El método de la regla falsa, o “falsa posición”,

es otro de los muchos métodos iterativos para

la resolución de problemas con ecuaciones no

lineales. La peculiaridad de éste, es que

combina dos métodos: el método de bisección

y el de la secante (ya explicados en otros

artículos).

A continuación veremos una explicación de en

qué consiste, y más abajo, os pongo los pasos

a desarrollar.

Se basa en trazar una recta que una los

extremos de un intervalo dado, considerando

que la solución está cerca de uno de éstos

extremos.

Hemos agregado por tanto, esa línea recta

que une el intervalo [a,b]. La idea principal es

que si tomamos el punto donde la recta corta

el eje x, estaremos más cerca de hallar la raíz.

Entonces, supongamos que tenemos una

función f(x), que es continua en el intervalo

[xa, xb], y que además f(xa) y f(ba) tienen

signos opuestos (RECORDATORIO: Teorema

Bolzano) por lo que se deduce que existe al

menos una solución para esa ecuación.

Avisos Google

Ahora, necesitamos saber la ecuación de la

línea recta que une esos dos puntos. Para ello

nos ayudamos de la ecuación punto-

pendiente, por eso, hallamos la pendiente:

Ahora vamos a sustituir eso en la ecuación de

la recta:

Pero recordamos que la recta en cuestión

corta el eje x, así que hacemos y=0:

Simplificamos multiplicando todo por xb-xa,

para quitar el denominador:

Como paso final, despejamos la incógnita x:

Vamos ahora a describir paso a paso como se

desarrolla el método de la regla falsa

(considerando f(x) continua):

1) Primero debemos encontrar

unos valores iniciales xa y xb tales que:

2) Aproximamos a la raíz, para ello usamos:

3) Evaluamos f(xr). Se pueden dar hasta tres

casos:

A)

Como f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos, por

la condición mencionada anteriormente

deducimos que, la raíz se encuentra en el

intervalo [xa, xr]

B)

f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo. Así que xb

y xr han de tener signos distintos, pues:

Por tanto, la raíz se encuentra en el intervalo

[xr, xa].

*Pista: Como consideramos que la ecuación

tiene que ser continua (si o si), al darse este

caso, no cumpliría con la condición de

continuidad, al menos que tomemos como

referencia un tercer punto (xr) cuya imagen

(f(xr)) será de signo opuesto.

C)

En este caso, como f(xr)=0 ya tenemos

localizada la raíz.

Debemos repetir estos 3 pasos señalados

anteriormente hasta que:

|Ea|<Eb

Método de la regla falsa. Este método también conocido como regula falsi del latín, es un método iterativo para encontrar raíces de un polinomio real, por lo cual sólo obtiene raíces reales.

El método se basa en la suposición que existe una recta secante que corta en un punto en una curva cualquiera. Este método se basa en el método de la bisección y el método de la secante, mediante la ecuación. Este método de forma general converge más rápidamente que el método de bisección.

Para mostrar el procedimiento se mostrara un ejemplo paso a paso en la búsqueda de una raíz por este método , la función sobre la cual se trabajara se muestra a continuación:

Cabe mencionar que este al ser un método numérico rara ves es exacto motivo por el cual desde el inicio es importante fijar un error máximo permisible, esto con el fin de saber en que momento detener la iteraciones, porque el método en condiciones normales en cada iteración se acerca más, entonces lo se que busca es que el f(x) se aproxime lo más al cero. Para el caso de este ejemplo se busca que f(x) no sea mayor a 0.001 A continuación se muestra la gráfica de la función en el segmento de x[1,2], y precisamente lo que se buscará es ver con precisión donde

corta f(x) el eje x, dado que es ahí donde existe una raíz

real.

