dviems periodams į priekį.

19. Išlyginti laiko eilutę pagal vidutinį kitimo tempą ir šiuo būdu apskaičiuoti prognozę

dviems periodams į priekį.

20. Pavaizduoti slankiojo vidurkio, išlyginimo pagal absoliutinių pokyčių vidurkį ir

išlyginimo pagal vidutinį kitimo tempą būdais apskaičiuotas reikšmes grafiškai, jas

palyginant su realiomis reikšmėmis. Suformuluojamos išvados.

21. Išbandyti visas MS Excel leidžiamas trendo funkcijas ir išrinkti tiksliausią. Tam

nubraižomas linijinis grafikas ir lentelėje pateikiamos visų trendo funkcijų

determinacijos koeficientų reikšmės. Grafike atvaizduojamas tiksliausias modelis, jo

lygtis ir determinacijos koeficiento reikšmė. Suformuluojamos išvados. Pagal

tiksliausią modelį apskaičiuoti prognozę dviems periodams į priekį.

22. Palyginamas geriausio trendo modelio tikslumas su išlyginimo pagal vidutinį

absoliutinį pokytį modeliu bei išlyginimo pagal vidutinį kitimo tempą modeliu,

apskaičiuojant šių trijų modelių vidutines aproksimacijos paklaidas ir suformuluojamos

išvados įvardijant tiksliausią modelį.

Naudojamos MS Excel funkcijos:

ABS(...) – pateikiama absoliutinė skaičiaus (reiškinio) reikšmė, t.y. anuliuojamas ženklas

(minusas).

4.3. Laboratorinio darbo pavyzdys

Šiame laboratoriniame bus analizuojami tiesioginiai investuotojai metų pabaigoje

Vokietijoje 2005 – 2014 metų laikotarpiu, siekiant detaliau ištirti šio statisitnio rodiklio reikšmių

kitimą. Pirmiausiai apskaičiuojami analitiniai rodikliai baziniu ir grandininiu būdu: absoliutiniai

pokyčiai, kitimo tempai ir pokyčio tempai. Tam naudojamos 4.1 – 4.5 formulės, o gauti

rezultatai pateikti 4.1 lentelėje. Visi analitiniai rodikliai baziniu būdu apskaičiuoti pasirenkant

baze anksčiausius, t.y. 2005 m. Apskaičiuoti kitimo tempai išreikšti koeficientu, o pokyčio

tempas – procentais.

4.1 lentelė. Vokietijos tiesioginių investuotojų skaičiaus kitimo analitiniai rodikliai

Metai Vokietijos

tiesioginiai

investuotojai

Absoliutiniai

pokyčiai, apskaičiuoti

Kitimo tempai,

apskaičiuoti

Pokyčio tempas,

apskaičiuoti

baziniu

būdu

grandininiu

būdu

baziniu

būdu

grandininiu

būdu

baziniu

būdu

grandininiu

būdu

2005 467 - - - - - -

2006 440 -27 -27 0,94 0,94 -5,8% -5,8%

2007 425 -42 -15 0,91 0,97 -9,0% -3,4%

2008 443 -24 18 0,95 1,04 -5,1% 4,2%

2009 437 -30 -6 0,94 0,99 -6,4% -1,4%

2010 430 -37 -7 0,92 0,98 -7,9% -1,6%

2011 443 -24 13 0,95 1,03 -5,1% 3,0%

2012 428 -39 -15 0,92 0,97 -8,4% -3,4%

2013 440 -27 12 0,94 1,03 -5,8% 2,8%

2014 442 -25 2 0,95 1,00 -5,4% 0,5%

Neigiami absoliutiniai pokyčiai bei mažesni už 1 kitimo tempai, apskaičiuoti baziniu būdu,

rodo, kad visais 2006-2014 metais Vokietijos tiesioginių investuotojų mažėjo, lyginant su 2005

m. Kaip rodo pokyčio tempas, apskaičiuotas baziniu būdu, per dešimt metų Vokietijos

investuotojų skaičius sumažėjo 5,4%. Nepaisant to, investuotojų skaičiaus mažėjimas nebuvo

tolygus. Grandininiai absoliutiniai pokyčiai rodo, kad 2008 m., 2011 m., 2013 m. ir 2014 m.

