Ekstra - 4_Mjere Varijabiliteta Vježbe

7/26/2019 Ekstra - 4_Mjere Varijabiliteta Vjebe

1/7

Zdravstveno veleuilite u Zagrebu Vjebeiz statistike

1

MJERE VARI JABIL I TETA

Ako elimo dobiti cijelu sliku o prirodi rezultata prikupljenih u istraivanju, nisu nam

dovoljni samo podaci o mjerama centralne tendencije, ve nam trebaju i podaci o varijabilitetu.

Pojam varijabiliteta vezan je uz rasprenost rezultata koje smo dobili u nekom istraivanju u odnosu

na mjeru centralne tendencije. Naime, to su vrijednosti nekog niza mjerenja meusobno slinije i

gue grupirane oko srednje vrijednosti onda nam ta srednja vrijednost to bolje reprezentira te

rezultate, jer je ona tada slinija rezultatima koje predstavlja. Ako smo npr. u istraivanju u

promatranoj pojavi (npr. dob u godinama) dobili sve jednake rezultate, (ispitanici su nam djeca koja

su sva stara 10 godina), onda varijabiliteta niti nema. No, ako su rezultati jako raspreni,

meusobno prilino razliiti, pa su zato slabo grupirani oko neke mjere centralne tendencije, onda

nam ona slabo reprezentira te rezultate.

Po samoj vrijednosti aritmetikesredine ne moemo znati na koji nain se rezultati grupiraju

oko te aritmetike sredine, te nam je stoga vaan podatakkako i koliko se oni grupiraju tj. je li nam

dobivena aritmetika sredina dobar ili lo reprezentant naih rezultata. Postoji vie mjera

varijabiliteta, a mi emo raditi tri najpoznatije: raspon, standardnu devijaciju i koeficijent relativnog

varijabiliteta.

RASPON

Raspon je najjednostavnija i najnepreciznija mjera grupiranja rezultata oko neke srednje

vrijednosti jer je to ustvari razlika izmeunajveeg i najmanjeg rezultata. Stoga je vrlo nesigurna

mjera jer bilo koji osamljeni ekstremni rezultat znatno poveava raspon, a da se grupiranje rezultataoko aritmetike sredinemoda i nije bitno promijenilo.

Osim toga, nedostatak mu je i taj to njegova veliina ovisi i o broju mjerenja: to je vei broj

mjerenja neke pojave, to e i raspon vjerojatno biti vei. Ako mjerimo visinu studenata na

Zdravstvenom veleuilitu i na jednim vjebama obuhvatimo 30 studenata radne terapije II godine,

sasvim je izvjesno da e raspon visina u toj skupini biti manji nego u skupini svih studenata

Veleuilita.


2/7


2

STANDARDNA DEVI JACI JA

Standardna devijacija (SD ili ) standard je za mjerenje varijabiliteta rezultata. Standardna

devijacija smije se raunati samo uz aritmetiku sredinu, a ne i uz druge mjere centralne tendencije(dakle ne ni uz C, ni uz D). Pri izraunu uzima se svaki rezultat u obzir, kao i kod raunanja

aritmetike sredine, pa je stoga preciznija mjera varijabiliteta.

Mogue ju je izraunati pomou dvije formule:

1

)( 2

N

Xx

SD X ili1N

N

)X(X

SD

2

2

Rezultat bi, naravno, trebao biti jednak bez obzira na to kojom smo se formulom posluili. Postupak

za standardnu devijaciju najpreglednije je raditi u nastavku distribucije frekvencija, tablice koja

nam je temelj za grafiki prikaz. U primjeru koju je nie naveden, osim preko tablice s

frekvencijama, imamo mogunost izrauna SD tako da doslovno od svakog rezultata koji nam se

pojavljuje oduzimamo aritmetiku sredinu, i sve to ispisujemo u brojniku ispod drugog korijena.

No, takav nain je prilino nepregledan i lako se potkradu raunske pogreke. Studentima ga ipak

pokazujemo kako bi lake shvatili logiku standardne devijacije.