Como se pudo apreciar la grafica corta el eje de las x entre 1.5 y 2, pero normalmente se necesita un valor mas preciso, por lo cual se comienza a explicar el método de posición falsa. Primer paso. Se determina un segmento en el que se encuentre una raíz para ello es posible usar el teorema de Bolzano para ver si dicho segmento contiene una raíz. Xizq=1 xder=2 f(xizq)=f(1)=-10 f(xderr)=f(2)=10 Como existe un cambio de signo en las funciones evaluadas se acepta que existe una raíz. Segundo paso Empieza la sección iterativa: Iteración 1. Se determina una xm mediante la formula:

Tercer paso Se evalúa el valor de xm en la función.

Se compara si el valor obtenido ya es una solución factible. |-1.625| > 0.001 como sucede esto se continua iterando. Pero antes de determina cual será la nueva xm, y esto se hace siguiendo el criterio Si f(xm) < 0 entonces xizq tomara el valor de xm, en caso contrario xder tomara el valor de xm Entonces dado que f(xm) es negativo la xizq será remplazada por la xder, quedando así

xizq=1.5 xder=2 f(xizq)=-1.625 f(xder)=10

Al seguir estos pasos de forma iterativa se obtiene la siguiente tabla

xizq xder xm f(xm) 1 2 1.5 -1.625 1.5 2 1.569892473 - 0.2125300109 1.569892473 2 1.578843317 -0.02694863188 1.579975226 2 1.580118134 -0.0004296319045

Se compara si el valor obtenido ya es una solución factible. |-0.0004296319045| < 0.001 Como se cumple la condición de error se acepta la raíz en x=1.580118134 Particularidades del método. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo [xizq, xder] en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de la función evaluada en los puntos xizq y xder. Este método une los puntos f(xizq) y f(xder) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una posición falsa de raíz. Como se mencionó anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Se considera nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde se ha agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos

mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función que es continua en el intervalo y además, y tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos , . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje , hacemos :

Multiplicando por nos da:

Finalmente, de aquí despejamos :

Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del método de bisección. Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos: El reemplazo de la curva por una línea recta da una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre de método de la regla falsa. También se le conoce como método de la interpolación lineal. Referencias.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_regla_falsa

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo . Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son

prácticamente idénticos. Supongamos que tenemos una función que es contínua en el intervalo y además, y

tienen signos opuestos. Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos , . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje , hacemos :

Multiplicando por nos da:

Finalmente, de aquí despejamos :

Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del método de bisección. Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos: Sea contínua, i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:

iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

•

En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo .

•

En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aquí que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .

•

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejemplo 1 Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo y hasta que . Solución Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que es contínua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.

Calculamos la primera aproximación:

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.

Así pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo . Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso. Evaluamos , y hacemos la tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo , con el cual, podemos calcular la nueva aproximación:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a diferencia de la lentitud del método de la bisección. Ejemplo 2 Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo y hasta que . Solución Este es el mismo ejemplo 2 del

método de la bisección. Así pues, ya sabemos que se cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, que sea contínua en el intervalo dado y que tome signos opuestos en los extremos de dicho intervalo.

Calculamos pues, la primera aproximación:

Como solamente tenemos una aproximación, debemos avanzar en el proceso. Evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De lo cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo . Así pues, calculamos la nueva aproximación:

Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso. Evaluamos

. Y hacemos nuestra tabla de signos:

De los cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo , con el cual podemos calcular al siguiente aproximación:

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del método de la regla falsa contra la lentitud del método de la bisección. Por supuesto que puede darse el caso

en el que el método de la regla falsa encuentre la aproximación a la raíz de forma más lenta que el método de la bisección. Como ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos métodos a la función , comenzando en el intervalo , donde notará que mientras que el método de bisección requiere de 8 aproximaciones para lograr que , el método de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.