Vokietijos tiesioginių investuotojų skaičius, lyginant su prieš tai buvusiais metais, augo

atitinkamai 18, 13, 12 ir 2 investuotojais. Tai atspindi atitinkamai 4,2%, 3,0%, 2,8% ir 0,5%

metinį augimą.

Vidutiniai kitimo rodikliai – vidutinis absoliutinis pokytis, vidutinis kitimo tempas ir

vidutinis pokyčio tempas – leidžia apibendrinti Vokietijos investuotojų skaičiaus kitimą per

analizuojamą laikotarpį. Vidutinis absoliutinis pokytis apskaičiuojamas pagal 4.6 formulę, o

vidutinis kitimo tempas ir vidutinis pokyčio tempas – pagal 4.7 formules:

,

√

,

.

Tai reiškia, kad Vokietijos investuotojų skaičius kasmet vidutiniškai mažėjo 3

investuotojais arba 1%.

Toliau bus siekiama nustatyti Vokietijos investuotojų skaičiaus kitimo tendenciją slankiųjų

vidurkių, išlyginimo pagal absoliutinių pokyčių vidurkį ir išlyginimo pagal vidutinį kitimo tempą

metodais. Slankiųjų vidurkių metodu, kai glodinimo plotis yra lygus 3, kaip ir likusiai dviem

minėtais būdais apskaičiuotos reikšmės, remiantis 2.7, 4.8 ir 4.9 formulėmis, pateikiamos 4.2

lentelėje. Pagal tas pačias formules atliekama ir tiesioginių investuotojų skaičiaus prognozė 2015

ir 2016 metams.

4.2 lentelė. Išlygintos pagal vidutinį absoliutinį pokytį, vidutinį kitimo tempą bei slankiojo

vidurkio metodu apskaičiuotos reikšmės

Metai t

Vokietijos

tiesioginių

investuotojų

skaičius Slankusis

vidurkis

Išlyginimas

pagal

absoliutinių

pokyčių

vidurkį

Išlyginimas

pagal vidutinį

kitimo tempą

2005 0 467 - 467 467

2006 1 440 444 464 464

2007 2 425 436 461 461

2008 3 443 435 459 459

2009 4 437 437 456 456

2010 5 430 437 453 453

2011 6 443 434 450 450

2012 7 428 437 448 447

2013 8 440 437 445 445

2014 9 442 - 442 442

2015 10 437 439 439

2016 11 440 436 437

Gautos reikšmės palygintos nubraižant linijines diagramas (4.1 pav.). Kaip matyti iš

rezultatų, reikšmės, išlyginus pagal vidutinį absoliutinį pokytį bei vidutinį kitimo tempą, iš esmės

sutampa. Vienetu skiriasi tik 2012 m. investuotojų skaičius. Atitinkamai labai panašios yra

gautos prognozės šiais metodais. Vis dėlto išlygintos reikšmės gerokai skiriasi nuo realių

reikšmių. Slankiuoju vidurkiu apskaičiuotos reikšmės yra daug artimesnės realioms reikšmėms,

dėl to, tikėtina, ir prognozė, gali būti patikimesnė. Slankiųjų vidurkių metodu prognozuojama,

kad 2015 m. bus 437, o 2016 m. – 440 Vokietijos tiesioginių investuotojų, t.y. šiek tiek mažiau

nei 2014 m.

4.1 pav. Išlygintų pagal vidutinį absoliutinį pokytį, vidutinį kitimo tempą bei slankiojo vidurkio

metodu apskaičiuotų reikšmių linijinės diagramos

Toliau bus siekiama surasti matematinę funkciją – trendo funkciją, kuri geriausiai aprašo

Vokietijos investuotojų skaičiaus kitimą analizuojamu laikotarpiu. Tam nubraižoma linijinė

diagrama ir naudojantis MS Excel parinktimi Add Trendline... išbandomos visos siūlomos

funkcijos (Pastaba: tam, kad grafike būtų pateikiama modelio išraiška ir determinacijos

koeficiento reikšmė atsidariusiame lange reikia varnele pažymėti parinktis Display Equation on

chart ir Display R-squared value on chart). Kiekvieno modelio determinacijos koeficiento (R2)

reikšmės pateiktos 4.3 lentelėje.

4.3 lentelė. Trendo modelių determinacijos koeficientų reikšmės

Trendo modelis Determinacijos koeficientas

Tiesinis modelis 0,1163

Eksponentinis modelis 0,1111

Logaritminis modelis 0,2978

Antro laipsnio polinomas 0,4575

Trečio laipsnio polinomas 0,5665

Rodiklinis modelis 0,2883

Iš rezultatų matyti, kad geriausiai realius duomenis aprašo trečio laipsnio polinomas, kurio

tikslumas siekia beveik 57%. Realių reikšmių ir pagal šį modelį apskaičiuotų reikšmių grafikai

pateikti 4.2 pav.

4.2 pav. Realių reikšmių ir pagal trečio laipsnio polinomą apskaičiuotų reikšmių grafikai

Pagal šį modelį prognozuojamos 2015 ir 2016 metų Vokietijos investuotojų skaičius bus

randamos į modelį vietoj x, kuris atitinka laiko momentą t įstačius prognozuojamo laikotarpio

numerį, t.y. 11 ir 12 (Pastaba: jei išlyginimo pagal vidutinį absoliutinį pokytį ar vidutinį kitimo

tempą pirmasis laikotarpis yra prilyginamas t=0, tai trendo modeliuose, jis yra t=1):

y2015 = -0,208∙113 + 4,3228∙11

2 - 26,939∙11 + 484,17 = 434

y2016 = -0,208∙123 + 4,3228∙12

2 - 26,939∙12 + 484,17 = 424

Akivaizdu, kad šiuo metodu prognozuojamas Vokietijos investuotojų skaičius yra

mažesnis nei ankstesniais metodais prognozuotas. Jei 2015 m. prognozė skiriasi dar nedaug (3

vienetais, lyginant su prognoze slankiojo vidurkio metodu), tai 2016 m. prognozė skiriasi jau

labiau (16 vienetų, lyginant su prognoze slankiojo vidurkio metodu).

Kadangi anksčiau aptartų modelių – slankiųjų vidurkių, išlyginio pagal vidutinį absoliutinį

pokytį ir išlyginimo pagal vidutinį kitimo tempą – determinacijos koeficientas nėra

skaičiuojamas, tai siekiant palyginti šių modelių tikslumą su trečio laipsnio polinomo

tikslumu,bus analizuojamos visų šių modelių paklaidos, apskaičiuojant vieną iš santykinių

rodiklių – vidutinę aproksimacijos paklaidą (MAPE) pagal 4.16 formulę. Gauti rezultatai pateikti

4.4 lentelėje.

4.4 lentelė. Vidutinės aproksimacijos paklaidos Metai Vokie-

tijos

tiesio-

ginių

inves-

tuoto-

jų skai-

čius

Prognozuojamas tiesioginių investuotojų skaičius

pagal atitinkamą metodą

Atitinkamo modelio santykinės paklaidos

|

|

Slanku-

sis

vidurkis

t

Išlygini-

mas

pagal

absoliu-

tinių

pokyčių

vidurkį

Išlygini-

mas

pagal

vidutinį

kitimo

tempą t

Trečio

laipsnio

polino-

mas

Slanku-

sis

vidurkis

Išlygini-

mas

pagal

absoliu-

tinių

pokyčių

vidurkį

Išlygini-

mas

pagal

vidutinį

kitimo

tempą

Trečio

laipsnio

polino-

mas

2005 467 0 467 467 1 461 0 0 0,0121

2006 440 444 1 464 464 2 446 0,0091 0,0551 0,0549 0,0135

2007 425 436 2 461 461 3 437 0,0259 0,0858 0,0855 0,0274

2008 443 435 3 459 459 4 432 0,0181 0,0354 0,0350 0,0242

2009 437 437 4 456 456 5 432 0,0008 0,0432 0,0428 0,0125

2010 430 437 5 453 453 6 433 0,0155 0,0537 0,0534 0,0075

2011 443 434 6 450 450 7 436 0,0211 0,0166 0,0162 0,0156

2012 428 437 7 448 447 8 439 0,0210 0,0457 0,0454 0,0253

2013 440 437 8 445 445 9 440 0,0076 0,0109 0,0107 0,0005

2014 442 9 442 442 10 439 0 1,3E-16 0,0067

MAPE 1,49% 3,46% 3,44% 1,45%

Nors visų keturių analizuojamų modelių vidutinės aproksimacijos paklaidos neviršija 10%

ir galima laikyti, kad visi jie pakankamai tiksliai atspindi realių reikšmių kitimą, vis dėlto

tiksliausias modelis yra trečio laipsnio polinomas. Jo vidutinė aproksimacijos paklaida lygi

1,45%. Nedaug skiriasi ir slankiojo vidurkio vidutinė aproksimacijos paklaida. Iš viso to

išplaukia, kad labiausiai tikėtina, jog 2015 ir 2016 metais Vokietijos investuotojų skaičius

sumažės atitinkamai iki 434 ir 424.

5 LABORATORINIS DARBAS. KORELIACINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ

Penkto laboratorinio darbo tikslas – įvertinti ryšio tarp dviejų rodiklių stiprumą, rasti jį

geriausiai aprašančią funkciją bei suformuluoti atitinkamas išvadas.

5.1. Teorinės žinios

Visi socialiniai-ekonominiai reiškiniai tarpusavyje yra glaudžiai susiję, todėl norint pažinti

juos ir nustatyti jų vystymosi dėsningumus, jie nagrinėjami ne atskirai, o kartu. Pvz., nustatant

žemės ūkio kultūrų derlingumą, reikia atsižvelgti į žemės kokybės, naudotų trąšų, sėjos laiko ir

kitus veiksnius. Todėl vienas svarbiausių statistikos uždavinių yra analizuoti ir kiekybiškai

įvertinti egzistuojančius ryšius tarp reiškinių ir nustatyti jų sąveikos laipsnį (stiprumą).

Reiškinių tarpusavio ryšiams nustatyti statistikoje naudojama keletas metodų, iš kurių

pagrindiniai:

grafinis metodas;

koreliacijos koeficientas.

Nustatant reiškinių tarpusavio ryšius grafiniu būdu, braižoma sklaidos diagrama,

koordinačių sistemos horizontalioje ašyje atidedant faktorinio požymio (žymimo x) reikšmes, o

vertikalioje ašyje – rezultatinio požymio (žymimo y) reikšmes (1 pav.). Kai dauguma taškų

išsidėsto siaura linija iš apačios į dešinės pusės viršų, ryšiai yra tiesioginiai ir gana stiprūs.

Daugumai taškų išsidėsčius tiese iš viršaus į apačią (dešinėje), ryšiai yra atvirkštiniai. Kai

dauguma taškų išsidėsto visoje koordinačių sistemoje, tai ryšių visai nėra, arba jie labai silpni.

5.1 pav. Sklaidos diagramos pavyzdys

Šis metodas leidžia nustatyti, ar yra ryšys tarp reiškinių, bei koks jis – tiesinis ar

atvirkštinis, bet negalima nustatyti ryšio stiprumo bei matematinės išraiškos. Tuo tarpu

koreliacijos koeficientas nusako tiek ryšio tipą, tiek jo stiprumą. Paprastai skaičiuojamas Pirsono

koreliacijos koeficientas, kuris įvertina tiesinio ryšio stiprumą:

∑

. (5.1)

Koreliacijos koeficientas kinta nuo –1 iki +1. Jei koreliacijos koeficientas teigiamas, tai

ryšiai tarp nagrinėjamų reiškinių yra tiesioginiai, o jeigu neigiamas – atvirkštiniai. Kuo

koreliacijos koeficientas artimesnis |±1|, tuo ryšiai yra stipresni, ir kuo labiau koreliacijos

koeficientas artėja prie 0, tuo ryšiai silpnesni.

Koreliacijos koeficientas įvertina tik tiesinio ryšio stiprumą, t.y. jei koreliacijos

koeficientas yra artimas |1|, vadinasi tarp analizuojamų požymių yra tiesinis ryšys, o jei

koreliacijos koeficientas yra artimas |0|, vadinasi tarp analizuojamų požymių tiesinio ryšio nėra,

bet gali egzistuoti netiesinis ryšys.

Jei tarp analizuojamų požymių nustatomas koreliacinis ryšys, naudinga priklausomybę

išreiškti analitiškai, pasirenkant reiškinio esmę atitinkantį matematinės funkcijos tipą –

regresijos modelį:

tiesinį modelį, kuris taikomas, kai faktoriniam požymiui kintant vienodais intervalais,

rezultatinis požymis irgi kinta proporcingai:

, (5.2)

hiperbolinį modelį, kuris tinkamas, kai tarp požymių yra atvirkštinė priklausomybė:

; (5.3)

antro laipsnio polinomą, naudojamas kai, tolygiai didėjant faktorinio požymio

reikšmėms, rezultatinio požymio reikšmės didėja arba mažėja sparčiau:

, (5.4)

rodiklinį modelį, naudojamas kai, tolygiai didėjant faktorinio požymio reikšmėms,

rezultatinio požymio reikšmės didėja arba mažėja dar sparčiau:

; (5.5)

čia a, b, c – nežinomi parametrai, kurie dažniausiai vertinami mažiausių kvadratų metodu.

Kaip ir trendo modelio atveju, taip ir regresijos modelio tikslumą įvertina determinacijos

koeficientas bei paklaidos (MAPE, RMSE ir kt.). Regresijos modelis tuo tikslesnis, kuo

paklaidos mažesnės, o determinacijos koeficientas artimesnis 1.

Lygiai taip pat regresijos modelis gali būti naudojamas reiškinio reikšmių prognozavimui,

vietoj x įstačius konkrečią jo skaitinę reikšmę. Taip randama prognozuojama y reikšmė prie

duotosios faktorinio požymio reikšmės.

5.2. Laboratorinio darbo užduotis ir eiga

Šiam laboratoriniam darbui bus naudojama 2.1 duomenų lentelė, pasirenkant dvi jos

eilutes. Rekomenduojama rezultatiniu požymiu imti suminę eilutę (pvz., iš viso pagal valstybes),

o faktoriniu – vieną iš likusiųjų dviejų, kuris buvo analizuotas 4 laboratoriniame darbe (pvz.,

Vokietija). Toliau atliekami šie skaičiavimai:

23. Nubraižoma sklaidos diagrama ir apskaičiuojamas koreliacijos koeficientas bei

suformuluojamos išvados.

24. Išbandyti visus MS Excel leidžiamus regresijos modelio tipus ir išrinkti tiksliausią.

Tam lentelėje pateikiamos visų modelių determinacijos koeficientų reikšmės.

Suformuluojamos išvados.

25. Pagal geriausią regresijos modelį prognozuoti rezultatinio požymio reikšmes,

pasirenkant 4 laboratoriniame darbe prognozuotas faktorinio požymio reikšmes pagal

nustatytą geriausią trendo modelį.

Naudojamos MS Excel funkcijos:

CORREL(...) – apskaičiuojamas Pirsono koreliacijos koeficientas.

5.3. Laboratorinio darbo pavyzdys

Šiame laboratoriniame darbe bus tiriama, ar yra ryšys tarp Vokietijos investuotojų

skaičiaus ir bendro visų šalių investuotojų skaičiaus, t.y. Vokietijos investuotojų skaičius bus

faktorinis dydis, o bendras visų šalių investuotojų skaičius – rezultatinis.

