RACES DE UNA ECUACIN

Raz: se le llama raz de una ecuacin a cualquier valor numrico

que al sustituirse por la incgnita satisfaga la ecuacin.

3x = 15 la raz es 5 pues 3(5) = 15 y cumple la condicin.

Conjunto solucin: es el conjunto de todos los nmeros que

satisfacen la igualdad en una ecuacin. Es el conjunto de todas

las races de la ecuacin.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos

expresiones son iguales para cualesquiera valores que se

pongan en lugar de las letras que figuran en la expresin es una

identidad.

Cuando la igualdad slo se cumple para determinados valores de

la expresin es una ecuacin.

Comprobacin de ecuaciones: la comprobacin se realiza

sustituyendo la raz obtenida en la ecuacin original, si ambos

miembros dan el mismo resultado se confirma la respuesta.

RACES DE UNA ECUACIN

Mtodo de la Biseccin

Mtodos Cerrados

Mtodo de la regla falsa

MTODO DE LA BISECCIN

El mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema :

Teorema (Teorema de Bolzano). Una funcin f:R R es cero de al menos un valor de x entre a y b si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos.

La estrategia de este mtodo, es partir de un intervalo [a, b] que cumple la condicin f(a)f(b) < 0 y en cada iteracin bisectarlo para obtener un nuevo intervalo [a1, b1] que tambin cumple con f(a1)f(b1) < 0 , hasta obtener un intervalo [an, bn] que cumple f(an)f(bn) < 0 pero adems

|b a| , para un correspondiente a la tolerancia del error.

MTODO DE LA BISECCIN

INTERPRETACIN GRFICA

MTODO DE LA BISECCIN

El mtodo consiste en lo siguiente: Previamente debemos estar seguros de la continuidad de la funcin () en el intervalo , . Posteriormente verificamos que < . Calculamos el punto medio del intervalo , . A continuacin calculamos () . En caso de que () sea igual a cero, ya hemos encontrado la raz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si () tiene signo opuesto con o con . Se redefine el intervalo , como , o , segn se haya determinado en cul de estos

intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se contina sucesivamente encerrando la solucin en un intervalo cada vez ms pequeo, hasta alcanzar la precisin deseada.

MTODO DE LA BISECCIN

Ejemplo: Encontrar la raz de la ecuacin

= . + .

MTODO DE LA BISECCIN

1. = .

2. = = . + . = .

3. = . = . . . + . = .

Luego por lo menos hay una raz entre y que esta entre 0.00 y 0.11

1. = .

MTODO DE LA BISECCIN

Iteracin No 1

= +

=

+ .

= .

= . = . . . + . = .

= . = . . >

Por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo entre y es decir entre 0.0055 y 0.11, que corresponden a los limites inferior y superior del nuevo

intervalo

= . = .

En este punto la aproximacin del error relativo absoluto no puede ser evaluado por cuanto no tenemos una aproximacin previa

MTODO DE LA BISECCIN

Raz estimada en la primera iteracin

MTODO DE LA BISECCIN

Iteracin No 2

= +

=

. + .

= .

= . = . . . + .

= . = . . = .

. <

Por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo entre y es decir entre 0.0055 y 0.0825, que corresponden a los limites inferior y superior

del nuevo intervalo

= . = .

MTODO DE LA BISECCIN

Raz estimada en la segunda iteracin

MTODO DE LA BISECCIN

En este punto la aproximacin del error relativo absoluto es

=

=. .

. = . %

Iteracin No 3

= +

=

. + .

= .

= . = . . . + .

= . = . . = .

. <

= . = .

MTODO DE LA BISECCIN

Raz estimada en la tercera iteracin

MTODO DE LA BISECCIN

En este punto la aproximacin del error relativo absoluto es

=

=. .

. = %

Ejercicio: Determine la raz de la ecuacin y = SIN(x) + LN(x)

MTODO DE LA BISECCIN

MTODO DE LA BISECCIN