El teorema de BayesEs una proposicin planteada por el filsofo inglsThomas Bayes( 1702-1761)1en 1763,2que expresa laprobabilidad condicionalde unevento aleatorioAdadoBen trminos de la distribucin de probabilidad condicional del eventoBdadoAy ladistribucin de probabilidad marginalde sloA.En trminos ms generales y menos matemticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podra saber (si se tiene algn dato ms), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestin para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculacin ntima con la comprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Supongamos que sobre el espacio muestral S tenemos una particin Ai, con i = 1, ..., n. Esto significa que cualquier resultado de S necesariamente debe estar en uno y solo uno de los eventos AiPor ejemplo, piense en todos los pacientes hospitalizados en una determinada ciudad, y la ciudad tiene cuatro hospitales, digamos los hospitales 1, 2, 3 y 4. De modo que el conjunto de pacientes hospitalizados va a estar en uno y solo uno de esos cuatro hospitales.Si definimos los sucesos Ai como el conjunto de pacientes hospitalizados en el i-simo hospital, con i = 1, 2, 3, 4. Entonces los sucesos A1, A2, A3 y A4 constituyen una particin sobre el conjunto de todos los pacientes hospitalizados, que llamaremos S.De otra forma, si seleccionamos al azar un paciente hospitalizado, entonces el paciente que elegiremos pertenecer a uno y solo uno de los Ai.Consideremos un suceso B, que indica una determinada propiedad de los pacientes, por ejemplo B puede ser el suceso de que el paciente seleccionado al azar tenga un diagnstico grave.

En funcin de las probabilidades condicionales, nos queda

Este clculo es para medir la incertidumbre de la ocurrencia del evento B.Medicin del futuro, representado por el evento BDe otra forma, cul es el valor de con j = 1, ...n?

Medicin del pasado, representado por el evento Aj

Las aplicaciones del teorema de Teorema de Bayes son infinitas, y no exentas de grandes polmicas. El problema radica es que al decir B ha ocurrido se puede pensar que es un hecho determinstico, y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir si B ha ocurrido entonces Pr(B) = 1. No obstante, el problema cambia radicalmente si uno expresa si B ocurre, y esta es la interpretacin correcta. Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos Ai son de tipo a priori, y que a veces de manera arbitraria deben asignarse puesto que no se tiene informacin sobre el pasado, y que se espera que van a ser mejoradas con la informacin que puede entregar el suceso B, de hecho las probabilidades Pr(Ai / B) son llamadas a posteriori.Muchos casos judiciales de tipo forense acuden a este teorema para la dictacin de las sentencias por parte de los jueces.

EJEMPLO 2Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A?

Solucin:

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de rbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: