KSPONEN

1. Pengertian Eksponen

Bentuk an (baca : a pangkat n) disebut bentuk eksponensial atau perpangkatan dengan a disebut

basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.

Jika n adalah bilangan bulat positif, maka :

Berdasarkan penjelasan di atas maka berlaku rumus-rumus di bawah ini :

Misalkan dan m,n adalah bilangan positif, maka:

Contoh:

Ubahlah bentuk ini dalam bentuk pangkat positif :

Jawab:

2. Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Fungsi eksponen merupakan pemetaan bilangan real x ke ax dengan a > 0 dan Jika a > 0

dan , maka disebut fungsi eksponen

mempunyai sifat-sifat :

(i) Kurva terletak di atas sumbu x (definit positif)

(ii) Mempunyai asimtot datar y = 0 (sumbu x )

(iii) Monoton naik untuk a > 1

(iv) Monoton turun untuk 0 <>

Grafik fungsi eksponen y = ax

(i) y = ax : a > 1

1. TINJAUAN ULANG SIFAT-SIFAT EKSPONEN

Kita masih ingat bahwa eksponen rasional am/n

( a є R dan a > 0, m bilangan bulat, dan n

bilangan asli lebih dari 1 ) didefinisikan sebagai berikut :

am/n

= ( n√ a )

m =

n√a

m

Sifat- sifat eksponen bilangan real :

Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan :

1. ax x a

y = a

x+y

2. ( a x b )x = a

x x b

x

3. ax : a

y = a

x-y

4. ( a : b )x = a

x : b

x

5. ( ax )

y = a

x × y

6. (i) a-x

= 1/ ax

(ii) ax = 1/ a

-x

2. FUNGSI EKSPONEN

Definisi :

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai

bentuk umum :

f : x ax atau y = f(x) = a

x, a > 0 dan a ≠ 1

disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.

C. PERSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan

tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat

1. am

x an = a

m+n

2. (am

)n = (a)

mn

3. am

/an = a

m-n

4. (a x b )n = a

n x b

n

5. (a/b)n = a

n/b

n

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :

a. am/n

. ap/q

= am/n

+ p/q

b. (am/n

)p/q

= amp/nq

c. am/n

: ap/q

= am/n – p/q

d. (ab)m/n

= am/n

. bm/n

e. (a/b)m/n

= am/n

/bm/n

3. Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !

Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x :

8 = 2x atau 2

x = 8 atau 2

x = 2

3

Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen.

Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. af(x)

= 1

b. af(x)

= ap

c. af(x)

= ag(x)

d. af(x)

= bf(x)

e. af(x)

= bg(x)

f. [f(x)]f(x)

= [f(x)]g(x)

a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.

f(x) dan g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan

eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan

pangkat nol (a0).

Pengertian pangkat nol

Untuk setiap a є bilangan real, maka :

a0 = 1

Keterangan : untuk 00 tidak didefinisikan.

4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen

1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x)

= 1

Jika af(x)

= dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0

2. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk af(x)

= ap

Jika af(x)

= ap dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p

3. Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk af(x)

= ag(x)

Jika af(x)

= ag(x)

dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)

d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk af(x)

= bf(x)

(a≠b)

Jika af(x)

= bf(x)

dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0

e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk af(x)

= bg(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x)

= bg(x)

dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat

diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :

af(x)

= log bg(x)

atau f(x) log a = g(x) log b

f. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]f(x)

= [U(x)]g(x)

Jika [U(x)]f(x)

= [U(x)g(x)

] maka nlai x diperoleh dari :

1. f(x) = g(x)

2. U(x) = 1

3. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0

4. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-

duanya genap.

g. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{af(x)

}2 + B{a

f(x)} + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)

}2 + B{a

f(x)} + C = 0 (a>0 dan

a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara mengubah

persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung

peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan

sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)

Jika af(x)

≥ag(x)

, maka f(x)≥g(x)

Jika af(x)

≤ag(x)

, maka f(x)≤g(x)

Sifat Fungsi Monoton Turun (0<1)

Jika af(x)

≥ag(x)

, maka f(x)≤g(x)

Jika af(x)

≤ag(x)

, maka f(x)≥g(x)