KOEFI CIJENT VARIJABI LNOSTI il i KOEFI CIJENT

RELATIVNOG VARI JABI LI TETA

Svrha mu je omoguiti usporedbu varijabiliteta kod istih pojava na razliitim skupinama, ili kod

razliitih pojava na istoj skupini jer standardnu devijaciju izraava u obliku postotka aritmetike

sredine.

%

ZADACI

1)Za slijedei niz podataka:

a)napravite distribuciju frekvencija

X

100SDV


3/7


3

b)utvrdite mjere centralne tendencije ( X , C, D)

c)utvrdite mjere varijabiliteta (raspon, SD, V)

x: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Poredajmo rezultate po veliini X: 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18

X =N

X= 9

8

72

8

189898839

D1= 8; D2= 9

C= 8.5

R= 18 - 3 = 15

XSDx X

N

( )2

1

18

)918()99()98()99()98()98()93()99( 22222222

14,4143,177

120

Znatno pregledniji nain jest raunanje standardne devijacije preko distribucije frekvencija:

x f x-X (x-X f(x-X

3 1 -6 36 36

8 3 -1 1 3

9 3 0 0 0

18 1 9 81 81

=8 =120

Ako elimo raunati pomou druge formule, tablica e izgledati ovako:

x f fx X f X

3 1 3 9 9

8 3 24 64 192

9 3 27 81 243

18 1 18 324 324

72 768

722=5184


4/7


4

14.414.17

7

120

7

648768

7

8

5184768

1N

N

)X(X

SD

2

2

%46=9

10014.4=V

Ovdje su navedeni svi koraci po stupcima kako bi studentima bilo jasno to se radi, ali za bre

izraunavanje mogue je preskoiti ispisivanje pojedinog stupca, te tako ubrzati rad. Kad ve u

kalkulatoru imate razliku pojedinog rezultata od aritmetike sredine, dobro je odmah ga kvadrirati, i

odmah potom ga pomnoiti s pripadajuom frekvencijom.

Ako raunate pomou druge formule, mogue je preskoiti trei stupac. Njegova suma je

zbroj svih rezultata, a do te vrijednosti smo ve doli kad smo raunali aritmetiku sredinu.

2)Za 10 studenata koji su izali na mjeseni rok iz Osnova zdravstvene statistike imamo navedene

bodove postignute na ispitu. Za taj niz podataka napravite:

a)distribuciju frekvencija,

b)izraunajte X ,

c) izraunajte mjere varijabiliteta - raspon i SD

19, 19.5, 18, 18.5, 19, 19, 18.5, 20, 19.5, 19

19=10

190=X ; R= 20-18 =2

x f x-X (x-X f (x-X x fx

18 1 1 1 1 324 324

18.5 2 0.5 0.25 0.5 342.25 684.519 4 0 0 0 361 1444

19.5 2 0.5 0.25 0.5 380.25 760.5

20 1 1 1 1 400 400

10 3 3613

XSDx X

N

( )2

1

577.033,09

3SD


5/7


5

1N

N

)X(X

SD

2

2

.57 7.09

3

9

10

361003613

3)Za sljedei niz podataka napravite: a) distribuciju frekvencija

b) izraunajte X , R i SD

x: 5, 8, 3, 1, 6, 5, 4, 6, 4, 5, 2, 5.

x f x-X (x-X f(x-X x2 fx

2

1 1 -3.5 12.25 12.25 1 1

2 1 -2.5 6.25 6.25 4 4

3 1 -1.5 2.25 2.25 9 9

4

5

6

8

2

4

2

1

-0.5

0.5

1.5

3.5

0.25

0.25

2.25

12.25

0.50

1.00

4.50

12.25

16

25

36

64

32

100

72

64

12 39.00 282

5,4=12

54=X 883.154545,3

11

39SD R= 8-1 = 7

883.1=54545,3=11

39=

11

243-282=

11

12

2916-282

=SD


6/7


6

PRIMJER PRIMJENE

KOEFICIJENTA RELATIVNOG VARIJABILITETA

Recimo da smo na dvije skupine ispitanika mjerili istu varijablu (npr. inteligenciju), te smo