Veremos a continuación un ejemplo del metódo de la Posición, Falsa con la siguiente ecuación:

# Xi Xd Fxi Fxd Nuevo Xm Error 1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3 2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21

3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533 -

2.3207255520505

-0.020725552

050473

4 -2.51 -

2.3207255520505

-2.323251 1.1803871495748

-2.395969027827

-0.075243475

776506

5 -

2.395969027827

-2.3207255520505

-0.15043075408291

1.1803871495748

-2.3460753250876

-0.025349773

037123

6 -

2.395969027827

-2.3460753250876

-0.15043075408291

0.74096319530987

-2.3903292274407

-0.044253902

353135

7 -

2.3903292274407

-2.3460753250876

-0.04789074483039

0.74096319530987

-2.3828609830056

-0.036785657

917969

8 -

2.3903292274407

-2.3828609830056

-0.04789074483039

0.087191294668852

-2.3898758357919

-0.007014852

7863751

9 -

2.3898758357919

-2.3828609830056

-0.039667231209549

0.087191294668852

-2.3873888543541

-0.004527871

3485732

10

-2.3898758357919

-2.3873888543541

-0.039667231209549

0.0053886529350926

-2.3890981847273

-0.001709330

3731688

11

-2.3890981847273

-2.3873888543541

-0.025569238087972

0.0053886529350926

-2.387593289098

-0.00020443474381393

12

-2.3890981847273

-2.387593289098

-0.025569238087972

0.0016883143877866

-2.3878552371823

-0.00026194808438618

13

-2.3878552371823

-2.387593289098

-0.0030539102982061

0.0016883143877866

-2.3876095139854

-1.622488739

9829E-5

Hemos terminado de analizar el método de la Posición Falsa, en este ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la última raiz(Xm): -2.3876969957131 con 13 iteracciones.

.

.

http://noosfera.indivia.net/metodos/posicionFalsa.html

NOTA: Usa todos los dígitos en tu calculadora para que la aproximación sea lo más exacta posible.

1. Usa el método de bisección para aproximar la raíz

de comenzando en el intervalo y hasta

que . Solución: P= 0,8046875.

N An Bn F(a) P F(Pn) F(a)*F(Pn)

1 0,75000000000

0 1,000000000000 0,155816011272 0,875000000000 0,238251443419 0,037123389593

2 0,75000000000

0 0,875000000000 0,155816011272 0,812500000000 0,040136594055 0,006253923992

3 0,75000000000

0 0,812500000000 0,155816011272 0,781250000000 0,058243604068 0,009075286068

4 0,78125000000

0 0,812500000000 0,058243604068 0,796875000000 0,009138259544 0,000532245171

5 0,79687500000

0 0,812500000000 0,009138259544 0,804687500000 0,015480056094 0,000141460770

2. Usa el método de bisección para aproximar la raíz

de comenzando en el intervalo y hasta

que . Solución: P= 0,9453125

N An Bn F(a) P F(Pn) F(a)*F(Pn) 1 0,500000000000 1,000000000000 0,571731498906 0,750000000000 0,318403540056 0,182041333213 2 0,750000000000 1,000000000000 0,318403540056 0,875000000000 0,131346597357 0,041821221573 3 0,875000000000 1,000000000000 0,131346597357 0,937500000000 0,008660036090 0,001137466273 4 0,937500000000 1,000000000000 0,008660036090 0,968750000000 0,063004824347 0,000545624053 5 0,937500000000 0,968750000000 0,008660036090 0,953125000000 0,026193390471 0,000226835707 6 0,937500000000 0,953125000000 0,008660036090 0,945312500000 0,008531818666 0,000073885858

3. Sea f(x) = x2 - 6 con xo=3 y x1=2 encuentre x3. Aplicar el método de secante con x=0.001. (Raíz = 2.45454).

N Po P1 Q0 Q1 P 1 3,000000000000 2,000000000000 3,000000000000 2,000000000000 2,400000000000 2 2,000000000000 2,400000000000 -2,000000000000 0,240000000000 2,45454545454

4.Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz

de comenzando en el intervalo y hasta

que . Solución:

5. Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz

de comenzando en el intervalo y hasta

que . Solución: .

6. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz

de comenzando con y hasta

que . Solución: .

7. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz

de , comenzando con y con 4

interacciones. Solución: .

N Xo F(Xo) F'(Xo) X 1 1,000000000000 -0,459697694132 -1,841470984808 0,750363867840 2 0,750363867840 -0,018923073822 -1,681904952941 0,739112890911 3 0,739112890911 -0,000046455899 -1,673632544224 0,739085133385 4 0,739085133385 -0,000000000285 -1,673612029309 0,739085133215

8. Usa el Método de la Secante para aproximar la raíz

de comenzando con y hasta

que . Solución: .

9. Usa el método de la secante para aproximar la raíz

de comenzando con y hasta

que . Solución:

N Po P1 Q0 Q1 P 1 0,000000000000 1,000000000000 1,000000000000 -0,632120558829 0,612699836780 2 1,000000000000 0,612699836780 -0,632120558829 -0,070813947873 0,563838389161 3 0,612699836780 0,563838389161 -0,070813947873 0,005182354507 0,567170358420

10. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz

de comenzando con y hasta

que . Solución: .

11. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz

de comenzando con y hasta

que . Solución: .

12.Calcular mediante los métodos de bisección la ecuación x = excon(x) una Tolerancia 10-6. Tomar [0;1]como intervalo de partida. Comparar las primeras 5 iteraciones de la secante.

13.Aplicar el método de Newton para resolver la raíz de la ecuación xex-1 = 0, partiendo de x0 = 0.

14.Calcular la raíz cuarta de 10 mediante el método de Newton, partiendo de x0 = 1.

15.Demostrar que la ecuación 1-x-sin x = 0 tiene una raíz entre 0 y 1. Estimar cuantas iteraciones son necesarias para calcular la raíz mediante el método de bisección con una tolerancia 10-6. Calcularla con dicha precisión por el método de Newton y de la secante.

16.Comparar el número necesario de iteraciones por cada método.

17.Determínese con un error absoluto de 0.001 la solución de la ecuación x-cos(x)=0.

18.Resolver la ecuación ln(2-x2) = x2, utilizando el método de Newton Rapson, partiendo de x0 = 0 y calculando la raíz con una precisión de 0.0001.

19.Considérese el polinomio P(x) = x4+3x3-2. Calcular las raíces reales comprendidas en el intervalo [-4;4]: realizar una localización previa calculando el polinomio en pasos de una unidad en dicho intervalo. Determinar las raíces con un error absoluto de 0.001. ¿Puede haber raíces reales fuera de este intervalo? Razonar la respuesta.

20. Considérese la ecuación 2x-cos(x) = 3. Demostrar que tiene una sola raíz. Calcularla por el método de Newton y por un método iterativo de un punto con una precisión de 0.001.

21.Calcula el error absoluto y relativo en los siguientes casos:

Número Aproximación Error absoluto Error

relativo

2,345 2,35

1,114 1,11

12,452 12,4

54,1237 54,12

213,1011 213,123

0,216 0,22 22.Escribe las aproximaciones que se indican a continuación:

a. De p por redondeo a las diezmilésimas. b. 1/7 por truncamiento a las décimas. c. por redondeo a las centésimas. d. 2/7 por truncamiento a las cienmilésimas.

23.Si 5,37 es una aproximación por redondeo de un número a las centésimas, señala entre qué valores está comprendido dicho número. ¿Cuál es la cota de error?

1. Si 3/7 = 0,428571428... y tomamos como aproximación el número 0,4286, ¿cuál es la cota de error?

24. Sea f(x) = x3 - cos x con x1= -1 y x2 = 0 encontrar x3 con el método de la secante. (3 iteraciones).

N Po P1 Q0 Q1 P 1 -1,000000000000 0,000000000000 -1,540302305868 -1,000000000000 1,850815717681 2 0,000000000000 1,850815717681 -6,000000000000 -2,574481179185 3,241813835209 3 1,850815717681 3,241813835209 -2,574481179185 4,509356942151 2,356346534806