Bentuk Pertidaksamaan Eksponen

Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan

eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah

pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.

af(x

)… a

g(x)

Keterangan :

a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1

tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Sederhanakanlah :

1. 251/3√6 x 251/6√6

Pembahasan :

251/3√6 x 251/6√6 = 251/3√6 + 1/6√6

= 25½ √6

= (25½)√6

= 5√6

2. (303 : 103) x 32

Pembahasan :

(303 : 103) x 32 = 33 x 32

= 35

3. (p6 x p-2)-0,5

Pembahasan :

(p6 x p-2)-0,5 = (p6 – 2)-1/2

= p-2

Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen

berikut.

4. 3 x - 4 = 1

Pembahasan :

3x - 4 = 1

↔ 3x - 4 = 30

↔ x – 4 = 0

↔ x = 4

Hp = {4}

5. 23x – 1 = √8 x + 1

Pembahasan :

23x – 1 = √8x + 1

↔ 23x – 1 = 23x + 3

↔ 3x – 1 = 3x + 3

↔ .6x – 2 = 3x + 3

↔ 3x = 5

↔ x = 5/3

Hp = {5/3}

6. 23x – 6 = 33x – 6

Pembahasan :

23x – 6 = 33x – 6

↔ 3x – 6 = 0

↔ x = 2

Hp = {2}

7. 2 x -2x -15 =1

Pembahasan :

2x2 -2x -15 = 1

x2 -2x – 15 = 0

(x -5)(x +3) = 0

x1 = 5 atau x2 = -3

Hp = {5,-3}

8. 3x – 6x + 8 = 5x -6x +8

Pembahasan :

3x -6x + 8 = 5 x2 – 6x + 8

↔ x2 – 6x + 8 = 0

↔ (x - 2)(x - 4) = 0

↔ x = 2 atau x = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

9. 22x -12 . 2x + 32 = 0

Pembahasan :

22x – 12 . 2x + 32 = 0

(2x)2 – 12 . (2x) + 32 = 0

Misalkan 2x = y, maka persamaan (2x)2 – 12 . (2x) + 32 = 0 dapat

dituliskan menjadi

y2 – 12y + 32 = 0

↔ (y – 4)(y – 8) = 0

↔ y = 4 atau y = 8

untuk y = 4, didapat

2x = 4

↔ 2x = 22

↔ x = 2

untuk y = 8, didapat

2x = 8

↔ 2x = 23

↔ x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}

(i) y = ax 0 <>

Contoh: Buatlah grafik dari y = 2

x!

Jawab:

Buatlah tabel yang menunjukkan hubungan antara x dan y = f (x) = 2x . Dalam hal ini pilih nilai

x sehingga y mudah ditentukan.

3. Persamaan fungsi Eksponen Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, diantaranya adalah:

- F ( x ) = 1

- Untuk f(x) 0 dan f(x) 1, maka f(x) = g(x)

- f ( x ) = -1 asalkan f (x) dan g (x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil,

- f ( x ) = 0 asalkan f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0

Contoh :

Tentukan nilai x supaya

Jawab:

4. Pertidaksamaan Eksponen

1. f ( x ) > g ( x ), 0 > 1

2. f ( x ) <>

Contoh:

Himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan adalah....

Jawab:

Jadi HP = { x | x > 2 }

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas,

yang akan terlihat sebagai berikut: xy. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis

eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti 23.

Bilangan x disebut bilangan pokok, dan bilangan y disebut eksponen. Sebagai contoh, pada 23,

2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.

Untuk menghitung 23 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga

. Hasilnya adalah . Apa yang dikatakan persamaan bisa juga

dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

1

x = 1 untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan

a2. Sehingga

x2 adalah persegi dari x

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan a3.

Sehingga

x3 adalah kubik x

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga:

Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan

menghitung pangkat. Sebagai contoh:

Jika eksponen sama dengan hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga

Contoh:

Dengan cara yang sama, jika eksponen hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

Jika eksponen merupakan bilangan rasional , hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang

dipangkatkan p, sehingga:

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang

tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (xi), yang

limitnya adalah x:

seperti ini:

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

: Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0,

jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak

terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh:

.