Ryšys tarp dviejų rodiklių preliminariai gali būti įvertintas nubraižant sklaidos diagramą. Ji

pateikta 5.2 pav. Iš taškų išsidėstymo galima spręsti, jog vyrauja silpna neigiama priklausomybė

tarp bendro visų šalių investuotojų skaičiaus ir Vokietijos investuotojų skaičiaus, t.y. taškus

galima aproksimuoti kreive, artima tiesei, kuri eis iš kairės į dešinę su nedideliu nuolydžiu

žemyn.

5.2 pav. Bendro visų šalių investuotojų skaičiaus ir Vokietijos investuotojų skaičiaus sklaidos

diagrama

Tiksliau ryšio stiprumą nusako koreliacijos koeficientas. Jis apskaičiuojamas panaudojant

MS Excel funkciją correl(...). Gauta skaitinė reikšmė lygi -0,29 ir patvirtina anksčiau

suformuluotas išvadas, t.y. neigiama koreliacijos koeficiento reikšmė rodo atvirkštinę

priklausomybę tarp bendro visų šalių investuotojų skaičiaus ir Vokietijos investuotojų skaičiaus

(Vokietijos investuotojų skaičiui mažėjant bendras visų šalių investuotojų skaičius auga), o

sąlyginai artima 0 koeficiento reikšmė rodo silpną tiesinę priklausomybę tarp analizuojamų

rodiklių.

Toliau bus siekiama surasti funkciją – regresijos modelį, kuris geriausiai aprašo ryšį tarp

bendro visų šalių investuotojų skaičiaus ir Vokietijos investuotojų skaičiaus. Tam vėl naudojama

MS Excel parinktis Add Trendline... Visų siūlomų modelių determinacijos koeficientų reikšmės

pateiktos 5.1 lentelėje.

5.1 lentelė. Regresijos modelių determinacijos koeficientų reikšmės

Trendo modelis Determinacijos koeficientas

Tiesinis modelis 0,0862

Eksponentinis modelis 0,1003

Logaritminis modelis 0,0811

Antro laipsnio polinomas 0,3404

Trečio laipsnio polinomas 0,3453

Rodiklinis modelis 0,0949

Iš rezultatų matyti, kad nei vienas modelis nėra tikslus. Geriausiai realius duomenis aprašo

trečio laipsnio polinomas, kurio tikslumas siekia tik 34,5%. Realių reikšmių ir pagal šį modelį

apskaičiuotų reikšmių grafikai pateikti 5.3 pav.

5.3 pav. Realių reikšmių ir pagal trečio laipsnio polinomą apskaičiuotų reikšmių grafikai

Remiantis šiuo modeliu galima prognozuoti bendrą investuotojų skaičių 2015 ir 2016

metams. Tam reikalingas tų metų Vokietijos investuotojų skaičius, kuris buvo prognozuotas 4

laboratoriniame darbe. Taigi, jei Vokietijos investuotojų skaičius 2015 m. bus 434, o 2016 m. jis

nukris iki 424, tai atitinkamai bendras investuotojų skaičius, prognozuojamas pagal trečio

laipsnio polinomą, bus:

y2015 = 0,032119∙4343 – 43,951372∙434

2 + 20014,296776∙434 – 3029488 = 3856,

y2016 = 0,032119∙4243 – 43,951372∙424

2 + 20014,296776∙424 – 3029488 = 3469.

Taigi, trečio laipsnio polinomu prognozuojama, kad bendras investuotojų skaičius 2015 ir

2016 metais taip pat sumažės atitinkamai iki 3856 ir 3469.

NAUDOTA LITERATŪRA

Bartosevičienė V. Ekonominės statistikos pagrindai. Mokomoji knyga. Kaunas:

Technologija, 2010

Mark L. Berenson, David M. Levine. Statistics for business & economics.