dobili jednake aritmetike sredine, ali razliite standardne devijacije. Ako elimo utvrditi u kojoj

skupini ova varijabla vie varira, dovoljno je usporediti standardne devijacije: vea standardna

devijacija ukazuje na vei varijabilitet. Kada to provjerimo pomou koeficijenata relativnog

varijabiliteta, zakljuak e biti isti. No, u ivotu rijetko kada dobivamo jednake aritmetike sredine,

ak i kada mjerimo istu varijablu, a onda je znatno tee procijeniti u kojoj skupini gdje je vei

varijabilitet.

1X = 100

SD1= 15

%15=100

15100=

X

SD100=V1

2X = 100

SD2= 7

%7=100

7100=

X

SD100=V

2

Pogledajmo zato sljedei primjer. Recimo da smo mjerili neku finu motoriku vjetinu na

prvoj skupini za koju imamo podatke o inteligenciji. Zanima nas varira li na istim ispitanicima vie

inteligencija ili fina motorika vjetina. Ako promatramo samo standardne devijacije, zakljuili bi

da vie varira inteligencija jer ta SD iznosi 15, za razliku od motorike vjetine gdje je SD 6. No,

takav zakljuak nije toan, jer treba promatrati veliinu standardne devijacije s obzirom na

aritmetiku sredinu uz koju se vee. To nam omoguava koeficijent relativnog varijabiliteta, pa nam

tako i ukazuje da je varijabilitet motorike vjetine 30%, dakle vei nego kod inteligencije gdjeiznosi 15%.

3X = 20

SD3= 6

%30=20

6100=

X

SD100=V

3

Iako je trea SD najmanja, trea varijabla najvie varira, to se vidi iz koeficijenta relativnog

varijabiliteta.


7/7


7

PONOVIMO:

Mjere varijabiliteta govore nam o razliitosti rezultata, odnosno u kojoj mjeri pojedina mjera

centralne tendencije dobro reprezentira svoje rezultate.

Mjere varijabiliteta koje smo radili su raspon, standardna devijacija i koeficijent relativnog

varijabiliteta.

Raspon je najjednostavnija, ali i prilino nepouzdana mjera varijabiliteta jer ovisi samo odva krajnja rezultata.

Standardna devijacija rauna se samo uz aritmetiku sredinu i promatra koliko je svaki

pojedini rezultat udaljen od aritmetike sredine.

Koeficijent relativnog varijabiliteta koristimo kada elimo usporediti varijabilitete, aaritmetike sredine nam se razlikuju (usporeujemo dvije razliite pojave na istim ljudima

ili jednu varijablu na razliitim skupinama).

LITERATURA:

1. Howell, D.C. (1989) Fundamental Statistics for the Behavioral Sciences. Boston: PWS Kent

Publishing Company.

2. Petz, B. (1997) Osnovne statistike metode za nematematiare. Jastrebarsko: Naklada "Slap".

3.http://www.sagepub.com/upm-data/5899_Chapter_5_Frankfort_05.pdf preuzeto

01.03.2010.

4.http://www.visualstatistics.net/021%20Elements%20of%20Visual%20Statistics/2%20Measures%

20of%20Variability.htm preuzeto 15.04.2010.

NAPOMENE:

Svi podaci u ovim zadacima izmiljeni su za potrebe vjebi studenata i ne predstavljaju stvarno stanje u navedenimpopulacijama.

U zadacima toni rezultati mogu biti i oni koji donekle odstupaju od navedenih rezultata, uslijed rada s drukijim

brojem decimalnih vrijednosti.

Zadnja promjena 24.05.2010.
http://www.sagepub.com/upm-data/5899_Chapter_5_Frankfort_05.pdfhttp://www.sagepub.com/upm-data/5899_Chapter_5_Frankfort_05.pdf

Documents

Ekstra - 4_Mjere Varijabiliteta Vježbe